函数凹凸性判别法与应用
函数凹凸性判别法与应用
作者：祝红丽 指导老师：邢抱花
摘要 函数的凹凸性是函数的重要性质之一.它反映在函数图象上就是曲线的弯曲方向，通过
它可以较好地掌握函数对应曲线的性状.本文基于函数凹凸性概念的分析，着重探讨了函数凹凸性的判别方法以及在解题中的应用，如在不等式证明中的应用以及在求函数最值时的应用等.并结合相关例题做了较详细的论述.
关键词 凹凸性 导数 不等式 应用
1 引言
函数的凹凸理论在高等数学中占有重要地位.函数的凹凸性揭示了函数的因变量随自变量变化而变化的快慢程度，如果结合函数的其它性质，可以使我们对函数的认识更加精确.以函数()y f x =在某区间I 上单调增加为例说明.我们不难理解，随着自变量x 的稳定增加，当函数y 的增量越来越大时，函数图形是凹的，当函数y 的增量越来越小时，函数图形是凸的，当函数y 的增量保持不变时，函数图象是直线，对于减函数我们可以作类似的分析.
作为研究分析函数的工具和方法，它在许多学科里有着重要的应用.长期以来，很多学者致力于函数凹凸性的判别法及其应用的研究.近年来，关于函数凹凸性的判定与应用的研究取得了一些成果，使函数凹凸性的判别法与应用更加的广泛.
本文先从两个具体的函数图象为出发点，直观上观察函数图象的弯曲方向，从而引出函数凹凸性的概念和拐点的定义.并在此基础上介绍了凹凸函数的几何特征，接着介绍函数凹凸性的几种判别方法，如：用定义去判别函数的凹凸性，利用二阶导函数判别函数的凹凸性，及利用函数凹凸性的判定定理判别函数的凹凸性.其中利用函数凹凸性的概念是最基本的判别方法，利用二阶导函数与函数凹凸性之间的关系是最常用的判别方法.最后举例介绍了函数凹凸性在证明不等式、求函数最值以及函数作图中的应用.虽然说并不是所有的不等式都能利用函数的凹凸性证明，但是利用函数的凹凸性去证明某些不等式，是其它方法不可替代的.利用函数凹凸性证明不等式丰富了不等式的证明方法，开阔了解题思路.利用导数分析函数的上升、下降，图形的凹凸性和极值.根据对这些的讨论可以帮助我们画出用公式表示的函数图形,了解函数的凹凸性能够使对函数图形的描绘更加精确化.
2 凹凸函数及拐点的定义
我们已经熟悉函数2
y x =和lg y x =的图象.
X
它们的不同之处是：曲线2
y x =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲线
lg y x =则相反，任意两点间的弧段总在这两点连线的上方.我们把具有前一种特性的曲线
称为凹的，相应的函数称为凹函数；后一种曲线称为凸的，相应的函数成为凸函数.函数凹凸性的分析定义形式较多，下面给出函数凹凸性定义的更一般的形式.
2.1函数凹凸性的定义
定义 设函数()f x 在区间I 上连续，若对I 上的任意两点1x ，2x 和任意实数
(0,1)λ∈,总有: 1212[)]()(1)()f x x f x f x λλλλ≤+-+(1-, 则称f 为I 上的凹函数.
反之，如果总有:1212[)]()(1)()f x x f x f x λλλλ≥+-+(1-,则称f 为I 上的凸函数. 特别地，当λ=
12时，满足121211
()()()222
x x f f x f x +≤+的函数为凹函数，满足121211
()()()222
x x f f x f x +≥+的函数为凸函数.
如果定义中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凹函数和严格凸函数.
2.2 凹函数与凸函数的几何意义
定义中凹函数与凸函数的图象如图1、图2.
图1 图2
凹函数（凸函数）的几何意义：连接曲线()y f x =上任意两点的弦总位于对应曲线的上方（下方）.
2.3 拐点的定义
设曲线()y f x =在点0,0(())x f x 处有穿过曲线的切线.且在切点近旁，曲线的切线的两侧分别是严格凹和严格凸的，这时称点0,0(())x f x 为曲线()y f x =的拐点.
由定义可见，对于具有凹凸性的函数而言，拐点正是函数的凹凸性发生改变的那一点，即拐点的两侧邻域有着互异的严格凹凸性.如下图中的M 点.
严格地说，拐点都是平面光滑曲线（即切线连续变动的曲线）弯曲方向发生改变的转折点，拐点的几何特征是该点的切线不是在曲线的一侧“托着曲线”而是切线在切点处把曲线一分为二，分别在切线的两侧.
易知，有正弦曲线的图象可知sin y x =有拐点(,0)k π ，k 为整数.
2.4 拐点的判别法
(1)若()f x 在0x 处连续，在0x 两侧()''f x 反号，则()()00,x f x 是曲线()y f x =的拐
点.
(2)若()''00f x =，()(3)00f x ≠，则()()00,x f x 是()y f x =的拐点.
例题1 求下列函数的拐点 ()1()()
2
211x
f x x =+
-； ()2 ()3
f x x =.
