高中数学人教A版(课件)必修四 第二章 平面向量 2.4.1
人教版高中数学必修4A版平面向量基本定理课件
B
A
O
小结：三点共线的结论
若A、B、C三点共线，Ｏ是其所在直线外一点， 则存在唯一的实数ｔ，使 OA =（1－t）OB ＋tOC，反之亦成立。
（1）若P是AB靠近A的三等分点， 则OP
2 1 OP a＋ b 3 3
知识点 2 : 平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系内，分别取x轴、y轴方向相同 的两个单位向量i、j作为基底，对于平面上的一个 向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对 实数x、y，使得a xi + yj, 这样，平面内的任一向 量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对（x , y） 叫做向量a的（直角）坐标，记作a （x、y）， x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， 把a （x、y）叫做向量的坐标表示。
(7)已知 a (3,-1), b (1,-2), c 2a + b 则c 的坐标是 (8)已知点A, B, C的坐标分别为(2,-4) (0,6), (-8,10), 则 AB + 2 BC ; 1 BC - AC . 2 (9)已知 a + b (m, n), a - b ( p, q ), 则 a ; b .
不共线的向量，那么对于这一平面内
的任意向量 a ，存在唯一一对实数 a1
、a2 ，使
a = a1 e1 + a2 e2
» 探究定理 1. 基底 e1、e2 条件： 不共线向量 内涵 基底组数： 无数组
2.定理中a1， a 2的值是否唯一？
3.定理的价值何在？
例1. 已知：
ABCD的两条对角线相交于点M， 且 AB = a ,AD = b ,用 a ,b 表示 MA和 MD
说课课件第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念
老鼠由A向东北方向以6m/s的速度逃窜,而猫由B 向正东方向10m/s的速度追. 问猫能否抓到老鼠?
嘻嘻!大笨猫！
C
唉, 哪儿去了?
A
B
猫的速度再快也没用，因为方向错了.
D
12
情景引入
南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发， 乘着马车一直往北走去.有人提醒他“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?” 他却说“不要紧，我有一匹好马！”问：北方人能到达楚国吗？
4
重点 难点
教学重难点
向量概念、向量的几何表示、以及相 等向量、平行向量、共线向量的概念；
让学生感受向量、平行向量或共线向量及 相等向量概念形成过程；
5
教学目标
01 知识技能 02 过程与方法
情感态度与价
03
值观
知识技能 （1） 理解平面向量的概念，学会平面向量的表示方法; （2） 理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。
a
b
l
c
C
OB A
平行向量也叫做共线向量！
22
设计意图——根据目标选择合适题型， 检测学生本节课的学习情况。
23
小试牛刀
1.如图, D、E、F分别是△ABC各边上的中点,在 以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段表示 A 的向量中，请分别写出：
（1）与向量 DE 相等的向量有__个, E
F
分别是___________；
（）
（6）模相等的两个平行向量是相等的向量；
（）
（7）共线向量一定在同一直线上；
（）
25
课堂小结
向量的概念； 向量的表示方法； 零向量、单位向量概念； 平行向量、共线向量定义； 共线向量与平行向量关系；
2014年人教A版必修四课件 2.4 平面向量的数量积
则 q =135.
问题1. 向量的数量积与向量的数乘有什么区别? 向量的数量积是向量还是数量? 向量的数乘是一个向量, 而向量的数量积是一个 数量, 是三个数量的乘积. 几何意义: | a | cosq 表示 a 在 b 方向上的投影 (如图), |OC | = | a |cosq . A a a 方向上的投影, | b | cosq 表示 b 在 D | OD | = | b | cosq . q 即 a b =|Байду номын сангаасa | | b | cosq B O C b =OC· OB =OD· OA.
即两向量的夹角为锐角时, 数量积为正, 夹角为钝角时, 数量积为负, 夹角为直角时, 数量积为零.
两非零向量垂直 数量积为零.
练习: (课本106页) 2. 已知△ABC中, AB =a, AC =b, 当 a· b<0 或 a· b=0 时, 试判断△ABC的形状. 解: a b =| a | | b | cos A, 当 a b 0 时, cosA < 0, 则角A为钝角, ∴△ABC为钝角三角形. 当 a b = 0 时, cosA = 0, 则角A为直角, ∴△ABC为直角三角形.
