§11.3 瑕积分的性质与收敛判别 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件
定理11.5（瑕积分收敛的柯西准则）
2
1
2
1
()d ()d ()d .
b
b
u u u u f x x f x x f x x ε-=
<⎰
⎰⎰
()d ()b
a
f x x a ⎰瑕积分瑕点为收敛的充要条件是
120,0,,(,)u u a a εδδ>>∈+任给存在当时，
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性质2
,(,),f x a c a b =∈设函数的瑕点若则()d ()d ,b c a
a
f x x f x x ⎰⎰
与同时收敛或同时发散且()d ()d ()d .
b
c b
a
a
c
f x x f x x f x x =+⎰
⎰⎰性质1
1212,,f f x a k k =设函数与的瑕点同为为任意
1122(()())d ,b
a
k f x k f x x +⎰
也收敛且
1122(()())d b
a
k f x k f x x +⎰
1122()d ()d .
b
b
a
a
k f x x k f x x =+⎰⎰常数，12()d ()d b b
a a
f x x f x x ⎰⎰若和都收敛，则
性质3
引理（非负函数瑕积分的判别法）
,(,]f x a f a b =设函数的瑕点为在的任一闭区
[,](),u b u a >间上可积()d ,()d ()d .
b
b b
a
a
a
f x x f x x f x x ≤⎰
⎰⎰也收敛且(,](),a b f x 若定义在上的非负函数在任意闭区间
[,](),u b u a 上可积>(,],
()d .
b
u
M u a b f x x M ∈<⎰
是:存在，对任意()d ,
b
a
f x x ⎰则收敛时()d b
a f x x 则收敛的充要条件
⎰
定理11.6（比较法则）
(,],a b f g 设定义在上的两个非负函数与瑕点同,[,](,]x a u b a b =⊂为在任何上都可积,()(),(,].
f x
g x x a b ≤∈()d ,()d ;
b b
a a
g x x f x x ⎰⎰则当收敛时必定收敛()d ,()d .
b b
a
a
f x x
g x x ⎰
⎰发散时必定发散且满足
当
()d ,()d .
b
a
a
f x x f x x +∞
⎰⎰
绝敛时称对收敛收而称收敛但不绝对收敛的条瑕积分为件收敛.
推论1
[,]()f g u b a u b <<若非负函数和在任何上可积，
()
lim ,()
x a f x c g x +→=且则(i)0()d ()d ;b
b
a
a
c f x x g x x <<+∞⎰⎰
时，与收敛性相同(ii)0()d ()d ;b b
a
a
c g x x f x x =⎰⎰
时，收敛可推得收敛=+∞⎰⎰
(iii)()d ()d .b b
a
a
c g x x f x x 时，发散可推得发散
推论2
[,](,]u b a b ⊂上可积.则有
1
(i)(),01,()d ()
b p a f x p f x x x a ≤<<-⎰当时收敛;1(ii)(),1,()d .()
b p a f x p f x x x a ≥≥-⎰当时发散(,],,f a b a 设非负函数定义在上为瑕点且在任何
推论3
(,],,f a b a 设非负函数定义于为瑕点且在任何
[,](,]lim()(),p
x a
u b a b x a f x λ+
→⊂-=上可积.若(i)01,0()d b
a
p f x x λ<<≤<+∞⎰
当时，收敛;(ii)1,0()d .b
a
p f x x λ≥<≤+∞⎰
当时，发散可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性.
x x sin ~利用x tan ~x arcsin ~x
arctan ~()x +1ln ~),
0(1e ~→-x x
则
例12
3
13
sin d .
1ln x x x x
-⎰
判别瑕积分的收敛性1,x =解瑕点为33
sin 1ln 1x x x -由于213
3sin sin1
0(1),(1)3
x x x x →≠→++而()()()()111~11ln 113
131---+-x x x x ()
,11
34-=x 2
243
3
3
1
1
d sin d .
