从一道高考试题谈函数的凹凸性
5.函数的凹凸与拐点
§ 5 函数的凸性与拐点
一． 凸性的定义及判定：
1． 凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.
定义1 设函数在区间I上连续. 若对I 和恒有
则称曲线 在区间I的凸函数, 反之, 如果总有
则称曲线 在区间I的凹函数.
若在上式中, 当 时, 有严格不等号成立, 则称曲线在区间上是严格凸
(或严格凹)的.
凸性的几何意义: 倘有切线，考虑
与切线的位置关系;
与弦的位置关系;
曲线的弯曲方向.
引理 为区间I上的凸函数的充要条件是:对I上任意三点:
, 总有
证明: 必要性
充分性 定理6.13 设函数在区间I上可导, 则下面条件等价:
(i) 为I上凸函数
(ii) 为I上的增函数
(iii) 对I上的任意两点 有
证明
2． 利用二阶导数判断曲线的凸向:
定理 6.14 设函数在区间内存在二阶导数, 则在 内
⑴ 在 内严格上凸;
⑵ 在 内严格下凸.
证法一 ( 用Taylor公式 ) 对 设,
把在点展开成具Lagrange
型余项的Taylor公式, 有
.
其中 和 在 与 之间. 注意到 , 就有
,
于是, 若有 上式中,
即 严格上凸.
若有 上式中,
即 严格下凸.
证法二 ( 利用Lagrange中值定理. ) 若 则有↗↗.
不妨设 , 并设 , 分别在区间和上应用Lagrange中值定理, 有
.
有 又由 ，
<,
，
即 ， 严格下凸.
可类证 的情况.
3． 凸区间的分离: 的正、负值区间分别对应函数的下凸和上凸区间. 二. 曲线的拐点: 拐点的定义.
例1 确定函数的上凸、下凸区间和拐点. [4]P154
E20
解 的定义域为
高考数学复习考点题型专题讲解40 凹凸反转
高考数学复习考点题型专题讲解
专题40 凹凸反转
(1)六大同构函数的图象特征
(2)四大和差函数的图象特征
(3)熟悉下列不等式 ①ex
≥x
＋1(当x
＝0时取到等号)；
②ex
≥ex
(当x
＝1时取到等号)；
③ex
x≥e(当x
＝1时取到等号)；
④ln x
≤x
－1(当x
＝1时取到等号)；
⑤ln x
x≤1
e(当x
＝e时取到等号)；
⑥0
0
2.
(4)凹凸性反转的原理：实际上就是一种复杂的不等式，我们不能直接的去证明这个不
等式成立，不是简单的作差构造.这个时候需要调整，同时乘以什么，或者除以什么，
再构造出两个新的函数，使得f
(x
)为凹函数，g
(x
)为凸函数.因为凹函数有最小值，凸
函数有最大值，则可以利用凹凸性最小值最大值的关系直接证明此不等式成立.
(5)凹凸性反转的适用对象：证明复杂导数不等式，若经过常规求导、多次求导、分离
参数、极限、放缩等都无法解决时，可以考虑一种方法：凹凸性反转.
(6)凹凸反转与异构关系：
f
(x
)
min>g
(x
)
max⇔f
(x
)
min＋[－g
(x
)]
min>0.
(凹凸反转) (异构)
类型一 化为ln x
x型
在对要证不等式等价变形时，若出现ln x
x这种形式，我们可考虑利用凹凸反转法来证明
不等式. 例1 已知函数f
(x
)＝1＋(a
＋1)x
＋ln x
，证明：对任意x
>0，2ex
x
e
2＋1＋(1＋a
)x
>f
(x
).
证明 把f
(x
)代入化简，得2ex－2
x>ln x
，即证2ex－2
x
2>ln x
x(x
>0).
凹凸反转：
令g
(x
)＝2ex－2
x
2(x
>0)，
则g
′(x
)＝2ex－2
（x
－2）
x
3.
当x
∈(0，2)时，g
′(x
)<0，g
(x
)单调递减；
当x
∈(2，＋∞)时，g
′(x
)>0，g
(x
)单调递增.