解 ()1()()
()
'
3
211x f
x x -+=
-，()()
()
''
2
421x f
x x +=
- ，
当()()2,11,x ∈-?+∞时，()''
0f
x >；
当(),2x ∈-∞-时，()''
0f
x < ，又()529
f -=
, 所以点52,9??- ???
是函数的拐点.
()2()'23f x x =，()''6f x x =，()'''6f x =，()''00f =，()'''00f ≠，所以点()0,0是
函数的拐点.
注意：函数的拐点只是表示在该点的两侧函数具有不同的严格凹凸性，而不能只依靠判断二阶导数是否为零来确定函数的拐点.对于二阶导数不存在的点0x ，检查''
()f x 在0x 左右两侧邻近的符号，那么当两侧邻近的符号相反时，点00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点，当两侧的符号相同时，点00(,())x f x 不是曲线()y f x =的拐点函数的拐点.因此函数的拐点
与二次导数是否存在没有必然的联系.例如：1
()f x x x
=+
在0x =时的情况.易知''32()f x x
=
，()f x 在0x =处的二阶导数不存在，但是当0x <时，''
()0f x <，当0x >时，''
()0f x >，所以0x =是()f x 的一个拐点.
3 函数凹凸性的判别法
观察函数图象，我们很容易得出结论：凹函数的一阶导数是不断变大的，而凸函数的一阶导数则恰恰相反.这是我们通过观察几何图形进行直观的感知得到的结论，但是人的观察不可避免的存在着一定的局限性，只有通过严密的证明得到的结论才能使人信服.迄今为止，判别函数的凹凸性已经有很多的方法.
3.1 定义法判别函数的凹凸性
用定义法去判别函数的凹凸性是最基本的判定方法，也是其它判定方法的基础.所以对定义的理解和掌握是至关重要的.
例题2 f ，g 均为I 上的连续函数，证明： (1)若f ，g 均为凹函数，则g f +为凹函数； (2)若f ，g 均为递增非负凹函数，则g f ?为凹函数. 证明 设任意的1x ，2x I ∈，(0,1)λ∈，
(1)、因为f ，g 均为凹函数，所以由定义知：1212[)]()(1)()f x x f x f x λλλλ≤+-+(1-和1212[)]()(1)()g x x g x g x λλλλ≤+-+(1-.
两式相加：
12[)]f x x λλ+(1-+12[)]g x x λλ+(1-≤12()(1)()f x f x λλ+-+12()(1)()g x g x λλ+-,
即：1212()[)]()()(1)()()f g x x f g x f g x λλλλ+≤++-++(1-， 所以f g +为凹函数.
(2)、由题题意得：121212()[)][)][)]f g x x f x x g x x λλλλλλ?=?+(1-+(1-+(1-
1212[()(1)()][()(1)()]f x f x g x g x λλλλ≤+-?+-
221122()()(1)()()f x g x f x g x λλ=+-1122(1)[()()()()]f x g x f x g x λλ+-+.
下面只要证明：
221122()()(1)()()f x g x f x g x λλ+-1122(1)[()()()()]f x g x f x g x λλ+-+
12()()(1)()()f g x f g x λλ≤?+-?即可.
采用做差法比较两者的大小：
221122()()(1)()()f x g x f x g x λλ+-1122(1)[()()()()]f x g x f x g x λλ+-+
-12()()(1)()()f g x f g x λλ?+-?=1212(1)[()()][()()]f x f x g x g x λλ----0≤.
综上所述，可得1212()[(1)]()()(1)()()f g x x f g x f g x λλλλ?+-≤?+-?. 所以f g ?是凹函数.
例3 ()f x 为区间I 上的可导函数，证明：若对于I 上的任意两点1x ，2x ，有
'21121()()()()f x f x f x x x ≥+-， 则()f x 为I 上的凹函数.
证明 设以1x ，2x 为I 上任意两点，12(1)x x x λλ=+- ， 01λ<< .
由'
21121()()()()f x f x f x x x ≥+-， 并利用112(1)()x x x x λ-=--与221()x x x x λ-=-，
''1112()()()()()(1)()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+--. ''2221()()()()()()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+-.
分别用λ与1λ-上列两式并相加，得到：
1212()(1)()()[(1)]f x f x f x f x x λλλλ+-≥=+-.
所以()f x 为I 上的凹函数.
3.2 函数凹凸性的判定定理
定理 ()f x 为I 上的函数，若对于I 上的任意三点123x x x <<，总有：
32212132
()()
()()f x f x f x f x x x x x --≤-- ， 则()f x 为I 上的凹函数.
证明 在I 上任取两点13,x x 13()x x <，在13[,]x x 上任取一点
213(1),(0,1)x x x λλλ=+-∈，则，3231x x x x λ-=
-，21
31
1x x x x λ--=- ， 因为
32212132
()()
()()f x f x f x f x x x x x --≤-- ，所以有：
322212321213()()()()()()()()x x f x x x f x x x f x x x f x -+-≤-+-.
所以有，312321213()()()()()()x x f x x x f x x x f x -≤-+- ，因为 310x x ->，
所以不等式两边同时除以31()x x -有：32212133131
()()()x x x x
f x f x f x x x x x --≤
+--.
