安徽省宣城市郎溪县七校2019_2020学年高二数学上学期期中试题文(含解析)
郎溪中学2019学年高二数学上学期期中试题文
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……安徽省郎溪中学2018-2019学年高二数学上学期期中试题 文时间：120分钟 分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1、设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >” 的 ( )（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 2、若某群体中的成员支付的方式只有三种：现金支付；微信支付；信用卡支付。
用现金支付的概率为0.45，微信支付的概率为0.15，则信用卡支付的概率为( ) （A ）0.3（B ）0.4（C ）0.6（D ）0.73、已知x ，y 的取值如右表：，且y 与x 线性相关，线性回归直线方程为ˆˆ0.95yx a =+，则ˆa =（ ） （A ）2.6 （B ）3.35 （C ）2.9 （D ）1.954、方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的图形是( )（A ）一条直线和一条双曲线（B ）两条双曲线（C ）两个点（D ）以上答案都不对5、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）46、设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 7、 若A 与B 为互斥事件，则（ ）（A ） ()()1P A P B +< （ B ） ()()1P A P B +> （C ）()()1=+B P A P （ D ） ()()1≤+B P A P 8、为计算11111123499100S =-+-++-，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（A ）1i i =+ （B ）2i i =+ （C ）3i i =+ （D ）4i i =+9、如图，长方形的长度为cm4，宽度为cm 2，向这个长方形投一块小石头落在阴影部分的概率（ ）。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题(共10小题,每小题4.0分,共40分)1.在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为（）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】A【解析】，选A.2.已知数列的前项和，则等于( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意得，即可得数列的通项公式.【详解】当时，，当时，由，得，验证当时，满足上式.故数列的通项公式.故选：D.【点睛】本题考查数列的求和公式和通项公式的关系，属于基础题.3.在数列中，，则等于( )A. 2 013B. 2 012C. 2 011D. 2 010【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的定义推知数列的首项是，公差是的等差数列，即可得到通项公式并解答．【详解】由，得，又，数列是首项，公差的等差数列，等差数列的通项公式，故.故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的定义，等差数列的通项公式的应用，属于基础题.4.如果a＜b＜0，那么( )．A a－b＞0 B. ac＜bc C. ＞ D. a2＜b2【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质逐一判断即可.详解】根据题意，由于a＜b＜0，则a－b<0 故A错误，对于c=0时则不等式ac＜bc不成立，故B错误对于＞符合倒数性质可知，故C成立，对于a2＜b2，a=-3,b=-2故D错误，故答案为C.考点：不等式的性质点评：主要是考查了不等式的性质的运用，属于基础题．5.不等式的解集为（）A. 或B.C.D. 或【答案】D【解析】试题分析：，，即，或．故选D．考点：一元二次不等式的解法．6.若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为( )A. 1B. －1C. －3D. 3【答案】C【解析】【分析】由题意可得m≤x2﹣4x对一切x∈（0，1]恒成立，再根据f（x）＝x2﹣4x在（0，1]上为减函数，求得f（x）的最小值，可得 m 的最大值．【详解】解：由已知可关于x的不等式x2﹣4x﹣m≥0对任意x∈（0，1]恒成立，可得m≤x2﹣4x对一切x∈（0，1]恒成立，又f（x）＝x2﹣4x在（0，1]上为减函数，∴f（x）min＝f（1）＝﹣3，∴m≤﹣3，即 m的最大值为﹣3，故选C．【点睛】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，函数的恒成立问题，属于中档题．7.直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题可知：直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，因此，故，又因为在椭圆中有，故，因此．考点：椭圆离心率的求法8.平面上到点距离之和为10的点的轨迹是( )A. 椭圆B. 圆C. 线段D. 轨迹不存【答案】C【解析】【分析】由点，先求出，由此能求出平面上到点距离之和为的点的轨迹．【详解】由点，得，平面上到点距离之和为的点的轨迹是线段.故选：C.【点睛】本题考查点的轨迹的求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用，属于基础题.9.设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线的焦点的距离是 ( )A. 6B. 4C. 8D. 12【答案】A【解析】试题分析：由抛物线知，点P到y轴的距离是4，那么P 到抛物线准线距离为6，又由抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”，所以点P到该抛物线的焦点的距离是6，故选A．考点：本题主要考查抛物线的定义及其几何性质．点评：简单题，涉及抛物线上的到焦点距离问题，一般要考虑应用抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”．10.下列命题中为真命题的是（）A. 若B. 命题：若，则或的逆否命题为：若且，则C. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件D. 若命题，则【答案】B【解析】分析：对四个命题，分别进行判断，即可得出结论．详解：对于A，，利用基本不等式，可得，故不正确；对于B，命题：若，则或的逆否命题为：若且，则，正确；对于C，“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件，故不正确；对于D，命题命题，则，故不正确．故选B．点睛：本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，属基础题．二、填空题(共10小题,每小题5.0分,共50分)11.命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是【答案】对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．【解析】【详解】因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．故答案为对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．12.若点A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,则m=____.【答案】【解析】【分析】把两点坐标代入曲线方程后再解方程组可得．【详解】由题意，解得．【点睛】本题考查曲线的方程与方程的曲线的概念．点在曲线即点的坐标是曲线方程的解，若点的坐标不是曲线方程的解，则该点不在曲线上．13.已知集合，，则“”是“”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)【答案】充分不必要【解析】【分析】化简集合，化简条件，判断前者能否推出后者；后者能否推出前者，利用条件的定义判断出条件．【详解】，，若，则，即等价于“”，由“”能推出“”，但“”不能推出“”，故“”是的充分不必要条件.故答案：充分不必要.【点睛】本题考查绝对值不等式解法、利用充分必要条件的定义判断条件问题，属于基础题．14.已知直线与抛物线相切，则【答案】【解析】【分析】设出切点坐标，对求导，利用切点在抛物线上，切点在切线上，导数的几何意义列方程求的值.【详解】解：直线与抛物线相切，切点为由已知，则有，解得.故答案为：15.直线与曲线相交于两点，则直线l 的倾斜角的取值范围是________________．【答案】【解析】【分析】首先根据题意直线：与曲线相交于两点，进一步判断直线的斜率和渐近线的斜率的关系求出结果．【详解】曲线的渐近线方程为：，由直线与曲线相交于两点，直线的斜率或，即又直线的斜率存在，即倾斜角，故直线的倾斜角的取值范围是.故答案：.【点睛】本题考查直线与双曲线的关系，直线的斜率和渐近线的斜率的关系，属于基础题.三、解答题(共5小题,共40分)16.等比数列中，已知.（1）求数列的通项公式；（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据求得公比利用等比数列的通项公式即可求得；（2）根据的通项公式求得即得等差数列的第项和第项，解方程组求出等差数列的首项和公差，即可得到数列的通项公式.试题解析：（1）设的公比为, 由已知得，解得，所以（2）由（1）得，，则，设的公差为，则有，解得从而.考点：等差、等比数列的通项公式.17.已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得，解得，故数列{an}的通项公式为an＝2－n.(2)设数列的前n项和为Sn，∵，∴Sn＝－记Tn＝，①则Tn＝，②①－②得：Tn＝1＋，∴Tn＝－，即Tn＝4－.∴Sn＝－4＋＝4－4＋＝.18.(1)若，求函数的最小值，并求此时的值；(2)已知，且＋＝1，求的最小值．【答案】(1)4,(2)16【解析】【分析】（1）由于，利用基本不等式可得，满足等号成立的条件，于是问题得解；（2）由于，利用基本不等式可得，满足等号成立的条件，问题得解.【详解】（1），，当且仅当，即时取等号.的最小值为，此时.（2），当且仅当，即时取等号.【点睛】本题考查基本不等式，关键是分析等号成立的条件，属于基础题．19.已知抛物线C的方程C：y2=2p x（p＞0）过点A（1，-2）.（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【答案】（I）抛物线C的方程为，其准线方程为（II）符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y-1 =0.【解析】试题分析：（Ⅰ）求抛物线标准方程，一般利用待定系数法，只需一个独立条件确定p的值：（－2）2＝2p·1，所以p＝2．