CT图像重建
ct重建解析类算法计算公式
ct重建解析类算法计算公式
CT（计算机断层成像）重建算法主要分为两大类：解析类算法和迭代类算法。
解析类算法，如Feldkamp算法，可以直接从采集到的投影数据计算出图像的像素值，而迭代类算法则需要通过多次迭代来逐步逼近最终的图像。
下面简要介绍解析类算法中的Feldkamp算法的计算公式：
Feldkamp算法是一种基于圆锥束投影的CT图像重建方法，它利用了圆锥束投影的性质，通过数学方法从有限角度的投影数据重建出物体的三维图像。
Feldkamp算法的核心是两个投影方程：
（1）正投影方程（前投影）：
\[ \bar{p}_i = \sum_{j=1}^{N} a_{ij} I_j \]
其中，\( \bar{p}_i \) 是第\( i \) 个探测器上的投影值，\( a_{ij} \) 是与探测器\( j \) 和角度\( \theta_i \) 相关的投影权重，\( I_j \) 是物体在角度\( \theta_j \) 时的投影值。
（2）反投影方程（后投影）：
\[ I_j = \sum_{i=1}^{M} b_{ij} \bar{p}_i \]
其中，\( b_{ij} \) 是与探测器\( j \) 和角度\( \theta_i \) 相关的反投影权重。
通过解这两个方程组，可以得到每个像素的强度值\( I_j \)，从而重建出物体的二维图像。
在实际应用中，为了提高计算效率，通常会使用一些优化技术，如FDK（Fast Data Kosovo）算法，它是一种基于解析法的重建算法，能够显著提高CT重建的速度。
需要注意的是，这里只是对Feldkamp算法的基本原理进行了简要描述，实际的CT重建过程可能会涉及更多的细节和优化。
ct重建算法
CT重建算法1. 介绍计算机断层扫描（Computed Tomography, CT）是一种通过旋转式X射线扫描来获取物体内部详细结构的成像技术。
CT重建算法是将获得的一系列投影数据转化为图像的过程。
本文将介绍CT重建算法的原理、常见算法以及应用。
2. 原理CT重建算法的原理基于X射线的相对吸收特性。
当X射线通过物体时，被吸收的程度与物体的密度有关。
通过在不同角度上获得物体的吸收投影数据，可以得到物体的密度分布。
CT重建算法将这些投影数据转换为物体的二维或三维图像。
3. 常见算法3.1 过滤回投影算法（Filtered Backprojection）过滤回投影算法是最常用的CT重建算法之一。
它在重建过程中使用反投影和滤波两个步骤。
反投影（Backprojection）是将投影数据沿着投影路径反向投射到图像平面上。
滤波（Filtering）是为了抵消投影数据中带来的伪影，通常使用高通滤波器来增强边缘。
过滤回投影算法的优点是简单、快速，适用于大部分CT重建应用。
然而，它对数据质量要求较高，容易受到噪声的影响。
3.2 代数重建技术（Algebraic Reconstruction Technique，ART）代数重建技术是一种迭代重建算法。
它通过假设一个初始图像，然后通过反复调整该图像，使其产生的投影数据与实际投影数据越来越接近。
ART算法的优点是对噪声更加稳健，并且可以提供更好的图像质量。
然而，它的计算量较大，需要更长的重建时间。
3.3 迭代重建算法除了ART算法，还有其他一些迭代重建算法，如最小二乘迭代算法、最小均方偏差迭代算法等。
这些算法的思想都是通过迭代过程逐步调整图像，使其产生的投影数据与实际投影数据更接近。
迭代重建算法的优点是能够处理高噪声情况下的重建问题，并且可以提供更好的图像质量。
然而，它的计算量较大，需要更长的重建时间。
4. 应用CT重建算法在医学领域有着广泛的应用。
它可以用于诊断与鉴别诊断，如放射影像学、肿瘤检测和血管成像等。
CT三维重建指南
CT三维重建指南三维重建是指利用计算机技术对真实世界中的物体、场景或图像进行建模和重建的过程。
它广泛应用于计算机图形、计算机视觉、虚拟现实、增强现实等领域。
本文将为您介绍CT三维重建的指南。
第一步：数据获取CT三维重建的第一步是获取CT扫描数据，这通常是通过医学影像设备执行扫描来完成的。
扫描过程中，设备将使用X射线通过身体不同部分，并记录所通过的组织对射线的吸收情况。
这些数据将以图像的形式输出，用于后续的三维重建。
