§11.3 瑕积分的性质与收敛判别 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件
11.3瑕积分的性质与收敛判别法
§3 瑕积分的性质与收敛判别法
教学目标：掌握瑕积分的性质与收敛判别准则．
教学内容：瑕积分的收敛；条件收敛；绝对收敛；比较判别法；柯西判别法；狄利克雷判别法；阿贝尔判别法．
(1) 基本要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义，会用柯西判别法判别瑕积分的敛散性．
(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．
教学建议：
(1) 本节的重点是掌握判别瑕积分收敛的方法，要求学生主要学会用柯西判别法判别瑕积分的敛散性．
(2) 本节的难点是用狄利克雷判别法或阿贝尔判别法判别瑕积分的敛散性，对较好学生布置这方面的习题．
教学过程：
一、瑕积分与无穷积分的比较
瑕积分与无穷积分有平行的理论和结果 .
例1、证明瑕积分当时收敛.
证：, 该积分当时收敛.
二、瑕积分判敛法
定理( 比较原则 ) [1]P329 Th10-23.
推论1 ( Cauchy判别法 ) [1]P329 推论1.
推论2 ( Cauchy判别法的极限形式 ) [1]P330 推论2.
例2、判别下列瑕积分的敛散性 :
⑴( 注意被积函数非
正 ). ⑵. [1]P330 E12
例3、讨论非正常积分的敛散性.
三、C—R积分与R积分的差异
1. R, 在上; 但在区间
上可积 ,
在区间上有界 . 例如函数
2. R,||R,但反之不确. R积分是绝对型积分.
||在区间上可积 , 在区间上可积 , 但反之不确. C—R积分是非绝对型积分.
3. ,R, R;
但和在区间上可积 , 在区间
上可积. 可见, 在区
间上可积 , 在区间上可积.
作业： P279：1，2，3，4.。
瑕积分的性质与收敛判别
§3 瑕积分的性质与收敛判别教学目的：掌握瑕点,瑕积分的概念,会运用瑕积分的收敛判别法。
重点难点：重点与难点为瑕积分的收敛判别方法及其与无穷积分收敛判别法的区别。
教学方法：讲练结合。
教学内容：例1 圆柱形桶的内壁高为h ，内半径为R ，桶底有一半径为r 的小孔．试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间?从物理学知道，在不计摩擦力的情形下，当桶内水位高度为(x h -)时，水从孔中流出的流速(单位时间内流过单位截面积的流量)为 ,)(2x h g v -=其中g 为重力加速度．设在很小一段时间dc 内，桶中液面降低的微小量为dx ，它们之间应满足 dt r v dx R 22ππ=， 由此则有].,0[,)(222h x dx x h g rR dt ∈-=所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”： dx x h g rR t hf ⎰-=022)(2．但是在这里因为被积函数是[h ,0)上的无界函数，所以它的确切含义应该是.)(2)(2lim )(2lim 22222rR g h u h h rR g dxx h g rR t hu uhu f =--⋅=-=--→→⎰ 一、瑕积分的定义定义2 f 定义在区间(],b a 上，在点a 的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间),(],[b a b u ⊂上有界且可积．如果存在极限J dx x f bu au =⎰+→)(lim ，则称此极限为无界函数f 在(],b a 上的反常积分，记作⎰=ba dx x f J ,)(并称反常积分dx x f b a ⎰)(收敛．如果极限J dx x f bu au =⎰+→)(lim 不存在，这时也说反常积分⎰ba dx x f )(发散．在定义2中，被积函数f 在点a 近旁是无界的，这时点a 称为f 的瑕点，而无界函数反常积分⎰ba dx x f )(又称为瑕积分．类似地，可定义瑕点为b 时的瑕积分：.)(lim )(⎰⎰-→=uabu badx x f dx x f 其中f 在),[b a 有定义，在点b 的任一左邻域内无界，但在任何),[],[b a u a ⊂上可积.若f 的瑕点),(b a c ∈，则定义瑕积分 ⎰⎰⎰⎰⎰+-→→+=+=bvcv u acu b ac ab adx x f dx x f dx x f dx x f dx x f .)(lim )(lim )()()(其中f 在],(),[b c c a ⋃上有定义，在点c 的任一邻域内无界，但在任何[u a ,]),[c a ⊂和⊂],[b v [b c ,)上都可积．