高等数学3.3曲线的凹凸性与函数图形的描绘
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23-曲线的凹凸性、描绘函数图形
趋于零 , 则称此直线 L 为曲线 y = f ( x ) 的一条 渐近线 .
曲 线 的 渐 近 线
水平渐近线
垂直渐近线
斜渐近线
水平渐近线
若 lim f ( x) b , 则曲线 f ( x) 有一条水平渐近线 y b .
x
这里的极限可以是
x
lim f ( x) b 或 lim f ( x) b .
x
垂直渐近线
若 lim f ( x) , 则曲线 y f ( x) 有一条垂直渐近线 x a .
x a
这里的极限可以是 xlim f ( x) , a lim lim f ( x) ; f ( x) ,
x a
x a
x a
lim f ( x) ; lim f ( x) .
f ( x) ( x 1) lim lim 1 2 x x x ( x 1) x
b k
现在给定一个函数 , 我们可以讨论它的：
定义域、 值 域、 奇偶性、 有界性、 周期性、 连续性、 间断点、 可微性、 单调性、 极 值、 最 值、 凹凸性、 拐 点、 渐近线、 零点位置 . 用极限讨论函数的变化趋势 . 用泰勒公式将函数离散化 .
三、函数图形的描绘
作函数图形的一般步骤如下： (1) 确定函数的定义域 , 观察奇偶性、周期性 . (2) 求函数的一、二阶导数 , 确定极值可疑点和拐点可疑点 .
若 f ( x) 在点 x0 两侧符号相反, 则
点 ( x0 , f ( x0 )) 为曲线 y f ( x) 的拐点 .
定理
( 判别拐点的充分条件 )
设 f ( x) C ( I ) , f ( x) 在 U( x0 ) ( x0 I ) 内三阶可导 .
曲线的凹凸性与拐点及图象
注意:若 f ( x0 ) 不存在,点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y f ( x)的拐点.
练习：讨论曲线 y (x 1)3 x5 的凹凸性与拐点.
解 函数的定义域为 (,) ．
由于
y
x
8 3
5
x3
，
y
8 3
5
x3
5 3
2
x3
,
y
40 9
x
2 3
10 9
1
x3
10 9
4x
3
练习: 作函数 (x)
1
x2
e2
的图形.
2
解 D : (,), W : 0 ( x) 1 0.4.
2
偶函数,图形关于y轴对称.
( x)
x
x2
e 2,
(
x)
(
x
1)(
x
1)
e
x2 2
.
2
2
令 ( x) 0, 得驻点 x 0,
令 ( x) 0, 得特殊点 x 1, x 1.
例3 作函数 f ( x) x3 x2 x 1 的图形.
解 D : (,), 无奇偶性及周期性.
f ( x) (3x 1)( x 1), f ( x) 2(3x 1). 令 f ( x) 0, 得驻点 x 1 , x 1.
3 令 f ( x) 0, 得特殊点 x 1 .
x (,3) 3 (3,2) 2 (2,0) 0 (0,)
f ( x)
0 不存在
f (x)
0
f (x)
拐点
(3, 26) 9
极值点
3
间 断 点
补充点 : (1 3,0), (1 3,0);
是连续曲线 y f ( x)的拐点.
练习：讨论曲线 y (x 1)3 x5 的凹凸性与拐点.
解 函数的定义域为 (,) ．
由于
y
x
8 3
5
x3
，
y
8 3
5
x3
5 3
2
x3
,
y
40 9
x
2 3
10 9
1
x3
10 9
4x
3
练习: 作函数 (x)
1
x2
e2
的图形.
2
解 D : (,), W : 0 ( x) 1 0.4.
2
偶函数,图形关于y轴对称.
( x)
x
x2
e 2,
(
x)
(
x
1)(
x
1)
e
x2 2
.
2
2
令 ( x) 0, 得驻点 x 0,
令 ( x) 0, 得特殊点 x 1, x 1.
例3 作函数 f ( x) x3 x2 x 1 的图形.
解 D : (,), 无奇偶性及周期性.
f ( x) (3x 1)( x 1), f ( x) 2(3x 1). 令 f ( x) 0, 得驻点 x 1 , x 1.
