2015年高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念课件 新人教A版必修4

(2)向量的几何表示法． → 起点 终点 以 A 为______，以 B 为______的有向线段记作AB. → → 如果有向线段AB表示一个向量，通常我们就说向量AB. (3)用字母表示向量． 通常在印刷时，用黑体小写字母 a，b，c，„表示向量， 在手写时用带箭头的小写字母 a ， b ， c ，„表示向量． 也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如 → → AB，CD.
但没有大小． (3)错误.0方向不确定，规定0与任一向量平行． (4)错误．向量不能比较大小．
向量的表示
一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点， 然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改
变方向，向东行驶了100 km到达D点． → → → (1)作出向量AB，BC，CD；
→ → (4)向量AB与CD是共线向量，则 A，B，C，D 四点必在同
一直线上． 其中正确命题的序号是________．
思路点拨：解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向
量、平行向量等概念入手，逐一判断真假．
解析：(1)错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明 它们方向的关系．
(2)错误.0的模为零．
→ (2)与ED相等的向量．
思路点拨：结合图形，借助三角形及平行四边形的性质， 根据共线向量和相等向量的定义求解．
解：(1)因为 BCMF 是平行四边形，所以 CM∥BF.因为 D， E 分别是 BC，AC 的中点，所以 BF∥DE.又因为 F 是 AB 的中 → → → → → 点， 所以与向量CM模相等且共线的向量有： DE， ED， BF， FB， → → → FA，AF，MC. → → → (2)由(1)的分析可知，与向量ED相等的向量有：FB，AF， → MC.
(2)数量可以比较大小，而向量无法比较大小，如即使|a|＞ |b|也不能说 a＞b，特殊地，若向量 a，b 是相等向量，记作 a ＝b. (3)0 与 0 不同，虽然|0|＝0，但 0 是向量，而 0 是数量． 提醒：初学者要特别注意零向量 0 与实数 0 书写的区别， 对向量 0，书写时不能漏掉“→”．
长度相等 且___________ 方向相同 的向量叫做相等 (5) 相等向量： __________
向量．
相同或相反 的非零向量叫 (6)平行向量(共线向量)： 方向_____________
做平行向量，也叫共线向量．
a∥b ①记法：向量 a 平行于 b，记作________.
②规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量 a，都 有 0∥a.
模不等，方向相反且模相等，方向相反且模不等．这样，也就
找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等 向量，而相等向量一定是共线向量．
向量的有关概念
给出下列命题： (1)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
(2)向量的模一定是正数；
(3) 起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向 量；
→ → →
3．与向量有关的概念 → (1)向量的长度定义：向量AB的大小．
→ → | AB | ；向量 a 的 (2)向量的长度表示：向量AB的长度记作_____
|a| 长度记作_____. 0 的向量叫做零向量，记作___. 0 (3)零向量：长度为____ 1 的向量叫做单位向量． (4)单位向量：长度为___
→ 和FD.
易错误区系列(十) 对向量有关概念理解不准致误
给出下列五种叙述： (1)两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同． (2)若|a|＝|b|，则 a＝b. → → (3)若AB＝DC，则四边形 ABCD 是平行四边形． → → (4)平行四边形 ABCD 中，一定有AB＝DC. (5)若 m＝n，n＝k，则 m＝k. 其中正确的有__________．(填所有正确说法的序号)
解析： (1) 错误．单位向量模都相等，但是方向不一定相 同． (2)正确．若一个向量的模为 0 ，则该向量是零向量，其方 向不确定，是任意的． (3)错误．共线的向量，若起点不同，则终点有可能相同． (4)错误．由|a|＝|b|，仅说明a与b模相等，但不能说明它们 方向的关系．
答案：(2)
→ (2)求|AD|.
思路点拨： 确定方向 ―→ 依定义作向量 ―→ 结合图形求模
→ → → 解： (1)向量AB、 BC、 CD如图所示． → → (2)由题意， 易知AB与CD方向相反， → → → → 故AB与CD共线．又|AB|＝|CD|， ∴在四边形 ABCD 中，AB 綊 CD.
∴四边形 ABCD 为平行四边形． → → → → ∴AD＝BC.∴|AD|＝|BC|＝200 km.