第二步：数据预处理在开始三维重建之前，首先需要对数据进行预处理。
这通常包括去除噪声、增加对比度、正规化数据等操作，以优化后续重建过程的质量。
预处理步骤的目标是从原始数据中提取出有用的信息，并消除影响重建结果的干扰因素。
第三步：图像分割第四步：三维重建算法选择选择适当的三维重建算法是进行CT三维重建的关键一步。
常用的重建算法包括曲面重建、体素重建、点云重建等。
曲面重建算法通常用于重建光滑的物体、场景或人体器官。
体素重建算法则主要适用于重建复杂的物体或场景。
点云重建算法则适用于从离散的点云数据中重建三维模型。
选择合适的重建算法可以根据具体应用的需求来决定。
第五步：重建结果优化在进行三维重建后，通常需要对重建结果进行优化和改进。
这可以包括去除重建中的噪声、填补重建中的空洞、平滑或细化重建结果等。
优化重建结果的目的是提高模型的精度和真实性，并减少重建过程中可能引入的误差。
第六步：三维可视化最后一步是对重建结果进行可视化。
可视化可以通过将重建结果渲染成逼真的图像或视频，或在虚拟现实或增强现实环境中展示重建结果来实现。
对于医学图像，三维可视化可以帮助医生更好地理解病情，指导诊断和治疗。
总结：CT三维重建是一项复杂而庞大的工程，需要综合考虑数据获取、预处理、图像分割、重建算法选择、结果优化和可视化等多个步骤。
每个步骤都需要仔细设计和调整，以确保最终的重建结果准确可靠。
只有通过不断的实践和优化，才能获得高质量的CT三维重建模型。
CT扫描图像重建算法优化与快速处理技术
CT扫描图像重建算法优化与快速处理技术近年来，计算机断层扫描（CT）技术在医学影像诊断领域取得了重大突破。
CT扫描是一种通过对人体进行连续横断面的扫描，获得一系列二维断层图像，再通过重建算法将这些断层图像组合成三维图像。
然而，由于扫描数据产生量大、计算复杂度高等因素的限制，CT图像重建算法一直以来都是一个研究的热点。
本文将探讨如何优化CT扫描图像重建算法，以及快速处理技术的应用。
首先，为了提高重建图像的质量和减少噪声，研究人员可以通过优化重建算法来实现。
传统的CT图像重建算法采用滤波和反投影等基本原理，但存在着部分伪影、模糊和噪声等问题。
因此，一些新型的重建算法被提出，如基于迭代算法的重建方法。
这些算法可以在重建过程中不断地优化图像的质量，通过重复反投影和滤波操作，减少伪影和噪声的出现。
此外，还有一些新的重建算法利用先验信息和图像先验模型来指导重建过程，进一步提高图像质量。
其次，快速处理技术的应用可以显著提高CT扫描图像的重建速度。
快速处理技术通过优化计算算法和硬件设备，对图像数据进行快速处理，减少重建时间。
其中一个常见的方法是基于图形处理器（GPU）的并行计算。
由于GPU具有高并行处理能力，可以同时处理多个图像数据，因此可以大幅减少重建时间。
此外，还可以利用分布式计算和云计算等技术，将计算任务分散到多个计算节点上进行并行处理，进一步提高重建速度。
然而，虽然CT扫描图像重建算法优化和快速处理技术可以提高图像质量和重建速度，但同时也面临着一些挑战。
首先，优化重建算法需要考虑到图像质量和计算复杂度之间的平衡。
一方面，为了提高图像质量，算法需要增加计算复杂度，导致重建时间增加。
另一方面，为了减少重建时间，算法可能会牺牲图像质量。
因此，在研究优化算法时，需要找到一个平衡点，使得图像质量和计算速度达到最佳状态。
其次，快速处理技术的应用还需要解决数据传输和存储问题。
由于CT扫描图像数据量巨大，传输和存储成本很高。
医学影像处理中的图像重建技术
医学影像处理中的图像重建技术在医学影像处理中，图像重建技术一直是关注的热点之一。
图像重建的目的是根据测量数据恢复对象的形态和结构信息，进而达到诊断和治疗的目的。
现代医学影像处理技术中，图像重建技术有很多种，每一种技术都有自己的优势和劣势。
1. CT图像重建技术CT(Computed Tomography)技术利用X射线对人体进行扫描，从而得到体内结构信息。
CT图像重建技术是指在得到扫描数据后，对数据进行逆变换，得到图像信息的过程。
CT图像重建技术有两种，分别为滤波反投影重建技术和迭代重建技术。
滤波反投影重建技术是指将扫描数据逆变换到二维平面，再进行滤波处理，得到具有较高准确性的三维图像信息。
迭代重建技术是指利用图像的先验信息，对图像进行不断迭代，最终得到具有较高准确性的三维图像信息。
