山东省诸城市桃林镇桃林初中九年级数学复习题：第36章对策与操作(无答案)

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山东省诸城市桃林镇桃林初中2017年秋初中竞赛模拟9数学试题(无答案)

初中数学竞赛模拟试题(九)一、选择题1.(x ，y ，z )() A .存在且有无限多组 B .存在有限多组 C .一定不存 D .无法确定是否存在2.若函数221(46094609)2y x x x x =-++-+，当自变量x 取1，2，3，…，15，16这16个自然数时，函数值的和是() A .—3B .44C .91D .823.函数1212...,...n n y x a x a x a a a a =-+-++-<<<，下列4项中正确的是() A .有1个x 的值使y 取得最小 B .有2个x 的值使y 取得最小C .有x 的无穷个值使y 取得最小D 有x 的一个值，或有x 的无穷个值使y取得最小4.如图9－1中的圆与三个半圆都相切，且两个较小半圆半径都为1，又都与大半圆相切，则阴影部分的面积为() A .2π B .49π C .πD .59π 5.下列4个命题中正确的命题有() (甲)若,αβ都是不相等的无理数，则αβαβ+-也是无理数 (乙)若α是无理数，β是有理数，则αβ+是无理数 (丙)若α(丁)若,αβ都是不相同的无理数，则αβαβ+-是无理数 A .0 B .1C .2D二、填空题CE6.已知a b c db c d a===，则a b c da b c d+++++-的值=______________________7.如图9－2，在∆ABC中，AB=BC=12，∠B=90°，以EF为折痕折叠，使A与BC上一点D重合，若BD:DC=2:1，则AE的长是______________8. ...++=______________9.已知直角△ABC中，边a、b、c有关系b＋c=3a，则cosA=_____________10.图9－3中有4个三角形和一个正方形，如果要把1－8这8个自然数分别填入图中的8个圈内，使得每个三角形顶点处的3个数之和都相等，且与正方形顶点处的4个数之和也相等，那么这个和等于____________________________. (请在图中填入各数) 三、解答题 11.18118⨯=， 18472⨯=， 187126⨯=18236⨯=， 18590⨯=， 188144⨯= 18354⨯=， 186108⨯=， 189162⨯= 上述等式说明18是一个奇怪的二位数——18分别乘以1，2，3，4，5，6，7，8，9以后，所得乘积的各位数字的和不变，请你找出另外一个两位数，他也是具有这种奇怪的现象，并加以证明12.某人每天5时下班时，有汽车按时到达接他回家，有一天他提前1h 结束工作，因汽车未到达而步行回家，在途中遇到来接他的汽车又乘车，因而比平时早10分钟到家，问此人步行多少分钟遇到来接他的汽车13.如图9－4，P 是O 直径AB 上一点，再过P 引任一弦DPC ，过P 引AB 的垂线分别与AD 的延长线，O 及AC 交于点N ，H ，M ，G .2N14.若自然数n有m个正奇约数(包括约数1)，求证：n有m—1种拆成连续自然数之和的方法。

山东省诸城市桃林镇中考数学第36章对策与操作复习题无答案

第36章对策与操作▪36.1甲、乙两人轮流报数字，甲先报，第一次可报1或2以后每次每人所报的数字都是在对方所报数字的基础上加1或2，不能不报，也不能报的数字比对方大3或3以上，先报到30这个数字者为胜，谁有必胜策略？▪36.2黑板上写着1-100这100个自然数，甲乙两人轮流将数字化取，每次每人划去1个，但最后剩下2个时，如果这2个数互质，甲胜，如果不互质，乙胜。

问谁将获胜？‥36.3一堆火柴有3000根，甲、乙两人轮流取火柴，每次只允许取出2k根火柴（k=0，1，2…），由甲先取谁取到最后一根火柴，正确游戏时谁将获胜？‥36.4盒子里有1997根火柴，甲、乙两人轮流从盒中往外取火柴（不再放回），每人每次可取1至7中的任意根，谁取到最后一根，问：谁将获胜？∴36.5 今有围棋子1400颗，甲、乙两人做取围棋子的游戏，甲先取，乙后取，两个轮流各取一次，规定每次只能取7p颗棋子（p为1或不超过20的任意一质数），谁最后取完谁获胜？问甲、乙两人谁有必胜的策略？‥36.6 如图所示，一横排有n个空格（n≥4，n是自然数），裁判员先把一个棋子放入最左边的格子内，然后甲、乙两人轮流向右走这枚棋子，每人每次可走一步、两步或三步，游戏规定，把棋子走入最右边格的人是胜利者，问先走者，还是后走者有必胜的策略？∴36.7 如图所示，5×7的方格棋盘的右上角有一个棋子，甲、乙两人轮番走这个棋子，每人每次走一步，可以向下或向左或向左下方把棋子走入另一个格内，例如走棋者可以把棋子走入A、B、C格之一格，游戏规定，把棋子走路左下角x那个小方格者是胜利者。

问先走棋者还是后走棋者有必胜策略？∴36.8甲、乙两人轮番往m×n的方格盘内放棋子，甲先放第一个棋子以只能在与上述棋子相邻的某格内放棋子（相邻格指一条公共边时两个格），甲再放时又必须在与乙所放的棋子相邻的某格内放棋子，以后轮番放棋子也遵守这个规定，谁无法放棋子时谁失败？为避免失败，你愿意先放还是后放？‥36.9 甲、乙在一个n×n的方格表中做填数游戏，每次允许在一个方格中填入数字0或者1（每个方格中只能填入一个数字），由甲先填，然后轮流填数，直至表格中每个小方格内都填了数，若每一行中各数之和都是偶数，则规定为乙获胜，否则当作甲获胜。