再由抛物线方程确定其准线方程：，（Ⅱ）由题意设：，先由直线OA与的距离等于根据两条平行线距离公式得：解得，再根据直线与抛物线C有公共点确定试题解析：解（1）将（1，－2）代入y2＝2px，得（－2）2＝2p·1，所以p＝2．故所求的抛物线C的方程为其准线方程为．（2）假设存在符合题意的直线，其方程为．由得．因为直线与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得．另一方面，由直线OA到的距离可得，解得．因为－1∉[－，＋∞），1∈[－，＋∞），所以符合题意的直线存在，其方程为．考点：抛物线方程，直线与抛物线位置关系【名师点睛】求抛物线的标准方程的方法及流程（1）方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．（2）流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．提醒：求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2=mx或x2=my（m≠0）．20.已知椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于两点．当点恰好为线段的中点时，求的方程．【答案】【解析】【分析】运用点差法，求得直线斜率，利用点斜式即可得到直线方程．【详解】由题意得，知点椭圆内，设，则······①······②因恰为线段的中点，即，由①②作差得，，直线的方程为，即.【点睛】本题考查弦长和直线方程的求法，注意运用联立方程和点差法的运用，考查运算能力，属于中档题.2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题(共10小题,每小题4.0分,共40分)1.在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为（）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】A【解析】，选A.2.已知数列的前项和，则等于( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意得，即可得数列的通项公式.【详解】当时，，当时，由，得，验证当时，满足上式.故数列的通项公式.故选：D.【点睛】本题考查数列的求和公式和通项公式的关系，属于基础题.3.在数列中，，则等于( )A. 2 013B. 2 012C. 2 011D. 2 010【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的定义推知数列的首项是，公差是的等差数列，即可得到通项公式并解答．【详解】由，得，又，数列是首项，公差的等差数列，等差数列的通项公式，故.故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的定义，等差数列的通项公式的应用，属于基础题.4.如果a＜b＜0，那么( )．A a－b＞0 B. ac＜bc C. ＞ D. a2＜b2【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质逐一判断即可.详解】根据题意，由于a＜b＜0，则a－b<0 故A错误，对于c=0时则不等式ac＜bc不成立，故B错误对于＞符合倒数性质可知，故C成立，对于a2＜b2，a=-3,b=-2故D错误，故答案为C.考点：不等式的性质点评：主要是考查了不等式的性质的运用，属于基础题．5.不等式的解集为（）A. 或B.C.D. 或【答案】D【解析】试题分析：，，即，或．故选D．考点：一元二次不等式的解法．6.若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为( )A. 1B. －1C. －3D. 3【答案】C【解析】【分析】由题意可得m≤x2﹣4x对一切x∈（0，1]恒成立，再根据f（x）＝x2﹣4x在（0，1]上为减函数，求得f（x）的最小值，可得 m的最大值．【详解】解：由已知可关于x的不等式x2﹣4x﹣m≥0对任意x∈（0，1]恒成立，可得m≤x2﹣4x对一切x∈（0，1]恒成立，又f（x）＝x2﹣4x在（0，1]上为减函数，∴f（x）min＝f（1）＝﹣3，∴m≤﹣3，即 m的最大值为﹣3，故选C．【点睛】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，函数的恒成立问题，属于中档题．7.直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题可知：直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，因此，故，又因为在椭圆中有，故，因此．考点：椭圆离心率的求法8.平面上到点距离之和为10的点的轨迹是( )A. 椭圆B. 圆C. 线段D. 轨迹不存【答案】C【解析】【分析】由点，先求出，由此能求出平面上到点距离之和为的点的轨迹．【详解】由点，得，平面上到点距离之和为的点的轨迹是线段.故选：C.【点睛】本题考查点的轨迹的求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用，属于基础题.9.设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线的焦点的距离是 ( )A. 6B. 4C. 8D. 12【答案】A【解析】试题分析：由抛物线知，点P到y轴的距离是4，那么P到抛物线准线距离为6，又由抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”，所以点P到该抛物线的焦点的距离是6，故选A．考点：本题主要考查抛物线的定义及其几何性质．点评：简单题，涉及抛物线上的到焦点距离问题，一般要考虑应用抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”．10.下列命题中为真命题的是（）A. 若B. 命题：若，则或的逆否命题为：若且，则C. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件D. 若命题，则【答案】B【解析】分析：对四个命题，分别进行判断，即可得出结论．详解：对于A，，利用基本不等式，可得，故不正确；对于B，命题：若，则或的逆否命题为：若且，则，正确；对于C，“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件，故不正确；对于D，命题命题，则，故不正确．故选B．点睛：本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，属基础题．二、填空题(共10小题,每小题5.0分,共50分)11.命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是【答案】对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．【解析】【详解】因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．故答案为对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．12.若点A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,则m=____.【答案】【解析】【分析】把两点坐标代入曲线方程后再解方程组可得．【详解】由题意，解得．【点睛】本题考查曲线的方程与方程的曲线的概念．点在曲线即点的坐标是曲线方程的解，若点的坐标不是曲线方程的解，则该点不在曲线上．13.已知集合，，则“”是“”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)【答案】充分不必要【解析】【分析】化简集合，化简条件，判断前者能否推出后者；后者能否推出前者，利用条件的定义判断出条件．【详解】，，若，则，即等价于“”，由“”能推出“”，但“”不能推出“”，故“”是的充分不必要条件.故答案：充分不必要.【点睛】本题考查绝对值不等式解法、利用充分必要条件的定义判断条件问题，属于基础题．14.已知直线与抛物线相切，则【答案】【解析】【分析】设出切点坐标，对求导，利用切点在抛物线上，切点在切线上，导数的几何意义列方程求的值.【详解】解：直线与抛物线相切，切点为由已知，则有，解得.故答案为：15.直线与曲线相交于两点，则直线l的倾斜角的取值范围是________________．【答案】【解析】【分析】首先根据题意直线：与曲线相交于两点，进一步判断直线的斜率和渐近线的斜率的关系求出结果．【详解】曲线的渐近线方程为：，由直线与曲线相交于两点，直线的斜率或，即又直线的斜率存在，即倾斜角，故直线的倾斜角的取值范围是.故答案：.【点睛】本题考查直线与双曲线的关系，直线的斜率和渐近线的斜率的关系，属于基础题.三、解答题(共5小题,共40分)16.等比数列中，已知.（1）求数列的通项公式；（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据求得公比利用等比数列的通项公式即可求得；（2）根据的通项公式求得即得等差数列的第项和第项，解方程组求出等差数列的首项和公差，即可得到数列的通项公式.试题解析：（1）设的公比为, 由已知得，解得，所以（2）由（1）得，，则，设的公差为，则有，解得从而.考点：等差、等比数列的通项公式.17.已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得，解得，故数列{an}的通项公式为an＝2－n.(2)设数列的前n项和为Sn，∵，∴Sn＝－记Tn＝，①则Tn＝，②①－②得：Tn＝1＋，∴Tn＝－，即Tn＝4－.∴Sn＝－4＋＝4－4＋＝.18.(1)若，求函数的最小值，并求此时的值；(2)已知，且＋＝1，求的最小值．【答案】(1)4,(2)16【解析】【分析】（1）由于，利用基本不等式可得，满足等号成立的条件，于是问题得解；（2）由于，利用基本不等式可得，满足等号成立的条件，问题得解.【详解】（1），，当且仅当，即时取等号.的最小值为，此时.（2），当且仅当，即时取等号.【点睛】本题考查基本不等式，关键是分析等号成立的条件，属于基础题．19.已知抛物线C的方程C：y2=2p x（p＞0）过点A（1，-2）.（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【答案】（I）抛物线C的方程为，其准线方程为（II）符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y-1 =0.【解析】试题分析：（Ⅰ）求抛物线标准方程，一般利用待定系数法，只需一个独立条件确定p的值：（－2）2＝2p·1，所以p＝2．再由抛物线方程确定其准线方程：，（Ⅱ）由题意设：，先由直线OA与的距离等于根据两条平行线距离公式得：解得，再根据直线与抛物线C有公共点确定试题解析：解（1）将（1，－2）代入y2＝2px，得（－2）2＝2p·1，所以p＝2．故所求的抛物线C的方程为其准线方程为．（2）假设存在符合题意的直线，其方程为．由得．因为直线与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得．另一方面，由直线OA到的距离可得，解得．因为－1∉[－，＋∞），1∈[－，＋∞），所以符合题意的直线存在，其方程为．考点：抛物线方程，直线与抛物线位置关系【名师点睛】求抛物线的标准方程的方法及流程（1）方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．（2）流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．提醒：求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2=mx或x2=my（m≠0）．20.已知椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于两点．当点恰好为线段的中点时，求的方程．【答案】【解析】【分析】运用点差法，求得直线斜率，利用点斜式即可得到直线方程．【详解】由题意得，知点椭圆内，设，则······①······②因恰为线段的中点，即，由①②作差得，，直线的方程为，即.【点睛】本题考查弦长和直线方程的求法，注意运用联立方程和点差法的运用，考查运算能力，属于中档题.。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题文(含解析)_2
