一道高考试题的再思考
一道高考题失分原因分析与思考
一道高考题失分原因分析与思考安徽省砀山中学 辛 民 (邮编:235300)摘 要 通过对一道数学高考试题的座谈,交流解题方法,分析学生答题失分的原因,总结复习教学思考,并对命题提出改进建议.关键词 高考试题;失分原因;教学启示;命题建议1 问题起因针对高考后师生议论的焦点,笔者邀请部分参加高考的学生㊁教师对2022年全国高考数学乙卷第19题进行座谈,教师普遍认为题目来源现实世界,难度不大,但学生普遍感觉较难㊁失分较多.围绕这一现象大家交流㊁探究㊁思考如下,旨在与同行交流.2 原题再现某地经过多年的环境治理,已将荒山改成了绿水青山,为了估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10可这种树木,测量每颗树的根部横截面积(单位:m 2)和材积量(单位m 3),得到如下数据:标本号i 1234567890总和根部横截面积x i0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量y i0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得ð10i =1x 2i=0.038ð10i =1y 2i=1.0158ð10i =1x i y 1=0.2474.(1)估计该林区这种树木平均一颗的根部横截面积与平均一颗的材积量;(2)求该林区这种树木根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确的0.01);(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为180m 2,已知树木的材积与其根部横截面积近视成正比,利用上述数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附:相关系数r =ð10i =1x i -xy i -yð10i =1(x i-x )2ð10i =1(y i -y )21.896ʈ1.377(2022年全国高考数学乙卷第19题)3 试题评述以社会生活中人们关注的环境治理为背景材料,依托 绿水青山就是金山银山 的理念设计试题,情境中蕴含着潜在的线索和限制,需要学生综合已有的所学知识和技能分析当前情境,明确任务,解决问题.从而全面考查学生应用统计的基本知识㊁基础方法和基本技能进行创造性整合能力,有助于考查学生发现问题㊁辨析概念㊁建立关系的能力,同时对数据处理㊁数学运算及数学建模等核心素养也作了相应的考查.其中第(1)问,要求利用统计的方法估计两个平均值;第(2)问,求相关系数,要求学生具有较高的恒等变形及数据处理能力;第(3)问,计算总材积,要求学生利用所学的知识解决实际问题.4 试题解法解 (1)设该林区这种树木平均一颗的根部横截面积与平均一颗的材积量分别为x ,y ,则x =0.06,y =0.39.所以该林区这种树木平均一颗的根部横截面积为0.06m 2㊁平均一颗的材积量为0.39m 3.(2)解法一 由题设易得下表122022年第6期中学数学教学标本号i 1234567890总和x i -x -0.020-0.020.020.02-0.01-0.010.010.010(x i -x )20.000400.00040.00040.00040.00010.00010.00010.00010.002y i -y-0.140.01-0.170.150.12-0.05-0.030.070.030.01yi -y )20.01960.00010.02890.02250.01440.00250.00090.00490.00090.00010.0948(x i -x )(y i -y )0.00280.00340.0030.00240.00050.00030.00070.00030.0134所以相关系数r =ð10i =1(x i-x )(y i -y )ð10i =1(x i -x )2ð10i =1(y i -y )2=0.01340.0002ˑ0.0948=1.341.896=1.341.377=0.97.解法二 r =ð10i =1(x i-x )(y i -y )ð10i =1(x i-x )2ð10i =1(y i -y )2=ð10i =1x i yi-10x y(ð10i =1x 2i -10x 2)(ð10i =1y 2i -10y 2).由题设得ð10i =1x i yi-10x y =0.2474-10ˑ0.06ˑ0.30=0.0134,(ð10i =1x 2i-10x 2)(ð10i =1y 2i -10y 2)=(0.038-10ˑ0.062)(1.6158-100.392)=0.0001896,所以r =ð10i =1(x i -x )(y i -y )ð10i =1(x i-x )2ð10i =1(y i -y )2=0.01340.0001896=0.01340.01377=0.97.注:列表分析统计数据,表述㊁说明问题是一种很好的方法,表达简洁㊁清晰明了,容易检验结果.5 失分原因分析5.1 读题㊁审题能力薄弱由于题目文字叙述较长,学生没有足够的耐心读题㊁审题,因此对运算对象理解不深刻㊁不严谨,导致不能通过探究分析形成正确的运算思路,找不到合理的计算方法.