山东省诸城市桃林镇中考数学压轴题专项汇编专题30 函数与面积-人教版初中九年级全册数学试题

专题30 函数与面积破解策略解决函数与面积问题的常用方法有 1．割补法当所求图形的面积没有办法直接求出时，我们采取分割或补全图形再分割的方法来表示所求图形的面积，如图：EDC BADCBADCBAS △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD S 四边形ABCD ＝S 四边形ADCE ＋S △BCEN FMDCBAECBAS △ABC ＝S 梯形AEFC －S △AEB －S △CBF S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S 梯形BDNM －S △BCM －S △D一般步骤为：（1）设出要求的点的坐标；（2）通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积相加减；（3）列出关于所设参数的方程求解；（4）检验是否每个坐标都符合题意． 2．等积变换法利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示：nmD C EBA直线m ∥直线nS △ABC ＝S △ABD ＝S △ABE例如，在平面直角坐标系中经常作已知三角形一边的平行线去进行等积变换，y xO EDC BAS △ABC ＝S △ABD ＝S △ABE一般步骤：（1）设出直线表达式，两条平行的直线k 值相等；（2）通过已知点的坐标，求出直线表达式；（3）求出题中要求的点；（4）检验是否每个坐标都符合题意．3、铅锤法三角形的铅垂高指无论三角形怎么放，上方顶点到下方顶点的纵向距离（不是两点之间的距离，而是指两点之间上下距离，左右横向不用考虑）．在平面直角坐标系中经常向x 轴y 轴作垂线，然后利用铅锤法，如图一般步骤：（1）设出点的坐标；（2）向x 轴y 轴作垂线对图形进行分割，利用铅锤法表示图形面积；（3）根据题意列方程求解；（4）检验是否符合题意． 4．等比转换法若已知条件中的图形是相似的，可以将面积比转化为图形的线段比；若已知条件中的图形是同底或等底的，可以将面积比转化为图形的对应高的比；若已知条件中的图形是同高或等高的，可以将面积比转化为图形的对应底的比一般步骤：（1）设出点的坐标；（2）将图形的面积比转化为图形的线段比；（3）列方程，求出参数；（4）检验是否符合题意．例1如图，直线x y 21=与双曲线)0(>=k x ky 交A 、B 两点，且点A 的横坐标为4，（1）求k 的值（2）若双曲线)0(>=k xky （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线)0(>=k xky ）于P ，Q 两点（P 点在第一象限），若由点A ，B ，P ，Q 为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．解（1）∵点A 横坐标为4，把x ＝4代入x y 21=中得y ＝2， ∴A （4，2）， ∵点A 是直线x y 21=与双曲线)0(>=k xky ）的交点， ∴k ＝4×2＝8；（2）解法一：如图，∵点C 在双曲线上，当y ＝8时，x ＝1， ∴点C 的坐标为（1，8）．过点A ． C 分别做x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，得矩形DMON ． ∵S 矩形ONDM ＝32，S △ONC ＝4，S △CDA ＝9，S △OAM ＝4． ∴S △AOC ＝S 矩形ONDM −S △ONC −S △CDA −S △OAM ＝32−4−9−4＝15；解法二：如图，过点C ． A 分别做x 轴的垂线，垂足为E ． F ， ∵点C 在双曲线y ＝8x 上，当y ＝8时，x ＝1， ∴点C 的坐标为（1，8）． ∵点C ． A 都在双曲线y ＝8x 上， ∴S △COE ＝S △AOF ＝4，∴S △COE ＋S 梯形CEFA ＝S △COA ＋S △AOF ． ∴S △COA ＝S 梯形CEF A ．∵S 梯形CEFA ＝12×（2＋8）×3＝15， ∴S △COA ＝15；（3）∵反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形， ∴OP ＝OQ ，OA ＝OB ，∴四边形APBQ 是平行四边形，∴S △POA ＝S 平行四边形APBQ ×14＝14×24＝6，设点P 的横坐标为m （m ＞0且m ≠4），得P （m ，8m ），过点P 、A 分别做x 轴的垂线，垂足为E ． F ， ∵点P 、A 在双曲线上， ∴S △POE ＝S △AOF ＝4，若0＜m ＜4，如图，∵S △POE ＋S 梯形PEFA ＝S △POA ＋S △AOF ， ∴S 梯形PEFA ＝S △POA ＝6． ∴21 （2＋m8）⋅（4−m ）＝6 ∴m 1＝2，m 2＝−8（舍去）， ∴P （2，4）；若m ＞4，如图，∵S △AOF ＋S 梯形AFEP ＝S △AOP ＋S △POE ， ∴S 梯形PEFA ＝S △POA ＝6． ∴21 （2＋m8）⋅（m −4）＝6，解得m 1＝8，m 2＝−2（舍去）， ∴P （8，1）．∴点P 的坐标是P （2，4）或P （8，1）．例2如图，抛物线c bx ax y ++=2的对称轴为直线x ＝2，且与x 轴交于A 、B 两点，且与x 轴交于A 、B 两点．与y 轴交于点C ．其中AI （1，0），C （0，－3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上运动（点P 异于点A ）．当△PBC 面积与△ABC 面积相等时．求点P 的坐标；解：（1）由题意，得，解得∴抛物线的解析式为．（2）①令，解得∴B （3，0）当点P 在x 轴上方时，如图1，过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，易求直线BC的解析式为，∴设直线AP的解析式为，∵直线AP过点A（1，0），代入求得．∴直线AP的解析式为解方程组，得∴点当点P在x轴下方时，如图1设直线交y轴于点，把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点，得直线的解析式为，解方程组，得∴综上所述，点P的坐标为：，例3如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线23=+-（a≠0）与x轴交于A（－2，0），B（4．0）y ax bx两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个电位长度的速度向点C运动，其中一个点到达终点时．另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，问：运动多少秒时，△PBQ的面积最大，晟大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点K．使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2？若存在，求点K 的坐标；若不存在，请说明理由．x解（1）因为抛物线与x轴交于A（－2，0），B（4，0）两点，所以y＝a（x＋2）（x－4）＝ax2－2ax－8a．所以－8a＝－3，解得38a=．b＝－2a＝－34．所以抛物线的表达式为233384y x x=--．（2）如图1．过点Q作QH⊥x轴于点H．x图1在Rt△BCO中，OB＝4，OC＝3，所以BC＝5．