(1)
1ln x
x x x x x
--⎰
⎰
因此由
发散知发散13213sin .(1)(1)ln(11)x
x x x x =-+++-
例21
ln d .x
x x
⎰
判别瑕积分的收敛性1
ln 3d x
x x
⎰
因此由推论知收敛,解是瑕点，0=x ()ln 0(0,1].x x -≥∈由于
x x x
x x
x x ln lim ln lim 4
104
30+
+
→→-=,0=1
ln d .
x x x
⎰
即绝对收敛
1
0()d 1a x a x x Φ-+∞=+⎰的收敛性.11101()d d 11a a x x a x x x x
Φ--+∞=+++⎰⎰讨论反常积分
例3()a Φ把反常积分写成
解()().
I a J a =+(i)().I a 先讨论时即当1,01≥≥-a a 它是定积分；110lim 1,1a a x x x x
+--→⋅=+时它是瑕积分，当1<a 0.x =瑕点为由于
11.9因此由定理的推论3,,()I a 时发散.
(ii)(),J a 再讨论它是无穷积分.由于
0()a I a 时，瑕积分收敛；>011≤≥-=a a p ，即当x x a x x x a a x +=+⋅+∞→--+∞→1lim 1lim 1
2,1=011,p a <=-<当即1133.因此由定理的推论，21,1p a a =-><当即1()J a λ=且时，收敛；且即而当1,12≥≤-=a a p 1,().J a λ=时发散综上所述，总结如下：
a
a ≤00<a <1 a ≥1I (a )
发散收敛定积分J (a )收敛
收敛发散Φ(a )
发散收敛发散()01.
a a Φ<<所以,只有当时才是收敛的
复习思考题
1.试给出瑕积分的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法.
()[,).2.f x a b b 设为上的连续函数,为瑕点试问当2
()d ,()d ?b
b a a f x x f x x ⎰⎰收敛时是否收敛反之是?
否成立。
11.3瑕积分的性质与收敛判别法
§3 瑕积分的性质与收敛判别法
教学目标：掌握瑕积分的性质与收敛判别准则．
教学内容：瑕积分的收敛；条件收敛；绝对收敛；比较判别法；柯西判别法；狄利克雷判别法；阿贝尔判别法．
(1) 基本要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义，会用柯西判别法判别瑕积分的敛散性．
(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．
教学建议：
(1) 本节的重点是掌握判别瑕积分收敛的方法，要求学生主要学会用柯西判别法判别瑕积分的敛散性．
(2) 本节的难点是用狄利克雷判别法或阿贝尔判别法判别瑕积分的敛散性，对较好学生布置这方面的习题．
教学过程：
一、瑕积分与无穷积分的比较
瑕积分与无穷积分有平行的理论和结果 .
例1、证明瑕积分当时收敛.
证：, 该积分当时收敛.
二、瑕积分判敛法
定理( 比较原则 ) [1]P329 Th10-23.
推论1 ( Cauchy判别法 ) [1]P329 推论1.
推论2 ( Cauchy判别法的极限形式 ) [1]P330 推论2.
例2、判别下列瑕积分的敛散性 :
⑴( 注意被积函数非
正 ). ⑵. [1]P330 E12
例3、讨论非正常积分的敛散性.
三、C—R积分与R积分的差异
1. R, 在上; 但在区间
上可积 ,
在区间上有界 . 例如函数
2. R,||R,但反之不确. R积分是绝对型积分.
||在区间上可积 , 在区间上可积 , 但反之不确. C—R积分是非绝对型积分.
3. ,R, R;
但和在区间上可积 , 在区间
上可积. 可见, 在区
间上可积 , 在区间上可积.