事实上,题目给出相关系数公式r =ð10i =1(x i-x )(y i -y )ð10i =1(x i-x )2ð10i =1(y i -y )2及ð10i =1x2i=0.038ð10i =1y 2i =1.0158ð10i =1x i y 1=0.2474,就是提示学生代入数据计算前要先进行公式化简,错误的关键是没有对这一提示形成正确的认识.5.2 对于第(3)问理解不准确 对于条件 已知树木的材积与其根部横截面积近视成正比 视而不见,不能正确分析当前的问题情境,机械地套用一元线性回归模型公式y =a +b x 求解,个别同学理解了上述假设也不相信高考试题会如此简单,只需利用小学学习比例关系解题,暴露个别学生极不自信.5.3 基本运算能力薄弱直接机械代入公式,导致数据太多㊁运算量太大,乱中出错误百出,不能针对问题情境选择合适的表述方式 列表;公式变形后代入数据,对算术根理解不准确,导致结果不正确.5.4 统计学中基本概念理解不准确如第一问最后写成:估计该林区这种树木平均一颗的根部横截面积为0.06m 2㊁平均一颗的材积量0.39m 3.第三问求解时写成186ˑ3.90.6=1209,对于总量和均值理解不到位.出现上述现象的根本原因是,长期以来师生只注重零零碎碎知识得识记,不注重对数学学科中核心概念㊁定义㊁定理㊁性质公式㊁法则等内涵外延的理解与辨析,自觉建构知识网络,形成牢固的知识框架;平时教学中,师生对数学运算认识不到位㊁不重视,教师认为数学运算是学生自己的事,例题讲解时不板书㊁不示范,学生课下不练习,不总结㊁不思考,运算能力提升无从谈起;22中学数学教学2022年第6期教学中,教师重视解题方法的展示,一题多解,一题多变,但是不注重阐述解题方法由哪里来?怎么来的?到哪里去?干什么?学生解题能力的提升何从谈起!平时教学中教师已经注意教学情境的设计,但仅仅注意孤立技能在固定情境下的简单应用,情境的设计过于人为的简化和抽象,丧失了与现实社会生活的连接,导致学生遇到真实情境的问题时不会认真分析问题的情境,提出问题㊁解决问题,只会机械的套用公式解决问题.6教学启示6.1注重必备知识复习巩固在高三复习教学中,对于每一个必备知识,都要从它的表征的多层性和多样性上去设计问题开展教学,引导启发学生思考,理解辨析必备知识,帮助学生站在数学学科整体高度上,再次经历知识形成的过程,了解知识产生的背景,体验数学化的方法,提高抽象概括能力和数学表达能力,帮助学生构建知识网络,清除认识上的盲点和难点,优化知识结构,领悟数学知识中蕴含的数学思想方法,建立从核心概念到解题方法自然链接.但同时要避免从过细的学科知识点角度思考学科内容,罗列清单,要强调学科内容的结构性和关联性,突出思想方法和探究技能的运用.6.2养成良好的运算习惯数学运算不是单纯的数值运算,而是一种推理运算,一般是理解运算对象后,根据数学基本知识先推理再计算求值,并能够根据问题条件寻找并设计合理㊁便捷的运算途径,因此数学运算不仅是计算,还应包括探索㊁求解问题的思路,借助有效的运算方法解决问题,更重要的是通过数学运算促进数学思维的发展,养成程序化思考问题的习惯,养成一丝不苟㊁严谨求实㊁理性缜密的科学精神.6.3适当设计复杂开放的现实情境,解决有意义的真实问题学生经历复杂开放的现实情境,是发展学生核心素养的重要依托,重视不确定的跨学科探究主题和社会实践活动的开展,有助于激发学生参与和投入的兴趣,培养学生综合运用相关知识和技能分析当前情境,明确问题,创造性整合能力,有助于帮助学生提升发现问题㊁辨析概念㊁建立假设㊁验证假设的能力不良结构问题的不确定性和开放性,可以给学生展示他们分析问题的思考过程.单也要注意核心素养的形成㊁培养,不能脱离集体的课程内容,学生只有具备系统的㊁结构化的学科知识和技能㊁思想方法和探究模式,才能深刻理解特定的任务情境,明确问题,形成假设,解决问题,积累解题活动经验,提升解题能力.7命题思考改进笔者思考试题第(3)问增设条件 已知树木的材积与其根部横截面积近视成正比 的目的是为了启发学生转变思考方向,利用小学所学的比例求解,简化运算,避免学生利用一元回归方程求解㊁重复考查相同的知识点.笔者认为第(3)问中去掉此条件改为:现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为180m2,利用上述数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.题目更符合起课标的要求㊁更开放㊁解答更丰富,给学生预留的思考空间更大.其解答可有以下方法:(1)由面积与材积相关系数r=0.97知材积与面积之间有如下关系式y=a+b x.由公式得b=ð10i=1(x i-x)(y i-y)ð10i=1(x i-x)2= 0.01340.002=6.7a=y-b x=0.39-6.7ˑ0.06=-0.012.所以总材积为y=-0.012+6.7ˑ186= 1246.188(m3).(2)树木树干可以看作一个圆柱,同一圆柱等高的体积之比等于两小圆柱的底面积之比,证明,设等高两圆柱高为h,一圆柱上下底面半径分别为r1,r2,则另一圆柱上下底面半径为k r1, k r2,所以v1v2=πr21+r1r2+r22hπk2r21+r1r2+r22h=1k2,即树木的材积与其根部横截面积近视成正比(以下略).参考文献[1]杨向东.核心素养测评的十大要点[J].人民教育2017(03-04):41-46.[2]辛民.高三学生运算能力的分析㊁思考与建议[J].中国数学教育,2018(4):36-40.(收稿日期:2022-08-18)322022年第6期中学数学教学。
由一道抽象高考试题引发的思考
年 全 国高 考 理综 卷 第２ ｌ题 ） ，一 带 正
电的小 球 系 于 长 为