3 令 f ( x) 0, 得特殊点 x 1 .
x (,3) 3 (3,2) 2 (2,0) 0 (0,)
f ( x)
0 不存在
f (x)
0
f (x)
拐点
(3, 26) 9
极值点
3
间 断 点
补充点 : (1 3,0), (1 3,0);
第四、六节 曲线凹凸性及函数图形描绘
x→x0 x→x0 x→x0
x 则 = x0是 数 = f ( x)的 条 直 近 . 函 y 一 垂 渐 线
y C o x y o
x0
x
曲 例1 求 线 y =
1 的 平 近 . 水 渐 线 x −1
y
2 1 -2 -1 -1 -2
y = ( x −1)
−1
1 解 Qlim =0 x→ x −1 ∞
1 一条水平渐近线 ∴ y = 0 是y = x −1
1 曲 的 垂 近 . 铅 渐 线 例2 求 线 y = x −1
O 1
2
x
1 1 解 Qlim = −∞, lim = +∞, − + x→ x −1 1 x→ x −1 1
∴x =1 y = f (x)的 条 垂 近 . 为 一 铅 渐 线
利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 分析法作图
[ (2) f ′′( x) < 0, 则 ( x)在a,b]上的图形是凸的 f .
例1 判断函数 y = ln x的凹凸性 . 解 y 的定义域为 (0,+∞ )
1 Q y′ = x
y ′′ = − 1 x2
∴ 在(0， ∞ )内，有 y′′ < 0 +
例2 判断 y = x 3 的凹凸性 . 解
2 y ′′ = 36 x − 24 x = 36 x x − 令 y′′ = 0 3 列表
x2 =
2 3
x y" y
(−∞,0)
0 0
1(拐点)
2 , 0 3
+
－
0
11 (拐 ) 点 27
x 则 = x0是 数 = f ( x)的 条 直 近 . 函 y 一 垂 渐 线
y C o x y o
x0
x
曲 例1 求 线 y =
1 的 平 近 . 水 渐 线 x −1
y
2 1 -2 -1 -1 -2
y = ( x −1)
−1
1 解 Qlim =0 x→ x −1 ∞
1 一条水平渐近线 ∴ y = 0 是y = x −1
1 曲 的 垂 近 . 铅 渐 线 例2 求 线 y = x −1
O 1
2
x
1 1 解 Qlim = −∞, lim = +∞, − + x→ x −1 1 x→ x −1 1
∴x =1 y = f (x)的 条 垂 近 . 为 一 铅 渐 线
利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 分析法作图
[ (2) f ′′( x) < 0, 则 ( x)在a,b]上的图形是凸的 f .
例1 判断函数 y = ln x的凹凸性 . 解 y 的定义域为 (0,+∞ )
1 Q y′ = x
y ′′ = − 1 x2
∴ 在(0， ∞ )内，有 y′′ < 0 +
例2 判断 y = x 3 的凹凸性 . 解
2 y ′′ = 36 x − 24 x = 36 x x − 令 y′′ = 0 3 列表
x2 =
2 3
x y" y
(−∞,0)
0 0
1(拐点)
2 , 0 3
+
－
0
11 (拐 ) 点 27
高等数学3.4 曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘
本题也可以下表给出解答：
x f (x) f (x)
( , 2)
2 0
拐点(2, 3)
(2, + ) +
其中 ， 分别表示曲线凸和凹.
例 4 讨论曲线 y = ln(1 + x2) 的凹凸区间与拐点. 解 定义域为( , ). 因为
y 2x , 1 x2
y
2(1 x 2 ) (1 x 2 )2
O1
x
-1
曲线 y x3 是凹的．
所以，点(0,0) 为曲线 y x3 的拐点．
例 3 讨论曲线 f (x) = x3 - 6x2 + 9x + 1 的凹凸 区间与拐点．
解 定义域为( , ).
因为
f (x) = 3x2 - 12x + 9，
f (x) = 6x - 12 = 6(x - 2 )， 令 f (x) = 0，可得 x = 2.
当 x ( , 2) 时，f (x) < 0， 此区间是凸区间． 当 x (2, + ) 时，f (x) > 0， 此区间是凹区间．
当 x = 2 时， f (x) = 0，因 f (x) 在 x = 2 的两 侧变号，而 f (2) = 3， 所以 (2, 3)是该曲线的拐点.