这两种技术各有优缺点，具体采用哪一种技术需要根据具体情况而定。
2. MRI图像重建技术MRI(Magnetic Resonance Imaging)技术利用磁场和高频信号对人体进行扫描，从而得到体内结构信息。
MRI图像重建技术是指在得到扫描数据后，对数据进行逆变换，得到图像信息的过程。
MRI图像重建技术有很多种，包括梯度回波重建技术、螺旋扫描重建技术、SPIRiT重建技术等。
不同的MRI图像重建技术各有优缺点，具体采用哪一种技术需要根据具体情况而定。
3. PET图像重建技术PET(Positron Emission Tomography)技术利用放射性同位素对人体进行扫描，从而得到体内结构信息。
PET图像重建技术是指在得到扫描数据后，对数据进行逆变换，得到图像信息的过程。
PET 图像重建技术有很多种，包括MLEM(Maximum Likelihood Expectation Maximization)技术、OSEM(Ordered Subset Expectation Maximization)技术、PICCS(Penalized Image Reconstruction for Computed Tomography from Sparsely Sampled Projections)技术等。
ct重建概念和算法详细解析
ct重建概念和算法详细解析一、CT重建的概念CT重建，全称计算机断层扫描图像重建，是指通过计算机技术将原始的CT扫描数据转化为可观察的二维图像或三维图像的过程。
这种技术使得医生可以在一个三维的视角下观察人体内部结构，从而更好地进行疾病的诊断和治疗。
二、CT重建的算法1.反投影算法（Back Projection Algorithm）反投影算法是最早的CT重建算法，其基本原理是将经过旋转的X射线源发射的扇形射线束的反向投影与图像像素相对应，通过测量每个角度下的投影数据，并将这些数据反投影到图像像素中，最终得到重建的图像。
反投影算法简单、快速，但重建图像的质量受限于投影数据的数量和采集方式。
2.滤波反投影算法（Filtered Back Projection Algorithm）滤波反投影算法是对反投影算法的一种改进，通过对投影数据进行滤波处理，去除噪声和伪影，提高了重建图像的质量。
该算法是目前CT重建中最常用的算法之一，但仍然受限于投影数据的数量和采集方式。
3.迭代重建算法（Iterative Reconstruction Algorithm）迭代重建算法是一种基于优化的重建算法，通过对投影数据进行迭代优化，不断更新图像中的像素值，直到达到一定的收敛条件为止。
该算法可以更好地处理不完全的投影数据和噪声，提高重建图像的质量。
但迭代重建算法的计算量大，需要较长的计算时间和较大的存储空间。
4.压缩感知重建算法（Compressed Sensing Reconstruction Algorithm）压缩感知重建算法是一种基于压缩感知理论的重建算法，通过利用信号的稀疏性和非确定性采样，从少量的投影数据中重建出高质量的图像。
该算法可以在较短的扫描时间和较低的辐射剂量下获得较好的重建效果，但计算量较大，需要高效的优化算法和计算资源。
ct 重建原理
ct 重建原理
ct重建原理是一种通过计算机对已获得的投影数据进行重组，以生成三维图像的技术。
该技术基于计算机断层扫描（computed tomography，CT）的原理，包括X射线的穿透与
吸收、探测器的信号检测与记录以及计算机的数据处理与重建等关键步骤。
整个过程首先通过X射线源发射一束平行的X射线，穿透被
检对象并与X射线接收器（探测器）发生相互作用。
被检对
象对X射线的吸收程度取决于其组织密度和厚度，吸收后的
X射线会引起探测器上的电离现象，通过记录探测器上的信号变化，可以获得大量的投影数据。
投影数据是表示被检对象在不同方向上的X射线吸收情况的
一系列数值，这些数据记录了X射线通过被检对象时的强度
衰减情况。
然后，计算机通过运算和重组这些投影数据，可以恢复出被检对象的内部结构信息，生成层叠的二维切片图像。
CT重建的核心原理是反投影算法。
反投影算法使用投影数据
和旋转角度信息，将投影数据“逆向投影”回原始空间中，并按照旋转角度进行叠加和插值计算，最终得到各个切片的像素灰度值。