∴g
(x
)
最小＝g
(x
)
极小＝g
(2)＝1
2，
∴g
(x
)≥1
2，当且仅当x
＝2时取等号.
令h
(x
)＝ln x
x(x
>0)，
则h
′(x
)＝1－ln x
高考数学冲刺函数的单调性与凹凸性
高考数学冲刺函数的单调性与凹凸性
在高考数学的备考中，函数的单调性与凹凸性是极为重要的知识点。理解并熟练掌握这两个概念，对于解决函数相关的问题有着至关重要的作用。
首先，我们来谈谈函数的单调性。简单来说，函数的单调性就是指函数值随着自变量的增大或减小而呈现出的上升或下降的趋势。
如果对于定义域内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x₁、x₂，当 x₁ ＜ x₂ 时，都有 f(x₁) ＜ f(x₂)，那么就称函数 f(x)在区间 D 上是增函数；反之，如果当 x₁ ＜ x₂ 时，都有 f(x₁) ＞ f(x₂)，那么就称函数 f(x)在区间 D 上是减函数。
那怎么判断一个函数的单调性呢？这就需要用到一些方法和技巧。
一种常见的方法是利用定义来判断。也就是按照单调性的定义，通过比较函数值的大小来确定单调性。这是最基础也是最根本的方法，但在实际操作中可能会比较繁琐。
另一种常用的方法是利用导数来判断。如果函数在某个区间内的导数大于零，那么函数在这个区间上单调递增；如果导数小于零，那么函数在这个区间上单调递减。导数就像是函数单调性的“探测器”，能够快速准确地告诉我们函数的单调性情况。 例如，对于函数 f(x) ＝ x²，其导数 f'（x) ＝ 2x。当 x ＞ 0 时，f'（x)
＞ 0，所以函数在区间 （0, ＋∞） 上单调递增；当 x ＜ 0 时，f'（x) ＜
0，所以函数在区间 （∞， 0) 上单调递减。
再来说说函数的凹凸性。函数的凹凸性反映的是函数图像弯曲的方向。
如果函数 f(x)在区间 I 上连续，对于区间 I 上的任意两点 x₁、x₂，以及任意实数 λ∈（0, 1)，都有 f(λx₁ ＋ （1 λ)x₂) ≤ λf(x₁) ＋ （1
λ)f(x₂)，那么称函数 f(x)在区间 I 上是凸函数；反之，如果都有 f(λx₁
＋ （1 λ)x₂) ≥ λf(x₁) ＋ （1 λ)f(x₂)，那么称函数 f(x)在区间 I 上是凹函数。
高考数学复习导数与函数的凹凸性
高考数学复习导数与函数的凹凸性
导数与函数的凹凸性
随着高考的临近，数学复习成为了每一位考生必须要面对的重要任务。而导数与函数的凹凸性正是数学中一个重要的概念，它在高考数学文科试卷中占有很大的比重。因此，了解和掌握导数与函数的凹凸性的概念和性质对于考生们来说是至关重要的。本文将介绍导数的概念、凹凸性的定义与判定以及应用实例，帮助考生更好地理解和应用这一知识点。
一、导数的概念
导数是微积分中的重要概念，用来描述函数变化的快慢程度。在数学中，导数描述了一个函数在某一点上的斜率或者切线的斜率，可以理解为函数在该点上的瞬时变化率。具体定义如下：
设函数y=f(x)，若极限
lim [f(x+h)-f(x)]/h
h→0
存在，且与x的选取无关，那么称这个极限为函数f(x)在x处的导数，记作f'(x)或dy/dx。
在导数的定义中，h是一个变量，表示x的增量。导数的定义是通过求极限来得到的，因此导数是一个极限概念。它不仅能够解释函数在某一点上的瞬时变化率，还可以用来研究函数的凹凸性。 二、凹凸性的定义与判定
凹凸性是函数的一个重要性质，它描述了函数曲线的形状。在数学中，我们可以通过导数的符号变化来判定函数的凹凸性。具体定义如下：
（1）凹函数：若函数的导数单调递增，则称该函数为凹函数。即对于函数f(x)，如果f'(x)在[a,b]上单调递增，则称f(x)在[a,b]上是凹函数。
（2）凸函数：若函数的导数单调递减，则称该函数为凸函数。即对于函数f(x)，如果f'(x)在[a,b]上单调递减，则称f(x)在[a,b]上是凸函数。
根据凹凸函数的定义，我们可以通过计算函数的导数来判断函数的凹凸性。如果导数单调递增，则函数为凹函数；如果导数单调递减，则函数为凸函数；如果导数在某一区间内既递增又递减，则函数在该区间上既是凹函数又是凸函数。
三、凹凸性的应用实例
除了基本的凹凸性的定义与判定外，导数与函数的凹凸性在问题求解过程中还有很多实际应用。
函数凹凸性视角下的双变量压轴题的探究
函数凹凸性视角下的双变量压轴题的探究
函数凹凸性是函数的一种特殊特征,近年来,以函数凹凸性为背景的题目屡见不鲜,这些试题情景新颖,能考查学生的创新能力和潜在的数学素质,常作为压轴题出现.虽然在高中课本中没有这方面的内容,但高中教师若能多了解一些函数凹凸性的相关理论知识,可以“登高望远”,便于找到问题的本质内涵,确定解题方向,寻找简捷的解题途径.
