课时跟踪检测(二十) 三角函数的图象与性质
高考数学复习课时跟踪检测-三角函数的图象与性质含解析
课时跟踪检测（二十二） 三角函数的图象与性质[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(河北枣强中学二模)下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上为减函数的是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝2|cos x |C ．y ＝cos x2D ．y ＝tan(－x )解析：选D A 选项,函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π上单调递增,故排除A ；B 选项,函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增,故排除B ；C 选项,函数的周期是4π,故排除C 。
故选D 。
2．关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3,下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C 。
⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心D ．最小正周期为π解析：选C 函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数,A 错；函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增,B 错；最小正周期为π2,D 错；由2x －π3＝k π2,k ∈Z,得x ＝k π4＋π6,k ∈Z 。
当k ＝0时,x ＝π6,所以它的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．3．(广西五市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值为1,则ω＝( )A 。
14 B 。
13 C 。
12D 。
32解析：选C 因为0<ω<1,0≤x ≤π3,所以0≤ωx <π3,所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增,则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ωπ3＝1,即sin ωπ3＝12。
又0≤ωx <π3,所以ωπ3＝π6,解得ω＝12,选C 。
4．(冀州四校联考)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数,若f (x )的最小正周期是π,且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时,f (x )＝sin x ,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为( )A ．－12B 。
高考数学二轮复习课时跟踪检测二三角函数的图象与性质小题练理79
课时跟踪检测（二） 三角函数的图象与性质 （小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π4 解析：选A 由题图可知， 函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8×4＝π，所以ω＝2，即f (x )＝sin(2x ＋φ)．又函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫π8，1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4，即函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故选A.2．(2018·重庆模拟)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0B.⎝⎛⎭⎪⎫π2，0C.⎝⎛⎭⎪⎫π4，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0 解析：选C 令x －π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π4，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，故选C. 3．(2018·宝鸡质检)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )解析：选B 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B. 4．(2018·福州模拟)将函数y ＝2sin x ＋cos x 的图象向右平移12个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝sin x －2cos xB ．y ＝2sin x －cos xC ．y ＝－sin x ＋2cos xD ．y ＝－2sin x －cos x解析：选D 因为y ＝2sin x ＋cos x ＝5sin(x ＋θ)，其中θ满足cos θ＝25，sinθ＝15，所以函数y ＝2sin x ＋cos x 的周期为2π，所以12个周期为π.于是由题设知平移后所得图象对应的函数为y ＝2sin(x －π)＋cos(x －π)＝－2sin x －cos x ．故选D.5．(2018·郑州模拟)若将函数f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的每一个点都向左平移π3个单位长度，得到g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－2π3，k π－π6(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析：选A 将函数f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的每一个点都向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3＝12sin ()2x ＋π＝－12sin 2x 的图象，令π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π(k ∈Z )，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π(k ∈Z )，因此函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )，故选A.6．(2018·唐山模拟)把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度后，所得函数图象的一条对称轴的方程为( )A ．x ＝0B ．x ＝π2C ．x ＝π6D ．x ＝－π12解析：选 C 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度后得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝π6＋k π2(k ∈Z )，令k ＝0，则x ＝π6，选C.7．(2018·成都模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x 在x ＝θ时取得最大值，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝( ) A ．－2＋64B ．－12C.2－64D.32解析：选C ∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，又f (x )在x ＝θ时取得最大值，∴θ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即θ＝π6＋2k π(k ∈Z )，于是cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＋4k π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝12×22－32×22＝2－64，故选C.8．(2019届高三·福州四校联考)函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数y ＝g (x )的图象，并且函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则实数ω的值为( )A.74B.32 C ．2D.54解析：选C 因为将函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数y ＝g (x )的图象，所以g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π12，又函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ωπ4＝1且2πω≥π3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ω＝8k ＋2k ∈Z ，0<ω≤6，所以ω＝2，故选C.9．(2018·合肥一模)将函数y ＝cos x －sin x 的图象先向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到y ＝cos 2x ＋sin 2x 的图象，则φ，a 的可能取值为( )A ．φ＝π2，a ＝2B ．φ＝3π8，a ＝2C ．φ＝3π8，a ＝12D ．φ＝π2，a ＝12解析：选D 将函数y ＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，可得y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－φ的图象，再将函数图象上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋π4－φ的图象，又y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋π4－φ＝cos 2x ＋sin 2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，∴1a ＝2，π4－φ＝－π4＋2k π(k ∈Z )，∴a ＝12，φ＝π2＋2k π(k ∈N )，又φ>0，结合选项知选D.10．(2018·开封模拟)若存在正整数ω和实数φ使得函数f (x )＝sin 2(ωx ＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由f (x )＝sin 2(ωx ＋φ)＝ (1－cos 2ωx ＋2φ)2及其图象知，12<12×2π2ω<1，即π2<ω<π，所以正整数ω＝2或 3.由函数f (x )的图象经过点(1,0)，得f (1)＝ (1－cos 2ωx ＋2φ)2＝0，得2ω＋2φ＝2k π(k ∈Z )，即2φ＝2k π－2ω(k ∈Z )．由图象知f (0)>12，即1－cos 2φ2＝1－cos 2ω2>12，得cos 2ω<0，所以ω＝2，故选B.11．(2018·沈阳模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，以下命题中为假命题的是( )A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称B ．x ＝－π6是函数f (x )的一个零点C ．函数f (x )的图象可由g (x )＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到D．