当且仅当右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的．又若a 、b 两点都是f 的瑕点，而f 在任何),(],[b a v u ⊂上可积，这时定义瑕积分⎰⎰⎰⎰⎰-+→→+=+=vcbv cuau cabcbadx x f dx x f dx x f dx x f dx x f ,)(lim )(lim )()()(其中c 为(b a ,)内任一实数．当且仅当(7)式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的．例1 瑕积分⎰-121xdx 的值解： 被积函数211)(xx f -=在)1,0[上连续，从而在任何)1,0[],0[⊂u 上可积，1=x 为其瑕点．依定义2求得.2arcsin lim 1lim 112112π==-=---→→⎰⎰u xdx xdx u uu例2 讨论瑕积分)0(1>⎰q xdxq 的收敛性． 解： 被积函数在(1,0)上连续，0=x 为其瑕点．由于),10({1),1(111,ln 11<<=≠--=--⎰u x dx q u q q u uqq故当0<q <1时，瑕积分(8)收敛，且;11lim 101q xdx x dx u q u q -==⎰⎰+→而当q ≥1时，瑕积分(8)发散于∞+．注：当0<q <1时，瑕积分q a b a x dx qbaq--=--⎰1)()(1收敛，且而当q ≥1时，瑕积分⎰-baqa x dx)(发散于∞+.例3 讨论瑕积分21ln dxx x⎰的收敛性．解：1x =是瑕点，有 22112lim lim ln ln()1ln ln o o dx dx x x x x xηηηη+++→→===+∞+⎰⎰ 则发散例4讨论瑕积分8-⎰的收敛性 0x =是瑕点，有8080200312883033lim lim (1)223lim lim (4)62o o o o ηηηηηηηη++++-----→→→→=+==-=-==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 则收敛 二、瑕积分的性质类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性质，瑕积分同样可由函数极限dx x f dx x f babuau ⎰⎰=+→)()(lim 的原意写出相应的命题．定理11．5 瑕积分⎰badx x f )( (瑕点为a )收敛的充要条件是：任给0>ε，存在0>δ，只要1u 、),(2δ+∈a a u ，总有.)()()(2121ε<=-⎰⎰⎰u u bu b u dx x f dx x f dx x f性质 1 设函数1f 与2f 的瑕点同为1,k a x =、2k 为常数，则当瑕积分dx x f ba )(1⎰与⎰b adx x f )(2都收敛时，瑕积分dx x f k x f k ba⎰+)]()([2211必定收敛，并有⎰⎰⎰+=+bab abadx x f k dx x f k dx x f k x f k )()()]()([22112211性质 2 设函数f 的瑕点为a x =，f 在],(b a 的任一内闭区间],[b u 上可积．则当⎰badx x f )(收敛时⎰badx x f )(也必定收敛，并有⎰⎰≤babadx x f dx x f )()(．性质3 设函数f 的瑕点为),(,b a c a x ∈=为任一常数．则瑕积分⎰b adx x f )(与⎰cadx x f )(同敛态，并有⎰⎰⎰+=bccabadx x f dx x f dx x f )()()(, 其中⎰bcdx x f )(为定积分．类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性质，瑕积分同样可由函数极限dx x f dx x f bab uau ⎰⎰=+→)()(lim 的原意写出相应的命题．定理11．5 瑕积分⎰badx x f )( (瑕点为a )收敛的充要条件是：任给0>ε，存在0>δ，只要1u 、),(2δ+∈a a u ，总有.)()()(2121ε<=-⎰⎰⎰u u bu bu dx x f dx x f dx x f性质 1 设函数1f 与2f 的瑕点同为1,k a x =、2k 为常数，则当瑕积分dx x f ba)(1⎰与⎰badx x f )(2都收敛时，瑕积分dx x f k x f k ba⎰+)]()([2211必定收敛，并有⎰⎰⎰+=+bab abadx x f k dx x f k dx x f k x f k )()()]()([22112211。
11-2——华东师范大学数学分析课件PPT
f ( x) dx 收敛，则 f ( x) dx 也收敛，并 有
a
a
a f ( x) dx a f ( x) dx.