然后，这些像素灰度值通过图像处理算法可呈现出清晰的可视化图像，形成我们所看到的三维结果。
CT重建原理的关键在于通过反投影算法将二维投影数据还原
为三维立体图像，并能够在图像上显示出被检对象的内部结构。
这种技术在医学、工业检测等领域具有广泛应用，可以提供精确的图像信息，帮助医生和研究人员做出更准确的诊断和分析。
CT原理部分 CT图像重建 CT图像重建
640×640矩阵。
（三）投影
• 投照受检体后出射的X线束强度 I 称投影 (projection，P) ，投影值的分布称为投影 函数。
• 1．近似单能X线束获取 • 使发射的X线束中主要是标识辐射的X线；
•基本原理：是将所测得的投影值按其原路 径平均的分配到每一点上，各个方向上投影 值反投影后，在影像处进行叠加，推断出原 图像。
•缺点：影像边缘处不清晰。
CT机装置
• 探测器：碘化钠、锗酸铋—高压氙气电离 室—稀土陶瓷探测器—平板探测器(非晶 硅、非晶硒）
（二）傅里叶变换法
• 是基于使图像矩阵的求解与图像投影的 傅里叶变换间建立确定的关系；或为修 正反投影法中模糊因子，从频域上校正 图像模糊部分的图像重建方法。
★(一) 反投影法
• 缺点：影像边缘处不清晰。 • 如果在一均匀的组织密度内，存在吸收系
数极不均匀的部分时，反投影图像与原图 像会出现伪影(image artifact)。 • 如圆柱形单密度体，利用反投影法所重建 图像的结果呈现出星形伪影。 • 反投影数量愈多，重建图像愈接近于原图 像，但由于存在星形伪影，而使得重建图 像的边缘部分模糊不清。
地滤波，达到满意的重建图像效果。 卷积函数h（t）选取是卷积计算的关键， h（t）称为卷积核(convo1ution kernet)。
（四）卷积反投影法
• 与滤波反投影法相比，卷积反投影法避 免了FT运算。
（四）卷积反投影法
卷积的滤波作用
（四）卷积反投影法
x cos y sin R
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昆明理工大学信息工程与自动化学院学生实验报告（ 2009—2010学年 第 一 学期 ）课程名称：医学成像系统与放射治疗装置 开课实验室： 3208 2008 年 12 月24 日一、实验目的与意义医学成像技术是生物医学工程专业的一门重要的专业课程,课程主要涉及X 光仪器，CT 仪器，MRI 仪器和核医学仪器的工作原理及成像方法。
其中CT 算法的出现又为后来数字化医学成像技术的发展提供了基础。
该门课程为生物医学工程专业的专业基础课。
CT 技术是医学成像系统中的一种重要手段。
它通过特定的算法，利用计算机的高速运算功能，可以在短时间内快速呈现人体断层图像。
让学生练习CT 图像的重建有助于学生理解CT 算法的内容，熟悉数字图像重建的过程。
同时也能培养学生的团队精神和解决实际问题的能力。
二、实验算法原理1、MATLAB 处理数字图像的基本函数；2、X-CT 三维图像重建的基本算法。
CT 图象重建有四种基本的算法:矩阵法,迭代法,傅立叶算法,反投影算法.我们采用的方法为卷积反投影. 卷积反投影有:平行光束投影的卷积反投影算法, 等角扇形光来投影的重建算法. 1）.平行光束投影的卷积反投影算法 从投影重建三维物体的图像，就是重建一个个横断面。
这样三堆图像的重建就归结为二维图象的重建。
二维图像的重建问题可以从数学上描述如下。
假定),(y x g 表示一个二维的未知函数，通过),(y x g 的直线称为光钱(见图2．1)。
沿光线),(y x g 的积分称作光线积分。
沿相同方向的一组光线积分，就构成一个投影。
图2．1中垂直于直线'CC (与X 轴夹角为 )的光线所形成。
图2.1 ),(y x g 在θ方向的投影)(t P θ的投影)(t P θ，称之为),(y x g 在θ方向的投影。
光线积分和投影在数学上可以定义如下：在图2.1中直线AB 的方程为：1sin cos t Y X =+θθ (2.1) 其中1t 是AB 到原点的距离，),(y x g 沿AB 的积分为：dxdy t y x y x g ds y x g t P AB)sin cos (),(),()(11-+==⎰⎰+∞∞-θθδθ (2.2)对于给定的θ，),(y x g 在θ方向的投影)(t P θ是t 的函数。