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上是增函数 解析：选C 令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π12，即函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，选项A 正确；令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π6，即x ＝－π6是函数f (x )的一个零点，选项B 正确；2x ＋π3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，故函数f (x )的图象可由g (x )＝sin2x 的图象向左平移π6个单位长度得到，选项C 错误；若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，则2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上是增函数，选项D 正确．故选C.12．(2018·江苏南京模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)，若f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2且f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有三个零点，则ω＝( )A.23 B ．2 C.263D.143或6 解析：选D f (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12， 令ωx 1－π6＝0得，x 1＝π6ω，而π6ωT ＝π6ω2πω＝112，故x 1＝T12.又f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2， 如图，若f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有3个零点，则π2＝T ＋T 12×2或π2＝3T 2，即T ＝3π7或T ＝π3，则ω＝143或6，故选D.二、填空题13．(2018·广州模拟)函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1(x ∈R )的最大值为________．解析：∵f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝23sin x cos x＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f (x )max ＝2.答案：214．(2018·北京东城质检)函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最小值为________．解析： 由函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.当2x －π6＝5π6时，函数f (x )取得最小值为1.答案：115．(2018·武汉调研)若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，则φ＝________.解析：因为函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，故它们的最小正周期相同，即2πω＝2π2，所以ω＝2，故函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π8，k ∈Z ，故函数f (x )的图象的对称轴为x ＝k π2＋π8，k ∈Z .令2x ＋φ＝m π，m ∈Z ，则x ＝m π2－φ2，m ∈Z ，故函数g (x )的图象的对称轴为x ＝m π2－φ2，m ∈Z ，故k π2＋π8－m π2＋φ2＝n π2，m ，n ，k ∈Z ，即φ＝(m ＋n －k )π－π4，m ，n ，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝－π4.答案：－π416．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)．若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则函数f (x )的最小正周期为________． 解析：法一：∵f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴x ＝π2和x ＝2π3均不是f (x )的极值点，其极值应该在x ＝π2＋2π32＝7π12处取得，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴x＝π6也不是函数f (x )的极值点，又f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴x ＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π2＝π12为f (x )的另一个相邻的极值点，故函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π.法二：由已知可画出草图，如图所示，则T 4＝π2＋2π32－π2＋π62，解得T ＝π.答案：πB 级——难度小题强化练1．(2018·宜昌模拟)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于原点对称，则角θ＝( )A ．－π6B.π6 C ．－π3D.π3解析：选 D ∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，且f (x )的图象关于原点对称，∴f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，∴θ－π3＝k π(k ∈Z )，即θ＝π3＋k π(k ∈Z )，又|θ|<π2，∴θ＝π3.2．(2018·洛阳模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于y 轴对称，则θ的最小值为( )A.π9B.π3C.5π18D.2π3解析：选C f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，将其图象上所有点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)，得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3的图象，再将得到的图象上所有的点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －θ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3－3θ的图象．由y＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3－3θ的图象关于y 轴对称得π3－3θ＝π2＋k π，k ∈Z ，即θ＝－6k ＋118π，k ∈Z ，又θ>0，故当k ＝－1时，θ取得最小值5π18，故选C. 3．(2018·洛阳尖子生统考)已知函数f (x )＝sin(sin x )＋cos(sin x )，x ∈R ，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )是周期函数且最小正周期为πB ．函数f (x )是奇函数C ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为[1，2]D ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是增函数 解析：选C f (x )＝sin(sin x )＋cos(sin x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋π4，因为f (π＋x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sinx ＋π＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin x ＋π4≠f (x )，所以π不是函数f (x )的最小正周期，故A 错误；f (－x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin －x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin x ＋π4≠－f (x )，故B 错误；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin x ∈[0,1]，sin x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π4＋1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋π4∈[1，2]，故C 正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，sin x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＋π4，1＋π4，而π2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＋π4，1＋π4，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上不是单调函数，故D 错误．4．(2018·武汉调研)函数f (x )＝A cos ()ωx ＋φ(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：①f (x )的最大值为A ；②f (x )的最小正周期为2；③f (x )图象的一条对称轴为直线x ＝－12；④f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 上是减函数． 则正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 若A >0，则最大值是A ，若A <0，则最大值是－A ，故①不正确；由题图可知，函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，故②正确；因为函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋54＋kT 2＝34＋k (k ∈Z )，而34＋k ＝－12无整数解，故直线x ＝－12不是函数f (x )图象的对称轴，故③不正确；由图可知，当14－T4＋kT ≤x ≤14＋T 4＋kT (k ∈Z )，即2k －14≤x ≤2k ＋34(k ∈Z )时，f (x )是减函数，故④正确．故选B.5．(2018·山东淄博质检)若函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1，则实数a 的值为________．解析：y ＝1－cos 2x ＋a cos x ＋58a －32＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －a 22＋a 24＋58a －12.∵0≤x ≤π2，∴0≤cosx ≤1.①若a 2>1，即a >2，则当cos x ＝1时，y max ＝a ＋58a －32＝1⇒a ＝2013<2(舍去)；②若0≤a 2≤1，即0≤a ≤2，则当cos x ＝a 2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1，∴a ＝32或a ＝－4<0(舍去)；③若a 2<0，即a <0，则当cos x ＝0时，y max ＝58a －12＝1⇒a ＝125>0(舍去)．答案：326．已知函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≠0，ω>0，|φ|≤π2，直线y ＝a 与f (x )的图象的相邻两个交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题：①该函数在[2,4]上的值域是[a ，2a ]；②在[2,4]上，当且仅当x ＝3时函数取得最大值； ③该函数的最小正周期可以是83；④f (x )的图象可能过原点．其中是真命题的为________(写出序号即可)．解析：对于①，∵直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个交点的横坐标分别为2和4，∴结合图象可以看出，当a >0时，f (x )在[2,4]上的值域为[a ，2a ]，当a <0时，f (x )在[2,4]上的值域为[2a ，a ]，①错误；对于②，根据三角函数图象的对称性，显然x ＝2和x ＝4的中点是x ＝3，即当a >0时，f (x )在x ＝3处有最大值f (3)＝2a ，当a <0时，f (x )在x ＝3处有最小值f (3)＝2a ，②错误；对于③，∵函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的最小正周期T ＝2ππω＝2ω，当ω＝34时，T＝83>4－2＝2，因此f (x )的最小正周期可以是83，③正确； 对于④，f (0)＝2a sin φ，令f (0)＝0，得φ＝0，此时f (x )＝2a sin πωx ，由2a sin πωx ＝a 得sin πωx ＝22， 则πωx ＝2k π＋π4(k ∈Z )或πωx ＝2k π＋3π4(k ∈Z )，∴x ＝2k ＋14ω(k ∈Z )或x ＝2k ＋34ω(k ∈Z )，∵直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个交点的横坐标分别为2和4，∴令⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋14ω＝2，2k ＋34ω＝4，解得k ＝18∉Z ，即不存在这样的k 符合题意，④错误．综上，只有③正确．答案：③。