入 ｃ和 Ｄ，且加 入 的量与 起始 成 比例 ，则 新 的平衡 态 可 以按 照增 大压 强来 考虑 分析 ：当 ａ ＋ｂ＞ｅ ＋ｄ时 ，Ａ和 Ｂ的体 积 分 数将 减小 ， ｃ和 Ｄ的 体积 分 数将 增 大 ；当 ａ ＋ｂ ＜ｃ＋ｄ 时 ，Ａ和 Ｂ的体 积分 数将 增大 ，ｃ和 Ｄ的体 积分数 将减 小 ； 当 ａ＋ｂ＝ｅ＋ｄ时 ，Ａ、Ｂ 、 ｃ、Ｄ的体 积 分 数 不 变 ．上 述 这个 结 论 也 可 以用前 面 的图示 加 以分析 得 出 ，在 此笔 者不
到平 衡 态 ３ ，则 由 于 增 大 压 强 ，使 平 衡 ２ Ｏ －－Ｎ Ｏ Ｎ ２ － ￣ ２ ４向右 移动 ，所 以平 衡 态 ３中 的 ＮＯ 的体积 分 数 比平 衡 态 ２中的 Ｎ ２的 ２ Ｏ 体积 分数 小 ．而若 在平衡 态 １的容 器 中保持 温度体 积 不变 再 加 入 ２ ｏ 的 ＮＯ ，也 同样 ｍｌ 达到 平 衡 态 ３ ．所 以 ，综 合 以上 平 衡 态 １ 、 ２ 、３的 变化 可 以得 出 结 论 ：在 恒 温 恒 容 的 条件 下 ，向 已平衡 的 ＮＯ 和 Ｎ Ｏ ２ ２ ４的体 系中
反应物 ，还 是通 人一 定量 的气 态生成 物 ，重
新达 到平 衡后各 组分 的体 积分 数可 以按增 大 压强 来考 虑 ，则 系数大 的气 态组分 的体 积分
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维普资讯
２０ ０ ６年 第 ３期
河北理 科教 学研 究
短 文集锦
态１ ，而在体积为 ２ Ｌ的容器 中起 始加入 Ｖ ４ ｏ 的 ＮＯ ，恒 温 恒 容 的 条 件 下 达 到 平 衡 ｍｌ ２ 态２ ，很显然平衡态 １ 和平衡态 ２为等效平 衡态，即平衡 态 １中的 Ｎ Ｏ 的体积分数 和 平衡态 ２中的 Ｎ ２ Ｏ 的体积分数相 等 ．若将 平衡 态 ２的容 器 体 积 从 ２ ＶＬ缩 小 到 ｖＬ达
对一道高考题的再研究
线 ＝ Ｉ ＞ａ 上 一 动 点 ， 点 Ｐ ｍ（ ｍＩ ） 过
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图 １
ｋ＋得 ＋（ 寺 ＝所 直 Ａ过 ｙｍ （ ） 。 ） ，以 线Ｂ 定 ｏ 一 ＋ ｏ
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命题 ３ 设双 曲线ａ ＝ｏ ＝ （ ０ｂ ０ 与直线 ｌ 告 １０＞ ，＞ ） ：
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ａHale Waihona Puke ｏ 思 考一若 将动点 Ｐ与切点 弦所过定 点 Ｑ相连 ， 得 所
：ｌ所 以直 线 Ａ 的 方 程 是 ＋ ， Ｂ
０。 扫
直线与 圆锥 曲线交 于点 Ｍ， 则会有什 么结论 ？ Ⅳ，
命 题 １ 如 图 １ 已知 点 Ｐ 是 直 ，
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数 学 学 习与 研 窕
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专 题 研 究
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命题２ 设椭圆 ＋ ＝ （ ６ ０ 与 告 １ ＞ ＞ ） 直线１ ＝ ＋ ： ａ ｏ
ｍ（ｍｌ ａ 无 公共 点 ， 是 ｌ 的 动点 ， Ｐ作 椭 圆 的切 线 Ｐ Ｉ ＞ ） Ｐ 上 过 Ａ，
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由一道高考试题的“失分”解法引起的教学思考
2020年高考数学江苏卷第18题属于中档题，主要考查的知识点是椭圆定义、向量数量积运算、点到直线的距离公式和直线与椭圆的位置关系，运用的思想方法是数形结合、转化与化归和坐标法.该题满分16分，但平均分只有10分左右，不少学生由于不能理解问题的本质，在第（2）小题中选择了烦琐或错误的途径导致“失分”.针对此类状况，教师应该深入反思平时的教学过程，及时作出调整与改进.一、试题再现及常见解法题目在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B .（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求 OP ·QP 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别是S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标.第（1）小题和第（3）小题解法略.对于第（2）小题有以下四种解法.解法1：椭圆E ：x 24+y23=1的右准线为x =4.设P ()x ，0，Q ()4，y ，则 OP =()x ，0，QP =()x -4，-y .所以 OP · QP =x ()x -4=()x -22-4.所以当x =2时， OP ·QP 取到最小值，最小值为-4.解法2：椭圆E ：x 24+y 23=1的右准线为x =4.设点P ()t ，0.又因为A æèöø1，32，所以直线AP 的方程为y =32()1-t ()x -t .令x =4，得y Q =12-3t 2()1-t ，即Q æèçöø÷4，12-3t 2()1-t .所以 QP =æèçöø÷t -4，-12-3t 2()1-t .所以 OP ·QP =t ()t -4.