本文从函数凹凸性的视角,对一些双变量的函数压轴题进行探究,揭示试题的命题背景与内涵.
以函数凹凸性为命题背景的试题还有很多,通过以上几道例题,不难体会函数凹凸性等相关知识的丰富性,这也表明:高等数学的相关理论是命制一些具有创新力与区分度的高考试题的重要来源.虽然函数凹凸性不属于高中数学的内容,但是掌握相关知识,能帮助教师与学生找开思维视角,养成对试题背后的内在关系分析与思考习惯.
近年来,高考的命题者通过挖掘高等数学中的一些素材来命制高考试题,此类试题也逐渐引起老师们的关注.但这并不意味着要将过多的高等数学知识下放到中学里来,加重中学的负担.应该是教师能站在高观点的角度看待问题,将研究的问题引向深入,探索隐藏在题目背后的奥秘,挖掘题目的真正内涵,能够找到解决这个问题与解决其它问题在思维上的共性.这样我们才能领会到试题命制的深刻背景,才能引领学生跳出题海,真正做到触类旁通,举一反三,更好地指导中学的数学教学.
高考数学冲刺曲线的凹凸性考点精讲
高考数学冲刺曲线的凹凸性考点精讲
在高考数学中，曲线的凹凸性是一个重要的考点，它不仅是函数性质的重要组成部分，也是解决许多数学问题的关键工具。对于即将参加高考的同学们来说，深入理解和掌握这一考点至关重要。
一、曲线凹凸性的定义
曲线的凹凸性是描述曲线弯曲方向的一种性质。直观地说，如果一条曲线在某一段上看起来像是向上凸起的，那么就称这段曲线是凸的；如果看起来像是向下凹陷的，那么就称这段曲线是凹的。
从数学定义上讲，设函数 f(x) 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点 x₁，x₂，恒有 f(x₁ ＋ x₂)／2 ＞ f(x₁) ＋ f(x₂)／2，则称 f(x) 在区间 I 上的图形是凸的；如果恒有 f(x₁ ＋ x₂)／2 ＜ f(x₁) ＋ f(x₂)／2，则称 f(x) 在区间 I 上的图形是凹的。
二、曲线凹凸性的判断方法
1、 二阶导数法
这是判断曲线凹凸性最常用的方法。设函数 f(x) 在区间 I 上具有二阶导数 f'＇（x)。
如果在区间 I 上 f'＇（x) ＞ 0，则 f(x) 的图形在区间 I 上是凹的；如果 f'＇（x) ＜ 0，则 f(x) 的图形在区间 I 上是凸的。 例如，对于函数 f(x) ＝ x²，其一阶导数 f'（x) ＝ 2x，二阶导数 f'＇（x) ＝ 2 ＞ 0，所以函数 f(x) ＝ x² 的图像在其定义域内是凹的。
2、 切线法
在曲线的某一点处，如果曲线位于切线的上方，则曲线在该点附近是凸的；如果曲线位于切线的下方，则曲线在该点附近是凹的。
三、曲线凹凸性的性质
1、 若曲线是凹的，则曲线的切线位于曲线的下方；若曲线是凸的，则曲线的切线位于曲线的上方。
2、 若函数在某区间上是凹的（凸的），则函数在该区间上单调递增（递减）。
四、曲线凹凸性的应用
1、 证明不等式
利用曲线的凹凸性可以证明一些不等式。例如，要证明对于任意的
x₁，x₂ ∈ 0, ＋∞），有 x₁ ＋ x₂ ≥ 2√（x₁x₂) 。
函数的凹凸性
函数的凹凸性
凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率k随x增大而增大即)(xfy的二阶导数0)(''xf；
凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率k随x增大而减小即)(xfy的二阶导数0)(''xf.
