2015届高三南师数学模考

2015高考数学模拟题(1)南师大《数学之友》一. 填空题1. 在ABC ∆中,已知2=AC ，3=BC ，54cos -=A ，则=+)62sin(πB ▲ .2．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个1≤，则⋅的取值范围是 ▲ ．3. 若函数f (x )＝xx 2＋a (a ＞0)在[1，＋∞)上的最大值为22，则a 的值为___▲_____．4．设 x 、y 均为正实数，且33122x y+=++，以点),(y x 为圆心,xy R =为半径的圆的 面积最小时圆的标准方程为 ▲ ．5. 任给实数,a b ，定义,0,0ab ab a b a ab b≥⎧⎪*=⎨<⎪⎩，设函数()ln f x x x =*. {}n a 是公比大于0的等比数列，且51a =，()()()()()187321a a f a f a f a f a f =+++++ ，则1a = ▲ . 6. 已知函数()11--=x x f ，如果关于x 的方程()m x f =()R m ∈恰有4个互不相等的实 数根1x ，2x ，3x ，4x ，则4321x x x x 的取值范围是 ▲ .二、解答题7. 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段．已知跳水板AB 长为m 2，跳水板距水面CD 的高BC 为3m ，5CE m =,m CF 6=.为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A 处水平距h m （1≥h ）时达到距水面最大高度4m ．规定：以CD 为横轴，BC 为纵轴建立直角坐标系． （1）当h =1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（2）若跳水运动员在区域EF 内入水时才能达到压水花的训练 要求，求达到压水花的训练要求时，h 的取值范围．8. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，点A 、B 分别是椭圆C 的左顶点和上顶点，直线AB 与圆G ： 2224c x y +=（c 是椭圆的半焦距）相离，P 是直线AB 上一动点，过点P作圆G 的两切线，切点分别为M 、N ．（1）若椭圆C 经过点(1,3，离心率35=e ，求椭圆C 的方程； （2）若存在点P 使得△PMN 为正三角形，试求椭圆离心率e 的取值范围．9. 已知等比数列}{n a 的首项20151=a ，公比21-=q ，数列}{n a 前n 项和记为n S . （1）证明：21n S S S ≤≤；（2）证明：若数列}{n a 中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若 所有这些等差数列的公差按从大到小的顺序依次记为n d d d ,,,21 ，则数列}{n d 为等 比数列.10．对于函数)(x f y =，若存在开区间D ，同时满足：①存在D a ∈，当a x <时，函数)(x f 单调递减，当a x >时，函数)(x f 单调递增； ②对任意0>x ，只要D x a x a ∈+-,，都有)()(x a f x a f +>-． 则称)(x f y =为D 内的“勾函数”．（1）证明：函数x y ln =为),0(+∞内的“勾函数”． （2）对于给定常数λ，是否存在m ，使函数122131)(3223+--=x x x x h λλλ在),(+∞m 内为“勾函数”？若存在，试求出m 的取值范围，若不存在，说明理由．理科加试11. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，E 是BC 的中点. (1)若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； (2)求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.12.在数列}{n a 和}{n b 中，nn a a =，b n a b n ++=)1(， ,3,2,1=n ，其中2≥a 且*N a ∈，R b ∈.设},,,{321 a a a A =，},,,{321 b b b B =，试问在区间],1[a 上是否存在实数b 使得φ≠=B A C .若存在，求出b 的一切可能的取值及相应的集合C ；若不存在，试说明理由.1B参考答案一、填空题1. 答案：.5017712+ 解：在ABC ∆中，.53)54(1cos 1sin 22=--=-=A A 由正弦定理，,sin sin B AC A BC =所以.525332sin sin =⨯=⋅=A BC AC B 又因为54cos -=A ，所以A ∠为钝角，从而B ∠为锐角，于是,521)52(1sin 1cos 22=-=-=B B ,25171)521(21cos 22cos 22=-⨯=-=B B .21254521522cos sin 22sin =⨯⨯==B B B .501771221251723252146sin 2cos 6cos 2sin 62sin +=⨯+⨯=+=+πππB B B ）（2. 答案：)2⎡⎣. 解：以O 为原点，平行于AB 的直线为x 轴作平面直角坐标系（如图1），不妨设),1(y M 、)1,(x N .