高数函数图形的描绘ppt课件
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——函数图形的描绘PPT课件
lim f (x) ；
xa
(iii)
lim f (x) ；
xa
(iv)
. lim f (x)
xa
第11页/共27页
以上四种情形可参考下列各图
a
a (图 (i))
(图 (ii)) a
a (图 (iii))
(图 (iv)) 第12页/共27页
如果下列条件之一成立，则称直线 y a 为 f 之 水平渐近线：
(i) lim f (x) a ； a
(ii) lim f (x) a . x
以上二种情形可参考下列各图：
a
(图 2.3.2(i))
a
(图 2.3.2(ii))
第13页/共27页
如果下列条件之一成立，则称直线
y ax b ，( a 0 )为 f 之斜渐近线：
(i)
lim f (x) (ax b) 0 ；
曲线 在(,0]为凸的； 当x 0时， y 0, 曲线 在[0,)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点.
第4页/共27页
➢曲 线 的 拐 点 及 其 求 法
1、定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2、拐点的求法
定理 2 如果 f ( x)在( x0 , x0 )内存在二阶导
点(0 ， 0)为拐点．
其相关结论见表:
x (, 1) -1 (-1，0) 0 (0， 1) 1 (1, )
f (x) +
0
-
-
-0Βιβλιοθήκη +f (x) -
-
-
0
+
+
+
f (x)
【中学课件】函数图形的描绘-PPT文档资料
x( 2 ,0 ) 3 , 2 ) 2 ( , 3 ) 3 (
f (x)
0
不存在
(0 , )
f (x)
0 0
拐点
( 3, 26 ) 9
f ( x)
极值点
docin/sundae_meng
3
间 断 点
补充点 : ( 1 3 , 0 ), ( 1 3 , 0 );
y . 2
2、图形描绘的步骤
利用函数特性描绘函数图形.
第一步
y f ( x ) 确 定 函 数 的 定 义 域 , 利 用 函 数 奇 偶 性 、 周 期 性 缩 小 范 围 ;
确 定 特 殊 点 : 曲 线 与 x 轴 的 交 点 , 即 : f ( x ) = 0 ; ' " f ( x ) 0 f( x ) 0 使 和 及 导 数 不 存 在 的 点 .
第二步
docin/sundae_meng
用 特 殊 点 将 函 数 的 定 义 域 划 分 成 几 个 部 f'( x )和 分 区 间 , 列 成 表 格 .确 定 在 这 些 部 分 区 间 内 f" ( x ) 的 符 号 ， 并 由 此 确 定 函 数 的 增 减 性 、 极 值 和 函 数 的 凹 凸 性 和 拐 点 。
4 ( x 2 ) f ( x ) 3 , 4 ( x 1 ) x , lim f ( x ) lim [ 2 2 ] x 0 x 0 x 8 (x 3 ) f (x ) . 得铅直渐近线 x0 . 4 x
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
docin/sundae_meng
3、作图举例
函数图像PPT教学课件
例5、（1）函数y x cos x的部分图象是( B)
y
y
o
( A)
y
x
x
o
(B)
y
x o
x o
(C )
(D)
(2)已 知 函 数f ( x), g( x)的 图 象 如 下 图 ， 则 函 数f ( x) g( x)
的 图 象 可 能 是( A)
y
y
y
f (x)
2
1
o
2
x
1 1
1 o
g( x)
2
y x 2 4 | x | 3 | x |2 4 | x | 3
y
-3
-2
-1
–4 –3 –2 –1
|
|
|
|
o
1 234
|
|
|
|
- –1
x
返回
(2) y cos |logcos x| (0 );
2
y
cos |logcos
x|
cos
cos
logcos x (0 x logcos x (1 x)
B
C
(D)
A
t1
t2 t
解 : 从A地 到B地 ， 甲 用 时 间t甲
S 2v1
S 2v 2
S(v1 v2 ) 2v1 v 2
乙
用
时
间t乙满
足
：t乙 2
(v1
v2 )
S
t乙
(v1
S
v2 )
t甲
t乙
S(v1 v2 ) 2v1 v 2
(v1
S v2)
(v1 v2 )2 S 2v1v2 (v1 v2 )
高等数学微积分第一章函数及其图形(共44张PPT)
