函数的凹凸性与拐点
§5.函数的凹凸性与拐点解读
§5. 函数的凹凸性与拐点教学内容：函数的凹凸性与拐点的定义以及判断。
教学目的：清楚函数凸性与拐点的概念，掌握函数凸性的几个等价论断，会求曲线的拐点，能应用函数的凸性证明某些有关的命题。
教学重点：利用导数研究函数的凸性。
教学难点：利用凸性证明相关命题。
教学方法：讲授与练习。
教学学时：2学时。
引言：前面我们已经讨论了函数的单调性与极值及最值，这对函数性态的了解是有很大作用的。
为了更深入和较精确地掌握函数的性态，本节再讲述一下有关函数凸性与拐点的概念及判断与求解方法。
一、函数凹、凸性的定义：在讨论函数图象时，我们经常会遇到具有以下两种特性的函数： y yB AB Ao 1x x 2x x o 1x x 2x x 凸函数 凹函数特点⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧---+≥∈∀⎪⎩⎪⎨⎧---+≤∈∀)()()()()(),()()()()()(),(1121212*********x x x x x f x f x f x f x x x AB AB x x x x x f x f x f x f x x x AB AB ，总有的上方，即有：总在线段曲线上任意两点间的弧凹函数，总有的下方，即有：总在线段曲线上任意两点间的弧凸函数 ， 而)1,0(,)1(10),(2112221∈-+=⇔<--=<⇔∈∀λλλλx x x x x xx x x x便于我们研究应用，对凸函数与凹函数作如下定义：定义1 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上任意两点1x 、2x 和任意实数(0,1)λ∈总有：（1）1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，则称f 为I 上的凸函数； （2）1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-，则称f 为I 上的凹函数。
以上不等式严格成立时，则分别称为严格凸函数与严格凹函数。
二、函数凹、凸性的性质及判定：由定义易见，如果函数f 为区间I 上的凸函数，那么函数f -就为区间I 上的凹函数，也就是说，凹函数的性质及判定可通过凸函数的性质及判定完成，所以以下我们只需讨论凸函数的性质及判定即可。
函数的凹凸性
解析:答案为 B。要使 f ( x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) 恒成
2
2
立，由函数值的定义及函数图象即需要函数在 0 x 1
内为凸函数。而 y 2x , y x2 在 0 x 1内为凹函数，
y cos 2x 在 0 x 1 内 先 凸 后 凹 函 数 。 只 有
直接验证即可②满足题意 对于③④如右图所示：
对于 f (x) lg x 图象上任意不同
两点 A(x1, f (x1))B(x2, f (x2 ))
k AB
f (x1) f (x2 ) 0 x1 x2
显然成
立（可
以用
f '(x) 1 0(x 0) ）故③正确 x ln10
再有 AB 中点 C（ x1 x2 , f (x1) f (x2 ) ) 过 C
1 x
1，
x2 x x 2 4
当 1 1时， (1 1)2 1 取得最大值 2， (1 1)2 1 取得最小值0
x
x2 4
x2 4
2 a 0 结合 a 0，a [2,0)。
指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的凹凸性。
1、指数函数 y a x (a 0, a 1) y e x
② f (x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) ；
③ f (x1 ) f (x2 ) 0; x1 x2
④ f ( x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) .
2
2
当 f (x) lg x 时，上述结论中正确结论的序号
是
.