所以当t =2时， OP ·QP 取到最小值，最小值为-4.解法3：因为直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，点P 在x 轴上，A æèöø1，32，如下图所示.收稿日期：2020-12-17作者简介：王波凤（1978—），女，中学高级教师，主要从事高中数学教学研究.由一道高考试题的“失分”解法引起的教学思考王波凤摘要：对2020年高考数学江苏卷第18题的几种解法进行比较，分析学生在考场上的“失分”原因，并给出应对策略及教学思考.关键词：高考试题；失分解法；应对策略；教学思考··70所以设直线AP 的方程为y =k ()x -1+32.令x =4，得y Q =3k +32，即Q æèöø4，3k +32.令y =0，得x p =1-32k ，即P æèöø1-32k ，0.则 OP =æèöø1-32k ，0，QP =æèöø-32k-3，-3k -32.则 OP · QP =æèöø32k +12-4.所以当k =-32时， OP ·QP 取到最小值，最小值为-4.解法4：根据平面向量数量积的定义和几何意义，设椭圆右准线与x 轴的交点为R ，则 OP · QP =-|| OP |PR .而|| OP +|| PR =||OR =4，由基本不等式，得OP · QP =-|| OP |PR ≥-æèççöø÷÷|| OP +|| PR 22=-4.当且仅当|| OP =||PR =2时等号成立，即点P 的坐标为()2，0时， OP ·QP 取到最小值，最小值为-4.二、解法比较及“失分”原因1.解法比较解法1透过直线与椭圆这一载体，抓住向量数量积运算的本质，关注到OP 的纵坐标为0，直接设出点P 和点Q 的坐标，过程简洁明了.经抽样调查，考场上用解法1的学生占了四分之一左右.解法2比解法1绕了一步，先设出点P 的坐标，再用点P 的坐标表示出直线AP 的方程，然后与准线方程联立算出点Q 的坐标，从而得出所求数量积的目标函数表达式（与解法1的形式一样）.实际上，由于OP 的纵坐标为0， OP ·QP 的值与点Q 的纵坐标无关，所以这种解法联立直线方程求出点Q 的纵坐标实则多余.解法3把直线AP 的斜率k 作为参数，表示出直线AP 的方程，再用k 表示出点P 与点Q 的坐标，最后得出向量数量积的函数表达式.这种解法也没有关注到OP 的纵坐标为0，目标函数的表达式在形式上也比解法1和解法2的目标函数表达式复杂得多，既浪费了时间又容易算错.从运算的角度来看，没有解法1和解法2简便.解法4对平面向量数量积的概念有深刻的理解，利用向量数量积的几何意义，把向量数量积的运算转化为线段长的乘积的运算，最后利用基本不等式求解最值，解法巧妙，运算简单.虽然思维要求高，但运算量小，考场上用解法4的学生寥寥无几.正所谓“想得多而算得少，想得少而算得多”，那么解法4是如何想到的呢？其实只要回到数量积定义 OP · QP =|| OP | QP cos OP ，QP就能发现|| QP cos OP ， QP =-||PR ，即两个向量的数量积等于其中一个向量的模与其在另一个向量方向上的投影的乘积.2.“失分”原因学生答题时为什么会“失分”？其原因在哪里？第一个原因是审题时不加思考就动笔做，运算能力欠缺.用解法2或解法3的学生人数很多，即使运算过程全对，在考场上多用时间就是“隐性失分”.而且用解法3的学生在用斜率k 表示数量积的函数表达式时出错的很多，即使表达式正确，换元配方后求最值结果正确的也不多，还有部分学生用导数方法求最值（解法2和解法3相关分式的分母中有字母，还需要进一步分类讨论），做得麻烦又表述不清，相关步骤一分未得，真是令人痛心！第二个原因是对于数学概念理解不够深刻，没有掌握问题的本质.例如，本文高考题第（2）小题，点A是定点，影响 OP ·QP 的关键要素就是动点P 的位置，而且只与横坐标有关，抓住这一点就能够寻找到合理的解题途径.从本文高考题的多种解法中可以看出，选择解法2和解法3的学生被问题中的“直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ”蒙蔽了双眼，看到“直线”两字就马上设出直线方程联立方程组求解.事实上，无论以哪种图形为背景，向量数量积的坐标运算中有时往往只涉及某个坐标.解法4就是在深刻理解向量数量积的概念和几何意义的基础上抓住问题本质的好方法.··71三、应对策略1.教概念本质，重理解能力为什么多数学生想不到解法4？这与教师教学中“轻概念，重解题”有关.波利亚在《怎样解题》一书中指出，你把题目中所有关键的概念都考虑到了吗？你是怎样应用这些概念的？你用到它的意义、它的定义了吗？回到定义上去是一项重要的思维活动，教师在概念课的教学中要杜绝“一滑而过”的现象，千万不要重记忆、轻理解，不仅要让学生理解概念产生的必要性，还要让学生抓住概念的本质，深刻理解概念，灵活运用概念解题.2.重视解题方法的选择和归纳教学中，有时我们觉得学生就某一知识和方法应该掌握了，也就不再深入分析了，解题方法没有总结到位，学生虽然表面会了，但是一考就错.所以教师在平时的课堂教学中一定要重视解题方法的总结和归纳，指导学生解题前一定要有预判，要有选择和比较，这样就可减少不必要的运算，从而提高解题速度，避免“失分”.3.注重知识间的联系，创造性地改编练习题教材是试题之源，教学中要用好教材，重视教材中知识的联系.例如，本文高考题考查的是解析几何和向量的综合知识，教学中一味孤立地教某个知识和某个方法就僵化了学生的思维.虽然教材是按章节安排内容的，每章内容后的习题也是与相关知识对应的，但是教师在平时的教学中要创造性地改编练习题，综合各种背景知识灵活运用.