练习: (课本106页) 3. 已知 |a|=6, e 为单位向量, 当 a、e 之间的夹角 q 分别等于 45、90、135 时, 画图表示 a 在 e 方向 上的投影, 并求其值. 解: 各图中的投影用OA表示. | a |= 6 (1) 当q =45º 时, | a |= 6 2 45º OA = | a | cos 45= 6 O 2 A e =3 2 . (1) O e (A) (2) 当q =90º 时, (2) OA = | a | cos 90=0. | a |= 6
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(1)课件新人教A版必修4
第十页，共35页。
3．已知向量a，b满足(mǎnzú)|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为 ________．
第十六页，共35页。
解析： (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×－12＝－6. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2＝2×32＋
5×3×4×－12－3×42＝－60.
第三十一页，共35页。
[拓展练]☆ 3．(1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________； (2)已知非零向量 a，b 满足 a＋3b 与 7a－5b 互相垂直，a－4b 与 7a－2b 互 相垂直，求 a 与 b 的夹角．
第六页，共35页。
2．数量积的几何意义及数量积的符号
(1)按照投影的定义，非零向量 b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ，其具体情况，
我们也可以借助下面图形分析：
θ 的范围
θ＝0° 0°<θ<90° θ＝90° 90°<θ<180° θ＝180°
图形
b 在 a 上的 投影的正负
正数
正数
0
第七页，共35页。
|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos 60°＝175. ∴|2a＋b|＝5 7.
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(2)课件新人教A版必修4
(2) 若 点
A(x1
，
y1)
，
B(x2
，
y2)
，
则
→ AB
＝
(x2
－
x1
，
y2
－
y1)
，
所
以
|
→ AB
|
＝
（x2－x1）2＋（y2－y1）2，即|A→B|的实质是 A，B 两点间的距离或线段 AB 的长
(2)坐标表示下的运算，若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
第二十一页，共37页。
2．(1)已知向量 a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________；
(2)设平面向量 a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，则|2a－b|等于( )
A．4
第二十六页，共37页。
[归纳升华] 用坐标求两个向量夹角与垂直问题的步骤
(1)用坐标求两个向量夹角的四个步骤： ①求 a·b 的值； ②求|a||b|的值； ③根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦； ④由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．
第二十七页，共37页。
(2)利用向量解决垂直问题的四个步骤： ①建立平面直角坐标系，将相关的向量用坐标表示出来； ②找到解决问题所需的垂直关系的向量； ③利用向量垂直的相关公式列出参数满足的等式，解出参数值； ④还原到所要解决的几何问题中.
答案：
(1)－15
3 (2)2
第三十页，共37页。
[变式练]☆ 2．已知平面向量 a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且 a∥b，a⊥c. (1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m，n 的夹角的大小．
高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课后习题 新人教A版必修4
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义一、A组1.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=,a与b的夹角为30°,则a·(a-2b)=()A.2-2B.4-2C.-4D.-2解析:a·(a-2b)=a2-2a·b=|a|2-2|a||b|cos 30°=4-2×2×=4-6=-2.答案:D2.已知|a|=2,|b|=1,|a+2b|=2,则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析:∵|a+2b|=2,∴(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=12.∵|a|=2,|b|=1,∴a·b=1.设a与b的夹角为θ,则|a||b|cos θ=2cos θ=1,∴cos θ=.又0≤θ≤π,∴θ=.答案:B3.(2016·新疆阿克苏高一期末)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是()A.-4B.4C.-2D.2解析:根据投影的定义,可得向量a在向量b方向上的投影为|a|cos α==-4,其中α为a与b的夹角.故选A.答案:A4.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模为()A.2B.4C.6D.12解析:∵(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2=|a|2-|a|·4cos 60°-6×16=|a|2-2|a|-96=-72,即|a|2-2|a|-24=0,∴|a|=6或|a|=-4(舍去),故选C.答案:C5.已知平面上三点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,则的值等于()A.