【详解】
对于①②可以用 f (x) lg x
函数的凹凸性
一、曲线的凹凸性与拐点
一、曲线的凹凸性与拐点
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的形态和性质。
下面
将分别对凹凸性和拐点进行详细介绍。
一、凹凸性
在数学中，一个函数在某一区间上的凹凸性是指函数图像在该区间上是向上凸或向下凸。
几何上，一个曲线在某点处向上凸表明曲线凹向上方，而向下凸则表明曲线凹向下方。
凹凸性的判断方法是通过函数的二阶导数来进行。
如果函数的二阶导数大于零，则函
数在该点处向上凸；反之，如果函数的二阶导数小于零，则函数在该点处向下凸。
函数的图像如果是向上凸的，则可以将其形容为“形如碗状”，反之则形容为“形如
山状”或“钩状”。
在具体的分析中，凹凸性可作为确定函数的最值和极值的重要参考。
二、拐点
拐点是指函数图像上的一点，该点处曲线的凹凸性发生变化。
在拐点之前，函数图像
呈现一种凹凸性，而在拐点之后，则呈现相反的凹凸性。
因此，拐点也被称为凹凸性变化点。
拐点的判断方法是通过函数的二阶导数进行判断。
如果函数在某一点处的二阶导数发
生了从正数变成负数，或从负数变成正数的变化，则该点即为拐点。
在实际分析中，拐点
可用于确定函数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
综上所述，函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的性质和
形态。
凹凸性可以帮助我们更好地理解函数的最值和极值，而拐点则可以帮助我们确定函
数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
在实际运用中，我们应该结合具体问题进行
分析，寻找函数的凹凸性和拐点，以便更好地解决问题。
求函数的凹凸性和拐点
定义法：根据凹函数和凸函数的定义，通过比较函数在某一点的切线与x轴的夹角来判断函数的凹凸性。
导数法：通过求函数的导数，然后判断导数的正负来判断函数的凹凸性。如果函数在某区间的导数大于0， 则函数在此区间内为凹函数；如果导数小于0，则函数在此区间内为凸函数。
二次项系数法：对于形如y=ax^2+bx+c的二次函数，如果a>0，则函数为凹函数；如果a<0，则函数为凸函数。
求函数的凹凸性和拐点需要先 求一阶导数和二阶导数
根据一阶导数和二阶导数的符 号判断函数的凹凸性和拐点
拐点是函数凹凸性改变的点， 需要满足一阶导数等于零且二 阶导数等于零或正负号改变
需要注意函数的定义域和极值 点的判断
汇报人：XX
拐点是函数图像上凹凸性改变的点
拐点处函数的二阶导数变号
添加标题
添加标题
拐点处的一阶导数为零或不存在
添加标题
添加标题
拐点是函数局部性质的重要体现
金融领域：拐点用于预测股票价格的走势 物理研究：拐点用于描述物体运动轨迹的变化点 数学建模：拐点用于优化函数值，解决最优化问题 工程设计：拐点用于调整机械结构，提高稳定性
PART FOUR
确定函数表达式和定义域 求一阶导数和二阶导数 判断一阶导数和二阶导数的正负性，确定凹凸区间 判断二阶导数是否等于零，确定拐点
确定函数的定义域 求一阶导数 令一阶导数等于0，解出x的值 判断二阶导数的符号，确定拐点的性质
函数表达式：f(x)=x^3 凹凸性：在区间(-∞, +∞)上，函数f(x)是凸函数。 拐点：在x=0处，函数f(x)的拐点为(0,0)。 求解过程：通过求导数和二阶导数，确定函数的凹凸性和拐点。
图像法：通过观察函数的图像来判断函数的凹凸性。如果图像在某区间内始终位于x轴的上方或下方，则 函数在此区间内为凹函数或凸函数。
函数的凹凸性与拐点的判定
函数的凹凸性与拐点的判定在微积分中，函数的凹凸性与拐点是非常重要的概念。
凹凸性描述了函数曲线的弯曲情况，而拐点则表示曲线的方向发生改变的点。
凹凸性和拐点的判定对于函数的研究和应用具有重要作用。
本文将介绍函数凹凸性和拐点的概念，并讨论如何判定和应用。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数曲线的弯曲情况。
我们可以通过函数的二阶导数来判断函数的凹凸性。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数，如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)>0，则函数f(x)在区间I上是凹函数；如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)<0，则函数f(x)在区间I上是凸函数。
2. 凹凸点根据函数的凹凸性质，我们可以定义凹凸点。