如果),(y x g 在各个方向的投影已知，),(y x g 就可以唯一确定。
下面就讨论卷积反投影重建算法。
假定投影方向θ，如图2.2，将坐标),(y x 旋转θ角（逆时针方向）形成坐标系),(s t 。
),(y x g 在),(s t 坐标系中为),(s t g 。
图2.2 傅立叶切片定理示意图坐标系),(s t 与),(y x 之间的关系为： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x s t θθθθcos sin sin cos （2.3） 显然()ds s t g t P ⎰+∞∞-=),(θ （2.4）令)(w S θ为)(t P θ的傅立叶变换则 dt wt j t P w S )2exp()()(πθθ-=⎰+∞∞- dsdt wt j s t g )2ex p(),(π-=⎰+∞∞- （2.5）将上式变换到),(y x 坐标系中，注意到变换的可比行列式1cos sin sin cos =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=⎰θθθθys y tx s t t （2.6） 从而得到： dxdy y x j y x g w S ⎰+-=⎰⎰+∞∞-+∞∞-)]sin cos (2ex p[),()(θθπωθdxdy vy ux j y x g )](2ex p[),(+-=⎰⎰+∞∞-+∞∞-π （2.7）其中⎩⎨⎧==θωθωsin cos v u （2.8）若令),(y x g 的傅立叶变换为),(v u G ，由（2.8）可知),(),()(θωωθG v u G S == （2.9） 若),(y x g 的傅立叶变换为),(v u G 的极坐标表示。
这说明),(y x g 在θ方向的投影)(t P θ傅立叶变换)(w S θ等于),(v u G 在与u 轴成θ角的直线上的值。
这就是著名的傅立叶投影切片定理。
可见在整个),(v u 平面),(v u G 可以利用各个方向的投影来得到，从而),(y x g 也可以通过求),(v u G 的傅立叶反交换的办法求得： dudv vy ux j v u G y x g )](2ex p[),(),(+=⎰⎰+∞∞-+∞∞-π （2.10）变换到极坐标中 ⎩⎨⎧==θωθωsin cos v u ， ω=⎰得到θωθθπωθωπd d y x j G y x g )]sin cos (2ex p[),(),(20+=⎰⎰∞（2.11）经推导得 ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+∞∞-πθθωπωωω0)2exp()(),(d d t j S y x g （2.12） 其中θθsin cos y x t += 若令ωπωωωθθd t j S t Q )2ex p()()(⎰+∞∞-= （2.13）则⎰+=πθθθθ0)sin cos (),(d y x Q y x g (2.14)(2.13)式右端是两频谱函数)(w S θ和)(ωH 的乘积的傅立叶反变换。
)(w S θ是投影)(t P θ 傅立叶变换。
若)(ωH 的傅立叶反变换为)(t h ，则根据卷积定理有： ⎰+∞∞--=τττθθd t h P t Q )()()( （2.15）或)()()(t h t P t Q *=θθ 其中ωπωωd t j t h )2ex p()(⎰+∞∞-=（2.16）当图像的频谱是有限带宽时，则上式变为ωπωωωωd t j t h )2ex p()(0⎰+-=（2.17）由于图象及其频谱都是离散采样的， 假定图象采样间隔为τ， 则根据采样定理τω2/10=。
为了进行数学处理，只需知道h (t)在有限带宽上的离散采样点的值．这样我们有⎪⎩⎪⎨⎧-=2222/10)4/(1)(τπττn n h （2.18）其中n 为正负整数。