课时跟踪检测(二十) 三角函数图象与性质
课时跟踪检测(二十) 三角函数图象与性质1．函数y ＝ cos x －12的定义域为( )A.⎣⎡⎦⎤－π3，π3 B.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π3，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z D ．R2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的选项是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数3．(2021·广州综合测试)假如函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的两个相邻零点之间的间隔 为π12，那么ω的值为( ) A ．3 B ．6 C ．12D ．244．(2021·山东高考)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1D ．－1－ 35．函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，假设f ⎝⎛⎭⎫π8＝－2，那么f (x )的一个单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π8，3π8 B.⎣⎡⎦⎤π8，9π8 C.⎣⎡⎦⎤－3π8，π8 D.⎣⎡⎦⎤π8，5π86．函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，那么ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C ．2D ．37．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调减区间为________．8．(2021·广州联考)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，假设f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，那么f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为________． 9．假如函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．10．设f (x )＝1－2sin x . (1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值． 11．(2021·佛山期中)函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π2上的最大值和最小值． 12．(2021·北京高考)函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间．1．(2021·新课标全国卷)ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减，那么ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]2．函数y ＝f (cos x )的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )，那么函数y ＝f (x )的定义域为________．3．(2021·中山调研)a >0，函数f (x )＝－2a sin ( 2x ＋⎭⎫π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 答 案 课时跟踪检测(二十)A 级1．选C ∵cos x －12≥0，得cos x ≥12，∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z .2．选D ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x ，∴T ＝2π，在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，图象关于y 轴对称，为偶函数．3．选C 由正弦函数的性质可知，两个相邻零点之间的间隔 为周期的一半，即该函数的周期T ＝2×π12＝π6，故T ＝2πω＝π6，解得ω＝12.4．选A 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.5．选C 由f ⎝⎛⎭⎫π8＝－2，得f ⎝⎛⎭⎫π8＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋φ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－2，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .6．选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，那么ωx ∈⎣⎡⎦⎤－π3ω，π4ω，要使函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3，π4上获得最小值－2，那么－π3ω≤－π2或π4ω≥3π2，得ω≥32，故ω的最小值为32.7．解析：由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )， 故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 8．解析：f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. 答案：329．解析：∵y ＝cos x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )， ∴由2×4π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π－13π6(k ∈Z )．∴当k ＝2时，|φ|min ＝π6.答案：π610．解：(1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图象知：定义域为x ⎪⎪2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π6，k ∈Z .(2)∵－1≤sin x ≤1， ∴－1≤1－2sin x ≤3，∵1－2sin x ≥0，∴0≤1－2sin x ≤3，∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )获得最大值．11．解：(1)∵f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin 2x ， ∴函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵－π6≤x ≤π2，∴－π3≤2x ≤π，那么－32≤sin 2x ≤1.所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π2上的最大值为1，最小值为－32. 12．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝⎛⎦⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )．B 级1．选A 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的图象可看作是由函数f (x )＝sin x 的图象先向左平移π4个单位得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的1ω倍，纵坐标不变得到的，而函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的减区间是⎣⎡⎦⎤π4，5π4，所以要使函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数，需满足⎩⎨⎧π4×1ω≤π2，5π4×1ω≥π，解得12≤ω≤54.2．解析：由2k π－π6≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，得－12≤cos x ≤1.故所求函数的定义域为⎣⎡⎦⎤－12，1. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，1 3．解：(1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5， ∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6， k ∈Z又∵当2k π＋π2<2x ＋π6 <2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
高考数学一轮复习课后限时集训20三角函数的图像与性质理含解析北师大版
9．(20xx·合肥质检)已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)图像的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在 上的单调性．
[解](1)∵f(x)＝sinωx－cosωx＝ sin ，且T＝π，∴ω＝2.于是f(x)＝ sin .令2x－ ＝kπ＋ (k∈Z)，得x＝ ＋ (k∈Z)，故函数f(x)的对称轴方程为x＝ ＋ (k∈Z)．
(2)令2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ (k∈Z)，得函数f(x)的递增区间为 (k∈Z)．注意到x∈ ，令k＝0，得函数f(x)在 上的递增区间为 ；递减区间为 .
10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) 的最小正周期为π.
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；
(2)若f(x)的图像过点 ，求f(x)的递增区间．
(2)∵0≤x≤π，∴ ≤x＋ ≤ ，
∴－ ≤sin ≤1，依题意知a≠0.
①当a＞0时，
∴a＝3 －3，b＝5.
②当a＜0时，
∴a＝3－3 ，b＝8.
综上所述，a＝3 －3，b＝5或a＝3－3 ，b＝8.
[由于f(x)≤f 对任意的实数x都成立，所以f(x)max＝f ＝cos ＝1，
∴ ω－ ＝2kπ，k∈Z.
∴ω＝8k＋ ，k∈Z.
又ω＞0，∴当k＝0时，ωmin＝ .]
8．函数f(x)＝cosxsin － cos2x＋ 在闭区间 上的最小值是________．
－ [f(x)＝cosx － cos2x＋ ＝ sin 2x－ (2cos2x－1)＝ sin 2x－ cos 2x＝ sin ，当x∈ 时，2x－ ∈ ，则当2x－ ＝－ ，即x＝－ 时，函数f(x)取得最小值－ .]