即213()()(1)()f x f x f x λλ≤+-又213()[(1)]f x f x x λλ=+-. 所以1313[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-. 所以()f x 为I 上的凹函数.
例题4 设()f x 为区间I 上的函数，若对于0
0,x I ?∈?实数a ，使得x I ?∈，有
00()()()f x a x x f x ≥-+， 证明：()f x 为区间I 上的凹函数.
证明 设123x x x <<是区间I 上任意三点，由已知条件，对于2x ，存在实数a ，使得，
22()()()f x a x x f x ≥-+， ()x I ?∈.
令1x x = ， 有1122()()()f x a x x f x ≥-+，得到
1212
()()
f x f x a x x -≤-.
再令3x x =， 有3322()()()f x a x x f x ≥-+ ，得到
3232
()()
f x f x a x x -≥-.
综上所述，
32123212
()()()()
f x f x f x f x a x x x x --≥≥-- ，所以()f x 为区间I 上的凹函数.
3.3 函数凹凸性的充要条件
充要条件 设函数()y f x =在I 上连续，在I 内具有一阶和二阶导数，那么，
(1)若在I 内恒有''()0f x ≥，则()f x 在I 上的图形是凹的； (2)若在I 内恒有''()0f x ≤，则()f x 在I 上的图形是凸的.
注意：若在区间I 内的某一子区间上''
()0f x ≡，则()y f x =在该子区间上的图形是一段直线，该子区间既非凹区间也非凸区间.
证明 （1）充分性：因为''()0f x ≥，所以'
f 为I 上的增函数，设任意的1x ，2x ∈I ，在以1x ，2x （不妨设12x x <）为端点的区间上，由拉格朗日中值定理和'
f 为I 上的增函数，可得：'
'
2121121()()()()()()f x f x f x x f x x x ξ-=-≥-，即对I 上的任意两点1x ，2x ， 有：'
21121()()()()f x f x f x x x ≥+-.
令312(1)x x x λλ=+-，01λ<<，有，1312(1)()x x x x λ-=--；2321()x x x x λ-=-； 所以，'
'
133133123()()()()()(1)()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+--.
''233233213()()()()()()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+-.
以上两个不等式的两端分别乘以λ与(1)λ-并相加得：
12312()(1)()()[(1)]f x f x f x f x x λλλλ+-≥=+-.
即()f x 在I 是凹函数；
必要性：任取I 上两点()1212,x x x x <及充分小的正数h .由于
1122x h x x x h -<<<+，根据()f x 是凹函数及函数凹凸性的判定定理有： ()()
()()()()
11212221
f x f x h f x f x f x h f x h
x x h
---+-≤
≤
-.
由于()f x 是可导函数，令0h +
→时可得()()()()21''1221
f x f x f x f x x x -≤
≤-.
所以()'
f
x 为I 上的增函数，所以在I 内恒有''()0f x ≥.
（2）''
()0f x ≤的情况类似的可以证明.
例题5 求曲线3
()(12ln 10)f x x x =-的凹凸区间及拐点.
解 函数的定义域为(0,)+∞，又'
2
2
()36ln 18f x x x x =-，''
()72ln f x x x =， 令''
()0f x =，即72ln 0x x =，得到1x =，点1x =把定义域分成两个部分即(0,1]与[1,)∞.在各部分区间内'
()f x 与''
()f x 的符号，相应曲段弧的升降及凹凸、拐点等，如下图表：
可得：在(0,1]内，''
()0f x ≤，因此是曲线的凸区间.
在[1,)∞内，''
()0f x ≥，因此是曲线的凹区间. 所以：点(1,10)-是曲线的拐点.
小结：求曲线凹凸区间及拐点的步骤：首先找出可能是拐点的横坐标（包括使二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点），再利用二阶导数的符号判断该曲线的凹凸区间及拐点.
4 函数凹凸性的应用
函数凹凸性的应用及其广泛，很多与函数、不等式交汇的综合问题都可以利用函数的凹凸性加以解决.利用函数的凹凸性去解决问题，往往能够使某些复杂的问题简单化.接下来，我们重点讨论函数凹凸性在不等式的证明、求函数最值以及函数作图等中的应用.
4.1 函数凹凸性在证明不等式中的应用
有些不等式的表达形式很简单，但如果通过常规的证明方法和技巧却很难达到预期的效果，这就需要我们另辟蹊径，寻找更有效的方法技巧，利用凹凸函数的性质不但可以减少计算量，使解题更加合理，而且借助凹凸函数的几何特征可以使解题思路更加清晰直观.
4.1.1 利用函数的凹凸性证明一个重要的不等式
定理 如果()f x 是凸函数?对12,,[0,1]n ???????∈，满足121n ?+?+???+?=，都
有11221122()()()()n n n n f x x x f x f x f x ?+?+???+?≥?+?+???+?. 特别地，当121
n n
?=?=???=?=
时，上述不等式称为琴生（Jensen ）不等式. 例题 6 任意n 个非负实数的调和平均值小于或等于它们的几何平均值小于或等于他们的算数平均值.即：0i x ?≥，(1,2,,)i n =???， 恒有：
1212111n
n
x x x n n
x x x ++???+≤≤
++???+.