例如，以下两道题就可以作为本文高考题的变式.变式1：在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上并满足AF 2⊥F 1F 2，若点P 是椭圆E 上的动点， F 1P ·F 2A的最大值是.该题可以用坐标法得出向量的数量积，与点P 的横坐标无关，由点P 的纵坐标的范围得出最大值.变式2：在直角梯形ABCD 中，AB =4，CD =2，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，E 是BC 的中点，则 AB ·()AC +AE的值为.该题可以通过建系用坐标法得出向量的数量积，与线段AD 的长度无关.学生在平时多练练类似的题目，到考场上就减少“失分”了.四、几点思考在平时的教学中，以下几点“功夫”教师必须做到位.1.培养学生的审题能力不少学生由于平时作业多、时间紧，往往省去了认真审题这一重要环节，养成了拿到题目就做的习惯，结果一做就错.想好了才做，是选择正确方法的前提.平时教学中要指导学生如何审题，布置作业时要精而少，这样学生才有时间养成良好的审题习惯.2.训练学生规范表达的能力培养学生会用数学语言准确、简洁、严谨地表达和书写，卷面字迹清楚，逻辑推理严密.例如，本文中高考题的解法，求点A 的坐标前要说明点A 的位置（第一象限），写直线方程时要交代斜率是否存在，等等.只有规范、严谨地表达，才能避免“会而不对”“对而不全”导致的失分.3.加强学生的运算能力为何选择同样方法的学生运算时所用时间和运算结果不一样？还是运算能力有差异.要提升运算素养，平时的作业练习尽量要求学生不用计算器，对遇到的烦琐的运算要细心、耐心和有信心.要让学生学会感受和比较不同的解法，在教学过程中教师要适时地介绍一些常规和简化的运算方法，培养学生的运算技能，让学生珍惜每一次运算机会.总之，教师应该做到“在埋头拉车的同时还要抬头看路”，多反思平时的教学，多了解学生的学习情况，把以上几点“功夫”做扎实了，学生在考场上就不会“无谓失分”了.参考文献：［1］徐永忠.重视基础查素质，关注创新考能力：2017年高考数学江苏卷评析及启示［J ］.中小学课堂教学研究，2017（10）：49-54.··72。
平中见奇凡而不俗--一道高考试题的多样解答及教学思考
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优 秀 青 年 教 师 ” “ 汉 市 优 秀 备 课 组 长 ” “ 北 省 数 学 竞 赛 优 秀 、武 、湖 教 练 员” 称 号 ， 省 级 及 以－ 等 在 ＬＣＮ教 育 教 学 刊 物 上 发 表 文 章 ３ ０
一道高考模拟试题的再思考
如 果 将 定 理 １中 长轴 的 两个 顶 点 Ａ， Ｂ改 为 过 原 点 的一 条 直 线 与 椭 圆 交 于 Ａ， Ｂ两 点 ， 结 论 仍 然 成
立。 于 是 又得 到 ：
定理 １ 若 Ａ， Ｂ是 椭 圆 ２ ＋ ２ —１ （ ａ＞ ６ ＞ｏ ）
长轴的两个顶点 ， 点 Ｐ是椭 圆上异于Ａ， Ｂ两 点 的任
定理 ４ 已 知 椭 圆 方
２
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程为 ＋ 鲁 一 １ （ ＆＞ ｂ ＞
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意一点 ， 直线 Ｐ Ａ与Ｐ Ｂ 的斜 率 分别 为 ｋ ， 是 ， 则
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Ｏ ） ， 过 原 点 的 直 线 与 椭 圆交 于 Ｂ， ｃ两 点 ， 其 中点 Ｂ在 第
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（ｊ）设 直 线 ＯＭ 的 斜 率 为 ｋ ， 直线 Ｂ Ｐ 的 斜 翠
一
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为ｋ ： ， 求证 ： 志 ｋ 为 定 值 ；
（ｉ ｉ ）设 过 点 Ｍ 垂 直 于 ＰＢ 的 直 线 为 ｍ ， 求证 ： 直 由此 可 以 推 广 到 双 曲线 中
线 ｍ恒过定点 ， 并 求 出该 定 点 的 坐标 ．
一２ ｋ ． 惫 一 一 ．
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因 为 点 Ｐ在 椭 圆上 ， 所 以 ２ 十 ２
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于是 ， 得 到
参 考 文 献
一
＝ 二 ＝ ｊ
对一道高考试题的再思考
开头方式 ＼、 票数
幽默风趣法 初设悬疑法 自我牺牲法 排 比铺陈法
以彼 为 傲 法 反 复 强 调法
＼ ＼＼ 一 二 三 四 五 六（ 备 第 注比率） 第 第 第 第 第 受欢迎程度
５ ３ ７ ６
３ ０
票数排名
本 文 首 次 将 心 理 学 首 因 效 应 理 论 与英 语 命 题 演 讲 结 合 起 来 ， 过对 活 动 和 试 验 结 果 及 数 据 的 分 析 ， 英 语 命 题 演 讲 开 通 把 头 的 受 欢 迎 程 度 量 化 ，增 加 了各 种 方 法 在 实 践 中 的 可 对 比性
一
对 一 一 追 道 高 局 考 试 题 的 再 思 考
时 玉 华
（ 苏 省 海 安 县 实 验 中学 ， 苏 海 安 江 江
