2014年秋九年级新人教版数学上册 22.3 实际问题与二次函数同步练习

实际问题与二次函数
1、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴的两个交点B ，C 的横坐标，且此抛物线过点A （3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P ，对称轴与线段AC 相交于点Q ，求点P 和点Q 的坐标；（3）在x 轴
上有一动点M ，当MQ+MA 取得最小值时，求M 点的坐标．
2、如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；（2）足球第一次落地点C 距守门员多少米？（取734=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？（取562=）
3、跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB 为6米，到地面的距离AO 和BD 均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O 的水平距离为1米的点F 处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E ．以点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9．（1）求该抛物线的解析式；（2）
如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；（3）如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t 米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象，写出t的取值范围
4、随着和城近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润，他能获取的最大利润是多少？
详细解答
1、分析：（1）先求出一元二次方程的两个根，即可知与x轴的两个交点B，C的坐标，设出两点式，用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）根据B，C两点的坐标可求出二次函数的顶点坐标及对称轴方程，根据A，C两点的坐标可求出线段AC所在直线的表达式，求出两方程的交点即为Q点的坐标；
（3）根据两点之间线段最短，故当此三点在同一条直线上时MQ+MA取得最小值，作A关于x轴的对称点A′，连接A′Q；A′Q与x轴交于点M即为所求的点．
解：（1）解方程x2+2x-3=0
得x1=-3，x2=1（11分）
∴抛物线与x 轴的两个交点坐标为：C （-3，0），B （1，0）（2分）
设抛物线的解析式为y=a （x+3）（x-1）（a ≠0）．（3分）
∵A （3，6）在抛物线上
∴6=a （3+3）（3-1），∴a=21
（4分）
∴抛物线解析式为：y=21x2+x-23（5分）．
（2）由y= y=21x2+x-23=21（x+1）2-2（6分）
∴抛物线顶点P 的坐标为：（-1，-2），对称轴方程为：x=-1．（7分）
设直线AC 的方程为：y=k1x+b1．
∵A （3，6），C （-3，0），
∴在该直线上{036
31111=+-=+b k b k 解得⎩⎨⎧==3111b k
直线AC 的方程为：y=x+3（9分）
将x=-1代入y=x+3得y=2，
∴Q 点坐标为（-1，2）．（10分）
（3）作A 关于x 轴的对称点A ′（3，-6），
连接A'Q ；A'Q 与x 轴交于点M 即为所求的点（11分）
设直线A'Q 方程为y=kx+b
∴⎩⎨⎧=+--=+263b k b k 解得⎩
⎨⎧=-=02b k ． ∴直线A'Q ：y=-2x （12分）
令x=0，则y=0（13分）．2·1·c·n·j·y
2、分析：（1）依题意代入x 的值可得抛物线的表达式．
（2）令y=0可求出x 的两个值，再按实际情况筛选．
（3）本题有多种解法．如图可得第二次足球弹出后的距离为CD ，相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位可得 2=-121
（x-6）2解得x 的值即可知道CD 、BD ．
解：（1）如图，设足球开始飞出到第一次落地时，
抛物线的表达式为y=a （x-h ）2+k ，
∵h=6，k=4，
∴y=a （x-6）2+4，
由已知：当x=0时y=1，
即1=36a+4，
∴a=-121
，
∴表达式为y=-121（x-6）2+4，（或y=-121
x2+x+1）．
（2）令y=0，-121
（x-6）2+4=0，
∴（x-6）2=48，
解得：x1=34+6≈13，x2=-34+6＜0（舍去），
∴足球第一次落地距守门员约13米．
（3）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD ，
根据题意：CD=EF （即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位），
∴2=-121
（x-6）2+4，解得：x1=6-26，x2=6+26，
∴CD=|x1-x2|=46≈10，
∴BD=13-6+10=17（米）．
解法二：令-121
（x-6）2+4=0
解得：x1=-34+6（舍），x2=34+6≈13．
设抛物线CND 为y=-121
（x-k ）2+2，
将C 点坐标代入得： -121
（13-k ）2+2=0
解得：k1=13-26（舍去），k2=34+6+26≈6+7+5=18，
令y=0，0=-121
（x-18）2+2，x1=18-26（舍去），x2=18+26≈23，
∴BD=23-6=17（米）．
解法三：由解法二知，k=18，
所以CD=2（18-13）=10，
所以BD=（13-6）+10=17．
答：他应再向前跑17米．
3、分析：（1）已知抛物线解析式，求其中的待定系数，选定抛物线上两点E （1，1.4），B （6，0.9）坐标代入即可；
（2）小华站在OD 之间，且离点O 的距离为3米，即OF=3，求当x=3时，函数值；
（3）实质上就是求y=1.4时，对应的x 的两个值，就是t 的取值范围．
解答：解：（1）由题意得点E （1，1.4），B （6，0.9），代入y=ax2+bx+0.9得 ⎩⎨⎧=++=++9.09.06364.19.0b a b a ，解得⎩⎨⎧==6.01.0b a ，
∴所求的抛物线的解析式是
y=-0.1x2+0.6x+0.9；
（2）把x=3代入y=-0.1x2+0.6x+0.9得
y=-0.1×32+0.6×3+0.9=1.8
∴小华的身高是1.8米；
（3）当y=1.4时，-0.1x2+0.6x+0.9=1.4，
解得x1=1，x2=5，
∴1＜t ＜5．
4、解：（1）设y1=kx ，由图①所示，函数y1=kx 的图象过（1，2），
所以2=k •1，k=2，
故利润y1关于投资量x 的函数关系式是y1=2x （x ≥0）；
∵该抛物线的顶点是原点，
∴设y2=ax2，
由图②所示，函数y2=ax2的图象过（2，2），
∴2=a •22，a ＝21
，
故利润y2关于投资量x 的函数关系式是：y=21
x2（x ≥0）；
（2）设这位专业户投入种植花卉x 万元（0≤x ≤8），则投入种植树木（8-x ）万元，他获得的利润是z 万元，根据题意，
得z=2（8-x ）+21x2=21x2-2x+16=21
（x-2）2+14， 当x=2时，z 的最小值是14，
∵0≤x ≤8，
∴-2≤x-2≤6，
∴（x-2）2≤36， ∴21
（x-2）2≤18， ∴21
（x-2）2+14≤18+14=32，
即z ≤32，此时x=8，
答：当x=8时，z 的最大值是32．。