2019-2020学年高二数学上学期期中试题文（含解析）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列说法正确的是（）A. 数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B. 数列1，0，−1，−2与数列−2，−1，0，1是相同的数列C. 数列{}的第k项为1+D. 数列0，2，4，6，…可记为{2n}【答案】C【解析】由数列的定义可知A中{1，3，5，7}表示的是一个集合，而非数列，故A错误；B中，数列中各项之间是有序的，故数列1，0，−1，−2与数列−2，−1，0，1是不同的数列，故B错误；C中，数列{}的第k项为=1+，故C正确；数列0，2，4，6，…的通项公式为an=2n−2，故D错．故选C．考点：数列的概念，数列的通项公式．2.正项等比数列{}中，若a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么公比q等于A. 3B. 3或－3C. 9D. 9或－9【答案】A【解析】因为为正项等比数列，所以其公比。
由可得，所以，故选A3.已知，，且，不为0，那么下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：根据不等式的性质，可知，则，故选D.考点：不等式的性质.4.命题“若，则”的逆命题是（）A. 若，则B. 若，则.C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】【分析】根据命题“若，则”逆命题为“若，则”即可得结果.【详解】由于命题“若，则”的逆命题为“若，则”，故命题“若，则”的逆命题是“若，则”故选：A.【点睛】本题主要考查了逆命题的概念，属于基础题.5.不等式的解集是（ )A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：且且，化简得解集考点：分式不等式解法6.在中，角A，B，C所对的边为a,b,c，，，则外接圆的面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理即可得出外接圆的半径，即可得出外接圆的面积．【详解】设外接圆的半径，则，解得，∴外接圆的面积，故选：B．【点睛】本题考查了利用正弦定理求外接圆的半径、圆的面积，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.若实数，满足约束条件，则的最大值为（）A. －3B. 1C. 9D. 10【答案】C【解析】【分析】画出可行域，向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，向上平移基准直线到的位置，此时目标函数取得最大值为.故选C.【点睛】本小题主要考查利用线性规划的知识求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.8.若的三个内角满足，则（）A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【解析】【分析】由，得出，可得出角为最大角，并利用余弦定理计算出，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状.【详解】由，可得出，设，则，，则角为最大角，由余弦定理得，则角为钝角，因此，为钝角三角形，故选：C.【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.9.在△ABC中，“”是“A＜B”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先利用大角对大边得到，进而利用正弦定理将边边关系得到，即证明了必要性，再同理得到充分性．【详解】在三角形中，若A＜B，则边a＜b，由正弦定理，得．若，则由正弦定理，得a＜b，根据大边对大角，可知A＜B，即是A＜B的充要条件．故选C.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定以及正弦定理，意在考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．解决此题的关键是利用“大边对大角，大角对大边”进行与的转化.10.等比数列的各项均为正数，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由等比数列的性质可得：，所以..则，故选：B.11.条件或，条件，p是q（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】通过举反例，判断出成立推不出成立，通过判断逆否命题真假，判断出原命题的真假得到后者成立能推出前者成立，由充分条件、必要条件的定义得到结论．【详解】若成立，例如当，时，不成立，即不成立，反之，若且，则是真命题，所以若，则或是真命题，即成立，所以是的必要而不充分条件，故选：B.【点睛】本题主要考查了判断一个命题是另一个命题的什么条件，一般先判断前者成立是否能推出后者成立，再判断后者成立能否推出前者成立，属于中档题．12.已知，，，则的最小值为（）A. 4B. 2C. 1D.【答案】C【解析】【分析】把看成的形式，把“4”换成，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值．【详解】∵，，且，∴，等号成立的条件为，所以的最小值为1，故选：C．【点睛】本题主要考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是写成形式，属于中档题.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.要求每小题写出最简结果）13.命题“”的否定是 .【答案】【解析】【分析】本题可以先观察题目所给命题，通过命题特征可知其为全称命题，再通过全称命题的相关性质以及全称命题的否定形式即可得出答案。
2019-2020年高二上学期期中考试数学(文)试题含解析(I)
2019-2020年高二上学期期中考试数学（文）试题含解析(I)一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1.命题“x R ∀∈，20x ≥”的否定是 .2.抛物线24x y =的焦点坐标是 .3.若()22x x f =，则()1f '-等于 .4.双曲线2214y x -=的渐近线方程为 .5.“两条直线不相交”是“两条直线是异面直线”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不必要又不充分”中的一个）6.函数28lny x x=-的单调递减区间为.7.设x，y R∈且1230xx yy x≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y=+的最小值是．8.设集合{}2230A x x x =--<，{}21xB x =>，则AB = .9.若双曲线221916x y -=上一点P 到右焦点的距离为4，则点P 到左焦点的距离是 ．10.已知正数y x ,满足21x y +=，则21x y+的最小值为 .11.P 为椭圆14522=+y x 上的点，21,F F 是其两个焦点，若 3021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积 是 ．12.已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为32y x =-，则函数2()()g x x f x =+的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为 .13.过椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰为右焦点F ,若12k =，则椭圆的离心率e 的值是 .14.已知函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈，若b 、c 满足214b c ≥+，且22()()()f c f b M c b -≤-恒成立，则M 的最小值为 .第Ⅱ卷（共80分）二、解答题：（本大题共6小题，计80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.已知命题p ：任意x R ∈，21x a +≥，命题q ：函数2()21f x x ax =-+在(,1]-∞-上单调递减．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若p 和q 均为真命题，求实数a 的取值范围．16.已知顶点在原点O ，焦点在x 轴上的抛物线过点(3,6). （1）求抛物线的标准方程；（2）若抛物线与直线2y x =-交于A 、B 两点，求证：1OA OB k k ⋅=-.1212121212(4)(4)4()1644424161.4OA OB y y x x x x x x k k x x ---++⋅===-+==-17.已知函数()a x x x x f +++-=9323．（1）求()x f 的单调递减区间；（2）若()x f 在区间[]2,2-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．18.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P 元，则销售量Q （单位：件）与零售价P （单位：元）有如下关系：28300170Q P P =--，问该商品零售价定为多少元时毛利润L 最大，并求出最大毛利润．（毛利润=销售收入-进货支出）关系为19.已知圆224O x y +=：，若焦点在x 轴上的椭圆22221x y a b += 过点(01)P -，，且其长轴长等于圆O 的直径．（1）求椭圆的方程；（2）过点P 作两条互相垂直的直线1l 与2l ，1l 与圆O 交于A 、B 两点， 2l 交椭圆于另一点C ，设直线1l 的斜率为k ，求弦AB 长； （3）求ABC ∆面积的最大值．20.设函数()ln f x x ax =-，a R ∈．（1）当1x =时，函数()f x 取得极值，求a 的值；（2）当102a <<时，求函数()f x 在区间[1，2]上的最大值； （3）当1a =-时，关于x 的方程22()mf x x =(0)m >有唯一实数解，求实数m 的值．。