由题意知1≤，故 ⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅≤-+-yx y x 1)1()1(22，其中10≤≤x ，10≤≤y .在41圆PRQ 中找一点),(y x 使y x +取最大最小.设目标函数为y x z +=.①由图2可知，当直线0=-+z y x 与在41圆PRQ 相切于点R 时，z 取得最小值，即y x =，得1)1(22=-x ，21)1(2=-x ，由于10≤≤x ，故122+-=x . 因此min z 22)122(2-=+-=. 由图2可知，当直线0=-+z y x 经过点C 时，即1==y x ，z 取得最大值，最大值为211=+=z ，但是由题意知M 、N 是两个不同点，故最大值2取不到.综上可得，OM ON ⋅的取值范围是)2⎡⎣.图 1 图 2 3. 答案：12-.解：f (x )＝x x 2＋a＝1x ＋a x(x ≥1)，当a ≥1时，f (x )的最大值为12a ＝22，得a ＝21＜1(舍去)；当0<a <1时，f (x )的在[1，＋∞)上单调递减，其最大值为11＋a ＝22，得a ＝12-. 所以a 的值为12-.4. 答案: 256)4()4(22=-+-y x .解：由12323=+++y x 得：18-+=y yx .182-+=∴y yy xy .令1-=y z ，则1+=z y .z z z z xy 88122++++=∴ z z z 9102++=109+⎪⎭⎫⎝⎛+=z z .6929≥⋅≥+z z z z ,当且仅当zz 9=时，等号成立. 此时xy 最小，即圆的面积最小，此时3=z ，4=y ，4=x ， ∴圆的标准方程：256)4()4(22=-+-y x . 5. 答案：e .解：5()(1)0f a f ==,设数列{}n a 公比为q ， 551()()()()0i i i i f a f a f f q q-++=+=, 所以 283746()()()()()()0f a f a f a f a f a f a +=+=+=, 因此11()f a a =.当11a ≥时,1111ln ,a a a a e *==, 当11a <时，111ln a a a =无解. 6. 答案：()0,3-.解：函数11)(--=x x f 的图像如右图所示： 由图可知，若()m x f =的四个互不相等的实数根，则()1,0∈m ，且1x ，2x ，3x ，4x 分别为：m x =1，m x -=22，23+=m x ，m x -=4，所以，4321x x x x ()()222+--=m m m()4222--=m ()0,3-∈.二、解答题7.解：由题意可知最高点为)1)(4,2(≥+h h .可设抛物线方程为4)]2([2++-=h x a y .（1）当1=h 时，最高点为)4,3(，方程为4)3(2+-=x a y将)3,2(A 代入，得抛物线方程为562-+-=x x y . （2）将点)3,2(A 代入4)]2([2++-=h x a y ，得12-=ah . 由题意，得方程2[(2)]40a x h -++=在区间]6,5[内有一解. 令2221(x)[(2)]4[(2)]4f a x h x h h =-++=--++，则04)3(1)5(22≥+--=h hf ，且 221(6)(4)40f h h =--+≤，解得341≤≤h . 所以要达到压水花的训练要求h 的取值范围为]34,1[.8. 解：（1）椭圆为22194x y +=． （2）由直线AB 与圆G ： 2224c x y +=（c 是椭圆的焦半距）相离，2c >，即222224()a b c a b >+，2222224()(2)a a c c a c ->-， 得42640e e -+>因为01e <<，所以203e <<连接,,,ON OM OP 若存在点P 使PMN ∆为正三角形，则在Rt OPN ∆中， 22OP ON r c ===，所以，点O 到直线AB 的距离不大于cc ≤，∴22222()a b c a b ≤+，222222()(2)a a c c a c -≤-，得42310e e -+≤因为01e <<21e ≤<，②由①②，2332e ≤<122e ≤< 9.（1）证明：12111111[1()]112[1()]1321()2n n n a S S S a S ----=+=---≤--，当1=n 时，等号成立.23222121[1()]112[1()]621()2n n n a S S S a S ----=+=+--≥--，当2=n 时，等号成立.∴21n S S S ≤≤.（2）证明： 1)21(2015--=n n a ，∴n a 随n 增大而减小，n a 奇数项均正，偶数项均负.①当k 是奇数时，}{n a 中的任意相邻三项按从小到大排列为1k a +，2k a +，k a ， 则kk kk k a a a a a 2)21()21(11111=-+-=+-+，k k k a a a 2)21(221112=-=++， ∴122k k k a a a +++=，因此k k k a a a ,,21++成等差数列，公差11111223])21()21[(++++=---=-=k k k k k k a a a a d .