课时作业20：§4.4 三角函数的图象与性质
§4.4 三角函数的图象与性质1.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠π4 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π4 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π4(k ∈Z ) D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋3π4(k ∈Z ) 答案 D解析 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－tan ⎝⎛⎭⎫x －π4，由x －π4≠π2＋k π(k ∈Z )，得x ≠k π＋3π4(k ∈Z ).故选D. 2.(2020·重庆南开中学月考)函数f (x )＝(1＋3tan x )·cos x 的最小正周期为( )A.2πB.3π2C.πD.π2答案 A解析 f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，则T ＝2π. 3.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A.－1 B.－22 C.22D.0 答案 B解析 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22.故选B. 4.函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是答案 D解析 y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |＝⎩⎨⎧ 2tan x ，x ∈⎝⎛⎦⎤π2，π，2sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2.结合选项中图形知，D 正确.5.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x (x ∈[0，π])的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π3 B.⎣⎡⎦⎤π12，7π12 C.⎣⎡⎦⎤π3，5π6 D.⎣⎡⎦⎤5π6，π 答案 C解析 ∵y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数在R 上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z ，∴函数在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π3，5π6.6.已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (x )图象的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π3，0 B.⎝⎛⎭⎫－π6，0 C.⎝⎛⎭⎫π6，0D.⎝⎛⎭⎫π12，0 答案 B解析 函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (0)＝2sin φ＝3， ∴sin φ＝32，又|φ|<π2，∴φ＝π3， 则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )， 则x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π6， ∴⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )的图象的一个对称中心. 7.设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)，若f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为______.答案 23解析 因为f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π4对任意的实数x 都成立，所以f ⎝⎛⎭⎫π4为f (x )最大值， 所以π4ω－π6＝2k π(k ∈Z )， 所以ω＝8k ＋23(k ∈Z )， 因为ω>0，所以当k ＝0时，ω取最小值为23. 8.(2018·全国Ⅱ改编)若 f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是____________.答案 π4解析 f (x )＝cos x －sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x ·22－cos x ·22＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增， f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减. ∵函数f (x )在[－a ，a ]上是减函数，∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， ∴0<a ≤π4，∴a 的最大值为π4. 9.已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f (x )的最小正周期为________.答案 6π5 解析 由函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴ω＝k ＋23，又ω∈(1,2)，∴ω＝53， ∴函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5.10.函数y ＝sin 2x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤ －23π，θ上的最小值是 －14，则θ的取值范围是_____. 答案 ⎝⎛⎦⎤－23π，23π 解析 y ＝－cos 2x ＋2cos x ＋1，令t ＝cos x ∈[－1,1]，y ＝－t 2＋2t ＋1，其图象开口向下，对称轴为t ＝1，故在区间[－1,1]上为增函数，令－t 2＋2t ＋1＝ －14，解得t ＝－12.故cos x 的范围为⎣⎡⎦⎤－12，1，而cos 2π3＝－12，根据y ＝cos x 函数图象的对称性可知θ∈⎝⎛⎦⎤ －2π3，2π3. 11.已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. (1)解 f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)证明 因为－π4≤x ≤π4， 所以－π6≤2x ＋π3≤5π6. 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≥sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. 12.已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝⎛⎭⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性. 解 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z . f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sin z 在z ∈⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π， k ∈Z 上单调递增. 由 －π2＋2k π≤ 2x －π3≤π2＋2k π，得 －π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z . 设A ＝⎣⎡⎦⎤－π4，π4，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －π12＋k π≤x ≤ 5π12＋k π，k ∈Z ， 易知，A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤－π12，π4. 所以，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上单调递减.13.(2019·全国Ⅰ)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论：①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增；③f (x )在[－π，π]上有4个零点；④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( )A.①②④B.②④C.①④D.①③答案 C解析 f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，故①正确；当π2<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，故②不正确；f (x )在[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f (x )在[－π，π]上只有3个零点，故③不正确；∵y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x )可以取到最大值2，故④正确.综上，正确结论的编号是①④.故选C.14.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)满足f ⎝⎛⎭⎫π4＝2，f (π)＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π4，π3上单调，则符合条件的ω的值有______个.答案 9解析 设函数f (x )的最小正周期为T ，由f ⎝⎛⎭⎫π4＝2，f (π)＝0，结合正弦函数图象的特征可知T 4＋kT 2＝3π4，k ∈N ， 故T ＝3π1＋2k，k ∈N ； 又因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π4，π3上单调，所以π3－π4≤T 2，故T ≥π6， 所以ω＝2πT ≤12，即2(1＋2k )3≤12， 所以k ≤172，k ∈N ，所以k ＝0,1,2，…，8，符合条件的ω的值有9个.15.(2019·鹤岗市第一中学月考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的图象过点⎝⎛⎭⎫0，12，最小正周期为2π3，且最小值为－1.若x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的取值范围是________.答案 ⎣⎡⎦⎤2π9，5π18解析 由函数最小值为－1，A >0，得A ＝1，因为最小正周期为2π3，所以ω＝2π2π3＝3， 故f (x )＝cos(3x ＋φ)，又图象过点⎝⎛⎭⎫0，12，所以cos φ＝12， 而0<φ<π2，所以φ＝π3，从而f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3， 由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可得5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3. 因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝ －32，且cos π＝－1，cos 7π6＝ －32. 由余弦函数的图象与性质可知π≤3m ＋π3≤7π6，解得2π9≤m ≤5π18. 16.设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋m 的图象关于直线x ＝π对称，其中0<ω<12. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (x )的图象过点(π，0)，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π2上的值域. 解 (1)由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1， ∴2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z ). 又0<ω<12，∴ω＝13， ∴函数f (x )的最小正周期为3π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6＋m ，∵f (π)＝0，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－π6＋m ＝0，∴m ＝－2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6－2，当0≤x ≤3π2时，－π6≤23x －π6≤5π6， －12≤sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6≤1. ∴－3≤f (x )≤0，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π2上的值域为[]－3，0.。
课时跟踪检测(二十) 三角函数的图象与性质