如果A，B互相包含，即A B且B A，则称A与B相等，记为A=B。
如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=j(y)。
解: 要使函数有意义，必须x 0，且x2-4³0。
如果A，B互相包含，即A B且B A，则称A与B相等，记为A=B。
1
O
x
3．对数函数
指数函数y=ax的反函数叫做对数函数，记为
y=logax(a>0，a 1)． 对数函数的定义域是区间(0，+ )．
单调性：
若a>1，则logax单调增加； 若0<a<1，则logax单调减少．
性质见书P34
y y=ax
1
O
y=logxax
a>1
4．三角函数
U(a)。 设>0，则称区间(a-, a+)为点a 的邻域，记作U(a, )，
即 U(a, ) ={x|a-<x<a+} ={x| |x-a|<}。
其中点 a 称为邻域的中心, 称为邻域的半径。
O a-
a+ x
去心邻域:
U
(a,)
={x
|0<|
x-a
|<}。
O a- a a+ x
左（右）邻域、M领域的概念见书中第七页。
bx
[a, b]={x|axb}称为闭区间。
[a， b]
Oa
bx
[a, b)={x|ax<b}及 (a, b]={x|a<xb}称为
半开区间。 [a， b)
Oa
bx
(a， b]
Oa
bx
高三数学总复习函数的图像ppt
1．列表描点法是作函数图象的最基本的方法，要作 函数图象一般首先要明确函数图象的位置和形状；
(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、 周期性、单调性、凸凹性等等；
(2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸 缩变换等；
(3)可通过方程的同解变形，如作函数 y＝ 1－x2的图象．
2．利用函数的图象可研究函数的性质，可判断方程 解的个数，可通过解方程，根据函数的图象观察对应不等 式的解等．
x，x≥1， 故 y＝10|lgx|＝1x，0<x<1.
根据直线与反比例函数直接作出该分段函数的图象， 如下图(1)所示．
(2)根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数 y＝12， x－x≥ 1，1， x<1. 可见其图象是由两条射线组成，如上图(2)所示．
【例1】 分别画出下列函数的图象： (1)y＝|lgx|； (2)y＝2x＋2； (3)y＝x2－2|x|－1.
解：(1)y＝l－gxlgx(x≥(01<)x<1) .图象如下图(1)． (2)将 y＝2x 的图象向左平移 2 个单位．图象如下图(2)．
(3)y＝xx22－ ＋22xx－ －11
(x≥0) (x<0)
.图象如下图(3)．
本题先将函数化简，转化为作基本函数的图象的问 题．作分段函数的图象时要注意各段间的“触点”．同时 也可利用图象变换得出.
系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题 结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．
4．图象对称性的证明 证明函数图象的对称性，即证明其图象上的任意一
点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图象上．
①若 f(a＋x)＝f(b－x)，x∈R 恒成立，则 y＝f(x)的图象 关于 x＝a＋2 b成轴对称图形，若 f(a＋x)＝－f(b－x)，x∈R，则 y＝f(x)的图象关于点(a＋2 b，0)成中心对称图形．
高中数学函数的图像ppt课件
34
真题透析 例 (2010 年高考湖南卷)函数 y＝ax2＋bx 与 y ＝ logb x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图
a
像可能是( )
35
【解析】 从对数的底数入手进行讨论，再 结合各个选项的图像从抛物线对称轴的取值 范围进行判断，故选D. 【答案】 D 【名师点评】 (1)本题易出现以下错误：① 忽视 y＝ logb x 中底数的绝对值，误认为 a，b
(2)图像的左右平移，只体现出x的变化，与x 的系数无关；图像的上下平移，只与y的变化 有关．
19
识图 对于给定函数的图像，可从图像上下左右分布范 围，变化趋势，特殊点的坐标等方面进行判断， 必要时可借助解方程、解(证)不等式等手段进行 判断，未必非要写出函数的解析式进行判断．
20
例2
(2010年高考山东卷)函数y＝2x－x2的图像