sin B＝35．在Rt△BQH中，BQ＝t．所以QH＝BQ·sin B＝35t．所以S△PBQ＝12BP·QH＝12（6－3t）×35t＝()29911010t--+．因为0≤t≤2，所以当t＝1时，△PBQ的面积最大，最大面积是910．（3）方法一：等比转化法当△PBQ的面积最大时，t＝1，此时P是AB的中点，点P的坐标为（1，0），BQ＝1．如图2，因为△PBC与△PBQ是等高三角形，所以S△PBC∶S△PBQ＝BC∶BQ＝5∶1．x图2当S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2时，S △PBC ∶S △CBK ＝2∶1．因为△PBC 与△CBK 是同底三角形，所以对应高的比是2∶1．如图3，在x 轴上点B 的右侧取一点D ．使得BD ＝12BP ，则点D 的坐标为11,02⎛⎫ ⎪⎝⎭， x图3过点D 作BC 的平行线交抛物线于点K ，过点K 作KF ⊥x 轴于点E ．设点K 的坐标为()()3,248x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．由KE CD DE BO =，得()()324381142x x x -+-=-．整理得2430x x -+=．解得11x =，23x =．所以点K 的坐标为（1，278-）或（3，158-）．方法二：铅垂法由S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2，S △PBQ ＝910，得S △CBK ＝94．如图4．过点K 作x 轴的垂线交BC 于点F ，设点K 的坐标为233,384x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．x图4F CBAOP Q K由于点F 在直线BC 上，所以点F 的坐标为3,34x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以KF ＝22333333348482x x x x x ⎛⎫⎛⎫----=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．△CBK 被KF 分割为△CKF 和△BKF ．它们以FK 为底的高的和为OB ＝4．所以S △CBK ＝2133942824x x ⎛⎫⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，解得11x =，23x =．所以点K 的坐标为（1，278-）或（3，158-）．进阶训练1．如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A （－1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与抛物线变于点P ．与直线BC 相交干点M ，连结P B ．（1）位于第一象限内的抛物线上是否存在点D ．使得△BCD 的面积最大？若存在，求出点D 的坐标及△BCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由．（2）抛物线上是否存在点Q ，使得△QMB 与△PMB 的面积相等？著存在．求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．xMPC BAO【答案】（1）存在，点D 的坐标为315,24⎛⎫⎪⎝⎭，S △BCD 取最大值278；（2）存在，点Q 的坐标为（2，3），317317,22⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或317317,22⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭．【提示】（1）由题意可得y ＝－x 2＋2x ＋3．设D （t ，－t 2＋2t ＋3）．作DH ⊥x 轴于点H ，则S △BCD ＝S 梯形DCOH ＋S △BDH －S △BOC ＝－32t 2＋92t ＝－23327228t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．从而当t ＝32时，S △BCD 取得最大值等，此时点D 315,24⎛⎫⎪⎝⎭．（2）易得直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3．点P ，M 的坐标分别为（1，4），（1，2）．直线PM 与x 轴交于点E （1，0）．所以PM ＝EM 过点产且与直线BC 平行的直线为y －x ＋5．过点E 且与BC 平行的直线为y ＝－x ＋1．两直线与抛物线的交点即为满足条件的点Q ，所以点Q 为Q 1 （2，3），Q 2317317+-⎝⎭， Q 3317317-+⎝⎭xMPCBAOD2．如图，抛物线y ＝213222x x --与T 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，P 是x 轴下方抛物线上的一个动点（不与点C 重合）．连结P B ．P C ．设△PBC 的面积为S ，（1）求S 的取值X 围；（2）若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有个．xyA CBO【答案】（1）0＜S ＜5；（2）11个，【提示】（1）设点P 的坐标为213,222m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，如图，过点P 作一轴的平行线，交BC 于点F ，则可得点F 的坐标为1,22m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．①当点P 在BC 下方的抛物线上时．可得FP ＝－2122m m +，从而S ＝12PF ·OB ＝－（m －2）2＋4，此时0＜S ≤4；②当点P 在BC 上方、x 轴下方的抛物线上时．S 最大＝S △ABC ＝5．此时0＜S ＜5，即得解．（2）点P 在x 轴下方、BC 上方时，面积为1，2，3，4的三角形各一个；点P 在BC 下方时，面积为1，2，3的三角形各2个，面积为4的三角形为1个，共11个满足条件的△PB C ．xyFA CBO P3．如围，抛物线E ：y ＝x 2经过点A （1，m ），以原点为顶点的抛物线E 2经过点B （2，2），点A ，B 关于y 轴的对称点分别为点A ′，B ′．P 为第一象限内的抛物线E 1上与点A 不重台的一点，连结OP 并延长与抛物线E 2相交于点P ′，求△PAA ′与△P ′BB ′的面积之比．xyE 2E 1P′B′A′AB OP【答案】14PAA P BB S S '''=△△．【挺示】易得点A （1，1）．抛物线E 2表达式为y ＝212x ．如图，过点P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，PC 交直线AA '于点E ；过点P ′作P ′D ⊥x 轴，垂足为D ．P 'D 交直线BB ′于点F ．依题意可设P （c ，c 2），P ′（d ，212d ）．其中c ＞0，c ≠1．因为tan ∠POC ＝tan ∠P 'O D ．则2212d c c d =．可得d ＝2c ． 222211211122111422242222PAA P BB AA PE c c S S c BB P F d ''''⋅⨯⨯--====⨯-''⋅⨯⨯-△△．x2。

