(整理)函数凹凸性的应用
函数凹凸性在优化问题中的重要性及应用
函数凹凸性在优化问题中的重要性及应用函数的凹凸性在优化问题中的应用极为广泛且重要，它直接关系到优化问题的求解难度、解的性质以及算法的选择。
以下是函数凹凸性在优化问题中的几个关键应用方面：1. 简化问题复杂性●凸优化问题：当优化问题被转化为凸优化问题时，其求解过程大大简化。
凸优化问题具有许多优良性质，如局部最优解即为全局最优解、凸集上的凸函数在任意点都有唯一的次梯度等。
这使得我们可以使用更高效的算法来求解凸优化问题。
●凹函数处理：虽然凹函数在优化问题中不如凸函数常见，但可以通过取反（即将凹函数转化为凸函数）或利用其他技巧来处理。
2. 算法选择与效率●算法适用性：不同的优化算法对函数的凹凸性有不同的要求。
例如，梯度下降法、牛顿法等算法在凸函数上表现良好，因为它们能够保证收敛到全局最优解。
而在非凸函数上，这些算法可能只能找到局部最优解或陷入鞍点。
●收敛速度：在凸优化问题中，许多算法都能保证较快的收敛速度，因为它们能够沿着函数值下降最快的方向前进。
而在非凸问题上，算法的收敛速度可能较慢，甚至不收敛。
3. 解的性质分析●最优解的唯一性：在严格凸函数上，如果存在最优解，则这个最优解是唯一的。
这一性质对于许多实际问题来说非常重要，因为它保证了解决方案的唯一性和确定性。
●解的稳定性：凸优化问题的解通常对输入数据的变化具有较好的稳定性。
这意味着当输入数据发生微小变化时，解的变化也会很小。
这种稳定性对于许多实际应用来说是非常重要的。
4. 约束条件的处理●凸约束集：在优化问题中，如果约束条件构成的集合是凸集，则这些约束条件更容易处理。
凸集上的点满足凸组合的性质，这使得我们可以在保持可行性的同时，通过凸组合来探索解空间。
●凸松弛：对于非凸的约束条件，有时可以通过凸松弛（即将非凸约束替换为更宽松的凸约束）来简化问题。
虽然这种方法可能会扩大可行域并降低解的精度，但它有助于找到问题的近似解或启发式解。
5. 实际应用中的转化●问题重构：在实际应用中，许多非凸优化问题可以通过重构（如变量替换、添加辅助变量、改变问题表述等）转化为凸优化问题。
凸(凹)函数的若干应用
凸函数(convex function) 是一类在某个域内单调递增的函数，即对于函数f(x)，若存在常数a，使得对于任意x1≤x2，都有f(x1)≤a·f(x2)。
凹函数(concave function) 则是在某个域内单调递减的函数，即对于函数f(x)，若存在常数a，使得对于任意x1≤x2，都有f(x1)≥a·f(x2)。
凸函数和凹函数在很多领域都有应用，例如：
1.数学优化：在优化理论中，凸函数的最小值往往是全局最小值，而凹函数的最大值往往
是全局最大值。
因此，凸函数和凹函数在数学优化中有重要作用。
2.计算机科学：在计算机科学中，凸函数和凹函数可用于评估算法的时间复杂度和空间复
杂度。
3.经济学：在经济学中，凸函数常用于表示边际成本(marginal cost) 和边际效用(marginal
utility) 等概念。
4.医学研究：在医学研究中，凸函数和凹函数可用于表示药物的剂量反应关系
(dose-response relationship) 等。
5.统计学：在统计学中，凸函数常用于表示统计模型的拟合情况。
函数的凹凸性在解题中的应用
函数的凹凸性在解题中的应用作者：李慷慨来源：《中学教学参考·理科版》2014年第10期函数的凹凸性是函数的一个重要性质，在各地质检和高考中经常考到函数的凹凸性的应用，若能灵活应用函数的凹凸性，则在解决高中数学有关导数的问题时就能起到事半功倍的效果.本文简单介绍一下函数的凹凸性及其简单应用.一、函数的凹凸性定义：设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1，x2和任意实数λ∈（0，1）总有：f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），则称f为I上的凸函数.反之，如果总有：f（λx1+（1-λ）x2）≥λf（x1）+（1-λ）f（x2），则称f为I上的凹函数.定理1 f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意三点x1f（x2）-f（x1）x2-x1≤f（x3）-f（x2）x3-x2.f为I上的凹函数的充要条件是：对于I上的任意三点x1f（x2）-f（x1）x2-x1≥f（x3）-f（x2）x3-x2.定理2 f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意两点x1≠x2，总有：f（x1）+f（x2）2≥ff（x1+x2）2.f为I上的凹函数的充要条件是：对于I上的任意两点x1≠x2，总有：f（x1）+f（x2）2≤ff（x1+x2）2.