过点 P 且与 AB 垂直的截面面积记为 y，则 y＝
12f(x)的大致图像是(
)
38
解析：选A.先从起始点排除B，D，再用验证 法，当点P为OA的中点时，截面面积大于大圆 面积的一半，即可判定A正确．
39
x＋1，x∈[－1，0 2．已知 f(x)＝x2＋1，x∈[0，1] ，则下 列函数的图像错误的是( )
11
5．已知下列曲线： 以下编号为①②③④的四个方程 ① x－ y＝0；②|x|－|y|＝0；③x－|y|＝0； ④|x|－y＝0. 请按曲线 A、B、C、D 的顺序，依次写出与 之对应的方程的编号________．
答案：④②①③
12
考点探究•挑战高考
考点突破
作图 1．熟悉基本初等函数的图像． 2．会通过函数的性质确定图像的形状：如奇偶 性→对称性；函数值的正负→x轴上方下方；渐 近线→变化趋势；过哪些特殊点、定点；极值、 最值等．
真题透析 例 (2010 年高考湖南卷)函数 y＝ax2＋bx 与 y ＝ logb x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图
a
像可能是( )
35
【解析】 从对数的底数入手进行讨论，再 结合各个选项的图像从抛物线对称轴的取值 范围进行判断，故选D. 【答案】 D 【名师点评】 (1)本题易出现以下错误：① 忽视 y＝ logb x 中底数的绝对值，误认为 a，b
(2)图像的左右平移，只体现出x的变化，与x 的系数无关；图像的上下平移，只与y的变化 有关．
19
识图 对于给定函数的图像，可从图像上下左右分布范 围，变化趋势，特殊点的坐标等方面进行判断， 必要时可借助解方程、解(证)不等式等手段进行 判断，未必非要写出函数的解析式进行判断．
20
例2
(2010年高考山东卷)函数y＝2x－x2的图像
过点 P 且与 AB 垂直的截面面积记为 y，则 y＝
12f(x)的大致图像是(
)
38
解析：选A.先从起始点排除B，D，再用验证 法，当点P为OA的中点时，截面面积大于大圆 面积的一半，即可判定A正确．
39
x＋1，x∈[－1，0 2．已知 f(x)＝x2＋1，x∈[0，1] ，则下 列函数的图像错误的是( )
11
5．已知下列曲线： 以下编号为①②③④的四个方程 ① x－ y＝0；②|x|－|y|＝0；③x－|y|＝0； ④|x|－y＝0. 请按曲线 A、B、C、D 的顺序，依次写出与 之对应的方程的编号________．
答案：④②①③
12
考点探究•挑战高考
考点突破
作图 1．熟悉基本初等函数的图像． 2．会通过函数的性质确定图像的形状：如奇偶 性→对称性；函数值的正负→x轴上方下方；渐 近线→变化趋势；过哪些特殊点、定点；极值、 最值等．
chap3-6函数图形的描绘 共22页
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第三步 确 定 在 这 些 部 分 区 间 内 f'(x)和 f"(x)的 符 号 ， 并 由 此 确 定 函 数 的 增 减 性 与 极 值 及 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 （ 可 列 表 进 行 讨 论 ） ；
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势;
那么yaxb就是y f(x)的一条斜渐 . 近
斜渐近线求法:
limf(x) a, li[m f(x)a]x b.
x x
x
那y么 a xb就是y 曲 f(x)线 的一条.斜
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注意: 如果
(1) lim f (x) 不存在; x x
(2 )lif m (x )a存 ,但 在 li[m f(x ) a]不 x ,存
0
0
f(x) f (x)
极大值
32
27
拐点
( 1 , 16 ) 3 27
极小值
0
y
B(0,1)
C (3,5) 28
A(1,0)
1
1 o 1
3
3
1
x
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yx3x2x1
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四、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 数应用的综合考察.
x x
x
可以断 y定 f(x)不存在斜.渐近线
例1 求f(x)2(x2)x (3)的渐. 近线 x1
解 D :(,1 ) (1 ,) .