山东省诸城市桃林镇桃林初中2017年秋初中竞赛模拟36数学试题(无答案)

初中数学竞赛模拟试题(三十六)一、选择题(每小题6分，共30分)1．已知钝角三角形的三边长分别是3，4，x ，则x 的取值范围是()A ．1＜x ＜7B ．5＜x ＜7C ．1＜x．5＜x ＜7或1＜x2．满足方程y 4＋2x 4＋1＝4x 2y 的所有整数对(x ，y )共有()对．A ．2B ．3C ．4D ．53．设n 为自然数，且a n11a ＋31a ＋51a ＋···＋9971a ＋9991a 的值是() A ．3B ．4C ．5D ．64．如图36－1，各边都相等的五边形ABCDE 中，∠ABC ＝2∠DBE ．那么，∠ABC 为()A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°5．设在一个宽度为w 的小巷内，一个梯子的长为a ，梯子的脚位于P 点．将该梯子的顶端放于一堵墙上Q 点时，Q 离开地面的高度为k ，梯子的倾斜角为45°，将该梯子的顶端放于另一堵墙上R 点时，R 离开地面的高度为h ，且此时梯子的倾斜角为75°，则小巷的宽度等于()A ．aB ．2h k +C ．kD ．h 二、填空题(每小题6分，共30分)6．已知a ，b ，c 都是正整数，且满足条件a 2－b 2－c 2＝abc ，a 2＝2(b ＋c )．则a ＝__________，b＝__________，c＝__________．7．如图36－2，AB＝CD＝1，∠ABC＝90°，∠CBD＝30°(A，C，D在同一直线上)．求AC＝__________．8．HJ牌小汽车的油箱可装汽油30升．愿来装有汽油10升，现在再加汽油x升．如果每升汽油 2.95元，油箱内汽油的总价y(元)与x(升)之间的函数关系式是____________________．其图像为(请画在图36－3的坐标系中)．x6－5－x4＋x3－2＋2x__________．9．已知x三、解答题(每小题15分，共60分)11．已知a，b，c，12．如图36－5，AD为⊙O的直径，过D的切线交BC的延长线于P，连PO并延长分别交AC，AB于N，M．求证：OM＝ON．13．设P为正整数，如果不定方程x2＋y2＝p(xy－1)有正整数解．试证明：p＝5．14．如图36－6，已知点A(tanα，0)，B(tanβ，0)在x轴的正半轴上，点A在点B的左边，α，β是以线段AB为斜边，顶点C为x轴上方的Rt△ABC的两个锐角．(1)若二次函数y＝－x2－52kx＋(2＋2k－k2)的图像经过A，B两点，求它的解析式；(2)点C在(1)中求出的二次函数的图像上吗？请说明理由．。

山东省诸城市桃林镇中考数学第30章函数[x]与{x}复习题(无答案)(new)

第30章函数[x ]与｛x }30．1 设k 是整数，则下述正确的是（）A ．[][][]m n m n +=+B ．[][][]mn m n =C ．[][]km k m =D ．若m 不是整数，则[][]1m m ---30．2 求满足25{}[]125x x +=的所有实数x 的和（其中［x ]表示不超过x 的最大整数，{}[]x x x =-表示x 的小数部分）．30．3 解方程：13[]51{}21x x x -=+，这里[x ]表示不超过x 的最大整数，{}[]x x x =-．30．4 对于有理数x 和y ．用[x ]和［y ］分别表示不大于x 和y 的最大整数，解方程组3[] 1.53[]22.2x y x y +=⎧⎨-=⎩．30．5 已知x 、y 、z 满足[]{}0.9[]{}0.2{}[] 1.3x y z x y z x y z ++=-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩③②①，其中，对于a ，［a ]表示不大于a 的大整数，{}[]a a a =-．求x 、y 、z 的值．30．6 对于有理数x ,用［x ］表示不大于x 的最大整数，解方程65135[]07x x --+=．30．7 若符号[x ]表示不大于x 的最大整数，对正有理数a ，求方程4[]34x a +=的正整数解．30．8 求方程294155[]09x x +-+⨯=，0x >的解．30．9 对于有理数x ，用［x ］表示不大于x的最大整数，解方程22520310[]025y y ++-=．30．10 设［x ］表示不超过x 的最大整数,解方程[2][3]95x x +=． 30．11 已知20032004x <<，[x ]表示不大于x 的最大整数，{}[]x x x =-，如果[]{}x x ⨯是正整数,求满足条件的所有实数x 的和．30．12 计算：1352120072009{}{}{}{}{}{}777777k -+++++++，其中｛a ｝表示a 的小数部分．30．13 将正整数中所有被4整除以及被4除余1的数全部删去，剩下的数依照从小到大的顺序排成一个数列｛a ｝：2，3，6，7,10，11，…．数列{}n a 的前n 项之和记为n S ,其中n ＝1,2,3，…．求122006[][][]S S S S =+++的值（其中［x ］表示不超过x的最大整数)．30．14 若最简分数p q写成小数形式为0．abababab …（这里非负整数a 、b 可以相等，但至少有一个非0)．请问：符合条件的分数中，不同的分子有多少个?30．15 设［x ]表示不大于x 的最大整数，给出下列100个数：20071[]1+，20072[]2+，20073[]3+，…，2007100[]100+．试判断其中有多少个不同的整数．30．16 如图所示，圆周上有2009个点，按顺时针依次编号为1到2009．今从编号为1的点开始，每隔6个点去掉一个点，则第500次去掉的点的编号是多少？尊敬的读者：1 23 2008 2009本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

