全等三角形(1)_初中数学

内容基本要求略高要求较高要求全等三角形了解全等三角形的概念，了解相似三角形和全等三角形之间的关系掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用三角形全等的性质和判定解决简单问题会利用全等三角形的知识解释或证明经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系一、全等的概念全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形．相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等．如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABC D E ≌五边形'''''A B C D E ． 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．A'B'C'D'E'EDCBA全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形．全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角．中考要求知识点睛全等三角形的性质及判定(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．二、全等的性质和判定全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 判定三角形全等的基本思路：SAS H LSSS→⎧⎪→⎨⎪→⎩ 找夹角已知两边 找直角 找另一边 ASA AAS SAS AAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩ 边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ASAAAS→⎧⎨→⎩ 找两角的夹边已知两角 找任意一边全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： ⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． ⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上． ⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)． ⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合． ⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)． ⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等． ⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．板块一、基本概念及性质判定【例1】 判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ；⑹ ．全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别 ．【例2】 两个三角形具备下列（ ）条件，则它们一定全等．A ．两边和其中一边的对角对应相等B ．三个角对应相等C ．两角和一组对应边相等D ．两边及第三边上的高对应相等【例3】 下列命题错误的是（ ）A ．全等三角形对应边上的高相等B ．全等三角形对应边上的中线相等C ．全等三角形对应角的角平分线相等D ．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等【例4】 考查下列命题：①有两边及一角对应相等的两个三角形全等；②两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有_________个．【例5】 已知A B C ∆中，AB BC AC =≠，作与A B C ∆只有一条公共边，且与A B C ∆全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个．【例6】 如右上图所示，AB C D ∥，AC D B ∥，A B C D =，AD 与BC 交于O ，AE BC ⊥于E ，D F BC ⊥于F ，那么图中全等的三角形有哪几对？并简单说明理由．AFEO DC B【例7】 如图所示，AB AD =，BC D C =，E F 、在A C 上，A C 与BD 相交于P ．图中有几对全等三角形？请一一找出来，并简述全等的理由．FAE P DCB例题精讲们会全等？（1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等(证明略)． 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：A B C ∆、111A B C ∆均为锐角三角形，11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠．求证：111ABC A B C ∆∆≌．(请你将下列证明过程补充完整．)证明：分别过点B ，1B 作BD AC ⊥于D ，1111B D A C ⊥于1D ．则11190BDC B D C ∠=∠=︒， ∵11BC B C =，1C C ∠=∠，∴111BCD B C D ∆∆≌ ∴11BD B D =DCBA D 1C 1B 1A 1（2）归纳与叙述：由⑴可得到一个正确结论，请你写出这个结论．板块一、巩固练习 平移类全等【例1】 已知：如图，AB DE ∥，AC D F ∥，BE C F =． 求证：AB DE =．FEDC B A【例2】 A B C ∆中，,,A B C ∠∠∠的对边长分别为,,a b c ．如果1()2b ac <+．求证：1()2B AC ∠<∠+∠．EDCBAABC D AB BC C D E G F EF DG ⊥EF D G =GFEDCBA【巩固】在正方形ABC D 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、C D 、DA 边上的点，且EG FH ⊥，求证：EG FH =．HGF ED CB A【例4】 如图，已知A B C∆⑴请你在BC 边上分别取两点D 、E (BC 的中点除外)，连结AD 、AE ，写出使此图中只存在两对．．．．．