当且仅当12n x x x ==???=时等号成立.
证明 考虑函数ln y x =，很容易判断出其是凸函数，有琴生（Jensen ）不等式得到：
1212121111
ln
ln ln ln ln()n n n x x x x x x x x x n n n n n ++???+≥++???+=???=.
即：12ln n
x x x n
++???+
≥ln y x =在定义域上是单调递增的.
12n
x x x n ++???+≤，当且仅当12n a a a ==???=时等号成立.
另一方面，
ln
12111n
n x x x ++???+=
1
2111
ln n
x x x n
++???+-121111(ln ln ln )
n
n x x x ≤-++???
+=
即：12ln
111n
n x x x ≤++???+又ln y x =在定义域上是单调递增的.
所以有：
12111
n
n x x x ≤++???+12n a a a ==???=时等号成立.
综上所述有：
1212111
n
n
x x x n
n
x x x ++???+≤++???+.
当且仅当12n a a a ==???=时等号成立.
注意：利用函数的凹凸性证明不等式时，一定要注意构造或者引进我们所需要的辅助函数，使条件和结论、已知与未知建立联系.
4.1.2 凹凸函数不等式的积分形式
定理 设()f x 是[,]a b 上的可积函数且()m f x M ≤≤，()t ?是[,]m M 上的连续凸
函数，则：11(())[()]b b
a a
f x dx f x dx b a b a ??≥--??（如果()t ?是凹函数，则不等式反向）.
例题7 设()f x 为[,]a b 上的正值连续函数，
证明：
11ln ()ln ()b b
a a f x dx f x dx
b a b a
≤--??. 证明 令()ln t t ?=，由上述定理得：
11(())ln ()b b a a f x dx f x dx b a b a ?=--?? ≥1ln ()b
a
f x dx b a -?.即得证. 例题8设()f x 在[0,1]上连续可导，'
()0,()0f x f x ≥≤.若0
()()x
F x f t dt =?，证明：
1
(1)()2(),(0,1)xF F x F t dt x ≤≤∈?.
证明 由0
()()x
F x f t dt =
?
，可得'()()F x f x =，进而得到'''()()F x f x =，所以
''()0F x ≤.由函数凹凸性的充要条件知()F x 为凸函数.
所以有：[1(1)0](1)(1)(0)F x x x F x F ?+-?≥?+-.
又(0)0F =，所以()(1)F x x F ≥?.
另一方面，由Hadamard 不等式：设函数()f x 是[,]a b 上连续的凸函数，对任意的
12,[,],x x a b ∈12x x < ，有：
21121221()()1(
)()22x x x x f x f x f f t dt x x ++≥≥-?，得101(0)(1)
()102
F F F t dt +≥-?. 即：
1
(1)()2
F F t dt ≥
?
，又'
()()0F x f x =≥，所以()F x 在[0,1]为单调增函数，所以有： (1)()
22
F F x ≥
， 即102()()F t dt F x ≥?.综上所述， 即有： 1
(1)()2(),(0,1)xF F x F t dt x ≤≤∈?.
小结：利用函数凹凸性证明不等式虽然有一定的局限性，但是它却能够避免一些繁杂的
解题过程，大大的简化解题步骤，是其它方法不能达到的.利用函数凹凸性证明不等式的解题关键是构造合适的辅助函数，能够使问题和已知的条件联系起来，只有这样才能达到预期的效果.
4.2 函数凹凸性在求函数最值中的应用
通过观察不等式的证明，我们可以发现，如果不等式的一边是常数的话，那么不等式的证明就演变成了求函数的最值问题，我们就可以利用函数的凹凸性来求函数的最值，从而就可以避免繁杂的化简、转化、变形等过程.若能够灵活运用函数的凹凸性解题，可达到事半功倍的效果.
例题9 设0(1,2,)k x k n >=???，试求 1212222
()(
)n n
x x x x x x ++???++???+的最小值. 解析 如果采用一般的解题方法，我们就会发现很难找到问题的突破口，但是如果我们
采用函数的凹凸性去思考，再结合着题目的表达形式，就很容易联想到琴生（Jensen ）不等式，问题就迎刃而解了.
解 设2()f x x =
，则'22()f x x =-，''
44()0x f x x =>.所以()f x 为凹函数，由琴生（Jensen ）不等式12121
()[()()()]n n x x x f f x f x f x n n
++???≤++???+，得：
121221222
()n n
n x x x n x x x ≤++???+++???.
化简整理得：1212222
()(
)n n
x x x x x x ++???++???+22n ≥， 所以1212222
()(
)n n
x x x x x x ++???++???+的最小值为22n . 例题10 设函数()f x 为[,]a b 上的凸函数，则求()f x 在闭区间[,]a b 上的最值. 解 对于任意的[,]x a b ∈，取b x
b a
λ-=
-，（[0,1]λ∈），所以有(1)x a b λλ=+-. 进而有()[(1)]f x f a b λλ=+-，又()f x 为[,]a b 上的凸函数所以有：
()[(1)]()(1)()min{(),()}f x f a b f a f b f a f b λλλλ=+-≥+-≥.