山东省诸城市实验初级中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题

山东省诸城市实验初级中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题一、单选题1．在R t △ABC 中，∠C =90°，sin A =45，则cos B 的值等于( )A ．35B ．45C ．34D 2．如图，点A ，B ，O 都在格点上，则AOB ∠的正切值是（）A B ．12C ．13D3．已知α为锐角，且()tan 90α︒-α的度数为（） A ．30°B ．60°C ．45°D ．75°4．如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD ，DC AB ∥．BC 长6米，坡度为1:1，AD 的坡度为AD 长为（）米A ．B ．C ．D ．5．如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长2米，且与灯柱BC 成120︒角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC 高度应该设计为( ).A ．(11-米B ．(米C ．(11-米D ．()4米6．矩形ABCD 中AB ＝10，BC ＝8，E 为AD 边上一点，沿CE 将△CDE 对折，使点D 正好落在AB 边上，tan ∠AFE 等于（）A ．43B ．34C ．52D ．257．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是DC 上的点，:3:2DE EC =，连接AE 交BD 于点F ，则DEF V 与DAF △的面积之比为（）A ．25∶B ．35∶C ．425∶D ．925∶8．在ABC V 中，6AB =，5AC =，点D ，E 分别在AB AC ，上．ADE V 与ABC V 相似，且18::ADE BCED S S =四边形△，则AD 的值为（）A ．35B ．53或2C ．2D ．34或53二、多选题9．下列图形中一定相似的是（） A ．两个矩形 B ．两个圆C ．两个正方形D ．两个等边三角形10．如图，以点O 为位似中心，把ABC V 放大为原图形的2倍得到A B C '''V ，以下说法正确的是（）A ．:1:2ABC ABC S S '''=△△B ．:1:2AB A B ''=C ．点A ，O ，A '三点在同一条直线上D ．BC B C ''∥11．如图，在ABC V 中，D 、E 分别为BA 、BC 边上靠近点B 的三等分点，且DE AC ∥，则下列结论正确的是（）A ．:1:3DE AC =B ．:1:2OD OC = C ．:1:2BDE CDE S S =V VD ．:1:4DOE AOC S S =△△12．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘隔开的两棵树A ，B 的距离，他们设计了如图的测量方案：从树A 沿着垂直于AB 的方向走到E ，再从E 沿着垂直于AE 的方向走到F ，C 为AE 上一点，其中4位同学分别测得四组数据：其中能根据所测数据求出A ，B 两树距离的有（）A ．AC ，∠ACB B ．EF ，DE ，∠FC ．CD ，∠ACB ，∠ADB D ．∠F ，∠ADB ，FB三、填空题13．如图，已知A （4，2），B （2，﹣2），以点O 为位似中心，按位似比1：2把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标为．14．如图，在渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15°方向，此时灯塔M 与渔船的距离是海里．15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，BC=6，sinA=35，则DE=．16．如图，在ABC V 中，21530AC A B =∠=︒∠=︒，，，则ABC V 的面积为．四、解答题17．（1）计算：3sin 60tan30︒⋅︒︒=___________．（2）先化简，再求值：22231111a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+-+⎝⎭，其中tan 6045a =︒︒．18．已知：如图，BD 是ABC V 的高，6AB =，AC =30A ∠=︒．(1)求BD 和AD 的长； (2)求tan C 的值．19．如图，一艘渔船位于小岛B 的北偏东30︒方向，距离小岛80海里的点A 处，它沿着点A 的南偏东15︒方向航行．（结果保留根号）(1)渔船航行多远与小岛B 的距离最近？(2)渔船到达距离小岛B 最近点后，按原航向继续航行C 处时突然发生事故，渔船马上向小岛B 上的救援队求救，问：救援队从B 处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？20．如图，AD 是ABC V 的中线，1tan 2B =，cos C ，AC =(1)BC 的长；(2)sin ADC的值．21．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=23EH，求EH的长．22．如图，信号塔PQ坐落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结果不取近似值）23．矩形ABCD中，AB=2，AD=4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FE⊥AD 于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在线段AD上，连接CG，∠FGC=90°，延长GF 交AB于H，连接CH．(1)求证：△CDG∽△GAH；(2)求tan∠GHC．。