一
２６０ ） ２ ６ ０
、
问题 提 出
２ ０ 年 上 海 市 高 考 第 ２ 题 ：神 经 电位 的 ０９ ８ 测 量 装 置 如 右上 图 所 示 ．其 中箭 头 表 示 施 加 适宜刺激 ， 阴影 表 示 兴 奋 区域 。 记 录仪 记 录 用 Ａ、 两 电极 之 间 的 电 位 差 ．结 果 如 右 下 曲线 Ｂ 图 。若 将 记 录 仪 的Ａ、 两 电 极 均 置 于 膜 外 ， Ｂ 其 它实验条件不变 ， 测量结果是 （ 则 ） 。
图 １ 图２ 以 表 示 测 定 静 息 电 位 时 灵 敏 电流 计 电极 的 位 和 可 置 放 置 ， 可 以 表 示 动 作 电位 的 产 生 和 兴 奋 在 传 导过 程 时 灵 图３ 敏 电 流计 电极 的位 置 放 置 ３灵 敏 电 流计 指 针 偏 转 原 因 和 指 针偏 转 次 数 的 分析 ． 灵 敏 电 流计 的指 针 是 否 偏 转 ，思 考 的 依 据 是 测 量 过 程 中 两 电极 指 针 之 间是 否 存 在 电位 差 。 如 何 计 算 电 流 计 指 针 的偏 转 次 数 对 于 学 生 而 言也 是 一 个 模 糊 点 ， 下 来 我 们 以 兴 奋 由ａ ｂ 当 兴 奋 经 过 ａ 为例 ， 示 接 — ， 时 图 解 释 指 针 发 生 一 次 偏 转 的情 况 。 图例 ： 法 ， 欢 迎 程 度 比率 分 别 为２ ．％和 １ ．％。 受 ０８ ２５ 根 据 受 欢 迎 程 度 比 率 和 首 因效 应 理 论 ，在 英 语 命 题 演 讲 中 ，演 讲 者 应 首 选 幽 默 风 趣 法 开 头 首 先 给 听 众 一 个 风 趣 的 印 象 ， 次是 使 用 排 名 其 后 的各 种 开 头 方 法 。 然 排 名 靠 后 的方 其 虽 法 受 欢 迎 程 度 低 ， 是 同样 具 有 其 自身 的 特 点 和 实 用 价 值 ， 但 每 种 方 法 都 有 其 可 取 之 处
一道高考题引发的思考——我的一些教学反思
一道高考题引发的思考——我的一些教学反思高考作为一项重要的考试，对于很多学生和教师来说都是一个重要的里程碑。
过去的几年里，我一直致力于提高自己的教学水平，以帮助学生取得更好的成绩。
然而，最近一道高考数学题引发了我的思考，让我意识到还有很多需要改进的地方。
这道高考数学题是一道综合题，涉及到几何、代数和概率。
题目要求学生利用所学知识，进行推理和计算，并给出准确的答案。
作为老师，我在看到这道题目时感到一丝挑战和好奇。
我想知道学生们是否能够灵活运用所学知识解决问题。
在上课讲解这道题目之前，我给学生们一些时间进行个人思考。
在这个过程中，我意识到学生们在理解问题、推理和计算上都存在着一些困难。
于是，我决定改变我的教学方法，希望能够更好地帮助学生。
首先，我引导学生们通过分析题目，找出关键信息。
我给他们提供了一些提示，让他们从多个角度来理解问题。
我鼓励他们积极思考，让他们相信自己可以解决这道题目。
其次，我在讲解解题思路时，采用了一些具体的例子帮助学生理解。
我尽量用简单的语言和直观的图像来解释概念和计算方法。
通过这种方式，学生们更容易理解抽象的数学概念。
另外，我为学生们提供了一些练习题，让他们在课后进行巩固。
我给他们提供了解题思路和详细的步骤解析，以帮助他们更好地掌握解题方法。
我鼓励学生们多做练习，相信通过不断的练习，他们会用更熟练的方法解决这类问题。
在教学过程中，我还特别注重与学生的互动。
我鼓励学生们主动提问，并给予他们充分的回答。
我还鼓励他们相互之间进行合作，讨论解题思路。
通过合作学习，学生们可以互相促进，共同进步。
此外，在教学中我给学生们提供了一些拓展资料，让他们了解数学在实际生活中的应用。
我通过与生活实际问题的联系，让学生们更深入地理解数学的重要性和应用性。
经过一段时间的努力，我发现学生们对这道高考题目的理解和解决能力有了较大的提高。
他们能够运用所学知识，灵活地解决类似的问题。
我感到非常欣慰，这意味着我的教学方法是有效的。
一道高考模拟题引发的几点思考
课件进 入课 堂教学 ， 一直在 争论 Ｃ 课 件 和板 就 ＡＩ 书谁 处 于 主要 地 位 谁 处 于 辅助 地 位 的 问题 。 起 初， 由于 Ｃ 课 件 编制 繁琐 ， ＡＩ 学校 装 备 的计 算 机 数量 也很少 ， ＡＩ 件运 用 不 多 ， Ｃ 课 自然 处 于 辅 助 地位 ， 书处 于 主要 地位 。 来 随 着计 算 机 硬 件 板 后
立起该 题涉及 到 的 物 理 模 型 而 导 致 错 误 。 此 ， 为 笔 者就本题 出现 的 问题谈 以下 几 点意 见 。
１ 学 生 不 能 构 建 正 确 的 物 理 模 型
环 演示 本题模 型 ， 图 如
图 ４所 示 。 引导 学 生用左 手 图 ４ 定 则判 断 出环上 各 小段 受安 培力 的情 况 ， 而 使 从
一
龚杨 敏
四川 名 山 县第 一 中学 ， 四川省 名 山 县 ６ ５ ０ ２ １０
２ｌ Ｏ Ｏ年 四Ｊ 考前 模 拟 题 一道 物 理 选 择题 考 Ｉ ｆ 查安培力 计算 和磁 感线 的性 质 。
原 题 ： 图 １所 示 ， 三 如 用
展示 出来 。 而对 于本 题 ， 果 不 能很 好 用 立体 的 如
时 就 强 调 ： 学 习 物 理 的 首 要 问 题 就 是 要 弄 清 物 “
题 列 出物理量 之 间 的关 系式 ， 行 推 导 和求 解 ， 进
并 根据结 果得 出物 理 结论 。 本 题 应 用 了一 些微 ”