面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形； ⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB AC AD AE +>+．CBA⑴DE CBA轴对称类全等【例1】 如图所示，O P 是A O C ∠和B O D ∠的平分线，O A O C =，O B O D =．求证：A B C D =．PDBOCA【例2】 如图所示， 已知AB D C =，AE DF =，C E BF =，证明：AF DE =．F DC BA【例3】 如图所示：A B A C =，AD AE =，C D 、BE 相交于点O ．求证：O A 平分D AE ∠．AB CDEO【例4】 已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．ODCBA【巩固】如图，已知AC BD =，AD AC ⊥，BC BD ⊥，求证：AD BC =．C BA【例5】 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB D C =，BE C F =，B C ∠=∠．求证：O A O D =．F E ODCB A【例6】 已知A B C ∆中，A B A C =，BE 、C D 分别是ABC ∠及AC B ∠平分线．求证：C D B E =．ED CB A【巩固】已知，如图，A B A C =，C E A B ⊥，BF AC ⊥，求证：BF C E =．F E CBA【例7】 如图，已知E 是A C 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．E DC B A4321【例8】 已知A B C ∆中，A B A C =，G E 过A 且G E BC ∥，B ∠的平分线与A C 和G E 分别交于D ，E ，C∠的平分线与AB 和G E 分别交于F ，G ．求证D E FG =．GFEDCBAC AB CD CE =D C A EC B ∠=∠DAE EBD ∠=∠EDC BA【例9】 如图，在△ABC 中，90BAC ∠=︒，BD 平分ABC ∠交A C 于D ，AE BC ⊥于E 交BD 于G ，F G ∥A C交BC 于F ，连接D F ．求证：D F BC ⊥GFEDCBA【例10】 如图，A B C ∆中，A B B C =，90ABC ∠=︒，D 是A C 上一点，且C D C B AB ==，D E AC ⊥交AB 于E 点．求证：AD DE EB ==．CB DEA【例11】 如图，A B C ∆中，A B A C =，D 、E 分别是AB 、A C 的中点，D G BC ⊥于G ，EH BC ⊥于H ．求证：D G EH =．HG ED CBA【例12】 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC D E =，M 为C D 中点．求证：A M C D ⊥．M EDC B A【巩固】如图，AB AE =，ABC AED ∠=∠，B C E D =，点F 是C D 的中点．求证：AF C D ⊥．F EDC BA【例13】 如图，在等腰A B C ∆中，A B A C =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且A E A F =．求证：ED B FD C ∠=∠．DFECBA【例14】 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC D E =，M 为C D 中点．求证：A M C D ⊥．M EDC B A中点及中心对称类全等【例5】 如图，AC D E ∥，BC EF ∥，AC D E =．求证：AF BD =．FEDCBA【巩固】如图所示：AB C D ∥，A B C D =．求证：AD BC ∥．DCBA【例6】 如图，已知AB D C =，AD BC =，O 是BD 中点，过O 点的直线分别交DA 、BC 的延长线于E F ，．求证：E F ∠=∠21OFEDCBA【例7】 如图，AB CD ，相交于点O ，O A O B =，E 、F 为C D 上两点，AE BF ∥，C ED F =．求证：AC BD ∥． OF E DCBA【巩固】如图，在梯形ABC D 中，AD BC ∥，E 为C D 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求FC AD =FEDCBA【例8】 已知：如图，梯形ABC D 中，AD BC ∥，点E 是C D 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BC E FD E ∆∆≌．DFECBA【例9】 如图，在A B C ∆中，D 是BC 边的中点，F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，C F BE ∥．求证：BD E C D F ∆∆≌．FEDCBA【例10】 已知AC B ∆，B AC B ∠=∠，D ，E 分别是AB 及A C 延长线上的一点，且B D C E =，连接D E 交底BC于G ，求证G D G E =．GED C BA旋转类全等【例11】 如图，在R t ABC ∆中，AB AC AD BC =⊥，，垂足为D ．E F 、分别是C D AD 、上的点，且C E A F =．如果62AED ∠=︒，那么DBF ∠=__________．FCBA【例12】 E 、F 分别是正方形ABC D 的BC 、C D 边上的点，且BE C F =．求证：AE BF ⊥．PFEDCBA【巩固】E 、F 、G 分别是正方形A B C D 的BC 、C D 、AB 边上的点，G E E F ⊥，G E E F =．求证：B GC F B C +=．GA BC DEF1. 如左下图所示，A B C ∆中，D 、E 分别在A C 、AB 上，BD 与C E 交于点O ，给出下列四个条件：①EBO D C O ∠=∠；②BEO C D O ∠=∠；③B E C D =；④O B O C =上述四个条件中，哪两个条件可判定， A B C ∆是等腰三角形(用序号写出所有情形)；A B CDEO2. 在AB 、A C 上各取一点E 、D ，使A E A D =，连接BD 、C E 相交于O 再连结A O 、BC ，若12∠=∠，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．21E ODCBA课后作业。