中考数学第36章对策与操作复习题无答案

山东省诸城市桃林镇桃林初中2022届中考数学压轴题专项汇编：专题

山东省诸城市桃林镇桃林初中2022届中考数学压轴题专项汇编：专题专题26 相似三角形的存在性破解策略探究两个三角形相似时，一般情况下首先寻找一组对应角相等，然后根据对应边成比例分两种情况列方程．掌握一些相似的根本模型有助于快速解决问题，相似三角形的根本模型有： 1．“A〞字形：在△ABC中．点D在AB上，点E在AC上．DE∥BC．结论：△ABC∽△ADE． ADBEC2．反“A〞字形〔1〕：在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，∠AED＝∠ABC．结论：△ABC∽△AED．AEBDC〔2〕：在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠ABC．结论：△ABC∽△A〔：D． ADB3．“8〞字形：在△ABC中，点D在CA的延长线上，点E在BA的延长线上，DE∥BC．结论：△ABC∽△AED．CDAB4．反“8〞字形EC：在△ABC中，点D在CA的延长线上，点E在BA的延长线上，∠ADE＝∠ABC．结论：△ABC∽△ADE．EDABC5．双垂直：△ABC中，∠BAC＝90?，AD为斜边BC上的高．结论：△ABC∽△DBA，△ABC ∽△DAC，△ABD∽△CAD．ABDC6．一线三等角〔1〕Rt△ABC和Rt△CED，B，C，E三点共线，?B??E??ACD?90?．结论：△ABC∽△CED．ADBCE〔2〕△ABC和△CDE，B，C，E三点共线，?B??E??ACD?90?．结论：△ABC∽△CED．ADBCE〔3〕△ABC和△CED，B，C，E三点共线，?B??E??ACD?90?．结论：△ABC∽△CED．ADBCE例题讲解例1如图，A〔－1，0〕，B〔4，0〕，C〔2，6〕三点，G是线段AC上的动点〔不与点A，C重合〕．假设△ABG与△ABC相似，求点G的坐标．yAOBxGC解：设直线AC的表达式为y?sx?t，?0?s?t?s??2 把A，C两点坐标代入可得?，解得?．?6?2s?tt??2??所以直线AC的表达式为y??2x?2．设点G的坐标为〔k，－2k －2〕，因为点G与点C不重合，所以△ABG与△ABC相似只有△AGB∽△ABC一种情况．所以AGAB． ?ABAC而AB＝5， AC?(2?1)2?(?6)2?35， AG?(k?1)2?(?2k?2)2?5k?1， 5k?15所以?528，即k?1?，解得k1?， k2??〔舍〕．333355210所以点G的坐标(,?)．33例2 如图，抛物线y?2(x?2)(x?4)与x轴交于点A，B〔点A在B的左侧〕，与y轴交于8点C，CD∥x轴交抛物线于点D． P是抛物线上一点，问：是否存在点P，使以P，A，B为顶点的三角形与△ABD相似〔△PAB与△ABD不重合〕？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，说明理由．yACODBx解：存在．因为点A〔－2，0〕，B〔4，0〕，C〔0，?2〕，过点D〔2，?2〕作DE⊥AB于点E，由勾股定理得AD?32,BD?6．PBAB1①如图，当△P∽△ABD时，，所以PB 过点P1作PM AB?66．?111⊥AB 于点M1，1ABBDPMDE所以11?，解得PM11?62． PBBD1∵BM1BE=，∴BM1?12，∴点P1的坐标为〔－8，62〕， PBBD1因为此时点P1不在抛物线上，所以此种情况不存在．P2BAB，所以P．过点P2作P2M2⊥AB于点M2， =2B=62ABADPMBM2AEDE=所以22=，解得P．因为，所以BM2?8， M=2222P2BADP2BAD②当△P2AB∽△BDA时，所以点P2的坐标为〔－4，22〕，将x＝－4代入抛物线的表达式得y=22，所以点P2在抛物线上．③由抛物线的对称性可知：点P2与点P3关于直线x＝1对称，所以P3的坐标为〔6，22〕．④当点P4位于点C处时，两个三角形全等，所以点P4的坐标为〔0，-2〕．综上所得，点P的坐标为〔－4，22〕，〔6，22〕或〔0，-2〕时，以P，A，B为顶点的三角形与△ABD相似．yP1P2P3M1M2AC(P4)ODBM3x例3 如图，直线y??x?3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y??x2?bx?c 经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以2个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似?假设存在，请求出t的值；假设不存在，请说明理由．yMBQAOPx解：∵y??x?3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴ A点坐标为〔3，0〕，B点坐标为〔0，3〕，??9?3b?c?0?b?2将A〔3，0〕，B〔0，3〕代入y??x2?bx?c，得?，解得?， c?3c?3??所以抛物线的解析式为y??x2?2x?3??(x?1)2?4．∴点M的坐标为〔1，4〕，MB?12?12?2．所以BM2?AB2?AM2， ?MBA?90?．如图，设运动时间为t秒，那么OP＝t， BQ?(3?t)2．①当△BOP∽△QBM 时，2(3?t)2MBBQ?，即，整理得： t2?3t?3?0， ?t3OPOB而??32?4?1?3?0，所以此种情况不存在；②当△BOP∽△MBQ时，所以当t?2(3?t)2MBBQ9?，即，解得t?． ?3t4OBOP9时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似． 4yMBQAOPx 进阶训练31．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y??x2?bx?c的图象交x轴于A?4,0?，4B??1,0?两点，交y轴于点C．〔1〕求抛物线的表达式和对称轴；〔2〕假设P是线段OA上的一点〔不与点O，A重合〕，Q是AC上一点，且PQ ＝PA，在x轴上是否存在点D，使得△ACD与△APQ相似？如果存在，请求出点D 的坐标；如不存在，请说明理由．yCQBAOPx∴点M的坐标为〔1，4〕，MB?12?12?2．所以BM2?AB2?AM2， ?MBA?90?．如图，设运动时间为t秒，那么OP＝t， BQ?(3?t)2．①当△BOP∽△QBM 时，2(3?t)2MBBQ?，即，整理得： t2?3t?3?0， ?t3OPOB而??32?4?1?3?0，所以此种情况不存在；②当△BOP∽△MBQ时，所以当t?2(3?t)2MBBQ9?，即，解得t?． ?3t4OBOP9时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似． 4yMBQAOPx 进阶训练31．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y??x2?bx?c的图象交x轴于A?4,0?，4B??1,0?两点，交y轴于点C．〔1〕求抛物线的表达式和对称轴；〔2〕假设P是线段OA上的一点〔不与点O，A重合〕，Q是AC上一点，且PQ ＝PA，在x轴上是否存在点D，使得△ACD与△APQ相似？如果存在，请求出点D 的坐标；如不存在，请说明理由．yCQBAOPx。

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第36章对策与操作▪36.1 甲、乙两人轮流报数字，甲先报，第一次可报1或2以后每次每人所报的数字都是在对方所报数字的基础上加1或2，不能不报，也不能报的数字比对方大3或3以上，先报到30这个数字者为胜，谁有必胜策略？▪36.2 黑板上写着1-100这100个自然数，甲乙两人轮流将数字化取，每次每人划去1个，但最后剩下2个时，如果这2个数互质，甲胜，如果不互质，乙胜。

问谁将获胜？‥36.3 一堆火柴有3000根，甲、乙两人轮流取火柴，每次只允许取出2k根火柴（k=0，1，2…），由甲先取谁取到最后一根火柴，正确游戏时谁将获胜？‥36.4 盒子里有1997根火柴，甲、乙两人轮流从盒中往外取火柴（不再放回），每人每次可取1至7中的任意根，谁取到最后一根，问：谁将获胜？∴36.5 今有围棋子1400颗，甲、乙两人做取围棋子的游戏，甲先取，乙后取，两个轮流各取一次，规定每次只能取7p颗棋子（p为1或不超过20的任意一质数），谁最后取完谁获胜？问甲、乙两人谁有必胜的策略？‥36.6 如图所示，一横排有n个空格（n≥4，n是自然数），裁判员先把一个棋子放入最左边的格子内，然后甲、乙两人轮流向右走这枚棋子，每人每次可走一步、两步或三步，游戏规定，把棋子走入最右边格的人是胜利者，问先走者，还是后走者有必胜的策略？∴36.7 如图所示，5×7的方格棋盘的右上角有一个棋子，甲、乙两人轮番走这个棋子，每人每次走一步，可以向下或向左或向左下方把棋子走入另一个格内，例如走棋者可以把棋子走入A、B、C格之一格，游戏规定，把棋子走路左下角x那个小方格者是胜利者。

问先走棋者还是后走棋者有必胜策略？∴36.8 甲、乙两人轮番往m×n的方格盘内放棋子，甲先放第一个棋子以只能在与上述棋子相邻的某格内放棋子（相邻格指一条公共边时两个格），甲再放时又必须在与乙所放的棋子相邻的某格内放棋子，以后轮番放棋子也遵守这个规定，谁无法放棋子时谁失败？为避免失败，你愿意先放还是后放？‥36.9 甲、乙在一个n×n的方格表中做填数游戏，每次允许在一个方格中填入数字0或者1（每个方格中只能填入一个数字），由甲先填，然后轮流填数，直至表格中每个小方格内都填了数，若每一行中各数之和都是偶数，则规定为乙获胜，否则当作甲获胜。