(2) 用上述各点按照从小到大依次将(a,b) 分成小 区间,再在每个小区间上考察 f (x) 的符号；
(3) 若 f (x) 在某点 xi 两侧近旁异号，则(xi , f (xi )) 是曲线y = f (x)的拐点，否则不是．
例 2 曲线 y x3的定义域为(,)，画其草图．
则称直线
x = x0近线.
例如， 对于曲线 y = ln x 来说， 因为
x f (x) f (x)
( , 2)
2 0
拐点(2, 3)
(2, + ) +
其中 ， 分别表示曲线凸和凹.
例 4 讨论曲线 y = ln(1 + x2) 的凹凸区间与拐点. 解 定义域为( , ). 因为
y 2x , 1 x2
y
2(1 x 2 ) (1 x 2 )2
O1
x
-1
曲线 y x3 是凹的．
所以，点(0,0) 为曲线 y x3 的拐点．
例 3 讨论曲线 f (x) = x3 - 6x2 + 9x + 1 的凹凸 区间与拐点．
解 定义域为( , ).
因为
f (x) = 3x2 - 12x + 9，
f (x) = 6x - 12 = 6(x - 2 )， 令 f (x) = 0，可得 x = 2.
当 x ( , 2) 时，f (x) < 0， 此区间是凸区间． 当 x (2, + ) 时，f (x) > 0， 此区间是凹区间．
当 x = 2 时， f (x) = 0，因 f (x) 在 x = 2 的两 侧变号，而 f (2) = 3， 所以 (2, 3)是该曲线的拐点.
(2) 用上述各点按照从小到大依次将(a,b) 分成小 区间,再在每个小区间上考察 f (x) 的符号；
(3) 若 f (x) 在某点 xi 两侧近旁异号，则(xi , f (xi )) 是曲线y = f (x)的拐点，否则不是．
例 2 曲线 y x3的定义域为(,)，画其草图．
则称直线
x = x0近线.
例如， 对于曲线 y = ln x 来说， 因为
高等数学(3年专科)第四节 曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘
例3
设 f (x) = x4 , 证明其图形没有拐点.
(x ) 0 , 证 因为对一切 x 均有 f
所以，虽然有 f (0 ） 0 ，
2 但由于在 x 0 的两侧 f ( x ） 12 x 同号，
因此曲线 f (x) = x4 没有拐点.
二、函数图形的描绘
1.曲线的水平渐近线和垂直渐近线
x x 0
x x 0
或 lim f( x ) , 则称直线 x = x0 为曲线 y = f (x) 的
x x 0
垂直渐近线. 例如， 对于曲线 y = ln x 来说， 因为
x 0
lim ln x ，
y y = ln x O x
所以直线 x = 0+ 即 y 轴为 y = ln x 曲线的 垂直渐近线.
定理 2 (拐点的必要条件) 若函数 y = f (x) 在 x0 处二阶导数 f (x0) 存在， 且点 (x0 , f (x0)) 为曲线 y = f (x) 的拐点， 则 f (x0) = 0.
注意
f ( x0 ) = 0 是点 (x0 ， f ( x0 ) ) 为拐点必
要条件，而非充分条件. 例如 y = x4 ，则 y = 12x2，
定义 1 设函数 y = f (x) 在某区间 I 内可导， 则称曲线 y = f (x) 在 ① 如果 f (x) 在 I 内是递增的， 区间 I 内是凹的， I 区间称为凹区间； ② 如果 f (x) 在 I 内是递减的， 则称曲线 y = f (x) 在区间 I 内 是凸的，I 区间称为凸区间 .
当 x = 0 时， y (0) = 0，但 (0, 0) 不是曲线 y = x4 的 拐点， 因为点 (0, 0) 两侧二阶导数不变号.
函数的性质曲线的凹凸性与分析作图法
2 (2,3)
3 (3,)
y
-
不存在
+
0
-
y f (x)
拐点
(2, 20 )
9
拐点
(3, 4)
结论：(,2],[3,)是曲线的凸区间,[2,3]是
曲线的凹区间； 拐点为 (2, 20), (3,4).