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limf(x), x1
第三步 确 定 在 这 些 部 分 区 间 内 f'(x)和 f"(x)的 符 号 ， 并 由 此 确 定 函 数 的 增 减 性 与 极 值 及 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 （ 可 列 表 进 行 讨 论 ） ；
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势;
那么yaxb就是y f(x)的一条斜渐 . 近
斜渐近线求法:
limf(x) a, li[m f(x)a]x b.
x x
x
那y么 a xb就是y 曲 f(x)线 的一条.斜
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注意: 如果
(1) lim f (x) 不存在; x x
(2 )lif m (x )a存 ,但 在 li[m f(x ) a]不 x ,存
0
0
f(x) f (x)
极大值
32
27
拐点
( 1 , 16 ) 3 27
极小值
0
y
B(0,1)
C (3,5) 28
A(1,0)
1
1 o 1
3
3
1
x
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yx3x2x1
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四、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 数应用的综合考察.
x x
x
可以断 y定 f(x)不存在斜.渐近线
例1 求f(x)2(x2)x (3)的渐. 近线 x1
解 D :(,1 ) (1 ,) .
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limf(x), x1
高数 第三节 曲线的凹凸性和函数图形的描绘
y 2 e
(1 2 x 2 )
1
( 1 ,1 e ) 2
1 2
(
1 ,1 e 2 2
1
)
o
x
机动
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结束
备用题 求笛卡儿叶形线 x 3 y 3 3a x y 的渐近线 . 解: 令 y = t x , 代入原方程得曲线的参数方程 :
3a t2 3a t , y x t 1 3 3 1 t 1 t 当x 时t 1, 因 y 3a t2 3a t 1 lim lim t 1 1 t 3 x x 3 1 t 3a t2 3a t 3 at (1 t ) lim y ( x) lim lim (1t )(1t t 2 ) 3 3 x t 1 1 t t 1 1 t a 所以笛卡儿叶形线有斜渐近线 y x a
机动
x1x x1 x1x2x2x2 xx x2 x 1 2 2
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定义2 . 设函数
在区间 I 上连续 ,
(1) 若曲线弧位于其上每一点处切线的上方， 则称f(x)图形是凹的; (2) 若曲线弧位于其上每一点处切线的下方， y y 则称f(x)图形是凸的 . y 连续曲线上有切线的凹凸分界点
2) 求拐点可疑点坐标
令 y 0 得 x1 0 , x2 2 , 对应 y1 1 , y2 11 3 27 2 3 3) 列表判别
x ( , 0) y y 凹
0 0 1
(0 , 2 ) 3
( 2 , ) 3 0
2 3 11 27
凸
凹
( , 0) 及 ( 2 , ) 上向上凹, 在 (0 , 2 ) 上 故该曲线在 3 3 点 ( 0 , 1 ) 及 ( 2 , 11 ) 均为拐点. 向上凸 , 3 27
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的点 ;
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;
4. 求渐近线 ;
5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
3/30/2020
6
例3. 描绘
的图形.
解: 1) 定义域为
无对称性及周期性.
2) y x2 2x, y 2x 2,
y
令 y 0,
令 y 0,
1 O 1 2 3 x
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
,
渐近线
y 1
.
提示:
y 2 ex2 (1 2 x2 )
y
1
1
( 1 ,1 e 2 )
2
O
(
1
,1
1
e2 )
2
x
3/30/2020
16
作业
P76 14 (2); P169 2 ; 5
3/30/2020
17
第七节
备用题 求笛卡儿叶形线 x3 y3 3axy 的渐近线 .
解: 令 y = t x , 代入原方程得曲线的参数方程 :
2π
令 y 0 得 x 0; 令 y 0 得 x 1
3) 判别曲线形态
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
3/30/2020
12
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
lim y 0
第六节 函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘
3/30/2020
1
一、 曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差” C M
y kxb
例如, 双曲线
y 1 x 5 为斜渐近线 44
5) 求特殊点 x 0 2 y 9 1 44
y (x 3)2 4(x 1)
y
(
x 4(
3)(x x 1)2
1)
y
(x
2 1)3
3/30/2020
10
6）绘图
x (, 1) 1 (1,1)
y
2
(极大)
铅直渐近线 x 1
斜渐近线
y1x5 44
特殊点
x0 y 9
lim( 1 2) , x 1为铅直渐近线. x1 x 1
3/30/2020
3
2. 斜渐近线 ( P76 题14)
若
(kx b)
(或 x )
(kx b)
lim x [ f (x) k b ] 0
x
x
x
斜渐近线 y kx b. k lim [ f (x) b ]
x x x k lim f (x)
所以笛卡儿叶形线有斜渐近线 y x a
笛卡儿 叶形线
3/30/2020
18
叶形线
y
0
0
y
0
y
2
4 3
2 3
x 1 3 (极大)
4)
y2
3
2
(拐点)
(极小)
3/30/2020
7
例4. 描绘方程
的图形.