简记为：斜率凹增凸减.
3、增量特征
设函数)(xg为凹函数，函数)(xf为凸函数，其函数图象如图所示.当自变量x依次增加一个单位增量x时，函数)(xg
的相应增量,,,321yyy越来越大；函数)(xf的相应增量,,,321yyy越来越小.
由此，对x的每一个单位增量x，函数y的对应增量),3,2,1(iyi
凹函数的增量特征是：iy越来越大； 凸函数的增量特征是：iy越来越小.
三、常用的不等式
1、二次函数2)(xxf中，2)2(222baba；
2、反比例函数)0(1)(xxxf中，2112baba；
3、指数函数)1,0()(aaaxfx中，22yxyxaaa；
4、对数函数)10(log)(axxfa中，2loglog2logyxyxaaa；
5、对数函数)1(log)(axxfa中，2loglog2logyxyxaaa；
6、幂函数)0()(3xxxf中，2)2(333baba；
7、幂函数21)(xxf中，22baba；
8、正弦函数)0(sin)(xxxf中，2sinsin2sinBABA；
9、余弦函数)20(cos)(xxxf，2coscos2cosBABA；
10、正切函数)20(tan)(xxxf，2tantan2tanBABA.
四、函数凹凸性在高考中的应用
1、（05湖北理6）在xy2，xy2log，2xy，xy2cos四个函数中，当1021xx时，使得2)()()2(2121xfxfxxf恒成立的函数的个数是·······································（ ）
高中数学曲线的凹凸性解题技巧
高中数学曲线的凹凸性解题技巧
在高中数学中，曲线的凹凸性是一个重要的概念，它与函数的二阶导数有关。凹凸性的判断对于解题和理解函数的性质都具有重要意义。本文将介绍凹凸性的基本概念和解题技巧，并通过具体的题目举例说明。
一、凹凸性的基本概念
1. 凹函数和凸函数
在数学中，对于函数f(x)，如果对于任意的x1和x2，以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，那么称f(x)是凹函数；如果对于任意的x1和x2，以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≥tf(x1)+(1-t)f(x2)，那么称f(x)是凸函数。
2. 凹凸性的判断
对于函数f(x)，如果它的二阶导数f''(x)满足以下条件：
- 当f''(x)>0时，函数f(x)是凹函数；
- 当f''(x)<0时，函数f(x)是凸函数。
二、解题技巧
在解题过程中，我们可以通过以下几个方面来判断函数的凹凸性。
1. 寻找关键点
首先，我们需要找到函数的关键点，即函数的极值点和拐点。极值点是函数的局部最大值或最小值，拐点是函数曲线的凹凸性发生变化的点。
2. 计算一阶导数和二阶导数
其次，我们需要计算函数的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)。一阶导数可以帮助我们找到函数的极值点，二阶导数可以判断函数的凹凸性。 3. 判断凹凸性
根据二阶导数的正负性，我们可以判断函数的凹凸性：
- 当f''(x)>0时，函数在该点附近是凹函数；
- 当f''(x)<0时，函数在该点附近是凸函数。
三、举例说明
现在我们通过一个具体的例子来说明凹凸性的解题技巧。
例题：已知函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5，求函数f(x)的凹凸区间和拐点。
解析：
1. 寻找关键点
为了找到函数的关键点，我们首先需要计算一阶导数和二阶导数。
f'(x)=3x^2-6x-9
f''(x)=6x-6
2. 计算一阶导数和二阶导数
函数凹凸性在高考数学中的命题分析
函数凹凸性在高考数学中的命题分析
纪定春
(四川师范大学数学科学学院 ６１００６８)
摘 要:凹凸性是刻画连续函数性质的重要方法ꎬ在高等数学中具有广泛的应用价值ꎬ是高考数学试题的
命题点.介绍了函数的凹凸性及等价命题ꎬ对近年高考数学中含有函数凹凸性的试题进行了命题分析和评注.