9
例 求曲线 y x 4 的凹凸区间和拐点
（学生练习）
例 求曲线 y earctanx的凹凸区间和拐点
y 1 x
P
x
O
点P 沿着曲线无限地远离原点时,
点P与一条定直线C 的距离趋于零, 则称直线C为曲线L的渐近线.当C 垂直于x 轴时,
称C为曲线 L的垂直渐近线；当C 垂直于y 轴时,
称C为曲线 L的水平渐近线.
y ex
ytanx
说明:
(1)直线 y y 0 是曲线 y f (x) 的水平渐近线
x0
2.曲线凹凸的判别
y=f(x)
X
观察图形中切线的斜率变化情况.
f (x) 0Y
在图1中,
Y
f (x) 0
当 x1 x2 时,
O 1 2
X
tan1tan2, 图1
2 1
X
O
图2
即 f ( x ) 是单调增加的;
在图2中,当 x1 x2 时,tan1tan2,
即 f ( x ) 是单调减少的.
三、函数的分析作图法
例 作 y 1 x 3 x 的图象 3
解(1)定义域 x(,), 并 且 图 象 关 于 原 点 对 称 .
(2) y x2 1, 得驻点 x11,x21.
y 2x, 令 y 0 得 x 0.
3.3 曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘
而 lim x 2 1 1 x x( x 1)
所以直线 x 0 为曲线 y x 2 1 的垂直渐近线, x( x 1)
直线 y 1 为其水平渐近线
三.函数图形的描绘
描绘函数的图形，其一般步骤是： (1) 确定函数的定义域; (2) 讨论其奇偶性和周期性； (3) 讨论函数的单调性，极值点和极值； (4) 讨论函数图形的凹凸区间和拐点； (5) 讨论函数图形的水平渐近线和垂直渐近线； (6) 根据需要补充函数图形上若干点(如与坐标 轴的交点等等)；
y 1 的水平渐近
O
x
x 1
线.
又如，曲线 y = arctan x，因为
lim arctan x ， lim arctan x ,
x
2 x
2
所以直线 y 与 y
2
2
线.
y
2
y = arctan x
O
x
2
都是该曲线的水平渐近
练习 判断曲线
怎样判断曲线的拐点呢？
前已述及:
凹曲线 切线斜率k↗ f ( x)单增 f ( x) 0 凸曲线 切线斜率k↘ f ( x)单减 f ( x) 0
所以: 拐点
凹凸性分界点
f (x)单调性分界点
f ( x) 0 的点或 f ( x) 不存在的点
列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x (,3) 3 (3,2) 2 (2,0) 0 (0,)
f ( x) f ( x) f (x)
0
拐点
(3, 26) 9
0
极小值
3
不存在
不存在
函数的性质曲线的凹凸性与分析作图法
9
1
y 10(x2)13 10
9
9
1 0[1
(x
2)3 ]
1
9( x 2)3
x1 3 时 y 0 ; x 2 2 时 y 不存在
(3)列表
1
y 10(x2)13 10
9
9
10[1
(x
2)3 ]
1
9( x 2)3
x1 3 时 y 0; x 2 2 时 y 不存在
x
(, 2) 2 (2,3) 3 (3, )
f (x)
0
0
f(x) f (x)
0
极大值
拐点
32 27
( 1 , 16 ) 3 27
y
极小值
0
B(0,1)
C (3,5) 28
A(1,0)
1
1 o 1
1
x
3
3
yx3x2x1
四、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是 导数应用的综合考察.
y
凸的
单增
yf(x)
极
凹的
拐 点
大 值
0
拐点
(3, 26) 9
极小值
3
lx i m f(x)lx i [m 4(x x 21)2]2, 得水平渐近 y线 2;
lx i0m f(x)lx i0[m 4(x x 21)2] ,得 垂 直 渐 近 线 x 0 .
补充点: (13 ,0 ),(13 ,0 );
A(1,2), 作图
B(1,6), C(2,1). y
1、 曲线 y e x 的水平渐近线为_______________.
2、 曲线 y 1 的水平渐近线为______________， x1
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2( x 2)( x 3) 例1 求 f ( x ) 的渐近线. x 1
解
D : ( ,1) (1,).
lim f ( x ) ,
x 1
lim f ( x ) ,
x 1
x 1 是曲线的铅直渐近线 .
f ( x) 2( x 2)( x 3) 又 lim lim 2, x x x x( x 1)
(1) x0两近旁f ( x )变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点 ; (2) x0两近旁f ( x )不变号,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
例2 求曲线 y 3 x 4 4 x 3 1 的拐点及
凹、凸的区间 .