2019-2020年高二数学上学期期中试卷(含解析)
2019-2020年高二数学上学期期中试卷（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是．2．（5分）双曲线﹣=1渐近线方程为．3．（5分）若点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围为．4．（5分）命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是命题．（在“真”或“假”中选一个填空）5．（5分）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则a+b=．6．（5分）曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是．7．（5分）如果p：x=2，q：x2=4，那么p是q的．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）8．（5分）不等式ax2+x+1＞0（a≠0）恒成立，则实数a的取值范围为．9．（5分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，则该抛物线的方程为．10．（5分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是．12．（5分）已知直线kx﹣y+1﹣k=0恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，则的最小值为．13．（5分）设x，y满足约束条件：，则z=x+2y的最小值为．14．（5分）记min{a，b}为a，b两数中的最小值，当正数x，y变化时，t=min{x，}也在变化，则t的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0．（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．16．（14分）椭圆C1：=1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上一点，B为抛物线y2=x 上一点，且A为线段OB的中点．（1）求椭圆C1的方程；（2）求直线AB的方程．17．（15分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解不等式（t为常数）18．（15分）已知二次函数f（x）=ax2﹣2x+a（a≠0）．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）＞0无解，求a的取值范围；（3）若不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．19．（16分）今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤2时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．（1）将y表示为x的函数；（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．20．（16分）设直线x+y=1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A，B两点．（1）若a=，求b的范围；（2）若OA⊥OB，且椭圆上存在一点P其横坐标为，求点P的纵坐标；（3）若OA⊥OB，且S△OAB=，求椭圆方程．江苏省盐城中学南校区xx高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是∃x∈R，x2+x+1＜0．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是：∃x∈R，x2+x+1＜0；故答案为：∃x∈R，x2+x+1＜0．点评：本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．2．（5分）双曲线﹣=1渐近线方程为y=±x．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得此双曲线的渐近线方程．解答：解：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得﹣=1的渐近线方程为﹣=0，化简可得y=±x．故答案为：y=±x．点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的简单性质，解题的关键是正确运用双曲线的标准方程．3．（5分）若点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围为（1，2）．考点：二元一次不等式的几何意义．专题：不等式的解法及应用．分析：根据点与直线的位置关系，即可．解答：解：∵点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，∴（1+1﹣a）（2﹣1﹣a）＜0，即（2﹣a）（1﹣a）＜0，则（a﹣1）（a﹣2）＜0，即1＜a＜2，故答案为：（1，2）点评：本题主要考查二元一次不等式的几何意义，以及一元二次不等式的解法是解决本题的关键．4．（5分）命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是假命题．（在“真”或“假”中选一个填空）考点：四种命题．专题：计算题；简易逻辑．分析：写出命题的逆命题，再判断其真假即可．解答：解：命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是如果ab=0，那么a=0，是假命题．故答案为：假．点评：本题主要考查了逆命题的定义以及真假命题的判定，要求学生对基础知识牢固掌握．5．（5分）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则a+b=．考点：一元二次不等式与一元二次方程．专题：计算题；转化思想．分析：不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，故3，4是方程ax2+bx﹣1=0的两个根，由根与系数的关系求出a，b，既得．解答：解：由题意不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，故3，4是方程ax2+bx﹣1=0的两个根，∴3+4=﹣，3×4=﹣∴a=﹣，b=∴a+b=﹣=故答案为点评：本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值．注意总结方程，函数，不等式三者之间的联系．6．（5分）曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是2x﹣y﹣1=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：求出导函数，令x=1求出切线的斜率；利用点斜式写出直线的方程．解答：解：y′=2x当x=1得f′（1）=2所以切线方程为y﹣1=2（x﹣1）即2x﹣y﹣1=0故答案为2x﹣y﹣1=0点评：本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值是切线的斜率．7．（5分）如果p：x=2，q：x2=4，那么p是q的充分不必要条件．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得到答案．解答：解：由p：x=2能推出q：x2=4，是充分条件，由q：x2=4推不出p：x=2，不是必要条件，故答案为：充分不必要条件．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．8．（5分）不等式ax2+x+1＞0（a≠0）恒成立，则实数a的取值范围为．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意和二次函数的性质列出不等式组，求出a的取值范围．解答：解：因为不等式ax2+x+1＞0（a≠0）恒成立，所以，解得a＞，所以实数a的取值范围为，故答案为：．点评：本题考查利用二次函数的性质解决恒成立问题，注意开口方向，属于基础题．9．（5分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，则该抛物线的方程为y2=16x或x2=﹣12y．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出直线3x﹣4y﹣12=0与x轴、y轴的交点分别为（4，0）、（0，﹣3），可得抛物线开口向右或开口向下，由此设出抛物线的标准方程并解出焦参数p的值，即可得到所求抛物线的方程．解答：解：∵直线3x﹣4y﹣12=0交x轴于点（4，0），交y轴于点（0，﹣3），∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，﹣3），可得抛物线开口向右或开口向下．①当抛物线的开口向右时，设抛物线方程为y2=2px（p＞0），∵=4，解得p=8，2p=16，∴此时抛物线的方程为y2=16x；②当抛物线的开口向右时，用类似于①的方法可得抛物线的方程为x2=﹣12y．综上所述，所求抛物线的方程为y2=16x或x2=﹣12y．故答案为：y2=16x或x2=﹣12y点评：本题给出抛物线满足的条件，求抛物线的方程．着重考查了双曲线的标准方程与基本概念、抛物线的标准方程及其简单几何性质等知识，属于基础题．10．（5分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．考点：抛物线的简单性质；两点间的距离公式．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），利用抛物线的定义可得|MF|=2+=3，解得p=2，从而得到抛物线的方程．由此算出点M的坐标为（2，），再利用两点间的距离公式即可算出|OM|的值．解答：解：∵抛物线经过点M（2，y），∴抛物线的开口向右．设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），∵点M（2，y）到抛物线焦点F的距离为3，∴根据抛物线的定义，得|MF|=2+=3，解得p=2，由此可得抛物线的方程为y2=4x．将点M坐标代入抛物线方程，得y2=4×2=8，解得y=，M坐标为（2，）．∴|OM|==2．故答案为：点评：本题已知抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离为3，求该点到抛物线顶点的距离．着重考查了抛物线的定义与标准方程、两点间的距离公式等知识，属于中档题．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是+1．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据AF⊥x轴可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2﹣a2联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．