②当k 是偶数时，设}{n a 中的任意相邻三项按从小到大排列为k a ，2k a +，1k a +，则1111111()()222k k k k ka a a a a -++=-+-=-，1121122()22k k k a a a ++=-=-， ∴122k k k a a a +++=，因此k k k a a a ,,21++成等差数列，公差111211311[()()]222k k k k k k a d a a a +-++=-=---=.综上可知，}{n a 中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，且1123+=k k a d ，211=+n n d d ，∴数列}{n d 为等比数列. 10. 证明：（1）①存在1=a ，当x x f x ln )(),1,0(-=∈为减函数， 当x x f x ln )(),,1(=+∞∈为增函数；②对任意0>x ，当01>-x 时，),1ln()1ln()1(x x x f --=-=- ).1ln()1ln()1(x x x f +=+=+所以,0)1ln()1ln()1ln()1()1(2>--=+---=+--x x x x f x f 即).1()1(x f x f +>-所以函数x y ln =为),0(+∞内的“勾函数”．（2）①当0=λ时，1)(=x h ，不存在m 使函数)(x h 在),(+∞m 内为“勾函数”；②当0<λ时，).2)((2)(322'λλλλλλ-+=--=x x x x x h当),2(λλ-∈x 时，0)('>x h ，)(x h 为增函数； 当),(+∞-∈λx 时，0)('<x h ，)(x h 为减函数，因此不存在m 及常数0x ，使函数)(x h 在),(0x m 为减函数，同时在),(0+∞x 为增函数. 所以不存在m 使函数)(x h 在),(+∞m 内为“勾函数”.③当0>λ时，)(x h 在)2,(λλ-为减函数，在),2(+∞λ为增函数.当)2,[λλ-∈m ，则在),(+∞m 上存在λ2=a ，使)(x h 在),(a m 内为减函数，在),(+∞a 内为增函数.当0>x ，),(,+∞∈+-m x a x a 时， 因为)()(x a h x a h +--)]2()2[(2])2()2[(21])2()2[(31322233x x x x x x +---+---+--=λλλλλλλλλ .0323<-=x λ所以)()(x a h x a h +<-.所以也不存在m 使函数)(x h 在),(+∞m 内为“勾函数”.综上所述，不论常数λ取何值，都不存在m ，使函数)(x h 在),(+∞m 内为“勾函数”.理科加试11. 解：（1）如图，建立直角坐标系.则1A (0,0,2)，B (2,0,0)，1(2,0,2)B ，(0,2,0)C ，1(0,2,2)C ，(1,1,0)E ，(0,0,)M m ， 1B M =(2,0,2)m --,1C E =()2,1,1--.因为11B M C E ⊥，所以11B M C E ⋅=22(2)m ---=0. 解得1m =所以1AM =.（2）AE =(1,1,0)，1(0,2,2)AC =, 设平面1AEC 的法向量n =(,,)x y z ,则：1220n AE x y n AC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,令1y =-，则1x =，1z =.(1,1,1)n =-.因为1AA AC ⊥，BA AC ⊥，所以AC ⊥平面11ABB A ， AC 为平面11ABB A 的法向量，AC =(0,2,0). c o s,A C n <>=AC n AC n⋅⋅=. 所以平面1AEC 与平面11ABB A . 12.解：设存在实数],1[a b ∈，使φ≠=B A C ，设C m ∈0，则0m A ∈，且0m B ∈.设)(*0N t a m t ∈=，)()1(*0N S b S a m ∈++=,则(1)t a a S b =++，所以1+-=a ba S t ,因为*,,N s t a ∈，且2≥a ，所以b a t -能被1+a 整除.① 当1=t 时，因为],1[a b ∈，]1,0[-∈-a b a ，所以*1a bS N a -=∉+； ② 当)(2*N n n t ∈=时,b a C a b a b a n n n n -++-++=--+=-1)1()1(]1)1[(12222 , 由于],1[a b ∈，所以]1,0[1-∈-a b ，110+<-≤a b ，所以，当且仅当1=b 时，b a t-能被1+a 整除.③ 当*21()t n n N =+∈时，212121121[(1)1](1)(1)1n n n n a b a b a C a b ++++-=+--=++++--，由于],1[a b ∈，所以]1,2[1+∈+a b ，所以，当且仅当11+=+a b ，即a b =时，b a t-能被1+a 整除.综上，在区间],1[a 上存在实数b ，使φ≠=B A C 成立.当1=b 时，},{*2N n a y y C n ∈==；当a b =时，21*{,}n C y y a n N +==∈.2015高考数学模拟题(2)南师大《数学之友》一. 填空题1. 已知),2(ππα∈且53cos -=α，则)42tan(πα-的值为 ▲ . 2. 