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
§2 无穷积分的性质与收敛判别
无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
一般函数无穷积分的 收敛判别法
非负函数无穷积分的收敛判别法
u1
u1
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
§2 无穷积分的性质与收敛判别
无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
又因为 f ( x) 2 f ( x)dx u2 h( x)dx u2 g( x)dx ,
u1
证 设F(u)
u
f ( x)dx,
u [a, ),
则
f ( x)dx
a
a
收敛的充要条件是存在极限 lim F(u). 由函数
u
极限的柯西准则,此等价于
0, G a, u1, u2 G,
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
F (u1) F (u2 ) ,
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无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
一般函数无穷积分的 收敛判别法
定理11.1（无穷积分收敛的柯西准则）
无穷积分
f ( x)dx
收敛的充要条件是:
a
0, G a, 当 u1, u2 G 时,
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
高等教育出版社
§2 无穷积分的性质与收敛判别
无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第11章-反常积分可编辑全文
(i) 若 0 c ，则 f ( x)dx与 g( x)dx 收敛性相同;
a
a
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(ii) 若c 0, 则由 g( x)dx收敛可得 f ( x)dx收敛;
a
a
(iii) 若c , 则由 g( x)dx 发散可得 f ( x)dx 发散.
a
a
证 (i) 由 lim f ( x) c 0, 故存在 G a,使 x G,有
u a
则称此极限 J 为函数 f 在 a , 上的无穷限反
常积分(简称无穷积分),记作
J a f (x)dx,
并称 f ( x)dx 收敛, 否则称 f ( x)dx 发散.
a
a
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类似定义
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx,
u u
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx.
t e pt dt
0
p 0 的收敛性.
解
t e ptdt
t e pt p
1 p2
e
pt
C,
因此
t e ptdt 0
t e pt p
1 p2
e
pt
0
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1 1
(0 0) 0
p2
p2 .
例3
讨论瑕积分
1 dx
0 xq
q 0 的收敛性.
解
1 dx
u xq
显然
5
1 x6 1
1 x6 5
. 由于
dx 收敛,因此 1 x6 5
dx 收敛. 1 5 x6 1
例3 设 f (x), g(x) 是 [a,) 上的非负连续函数. 证
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第11章-反常积分(1)可编辑全文
1
1
q
1 u1q
ln u,
,q1 q 1,
故当 0 q 1时,
1 dx 0 xq
lim
u0
1 dx u xq
1; 1q
当 1 q 时,
1 0
dx xq
发散.
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同样, 若 f (x) 的原函数为 F (x), 瑕积分的牛顿-莱
布尼茨公式写作
b a
f
(x)
dx
0, G a, u1 ,u2 G, F (u1) F (u2 ) ,
即
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
u1
根据反常积分定义,容易导出以下性质1 和性质2.
性质1 若
a
f1
(
x
)
dx
与
a f2( x)dx
都收敛 ,
k1 ,
当 u1, u2 G 时,
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
u1
证 设 F(u)
u f ( x)dx , u [a , ), 则
f ( x)dx
a
a
收敛的充要条件是存在极限 lim F (u) .由函数 u
极限的柯西准则,此等价于
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a
a
u1
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从而 F (u) 是单调递增的 (u [a,)). 由单调递 增函数的收敛判别准则, lim F (u) 存在的充要条
u
件是 F (u) 在 [a, ) 上有界,即 M 0, 使
u [a,), 有
u
瑕积分
+∞
a
∫
+∞
a
f ( x )dx(或) ∫ f ( x )dx自然也收敛； 自然也收敛；
b a
当判得
∫
+∞
a
| f ( x ) |dx (或)
∫
b
a
| f ( x ) |dx 发散时， 发散时，
还需依赖其它方法（如狄利克雷判别法阿贝尔（ 还需依赖其它方法（如狄利克雷判别法阿贝尔（Abel） ） 判别别法. 或者直接使用收敛定义或柯西收敛准则） 判别别法. 或者直接使用收敛定义或柯西收敛准则）来判别
b a
结合例题及习题总结对无穷积分(或瑕积分) 结合例题及习题总结对无穷积分(或瑕积分)收敛判 别的一般步骤： 别的一般步骤 首先用比较法则及其推论来判别是否绝对收敛, 首先用比较法则及其推论来判别是否绝对收敛, 收敛时, 当判得 ∫ | f ( x ) |dx(或) ∫a | f ( x ) |dx 收敛时,
ln x
3 此瑕积分的瑕点为x=0.由上述推论3 当取p= =0.由上述推论 1）此瑕积分的瑕点为 =0.由上述推论3，当取 = ＜1时，有 4
λ = limx
x →0
+
3 4
⋅
ln x x
= −lim
x → 0+
ln x x
− 1 4
＝
1 lim 4 x 4 x → 0+
＝0
x
+ +
x −1
推知该瑕积分发散. 推知该瑕积分发散.