解答：解：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c∵A是它们的一个公共点，且AF垂直x轴设A点的纵坐标大于0∴|AF|=p，∴A（，p）∵点A在双曲线上∴﹣=1∵p=2c，b2=c2﹣a2∴﹣=1化简得：c4﹣6c2a2+a4=0∴e4﹣6e2+1=0∵e2＞1∴e2=3+2∴e=1+故答案为：1+点评：本题主要考查关于双曲线的离心率的问题，属于中档题，本题利用焦点三角形中的边角关系，得出a、c的关系，从而求出离心率．12．（5分）已知直线kx﹣y+1﹣k=0恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，则的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：把直线方程整理成点斜式，求得A点的坐标，代入直线mx+ny﹣1=0中，求得m+n的值，最后根据基本不等式求得的最小值．解答：解：整理直线方程得y=k（x﹣1）+1，∴点A的坐标为（1，1），∵点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，∴m+n﹣1=0，即m+n=1，∴==，∵mn≤=，m=n时取等号，∴≥4，即的最小值为4，故答案为：4．点评：本题主要考查了基本不等式，直线方程问题，解题的关键时求得m+n的值．13．（5分）设x，y满足约束条件：，则z=x+2y的最小值为8．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点A时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，得，即A（2，3）此时z=2+2×3=8．故答案为：8点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．14．（5分）记min{a，b}为a，b两数中的最小值，当正数x，y变化时，t=min{x，}也在变化，则t的最大值为．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：先推导=≤，再分当x≥与当x≤≤两种情况探讨最值，解答：解：=≤当x≥时，即x≥时，t=min{x，}=，而≤≤x≤，当x≤≤时，也即0＜x≤时，t=min{x，}=x，而x≤，综上t的最大值为故答案为：．点评：本题主要考查了函数的取最值的问题，理解新定义函数的意义，并能运用分类讨论的数学思想去解题是解决问题的关键二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0．（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（1）分别求出关于p，q的不等式，从而得到答案；（2）通过讨论m的范围，结合集合之间的关系，从而得到答案．解答：解：（1）m=4时，p：﹣3≤x≤1，q：﹣1≤x≤4，若p且q为真，则p为真，q为真，∴x的范围是：{x|﹣1≤x≤1}；（2）∵p：{x|﹣3≤x≤1}，若m≤﹣1，则q：{x|m≤x≤﹣1}，又p是q的必要不充分条件，即q⊂b，∴﹣3≤m≤﹣1，若m＞﹣1，则q：{x|﹣1≤x≤m}，∴﹣1＜m≤1，综上：m的范围是．点评：本题考查了复合命题的真假，考查了集合之间的关系，是一道基础题．16．（14分）椭圆C1：=1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上一点，B为抛物线y2=x 上一点，且A为线段OB的中点．（1）求椭圆C1的方程；（2）求直线AB的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）据题意得：又a2=b2+c2，解出a，b即可得到椭圆方程；（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，2y0），分别代入椭圆和抛物线方程，解出A点坐标，即可得到AB方程．解答：解：（1）据题意得：又a2=b2+c2，解得，所以椭圆方程为．（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，2y0），分别代入椭圆和抛物线方程得，消去y0并整理得：，所以或．当时，；当时，y0无解．所以直线AB的方程为．点评：本题考查椭圆的方程和性质及运用，考查抛物线方程的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．17．（15分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解不等式（t为常数）考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由已知解集的端点可知1和b为方程ax2﹣3x+2=0的两个解，把x=1代入方程求出a的值，进而求出b的值；（Ⅱ）把原不等式分子提取﹣1，在不等式两边同时除以﹣1，不等号方向改变，当t=﹣2时，显然原不等式无解；当t不等于﹣2时，根据两数相除异号得负的取符号法则转化为两个不等式组，讨论t与﹣2的大小，根据不等式组取解集的方法可得到原不等式的解集，综上，得到t取不同值时，原不等式对应的解集．解答：解：（Ⅰ）由题意得：x=1和x=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个解，∴把x=1代入方程得：a﹣3+2=0，解得a=1，则方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣1）（x﹣2）=0，可得方程的另一解为2，即b=2，∴a=1，b=2；（Ⅱ）原不等式可化为：，显然当t=﹣2时，不等式不成立，即解集为空集；当t≠﹣2时，原不等式可化为：或，当t＞﹣2时，解得：﹣2＜x＜t；当x＜﹣2时，解得t＜x＜2，综上，原不等式的解集为：．点评：此题考查了其他不等式的解法，利用了转化及分类讨论的数学思想，其中转化的理论依据为两数相乘（除）同号得正、异号得负的取符号法则，此类题是xx高考中常考的题型．18．（15分）已知二次函数f（x）=ax2﹣2x+a（a≠0）．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）＞0无解，求a的取值范围；（3）若不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）由二次不等式的解法，即可得到；（2）对a讨论，①当a=0时，②当a≠0时，则需，解出不等式，求并集即可；（3）不等式为：ax2﹣2x+a＞0，即，因为该不等式对x∈（0，+∞）恒成立，只要求出右边的最大值即可，注意运用基本不等式．解答：解：（1）当a=﹣1时，不等式为﹣x2﹣2x﹣1＜0，即（x+1）2＞0，所以x≠﹣1，所以所求不等式的解集为{x|x≠﹣1}；（2）不等式为：ax2﹣2x+a＞0．①当a=0时，不等式的解为：x＜0，不合题意；②当a≠0时，则需，所以a≤﹣1．综合得a≤﹣1；（3）不等式为：ax2﹣2x+a＞0，即，因为该不等式对x∈（0，+∞）恒成立，所以，因为，所以a的取值范围为a≥1．点评：本题考查二次函数的性质和二次不等式的解法，考查不等式恒成立转化为求函数最值问题，属于中档题．19．（16分）今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤2时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．（1）将y表示为x的函数；（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离，可得分段函数；（2）分段求出函数的最小值，即可得到分段函数的最小值．解答：解：（1）∵当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离，∴当0＜x≤12时，y==；当12＜x≤25时，y==5x++10∴y=；（2）当0＜x≤12时，y=，∴x=12m/s时，y min=290s；当12＜x≤25时，y=5x++10≥2 +10=250s当且仅当5x=，即x=24m/s时取等号，即x=24m/s时，y min=250s∵290＞250，∴x=24m/s时，y min=250s．答：该车队通过隧道时间y的最小值为250s及此时该车队的速度为24m/s．点评：本题考查分段函数模型的构建，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．20．（16分）设直线x+y=1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A，B两点．（1）若a=，求b的范围；（2）若OA⊥OB，且椭圆上存在一点P其横坐标为，求点P的纵坐标；（3）若OA⊥OB，且S△OAB=，求椭圆方程．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用判别式大于0，解出即可；（2）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件，化简整理，即可得到所求值；（3）设直线x+y=1与坐标轴交于C、D，求出CD，再由面积，求得AB，再由弦长公式，求得a，b的方程，再由（2）的结论，即可得到椭圆方程．解答：解：（1）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得（b2+a2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，x1+x2=，x1x2=，因为直线与椭圆交于两点，故△=4a4﹣4（b2+a2）（a2﹣a2b2）＞0，代入a=，解得，且a＞b，所以b的范围为；（2）将直线x+y=1代入椭圆方程，可得：，由OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，解得a2+b2=2a2b2即，代x0=到椭圆方程得，即，所以点P的纵坐标为．（3）设直线x+y=1与坐标轴交于C、D，则，又△AOB，△COD两个三角形等高，故，所以，求得所以，所以椭圆方程为．点评：本题考查椭圆方程及运用，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，考查运算能力，属于中档题．。
安徽省宣城市七校2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题文【含答案】
安徽省宣城市七校（郎溪、旌德、广德、泾县、绩溪、宣城二中等）2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题 文考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分100分，考试时间100分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教版必修3，选修1－1第一章～第二章第1节。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设命题p ：x∈R，2x >0，则p 为A.x∈R，2x ≤0B.x∈R，2x <0C.x 0∈R，≤0D.x 0∈R，>0∀∀∃02x ∃02x2.2019年，云南省丽江市某高级中学高一年级有100名学生，高二年级有200名学生，高三年级有150名学生。