作业： P279：1，2，3，4.。
瑕积分的性质与收敛判别
§3 瑕积分的性质与收敛判别教学目的：掌握瑕点,瑕积分的概念,会运用瑕积分的收敛判别法。
重点难点：重点与难点为瑕积分的收敛判别方法及其与无穷积分收敛判别法的区别。
教学方法：讲练结合。
教学内容：例1 圆柱形桶的内壁高为h ，内半径为R ，桶底有一半径为r 的小孔．试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间?从物理学知道，在不计摩擦力的情形下，当桶内水位高度为(x h -)时，水从孔中流出的流速(单位时间内流过单位截面积的流量)为 ,)(2x h g v -=其中g 为重力加速度．设在很小一段时间dc 内，桶中液面降低的微小量为dx ，它们之间应满足 dt r v dx R 22ππ=， 由此则有].,0[,)(222h x dx x h g rR dt ∈-=所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”： dx x h g rR t hf ⎰-=022)(2．但是在这里因为被积函数是[h ,0)上的无界函数，所以它的确切含义应该是.)(2)(2lim )(2lim 22222rR g h u h h rR g dxx h g rR t hu uhu f =--⋅=-=--→→⎰ 一、瑕积分的定义定义2 f 定义在区间(],b a 上，在点a 的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间),(],[b a b u ⊂上有界且可积．如果存在极限J dx x f bu au =⎰+→)(lim ，则称此极限为无界函数f 在(],b a 上的反常积分，记作⎰=ba dx x f J ,)(并称反常积分dx x f b a ⎰)(收敛．如果极限J dx x f bu au =⎰+→)(lim 不存在，这时也说反常积分⎰ba dx x f )(发散．在定义2中，被积函数f 在点a 近旁是无界的，这时点a 称为f 的瑕点，而无界函数反常积分⎰ba dx x f )(又称为瑕积分．类似地，可定义瑕点为b 时的瑕积分：.)(lim )(⎰⎰-→=uabu badx x f dx x f 其中f 在),[b a 有定义，在点b 的任一左邻域内无界，但在任何),[],[b a u a ⊂上可积.若f 的瑕点),(b a c ∈，则定义瑕积分 ⎰⎰⎰⎰⎰+-→→+=+=bvcv u acu b ac ab adx x f dx x f dx x f dx x f dx x f .)(lim )(lim )()()(其中f 在],(),[b c c a ⋃上有定义，在点c 的任一邻域内无界，但在任何[u a ,]),[c a ⊂和⊂],[b v [b c ,)上都可积．当且仅当右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的．又若a 、b 两点都是f 的瑕点，而f 在任何),(],[b a v u ⊂上可积，这时定义瑕积分⎰⎰⎰⎰⎰-+→→+=+=vcbv cuau cabcbadx x f dx x f dx x f dx x f dx x f ,)(lim )(lim )()()(其中c 为(b a ,)内任一实数．当且仅当(7)式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的．例1 瑕积分⎰-121xdx 的值解： 被积函数211)(xx f -=在)1,0[上连续，从而在任何)1,0[],0[⊂u 上可积，1=x 为其瑕点．依定义2求得.2arcsin lim 1lim 112112π==-=---→→⎰⎰u xdx xdx u uu例2 讨论瑕积分)0(1>⎰q xdxq 的收敛性． 解： 被积函数在(1,0)上连续，0=x 为其瑕点．由于),10({1),1(111,ln 11<<=≠--=--⎰u x dx q u q q u uqq故当0<q <1时，瑕积分(8)收敛，且;11lim 101q xdx x dx u q u q -==⎰⎰+→而当q ≥1时，瑕积分(8)发散于∞+．注：当0<q <1时，瑕积分q a b a x dx qbaq--=--⎰1)()(1收敛，且而当q ≥1时，瑕积分⎰-baqa x dx)(发散于∞+.例3 讨论瑕积分21ln dxx x⎰的收敛性．解：1x =是瑕点，有 22112lim lim ln ln()1ln ln o o dx dx x x x x xηηηη+++→→===+∞+⎰⎰ 则发散例4讨论瑕积分8-⎰的收敛性 0x =是瑕点，有8080200312883033lim lim (1)223lim lim (4)62o o o o ηηηηηηηη++++-----→→→→=+==-=-==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 则收敛 二、瑕积分的性质类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性质，瑕积分同样可由函数极限dx x f dx x f babuau ⎰⎰=+→)()(lim 的原意写出相应的命题．定理11．5 瑕积分⎰badx x f )( (瑕点为a )收敛的充要条件是：任给0>ε，存在0>δ，只要1u 、),(2δ+∈a a u ，总有.)()()(2121ε<=-⎰⎰⎰u u bu b u dx x f dx x f dx x f性质 1 设函数1f 与2f 的瑕点同为1,k a x =、2k 为常数，则当瑕积分dx x f ba )(1⎰与⎰b adx x f )(2都收敛时，瑕积分dx x f k x f k ba⎰+)]()([2211必定收敛，并有⎰⎰⎰+=+bab abadx x f k dx x f k dx x f k x f k )()()]()([22112211性质 2 设函数f 的瑕点为a x =，f 在],(b a 的任一内闭区间],[b u 上可积．