定理3 设f为区间I上的二阶可导函数，则在I上f为凸（凹）函数的充要条件是：f″（x）≥0（f″（x）≤0） x∈I.二、函数的凹凸性在解题中的应用【例1】（2013年蚌埠二质检第15题）已知点A（x1，x21），B（x2，x22）是函数y=x2的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方，因此有结论x21+x222>（x1+x22）2成立.运用类比思想方法可知，若点A（x1，lgx1），B（x2，lgx2）是函数y=lgx（x∈（0，+∞））的图像上的不同两点，则类似地有成立.分析：本题考查类比推理及函数的凹凸性，主要要求学生能理解题目给出的已知条件或教师在平时的教学中渗透函数的凹凸性的相关内容.根据题意和函数的凹凸性易知答案为lgx1+lgx22【例2】（2012年蚌埠一质检第21题）已知函数f（x）=2x+alnx（a∈R）.（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）的最小值为φ（a），求φ（a）的最大值；（3）若函数f（x）的最小值为φ（a），m、n为φ（a）定义域A内的任意两个值，试比较φ（m）+φ（n）2与φ（m+n2）的大小.（责任编辑钟伟芳）。
函数的凹凸性在不等式证明中的应用
函数的凹凸性在不等式证明中的应用函数的凹凸性是高等数学中的一个重要概念，它描述了函数图像的形状。
具体来说，如果函数的图像在一些区间上是向上凸起的，我们称之为凸函数；如果函数的图像在一些区间上是向下凹陷的，我们称之为凹函数。
在不等式证明中，函数的凹凸性具有很重要的应用。
首先，函数的凹凸性可以帮助我们证明不等式的性质。
假设我们要证明一个不等式，例如a + b ≥ 2√(ab)，其中a、b为非负实数。
我们可以考虑定义函数f(x) = x²，则f(x)是一个凸函数。
由凸函数性质可知，对于任意的实数x₁、x₂，有f(λx₁ + (1 - λ)x₂) ≤ λf(x₁) + (1 -λ)f(x₂)，其中0 ≤ λ ≤ 1、将x₁ = a，x₂ = b代入上述不等式，可得2ab ≤ a² + b²。
再将a² + b²除以2，即可得到a + b ≥ 2√(ab)。
因此，通过证明函数的凹凸性，我们可以得到不等式的性质。
其次，函数的凹凸性还可以帮助我们求解优化问题。
假设我们要在非负实数集合中找到满足一些条件的最大值或最小值。
我们可以先通过求导得到函数的极值点，然后通过函数的凹凸性判断这个极值点是最大值还是最小值。
具体来说，如果函数是凸函数，那么极值点就是最小值；如果函数是凹函数，那么极值点就是最大值。
通过函数的凹凸性，我们可以在优化问题中确定最优解。
此外，函数的凹凸性还可以帮助我们证明不等式的反面。
例如，我们要证明a + b ≥ 2√(ab)，其中a、b为非负实数。
假设我们采用反证法，假设不等式不成立，即a + b < 2√(ab)。
我们可以定义函数f(x) = x - 2√(x)，其中x为非负实数。
我们可以证明函数f(x)是一个凹函数，然后通过证明f(a) + f(b) < 0，来推出假设的不等式不成立。
通过函数的凹凸性，我们可以证明不等式的反面。
总的来说，函数的凹凸性在不等式证明中具有重要的应用。
凹函数与凸函数的性质及应用
凹函数与凸函数的性质及应用函数的凸性和凹性是用来描述函数图像弯曲方向的重要性质。
凸函数和凹函数在形状上有明显的区别，这些区别可以通过函数的导数，特别是二阶导数来刻画。
1.2.凹函数（Concave Function）：o凹函数的图像呈现一种“向下凹”或“向上凸”的形状。
也就是说，如果我们在函数的图像上任意取两点并连接这两点形成一条线段，那么这条线段将始终位于函数图像的上方。
o从数学角度来说，如果一个函数在其定义域内的任意两点x1和x2之间，对于任意实数λ∈(0,1)，都有f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称该函数为凹函数。
o凹函数的二阶导数在其定义域内始终非正，即f''(x) ≤0。
如果二阶导数在某个区间内严格小于零，则称该函数在该区间内是严格凹的。
3.4.凸函数（Convex Function）：o凸函数的图像呈现一种“向上凸”或“向下凹”的形状。
也就是说，如果我们在函数的图像上任意取两点并连接这两点形成一条线段，那么这条线段将始终位于函数图像的下方。
o从数学角度来说，如果一个函数在其定义域内的任意两点x1和x2之间，对于任意实数λ∈(0,1)，都有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称该函数为凸函数。