解: 1) y (x 3)2 , 定义域为 4(x 1)
2) 求关键点. 原方程两边对 x 求导得
2(x 3) 4 y 4 y 4xy 0
①
y x 3 2y 2(x 1)
2 1
44
1 (1,3) 3 (3, )
无
0
定 义
(极小)
y
y (x 3)2
4(x 1)
2 1
O12 3 5 x
y
1 4
x
5 4
x 1
3/30/2020
11
例5. 描绘函数
的图形.
解: 1) 定义域为
图形对称于 y 轴.
2) 求关键点
y
1 2π
x
e
x2 2
,
y
1
e
x2 2
(1
x
2
)
①两边对 x 求导得 2 4 y 8y 4xy 0
y 1 4 y 2(x 1)
令 y 0 得 x 1, 3 ;
3/30/2020
8
3) 判别曲线形态
x (, 1) 1
y
0
y
y
2
(1,1)
1 (1,3) 3
无
0
定
义
0
(3, )
(极大)
(极小)
4) 求渐近线
lim y , x 1 为铅直渐近线
x1
y (x 3)2 , 4(x 1)
y
(
x 4(
3)(x x 1)2
1)
,
y
(
x
2 1)3
3/30/2020
9
又因
lim y 1 , 即 k 1
x x 4
4
b lim ( y 1 x) lim [(x 3)2 1 x] x 4 x 4(x 1) 4
lim 5x 9 5 x 4(x 1) 4
x
3at 1 t3
,
3at2 y 1t3 ,
当x 时t 1, 因
t 1
lim y lim 3a t 2 3a t 1 x x t1 1 t 3 1 t 3
lim y
x
(x)
lim 3a t 2
t 1 1 t 3
3at 1 t3
lim
t 1
3 at(1t) (1t)(1t t
2
)
a
(C) 仅有铅直渐近线；
(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.
提示:
lim
x
1 1
e e
x x
2 2
1;
lim 1 x01
e e
x x
2 2
3/30/2020
15
2. 曲线 y 1 ex2 的凹区间是
( 1 , 1 )
22
,
凸区间是
( ,
1 )
2
及
(
1 , )
2
,
拐点为
(
1
1
,1e 2 )
2
L PN
有渐近线
x y0 ab
O
x
y
但抛物线
无渐近线 .
Ox
3/30/2020
2
1. 水平与铅直渐近线
若
则曲线
有水平渐近线 y b.
(或 x )
若
则曲线
有铅直渐近线 x x0 .
(或 x x0 )
y
例1. 求曲线
的渐近线 .
解: lim ( 1 2) 2 x x 1
2
x
O1
y 2 为水平渐近线;
x
y 0 为水平渐近线
5) 作图
y
1 2π
A
y0 O
y
1
x2
e2
2π
B
1
x
3/30/2020
13
内容小结
1. 曲线渐近线的求法
水平渐近线 ; 垂直渐近线;
斜渐近线
2. 函数图形的描绘
按作图步骤进行
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思考与练习
1.
曲线
y
1 1
ex2 ex2
(A) 没有渐近线；
(D )
(B) 仅有水平渐近线；
x x
(或 x )
lim [ f (x) k b ] 0
x x
x
b lim [ f (x) k x]
x (或 x )
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例2. 求曲线
的渐近线.
y
解:Biblioteka yx3,(x 3)(x 1)
lim y ,
x 3
(或 x 1)
3 O1 x
y x2
所以有铅直渐近线 x 3 及 x 1
又因
k
lim
x
f (x) x
lim
x
x2
x2 2x
3
b
lim [
x
f
(x)
x]
lim
x
2x2 3x x2 2x 3
y x 2为曲线的斜渐近线 .
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二、函数图形的描绘
步骤 :
1. 确定函数 期性 ;
的定义域 , 并考察其对称性及周
2. 求
并求出 及
为 0 和不存在