则当⎰badx x f )(收敛时⎰badx x f )(也必定收敛，并有⎰⎰≤babadx x f dx x f )()(．性质3 设函数f 的瑕点为),(,b a c a x ∈=为任一常数．则瑕积分⎰b adx x f )(与⎰cadx x f )(同敛态，并有⎰⎰⎰+=bccabadx x f dx x f dx x f )()()(, 其中⎰bcdx x f )(为定积分．类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性质，瑕积分同样可由函数极限dx x f dx x f bab uau ⎰⎰=+→)()(lim 的原意写出相应的命题．定理11．5 瑕积分⎰badx x f )( (瑕点为a )收敛的充要条件是：任给0>ε，存在0>δ，只要1u 、),(2δ+∈a a u ，总有.)()()(2121ε<=-⎰⎰⎰u u bu bu dx x f dx x f dx x f性质 1 设函数1f 与2f 的瑕点同为1,k a x =、2k 为常数，则当瑕积分dx x f ba)(1⎰与⎰badx x f )(2都收敛时，瑕积分dx x f k x f k ba⎰+)]()([2211必定收敛，并有⎰⎰⎰+=+bab abadx x f k dx x f k dx x f k x f k )()()]()([22112211。
11-2——华东师范大学数学分析课件PPT
f ( x) dx 收敛，则 f ( x) dx 也收敛，并 有
a
a
a f ( x) dx a f ( x) dx.
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
§2 无穷积分的性质与收敛判别
无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
一般函数无穷积分的 收敛判别法
非负函数无穷积分的收敛判别法
u1
u1
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
§2 无穷积分的性质与收敛判别
无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
又因为 f ( x) 2 f ( x)dx u2 h( x)dx u2 g( x)dx ,
u1
证 设F(u)
u
f ( x)dx,
u [a, ),
则
f ( x)dx
a
a
收敛的充要条件是存在极限 lim F(u). 由函数
u
极限的柯西准则,此等价于
0, G a, u1, u2 G,
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
F (u1) F (u2 ) ,
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无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
一般函数无穷积分的 收敛判别法
定理11.1（无穷积分收敛的柯西准则）
无穷积分
f ( x)dx
收敛的充要条件是:
a
0, G a, 当 u1, u2 G 时,
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
高等教育出版社
§2 无穷积分的性质与收敛判别
无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第11章-反常积分可编辑全文
(i) 若 0 c ，则 f ( x)dx与 g( x)dx 收敛性相同;
a
a
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(ii) 若c 0, 则由 g( x)dx收敛可得 f ( x)dx收敛;
a
a
(iii) 若c , 则由 g( x)dx 发散可得 f ( x)dx 发散.
a
a
证 (i) 由 lim f ( x) c 0, 故存在 G a,使 x G,有
u a
则称此极限 J 为函数 f 在 a , 上的无穷限反
常积分(简称无穷积分),记作
J a f (x)dx,
并称 f ( x)dx 收敛, 否则称 f ( x)dx 发散.
a
a
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类似定义
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx,
u u
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx.
t e pt dt
0
p 0 的收敛性.
解
t e ptdt
t e pt p
1 p2
e
pt
C,
因此
t e ptdt 0
t e pt p
1 p2
e
pt
0
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1 1
(0 0) 0
p2
p2 .
例3
讨论瑕积分
1 dx
0 xq
q 0 的收敛性.
解
1 dx
u xq
显然
5
1 x6 1
1 x6 5
. 由于
dx 收敛,因此 1 x6 5
dx 收敛. 1 5 x6 1
例3 设 f (x), g(x) 是 [a,) 上的非负连续函数. 证
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第11章-反常积分(1)可编辑全文
1
1
q
1 u1q
ln u,
,q1 q 1,
故当 0 q 1时,
1 dx 0 xq
lim
u0
1 dx u xq
1; 1q
当 1 q 时,
1 0
dx xq
发散.
