函数的凹凸性与拐点知识讲稿

( 1 )如 果 f(x ) 0 ,x (a ,b ), 则曲线 y f ( x) 在[a, b] 上是凹的；
( 2 )如 果 f(x ) 0 ,x (a ,b ), 则曲线 y f ( x) 在[a, b] 上是凸的. （证略）
拐点的计算： 1、找出二阶导数为零的点或二阶导数不存在的点； 2、若它两侧的二阶导数值异号,则为拐点；
不等式证明的方法：
1、拉格朗日中值定理； 2、函数的单调性、极值； 3、函数的凹凸性；
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作业：
P134 3
17
2
定理(极值的第一充分条件)
y
(1) 若x(x0,x0)时,f(x)0,
x(x0,x0)时,f(x)0, o
则x0为极大值点；
y
x0
x
(2) 若x(x0,x0)时,f(x)0,
x(x0,x0)时,f(x)0, o x 0
x
则x0为极小值点；
(3)如 果 在 上 述 两 个 区 间 内 f(x)同 号 ,则 x0 不 是 极 值 点 .
o x1
x1 x2 x2
2
xo
f ( x1 x2 ) 2
yf(x)
f(x1) f(x2) 2
凸 （下凹、上凸）
x1 x1 x2 x2
x
2
图形上任意弧段位于 所张弦的下方：凹
图形上任意弧段位于 所张弦的上方：凸
f(x1x2) f(x1)f(x2). f(x1x2)f(x1)f(x2).
2
2
2
2
5
定义 设 f(x)在 (a,b )内连 ,如续 果 (a,b )内 对任
两x1 点 ,x2, x1x2,恒有
f(x1x2)f(x1)f(x2),
2 ()
2
则 称 f( x ) 在 ( a ,b ) 内 的 图 形 是 凹 的 (凸的).
y
yf(x)
y yf(x)
o x1
x2 x
o x1
x2 x
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第五节 函数的凹凸性与拐点
在绘制函数图像时, 仅知道函数的单调性(函数是上升 还是下降）是不够的, 还需知道曲线的弯曲方向.
曲线的弯曲方向也是曲线的基本特性之一.
问题：如何研究曲线的凹凸性? y
曲线的凹凸 性
o
x
1
一、曲线凹凸性的定义
y
yf(x)
y
f(x1) f(x2)
2
f ( x1 x2 )
凹（上2 凹、下凸）
解
x y
(,
1 )
1
( 1 ,0)
55
5
0 (0, )
0 不存在
y
拐点 非拐点
f(x)的 凹 区 间 为 ( 1
5
,
+
)；凸区间为(
,
1 5
].
拐点： (1,6 1 ).
5 5 3 25
13
例4 求曲线 y3 x的拐.点
解
y
1
x
2 3
,
y
2
x
5 3
,
(x0)
3
9
x0是不,可 y,y均 导不 点 . 存在
解D(,).y52x3
2
1
x3
,
33
y10x13 2x43 （2 5 x 1) ,
99
93 x4
令y 0， x 1 ，又f(0)不存在 .
5
x
(, 1) 1 ( 1 ,0)
55
5
0 (0, )
y
0 不存在
y
拐点 非拐点
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例3 求 曲 线 y (x 1 )3x 2 的 凹 凸 区 间 与 拐 点 .
二、曲线凹凸性的判定
当曲线是凹的时， f (x)单调增加. 当曲线是凸的时， f (x)单调减少. 曲线凹凸性发生改变的点称为曲线的拐点. 研究曲线的凹凸性与拐点问题相当于研究一阶导函数
f (x) 的单调性与极值问题.
拐点
凹
凸
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定理（曲线凹凸性的判别法）
设函数 f ( x) 在[a, b] 上连续，在 (a, b) 内二阶可导
2
22
令f(t)tlnt，则 f(t)在 (0, )上 连 续 .
f(t)lnt1，f ( t ) 1 0t(0,) t
从 而 f(t)在 (0 , )上 是 凹 的 . 由函数凹性定义，
即 xfln (xx ) y fl(n yy )(fx ( xy)yl)n(xy) 得证.
2 2
22 2
15
3
x (,0)
0
(0, 23)
2 3
(23,)
f (x) 0
0
f (x)
拐点
拐点
f(x)的 凹 区 间 为 (, 0), ( 2 , +)
凸区间为 [ 0 , 2 ] 3
3
拐 点 ： (0,1)， (23,1127).
11
例3 求 曲 线 y (x 1 )3x 2 的 凹 凸 区 间 与 拐 点 .
Ox
点(0,0)是曲线的拐点. 常见错误： x0是 曲 线 的 拐 点 .
拐点是平面点,有两个坐标.
9
例2 求 曲 线 y 3 x 4 4 x 3 1 的 凹 凸 区 间 及 拐 点 .
解 D(,).
y1x 2 31x 2 2,
y36x224x
36x(x
2 )
.
令y0,
得x1
0,
x2
2. 3
但 (,在 0 ) 内 ,y 0 , 在 (0 ,) 内 ,y 0 ,
点 (0,0)是曲 y3线 x的拐 . 点
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利用凹凸性证明不等式
例5 证 明 ： xln x ylny (x y )ln (x y) 2
(x0,y0,xy)
证 xlnxylny(xy)ln(xy)
2
xlnxylny(xy)ln(xy)
极值点是函数单调性发生改变的点, 即为单调区间 的分界点.
4
定理3(极值的第二充分条件)
设 函 数 f ( x )在 它 的 驻 点 x 0处 二 阶 可 导 , 则
(1)如果f(x0)0,则x0 为极小值点； (2)如果f(x0)0,则x0 为极大值点； (3) 如果f(x0)0,则无法判断. 当第二充分条件失效时, 需用第一充分条件或定义法 进行判断.
若同号则不是拐点.
注意：拐点是平面上的点, 要写出纵坐标.
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例1 判 断 曲 线 y x 3 的 凹 凸 性 ， 并 求 拐 点 . 解 D(,). y 3 x 2 , y 6x,
当x0时，y 0,
曲 线 在 ( ,0 ]上 是 凸 的 ；
y
y x3
当x0时，y 0,
曲 线 在 [0 , )上 是 凹 的 ；