课时跟踪检测(二十) 三角函数的图象与性质一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数y ＝ cos x －32的定义域为( ) A. ⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B. ⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z) C. ⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z) D ．R解析：选C ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z. 2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝⎛⎭⎫π8＝( ) A ．1 B. 12C ．－1D ．－12解析：选A 由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1.3．(2016·石家庄一模)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A. ⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) B. ⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C. ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) D. ⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) 解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)． 4．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是____________． 解析：由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ，2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z)．答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z) 5．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为______，此时x ＝______. 解析：函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z)．答案：5 3π4＋2k π(k ∈Z)二保高考，全练题型做到高考达标1．若函数f (x )＝－cos 2x ，则f (x )的一个递增区间为( ) A. ⎝⎛⎭⎫－π4，0 B. ⎝⎛⎭⎫0，π2 C. ⎝⎛⎭⎫π2，3π4D. ⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 由f (x )＝－cos 2x 知递增区间为⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，故只有B 项满足． 2．(2015·河北五校联考)下列函数最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：选B 由函数的最小正周期为π，可排除C.由函数图象关于直线x ＝π3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A ，因为sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝sin π＝0，所以选项A 不正确．对于D ，sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π3＝sin π3＝32，所以选项D 不正确．对于B ，sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π6＝sin π2＝1，所以选项B 正确． 3．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π), 若f ⎝⎛⎭⎫π8＝－2，则f (x )的一个单调递增区间可以是( )A. ⎣⎡⎦⎤－π8，3π8 B. ⎣⎡⎦⎤5π8，9π8 C. ⎣⎡⎦⎤－3π8，π8 D. ⎣⎡⎦⎤π8，5π8解析：选D ∵f ⎝⎛⎭⎫π8＝－2， ∴－2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－2，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1. 又∵|φ|<π，∴φ＝π4，∴f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z.当k ＝0时，得π8≤x ≤5π8.4．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0＝( ) A. 5π12B. π4C. π3D. π6解析：选A 由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2.又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，x 0＝k π2－π12(k ∈Z)，而x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x 0＝5π12.5．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，且|φ|＜π2在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝( )A. 12 B.22C.32D ．1解析：选C 由题意得函数f (x )的周期T ＝2⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝π，所以ω＝2，此时f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点⎝⎛⎭⎫π6，1代入上式得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，于是f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝cos π6＝32. 6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为________． 解析：∵f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ， ∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2. 答案：2或－27．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________________． 解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)． ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0，k ∈Z. 答案：⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0，k ∈Z8．已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2 sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝a 有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________．解析：令y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈(0，π]，y 2＝a ，作出y 1的图象如图所示．若2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，则y 1与y 2应有两个不同的交点，所以3<a <2.答案：(3，2)9．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求f (x )的单调增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π8，k ∈Z.∴函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z. (2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.故f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4， ∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，∴－2≤f (x )≤1， ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2. 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )． ∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 将上式展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z.∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，α.当α＝π3时，f (x )的值域是______；若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则a 的取值范围是______． 解析：若－π6≤x ≤π3，则－π6≤2x ＋π6≤5π6，此时－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， 即f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1. 若－π6≤x ≤α，则－π6≤2x ＋π6≤2α＋π6.因为当2x ＋π6＝－π6或2x ＋π6＝7π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－12，所以要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1， 则π2≤2α＋π6≤7π6，即π3≤2α≤π， 所以π6≤α≤π2，即α的取值范围是⎣⎡⎦⎤π6，π2. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，1 ⎣⎡⎦⎤π6，π2 2．(2015·武汉调研)已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫2cos 2x2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值． 解：f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1， 由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，∴f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4，k ∈Z. (2)∵0≤x ≤π， ∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0.①当a >0时，⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a <0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5.∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。
课时跟踪检测(二十三) 三角函数图象与性质的综合问题
课时跟踪检测（二十三） 三角函数图象与性质的综合问题一、综合练——练思维敏锐度1．已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6在[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9解析：选B 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6的周期T ＝6，当x ＝0时，y ＝12，当x ＝1时，y ＝1，所以函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6在[0，t ]上至少取得2次最大值，有t －1≥T ，即t ≥7，所以正整数t 的最小值为7.故选B.2．已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ⎝⎛⎭⎫16＝( )A ．2B ．－2 C.32D ．－32解析：选B 因为函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)，所以φ＝π2，所以f (x )＝－4sin ωx ，又A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，且|a －b |的最小值是1，所以函数f (x )的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f (x )＝－4sin πx ，所以f ⎝⎛⎭⎫16＝－4sin π6＝－2.故选B.3．(2021·武昌调研)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的图象向右平移2π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A ．3B ．32C.43D ．23解析：选A 将f (x )的图象向右平移2π3个单位后所得到的图象对应的函数解析式为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －2π3＋π6－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －2ωπ3＋π6－1，由题意知2ωπ3＝2k π(k ∈Z)，所以ω＝3k (k ∈Z)，因为ω>0，所以ω的最小值为3.