若对于函数f(x)的定义域I上的某一点x0，存在一个区间(x0-δ,x0+δ)，在该区间内f(x)是凹函数，那么称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凹点；若在区间(x0-δ,x0+δ)内f(x)是凸函数，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凸点。
二、拐点的判定拐点表示函数曲线的方向发生改变的点。
我们可以通过函数的二阶导数来判断拐点。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数。
如果在某一点x0∈I处，f''(x0)=0，并且f''(x0-)和f''(x0+)的符号相反，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个拐点。
2. 拐点的性质拐点具有以下性质：- 在拐点处，函数的凹凸性发生改变，由凸转为凹或由凹转为凸。
- 拐点不一定存在，只有当函数曲线的凹凸性发生改变时，才会有拐点。
- 如果函数曲线有k个拐点，那么至多有k+1个不同的凹凸区间。
三、判定和应用判定函数的凹凸性和拐点的方法可以通过以下步骤进行。
1. 求导数首先，求出函数f(x)的一阶和二阶导数f'(x)和f''(x)。
函数的凹凸性与拐点
课程思政
课程思政：奥运精神 播放视频《谷爱凌自由式滑雪夺冠》
播放视频
曲线的凹凸性正如滑雪运动员在跳台上滑过的优美曲线。北京2022 年冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛，中国选手谷爱凌在最后一跳中 首次跳出了1620的超高难度，夺得金牌！ 赛后，谷爱凌表示，采取超 高难度动作，想要挑战自己，并不是为了赢对手，展示自己的体育精 神。谷爱凌希望自己的精神，让大家能够体会体育精神，做到打破和 突破，成就最好的自己。我们在学习和生活中也应该向她学习不屈不 挠的奥运精神，突破自己，展现自我。
凹的
99
2凹凸性的定理 练习2 求函数y x4的凹凸性
1100
谢谢观看
2凹凸性的定理
定理 设函数 y f (x) 在 (a,b)内有二阶导数。 那么（1）若在 (a,b) 内 f (x) 0，则曲线在 (a,b) 内上凹。 （2）若在 (a,b) 内 f (x) 0，则曲线在 (a,b)内下凹。
7
2凹凸性的定理
拐点：如果点P的两侧，函数的凹凸性不一样，那么 这样的点P叫做函数的拐点。
8
2凹凸性的定理
例2 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及凹、凸的区间
解： D : (,)
y 12x3 令y 0,
12x2 , 得 x1
0,
y x2
36x(x 2. 3
2). 3
x
(,0)
0
(0, 23)
2 3
(
2 3
,)
f (x)
00Biblioteka 拐点拐点f (x)
凹的
0,1 凸的
（2，11） 3 27
曲线的凹凸性与拐点
数学教研室
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函数的凹凸性与拐点
o
y
x0
x
(2) 若 x ( x0 , x0 ) 时, f ( x) 0 ,
x ( x0 , x0 ) 时, f ( x) 0 , o
x0
x
则 x0 为极小值点；
(3) 如果在上述两个区间内 f ( x) 同号,则x0 不是极值点.
极值点是函数单调性发生改变的点, 即为单调区间 的分界点.
f ( x1 x2 )
凹（上2 凹、下凸）
o x1 x1 x2 x2
2
xo
f ( x1 x2 ) 2
y f (x)
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
凸 （下凹、上凸）
x1 x1 x2 x2
x
2
图形上任意弧段位于 所张弦的下方：凹
图形上任意弧段位于 所张弦的上方：凸
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) . f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) .
令y 0,
得
x1
0,
x2
2. 3
3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
2 3
(23 ,)
f ( x)
0
0
f ( x) 拐点
拐点
f (x)的凹区间为(, 0), ( 2 , +)
凸区间为 [0, 2] 3
3
拐点：(0,1)，(2 3 ,1127).
11
例3 求曲线 y (x 1) 3 x2 的凹凸区间与拐点.
y
拐点 非拐点
12
例3 求曲线 y (x 1) 3 x2 的凹凸区间与拐点.