-25B.-20C.-15D.-10解析:由已知可得△ABC为直角三角形,则的夹角为,=0,∴·()==-||2=-25.答案:A6.已知向量a,b,且|a|=|b|=1,|a-b|=1,则|a+b|=.解析:∵|a-b|=1,∴a2-2a·b+b2=1.又|a|=|b|=1,∴a·b=.∴|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×+1=3,∴|a+b|=.答案:7.已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=k e1+e2,若a·b=0,则k的值为.解析:∵a·b=(e1-2e2)·(k e1+e2)=k-2k e1·e2+e1·e2-2=k-2k·-2=2k-=0.∴k=.答案:8ABC中,AB=2,AC=3,D是边BC的中点,则=. 解析:∵D是边BC的中点,∴).又,∴)·()=)=×(32-22)=.答案:9.已知向量a,b的长度|a|=4,|b|=2.(1)若a,b的夹角为120°,求|3a-4b|;(2)若|a+b|=2,求a与b的夹角θ.解:(1)∵a·b=|a||b|cos 120°=4×2×=-4.又|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=9×42-24×(-4)+16×22=304,∴|3a-4b|=4.(2)∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=42+2a·b+22=(2)2,∴a·b=-4,∴cos θ==-.又θ∈[0,π],∴θ=.10.已知向量a,b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b)⊥(a-b).证明:∵|2a+b|=|a+2b|,∴(2a+b)2=(a+2b)2.∴4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2,∴a2=b2.∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.又a与b不共线,a+b≠0,a-b≠0,∴(a+b)⊥(a-b).二、B组1.(2016·山东淄川一中阶段性检测)若向量a,b满足|a|=|b|=1,a⊥b,且(2a+3b)⊥(k a-4b),则实数k的值为()A.-6B.6C.3D.-3解析:由题知,(2a+3b)·(k a-4b)=0,即2k a2+(3k-8)a·b-12b2=0,即2k-12=0,k=6.故选B.答案:B2.(2016·江西赣州期末考试)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若=1,则AB的长为()A.2B.1C. D.解析:在平行四边形ABCD中,,∴=()·=1,∴1-×1×||×cos 60°=1,解得||=.答案:D3.在△ABC中,AB⊥AC,AC=1,点D满足条件,则等于()A. B.1C. D.解析:∵AB⊥AC,∴=0.∴·()==0+=·()=)=×(1-0)=.答案:A4.(2016·新疆阿克苏高一期末)已知向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,则|a-b|=()A.2B.C.4D.解析:因为向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,所以a·b=-.所以|a-b|2=a2-2a·b+b2=13.所以|a-b|=.答案:D5.已知a,b为共线的两个向量,且|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=.解析:|2a-b|=.∵a,b为共线的两个向量,设a,b的夹角为θ,则θ=0°或180°,当θ=0°时,a·b=2;当θ=180°时,a·b=-2.∴|2a-b|=0或4.答案:0或46.已知|a|=|b|=2,a,b的夹角为60°,则使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角的λ的取值范围是.解析:由a+λb与λa+b的夹角为锐角,得(a+λb)·(λa+b)>0,即λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,从而λ2+4λ+1>0,解得λ<-2-或λ>-2+.当λ=1时,a+λb与λa+b共线同向,故λ的取值范围是(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞).答案:(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞)7.已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,c=3a+5b,d=m a-3b.(1)当m为何值时,c与d垂直?(2)当m为何值时,c与d共线?解:(1)由向量c与d垂直,得c·d=0,而c·d=(3a+5b)·(m a-3b)=3m a2+(5m-9)a·b-15b2=27m+3(5m-9)-60=42m-87=0,∴m=,即m=时,c与d垂直.(2)由c与d共线,得存在实数λ,使得c=λd,∴3a+5b=λ(m a-3b),即3a+5b=λm a-3λb.又∵a与b不共线,∴解得即当m=-时,c与d共线.8)如图,在平面内将两块直角三角板接在一起,已知∠ABC=45°,∠BCD=60°,记=a,=b.(1)试用a,b表示向量;(2)若|b|=1,求.解:(1)=a-b,由题意可知,AC∥BD,BD=BC=AC.∴b,则=a+b,=a+(-1)b.(2)∵|b|=1,∴|a|=,a·b=cos 45°=1,则=a·[a+(-1)b]=a2+(-1)a·b=2+-1=+1.。
人教版高中数学必修4(A版) 平面向量基本定理 PPT课件
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
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π 已知|a|＝3，向量 a 与 b 的夹角为 3 ，则 a 在 b 方向上的投影为________．
【解析】 【答案】
向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ＝3×cos π3 ＝32.