故选A.4．若函数f (x )＝sin x ＋3cos x 在区间[a ，b ]上是减函数，且f (a )＝2，f (b )＝－2，则函数g (x )＝cos x －3sin x 在区间[a ，b ]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值2D ．可以取得最小值－2解析：选D f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3， 则g (x )的图象是由f (x )的图象向左平移π2个单位得到的．f (x )在区间[a ，b ]上是减函数，且f (a )＝2，f (b )＝－2， 令x ＋π3＝t ，则可取t ∈⎣⎡⎦⎤π2，32π， 将y ＝2sin t 的图象向左平移π2个单位，即14个周期，可得g (t )＝2sin ⎝⎛⎭⎫t ＋π2的图象． g (t )在t ∈⎣⎡⎦⎤π2，32π时的最小值为－2， 即g (t )可以取得最小值－2.故选D.5．直线y ＝a 与函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的相邻两个交点的距离为2π，若f (x )在(－m ，m )(m >0)上是增函数，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π4 B ．⎝⎛⎦⎤0，π2 C.⎝⎛⎦⎤0，34π D ．⎝⎛⎦⎤0，32π 解析：选B ∵直线y ＝a 与函数f (x )的图象的相邻两个交点的距离是一个周期， ∴ω＝12，∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4. 由k π－π2<12x ＋π4<k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－32π<x <2k π＋π2(k ∈Z)．∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－32π，π2上是增函数． ∴(－m ，m )⊆⎝⎛⎭⎫－32π，π2. 解得0＜m ≤π2.故选B.6．已知函数f (x )＝a sin x －3cos x 的一条对称轴为x ＝－π6，且f (x 1)·f (x 2)＝－4，则|x 1＋x 2|的最小值为( )A.π3 B ．2π3 C.π2D ．3π4解析：选B f (x )＝a sin x －3cos x ＝3＋a 2sin(x ＋φ)，由于函数的对称轴为x ＝－π6，所以f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－a 2－32为最大值或最小值， 即⎪⎪⎪⎪－a 2－32＝3＋a 2，解得a ＝1.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 由于f (x 1)·f (x 2)＝－4，所以函数必须在x 1，x 2处分别取得最大值和最小值， 所以不妨设x 1＝2k 1π＋5π6，x 2＝2k 2π－π6，k 1∈Z ，k 2∈Z ，则|x 1＋x 2|＝2(k 1＋k 2)π＋2π3，k 1∈Z ，k 2∈Z ，所以|x 1＋x 2|的最小值为2π3.7．如果圆x 2＋(y －1)2＝m 2至少覆盖函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫πm x ＋5π12－3cos(2πm x ＋π3) (m >0)的一个最大值点和一个最小值点，那么m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．⎣⎡⎭⎫2153，＋∞C.⎣⎡⎭⎫2155，＋∞D ．⎣⎡⎭⎫81515，＋∞ 解析：选D 化简f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫πm x ＋5π12－3cos(2πm x ＋π3)得f (x )＝2sin 2πx m ＋1，所以，函数f (x )靠近圆心(0,1)的最大值点为⎝⎛⎭⎫m 4，3，最小值点为⎝⎛⎭⎫－m4，－1，所以只需⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫m 42＋(3－1)2≤m 2，⎝⎛⎭⎫－m 42＋(－1－1)2≤m 2，解得m ≥81515⎝⎛⎭⎫m ≤－81515舍去.故选D.8．设函数f (x )＝sin(2x ＋π4)⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫9π8，5π4 B ．⎣⎡⎭⎫5π4，11π8 C.⎣⎡⎭⎫3π2，13π8D ．⎣⎡⎭⎫7π4，15π8解析：选B 画出函数f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8上的大致图象，如图所示，由图知，当22≤a <1时，方程f (x )＝a 恰好有三个根， 由2x ＋π4＝π2得x ＝π8.结合题意得x 1＋x 2＝π4，π≤x 3<9π8，则5π4≤x 1＋x 2＋x 3<11π8，即x 1＋x 2＋x 3的取值范围是⎣⎡⎭⎫5π4，11π8.故选B. 9．已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)的图象经过点⎝⎛⎭⎫－π12，0和⎝⎛⎭⎫π12，32，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，方程f (x )＝2a －3有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是________．解析：∵点⎝⎛⎭⎫－π12，0在函数图象上，∴A sin [2×⎝⎛⎭⎫－π12＋φ]＝0.∵0<φ<π，∴φ＝π6.又点⎝⎛⎭⎫π12，32在函数图象上，∴A sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋π6＝32，∴A ＝3，∴f (x )＝3sin(2x ＋π6).∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，当方程f (x )＝2a －3有两个不等的实根时，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝2a －3有两个不同的交点，由图象可知32≤2a －3<3，∴334≤a < 3. 答案：⎣⎡⎭⎫334，310．已知定义在R 上的函数f (x )，恒有f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝12f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，当x ∈[0，π)时，f (x )＝ sin x ．若∀x ∈(－∞，a ]，恒有f (x )<43，则a 的取值集合为________．解析：由f⎝⎛⎭⎫x－π2＝12f⎝⎛⎭⎫x＋π2得f(x)＝12f(x＋π)，则函数f(x)＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ (1)2sin(x＋π)，－π≤x＜0，sin x，0≤x＜π，2sin(x－π)，π≤x＜2π，4sin x，2π≤x＜3π，8sin(x－3π)，3π≤x＜4π，…易知当x∈(－∞，0)时f(x)≤12.由x∈[0，π)上的图象可先作出[0,4π)上的图象，如图．当3π≤x＜4π时，由f(x)＝43得8sin(x－3π)＝43，∴sin(x－3π)＝32，解得x1＝103π，x2＝113π.要使∀x∈(－∞，a]，恒有f(x)＜43，则根据图象知a的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a⎪⎪a<103π.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a⎪⎪a<103π11．已知函数f(x)＝a(2cos2x2＋sin x)＋b.(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．解：已知函数f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1， 由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，∴f (x )的单调递增区间为[2k π＋π4，2k π＋5π4] (k ∈Z)．(2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a >0时，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5；②当a <0时，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8. 12．已知函数f (x )＝1＋3cos 2x －2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x . (1)求f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)若方程f (x )－m ＝0在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝1＋3cos 2x －2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝3cos 2x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴最小正周期T ＝2π2＝π.由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π(k ∈Z)， 得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π(k ∈Z)．∴f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z)． (2)由题意知，函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点． 由(1)知，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，7π12上单调递减，在⎣⎡⎦⎤7π12，π上单调递增， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫7π12＝－2，又f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，f (π)＝3， ∴当－2＜m ≤1时，函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点， 即方程f (x )－m ＝0在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上有两个不同的实数解． ∴实数m 的取值范围为(－2,1]．二、自选练——练高考区分度1.如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2图象的一部分，对任意的x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1≠x 2，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝1，则φ的值为( )A.π12 B ．π6C.π4D ．π3解析：选B 由题图可得A ＝2，x 1，x 2关于函数f (x )图象的对称轴对称，即直线x ＝x 1＋x 22是f (x )图象的一条对称轴，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝2，可得2sin ωx 1＋x 22＋φ＝2，可得ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，① ∵f (x 1＋x 2)＝1，∴2sin [ω(x 1＋x 2)＋φ]＝1， 可得ω(x 1＋x 2)＋φ＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z)，②令k ＝0，由①②得φ＝π6或5π6，∵|φ|<π2，∴φ＝π6.2．已知函数f (x )＝(1－2cos 2x )sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ－2sin x cos x ·cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ⎝⎛⎭⎫|θ|≤π2在⎣⎡⎦⎤－3π8，－π6上单调递增．若f ⎝⎛⎭⎫π8≤m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：∵f (x )＝(1－2cos 2x )sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ－2sin x cos x ·cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝－cos 2x (－cos θ)－ sin 2x sin θ＝cos(2x ＋θ)，当x ∈⎣⎡⎦⎤－3π8，－π6时，－3π4＋θ≤2x ＋θ≤－π3＋θ，∴由函数递增知⎩⎨⎧－π≤－3π4＋θ，－π3＋θ≤0，解得－π4≤θ≤π3.∵f ⎝⎛⎭⎫π8＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ，0≤π4＋θ≤7π12， ∴f ⎝⎛⎭⎫π8≤1.∵f ⎝⎛⎭⎫π8≤m 恒成立，∴m ≥1. 答案：[1，＋∞)3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－cos ωx (ω＞0)．