积分思 想 ， 正 体 现 了“ 学是 学 习其 他 学科 的 真 数 工 具” 这样学 生在 做题 时思 路更 开 阔 。 ， 处理 问题
东 西 类 比成 现 实 生 活 中 的 实 物 而 造 成 理 解 上 的 困难 。 以在 教 学 中要 尽 可 能 让 学 生 在 理 解 的 基 所
明立意 提素养———由一道2022_年高考数学试题引发的思考
明立意㊀提素养由一道２０２２年高考数学试题引发的思考李㊀彦(江苏省姜堰中学ꎬ江苏泰州２２５５００)摘㊀要:高考承载着为高校选拔人才的重要任务ꎬ新课改背景下高考试题充分体现出考查学生核心素养的重要特征ꎬ高考试题的探究与分析是高中数学课程教学的重要任务之一.本文以２０２２年一道高考数学试题为探究载体ꎬ重点从试题分析㊁变式拓展㊁教学启示三个角度进行阐释.关键词:高中数学ꎻ高考试题ꎻ素养ꎻ能力中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１６－００４０－０３收稿日期:２０２３－０３－０５作者简介:李彦(１９７８.９－)ꎬ江苏姜堰人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教育教学研究.基金项目:泰州市教育学会十四五规划重点立项课题 新课程背景下高中数学高效课堂的建构研究 阶段性研究成果(项目编号:ＴＺ２０２２０１５)㊀㊀高考试题一直是高中教师关注的焦点ꎬ对高考试题形式和考查意图的探究是提升 备考 效率的重要途径.近年来ꎬ高考数学试题中导数问题一直是考查重点内容之一ꎬ多数以初等函数为载体ꎬ以压轴题的形式呈现ꎬ侧重于考查学生的数学学科核心素养.命题专家一直十分青睐导数问题的考查ꎬ给不少学生带来一些困难ꎬ对于高中数学高考复习教学而言ꎬ整体把握导数问题是提升学生解题能力的关键[１].１真题回顾ꎬ多元剖析题目㊀(２０２２年全国高考理科数学第１６题)已知ｘ＝ｘ１和ｘ＝ｘ２分别是函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)的极小值点和极大值点.若ｘ１<ｘ２ꎬ试求ａ的取值范围[２]解法１㊀根据题意结合函数导数的性质可得ꎬｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ存在两个零点ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２).令函数ｇ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘꎬ当ａ>１时ｘң－ɕꎬｇ(ｘ)ң＋ɕꎻｘң＋ɕꎬｇ(ｘ)ң＋ɕ(不合题意ꎬ舍去).当０<ａ<１时ｘң－ɕꎬｇ(ｘ)ң－ɕꎻｘң＋ɕꎬｇ(ｘ)ң－ɕ(符合题意)ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝２ａｘ(ｌｎａ)２－２ｅ.令ｇᶄ(ｘ０)＝０可得ｘ０＝ｌｏｇａ[ｅ/(ｌｎａ)２].由于函数ｇ(ｘ)在区间(－ɕꎬｘ０)内单调递增ꎬ在区间(ｘ０ꎬ＋ɕ)内单调递减ꎬ根据题意可令ｇ(ｘ)ｍａｘ＝ｇ(ｘ０)>０ꎬ即２ａｘ０ｌｎａ－２ｅｘ０>０.即２ａｌｏｇａ[ｅ/(ｌｎａ)２] ｌｎａ>２ｅｌｏｇａ[ｅ/(ｌｎａ)２].即１ｌｎａ>ｌｏｇａｅｌｎ２ａ＝ｌｎ(ｅ/ｌｎ２ａ)ｌｎａ.由于ｌｎａ<０则ｌｎｅｌｎ２ａ>１.即１(ｌｎａ)２>１.即０<(ｌｎａ)２<１.则ａ的取值范围为１ｅ<ａ<１.解法２㊀根据题意结合函数导数的性质可得ꎬ０４ｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ有两个零点ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２).令ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ即２ａｘｌｎａ＝２ｅｘ.该方程有两个实数根分别为ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２)ꎬ令函数ｙ＝ａｘｌｎａ与函数ｙ＝ｅｘ图象在ｘ０处相切ꎬ可知ａｘ０ｌｎａ＝ｅｘ０ꎬ且ａｘ０(ｌｎａ)２＝ｅ.则ｘ０＝１ｌｎａꎬ即ａ＝ｅ１ｘ０.则ａｘ０１ｘ０＝ｅｘ０ꎬ即ａｘ０＝ｅｘ２０.则(ｅ１ｘ０)ｘ０＝ｅｘ２０ꎬ即ｘ０＝ʃ１.(１)在ａ>１的情况下ꎬ当ｘ０＝１ꎬａ＝ｅꎬ若ａ减小ꎬ则函数ｙ＝ａｘｌｎａ与ｙ＝ｅｘ的图象有两个交点(如图１所示).函数ｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ的图象如图２所示ꎬ根据前面的分析可知ꎬ函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２从左到右的单调性为:递增ң递减ң递增ꎬ且极大值点ｘ１小于极小值点ｘ２(不符合题意ꎬ舍去)图１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图２(２)在０<ａ<１的情况下ꎬ当ｘ０＝１ꎬａ＝１ｅꎬ若ａ变大ꎬ则函数ｙ＝ａｘｌｎａ与ｙ＝ｅｘ的图象有两个交点(如图３所示)ꎬ函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２从左到右的单调性为:递减ң递增ң递减ꎬ且极小值ｘ１小于极大值ｘ２ꎬ则１ｅ<ａ<１.