o凸函数的二阶导数在其定义域内始终非负，即f''(x) ≥0。
如果二阶导数在某个区间内严格大于零，则称该函数在该区间内是严格凸的。
这些性质使得我们能够通过观察函数的二阶导数来判断函数的形状，从而更好地理解函数的性质和行为。
在优化问题、经济学、概率论和统计学等多个领域，凸性和凹性的概念都非常重要，因为它们可以帮助我们分析和解决各种问题。
例如，在优化问题中，凸函数通常比凹函数更容易处理，因为凸函数的最优解通常是全局最优解，而凹函数的最优解则可能是局部最优解。
函数的凹凸性与导数的应用
函数的凹凸性与导数的应用函数的凹凸性是微积分中一个重要的概念，它能够帮助我们研究函数的变化趋势以及优化问题。
而导数则是凹凸性的判定理论和应用的基础。
在本文中，我们将探讨函数的凹凸性与导数的应用，并且通过具体的例子来展示它们的重要性。
一个函数的凹凸性是指它的曲线在某一区间上的形状。
具体而言，如果曲线在某一区间上呈现向上凹的形状，我们称之为函数在该区间上为凹函数；而如果曲线呈现向下凸的形状，则称之为函数在该区间上为凸函数。
要确定函数的凹凸性，我们需要借助导数的概念。
导数是函数变化率的一种度量方式。
在微积分中，我们将导数定义为函数在某点上的斜率，即函数曲线在该点上的切线斜率。
函数的凹凸性与导数的关系十分密切。
具体而言，如果一个函数的导数在某一区间上是递增的，那么该函数在该区间上为凹函数；反之，如果导数在某一区间上是递减的，那么该函数在该区间上为凸函数。
这个结论被称为凹凸性的导数判定法则。
函数的凹凸性在优化问题中有广泛的应用。
例如，在求解最优化问题时，我们希望找到一个函数的极小值或极大值点。
通过研究函数的凹凸性，我们可以根据导数的变化来确定函数的极值点。
具体而言，如果一个函数在某一区间上是凸函数，则函数的极小值点一定发生在该区间的端点或者在导数为零的点上；同样地，如果一个函数在某一区间上为凹函数，则其极大值点也发生在该区间的端点或者在导数为零的点上。
这个方法被称为凹凸性的导数应用。
为了更好地理解凹凸性与导数之间的关系，我们举一个例子。
假设有一家生产公司，它的成本函数为C(x) = 100x + 1000/x，其中x表示生产的数量, C(x)表示成本。
我们希望确定在什么情况下公司的成本最低。
首先，我们需要计算成本函数的导数，即C'(x)。
通过求导的运算，我们得到C'(x) = 100 - 1000/x^2。
然后，我们需要找到导数为零的点，即100 - 1000/x^2 = 0。
解这个方程，我们得到x = 10。
函数凹凸性的应用
函数凹凸性的应用函数凹凸性是指函数在各点处的变化状态，它可以分为凹性和凸性。
当一个函数在该点处凹陷时，表明此函数在此点处减少；而凸起的情况则表明此函数在此点处增加。
函数凹凸性的应用涉及很多领域，其中最重要的应用是最优化问题。
最优化问题是科学家们面对实际问题时所使用的一种算法，它可以帮助我们快速、高效地解决问题。
最优化问题可以用来求解某一特定目标函数的最佳取值点。
例如，如果你想要求解汽车维修成本最小，你可以使用最优化问题来寻找最优的维修方案；如果你想要求解最佳投资组合，你也可以使用最优化问题来寻找最佳的投资组合。
最优化问题的基本原理是，函数的凹凸性可以用来判断函数的变化情况，因此可以用来判断最优取值点。
当函数在某一点处呈凹性时，表明此点处函数变化状态最差，即此点处函数变化量最小，因此它可能是最优取值点。
同理，当函数在某一点处呈凸性时，表明此点处函数变化状态最好，即此点处函数变化量最大，因此它有可能是最优取值点。
函数凹凸性的应用不仅仅是最优化问题，还可以用来分析函数的单调性，即在某一点处函数的变化情况，以及函数的稳定性，即函数的变化状态是否会随着时间的推移而发生变化。
通过分析函数凹凸性，我们还可以推断函数的极值点，即在某一点处函数变化状态最好或最差的点，以及函数的局部极值点，即在某一矩形区域内函数变化状态最好或最差的点。
此外，函数凹凸性的应用还可以用来分析函数的对称性，即函数的变化状态是否会随着参数的变化而发生变化。
函数凹凸性的应用也可以用来分析函数的拐点，即在某一点处函数变化状态由凹性变为凸性或由凸性变为凹性的点。
最后，函数凹凸性的应用还可以用来分析函数的平滑性，即函数的变化状态是否会随着参数的变化而改变，以及函数的连续性，即函数是否在某一点处连续。
总之，函数凹凸性的应用可以用来解决许多实际的问题，为我们快速、高效地解决问题提供了有力的支持。
函数的凸凹性及应用