现某社会民间组织按年级采用分层抽样的方法抽取18名学生进行问卷调查，则应从高一年级抽取的学生人数为A.6人B.2人C.8人D.4人3.已知p ：x<y ，q ：log 2x<log 2y ，则p 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过点F 1，若△ABF 2的周长为20，则222116x y a +=a 的值为A.5B.－25C.25D.5或－55.已知具有线性相关关系的变量x ，y 的一组数据如下表：可求得线性回归方程为，则的值为ˆ2yx =+00x y -A.3 B.－5 C.－3 D.26.若执行如图所示的程序框图输出的结果为26，则M 处可填入的条件为A.k≥31B.k≤31C.k<63D.k≥157.已知A 是圆M 的圆周上一定点，若在圆M 的圆周上的其他位置任取一点B ，连接AB ，则“线段AB 的长度不大于圆M 的半径”的概率约为A. B. C. D.121316238.已知一个不透明的袋子中装有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从袋子中一次取出两个球，则“取到全是白球”的概率是A. B. C. D.31035710259.已知A ，B 分别是椭圆C ：(a>b>0)的左顶点和上顶点，线段AB 的垂直平分线22221x y a b+=过右顶点。
2019-2020学年安徽省宣城市郎溪县七校高二上学期期中数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年安徽省宣城市郎溪县七校高二上学期期中数学（文）试题一、单选题1．设命题:,20x p x R ∀∈>，则⌝p 为（ ） A ．,20x x R ∀∈≤ B ．,20x x R ∀∈< C ．00,20x x R ∃∈≤ D ．00,20x x R ∃∈>【答案】C【解析】根据全称命题的否定的结构形式写出其否定即可. 【详解】命题:,20xp x R ∀∈>的否定为：00,20x x R ∃∈≤，故选：C. 【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.2．2019年，云南省丽江市某高级中学高一年级有100名学生，高二年级有200名学生，高三年级有150名学生.现某社会民间组织按年级采用分层抽样的方法抽取18名学生进行问卷调查，则应从高一年级抽取的学生人数为（ ） A ．6人 B ．2人C ．8人D ．4人【答案】D【解析】按比例可计算高一年级应抽取的人数. 【详解】 高一人数占比为10010021002001504509==++，故高一应抽取的人数为21849⨯=.故选：D. 【点睛】抽样方法共有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样 （1）简单随机抽样是每个个体等可能被抽取；（2）系统抽样时均匀分组，按规则抽取（通常每组抽取的序号成等差数列）； （3）分成抽样就是按比例抽取.3．已知:p x y <，22:log log q x y <，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】判断命题p q ⇒和q p ⇒的真假。
【详解】∵22:log log q x y <，∴0x y <<，∴p 是q 的必要不充分条件. 故选：B 。
2019-2020年高二上学期期中数学试卷(文科) 含解析
2019-2020年高二上学期期中数学试卷（文科）含解析一.选择题（本大题共12题，每题5分，共60分）1．椭圆的离心率为（）A．B．C．2 D．42．设a，b∈R，则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知||=1，||=，|﹣2|=，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=5．给出下列命题：（1）“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；（4）“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．其中为真命题的是（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（3）（4）6．已知椭圆的长轴是8，离心率是，此椭圆的标准方程为（）A．B．或C．D．或7．若向量、、两两所成的角相等，且||=1，||=1，||=3，则|++|等于（）A．2 B．5 C．2或5 D．或8．设=（1，2），=（1，1）且与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，0）∪（0，+∞）B．（﹣，+∞）C．[﹣，0）∪（0，+∞）D．（﹣，0）9．已知方程﹣=1表示双曲线，那么k的取值范围是（）A．k＞5 B．﹣2＜k＜2 C．k＞2或k＜﹣2 D．k＞5或﹣2＜k＜210．设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．11．已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A． B．6 C． D．1212．设双曲线的焦点为F1、F2，过F1作x轴的垂线与该双曲线相交，其中一个交点为M，则||=（）A．5B．4C．3D．2二.填空题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．命题“∃∈R，x2+2x+5=0”的否定是．14．若命题p：曲线﹣=1为双曲线，命题q：函数f（x）=（4﹣a）x在R上是增函数，且p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是．15．已知点F1（﹣4，0），F2（4，0），动点P满足|PF2|﹣|PF1|=4，则动点P的轨迹方程为．16．在直角三角形ABC中，∠C=，AB=2，AC=1，若=，则•=．三.解答题（本大题共6题，共70分）17．求符合下列条件的双曲线的标准方程（1）焦点在x轴上，顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±（2）与椭圆+=1共焦点，它们的离心率之和为．18．已知，的夹角为60°，，，当实数k为何值时，（1）（2）．19．已知点P是椭圆+=1上的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形面积等于1，求点P的坐标．20．在四边形ABCD中，已知∥，=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3）．（1）求用x表示y的关系式；（2）若⊥，求x、y值．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为．以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，P为椭圆上一点，且满足+=t（O为坐标原点）．当|AB|=时，求实数t的值．22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．2016-2017学年内蒙古包头一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12题，每题5分，共60分）1．椭圆的离心率为（）A．B．C．2 D．4【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆方程和椭圆基本量的平方关系，可得a=2、b=，从而算出c=1，由此即得该椭圆离心率的值．【解答】解：∵椭圆的方程为，∴a2=4，b2=3，可得c==1，因此椭圆的离心率e=，故选：B2．设a，b∈R，则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若a=1，b=﹣2，满足a＞b，但|a|＞|b|不成立，若a=﹣2，b=1，满足|a|＞|b|，但a＞b不成立，即“a＞b”是“|a|＞|b|”的既不充分也不必要条件，故选：D．3．已知||=1，||=，|﹣2|=，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量数量积运算性质即可得出．【解答】解：∵|﹣2|=，∴=，∴5=，解得=，∴向量，的夹角为．故选：C．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=【考点】双曲线的简单性质．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．5．给出下列命题：（1）“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；（4）“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．其中为真命题的是（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（3）（4）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①写出逆命题，进行判断②写出否命题，进行判断③若m≤1，△=4﹣4m≥0，原命题为真，逆否命题也为真④若A∩B=B，则A⊆B”为假，逆否命题也为假．【解答】解：“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy=1”为真命题．（1）正确．“面积相等的三角形全等”是假命题，其否命题为真命题．（2）正确．当m≤1时，△=4﹣4m≥0，x2﹣2x+m=0有实根，命题为真，逆否命题也为真（3）正确．“若A∩B=B，则A⊆B”为假命题，逆否命题也为假．（4）错误综上所述，为真命题的是（1）（2）（3）故选C6．已知椭圆的长轴是8，离心率是，此椭圆的标准方程为（）A．B．或C．D．或【考点】椭圆的标准方程．【分析】根据椭圆的基本概念，结合题意算出a=4且c=3，从而得到b2=a2﹣c2=7．再根据椭圆的焦点位置，即可确定此椭圆的标准方程．【解答】解：∵椭圆的长轴为8，离心率是，∴2a=8，e==，解得a=4，c=3，b2=a2﹣c2=7，因此，当椭圆的焦点在x轴上时，其方程为；椭圆的焦点在y轴上时，其方程为．故选：B7．若向量、、两两所成的角相等，且||=1，||=1，||=3，则|++|等于（）A．2 B．5 C．2或5 D．或【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设向量所成的角为α，则先求出的值即可求出，【解答】解：由向量、、两两所成的角相等，设向量所成的角为α，由题意可知α=0°或α=120°则=+++2（++）=11+2（||•||cosα+||•||cosα+||•||cosα）=11+14cosα所以当α=0°时，原式=5；当α=120°时，原式=2．故选C8．设=（1，2），=（1，1）且与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A ．（﹣，0）∪（0，+∞）B ．（﹣，+∞）C ．[﹣，0）∪（0，+∞）D ．（﹣，0）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】若设θ为与的夹角，θ为锐角⇒cos θ＞0，且cos θ≠1，根据条件及两向量夹角的余弦公式即可求得λ的取值范围，并且在求时，先求它的平方． 【解答】解： =（1，2）•（1+λ，2+λ）=3λ+5，=5+6λ+2λ2，；∴设与的夹角为θ且θ为锐角，则：cos θ==＞0，且∴解得：λ，且λ≠0．