在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线1C ：31(0)y ax a =+>与曲线2C ：2252x y +=的一个公共点，若1C 在A 处的切线与2C 在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是 ▲ .3. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ▲ .4. 已知2,3,60,2,(1),(0,1)AB AC BAC CD BC AE xAD x AB x ==∠===+-∈， 则AE 在AC 上的投影的取值范围是 ▲ .5. 设函数⎩⎨⎧≤-≤≤--=20,102,1)(x x x x f <， 若函数ax x f x g -=)()(，]2,2[-∈x 为偶函数，则实数a 的值为 ▲ .6. 各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有 ▲ 项．二、解答题7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝64，圆O 1与圆O 相交，圆心为O 1(9,0). (1) 经过1O 作圆O 的切线，求切线方程；(2) 过定点()0,6P 作动直线l 与圆O ，圆1O 都相交，且直线l 被圆O ，圆1O 截得的弦长分别为d ，1d .若d 与1d 的比值总等于同一常数λ，求λ的值和圆1O 的方程．8. 某港湾的平面示意图如图所示，直线1l 、2l 是两条海岸线，点O 为1l 、2l 交点，A 位于O 的正南方向6km 处，B 位于O 的北偏东︒60方向10km 处．(1) 求集镇A ，B 间的距离；(2) 随着经济的发展，为缓解集镇O 的交通压力，拟在海岸线1l ，2l 上分别修建码头N M 、，开辟水上航线．勘测时发现：以O 为圆心，3km 为半径的扇形区域为浅水区，不适宜 船只航行．请确定码头N M 、的位置，使得N M 、之间的直线航线最短．9. 有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为mk a (,1,2,3,,, 3)m k n n =≥,公差为m d ，并且123,,,,n n n nn a a a a 成等差数列．（1）证明()()2112d m d m d m -+-=； （2）设3,121==d d ，当6≥n 时，不等式n n d n >-+12)32(501恒成立．10.已知函数x b xx a x f ln )1()(--=（R b a ∈,），2)(x x g =.(1) 若1=a ，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与y 轴垂直，求b 的值； (2) 在（1）的条件下，求证2ln 2)()(->x f x g ；(3) 若2b =，函数)(x f 与)(x g 在其公共点处是否存在公切线.若存在，求出a 值的个数；若不存在，说明理由.理科加试11. 在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是AC 的中点，E 是线段O D 1上一点，且 EO E D λ=1.（1）若1=λ，求异面直线DE 与1CD 所成角的余弦值； （2）若平面CDE ⊥平面O CD 1，求λ的值.12. 如图，椭圆1C ：1422=+y x 的离心率为23，x 轴被曲线2C ：12-=x y 截得的线段长等于1C 的长半轴长.设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与1C 相交于点D ，E .（1）证明：ME MD ⊥；(2) 记MAB ∆，MDE ∆的面积分别为1S ，2S ，问：是否存在直线l ，使得21S S 3217=成立？请说明理由.A C 1参考答案一. 填空题1.答案：31. 解：224παπ<<，12cos2cos 2-=αα，∴21cos 25α=，552cos =α，5522sin =α， 22tan=α，tan112tan()2431tan2ααπα--==+. 2.答案: 4.解：设()00,y x A ，所以1C 在A 处的切线斜率为()200'3ax x f =，2C 在A 处的切线斜率为001y x k OA -=-，又1C 在A 处的切线与2C 在A 处的切线互相垂直， 所以，132000-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ax y x ，即3003ax y =. 又1030-=y ax ，故230=y .代入25:222=+y x C ，得210±=x ，将210±=x ，230=y 代入()013>+=a ax y ，得4=a . 3.答案：111(,)(,1)322⋃.解：422111232c a c e e c a>-⎧⇒<<≠⎨≠⎩且，故离心率范围为111(,)(,1)322⋃. 4.答案：[]7,1.解：如图，(3,0),(1(7,C B D -.(61,AE x =+-,3(61)cos 61,(0,1)361[1,7]AE AC x AE EAC x x ACx ∙+∠===+∈∴+∈5.答案：21. 解：由题设，⎩⎨⎧≤--≤≤---=20,1)1(02,1)(x x a x ax x g <，则⎩⎨⎧≤-<--≤-≤--=-20,1)1(02,1)(x x a x ax x g ⎩⎨⎧≤≤-≤----=20.1,02,1)1(x ax x x a < 因为)(x g 为偶函数，故)()(x g x g -=. 