北京市西城区2016届高三一模试卷_数学

否
是S=S ∙A
A=A+k
k>4k=k+2
k=1输出S 输入A,S 结束
开始 北京市西城区2016高三一模试卷
数学（理科） 2016．4
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1.设集合{}2
40A x x x =+<，集合{
}
21,B n n k k ==-∈Z ，则A B =
(A){}1,1-
(B){}1,3
(C){}3,1--
(D){}3,1,1,3--
2.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θ
θ
⎧=+⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数），则C 曲线是
(A)关于x 轴对称的图形 (B)关于y 轴对称的图形 (C) 关于原点对称的图形
(D)关于y x =对称的图形
3.如果()f x 是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是 (A) ()y x f x =+
(B)()y xf x = (C)()2
y x f x =+
(D)()2
y x f x =
4.在平面直角坐标系xOy 中，向量()1,2OA =- ,()2,OB m =
，若O ，A ，B 三点构成的三角形，
则 (A) 4m =- (B)4m ≠-
C)1m ≠
(D)m ∈R
5.执行如图所示的程序库按图，若输入的A 、S 分别为0，1则输出的S = (A)4
(B)16
(C)27
(D)36
6.设10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，则“(),0a ∈-∞ ”是“12
log x x a >+”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
7.设函数()()sin f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>），且函数()f x 的部分图
像如图所示，则有
y
O x
5π6
π
12
(A)357436f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(B)375463f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (C) 5733
6
4
f f f πππ
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<<-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(D)5373
4
6
f f f πππ
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<-<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
8.如图，在棱长为()0a a >的正四面体ABCD 中，点B ，C ，D 分别在棱AB ，AC ，AD 上，
且平面111B C D ∥平面BCD ，1A 为BCD △内一点，记三棱锥1111A B C D -的体积为V ，设
1
AD x AD
=，对于函数()V F x =，则 (A)当2
3
x =
时，函数()f x 取得最大值 (B)函数()f x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
上是减函数
(C)函数()f x 的图像关于直线1
2
x =对称
(D)存在0x ，使得()01
3
A BCD f x V ->（其中A BCD V -为四面体ABCD
的体积）
A
D C
B
D 1
C 1
B 1
A 1
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.在复平面内，复数1z 与2z 对应的点关于虚轴对称，且11i z =-+，则
1
2
z z = . 10.已知等差数列{}n a 的公差0d >，33a =-，245a a =，则n a = ；记{}n a 的前项和为n S ，则n S 的最小值为 .
11.若圆()2
2
21x y -+=与双曲线()22
2:10x C y a a
-=>的渐近线相切，则a = ；双曲线C 的
渐近线方程是 .
12.一个棱长为4的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积是
.
俯视图
侧（左）视图
正（主）视图2
2
13.在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A ，B ，C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者工作，且甲不能参加A ，B 项目，乙不能参加B ，C 项目，共有 种不同的志愿者分配方案.（用数字作答）
14.一辆赛车在一个周长为3km 的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系.
根据图1，有一些四个说法：
①在这第二圈的2.6km 到2.8km 之间，赛车速度逐渐增加； ②在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6km ；
③大约在这第二圈的0.4km 到0.6km 之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶； ④在图2的四条曲线（注：s 为初始记录数据位置）中，曲线B 最能符合赛车的运动轨迹. 其中，所有正确说法的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）
在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设3
A π
=，sin 3sin B C =.
（Ⅰ）若7a =
，求b 的值；
（Ⅱ）求tan C 的值.
16．（本小题满分13分）
某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.
（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被成为“体育良好”.已知该校高一年级有1000名学生，试估计，高一全年级中“体育良好”的学生人数；
（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[)60,70和[)80,90的样本学生中随机抽取2人，至少有1人体育成绩在[)60,70的概率；
（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a ，b ，c ，且分别在[)70,80，[)80,90，[]90,100三组中，其中a ，b ，c ∈N ，当数据a ，b ，c 的方差2
s 最小时，写出a ，b ，c 的值.（结论不要求证明）
（注：()()()
2222
121n s x x x x x x n ⎡
⎤=
-+-+⋅⋅⋅+-⎢
⎥⎣⎦，其中x 为数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数）
17．（本小题满分14分）
如图，四边形为梯形ABCD ，DAD BC ∥，90BAD ∠=
，四边形11CC D D 为矩形，已知1AB BC ⊥，4AD =，2AB =，1BC =.
（Ⅰ）求证：1BC ∥平面1ADD ；
（Ⅱ）若12DD =，求平面11AC D 与平面1ADD 所成的锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）设P 为线段1C D 上的一个动点（端点除外），判断直线1BC 与直线CP 能否垂直？并说明理由.
D 1
C 1
D
C
B
A
18．（本小题满分13分）
已知函数()1e e x x f x x a -=- ，且()'1e f =. （Ⅰ）求a 的值及()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若关于x 的方程()()2
22f x kx k =->存在两不相等的正实数根1x ，2x ，证明：
124
ln e
x x ->.
19．（本小题满分14分）
已知椭圆()22
:310C mx my m +=>的长轴长为26，O 为坐标原点
（Ⅰ）求椭圆C 的方程和离心率；
（Ⅱ）设点()3,0A ，动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且P 在y 轴的右侧，若BA BP =，求四边形OPAB 面积的最小值.
20．（本小题满分13分）
设数列{}n a 和{}n b 的项均为m ，则将数列和的距离定义为1
m
i i
i a b
=-∑.
（Ⅰ）该出数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离
（Ⅱ）设A 为满足递推关系111n
n n
a a a ++=
-的所有数列{}n a 的集合，{}n b 和{}n c 为A 中的两个元素，且项数均为m ，若12b =，13c =，{}n b 和{}n c 的距离小于2016，求m 得最大值；
（Ⅲ）记S 是所有7项数列{
7,10n n n a a =≤≤或}1的集合，T S ⊆，且T 由任何两个元素的距离大于或等于3，证明：中的元素个数小于或等于16.。