函数的凸凹性及其应用定义:函数的凸凹性定义：如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ,2x 都有[])()(21)2(2121x f x f x x f +≤+成立，则称)(x f 是下凸（凸）函数(如图1所示)，当且仅当21x x =时等号成立．如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ,2x 都有[])()(21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，则称)(x f 是上凸（凹）函数(如图2所示)，当且仅当21x x =时等号成立．定理1 （Jensen 不等式）若函数()f x 在区间I 是上凸函数，则有不等式：)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≥+++ ;若函数()f x 在区间I 是下凸函数，则有不等式：)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≤+++ ,其中n i q I x i i ,,2,1,0, =>∈；121=+++n q q q ．定理2 若)(x f 是下凸函数，则其对应定义域中的任意n 个点n x x x ,,21恒有：[])()()(1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++ ;类似地，对于上凸函数有：[])()()(1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≥+++ ,当且仅当n x x x === 21时等号成立．定理3：设函数)(x f 在开区间I 上存在二阶导数：(1)若对任意I x ∈，有0)(>''x f ，则)(x f 在I 上为下凸函数; (2)若对任意I x ∈，有0)(<''x f ，则)(x f 在I 上为上凸函数．下面对于一些常用的的函数的凹凸性作一个探讨．（1）对数函数:)10(log ≠>=a a x y a 且若10<<a ，则为下凸函数；若1>a ，则为上凸函数． （2）指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且为下凸函数． （3）三角函数sin (0,)(,23cos (,)(,2222tan (,0)(022y x x x y x x x y x x x πππππππππ=∈∈=∈-∈=∈-∈，是上凸函数;）是下凸函数;，是上凸函数;）是下凸函数;，是上凸函数;，）是下凸函数. （4）二次函数:)0(2≠++=a c bx ax y若0>a ，则为下凸函数；若0<a ，则为上凸函数．（5）反比例函数:)0(≠=k xky当0>k 时: 若)0,(-∞∈x ，则为上凸函数；若),0(+∞∈x ，则为下凸函数． 当0<k 时: 若)0,(-∞∈x ，则为下凸函数；若),0(+∞∈x ，则为上凸函数．（6）双勾函数:)0,0(>>+=b a xbax y当)0,(-∞∈x 时，为上凸函数；当),0(+∞∈x 时，为下凸函数．T1 设()y f x =是(),a b 上的严格凸函数，则对于(),a b 内的任意n 个点12,,,n x x x ，都有()()()()12121n n x x x f f x f x f x n n+++⎛⎫≤+++ ⎪⎝⎭，当且仅当12n x x x ===时等号成立。
(整理)经济学中的函数的凹凸性拟凹拟凸
经济学中函数的凸凹性质问题在现代经济学的讨论中，我们经常遇到凸函数、凹函数以及拟凹函数、拟凸函数等概念，例如生产可能性边界曲线是凹函数，无差异曲线是凸函数等等，但是这些数学名词对于非专业人员来说比较抽象，有的文章或教材采取形象的说法，比如说曲线凸向原点或凹向原点、图形是凸的、上凸函数、下凸函数等等，这样一来，就将严谨的数学概念搞的不伦不类，有的教科书甚至错误地定义了凸性和凹性。
一、关于凸函数与凹函数凹性，凸性，它们都是在凸集范围内定义的，是关于凸集的性质，一个集合中任意两点之间的连线也在该集合中，这样的集合称为凸集合，常用D来表示。
凸和凹具有如下性质：凸性：f（tx+（1-t）y）<= tf(x) +(1-t)f(y) 标准的凸函数是开口向上的。
凹性f（tx+（1-t）y）>= tf(x) +(1-t)f(y) 凹函数是开口向下的D是f(.)的定义域的一个凸子集。