3 2
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑：
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[再练一题] 1．给出下列判断：①若 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0；②已知 a，b，c 是三个非 零向量，若 a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b 共线⇔a·b＝|a||b|；④|a||b|<a·b；⑤a·a·a ＝|a|3；⑥a2＋b2≥2a·b；⑦向量 a，b 满足：a·b>0，则 a 与 b 的夹角为锐角；⑧
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【自主解答】 由已知 a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，a2＝|a|2
＝16，b2＝|b|2＝4. (1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，∴|a＋b|＝
2 3. (2)∵(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12，∴|(a＋b)·(a－
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(3)如图，过 A 作 AD⊥BC，垂足为 D．
因为 AB＝AC，
所以 BD＝12BC＝2，
于是|B→A|cos∠ABC＝|B→D|
＝12|B→C|＝12×4＝2.
所以B→A·B→C
＝|B→A||B→C|cos∠ABC＝4×2＝8. 【答案】 (1)③④ (2)－152 －4 (3)8
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以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b 共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③不正确；
对于④应有|a||b|≥a·b； 对于⑤，应该是 a·a·a＝|a|2a； ⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故正确；
当 a 与 b 的夹角为 0 时，也有 a·b>0，因此⑦错；
|b|cos θ表示向量 b 在向量 a 方向上的投影的数量，而非投影长，故⑧错．综
∴a·b＝0. (3)当 a 与 b 夹角为 135°时， a·b＝|a||b|cos 135°＝－10 2.
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1．求平面向量数量积的步骤是：①求 a 与 b 的夹角 θ，θ∈[0，π]；②分 别求|a|和|b|；③求数量积，即 a·b＝|a||b|cos θ.
2．非零向量 a 与 b 共线的条件是 a·b＝±|a||b|.
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[探究共研型]
平面向量数量积的性质
探究 1 设 a 与 b 都是非零向量，若 a⊥b，则 a·b 等于多少？反之成立吗？ 【提示】 a⊥b⇔a·b＝0. 探究 2 当 a 与 b 同向时，a·b 等于什么？当 a 与 b 反向时，a·b 等于什么？ 特别地，a·a 等于什么？ 【提示】 当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|；a·a ＝a2＝|a|2 或|a|＝ a·a.
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【自主解答】 (1)由数量积的定义知 a·b＝|a||b|cos θ(θ 为向量 a，b 的夹
角)． ①若 a·b＝0，则 θ＝90°或 a＝0 或 b＝0，故①错； ②若 a·b<0，则 θ 为钝角或 θ＝180°，故②错； ③由A→B·B→C＝0 知 B＝90°，故△ABC 为直角三角形，故③正确； ④由 a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故④正确．
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探究 3 |a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量 a，b，如何求它们
的夹角 θ？
【提示】 |a·b|≤|a||b|，设 a 与 b 的夹角为 θ，则 a·b＝|a||b|cos θ.
两边取绝对值得：
|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|. 当且仅当|cos θ|＝1， 即 cos θ＝±1，θ＝0 或π时，取“＝”，
为 a，b 夹角)求值．
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【自主解答】 设向量 a 与 b 的夹角为 θ，
(1)a∥b 时，有两种情况：
①若 a 和 b 同向，则 θ＝0°，a·b＝|a||b|＝20； ②若 a 与 b 反向，则 θ＝180°，a·b＝－|a||b|＝－20.
(2)当 a⊥b 时，θ＝90°
[再练一题] 2．已知正三角形 ABC 的边长为 1，求： (1)A→B·A→C；(2)A→B·B→C； (3)B→C·A→C. 【解】 (1)A→B与A→C的夹角为 60°， ∴A→B·A→C＝|A→B||A→C|cos 60° ＝1×1×12＝12.