∴实数λ的取值范围是．故选A ．9．已知方程﹣=1表示双曲线，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ＞5B ．﹣2＜k ＜2C ．k ＞2或k ＜﹣2D ．k ＞5或﹣2＜k ＜2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程的特点可得（k ﹣5）（|k |﹣2）＞0，解之可得．【解答】解：若方程﹣=1表示的曲线为双曲线，则（k ﹣5）（|k |﹣2）＞0，解得k ＞5或﹣2＜k ＜2． 故选D ．10．设D 为△ABC 所在平面内一点，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】平行向量与共线向量．【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．【解答】解：由已知得到如图由===；故选：A ．11．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆+y 2=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ）A ．B ．6C ．D ．12 【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ，可得△ABC 的周长．【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ，可得△ABC 的周长为4a=， 故选C12．设双曲线的焦点为F 1、F 2，过F 1作x 轴的垂线与该双曲线相交，其中一个交点为M ，则||=（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】依题意，可求得﹣=1的左焦点F 1（﹣3，0），从而可求得||，利用双曲线的定义即可求得||．【解答】解：∵双曲线﹣=1中a 2=3，b 2=6，∴c 2=a 2+b 2=9，∴c=3，故左焦点F 1（﹣3，0）．依题意，设M （﹣3，y 0），则=﹣1=2，∴y 0=±2，故|MF 1|=2． ∵M （﹣3，y 0）为左支上的点，∴|MF2|﹣|MF1|=2，∴|MF2|=2+|MF1|=4，即||=4．故选B．二.填空题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．命题“∃∈R，x2+2x+5=0”的否定是∀x∈R，x2+2x+5≠0．【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断．【解答】解：命题的特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x∈R，x2+2x+5≠0，故答案为：∀x∈R，x2+2x+5≠014．若命题p：曲线﹣=1为双曲线，命题q：函数f（x）=（4﹣a）x在R上是增函数，且p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，2]∪[3，6）．【考点】复合命题的真假；双曲线的简单性质．【分析】通过p∨q为真命题，p∧q为假命题，判断两个命题的真假关系，分别求出命题是真命题时a的范围，即可求解结果．【解答】解：当p为真命题时，（a﹣2）（6﹣a）＞0，解之得2＜a＜6．当q为真命题时，4﹣a＞1，即a＜3．由p∨q为真命题，p∧q为假命题知p、q一真一假．当p真q假时，3≤a＜6．当p假q真时，a≤2．因此实数a的取值范围是（﹣∞，2]∪[3，6）．故答案为：（﹣∞，2]∪[3，6）．15．已知点F1（﹣4，0），F2（4，0），动点P满足|PF2|﹣|PF1|=4，则动点P的轨迹方程为．【考点】轨迹方程．【分析】由条件知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线左支，从而写出轨迹的方程即可．【解答】解：由|PF2|﹣|PF1|=4＜|F1F2|知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线左支，得c=4，2a=4，∴a=2，∴b2=12，故动点P的轨迹方程是．故答案为16．在直角三角形ABC 中，∠C=，AB=2，AC=1，若=，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据结合图形得出==，=0， =2××COS30°，转化得出•=（）•=+求解即可．【解答】解：∵直角三角形ABC 中，∠C=，AB=2，AC=1，∴根据勾股定理得出BC=，sin ∠ABC ═=，即∠ABC=30°∵若=，∴==， =0，=2××COS30°=3∴•=（）•=+=×3=故答案为：三.解答题（本大题共6题，共70分） 17．求符合下列条件的双曲线的标准方程（1）焦点在x 轴上，顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±（2）与椭圆+=1共焦点，它们的离心率之和为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）由题意，2a=6， =，求出a ，b ，即可求出双曲线的标准方程；（2）椭圆+=1的焦点坐标为（0，±4），离心率为，可得双曲线的焦点坐标为（0，±4），离心率为2，求出a，b，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：（1）由题意，2a=6，=，∴a=3，b=1，∴双曲线的标准方程为=1；（2）椭圆+=1的焦点坐标为（0，±4），离心率为，∴双曲线的焦点坐标为（0，±4），离心率为2，∴，∴双曲线的标准方程为=1．18．已知，的夹角为60°，，，当实数k为何值时，（1）（2）．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1）由可知存在实数t，使，可得k与t的方程组，解之可得；（2）由=（）•（）=0可得关于k的方程，解之即可．【解答】解：（1）由可知存在实数t，使，即，解得，故k=时，可得；（2）由=（）•（）=0可得15+3k+（5k+9）=0，代入数据可得15×4+27k+（5k+9）×=0，解得k=﹣，故当k=﹣时，．19．已知点P是椭圆+=1上的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形面积等于1，求点P的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆方程可知： +=1，c==1，由三角的面积公式可知：S=•2c•丨y丨=1，即丨y丨=1，代入椭圆方程得：=1，即可求得丨x丨=，即可求得点P的坐标．【解答】解：F1、F2是椭圆+=1的左、右焦点，c==1，则F1（﹣1，0），F2（1，0），设P（x，y）是椭圆上的一点，由三角的面积公式可知：S=•2c•丨y丨=1，即丨y丨=1，将丨y丨=1代入椭圆方程得：=1，解得：丨x丨=，∴点P的坐标为（，1））（﹣，1）（）（，﹣1）．20．在四边形ABCD中，已知∥，=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3）．（1）求用x表示y的关系式；（2）若⊥，求x、y值．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1），由，能求出y=﹣．（2）=（x+6，y+1），=（x﹣2，y﹣3），由，y=﹣，能求出x、y值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3），∴…∵，∴x（﹣2+y）=y（4+x）…∴y=﹣，…（2）∵=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3），∴=（x+6，y+1），=（x﹣2，y﹣3），∵，∴（x+6）（x﹣2）+（y+1）（y﹣3）=0，又∵y=﹣，解得或．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为．以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，P为椭圆上一点，且满足+=t（O为坐标原点）．当|AB|=时，求实数t的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆C： +=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为，可求a﹣c的值，利用直线与圆相切，可得b的值，由此可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线AB的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及|AB|=， +=t，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意知a﹣c=﹣1；…又因为b==1，所以a2=2，b2=1．…故椭圆C的方程为+y2=1．…（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．…△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，∴k2．…x1+x2=，x1x2=．又由|AB|=，得|x1﹣x2|=，即=…可得…又由+=t，得（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），则=，=…故，即16k2=t2（1+2k2）．…得，t2=，即t=±．…22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】解法一：（1）由已知得，解得即可得出椭圆E的方程．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：y0=．|GH|2=．=，作差|GH|2﹣即可判断出．解法二：（1）同解法一．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则=，=．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，计算=即可得出∠AGB，进而判断出位置关系．【解答】解法一：（1）由已知得，解得，∴椭圆E的方程为．（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=，∴y0=．G，∴|GH|2==+=++．===，故|GH|2﹣=+=﹣+=＞0．∴，故G在以AB为直径的圆外．解法二：（1）同解法一．（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），则=，=．由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=，从而==+y1y2=+=﹣+=＞0．∴＞0，又，不共线，∴∠AGB为锐角．故点G在以AB为直径的圆外．2016年12月19日。
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【详解】
若焦点在 x 轴上，则
a
4
，
由椭圆的定义可得 AF2 AF1 2 a ， BF2 BF1 2 a ， 而 ABF2 的周长为 AF2 AF1 BF2 BF1 4 a ，故 a 5 即 a 5 .