1.在平面图形中找出相等向量和平行向量的关
键
关键是根据平面图形的几何性质寻找线线的平行关系和线 段之间的长度相等关系． 2．向量平行与直线平行的关系 两条直线平行时，直线上的有向线段平行，从而有向线段
所表示的两个向量平行；两个向量平行时，表示向量的有向线
段所在的直线不一定平行(可能重合)．
【互动探究】 → 试在本例中写出与向量AE相等的向量． → → 解： 根据相等向量的概念可知， 与向量AE相等的向量有EC
3．对共线向量或平行向量的理解 (1)共线向量与平行向量是同一概念的不同名称，其要求是 几个非零向量的方向相同或相反，并规定零向量与任意向量平 行．表示共线向量的有向线段所在的直线可以平行，也可以重 合，所 以“共线” “平行 ” 的含义不同于平面几何中 “共 线”“平行”的含义． (2)共线向量有四种情况：方向相同且模相等，方向相同且
解析：(1)错误．两个向量相等，它们的起点和终点都不一 定相同． (2)错误．若|a|＝|b|，则 a 与 b 方向未必相同，故 a 与 b 不 一定相等． → → (3)错误．若AB＝DC，则 A，B，C，D 四个点有可能在同 一条直线上，所以四边形 ABCD 不一定是平行四边形．
(4)正确．平行四边形 ABCD 中，AB∥DC，AB＝DC 且有 → → → → 向线段AB与DC方向相同，所以AB＝DC. (5)正确．若 m＝n，n＝k，则 m，k 都与 n 长度相等且方 向相同，所以 m＝k. 答案：(4)(5)
(3)正确．对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可 以任意移动的．
(4)错误． 共线向量即平行向量， 只要方向相同或相反即可， → → 并不要求两个向量AB、CD必须在同一直线上． 答案：(3)
命题真假判断的方法 对于命题判断真假，应熟记有关概念，看清、理解各命 题，逐一进行判断，对错误命题的判断只需举一反例即可．
第二章 平面向量
2.1
平面向量的实际背景及基本概念
1．了解向量的实际背景，以位移、力等物理背景抽象出向
量．(重点) 2．理解向量、相等向量的概念及向量的几何表示．(难点) 3．掌握向量的概念及共线向量的概念．(重点、易混点)
1．向量的概念 向量的两个要素：(1)大小；(2)______ 方向 ． 2．向量的表示 (1)表示工具——有向线段． 起点 ，②____ 方向 ，③____ 长度 . 有向线段的三个要素：①____
1．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)两个有公共点的向量，一定是共线向量； (2)数轴有方向，所以数轴是向量； (3)由于0方向不确定，故0不与任何向量平行； (4)若向量a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b.
解：(1)错误．有公共点的向量，它们的方向不一定相同或 相反．
(2)错误．向量是既有大小又有方向的量，数轴虽有方向，
错解 填(1)(4)(5)或 (3)(4)(5)
错因 对向量相等概念理解不准或将 向量和有向线段混淆，会误认 为(1)正确；将向量平行和直 线平行混淆，误认为(3)正确
【即时演练】 下列叙述： (1)单位向量都相等． (2)若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定． (3)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同． (4)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b. 其中正确的有__________．(填所有正确的序号)
1．想一想 零向量的方向是什么？两个单位向量的方向相同吗？ 提示：零向量的方向是任意的，两个单位向量的方向可以 不同．
2．判一判(判断下列说法的正误) → → (1)向量AB与向量BA是相等向量．( ) → → 提示：× AB与BA的模相等，方向相反，因而不是相等向 量．
(2)与实数类似，对于两个向量a，b有：a＝b，a＞b，a＜b 三种关系．( 提示：× ) 向量只有相等或不相等，没有大小之分，因为
向量不能比较小． (3)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定 平行．( ) 两个向量平行时，表示向量的有向线段所在直 提示：×
线平行或重合．
1．向量与有向线段的关系 → → 如果有向线段AB表示一个向量，通常我们就说向量AB，但 有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段． 2．向量与数量的区别 (1)向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量 是一个代数量，没有方向．
解：(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量 a 平行，且 长度相等．如图中的 b 即为所作向量． (2)由平面几何知识可知所有这样的向量 c 的终点的轨迹是 以 A 为圆心，半径为 5的圆(作图略)．
相等向量与共线向量
如图， D ， E ， F 分别是△ ABC 各边上的中点，四 边形BCMF是平行四边形，请分别写出： → (1)与CM模相等且共线的向量．
向量的两种表示方法 (1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向， 最后根据向量的长度确定向量的终点．
(2)字母表示法：为了便于运算可用字母 a，b，c 表示，为 了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起 → → → 点与终点表示向量，如AB，CD，EF等．
2．在如图的方格纸上，已知向量 a， 每个小正方形的边长为 1. (1)试以 B 为起点画一个向量 b，使 b ＝a； (2)在图中画一个以 A 为起点的向量 c， 使|c|＝ 5， 并说出向量 c 的终点的轨迹是什 么．