则1)1(1--=-x a ax 对于]2,2[-∈x 恒成立，从而有a a -=1，得21=a . 6.答案: 8.解：设n a a a a ,,,,321 是公差为4的等差数列， 则1003221≤++++n a a a a ， 即()()[]()100121441121≤-⋅-++++n n a a a ，=∆ ()()010*******1≤--+-+n n a n a ， 因此，=∆0401672≤--n n ， 解得21n n n ≤≤， 其中()028163711<-=n ，≤897281632<+=n ， 所以，自然数n 的最大值为8，故这样的数列至多有8项. 故答案为：8.二、解答题7.解：(1)设切线的斜率为k ，则由题意可得切线方程为 09=+-k kx y ,由圆心O )0,0(到切线的距离为圆O 的半径得：219kk +8=,解得817±=k .所以切线方程为8179817-=x y 或8179817+-=x y . (2) 当直线l 的斜率存在时，设直线l 为)6(-=x k y ，即06=+-k kx y .则点O ，O 1到直线l 的距离分别为216kk h +=，h 1＝213kk +，设圆1O 的半径为r ,从而22136642k k d +-=，2221192k k r d +-=.由d d 1＝λ，得2122d d λ=. 所以64－22136k k +＝)19(2222k k r +-λ. 整理得：064)928(222222=+-+-r k r λλλ. 由题意，知上式对于任意实数k 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-064092822222r r λλλ.解得λ＝2(负根舍去)，162=r .综上所述，λ＝2．圆1O 的标准方程为16)9(22=+-y x .8. 解：(1) 在ABO ∆中，6=OA ,10=OB ,︒=∠120AOB ,︒⨯⨯⨯-+=120cos 2222OB OA OB OA AB 19621106210622=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯-+=. 14=∴AB ,即A ，B 间的距离为14km .(2) 依题意，直线MN 与圆O 相切，设切点为C ，连接OC ，则MN OC ⊥. 设x OM =，y ON =，u MN =，在OMN ∆中，OC MN ON OM ⋅⋅=⋅⋅⋅︒2160sin 21, 即u xy 32=.由余弦定理，︒-+=120cos 2222xy y x u xy y x ++=22xy 3≥.所以，u u 362≥，36≥u ，当且仅当6==y x 时，u 取得最小值. 答：N M 、建在距离O 点均为km 6处航线最短．9. 证明:（1）因为123,,,,n n n nn a a a a 成等差数列，所以2322212,......,,,n a a a a 成等差数列．)1()1()1()1()1()1(12312-+-+==+-+=+-+∴n n d d d d d d即12312--==-=-n n d d d d d d ，所以，}{n d 成等差数列，公差为12d d -， 所以12112(1)()(2)(1)m d d m d d m d m d =+--=-+-． （2）由题知,12-=n d n ,2)32(5011n n d n >-+即 1(23)250(21)n n n +->-． 即为不等式1(23)250(21)0n n n +--->的解, 考虑函数1()(23)250(21)n f n n n +=---, 由于]502)12[(2)()1(-+=-+nn n f n f ， 当3≥n 时，(1)()f n f n +>． 即 <<<<)6()5()4()3(f f f f , 而(6)9(12850)1006020f =--=>， 所以，当6n ≥时，有()0f n >.因此当6n ≥时，1(23)250(21)n n n +->-恒成立， 即n n d n >-+12)32(501恒成立． 10. 解：（1）1=a ，1()ln f x x b x x =--，222'111)(x bx x x b x x f +-=-+=，依题意,02)1('=-=b f .∴2=b .（2）由（1）得1()2ln f x x x x=--，),0(+∞∈x . 要证2ln 2)()(->x f x g ，只须证02ln 2ln 212>+++-x xx x . 设21(x)2ln 2ln 2F x x x x=-+++（0>x ）. 222232')1)(12(2122112)(xx x x x x x x x x x F +-=+--=+--= . 令'()0F x =，得21=x . 当210<<x 时，'()0F x <；当21>x 时，'()0F x >.所以，当12x =时，)(x F 取极小值，也是最小值，047)21()(min >==F x F .因此()0F x >，2ln 2)()(->x f x g .（3）设函数)(x f 与)(x g 的图像在其公共点),(00y x 处存在公切线.1()()2ln f x a x x x =--,2'22()ax x a f x x -+=,x x g 2)('=.