若任意的x, y∈D, λ∈[0, 1]：f(λx+(1-λ)y)≥λf(x)+(1-λ)f(y)，则称f(.)在D上是凹函数（“凸组合的函数值不小于函数值的凸组合”）在n 维空间的凸区域内，(x1, x2,..... Xn)中的两点X=(x1，x2, .........xn ),Y=(y1, y2,.......yn ),设0<λ<1，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] <= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1,y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凸函数；同理，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] >= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1,y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凹函数；n维空间不易理解，举个简单例子：若f(x)在(a,b)有定义，在定义域内取x1,x2，非负数q1,q2，q1+q2=1 ，有f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2)则f(x)在(a,b)内为凸函数。
函数的凹凸性在高考中的应用
函数的凹凸性在高考中的应用函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神．1、凹凸函数定义及几何特征 ⑴引出凹凸函数的定义：如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数，但是)(1x f 与)(2x f 递增方式不同，把形如)(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数.⑵凹凸函数定义:设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有：（1）1212()()()22x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()()()22x x f x f x f ++>，则称f 为（a ，b ）上的凸函数. ⑶凹凸函数的几何特征：图6（凹函数） 图7（凸函数）图4（凹函数） 图5（凸函数） 几何特征1（形状特征）如图4、5，设21,A A 是凹函数y=)(x f 曲线上两点，它们对应的横坐标12x x <，则111(,())A x f x ，222(,())A x f x ，过点122x x +作ox 轴的垂线交函数于A ，交21A A 于B ， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方. 简记为：形状凹下凸上.几何特征2（切线斜率特征）图6、7设21,A A 是曲线y =)(x f 上两点，曲线上1A 与2A 之间任一点A 处切线的斜率： 凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率y =)(x f 随x 增大而增大； 凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y =)(x f 随x 增大而减小. 简记为：斜率凹增凸减. 几何特征3（增量特征）图8（凹函数） 图9（凸函数） 图10（凹函数） 图11（凸函数） 设函数g (x )为凹函数，函数f (x )为凸函数，其函数图象如图8、9所示，由图10、11可知，当自变量x 逐次增加一个单位增量Δx 时，函数g (x )的相应增量123,,,y y y ∆∆∆…越来越大；函数f (x )的相应增量123,,,y y y ∆∆∆…越来越小；由此，对x 的每一个单位增量Δx ，函数ｙ的对应增量i y ∆（1,2,3,i =…） 凹函数的增量特征是：Δｙｉ越来越大；凸函数的增量特征是：Δｙｉ越来越小； 简记为：增量凹大凸小.弄清了上述凹凸函数及其图象的本质区别和变化的规律，就可准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题． 函数凹凸性的应用应用1 凹凸曲线问题的求法例1：一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图12所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h 时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝f (h )的大致图象可能是图13中的解：据四个选项提供的信息（ｈ从Ｏ→Ｈ），我们可将水“流出”设想成“流入”，这样，每当ｈ增加一个单位增量Δｈ时，根据鱼缸形状可知V 的变化开始其增量越来越大，但经过中截面后则越来越小，故Ｖ关于ｈ的函数图象是先凹后凸的，因此，选Ｂ．