最后举一个既是无穷积分又是瑕积分的例子. 最后举一个既是无穷积分又是瑕积分的例子. 例2 讨论反常积分
Φ (α ) = ∫
瑕积分的性质与收敛判别17页PPT
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
瑕积分的性质与收敛判别
21、没有人你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
11_3瑕积分的性质与收敛判别
为 任 意 常 数 , 若 f ( x ) d xf 和 ( x ) d x 都 收 敛 , 则 1 2
( k f ( x ) k fx ( ) ) d x 也 收 敛 , 且 k f( x ) k f( x ) ) d x ( k ( ) d xk fx ( ) d x . fx
fx ( ) d x , l i m( fx ) d x 0
a
a u a
b
u
f (x)d x 证明: 由 柯 西 收 敛 准 则 , a
b
0 , 0 ,, A A ( a , a ) ,
有 : f (x )d x .
A A
u
: f (xd ) x 上 式 中 , 令 A a ,有 a
A
即 l i m f( xd ) x 0 .
u a a
//
推 论 3 : 设 a 为 瑕 点 , 则
b b a a
( ) d x ( ) d x fx fx 证明:由 柯 西 收 敛 准 则 , f (x) dx 0 , 0 , A , A ( a , a ) , 有 : f ( x ) d x x d x xd x , f() f() x / / 再 由 柯 西 收 敛 准 则 知 , f (x)d
即 x . f (x)d
a
b
x a b
x a x
//
由定理11.8，对于非负函数的瑕积分有以下 比较收敛原理． 定理11.9 (比较法则)
设 定 义 在 ( a , b ] 上 的 两 个 非 负 函 数 f 与 g , 瑕 点 同
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定理11.5（瑕积分收敛的柯西准则）
2
1
2
1
()d ()d ()d .
b
b
u u u u f x x f x x f x x ε-=
<⎰
⎰⎰
()d ()b
a
f x x a ⎰瑕积分瑕点为收敛的充要条件是
120,0,,(,)u u a a εδδ>>∈+任给存在当时，
后退前进目录退出
性质2
,(,),f x a c a b =∈设函数的瑕点若则()d ()d ,b c a
a
f x x f x x ⎰⎰
与同时收敛或同时发散且()d ()d ()d .
b
c b
a
a
c
f x x f x x f x x =+⎰
⎰⎰性质1
1212,,f f x a k k =设函数与的瑕点同为为任意
1122(()())d ,b
a
k f x k f x x +⎰
也收敛且
1122(()())d b
a
k f x k f x x +⎰
1122()d ()d .
b
b
a
a
k f x x k f x x =+⎰⎰常数，12()d ()d b b
a a
f x x f x x ⎰⎰若和都收敛，则
性质3
引理（非负函数瑕积分的判别法）
,(,]f x a f a b =设函数的瑕点为在的任一闭区
[,](),u b u a >间上可积()d ,()d ()d .
b
b b
a
a
a
f x x f x x f x x ≤⎰
⎰⎰也收敛且(,](),a b f x 若定义在上的非负函数在任意闭区间
[,](),u b u a 上可积>(,],
()d .
b
u
M u a b f x x M ∈<⎰
是:存在，对任意()d ,
b
a
f x x ⎰则收敛时()d b
a f x x 则收敛的充要条件
⎰
定理11.6（比较法则）
(,],a b f g 设定义在上的两个非负函数与瑕点同,[,](,]x a u b a b =⊂为在任何上都可积,()(),(,].
f x
g x x a b ≤∈()d ,()d ;
b b
a a
g x x f x x ⎰⎰则当收敛时必定收敛()d ,()d .
b b
a
a
f x x
g x x ⎰
⎰发散时必定发散且满足
当
()d ,()d .
b
a
a
f x x f x x +∞
⎰⎰
绝敛时称对收敛收而称收敛但不绝对收敛的条瑕积分为件收敛.