函数的凹凸性与拐点
图1函数的单调性可用函数的一阶导函数来判定，对于同样的递增函数有着不同的增法，如向上凸的增或凹的增，那么对于这两种不同的增法我们如何刻画呢？一、曲线的凹凸与拐点1．曲线的凹凸定义和判定法从图1可以看出曲线弧ABC 在区间()c a ,内是向下凹入的，此时曲线弧ABC 位于该弧上任一点切线的上方；曲线弧CDE 在区间()b c ,内是向上凸起的，此时曲线弧CDE 位于该弧上任一点切线的下方．关于曲线的弯曲方向，我们给出下面的定义：定义1 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的上方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的．例如，图1中曲线弧ABC 在区间()c a ,内是凹的，曲线弧CDE 在区间()b c ,内是凸的． 由图1还可以看出，对于凹的曲线弧，切线的斜率随x 的增大而增大；对于凸的曲线弧，切线的斜率随x 的增大而减小．由于切线的斜率就是函数()x f y =的导数，因此凹的曲线弧，导数是单调增加的，而凸的曲线弧，导数是单调减少的．由此可见，曲线()x f y =的凹凸性可以用导数()x f '的单调性来判定．而()x f '的单调性又可以用它的导数，即()x f y =的二阶导数()x f ''的符号来判定，故曲线()x f y =的凹凸性与()x f ''的符号有关．由此提出了函数曲线的凹凸性判定定理：定理1 设函数()x f y =在()b a ,内具有二阶导数．（1）如果在()b a ,内，()x f ''＞0，那么曲线在()b a ,内是凹的；（2）如果在()b a ,内，()x f ''＜0，那么曲线在()b a ,内是凸的． x y o ()y f x =A B x yo ()y f x =A B图2例１ 判定曲线3x y =的凹凸性．2．拐点的定义和求法定义2 连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点． 定理2(拐点存在的必要条件) 若函数()x f 在0x 处的二阶导数存在,且点()()00,x f x 为曲线()x f y =的拐点,则().00=''x f我们知道由()x f ''的符号可以判定曲线的凹凸．如果()x f ''连续，那么当()x f ''的符号由正变负或由负变正时，必定有一点0x 使()0x f ''＝0．这样，点()()00,x f x 就是曲线的一个拐点．因此，如果()x f y =在区间()b a ,内具有二阶导数，我们就可以按下面的步骤来判定曲线()x f y =的拐点:(1) 确定函数()x f y =的定义域；(2) 求()x f y ''=''；令()x f ''＝0，解出这个方程在区间()b a ,内的实根；(3) 对解出的每一个实根0x ，考察()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号．如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相反，那么点()()00,x f x 就是一个拐点，如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相同，那么点()()00,x f x 就不是拐点．例２ 求曲线233x x y -=的凹凸区间和拐点．解 （1）函数的定义域为()+∞∞-,；（2）()1666,632-=-=''-='x x y x x y ；令0=''y ，得1=x ；（3）列表考察y ''的符号（表中“∪”表示曲线是凹的，“∩” 表示曲线是凸的）： x()1,∞- 1 ()+∞,1 y ''- 0 + 曲线y ∩ 拐点 ()2,1- ∪由上表可知，曲线在()1,∞-内是凸的，在()+∞,1内是凹的；曲线的拐点为()2,1-．例３ 已知点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点，求,a b的值。
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高等数学I 教案
如果恒有
()()222121x f x f x x f +>
⎪⎭⎫
⎝⎛+，
（a ） （b ） 图2
那么称)(x f 在I 上的图形是（向上）凸的（凸弧）。
从图1还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧，其切线的斜率)(x f '随着x 的增大而增大，即)(x f '单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率)(x f '随着x 的增大而减少，即)(x f '单调减少.而函数
)(x f '的单调性又可用它的导数，即)(x f 的二阶导数)(x f ''的符号来判定，故曲线)(x f y =的凹凸
性与)(x f ''的符号有关。
3、曲线凹凸性的判定
定理1 若)(x f 在[]b a ,上连续，()b a ,内具有一阶和二阶导数，那么 (1)若在()b a ,内0)(>''x f ，那么)(x f 在[]b a ,上的图形是凹的； (2)若在()b a ,内0)(<''x f ，那么)(x f 在[]b a ,上的图形是凸的。
例1.判定曲线x y ln =的凹凸性. 解 函数的定义域),0(+∞，而x y 1=',21
x
y -='', 因此曲线x y ln =在),0(+∞内是凸的. 例2.讨论曲线3
x y =的凹凸区间.
解 函数的定义域为),(+∞-∞，2
3x y ='，x y 6=''。
显然，当0>x 时，0<''y ；当0<x 时，0>''y .因此)0,(-∞为曲线的凸区间，),0(+∞为曲线的凹区间。
4、拐点的定义
定义2 连续曲线)(x f 上的凹弧和凸弧的分界点成为这条曲线的拐点。