解
2 y 36 x( x ). y 12 x 12 x , 3 2 令y 0, 得 x1 0, x2 . 3
y cos x sin x . 3π 7π , x2 . 令 y 0, 得 x1 4 4 7π 3π f ( ) 2 0, f ( ) 2 0, 4 4
3π 7π 在[0,2π]内曲线有拐点为 ( ,0), ( ,0). 4 4
如果 (a , b) 任意 x1 , x2 ( x1 x2 ), 恒有 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) , 2 2 那末 f ( x )在(a , b) 的 形是凸的 ;
如果f ( x )在[a , b]内连续, 且在 (a , b) 内的图形是凹 (或凸)的, 那末称 f ( x )在[a , b] 内的图形是凹 (或凸)的 ;
注意: 若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y f ( x ) 的拐点.
例4
求曲线 y 3 x 的拐点.
2 3 5 3
1 4 解 当x 0时, y x , y x , 3 9 x 0是不可导点, y, y均不存在.
y
1 2
1
o
1
x
1 ( x) e 2π
x2 2
例4 作函数 f ( x ) x 3 x 2 x 1 的图形. 解
D : ( , ), 无奇偶性及周期性.
f ( x ) 2( 3 x 1).
f ( x ) ( 3 x 1)( x 1),
x2 2
1 e 2π
x2 2
的图形.
偶函数, 图形关于y轴对称.
x ( x ) e 2π
x2 2
.
令 ( x ) 0, 令 ( x ) 0,
得驻点 x 0,
得特殊点 x 1, x 1.
x2 2
1 lim ( x ) lim e x x 2 π
令 f ( x ) 0,
得特殊点 x 3.
4( x 1) lim f ( x ) lim[ 2] 2, 得水平渐近线 y 2; 2 x x x
4( x 1) lim f ( x ) lim[ 2] , 2 x 0 x 0 x 得铅直渐近线 x 0.
如果
x
lim f ( x ) b 或 lim f ( x ) b (b 为常数)
x
那么 y b 就是 y f ( x ) 的一条水平渐近线 .
例如
y arctan x,
π 有水平渐近线两条: y , 2
π y . 2
(3)斜渐近线
如果
x x
第二步
确定在这些部分区间内 f ' ( x ) 和 f " ( x ) 的符 号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点（可列表进行讨论） ；
第三步
确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势;
第五步 描出与方程 f ' ( x ) 0 和 f " ( x ) 0 的根对
又 ( x0 , f ( x0 ) )是拐点,
则 f ( x ) [ f ( x )]在x0两边变号,
条件, f ( x )在x0取得极值,由可导函数取得极值的
f ( x ) 0.
, 方法1: 设函数f ( x )在x0的邻域内二阶可导 且f ( x0 ) 0,
x
那么 y ax b 就是曲线 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
注意:
如果 f ( x) (1) lim 不存在; x x f ( x) ( 2) lim a 存在, 但 lim[ f ( x ) ax] 不存在, x x x
可以断定 y f ( x ) 不存在斜渐近线 .
例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性.
解 y 3 x 2 , y 6 x ,
当x 0时， y 0,
曲线 在( ,0]为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在[0,)为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
曲线的拐点及其求法
1.定义
f ( x)
1 ( , ) 3
1 3
1 1 ( , ) 3 3
0
极大值
32 27
y
1 3
1 ( ,1) 3
lim [ f ( x ) (ax b )] 0
或 lim [ f ( x ) (ax b )] 0 (a , b 为常数) 那么 y ax b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
斜渐近线求法:
f ( x) lim a, x x
lim[ f ( x ) ax] b.
第三节 曲线的凹凸性与函数 图形的描绘
一、曲线的凹凸性与拐点 二、函数图形的描绘
一、曲线凹凸性与拐点
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
C
B
A
o
x
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
定义
设f ( x )在( a, b)内连续, 如果对( a, b)内任意 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 两点 x1 , x2 ( x1 x2 ), 恒有 f ( ) , 2 2 那末称 f ( x )在(a , b)内的图形是凹的 ;
2( x 2)( x 3) lim[ 2 x] x x( x 1)
2( x 2)( x 3) 2 x ( x 1) 4, lim x x 1
y 2 x 4 是曲线的一条斜渐近线 .