由)()(0'0'x g x f =，可得到0202022x x a x ax =+-，即02202030=-+-a x ax x ， 200(2)(1)0x a x -+=，得20ax =.)(x f 的定义域为(0,)+∞. 当0≤a 时，0(0,)2ax =∉+∞.函数)(x f 与)(x g 在其公共点处没有公切线； 当0a >时，令)2()2(a g a f =，22412ln 2221a a a =--，即)2ln(882aa =-. 02ln 88ln 82=-+-a a .设2()8ln 88ln 2h x x x =-+-（0>x ），x xx h 28)('-=.令'()0h x =，得2=x . 当(0,2)x ∈时，'()0h x >，)(x h 递增；当(2,)x ∈+∞时，'()0h x <，)(x h 递减. 所以04)2()(max >==h x h .22224()8ln ()88ln 20h e e e e -=-+-=<，在(0,2)上存在唯一1x ，使得0)(1=x h ； 又082ln 8)2(2<-=h ，在(2,)+∞上存在唯一2x ，2()0h x =.综上，0≤a 时，不存在公切线；0a >时，存在公切线，适合题意的a 值有两个.理科加试11. 解：(1)不妨设正方体的棱长为1，以1,,DD DC DA 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -，由题设，E 为O D 1的中点，则 )0,0,1(A ，)0,21,21(O ，)0,1,0(C ， )1,0,0(1D ，)21,41,41(E ， 于是)21,41,41(=，)1,1,0(1-=CD ，)0,21,21(-=CO ,由63,cos 1=>=<CD . 所以异面直线AE 与1CD 所成角的余弦值为63. （2）设平面O CD 1的法向量为),,(111z y x =m ，由0=⋅m ,01=⋅CD m ,得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,0,021211111z y y x 取11=x ，得111==z y ，即)1,1,1(=m .由EO E D λ=1， 得)11,)1(2,)1(2(λλλλλ+++E ，1(,,)2(1)2(1)1DE λλλλλ=+++. 又设平面CDE 的法向量为),,(222z y x =n ，由0=⋅n ，0=⋅n ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=,0)1(2)1(2)1(2,02222λλλλλλz y x y 取22=x ，得λ-=2z ，即),0,2(λ-=n . 因为平面CDE ⊥平面1CD E ，所以0=⋅n m ，得2=λ.12. 解：(1) 由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为kx y =.由⎩⎨⎧-==12x y kxy 得012=--kx x .设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是上述方程的两个实根， 于是k x x =+21，21x x 1-=.又点M 的坐标)1,0(-，所以 =⋅MB MA k k 111x y +221x y +⋅2121)1)(1(x x kx kx ++=21212121)(x x x x k x x k +++=1122-++-=k k 1-=.故ME MD ⊥.(2) 设直线MA 的斜率为1k ，则直线MA 的方程为11-=x k y , 由⎩⎨⎧-=-=1121x y x k y 解得⎩⎨⎧-==10y x 或⎩⎨⎧-==1211k y k x .故点A 的坐标为)1,(211-k k . 又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点B 的坐标为)11,1(211--k k . 于是1S MB MA ⋅=21121121111121k k k k -+⋅⋅+=12121k k +=, 由⎩⎨⎧=-+-=0441221y x x k y 得08)41(1221=-+x k x k .解得⎩⎨⎧-==10y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=21212114114418k k y k k x , 故点D 的坐标为)4114,418(2121211k k k k +-+, 又直线ME 的斜率为11k -，同理可得点E 的坐标为)44,48(2121211k k k k +-+-,于是2S ME MD ⋅=21)4)(41()1(322121121++⋅+=k k k k .因此)1744(641212121++=k k S S 由题意知，)1744(641212121++=k k S S 3217=, 解得421=k 或4121=k .又由点A ，B 的坐标可知，11212111k k k k k +-==111k k -,所以23±=k . 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为x y 23=，x y 23-=.当a b =时，21*{,}n C y y a n N +==∈.。