例2:向高为Ｈ的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深ｈ的函数关系的图象如图14所示，那么水瓶的形状是（图15中的）（ ）．（1998年全国高考题）解：因为容器中总的水量（即注水量）V 关于ｈ的函数图象是凸的，即每当ｈ增加一个单位增量Δｈ，V 的相应增量ΔＶ越来越小．这说明容器的上升的液面越来越小，故选Ｂ． 例3:在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如图16所示．现给出下面说法：①前5分钟温度增加的速度越来越快； ②前5分钟温度增加的速度越来越慢； ③5分钟以后温度保持匀速增加； ④5分钟以后温度保持不变． 其中正确的说法是（ ）．Ａ．①④ Ｂ．②④ Ｃ．②③ Ｄ．①③ 解：因为温度ｙ关于时间ｔ的图象是先凸后平行直线，即5分钟前每当ｔ增加一个单位增量Δｔ，则ｙ相应的增量Δｙ越来越小，而5分钟后是ｙ关于ｔ的增量保持为0，故选Ｂ．注：本题也选自《中学数学教学参考》2001年第1～2 合期的《试题集绵》，用了增量法就反成了“看图说画”．例4:（06重庆 理）如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ，f(x)表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是（ ）A B图17解：易得弓形A x B的面积的2倍为f(x)= x -sin x．由于y１＝x是直线，每当x增加一个单位增量Δx，y１的对应增量Δy不变；而y２＝sin x是正弦曲线，在［0，π］上是凸的，在［π，2π］上是凹的，故每当ｘ增加一个单位增量Δx时，y２对应的增量ｉ（ｉ=1，2，3，…）在［0，π］上越来越小，在［π，2π］上是越来越大，故当x增加一个单位增量Δx时，对应的f(x)的变化，在x∈［0，π］上其增量Δf(x)ｉ（ｉ＝1，2，3，…）越来越大，在x∈［π，2π］上，其增量Δf(x)ｉ则越来越小，故f(x)关于ｘ的函数图象，开始时在［0，π］上是凹的，后来在［π，2π］上是凸的，故选D．例5（07 江西）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（）图18A．h2＞h1＞h4B．h1＞h2＞h3C．h3＞h2＞h4D．h2＞h4＞h1解：设内空高度为H, 剩余酒的高度关于酒杯中酒的体积函数从左到右依次为V1（h）、V2（h）、V3(h)、V4（h），根据酒杯的形状可知函数V1（h）、V2（h）、V4（h）的图象可为图19因为函数V1（h）、V2（h）为凹函数, V1（h）当h从Ｏ→H，Δh增加一个单位增量，ΔVｉ（ｉ＝1，2，3，…）增大，则h1> 0.5H =h4；同理V2（h）当h从Ｏ→H，Δh增加一个单位增量，ΔVｉ（ｉ＝1，2，3，…）增大，则h2> 0.5H =h4；所以h1> h4、h2> h4；由V1（h）、V2（h）图象可知，h从H→h2，ΔV1（h）>ΔV2（h）,而0.5 V1（h）>ΔV1（h）,ΔV2（h）=0.5 V2（h）,则当ΔV1（h）=0.5 V1（h）时h1> h2，所以答案为A.例6 (2005·湖北卷) 在y=2x, y=log2x, y=x2, y=cos2x这四个函数中,当0<x1<x2<1时,恒成立的函数的个数是().A.0B.1C.2D.3分析：运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x1,x2∈I,且x1<x2,当f(x)总满足时,函数f(x)在区间I上的图象是“上凸”的,由此否定y=2x,y=x2,y=cos2x，应选B。
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函数凹凸性的应用什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性.如函数y =所表示的曲线是向上凸的,而2y x =所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看,若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方.如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？设函数()f x 在区间I上是凸的（向下凸）,任意1x ,2x I∈（12x x <）.