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同样, 若 f (x) 的原函数为 F (x), 瑕积分的牛顿-莱
布尼茨公式写作
b a
f
(x)
dx
0, G a, u1 ,u2 G, F (u1) F (u2 ) ,
即
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
u1
根据反常积分定义,容易导出以下性质1 和性质2.
性质1 若
a
f1
(
x
)
dx
与
a f2( x)dx
都收敛 ,
k1 ,
当 u1, u2 G 时,
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
u1
证 设 F(u)
u f ( x)dx , u [a , ), 则
f ( x)dx
a
a
收敛的充要条件是存在极限 lim F (u) .由函数 u
极限的柯西准则,此等价于
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a
a
u1
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从而 F (u) 是单调递增的 (u [a,)). 由单调递 增函数的收敛判别准则, lim F (u) 存在的充要条
u
件是 F (u) 在 [a, ) 上有界,即 M 0, 使
u [a,), 有
u
瑕积分
+∞
a
∫
+∞
a
f ( x )dx(或) ∫ f ( x )dx自然也收敛； 自然也收敛；
b a
当判得
∫
+∞
a
| f ( x ) |dx (或)
∫
b
a
| f ( x ) |dx 发散时， 发散时，
还需依赖其它方法（如狄利克雷判别法阿贝尔（ 还需依赖其它方法（如狄利克雷判别法阿贝尔（Abel） ） 判别别法. 或者直接使用收敛定义或柯西收敛准则） 判别别法. 或者直接使用收敛定义或柯西收敛准则）来判别
b a
结合例题及习题总结对无穷积分(或瑕积分) 结合例题及习题总结对无穷积分(或瑕积分)收敛判 别的一般步骤： 别的一般步骤 首先用比较法则及其推论来判别是否绝对收敛, 首先用比较法则及其推论来判别是否绝对收敛, 收敛时, 当判得 ∫ | f ( x ) |dx(或) ∫a | f ( x ) |dx 收敛时,
ln x
3 此瑕积分的瑕点为x=0.由上述推论3 当取p= =0.由上述推论 1）此瑕积分的瑕点为 =0.由上述推论3，当取 = ＜1时，有 4
λ = limx
x →0
+
3 4
⋅
ln x x
= −lim
x → 0+
ln x x
− 1 4
＝
1 lim 4 x 4 x → 0+
＝0
x
+ +
x −1
推知该瑕积分发散. 推知该瑕积分发散.
最后举一个既是无穷积分又是瑕积分的例子. 最后举一个既是无穷积分又是瑕积分的例子. 例2 讨论反常积分
Φ (α ) = ∫
瑕积分的性质与收敛判别17页PPT
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
瑕积分的性质与收敛判别
21、没有人你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
11_3瑕积分的性质与收敛判别
为 任 意 常 数 , 若 f ( x ) d xf 和 ( x ) d x 都 收 敛 , 则 1 2
( k f ( x ) k fx ( ) ) d x 也 收 敛 , 且 k f( x ) k f( x ) ) d x ( k ( ) d xk fx ( ) d x . fx
fx ( ) d x , l i m( fx ) d x 0
a
a u a
b
u
f (x)d x 证明: 由 柯 西 收 敛 准 则 , a
b
0 , 0 ,, A A ( a , a ) ,
有 : f (x )d x .