（2.18）的离散形式为 ∑∞-∞=-=m m n h m P n Q ττττθθ)()()( （2.19）假定)(τθm P 在1,1,0-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N m 之外的值为0，则上式变为 []∑-=-=1)()()(N m m n h m P n Q ττττθθ （2.20） 或∑---=-=1)1()(][)(N N m m h m n P n Q ττττθθ （2.21）其中1,2,1,0-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N n 从而可见为确定)(t P θ的N 个采样点上的)(τθn Q 的值，需要使用)(τn h 的2N — 1个点上的值，从n=一(N — 1)到(N — 1)。
为求得)(τθn Q ，利用傅立叶变换计算卷积是比较快的方法，为清除循环卷积的周期交叠效应，实际上)(τn h 取2N 个点，)(τθm P 补0，使之有(2N —1)个元素，则)(t P θ在N 个采样点上就避免了交叠，如果使用以2为基的FFT(快速傅立叶变换)算法， )(τθm P 和)(τn h 都必需朴0至(2N 一1)个元素，(2N 一1)为大于等于2N —l 的最小的2的整数幂。
计算)(τθn Q 的过程可以写为]0)((]0)([([)(ττττθθn h FFT n P FFT FFT n Q ⨯⨯= （2.22）其中FFT 和IFFT 分别表示快速傅立叶变换和反变换， 光滑窗是在滤波过程中加入的光滑因子，例如引用汉明窗 ，有时可以改进重建效果。
对于各个θ方向的投影， 得到)(τθn Q 之后就可以由(2.22)来计算),(y x g 。
重建步骤可以归纳为：第一步：卷积，也称滤波，由(2．22)对每个θ方向计算)(τθn Q 。
第二步。
反投影，由(2．14)的近似形式∑=+=Mi i iiy x Q My x g 1)sin cos (),(θθπθ （2.23）来计算),(y x g 的近似值),(ˆy x g。
M 为投影个数i θ为投影方向角，他们均匀的分布在0~π的范围内。
当计算)sin cos (i i y x Q i θθθ+时，i i y x t θθsin cos +=，不一定在)(τθn Q 的整离散点上，这就需要插值求得，预先将)(τθn Q 插值加密，即最靠近的点，可以提高计算速度。
2).等角扇形光来投影的重建算法几乎所有的快遗CT 设备都是用的扇形光束。
这里叙述的是等角度光束投影，如图2.3，测量投影数据的探测器等间距地分布在1D 2D 弧上，弧的半径为2D ， D 为光源到图像中心的距离。
在下文中，),(φr f 图象在极坐标中的表示。
)(γβR 表示在方向角为β的投影中位量角为γ的光线产生的投影数据。
通过中心的光线其γ为0。
L 表示从光源到像素),(φr 的距离。
图2.3 等扇形束投影重建算法中的变量)sin(2),,(22φβφγβ-++=Dr r D L （2.24）γ表示在方向角为β的投影中通过像素),(φr 的光线的位置角)sin()cos(tan tan),,(11'φβγφβγφγβγ-+-==--D E S E P （2.25） 图像),(φr f 和扇形投影)(γβR 有下述关系βγγγγγγγγφγγβπd h rR D L r f )())sin((21)(cos 1),('''202---⋅=⎰⎰- （2.26）其中r 和φ是投影中光线的最大位置角，从而可以得到这种重建算法的执行步骤： 第一步：投影的修改，假定投影的抽样间隔为α，抽样数据)(αβn R 通过下式进行修改， αααββn D n R n R cos )()(1'= （2.27） 第二步：卷积（滤波）将第一步修改了的投影与响应函数)(γg 进行卷积 )()sin 1(21)(2'γγγh g =（2.28） αααγγγββd m n g n R Q )()()(-=⎰- （2.29）其离散形式为： ααααββ)()()(1'm n g m R n Q Mm -=∑- （2.30）这里也和上节一样可以加进一光滑窗，改进重建效应。
第三步：反投影，就是执行（2.30）的积分 βγφγβφβπd Q L r f )(),,(1),(202⎰= （2.31）近似的有：)(),,(12),(12γφγβπβQ L my x f Mi ∑==（2.32）其),(y x f 是图象),(y x f 的近似图像，φcos r x =，φsin r y =， M 是投影数，假定投影均匀地分布在0~π2内。