推论1
[,]()f g u b a u b <<若非负函数和在任何上可积，
()
lim ,()
x a f x c g x +→=且则(i)0()d ()d ;b
b
a
a
c f x x g x x <<+∞⎰⎰
时，与收敛性相同(ii)0()d ()d ;b b
a
a
c g x x f x x =⎰⎰
时，收敛可推得收敛=+∞⎰⎰
(iii)()d ()d .b b
a
a
c g x x f x x 时，发散可推得发散
推论2
[,](,]u b a b ⊂上可积.则有
1
(i)(),01,()d ()
b p a f x p f x x x a ≤<<-⎰当时收敛;1(ii)(),1,()d .()
b p a f x p f x x x a ≥≥-⎰当时发散(,],,f a b a 设非负函数定义在上为瑕点且在任何
推论3
(,],,f a b a 设非负函数定义于为瑕点且在任何
[,](,]lim()(),p
x a
u b a b x a f x λ+
→⊂-=上可积.若(i)01,0()d b
a
p f x x λ<<≤<+∞⎰
当时，收敛;(ii)1,0()d .b
a
p f x x λ≥<≤+∞⎰
当时，发散可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性.
x x sin ~利用x tan ~x arcsin ~x
arctan ~()x +1ln ~),
0(1e ~→-x x
则
例12
3
13
sin d .
1ln x x x x
-⎰
判别瑕积分的收敛性1,x =解瑕点为33
sin 1ln 1x x x -由于213
3sin sin1
0(1),(1)3
x x x x →≠→++而()()()()111~11ln 113
131---+-x x x x ()
,11
34-=x 2
243
3
3
1
1
d sin d .
(1)
1ln x
x x x x x
--⎰
⎰
因此由
发散知发散13213sin .(1)(1)ln(11)x
x x x x =-+++-
例21
ln d .x
x x
⎰
判别瑕积分的收敛性1
ln 3d x
x x
⎰
因此由推论知收敛,解是瑕点，0=x ()ln 0(0,1].x x -≥∈由于
x x x
x x
x x ln lim ln lim 4
104
30+
+
→→-=,0=1
ln d .
x x x
⎰
即绝对收敛
1
0()d 1a x a x x Φ-+∞=+⎰的收敛性.11101()d d 11a a x x a x x x x
Φ--+∞=+++⎰⎰讨论反常积分
例3()a Φ把反常积分写成
解()().
I a J a =+(i)().I a 先讨论时即当1,01≥≥-a a 它是定积分；110lim 1,1a a x x x x
+--→⋅=+时它是瑕积分，当1<a 0.x =瑕点为由于
11.9因此由定理的推论3,,()I a 时发散.
(ii)(),J a 再讨论它是无穷积分.由于
0()a I a 时，瑕积分收敛；>011≤≥-=a a p ，即当x x a x x x a a x +=+⋅+∞→--+∞→1lim 1lim 1
2,1=011,p a <=-<当即1133.因此由定理的推论，21,1p a a =-><当即1()J a λ=且时，收敛；且即而当1,12≥≤-=a a p 1,().J a λ=时发散综上所述，总结如下：
a
a ≤00<a <1 a ≥1I (a )
发散收敛定积分J (a )收敛
收敛发散Φ(a )
发散收敛发散()01.
a a Φ<<所以,只有当时才是收敛的
复习思考题
1.试给出瑕积分的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法.
()[,).2.f x a b b 设为上的连续函数,为瑕点试问当2
()d ,()d ?b
b a a f x x f x x ⎰⎰收敛时是否收敛反之是?
否成立。