2( x 2)( x 3) f ( x) 的两条渐近线如图 x 1
曲线凹凸的判定
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
定理1 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b) 内具有
二阶导数 , 若在 (a , b ) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凹的; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凸的 .
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x ( ,3) 3 ( 3,2) 2 ( 2,0)
f ( x ) f ( x )
f ( x)
0
不存在
( 0, )
0
拐点
( 3, 26 ) 9
0
间 断 点
极值点
3
补充点 : (1 3,0), (1 3,0);
令 f ( x ) 0, 令 f ( x ) 0,
1 得驻点 x , 3
x 1.
1 得特殊点 x . 3
补充点 :
A ( 1,0),
B (0,1),
3 5 C ( , ). 2 8
列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点:
x
f ( x ) f ( x )
如果
x x0
lim f ( x ) 或 lim f ( x )
x x0
那么 x x0 就是 y f ( x ) 的一条铅直渐近线 .
1 , 例如 y ( x 2)( x 3)
有铅直渐近线两条: x 2,
x 3.
(2) 水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线) .
2.图形描绘的步骤
利用函数特性描绘函数图形.
确定函数 y f ( x ) 的定义域,对函数进行奇 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论 , ' " 求出函数的一阶导数 f ( x ) 和二阶导数 f ( x ) ;
第一步
' " f ( x ) 0 f 求出方程 和 ( x ) 0 在函数定义 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.
但在( ,0)内, y 0, 曲线在( ,0]上是凹的 ; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
二、函数图形的描绘
1.渐近线
定义: 当曲线 y f ( x ) 上的一动点 P 沿着曲线
移向无穷点时, 如果点 P 到某定直线 L 的距离 趋向于零, 那么直线 L 就称为曲线 y f ( x ) 的 一条渐近线. (1)铅直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线)
解
D : ( ,1) (1,).
lim f ( x ) ,
x 1
lim f ( x ) ,
x 1
x 1 是曲线的铅直渐近线 .
f ( x) 2( x 2)( x 3) 又 lim lim 2, x x x x( x 1)
(1) x0两近旁f ( x )变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点 ; (2) x0两近旁f ( x )不变号,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
例2 求曲线 y 3 x 4 4 x 3 1 的拐点及
凹、凸的区间 .
解
2 y 36 x( x ). y 12 x 12 x , 3 2 令y 0, 得 x1 0, x2 . 3
y cos x sin x . 3π 7π , x2 . 令 y 0, 得 x1 4 4 7π 3π f ( ) 2 0, f ( ) 2 0, 4 4
3π 7π 在[0,2π]内曲线有拐点为 ( ,0), ( ,0). 4 4
如果 (a , b) 任意 x1 , x2 ( x1 x2 ), 恒有 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) , 2 2 那末 f ( x )在(a , b) 的 形是凸的 ;
如果f ( x )在[a , b]内连续, 且在 (a , b) 内的图形是凹 (或凸)的, 那末称 f ( x )在[a , b] 内的图形是凹 (或凸)的 ;
注意: 若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y f ( x ) 的拐点.
例4
求曲线 y 3 x 的拐点.
2 3 5 3
1 4 解 当x 0时, y x , y x , 3 9 x 0是不可导点, y, y均不存在.
y
1 2
1
o
1
x
1 ( x) e 2π
x2 2
例4 作函数 f ( x ) x 3 x 2 x 1 的图形. 解
D : ( , ), 无奇偶性及周期性.
f ( x ) 2( 3 x 1).
f ( x ) ( 3 x 1)( x 1),
x2 2
1 e 2π
x2 2
的图形.
偶函数, 图形关于y轴对称.
x ( x ) e 2π
x2 2
.
令 ( x ) 0, 令 ( x ) 0,
得驻点 x 0,
得特殊点 x 1, x 1.
x2 2
1 lim ( x ) lim e x x 2 π
令 f ( x ) 0,
得特殊点 x 3.
4( x 1) lim f ( x ) lim[ 2] 2, 得水平渐近线 y 2; 2 x x x
4( x 1) lim f ( x ) lim[ 2] , 2 x 0 x 0 x 得铅直渐近线 x 0.