若函数f (x )的图象关于直线x ＝2π对称，且在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是单调函数，则ω的取值集合为________． 解析：f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －12cos ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6， 因为f (x )的图象关于直线x ＝2π对称， 所以f (2π)＝±1，则2πω－π6＝k π＋π2(k ∈Z)，所以ω＝k 2＋13(k ∈Z)．因为函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是单调函数， 所以最小正周期T ≥2⎣⎡⎦⎤π4－⎝⎛⎭⎫－π4， 即2πω≥π，解得0＜ω≤2，所以ω＝13或ω＝56或ω＝43或ω＝116.当ω＝13时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6， x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，13x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π4，－π12， 此时f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上为增函数；当ω＝56时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫56x －π6， x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，56x －π6∈⎣⎡⎦⎤－3π8，π24， 此时f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上为增函数； 当ω＝43时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫43x －π6， x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，43x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π2，π6， 此时f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上为增函数； 当ω＝116时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫116x －π6， x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，116x －π6∈⎣⎡⎦⎤－5π8，7π24， 此时f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上不是单调函数． 综上，ω∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，56，43.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，56，434．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －cos 2ωx (ω>0)，周期是π2.(1)求f (x )的解析式以及x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3时f (x )的值域； (2)将f (x )图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移π6个单位，最后将整个函数图象向上平移32个单位后得到函数g (x )的图象，若|g (x )－m |<2成立的充分条件是π6≤x ≤23π，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝3sin ωx cos ωx －cos 2ωx ＝32sin 2ωx －12(1＋cos 2ωx ) ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－12. 由T ＝2π2ω＝π2，解得ω＝2.∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6－12.∵0≤x ≤π3，∴－π6≤4x －π6≤76π，结合函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6－12的图象及性质得， －12≤sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6≤1，∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6－12≤12， 即函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π3上的值域是⎣⎡⎦⎤－1，12. (2)依题意g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1. ∵|g (x )－m |<2，∴g (x )－2<m <g (x )＋2.∵当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，23π时，g (x )－2<m <g (x )＋2恒成立， ∴只需[g (x )－2]max <m <[g (x )＋2]min ， 转化为求g (x )的最大值与最小值． 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，23π时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π2，32π， ∴g (x )max ＝1＋1＝2，g (x )min ＝－1＋1＝0， 从而[g (x )－2]max ＝0，[g (x )＋2]min ＝2， ∴0<m <2，∴m 的取值范围是(0,2)．。
课时跟踪检测(二十) 三角函数图像与性质
课时跟踪检测(二十) 三角函数图像与性质(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．函数y ＝ cos x －32的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈Z D ．R2．(2013·洛阳统考)如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图像关于直线x ＝π6对称，则|φ|的最小值为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π23．(2014·聊城期末)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23 B.32 C ．2D ．34．(2014·安徽黄山高三联考)设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且其图像关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数5．(2013·浙江高考改编)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的________条件．6．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的值域为______，并且取最大值时x的值为________．7．设f (x )＝1－2sin x . (1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值．8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·福州质检)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值；(2)试写出一个函数g (x )，使得g (x )f (x )＝cos 2x ，并求g (x )的单调区间．2.(创新题)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6.(1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，求当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值．3．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．选C ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32， ∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .2．选A 依题意得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，则π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π6(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6，选A.3．选B ∵ω>0，－π3≤x ≤π4， ∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32. 4．选B f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，∵其图像关于x ＝0对称，∴f (x )是偶函数， ∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z . 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π6＝2cos 2x .易知f (x )的最小正周期为π，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．5．解析：若f (x )是奇函数， 则φ＝π2＋k π(k ∈Z )； 当φ＝π2时，f (x )为奇函数． 答案：必要不充分6．解析：∵0≤x ≤π3，∴π3≤2x ＋π3≤π， ∴0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1≤1，即值域为[－1,1]； 且当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，即x ＝π12时，y 取最大值． 答案：[－1,1]π127．解：(1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图像知：定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π6，k ∈Z .(2)∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤1－2sin x ≤3， ∵1－2sin x ≥0，∴0≤1－2sin x ≤3， ∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值． 8．解：∵由f (x )的最小正周期为π， 则T ＝2πω＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )． ∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2. (2)f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π. ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π4＝2sin π3＝62.(2)g (x )＝cos x －sin x .理由如下：因为g (x )f (x )＝(cos x －sin x )(sin x ＋cos x )＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ， 所以g (x )＝cos x －sin x 符合要求． 又g (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由2k π＋π<x ＋π4<2k π＋2π， 得2k π＋3π4<x <2k π＋7π4，k ∈Z . 所以g (x )的单调递增区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋3π4，2k π＋7π4，k ∈Z . 由2k π<x ＋π4<2k π＋π， 得2k π－π4<x <2k π＋3π4，k ∈Z . 所以g (x )的单调递减区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π4，2k π＋3π4，k ∈Z . 2．解：(1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3－π3－1，所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6.由2k π－π2≤π3x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ，所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z .(2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线y ＝2对称， 所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为 x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最大值， 当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23π，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，即此时y ＝g (x )的最大值为12. 3．解：(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1， ∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12，∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6， k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