所以()f x 的最小值为min{(),()}f a f b . 记区间[,]a b 的中点为A ，且2
a b A +=
，设任意的[,]x a b ∈关于A 的对称点为'
x 则有 '22
x x a b
++=
，又()f x 是[,]a b 上的凸函数，所以有： ''()()()()()2222a b x x f x f x f x m f f ++++=≥≥，即：()2()2a b
f x f m +≤-）.（其中
min{(),()}m f a f b =）.
所以()f x 的最大值为 ：2(
)2
a b
f m +-，
（其中min{(),()}m f a f b =. 注意：此例题可以表述为若函数()f x 在[,]a b 为凸函数，则()f x 在闭区间[,]a b 上有界.
例题11 若,,,a b c d R +
∈，且16a b c d +++=，求2222
a b c d +++的最小值. 解 设2
()f x x =，则'
()2f x x =，''
()20f x =>，所以()f x 为凹函数.所以有：
1
(
)[()()()()]44
a b c d f f a f b f c f d +++≤+++.
即：22
222()1()164
a b c d a b c d +++≤+++.
化简整理得：2
2
2
2
64a b c d +++≥，当且仅当4a b c d ====时等号成立.
小结：求函数最值的常用方法是利用函数的单调性、求导和均值不等式等方法，但是求
函数值域没有通用的方法和固定的模式，要靠在学习过程中不断积累，掌握规律.而利用函数的凹凸性求解，为求函数最值开辟了一条新的路径.从上面几个例题可以看出利用函数凹凸性去求函数最值的关键还是构造合适的辅助函数.
4.3 利用函数的凹凸性作函数图象
图象是刻画函数变量之间关系的一个重要途径，是研究函数性质的一种常用方法，是数形结合的基础和依据.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，是探求解题途径、获得问题结果的重要工具.但是在实际的解题过程中，并不是所有的函数图形都能够很容易地作出.下面我们就利用函数的凹凸性去解决一些函数作图问题.
例题12 作出函数2
()[cos(2arccos )]f αα=的图形.
解析 题目中的函数解析表达式不够直观，我们考虑将函数做恒等变换，之后再利用函数的凹凸性作出函数图象.
解 因为2
cos(2arccos )12sin cos arc αα=-，设sin cos x arc α=，[1,1]x ∈- ，所以所给函数的表达式可以写成22
()(12)f x x =-，且函数的定义域为[1,1]x ∈-，该函数
是偶函数，它的图形关于y 轴对称，因此只需讨论区间[1,0]-上的图形即可.
'()8(1)(1)f x x =-
，进而得到：''2()4881)f x x =-=-+，
在区间[1,0]-上，'
()0f x =的解为0x =
或2x =-
，''
()0f x =
，的解为6
x =-.
用点2x =-
和6x =-把区间[1,0]-
划分为[1,2--
，[,26
--
，[6-三个部分区间.在各部分区间内'
()f x 及''
()f x 的符号、相应曲线弧的升降、凹凸性、极值点
因而在2
x =-
处，()f x 取极小值0，再由函数关于y 轴对称，所以在0x =处，()f x 取极大值1，在2x =
处，()f x 取极小值0，曲线有两个拐点 4()9和4
)9
. 函数的图象如下图所示：
小结：利用函数凹凸性作图的步骤：
(1)确定函数()f x 的定义域，讨论函数的一些基本性质，如奇偶性、对称性和周期性等，
并求出函数的一阶导数'
()f x 及二阶导数''
()f x .
(2)求出方程'()0f x =和''()0f x =在定义域内的全部实根及使'()f x 和''()f x 不存在的
点，用以上两种点将函数()f x 的定义域划分成几个部分区间.
(3)确定在这些部分区间内'()f x 及''()f x 的符号，并由此确定函数图形的升降和凹凸、极
值点和拐点.
(4)确定函数图形的水平铅直渐近线.
(5)列表并作出函数图象.
函数的凹凸性揭示了函数因变量随自变量变化而变化的快慢程度，如果结合函数其它性质，可使我们对函数图象的描绘更加的准确.
4.4 利用函数的凹凸性判断函数单调性
判断函数单调性的一般方法是利用导函数的正负来判断的，但是利用函数的凹凸性来判断函数的单调性，作为判断函数单调性方法的补充，是需要我们了解的.
例题13 设()00f =，()f x 在[)0,+∞上为非负的严格凹函数，()()f x F x x
=
，
()0x >.
试证明：()(),f x F x 为严格递增的函数.
证明 因为()f x 为严格凹函数，()00f =，所以()()()()00
f x f x f F x x
x -=
=
-为严
格递增的.因为()f x 是非负函数，所以对于 0x ?>，有()()00f x f ≥=.
若某点10x >，使得()10f x =，则在[]10,x 上有()0f x ≡ 与()f x 为严格凹函数矛盾. 所以0x ?>，有()0f x >，最后设120x x <<，则：
()()()()()211121
11
000
f x f x f x f f x x x x x -->
=
>--，得()f x 为严格递增的()0x >.