图３㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图４解法３㊀根据题意结合函数导数的性质可得ꎬｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ有两个零点ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２).令ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ即ａｘｘ＝ｅｌｎａ.该方程有两个实根ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２)ꎬ如图４所示ꎬ在ａ>１的情况下ꎬ函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２从左到右的单调性为:递增ң递减ң递增ꎬ且极大值点ｘ１小于极小值点ｘ２(不符合题意ꎬ舍去).在０<ａ<１的情况下ꎬ令ｈ(ｘ)＝ａｘｘꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝ａｘ(ｘｌｎａ－１)ｘ２.令ｈᶄ(ｘ０)＝０ꎬ即ｘ０＝１ｌｎａꎬ即ｌｎａ＝１ｘ０ꎬ即ａ＝ｅ１ｘ０ꎬ即ａｘ０＝ｅ.根据０<ａ<１ꎬｌｎａ<０ꎬ则ｘ０<０ꎬ显然函数ｈ(ｘ)在区间(－ɕꎬｘ０)上单调递增ꎬ在区间(ｘ０ꎬ０)上单调递减ꎬ则ｈ(ｘ)ｍａｘ＝ｈ(ｘ０)＝ａｘ０ｘ０＝ｅｘ０.结合题意可得ꎬｅｘ０>ｅｌｎａ.即ｌｎａ>ｘ０.即１ｘ０>ｘ０.则ｘ０<－１.即１ｌｎａ<－１.即ｌｎａ>－１.则１ｅ<ａ<１.点评㊀解法１是直接从函数的性质视角进行探究ꎬ解题思路比较清晰但计算繁琐ꎬ需要学生具有一定的逻辑思维和数学运算能力ꎻ解法２是采取转化思想ꎬ借助于数形结合的方法进行求解ꎬ需要学生具备一定直观想象素养能力ꎻ解法３是采取分离函数㊁等价代换的手段进行求解ꎬ该方法过程简洁运算量不大ꎬ是多数学生优先选择的方法.２洞悉本质ꎬ变式拓展大量实践表明ꎬ机械刷题难以提升学生数学解题能力ꎬ直接影响数学素养的培养与提升.数学教师可以引导学生洞悉数学典型试题的内在本质规律ꎬ呈现多元变式ꎬ在师生共同探究中提升学生数学学１４科核心素养[３].变式１㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)存在极小值点ｘ１和极大值点ｘ２且ｘ２<ｘ１ꎬ试求ａ的取值范围?变式２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)存在极小值点ｘ１和极大值点ｘ２ꎬ试求ａ的取值范围?变式３㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)无极值点ꎬ试求ａ的取值范围?点评㊀变式训练是提升学生数学解题能力的重要方式ꎬ上述三个变式拓展试题是从函数的内在本质出发ꎬ通过对函数的 极值点 进行探讨ꎬ关注学生数学转化思想在数学解题中的实际运用.三道变式试题随着题设条件的变化ꎬ问题由浅入深ꎬ重点考查学生分析数学综合问题的能力ꎬ有助于学生核心素养的提升.３教学启示ꎬ落实素养第一ꎬ重视数学基本知识与技能训练ꎬ灵活运用数学思想方法.函数是高中数学教学中的重点和难点ꎬ每年高考离不开数学函数的考查ꎬ以函数为背景的命题受到命题专家的特殊青睐.导数引入高中数学函数的探究ꎬ已经成为探究函数问题的重要工具.高中数学函数问题注重考查 函数与方程㊁数形结合㊁分类讨论㊁转化与化归㊁函数构造 等数学思想方法.对于高中数学中的导数问题ꎬ应该关注 分离㊁换元㊁构造 等方法.在高考备考复习教学中ꎬ数学教师可以引导学生从基本的解题方法出发ꎬ积极探究解决众多问题中共同的㊁基本的解题方法ꎬ让学生感受通性通法合理应用于解题的实用性ꎬ尽量较少进行特殊解题技巧和方法的熏陶.第二ꎬ重视一题多解的探究与分析ꎬ从变式训练中提升创新思维能力.数学解题教学是高中数学课程教学的重要内容之一ꎬ学生解题能力的提升离不开典型数学试题的剖析.大量实践表明ꎬ 一题多解 是从多个角度探讨同一问题ꎬ有效采取此教学思路有助于拓宽学生的解题思路ꎬ有助于培养学生的发散思维能力和解题能力.在高中数学教学实践中ꎬ学生的数学思维能力存在着一定的差异性ꎬ将 一题多解 和 变式训练 有机融合ꎬ能够有效激发不同层次学生数学探究的好奇心ꎬ引导学生从不同视角㊁不同维度探究问题ꎬ从多 变 的问题中探寻 不变 的性质与特征ꎬ不断强化学生的应变能力ꎬ发展学生的创新思维能力.第三ꎬ融合信息技术教学手段ꎬ充分呈现数学本质规律.数学图象是帮助学生理解和解决问题的重要手段ꎬ函数图象具有较高的直观性ꎬ有利于学生理解函数的内在本质规律.高中数学函数问题教学中ꎬ可以借助于ＧｅｏＧｅｂｒａ图象软件展示变化中的函数图象ꎬ特别是对函数单调性的增减问题ꎬ能够直观地显现出来ꎬ学生能够直接获得数学结论ꎬ激发学生深入探究的欲望ꎬ强化学生直观想象素养的形成与发展.作为高中数学教师ꎬ一定要给予学生动手操作实践的空间与时间ꎬ让学生在实践中体悟数学的本质魅力.高考试题是高中数学课程教学的重要资源与素材ꎬ对高考典型试题的探究是高考备考的必备动作.作为高中数学教师在平时的教学中ꎬ应该强化对高考试题的剖析与思考ꎬ充分挖掘高考试题中 不变 的本质规律ꎬ灵活运用数学思想方法进行教学方式的优化ꎬ不断促进学生创新思维能力的提升ꎬ尽可能实现高中数学核心素养的真正落地.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[２]杜斌.一道２０２２年联考导数题的多视角探究[Ｊ].中学数学教学ꎬ２０２２(０３):４２－４４.[３]季峰.低起点多层次高落差:２０２２年高考数学新高考Ⅰ卷试卷点评[Ｊ].中学数学ꎬ２０２２(１５):３０－３１.[责任编辑:李㊀璟]２４。