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课时跟踪检测(二十) 三角函数的图象与性质
一、选择题
1．函数y ＝ cos x －32
的定义域为( ) A.⎣⎡⎦
⎤－π6，π6 B.⎣
⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣
⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．R
2．(2015·石家庄一模)函数f (x )＝tan ⎝
⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )
B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )
C.⎝
⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣
⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 3．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3
对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是( )
A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6
B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6
C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6
D ．y ＝sin|x | 4．(2015·沈阳质检)已知曲线f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x 关于点(x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎡⎦
⎤0，π2，则x 0＝( ) A.π12 B.π6 C.π3 D.5π12
5．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，且|φ|＜π2在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝( )
A.12
B.22
C.32
D ．1 6．(2015·豫北六校联考)若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，且－
π2＜φ＜π2
，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3为( ) A ．奇函数且在⎝⎛⎭
⎫0，π4上单调递增 B ．偶函数且在⎝⎛⎭
⎫0，π2上单调递增 C ．偶函数且在⎝⎛⎭
⎫0，π2上单调递减 D ．奇函数且在⎝⎛⎭
⎫0，π4上单调递减 二、填空题
7．函数y ＝cos ⎝⎛⎭
⎫π4－2x 的单调减区间为____________________________________． 8．函数y ＝tan ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________________________． 9．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭
⎫π6的值为________．
10．(2015·皖南八校二模)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，a .当a ＝π3
时，f (x )的值域是________；若f (x )的值域是⎣⎡⎦
⎤－12，1，则a 的取值范围是________． 三、解答题
11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎫0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；
(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭
⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．
12．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6
. (1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；
(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最大值．
答案
1．选C ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6
，k ∈Z . 2．选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12
(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭
⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B. 3．选B 注意到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π，当x ＝π3
时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π6＝1，因此该函数同时具有性质①②.
4．选C 由题意可知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，其对称中心为(x 0,0)，故2x 0＋π3
＝k π(k ∈Z )，∴x 0＝－π6＋k π2(k ∈Z )，又x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴k ＝1，x 0＝π3
，故选C. 5．选C 由题意得函数f (x )的周期T ＝2⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝π，所以ω＝2，此时f (x )＝sin(2x ＋φ)，
将点⎝⎛⎭⎫π6，1代入上式得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2，所以φ＝π6
，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，于是f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝cos π6＝32
. 6．选D 因为函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，则8π3＋φ＝k π＋π2
，k ∈Z .即φ＝k π－13π6，k ∈Z ，又－π2＜φ＜π2，则φ＝－π6，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝
⎛⎭⎫x ＋π3－π6＝
cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数且在⎝⎛⎭
⎫0，π4上单调递减，故选D. 7．解析：由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝
⎛⎭⎫2x －π4得 2k π≤2x －π4
≤2k π＋π(k ∈Z )， 解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8
(k ∈Z )． 所以函数的单调减区间为⎣
⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． 答案：⎣
⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 8．解析：由2x ＋π4
＝k π(k ∈Z )得， x ＝k π2－π8
(k ∈Z )． ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝⎛⎭
⎫k π2－π8，0，k ∈Z . 答案：⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0，k ∈Z
9．解析：∵f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，
∴x ＝π6
是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴． ∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝±
2. 答案：2或－2
10．解析：若－π6≤x ≤π3，则－π6≤2x ＋π6≤5π6，此时－12
≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，即f (x )的值域是⎣⎡⎦
⎤－12，1. 若－π6≤x ≤a ，则－π3≤2x ≤2a ，－π6≤2x ＋π6≤2a ＋π6.因为当2x ＋π6＝－π6或2x ＋π6＝7π6
时， sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－12，所以要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则π2≤2a ＋π6≤7π6，即π3
≤2a ≤π， 所以π6≤a ≤π2
，即a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π6，π2. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，1 ⎣⎡⎦
⎤π6，π2 11．解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω
＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．
(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．
∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，
展开整理得sin 2x cos φ＝0，
由已知上式对∀x ∈R 都成立，
∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2
. (2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭
⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32
. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3
＋φ<π. ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3
. ∴f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2
，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12
，k ∈Z . ∴f (x )的单调递增区间为⎣
⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 12．解：(1)由题意知f (x )＝
32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3·sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π3－1，所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3
＝6. 由2k π－π2≤πx 3－π3≤2k π＋π2
，k ∈Z ， 得6k －12≤x ≤6k ＋52
，k ∈Z ， 所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣
⎡⎦⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z . (2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称， 所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时， y ＝f (x )的最大值，
当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，π，sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π3∈⎣⎡⎦
⎤0，32，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－1，12， 即当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值为12.。