若焦点在
y
轴上，则
a
4
，
由椭圆的定义可得
AF2
AF1
24 8
，
BF2
BF1
3 10
.
故选：A.
【点睛】古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计
算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法
来计数（个数较大时）.
C : y2 x2 1 9.已知 A ， B 分别是椭圆 a2 b2 （ a b 0 ）的左顶点和上顶点，线段 AB 的垂直
真命题，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件。
4.已知椭圆
x2 a2
y2 16
1
的两个焦点分别为
F1, F2
，弦
AB
过点
F1 ，若 ABF2
的周长为
20，
则 a 的值为（ ）
A. 5
B. －25
C. 25
D. 5 或－5就焦点在 x 轴、焦点在 y 轴上分类讨论，两种情形均可以利用椭圆的定义来求解.
D. k 15
【答案】A
【解析】
【分析】
逐次计算，结合输出结果可得判断条件 M .
【详解】第一次执行判断前， S 0, k 1，第二次执行判断前， S 1, k 3 ，
第三次执行判断前， S 4, k 7 ，第四次执行判断前， S 11, k 15 ，
第五次执行判断前， S 26, k 31，此时终止循环，输出 S ，故 M 为 k 31 .
8
，
而 ABF2 的周长为
AF2
AF1
BF2
BF1
16
，矛盾.
故选：D.
【点睛】一般地，椭圆
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
的左右焦点为
F1,
F2
，点
P
为椭圆上的动点，
则
PF1
PF2
2a
，解题中注意利用这个几何性质.
5.已知具有线性相关关系的变量 x ， y 的一组数据如下表：
x
1
3
6
x0
y
2
5
8
F1F2 2
3 ，由椭圆的定义，可得 2a 3
b2 a2 c2 3 3
3 ，则
2.
【点睛】本题考查椭圆的定义，利用定义解题更方便，本题属于基础题。
ax by 8 0
11.将－颗骰子先后投掷两次分别得到点数
a, b
，则关于
x,
y
方程组
x
2
y2
4
0
，有实
数解的概率为（ ）
2 A. 9
故方程有解有
28
a,
种情形，而
b 共有
36
种不同的情形，故所求的概率为
28 36
7 9
.
故选：B.
【点睛】古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计
算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法
来计数（个数较大时）.
x2
12.已知椭圆 a2
x2 15.已知椭圆 a2
y2 b2
1a
b
0的左、右焦点分别为 F1, F2 ，左顶点为 A ，上顶点为 B ，
若 BF1 是 BAF2 的中线，则该椭圆的离心率为_______________.
1 【答案】 3
【解析】
【分析】
利用 AF1 F1F2 可得 a, c 的关系，从而得到离心率的值.
y0
可求得线性回归方程为 yˆ x 2 ，则 x0 y0 的值为（ ）
A. 3
B. －5
C. －3
D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用线性回归直线过中心点 (x, y) 可得 x0 y0 的值。
【详解】由题意知，
x
1 4
10
x0
，
y
1 4
15
y0
，又样本中心点
1 4
10
x0
,
1 4
15
3 A. 10
3 B. 5
7 C. 10
2 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】
利用组合可求基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，利用公式可求概率.
【详解】记“取到全是白球”为事件 A ，
从袋子中一次取出两个球，共有 C52 10 种取法，
若取到的两球都是白球，共有 C32
3
种取法，故
P A
1 他 10 个小长方形面积和的 4 ，则中间一个小长方形的面积为______.
【答案】0.2
【解析】 【分析】 由频率分布直方图的所有长方形面积和为 1 求解。
【详解】设频率分布直方图的 中间一个小长方形面积为 x ，则 x 4x 1 ，所以 x 0.2 .
【点睛】本题考查频率分布直方图，直方图中小长方形面积就是频率。本题属于基础题。
故选：D．
【点睛】本题考查椭圆的几何性质，属于基础题。在解决圆锥曲线问题时，注意图形中的
一些线段与 a, b, c 的关系是解题基础.
10.已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1 （a
b
0 ）的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，点 P 在椭圆上，若
POF2 （ O 为坐标原点）是边长为 3 的正三角形，则 b2 （ ）
小到大排列）.
【答案】030，210，300
【解析】
【分析】
由系统抽样知每个样本编号间隔 90，因此易得其他三个的编号。
【详解】由于从 360 名学生中抽取 4 名学生，故分组的间距为 90，又第二组的编号为 120，
所以其他三个编号依次是 030，210，300.
【点睛】本题考查系统抽样，掌握系统抽样定义即可求解，属于基础题。 14.已知某样本数据频率分布直方图共有 11 个小长方形，若中间一个小长方形的 面积等于其
1,
【详解】因为点
2
在椭圆上，所以
1 a2
2 b2
1
a2
，所以
b2 b2 2 .
c
1
,
设椭圆的半焦距为 c ，因为 a 2
3
2
，所以
1 2
c a
3
1 a2 b2 3
2 ，故 4 a2 4 ，
1
b2 b2 2
b2
3
4
b2
4
3 b 11
所以
b2 2
，解得 2
2 ，故短轴长的最大值为 11 .
CMA
且
DMA
3
，故 CD
的长度为
2 3
R
，
2 R
PA 3 1
所以
2 R 3 .
故选：C.
【点睛】几何概型的概率计算关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面
积、几何体的体积等．
8.已知一个不透明的袋子中装有 3 个白球，2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从袋子
中一次取出两个球，则“取到全是白球”的概率是（ ）
【详解】因为 BF1 是 BAF2 的中线，所以
AF1
F1F2
c
即 a c 2c ，故 a
1 3.
1 故答案为： 3 .
【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于 a, b, c 的一个等式关
年级有 150 名学生.现某社会民间组织按年级采用分层抽样的方法抽取 18 名学生进行问卷调
查，则应从高一年级抽取的学生人数为（ ）
A. 6 人
B. 2 人
C. 8 人
D. 4 人
【答案】D
【解析】
【分析】
按比例可计算高一年级应抽取的人数.
100
100 2
2 18 4
【详解】高一人数占比为 100 200 150 450 9 ，故高一应抽取的人数为 9
故选：C.
【点睛】本题以椭圆基本量为载体，考查多变量等式和不等式条件下变量的最值的计算，注
意多变量问题处理的基本策略是消元法，此类问题多为中档题.
二、填空题：
13.将某年级的 360 名学生编号为 001，002，…，360，采用系统抽样方法抽取一个容量为 4
的样本，且在某组随机抽得的一个编号为 120，则剩下的三个编号依次是______（按编号从
平分线过右顶点.若椭圆 C 的焦距为 2，则椭圆 C 的长轴长为（ ）
3 A. 2
【答案】D
6 B. 2
C. 3
D. 6
【解析】 【分析】
线段 AB 的垂直平分线过右顶点，则有 2b a2 b2 ，结合 a2 b2 c2 ， 2c 2 可求得
2a .
y2 x2 1 【详解】A，B 分别是椭圆 C： a2 b2 （a＞b＞0）的左顶点和上顶点，线段 AB 的垂直 平分线过右顶点．若椭圆 C 的焦距为 2， 则 2b a2 b2 ，化简可得 a2＝3b2，又 a2＝b2+c2，c＝1，所以，2a 6 ．
8 2 所以 a2 b2 即 a2 b2 16 ， 当 a 1时， b 4, 5, 6 ，有 3 种情形；
当 a 2 时， b 4, 5, 6 ，有 3 种情形；
当 a 3 时， b 3, 4,5, 6 ，有 4 种情形；
当 a 4,5, 6 时， b 1, 2,3, 4,5, 6 ，有 18 种情形；