结 束 语
本文从函数凹凸性的概念出发，通过具体的实例较系统地介绍了函数凹凸性的常规的判定方法及在证明不等式、求函数最值以及在作函数图象时的应用.把握函数凹凸性在数学中的应用，关键就是在把握函数凹凸性的基本概念、定理的基础上，同时加强此方面的训练和研究.函数凹凸性的应用，拓展了学习和研究的邻域．
由于受到各种因素的限制，本文也有一定的不足之处.函数凹凸性的判别方法与应用还有很多，本文只介绍了其中的一部分，还有其它方法与应用可以补充.
参考文献
[1] 宣立新. 高等数学(上册)[M].高等教育出版社，1999.
[2] 华东师范大学数学系[M].数学分析.高等教育出版社，2007.
[3] 毛纲源.高等数学解题方法技巧归纳[M].华中理工大学出版社，2002.
[4] 于淑兰.关于曲线拐点的判别法[J].数学的实践与认识，2003，33(1):98-100.
[5] 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（第三版）[M].高等教育出版社，1995.
[6] 沈家英，方永宏.高等数学(上册)[M].山东大学出版社，1995.
[7] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社，2007.
[8] 孙清华，郑小姣.高等数学内容、方法与技巧[M].华中科技大学出版社，2004.
[9] Fred Brauer .Fundamentals of Advanced Mathematics[M] .Higher Education Press，2006.
[10] 何卫力，缪克英.高等数学方法导引(上)[M].北京交通大学出版社，2004.
[11] 盛祥耀.高等数学[M].高等教育出版社，2004.
[12] 刘士强.数学分析[M].广西民族出版社，2000.
The discrimination approach and application of concave and convex function Author: Zhu Hongli Supervisor: Xing Baohua
Abstract Concave and convex function is one of the important properties in function.
It reflects curving direction of the curve on the function image, and it allows you to grasp the curve properties better about the corresponding function. This paper bases on analysis about the concept of convex and concave function, and focuses on exploring the discrimination approach and application of concave and convex function, such as the application in inequality proving and function max/min value, etc. It makes a detailed exposition with relevant examples.
Keywords concave and convex derivative inequality application.
函数的凹凸性
函数的凹凸性 一、出示曲线，出示课题 1、请大家看一下屏幕上的四条曲线，如果要给它们分一下类，怎么分？可以按照函数的单调性分。这两个从左往右，逐渐上升，这两个从左往右，逐渐下降。 2、从单调性的角度，这两条曲线是一类，但如果再仔细观察一下，这两条曲线还是不一样，这条曲线是凸的，这条曲线是凹的。同样，这条曲线是凸的，这条曲线是凹的。所以，如果按照曲线的凹或者凸，我们可以把这两条曲线作为一类，因为它们都是凹的，把这两条作为另外一类，因为它们都是凸的。那么，曲线的凹或者凸，反映了函数的什么性质呢？这就是本节课我们要学习的内容：函数的凹凸性。 二、比较位置，给出定义 刚才我们说这两条曲线是凹的，什么是凹的呢？实际上，如果在这条曲线上任取两点，不难发现，连结这两个点的曲线弧始终在连结这两个点的弦的下面，所以我们说它是凹的。而如果在这条曲线上任取两点，连结这两个点的曲线弧始终在弦的上面，所以我们说它是凸的。这里我们是用比较曲线弧和弦的上下位置来区分曲线的凹和凸，那么，如果用数学语言来刻画曲线的凹和凸，怎么来描述呢？ (1)现在屏幕上显示的是2y x =，0x ≥的函数图象，可以看出来它是一条凹的曲线。 1、在曲线上任取两点A 、B ,设点A 的横坐标为1x ，点B 的横坐标为2x ，如果在()12,x x 内任取一个x ，过这个点作x 轴的垂线，这条垂线与曲线弧相交，交点是P ，与弦相交，交点是Q ，由于连结A 、B 两点的曲线弧始终在弦AB 的下面，所以不管x 怎么变，点P 的纵坐标始终小于点Q 的纵坐标。 2、刚才x 是在()12,x x 内任取的，这样的话，随着x 的变化，点P 和点Q 的纵坐标也在变化，这样对我们表示点P 和点Q 的纵坐标很不方便。所以，为了表示点P 和点Q 的纵坐标的方便，x 就取()12,x x 的中点122 x x +。 3、好，在这里同学们可能会有这样的疑问：你取区间的中点，那你比的只是区间中点处对应的P 和Q 的纵坐标，不能说明曲线弧和弦上所有点的情况啊？实际上，由于点A 、B 是任取的，所以12,x x 也是任意的，随着12,x x 的变化，中点也在变化，对应的点P 和Q 也在变化，所以中点处对应的P 和Q 实际上就代表了曲线弧和弦上的所有点。 4、点P 的纵坐标是122x x f +?? ??? ，点Q 的纵坐标是()()122f x f x +，则有122x x f +??< ??? ()()122f x f x +。一般地，如果函数()f x 在区间I 上连续，对I 上任意两
(整理)函数凹凸性的应用