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图 2－4－2
由 c⊥d，知 c·d＝0，
即 c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2 ＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0， ∴m＝2194，即 m＝2194时，c 与 d 垂直．
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1．已知非零向量 a，b，若 a⊥b，则 a·b＝0，反之也成立． 2．设 a 与 b 夹角为 θ，利用公式 cos θ＝|aa|·|bb|可求夹角 θ，求解时注意向
阅读教材 P103～P104“例 1”以上内容，完成下列问题． 1．向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，我们把数量__|_a_||b_|_c_o_s_θ____叫 做 a 与 b 的__数__量__积____(或_内__积___)，记作_a_·_b__，即__a_·b_＝__|_a_||_b_|c_o_s_θ_____． 规定零向量与任一向量的数量积为___0__．
所以|a·b|≤|a||b|.
cos θ＝|aa|·|bb|.
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已知|a|＝3，|b|＝2，向量 a，b 的夹角为 60°，c＝3a＋5b，d＝ma －3b，求当 m 为何值时，c 与 d 垂直？
【精彩点拨】 由条件计算 a·b，当 c⊥d 时，c·d＝0 列方程求解 m. 【自主解答】 由已知得 a·b＝3×2×cos 60°＝3.
(2)A→B与B→C的夹角为 120°， ∴A→B·B→C＝|A→B||B→C|cos 120° ＝1×1×－12＝－12. (3)B→C与A→C的夹角为 60°， ∴B→C·A→C＝|B→C||A→C|cos 60°＝1×1×12＝12.
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与向量模有关的问题
已知向量 a 与 b 的夹角为 120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a＋b|； (2)|(a＋b)·(a－2b)|. 【精彩点拨】 利用 a·a＝a2 或|a|＝ a2求解．
上可知①②⑥正确． 【答案】 ①②⑥
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数量积的基本运算
已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a 与 b 的夹角为 135
°时，分别求 a 与 b 的数量积. 【导学号：00680054】
【精彩点拨】 (1)当 a∥b 时，a 与 b 夹角可能为 0°或 180°.(2)当 a⊥b 时，a 与 b 夹角为 90°.(3)若 a 与 b 夹角及模已知时可利用 a·b＝|a|·|b|·cos θ(θ
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[小组合作型] 与向量数量积有关的概念
(1)以下四种说法中正确的是________． ①如果 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0； ②如果向量 a 与 b 满足 a·b<0，则 a 与 b 所成的角为钝角； ③△ABC 中，如果A→B·B→C＝0，那么△ABC 为直角三角形； ④如果向量 a 与 b 是两个单位向量，则 a2＝b2.
若 a，b 的夹角为 θ，则|b|cos θ表示向量 b 在向量 a 方向上的投影长．其中正
确的是：________．
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【解析】 由于 a2≥0，b2≥0，所以，若 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0，故①正
确；
若 a＋b＝0，则 a＝－b，又 a，b，c 是三个非零向量，所以 a·c＝－b·c，所
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教材整理 2 向量的数量积的几何意义及运算律
阅读教材 P104 例 1 以下至 P105 例 2 以上内容，完成下列问题． 1．向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念 如图 2－4－1 所示：O→A＝a，O→B＝b，过 B 作 BB1 垂直于直线 OA，垂足为 B1，则 OB1＝_|_b_|c_o_s_θ___． _|_b_|c_o_s_θ_____叫做向量 b 在 a 方向上的投影，___|a_|c_o_s__θ___叫做向量 a 在 b 方向上的投影．
2b)|＝12.
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1．此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系． 2．利用 a·a＝a2＝|a|2 或|a|＝ a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
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[再练一题] 3．题干条件不变，求|a－b|. 【解】 因为|a|＝4，|b|＝2，且 a 与 b 的夹角 θ＝120°. 所以|a－b|＝ （a－b）2＝ a2－2a·b＋b2 ＝ 42－2×4×2×cos 120°＋22＝2 7， 所以|a－b|＝2 7.
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图 2－4－1
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(2)数量积的几何意义： a·b 的几何意义是数量积 a·b 等于__a_的__长__度__|a_|____与 b 在 a 的方向上的投影