曲线()y f x =上任意两点11(,())A x f x ,11(,())B x f x 之间的图象位于弦AB 的下方,即任意12(,)x x x ∈,()f x 的值小于或等于弦AB 在x 点的函数值,弦AB 的方程211121()()()()f x f x y x x f x x x -=-+-.对任意12(,)x x x ∈有,整理得21122121()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤+--.令221()x x t x x -=-,则有01t <<,且12(1)x tx t x =+-,易得1211x x tx x -=--,上式可写成1212[(1)]()(1)()f tx t x tf x t f x +-≤+-1.1凸凹函数的定义凸性也是函数变化的重要性质。
通常把函数图像向上凸或向下凸的性质，叫做函数的凸性。
图像向下凸的函数叫做凸函数，图像向上凸的函数叫做凹函数。
设[]()()()()()211212:,,,0,1,11f I R I f ff x x x x x x λλλλλ→∀∈∀∈+-≤+-若不等式成立，（1）则称f为I 上的凸函数。
若()120,1,,x x λ∀∈≠()()()()()121211f f f x x x x λλλλ+-+-不等式 （2）则称f 为I 上的严格凸函数。
若（1）与（2）式中的不等式符号反向，则分别称f 为I 上的凹函数与严格凹函数。
显然，f 为I 上的（严格）凸函数f ⇔-是（严格）凸的。
因此，只要研究凸函数的性质与判别法，就不难得到凹函数的相应的判别法。
直接用定义来判别函数的凸性是比较困难的，下面的等价命题可以提供给我们判别函数凸凹性的一些依据： 若()[],,f x C a b ∈在(),a b 内二次可微，则下面关于凹函数的四个命题等价：1.[]()()()()()211212:,,,0,1,11f I R I f ff x x x x x x λλλλλ→∀∈∀∈+-≤+-若不等式成立。
其几何意义是“现在曲线的上方”; 2.()()()()[]0,,,f x fa b f x x x x x *≥+-∀∈其几何意义是“切线在曲线的下方”； 3. ()[],a b f x *在上单调递增； 4.()0f x **≥定义2 设曲线y ＝f(x)在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点.必须指出；若(00,()x f x )是曲线y=f （x)的一个拐点,y ＝f(x)在点0x 的导数不一定存在,如y =x ＝0的情形. 1.2 凸函数的特征引理 f 为I 上的凸函数⇔对于I 上任意三点123x x x <<总有：32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- (3)()f x 严格凸函数⇔上式严格不等式成立.证 ⇒记3231x x x x λ-=-,则01λ<<及213(1)x x x λλ=+-, 由f的凸性知213()()(1)()f x f x f x λλ≤+-3221133131()()x x x xf x f x x x x x --=+--(4) 从而有312321213()()()()()()x x f x x x f x x x f x -≤-+-即 322212321213()()()()()()()()x x f x x x f x x x f x x x f x -+-≤-+-整理即得(3)式.⇐13,x x I ∀∈13()x x <,(0,1)λ∀∈记213(1)x x x λλ=+-,则123x x x <<,3221x x x x λ-=-由必要性的推导步骤可逆,从(3)式便得(4)式.故f为凸函数.同理便知,曲线上首尾相连的线,其斜率是递增的,即123,,x x x I ∀∈,123x x x <<,有31212131()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--()f x 严格凸函数⇔上式严格不等式成立.定理 设为开区间上的凸函数．若则在上满足利普希茨条件,且在上连续．证明 (证明开区间上的凸函数必为连续函数)当取定后,由为开区间,必可选取中的四点满足：．如图所示,再在中任取两点. 应用引理得到．令,则,．显然,上述 L 与中的点无关, 故在上的每个内闭区间上满足利普希茨条件．由此容易推知在上连续,再由在上的任意性,又可推知在上处处连续．如果f 是I 上的可导函数,则进一步有： 1.3、凸函数与导数的关系定理1（可导函数为凸函数的等价命题） 设f 为区间I 上的可导函数,则下述论断互相等价：（1）f 为I 上的凸函数；（2）f '为I 上的增函数；（3）对I 上的任意两点12,x x 总有 21121()()()()f x f x f x x x '≥+-证 (i)(ii),并取,使据定理3.12,有由可微,当时,对上述不等式取极限后,得到．