函数凹凸性的应用 什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性. 如函数y =所表示的曲线是向上凸的,而 2y x =所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或 更准确地说：从几何上看,若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方. 如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？ 设函数 ()f x 在区间I 上是凸的（向下凸）,任意 1x , 2x I ∈（ 12 x x <）. 曲线 ()y f x =上任意两点11(,())A x f x ,11(,())B x f x 之间的图象位于弦AB 的下方,即任意 12(,)x x x ∈,() f x 的值小于或等于弦AB 在x 点的函数值,弦AB 的方程 211121 ()() ()() f x f x y x x f x x x -= -+-. 对任意 12(,) x x x ∈有,整理得 21 122121 ()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤ +--. 令 221()x x t x x -= -,则有01t <<,且12(1)x tx t x =+-,易得1 21 1x x t x x -=--,上式可写成 1212[(1)]()(1)() f tx t x tf x t f x +-≤+- 1.1凸凹函数的定义 凸性也是函数变化的重要性质。通常把函数图像向上凸或向下凸的性质，叫做函数的凸性。图像向下
函数的凹凸性在高考中的应用
函数的凹凸性在高考中的应用 崇仁二中廖国华 教学目的: ①了解函数的凹凸性，掌握增量法解决凹凸曲线问题。 ②培养学生探索创新能力，鼓励学生进行研究型学习。 教学重点：掌握增量法解决凹凸曲线问题 教学难点：函数的凹凸性定义及图像特征 教学过程： 一、课题导入 1.展示崇仁县第二中学2008届高三第一次月考试题12得分统计表 2.组织学生现场解答月考试题12并进行得分统计，以引出课题——— 题目：一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图1所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图2中的（）．（选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期）的《试题集绵》． 函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神．但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有作专门的研究，因此，就多数学生而言，对这类凹凸性曲线问题往往束手无策；而教师的“导数”理解又不能被学生所接受．所以，对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养以及在迅速准确解答高考中出现此类的试题都是十分重要的。 二、新课讲授 1、凹凸函数定义及几何特征 图1 图2
⑴引出凹凸函数的定义： 如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。但是)(1x f 与)(2x f 递增方式不同。不同在哪儿？把形如)(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。 ⑵凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）： 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有： （1）1212()()()2 2 x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）12 12()() ( )2 2 x x f x f x f ++> ，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。 ⑶凹凸函数的几何特征： 几何特征1（形状特征） 图4（凹函数） 图5（凸函数） 如图，设21,A A 是凹函数y=)(x f 曲线上两点，它们对应的横坐标12x x <，则 111(,())A x f x ，222(,())A x f x ，过点12 2 x x +作ox 轴的垂线交函数于A ，交21A A 于B ， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。 简记为：形状凹下凸上。
函数凹凸性判别法与应用讲解
函数凹凸性判别法与应用 作者：祝红丽 指导老师：邢抱花 摘要 函数的凹凸性是函数的重要性质之一.它反映在函数图象上就是曲线的弯曲方向，通过 它可以较好地掌握函数对应曲线的性状.本文基于函数凹凸性概念的分析，着重探讨了函数凹凸 性的判别方法以及在解题中的应用，如在不等式证明中的应用以及在求函数最值时的应用等.并 结合相关例题做了较详细的论述. 关键词 凹凸性 导数 不等式 应用 1 引言 函数的凹凸理论在高等数学中占有重要地位.函数的凹凸性揭示了函数的因变量随自变 量变化而变化的快慢程度，如果结合函数的其它性质，可以使我们对函数的认识更加精确. 以函数()y f x 在某区间I 上单调增加为例说明.我们不难理解，随着自变量x 的稳定增 加，当函数y 的增量越来越大时，函数图形是凹的，当函数y 的增量越来越小时，函数图 形是凸的，当函数y 的增量保持不变时，函数图象是直线，对于减函数我们可以作类似的分 析. 作为研究分析函数的工具和方法，它在许多学科里有着重要的应用.长期以来，很多学 者致力于函数凹凸性的判别法及其应用的研究.近年来，关于函数凹凸性的判定与应用的研 究取得了一些成果，使函数凹凸性的判别法与应用更加的广泛. 本文先从两个具体的函数图象为出发点，直观上观察函数图象的弯曲方向，从而引出函 数凹凸性的概念和拐点的定义.并在此基础上介绍了凹凸函数的几何特征，接着介绍函数凹 凸性的几种判别方法，如：用定义去判别函数的凹凸性，利用二阶导函数判别函数的凹凸性， 及利用函数凹凸性的判定定理判别函数的凹凸性.其中利用函数凹凸性的概念是最基本的判 别方法，利用二阶导函数与函数凹凸性之间的关系是最常用的判别方法.最后举例介绍了函 数凹凸性在证明不等式、求函数最值以及函数作图中的应用.虽然说并不是所有的不等式都 能利用函数的凹凸性证明，但是利用函数的凹凸性去证明某些不等式，是其它方法不可替代 的.利用函数凹凸性证明不等式丰富了不等式的证明方法，开阔了解题思路.利用导数分析函 数的上升、下降，图形的凹凸性和极值.根据对这些的讨论可以帮助我们画出用公式表示的 函数图形,了解函数的凹凸性能够使对函数图形的描绘更加精确化.