A A
u
: f (xd ) x 上 式 中 , 令 A a ,有 a
A
即 l i m f( xd ) x 0 .
u a a
//
推 论 3 : 设 a 为 瑕 点 , 则
b b a a
( ) d x ( ) d x fx fx 证明:由 柯 西 收 敛 准 则 , f (x) dx 0 , 0 , A , A ( a , a ) , 有 : f ( x ) d x x d x xd x , f() f() x / / 再 由 柯 西 收 敛 准 则 知 , f (x)d
即 x . f (x)d
a
b
x a b
x a x
//
由定理11.8，对于非负函数的瑕积分有以下 比较收敛原理． 定理11.9 (比较法则)
设 定 义 在 ( a , b ] 上 的 两 个 非 负 函 数 f 与 g , 瑕 点 同
数学分析11.3瑕积分的性质与收敛判别
第十一章 反常积分 3 瑕积分的性质与收敛判别定理11.5：瑕积分⎰ba f(x )dx(瑕点为a)收敛的充要条件是： 任给ε>0，存在δ≥0，只要u 1,u 2∈(a,a+δ)，总有 |⎰b u 1f(x)dx-⎰bu 2f(x)dx |=|⎰21u u f(x)dx |<ε.性质1：设函数f 1与f 2的瑕点同为x=a ，k 1,k 2为任意常数，则 当瑕积分⎰b a 1(x )f dx 与⎰ba 2(x )f dx 都收敛时， 瑕积分⎰+ba 2211(x )]f k (x )f [k dx 也收敛，且⎰+ba2211(x )]f k (x )f [k dx=k 1⎰b a1(x )f dx+k 2⎰ba2(x )f dx.性质2：设f 的瑕点为x=a, c ∈(a,b)为任一常数，则瑕积分⎰ba f(x )dx 与⎰caf(x )dx 同敛态，且有⎰b af(x )dx dx=⎰c af(x )dx+⎰bcf(x )dx .性质3：设函数f 的瑕点为x=a ，f 在(a,b]内任一[u,b]上可积，则当⎰ba|f(x )|dx 收敛时，⎰b af(x )dx 亦必收敛，并有|⎰b af(x )dx |≤⎰ba|f(x )|dx.证：∵⎰ba |f(x )|dx 收敛，∴任给ε>0，存在δ>0，当u 2,u 1∈(a,a+δ]时， 有|⎰21u u f(x)dx |=|⎰21u u |f(x)|dx | <ε，∴⎰ba f(x )dx 收敛，且|⎰b af(x )dx |≤⎰ba|f(x )|dx.注：当⎰b a |f(x )|dx 收敛时，称⎰ba f(x )dx 为绝对收敛. 又称收敛而不绝对收敛的瑕积分为条件收敛.定理11.6：(比较法则)设定义在(a,b]上的两个函数f 和g ，瑕点同为x=a ，在任何[u,b]⊂(a,b]上都可积，且满足|f(x)|≤g(x), x ∈(a,b]，则当⎰bag(x )dx 收敛时,⎰b a|f(x )|dx 必收敛(或当⎰b a|f(x )|dx 发散时,⎰bag(x )dx 必发散).证：若⎰ba g(x )dx 收敛，则任给ε>0，存在δ>0，当u 2,u 1∈(a,a+δ]时， 总有|⎰21u u g(x)dx|<ε. 又|f(x)|≤g(x), x ∈(a,b]，∴|⎰21u u |f(x)|dx |=⎰21u u |f(x)|dx ≤⎰21u u g(x)dx ≤|⎰21u u g(x)dx|<ε，∴⎰ba |f(x )|dx 收敛.若⎰ba |f(x )|dx 发散，则存在ε0>0，对任何δ>0，当u 2,u 1∈(a,a+δ]时， 总有|⎰21u u |f(x)|dx |>ε0. 又|f(x)|≤g(x), x ∈(a,b]，∴|⎰21u u g(x)dx|≥⎰21u u g(x)dx ≥⎰21u u |f(x)|dx =|⎰21u u |f(x)|dx|>ε0.∴⎰ba g(x )dx 发散.推论1：若g(x)>0，且)x (g |)x (f |lima x +→=c ，则有：(1)当0<c<+∞时，⎰ba |f(x )|dx 与⎰ba g(x )dx 同敛态； (2)当c=0时，由⎰ba g(x )dx 收敛可推知⎰ba |f(x )|dx 也收敛； (3)当c=+∞时，由⎰ba g(x )dx 发散可推知⎰ba |f(x )|dx 也发散. 