所以是上的递增函数．(ii)(iii)由微分中值定理和递增,便可证得当时,也有相同结论．(iii)(i),并记,则有,由(iii)可得.注 定理中(iii)的几何意义如下图所示:曲线上任意一点处的切线恒位于曲线的下方在为可微的前提条件下,常用上述切线与曲线的位置关系(iii)来表述凸函数．但是在没有可微条件假设时,凸函数只能用曲线与其任一弦的位置关系(定义1)来定义．如果f 在I 上二阶可导,则进一步有：定理2（凸函数与二阶导数的关系） 设f 为I 上的二阶可导函数,则在I 上f 为凸（凹）函数⇔()0f x ''>（()0f x ''<）,x I ∈.f为严格凸⇔1）()0f x ''≥；2）()f x ''不在I上的任一子区间上恒为零.此定理说明：f为严格凸,则曲线中不含有直线段（()0f x ''=）.对于凹函数情形,也有类似的定理（因为f凸,则f-凹）.可导函数f有如下相互等价的论断： 1）f为I 上凹函数.2）123,,x x x I ∀∈,123x x x <<有32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≥--.即割线斜率递减.3）()f x '为I 上递减函数.4）0x I∀∈,有000()()()()f x f x f x x x '≤+-,x I ∈.当f 在I 上二阶可导时,下述论断与1）,2）,3）,4）相等价. 5）在I 上()0f x ''≤.对严格凹的情形可类似得出等价论断.二、拐点定义2 设曲线y ＝f(x)在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点.（即为曲线凹凸部分的分界点）必须指出；若(00,()x f x )是曲线y=f （x)的一个拐点,y ＝f(x)在点0x 的导数不一定存在,如y =x ＝0的情形.定理3（拐点必要条件） 若f 在0x 二阶可导,则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点的必要条件是0()0f x ''=.综上知：(00,()x f x )的拐点,则要么（1）0()0f x ''=；要么（2）f 在0x 点不可导.定理4 设f 在点0x 可导,在某邻域0()U x 内二阶可导,若在0()U x +和0()U x -上()f x ''的符号相反,则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点.例1 讨论函数()arctan f x x =的凸性与拐点.解222()(1)x f x x ''=-+,因而当0x ≤时,()0f x ''≥；当0x ≥时,()0f x ''≤,从而函数f 为(,0]-∞上的凸函数,在[0,)+∞上为凹函数.而()f x 在原点连续,故原点为曲线()y f x =的拐点例2 若f在(,)a b 内可导、凸（凹）函数,则0(,)x a b ∈为f的极小（大）值点⇔0()0f x '=.即x 为f的稳定点.证 ⇒）费马定理.⇐）因f凸,故(,)x a b ∀∈有000()()()()f x f x f x x x '≥+-.因0()0f x '=,故(,)x a b ∀∈总有0()()f x f x ≥.即0x 为f的极小值点.例3 设f在开区间I 上为凸（凹）函数,证明f在开区间I 内任一点x 都存在左、右导数.证 只证凸函数f在x 存在右导数,其它情形同理可证.令120h h <<,记101x x h =+,202x x h =+,则012x x x <<（取2||h 充分小使02x h I+∈）,由(3)'式得：01002012()()()()f x h f x f x h f x h h +-+-≤记00()()()f x h f x F h h +-=(0)h > 则有21()()F h F h ≤即()F h 为单调递增函数.取4x I∈且40x x ≤,则040004()()()()f x f x f x h f x x x h -+-≤-,从而()F h 递增有下界,从而0lim ()h F h +→存在,即0()f x +'存在.注 对区间端点,左、右导数可能存在,也可能为∞.由第五章§1习题10知（若f在x 的左、右导数都存在,则f在x 连续）,若f在为开区间(,)a b 内的凸（凹）函数,则f为(,)a b 内的连续函数.（但不一定可导,如()||f x x =）三．凸凹性的应用了解函数凸凹性的判别依据后，我们更在乎在应用领域，它所发挥的重要而广泛的价值。