请问：⑴当a=2006，谁有必胜的策略？⑵对于任意正整数n，回答上述问题。

‥36.10 两个人做游戏，在1×2005方格纸带的中间的方格中放着一枚跳棋棋子，他们轮流移动棋子。

首先，甲把棋子（随便朝哪个方向）移动1格，乙把棋子（随便朝哪个方向）移动2格，接着甲移动4格, 再接着乙移动8格, 如此等等（第k次时随便朝哪个方向移动2k-1 格），如果谁再轮到自己时不能按规则移动棋子，就算他输，试问：谁可以不依赖于对方的行动而取胜？∴36.11 将8×8方格表的小方格内依下列方式标记上数字：在左上角（1,1）的位置的小方格内标上1；在它的右邻（1,2）位置及下邻（2,1）位置的小方格内分别标上2、3；再下一行斜线（1,3）、（2,2）与（3,1）三个位置的小方格内分别标上4、5及6；以此类推，每条斜线的小方格内标记数的顺序是由右上的方格依次到左下的方格。

在倒数第二条斜线（8,7）、（7,8）两个位置的小方格内标记的数是62及63，在最末一条斜线（8,8）位置的小方格内标记的数字是64，开始时，小丁在这个方格表上放入8颗石子，使得每行每列都各只有一颗石子，然后他把每一颗石子朝比他原来位置标记的数大的方格移动，经过这样的操作后，请问：是否有可能仍然保持每行每列都各只有一颗石子？‥36.12 甲、乙两人按如下法则进行游戏，甲先给出三个不同的非0实数，乙则将它们分别填在二次三项式（）x2+（）x+（）中空格的位置上.具体哪个数填在哪个位置上有乙决定，如果所得的二次三项式具有两个不同的有理根，那么甲获胜.证明：甲总可以使自己获胜.∴36.13 有一个3×3的方格棋盘以及9张大小为一个方格的卡片.在每一张卡片上任意写上一个数.甲乙两人做游戏，轮流选取一张卡片放到9格中的一格.对甲计算上、下两行六个数字的字的和，对乙计算左、右两列六个数字的和，和数大者获胜.证明：不论卡片上写着怎样的数，若甲先走，总可以有一种策略使得乙不可能获胜‥36.14在一张长方形或者圆形的桌面上两人轮流放硬币，硬币可以是5分的、2分的或1分的，每人每次放一个硬币之间不能相碰，更不能重叠，轮到某方时，无法再放下硬币者为负，试问先放者获胜还是后放者获胜？‥36.15 N个“-”号排成一行，甲乙轮流改“-”号为“+”号，每次只能改一个或相邻的两个，先得全部“+”号者胜，试讨论获胜策略.‥36.16 在一个1997×1997的国际象棋棋盘上，甲、乙两人轮流放置国际象棋中的“王”必须使得所放的“王”互相不能吃掉（“王”可以横、竖或斜吃一格），在正确的游戏下，谁将获胜？‥36.17 一个8×8的国际象棋棋盘，甲、乙两人轮流在格子里放上各自的“象”，使自己的“象”不会被对方吃掉，谁先不能放谁就输．如果策略正确，谁赢？★★36．18 两人轮流在10×10的方格表中画十字或画圈（每人每次可以在一个小方格内画一个十字或画一个圆圈），若在某人画过之后，方格表中出现了3个十字或3个圆圈相邻排列（可横向相邻，也可纵向相邻，亦可沿对角线方向相邻），则该人为赢者．试问：两人中是否有一人可保证自己一定赢？如果有的话，是哪一位？是先动手画的，还是其对手？★★36．19今有一张10×10的方格表，在中心处的结点上放有一枚棋子，两人轮流移动这枚棋子，即将棋子由所在的结点移到别的结点，但要求每次所移动的距离大于对方刚才所移的距离．如果谁不能再按要求移动棋子，谁即告输．试问：在正确的玩法之下，谁会赢？★★36．20 一个女孩与一个男孩依次作正24边形的对角线，要求所画的对角线互不相交，谁画下最后一条这样的对角线谁就胜．女孩第一个开始画，问：这女孩应当如何画才能得胜？★★★36．21 二人轮流将一个n边形的边涂上颜色．第一个人可以将和所有已经涂色的边中有0个或2个公共点的边涂上颜色，第二个人可以将和所有已经涂色的边中恰有1个公共点的边涂上颜色．首先无法再涂色者为输家．试求使得无论第一个人怎样涂色，第二个人一定会赢的所有的n值．★★★36．22 平面上给出2005个点，其中任何三点都不共线．每两点之间均用线段连结．老虎和驴子进行游戏：驴子给每条线段都用某个数字(0、1、2、3、4、5、6、7、8或9)标上号数，接着老虎也给每个点用某一个数字标上号数．如果驴子能找到某条线段与它的两个端点是同号的话，那么驴子获胜，否则认输．请证明：在正确方法下，驴子必胜．★★★36．23 有一块边长为n的正三角形形状的巧克力片，用一些直线将此块巧克力划分为n2个边长全都为1的小正三角形（将原正三角形的三个边各作n等分点，然后过这些等分点分别作与正三角形的边平行的直线）．二人轮流玩游戏，每一个轮到的人，若他拿到的不是一块边长为1的小正三角形巧克力，则必须沿着其内部一条直线，剥下一块正三角形形状的巧克力，把它吃掉，而将剩下的部分递交给另一个人，依次规则继续玩下去，得到最后一块边长为1的小正三角形巧克力的人，或使对手无法依上述规则继续玩下去的人获胜．请问：有哪些n值，先者有必胜的策略？有哪些n值，后者有必胜的策略？★★36．24 在正六面体的每个顶点上都任意写上一个数，然后进行以下之操作：每次操作都将正六面体每个顶点上的数同时替换成与此顶点相邻的三个顶点上的数之平均值．若经过10次操作后，所有八个顶点上的数都与它们原来所写的数相同，请问：最初在八个顶点上所写的数是否必须全部相同？★★36．25 8个小圆分别涂了4种颜色：2个红的、2个蓝的、2个白的、2个黑的．两个游戏者轮流把圆放到立方体的顶点上，在所有的圆都放到立方体的各个顶点上去后，如果对立方体的每一个顶点都能找到一条过此顶点的棱，其两个端点上的圆有相同的颜色，那么第一个放圆的人获胜，否则，第二个人获胜．