证：∵)x (g |)x (f |lim a x +→=c ，∴任给ε>0，存在δ>0，当x ∈(a,a+δ)时，有|)x (g |)x (f |-c|<ε，即有(c-ε)g(x)<|f(x)|<(c+ε)g(x).(1)由比较原则得⎰b a |f(x )|dx 与⎰ba g(x )dx 同敛态；(2)由|f(x)|<εg(x)知，若⎰ba g(x )dx 收敛，则⎰ba |f(x )|dx 也收敛； (3)∵)x (g |)x (f |lim∞x +→=+∞，∴任给M>0，存在σ>0，当x ∈(a,a+σ)时，就有 )x (g |)x (f |>M ，即|f(x)|>Mg(x)，∴当⎰b a g(x )dx 发散，⎰b a |f(x )|dx 也发散.推论2：设f 定义于(a,b]，a 为其瑕点，且在任何[u,b]⊂(a,b]上可积，则有：(1)当|f(x)|≤pa)-(x 1, 且0<p<1时，⎰b a |f(x )|dx 收敛； (2)当|f(x)|≥pa)-(x 1, 且p ≥1时，⎰b a |f(x )|dx 发散.推论3：设f 定义于(a,b]，a 为其瑕点，且在[u,b]⊂(a,b]上可积，且+→ax lim (x-a)p|f(x)|=λ.则有：(1)当0<p<1, 0≤λ<+∞时，⎰ba |f(x )|dx 收敛； (2)当p ≥1, 0<λ≤+∞时，⎰ba |f(x )|dx 发散.例1：判别下列瑕积分的收敛性： (1)⎰1xlnx dx ；(2)⎰21xln xdx. 解：(1)∵xlnx≤x 1, x ∈(0,1]，0<p=21<1，∴⎰10x lnx dx 绝对收敛.(2)当p=1时, λ=xln x1)-(x lim 1x ⋅+→=1，∴⎰21x ln x dx 发散.例2：讨论反常积分φ(a)=⎰+-+∞01a x1x dx 的收敛性. 解：记φ(a)=⎰+-+∞1a x 1x dx=⎰+-101a x 1x dx+⎰+-+∞11a x1x dx=I(a)+J(a). 当a ≥1时，I(a)是定积分；当a<1时，I(a)是瑕点为x=0的瑕积分.又当0<a<1时，|x 1x 1a +-|≤a -1x1, 0<p=1-a<1，∴I(a)收敛.当a ≤0时，p=1-a ≥1，λ=x1x xlim 1a a10x +⋅--→+=1，∴I(a)发散. 对J(a)有，λ=x1x x lim 1a a2x +⋅--+∞→=1； 当p=2-a>1，即a<1时，J(a)收敛；当a ≥1时，J(a)发散. 综上，由下表可知：反常积分φ(a)只有当0<a<1时才收敛.习题1、讨论下列瑕积分的收敛性： (1)⎰22)1-x (dx ；(2)⎰π023x sinx dx ；(3)⎰10xln x dx；(4)⎰-10x 1lnx dx ； (5)⎰103x -1arctanx dx ；(6)⎰2π0m x cosx -1dx ；(7)⎰10a x 1sin x1dx ；(8)⎰-∞+0x x ln e dx. 解：(1)令p=2>1, ∵λ=221x )1-x (dx1)-(x lim ⋅→=1， ∴⎰202)1-x (dx 发散.(2)令0<p=21<1, ∵λ=23x sinx x lim 210x ⋅+→=1， ∴⎰π023xsinx dx 收敛.(3)令⎰1xln x dx =⎰axln x dx +⎰1axln x dx =I+J, a ∈(0,1)对I ，令0<p=21<1，则λ=xln x dx x lim 210x ⋅+→=0，∴⎰a 0x ln x dx 收敛.对J ，令p=1, 则λ=xln x dx 1)-(x lim 1x ⋅-→=1，∴⎰1axln x dx 发散.∴⎰1xln x dx 发散.(4)令0<p=21<1，则λ=x 1lnx x )-(1lim 211x -⋅-→=0，∴⎰-10x1lnx dx 收敛.(5)令p=1，则λ=31x x-1arctanx x)-(1lim ⋅-→=12π，∴⎰103x -1arctanx dx 发散. (6)令p=m-2，则λ=m1-m 0x x cosx-1x lim ⋅+→=1， ∴当m ≤0时，原积分是定积分；当0<m<3时收敛；当m ≥3时发散.(7)⎰10a x 1sin x1dx =⎰+∞12-a sint t dt.