如果
x
lim f ( x ) b 或 lim f ( x ) b (b 为常数)
x
那么 y b 就是 y f ( x ) 的一条水平渐近线 .
例如
y arctan x,
π 有水平渐近线两条: y , 2
π y . 2
(3)斜渐近线
如果
x x
第二步
确定在这些部分区间内 f ' ( x ) 和 f " ( x ) 的符 号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点（可列表进行讨论） ；
第三步
确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势;
第五步 描出与方程 f ' ( x ) 0 和 f " ( x ) 0 的根对
又 ( x0 , f ( x0 ) )是拐点,
则 f ( x ) [ f ( x )]在x0两边变号,
条件, f ( x )在x0取得极值,由可导函数取得极值的
f ( x ) 0.
, 方法1: 设函数f ( x )在x0的邻域内二阶可导 且f ( x0 ) 0,
x
那么 y ax b 就是曲线 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
注意:
如果 f ( x) (1) lim 不存在; x x f ( x) ( 2) lim a 存在, 但 lim[ f ( x ) ax] 不存在, x x x
可以断定 y f ( x ) 不存在斜渐近线 .
例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性.
解 y 3 x 2 , y 6 x ,
当x 0时， y 0,
曲线 在( ,0]为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在[0,)为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
曲线的拐点及其求法
1.定义
f ( x)
1 ( , ) 3
1 3
1 1 ( , ) 3 3
0
极大值
32 27
y
1 3
1 ( ,1) 3
lim [ f ( x ) (ax b )] 0
或 lim [ f ( x ) (ax b )] 0 (a , b 为常数) 那么 y ax b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
斜渐近线求法:
f ( x) lim a, x x
lim[ f ( x ) ax] b.
第三节 曲线的凹凸性与函数 图形的描绘
一、曲线的凹凸性与拐点 二、函数图形的描绘
一、曲线凹凸性与拐点
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
C
B
A
o
x
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
定义
设f ( x )在( a, b)内连续, 如果对( a, b)内任意 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 两点 x1 , x2 ( x1 x2 ), 恒有 f ( ) , 2 2 那末称 f ( x )在(a , b)内的图形是凹的 ;
2( x 2)( x 3) lim[ 2 x] x x( x 1)
2( x 2)( x 3) 2 x ( x 1) 4, lim x x 1
y 2 x 4 是曲线的一条斜渐近线 .
2( x 2)( x 3) f ( x) 的两条渐近线如图 x 1
曲线凹凸的判定
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
定理1 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b) 内具有
二阶导数 , 若在 (a , b ) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凹的; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凸的 .
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x ( ,3) 3 ( 3,2) 2 ( 2,0)
f ( x ) f ( x )
f ( x)
0
不存在
( 0, )
0
拐点
( 3, 26 ) 9
0
间 断 点
极值点
3
补充点 : (1 3,0), (1 3,0);
令 f ( x ) 0, 令 f ( x ) 0,
1 得驻点 x , 3
x 1.
1 得特殊点 x . 3
补充点 :
A ( 1,0),
B (0,1),
3 5 C ( , ). 2 8
列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点:
x
f ( x ) f ( x )
如果
x x0
lim f ( x ) 或 lim f ( x )
x x0
那么 x x0 就是 y f ( x ) 的一条铅直渐近线 .
1 , 例如 y ( x 2)( x 3)
有铅直渐近线两条: x 2,
x 3.
(2) 水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线) .
2.图形描绘的步骤
利用函数特性描绘函数图形.
确定函数 y f ( x ) 的定义域,对函数进行奇 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论 , ' " 求出函数的一阶导数 f ( x ) 和二阶导数 f ( x ) ;
第一步
' " f ( x ) 0 f 求出方程 和 ( x ) 0 在函数定义 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.
但在( ,0)内, y 0, 曲线在( ,0]上是凹的 ; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
二、函数图形的描绘
1.渐近线
定义: 当曲线 y f ( x ) 上的一动点 P 沿着曲线
移向无穷点时, 如果点 P 到某定直线 L 的距离 趋向于零, 那么直线 L 就称为曲线 y f ( x ) 的 一条渐近线. (1)铅直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线)