在这个游戏中谁将获胜？★★36．26 柯尼亚和维佳在无穷大的方格纸上做游戏，自柯尼亚开始，他们依次在方格纸上标出结点，他们每标出一个结点，都应当使所有已标出的结点全都落在某一个凸多边形的顶点上（自柯尼亚的第二步算起）．如果谁不能再按法则进行下去，就判谁输，试问：按正常情况，谁能赢得这一游戏？★36．27 布袋里装着1997个红球与1997个蓝球．每次取出两个球，如果同色，就全部拿走；如果异色，就拿走红球，将蓝球还回袋内．问：能否在若干次这样的操作后将袋内所有球拿走？★★36．28 有三堆小球，数目分别是1995、995、95．允许你进行以下操作：从每一堆都取走（不放回）同样数目的小球，或者把有偶数个小球的堆中一半数目的小球放人另一堆，问：(1)有限次操作后，能否使两堆球的数目变成0?(2)有限次操作后，能否使三堆球的数目变成0?★★36．29 如图所示，三个圆交成7个部分，每个部分内都有一枚硬币，开始时全部正面向上，允许以下两种操作：①将某圆内4枚硬币全翻动一下；②将某圆内4枚硬币全翻成正面向上．问：是否能通过若干次操作，使得仅有中心处硬币正面向上，其余硬币的全部正面向下？★★★36．30 在n×n的方格盘中，把其中(n -1)个方格染成黑色，其余方格不染色．染完后，允许按下述操作把某些未染色的方格染上黑色，规则是，只要是某个未染色的方格与两个黑色方格相邻（如果两个方格有一条公共边，就称这两个方格相邻），就把这个方格染黑．证明：按这种规则操作下去，不能把整个棋盘全染成黑色．★36．31 在1995×1995的方格盘中，每个格内已预先染了色，共有两种颜色：红色或白色．允许你进行改色操作，规则是，任选其中一行，把这一行各格的颜色统一描成这一行中色数较多的那种色．对任何一列也可以这么改色，每改完一行或一列的颜色，叫做“操作一次”．问：有限次操作后，能不能使全部方格同色？★★★36．22 黑板上写着2000个数：1,2，…，2000．每次允许擦去两个数a、b（a≥b），并写上a-b8000次后得到了10000个数，问：这10000个数能否都小于500?★★36．33 一个圆分成6个扇形，依次填入数1、0、1、0、0、0，同时把相邻两个数增加1，按照这样的操作规则能使这个圆上的6个数都相同吗？★★★36．34 在正方形的顶点处放上火柴，开始在某个顶点处放1根火柴，其他三个顶点空着．允许我们从某个顶点移走任意根火柴，然后在它的一切相邻顶点处放上火柴，其根数之和等于移走根数的两倍．是否可以经过若干次这样的操作，使各顶点处的火柴根数（依顺时针方向或逆时针方向）为1、9、8、9？★★★36．35有三堆石子的个数分别为19、8、9，现在进行如下操作：每次从三堆中的任意两堆中分别取出1个石子，然后把这2个石子都加到另一堆上去，试问：能否经过若干次这样的操作使得：①三堆的石子数分别为2、12、22；②三堆的石子数均为12？如果达到要求，请用最小的操作次数完成它；如不能达到，说明理由．★★★36．36 一个海岛上住着13条蓝的、15条白的和17条红的变色龙，当两条不同色的变色龙相遇时，它们都变成了第三种颜色．例如，蓝的和白的变色龙相遇都变成了红色的．这些变色龙有可能变成同一种颜色吗？★★★36．37 黑板上写着1000, 1001, 1002，…，2999这2000个数，允许擦去两个a、b（a≤b），并写上2a，如此1999次后得到一个数．求证：这个数必定小于1．★★36．38 在黑板先写下2004!(=1×2×3×…×2004)这个数．小王与小丁二人轮流依下列规则玩游戏：每一次轮到的人都将黑板上的数减掉一个不大于它的自然数，规定这个自然数不同的质因子个数不得超过20个，若所得到的结果为0，则其获胜；否则，擦去黑板上的数，将所得的结果写在黑板上，再轮到下一位．请问：先者或后者谁有必胜的策略？如何操作？★★36．39 两个人交替地在黑板上写从1到1000的自然数．第一个人在黑板上写的数是1，然后，在黑板上写的数要么是2a，要么是a+l，其中a是已经写在黑板上的数，且在黑板上已经写过的数不允许再写，首先在黑板上写下1000的人获胜．问：哪个人有获胜策略？★★★36．40 两个人交替地在黑板上随意写一位数字，并从左到右排成一排．如果一个参赛者写完后，发现能用一个数字或几个数字照顺序组成的一个数可以被11整除，那么规定其将输掉这场游戏，问：哪个人有获胜策略？★★★36．41 鲍略默想一个大于100的整数，金娜则说出一个大于1的整数．若鲍略的数能被金娜的数整除，则金娜取胜，否则鲍略就得从自己的数中减去金娜刚才的那个数，而金娜则再报一个与前不同的新数．如此下去，若鲍略的数成为负数时，金娜就得认输．那么金娜有什么必胜的策略吗？★36．42 有分别写上数1,2,3，…，25的纸牌各一张，甲、乙两人依下列规则玩游戏：(1)由某人开始任选一张牌，另一人决定将此张牌分给谁．(2)从第二次开始，则由两人中所得到牌上的数的总和较大者先选牌（若两人总和相同，则由上次先选牌者继续选牌）．(3)取完所有牌后，两人中所得到牌上的数的总和较大者胜．如果由甲先选牌，是否能保证甲一定会赢？★★★36．43 一位魔术师的眼睛被蒙住，手上拿着编号为1、2、3、4、5的五张牌．魔术师请观众任意抽取两张牌，然后将剩下的牌交给他的助手．助手再从这三张牌中挑选出两张牌，并请其他观众依任意顺序念出助手所选出的牌之编号．请问：魔术师与助手之间如何事先约定一些数学策略，使得魔术师能万无一失地准确猜出观众手上两张牌的编号？。