当0≤a<1时，∵|t a-2sint|≤t a-2；又⎰+∞12-a t dt 收敛，∴原积分绝对收敛. 当1≤a<2时，t a-2单调减即+∞→t lim t a-2=0，又|⎰u1sint dt |≤2，∴积分收敛.且当t ∈[1,+∞)时，|t a-2sint|≥t t sin 2=2t 1-2tcos2t，其中⎰+∞12t1dt 发散，⎰+∞12t cos2t dt 收敛，∴原积分条件收敛.当a ≥2时，令p=1，∵λ=sint t t lim 2-a t ⋅+∞→=+∞，∴积分发散. (8)⎰-∞+0xx ln e dx=⎰-10xx ln e dx+⎰-∞+1x x ln e dx=I+J.对I ，令0<p=21<1，则λ=x ln e x lim x 210x -→⋅+=0，∴⎰-10x x ln e dx 收敛.对J ，令p=2>1，λ=x ln e x lim x20x -→⋅+=0，∴⎰-∞+1x x ln e dx 收敛.∴原积分收敛.2、计算下列瑕积分的值(其中n 为正整数)： (1)⎰10n)x (ln dx ；(2)⎰1n x-1x dx.解：(1)记I n =⎰10n )x (ln dx=x(lnx)n |10-⎰10x d(lnx)n =-n ⎰101-n )x (ln dx=-nI n-1. ∴I n =(-1)n-1n!I 1=(-1)nn!⎰10dx =(-1)n n!. (2)⎰10n x-1x dx=2⎰10n2)t -(1dt=2⎰+2π012n θcosdt=!)!1n 2(!!n)2(2+=!)!1n 2(!n 21n ++.3、证明瑕积分J=⎰2π0)x ln(sin dx 收敛，且J=-2πln2. (提示：利用⎰2π0)x ln(sin dx=⎰2π0)x ln(cos dx ，并将它们相加).证：∵lnxlnsinxlim 0x +→=1, 又⎰2π0x ln dx 收敛，∴J=⎰2π0)x ln(sin dx 收敛.又J=⎰2π0)x ln(sin dx=-⎰2π0x )]-2πln[sin(d x)-2π(=⎰2π0x)ln(cos dx. ∴2J=⎰2π0)x ln(sin dx+⎰2π0x)ln(cos dx=⎰⎪⎭⎫⎝⎛2π2x 2sin ln dx =⎰2π0)x 2ln(sin dx-⎰2π02ln dx=⎰π0)x ln(sin 21dx-2πln2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰2π0π2π)x ln(sin )x ln(sin 21dx-2πln2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰2π02π0dx )x ln(cos dx )x ln(sin 21-2πln2 =J-2πln2. ∴J=-2πln2.4、利用上题结果，证明： (1)⎰π)θln(sin θd θ=-2π2ln2； (2)⎰π0cos θ-1θsin θd θ=2πln2. 证：(1)令θ=π-φ，则J=⎰π0)θln(sin θd θ=⎰π0)]φ-πln[sin()φ-(πd(π-φ) =⎰π0)φln(sin )φ-(πd φ=π⎰π)φln(sin d φ-J.∴2J=π⎰π)φln(sin d φ=-π2ln2. ∴J=⎰π)θln(sin θd θ=-2π2ln2. (2)∵⎰2π0)θln(sin d θ=θln(sin θ)|2π0-⎰2π0θd(ln(sin θ))=-⎰2π0sin θθcosθd θ=-⎰2π0sin θθcosθd θ =-⎰2π02θsin θsin2θ21d θ=-⎰2π0cos2θ-1sin2θ 2θ41d2θ=-⎰π0cos θ-1sin θ θ41d θ=-2πln2. ∴⎰π0cos θ-1θsin θd θ=2πln2.。
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36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
§3瑕积分的性质与收敛判别
•ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。