关键词:高考数学ꎻ函数凹凸性ꎻ命题分析
中图分类号:Ｇ６３２ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２８－００８２－０３
收稿日期:２０２０－０７－０５作者简介:纪定春(１９９５－)ꎬ男ꎬ四川省资阳人ꎬ研究生ꎬ从事数学数学研究. 一、函数凹凸性及等价命题简介
定义 设ｆ是定义在区间Ｉ上的函数ꎬ若对Ｉ上的任
意两点ｘ１ꎬｘ２和任意实数λ∈(０ꎬ１)总有ｆ(λｘ１＋(１－λ)
ｘ２)≤λｆ(ｘ１)＋(１－λ)ｆ(ｘ２)ꎬ则称ｆ为Ｉ上的凸函数.
反之ꎬ如果总有ｆ(λｘ１＋(１－λ)ｘ２)≥λｆ(ｘ１)＋(１－
λ)ｆ(ｘ２)ꎬ则称ｆ为Ｉ上的凹函数.
注意:为了便于识记ꎬ以下不妨将凸函数、凹函数分
别称为下凸函数和上凸函数.
定义的推广ꎬ即詹森不等式:若ｆ是[ａꎬｂ]上的凸函
数ꎬ则对任意ｘｉ∈[ａꎬｂ]ꎬλｉ>０(ｉ＝１ꎬ２ꎬꎬｎ)ꎬ∑ｎｉ＝１λｉ＝１ꎬ
有ｆ(∑ｎｉ＝１λｉｘｉ)≤∑ｎｉ＝１λｉｆ(ｘｉ).
函数凹凸性的几个等价命题:(１)当切线(一阶导数)在函数图象上方时ꎬ函数是上
凸函数ꎬ反之为下凸函数ꎻ(２)当一阶导数单调递减时ꎬ函数是上凸函数ꎬ反之
为下凸函数ꎻ(３)当二阶导数小于等于零时ꎬ函数为上凸函数ꎬ反
之为下凸函数.这几种描述方式都是等价的ꎬ只是所站的
角度不同ꎬ可参见文[２].
二、函数凹凸性在高考数学试题中的命题分析
函数的凹凸性作为描述连续函数局部性质的方法ꎬ
不仅在高等数学中具有广泛而重要的应用价值ꎬ而且是
高考数学的命题热点.在刻画函数的凹凸性时ꎬ可以利用
一阶、二阶导数等ꎬ这就将函数的凹凸性与高中数学中的
导数知识联系起来.近年来ꎬ为何以导数作为高考数学的压轴题呢?有三点猜测:其一是导数本身蕴含了丰富的
函数凸凹性在高考解题中的应用
函数凸凹性在高考解题中的应用
函数凸凹性在高考解题中的应用
函数凸凹性是高等数学研究的函数重要性质之一,虽然在高中数学的课标中没有对凸凹函数做具体要求,但是它的身影在高考试题中却频频出现.充分说明了高考命题源于课本，又高于课本的原则，同时也体现了高考为高校输送优秀人才的选拔性功能.下面仅就函数凸凹性的一个侧面在高考题中的应用做初步论述.
一、凹凸函数的定义及相关定理
引理：
定理：
证明:
二、定理在高考题中的应用
以下就2012年高考试题中出现的若干有关凸凹性的试题来说明定理的解题应用价值.
例一
分析
另一种解法
解后反思
解法一基于题目代数条件、放缩求最值，解法自然，但仅停留在条件到结论的表面计算，部分学生由于计算量大和讨论繁琐而望而却步；解法二简洁明快，直观性较强，且揭示了试题立意的本质即是基于函数凹凸性立意.
例二
评注
例三
2014年长春第二次质量监测
解答