函数的凹凸性与拐点
第16 次理论课教学安排
图1 2.4导数的应用----曲线的凹凸与拐点 课题： 曲线的凹凸与拐点 目的要求：理解曲线凹凸性的概念、掌握判断函数图形的凹凸性、求函数图形 的拐点等方法。 重、难点：判断函数图形的凹凸性、求函数图形的拐点 教学方法：讲练结合 教学时数：1课时 教学进程： 函数的单调性可用函数的一阶到函数来判定，对于同样的递增函数有着不同的增法，如向上凸的增或凹的增，那么对于这两种不同的增法我们如何刻画那？ 一、曲线的凹凸与拐点 1．曲线的凹凸定义和判定法 从图1可以看出曲线弧ABC 在区间()c a ,内是向下凹入的，此时曲线弧ABC 位于该弧上任一点切线的上方；曲线弧CDE 在区间()b c ,内是向上凸起的，此时曲线弧CDE 位于该弧上任一点切线的下方．关于曲线的弯曲方向，我们给出下面的定义： 定义1 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的上方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的． 例如，图1中曲线弧ABC 在区间()c a ,内是凹的，曲线弧CDE 在区间()b c ,内是凸的． 由图1还可以看出，对于凹的曲线弧，切线的斜率随x 的增大而增大；对于凸 x y o () y f x =A B x y o () y f x =A B
的曲线弧，切线的斜率随x 的增大而减小．由于切线的斜率就是函数()x f y =的导数，因此凹的曲线弧，导数是单调增加的，而凸的曲线弧，导数是单调减少的．由此可见，曲线()x f y =的凹凸性可以用导数()x f '的单调性来判定．而()x f '的单调性又可以用它的导数，即()x f y =的二阶导数()x f ''的符号来判定，故曲线 ()x f y =的凹凸性与()x f ''的符号有关．由此提出了函数曲线的凹凸性判定定理： 定理1 设函数()x f y =在()b a ,内具有二阶导数． （1）如果在()b a ,内，()x f ''＞0，那么曲线在()b a ,内是凹的； （2）如果在()b a ,内，()x f ''＜0，那么曲线在()b a ,内是凸的． 例１ 判定曲线3 x y =的凹凸性． 2．拐点的定义和求法 定义2 连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点． 定理2(拐点存在的必要条件) 若函数()x f 在0x 处的二阶导数存在,且点 ()()00,x f x 为曲线()x f y =的拐点,则().00=''x f 我们知道由()x f ''的符号可以判定曲线的凹凸．如果()x f ''连续，那么当()x f ''的符号由正变负或由负变正时，必定有一点0x 使()0x f ''＝0．这样，点()()00,x f x 就是曲线的一个拐点．因此，如果()x f y =在区间()b a ,内具有二阶导数，我们就可以按下面的步骤来判定曲线()x f y =的拐点: (1) 确定函数()x f y =的定义域； (2) 求()x f y ''=''；令()x f ''＝0，解出这个方程在区间()b a ,内的实根； (3) 对解出的每一个实根0x ，考察()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号．如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相反，那么点()()00,x f x 就是一个拐点，如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相同，那么点()()00,x f x 就不是拐点． 例２ 求曲线2 3 3x x y -=的凹凸区间和拐点． 解 （1）函数的定义域为()+∞∞-,； （2）()1666,632 -=-=''-='x x y x x y ；令0=''y ，得1=x ； （3）列表考察y ''的符号（表中“”表示曲线是凹的，“” 表示曲线 是凸的）： x ()1,∞- 1 ()+∞,1 y '' - 0 + 曲线y 拐点 ()2,1-
二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点
二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点 教学目标与要求 通过学习，使学生掌握利用二阶导数的符号判定函数在某一区间上凹凸性的方法，为更好地描绘函数图形打好基础，同时，理解拐点的定义和意义。 教学重点与难点 教学重点：利用函数的二阶导数判断曲线的凹凸性与拐点。 教学难点：理解拐点的定义和意义。 教学方法与建议 证明曲线凹凸性判定定理时，除了利用“拉格朗日中值定理”证明外，还可用“泰勒定理”来证明；如果利用“拉格朗日中值定理”证明，则要配合函数图形来分析讲解如何想到需要两次使用“拉格朗日中值定理”的思路，切忌脱离图形，机械证明，让学生领悟不到思想，摸不着头脑。 在讲函数的凹凸性和曲线拐点的定义时，要强调凹凸性并不是曲线的固有性质，而是函数的性质，与所选的坐标系有关；而拐点是曲线的固有性质，与所选的坐标系无关。 教学过程设计 1. 问题提出与定义 函数的单调性对于描绘函数图形有很大作用，但仅仅由单调性还 不能准确描绘出函数的图形。比如，如果在区间上，， 则我们知道在区间上单调增，但作图（参见图1）的时 候，我们不能判断它增加的方式（是弧，还是弧），即 不能判断曲线的凹凸性，所以研究曲线的凹凸性对于把握函数的性 态、作图等是很有必要的！ 在图1中，对于上凸的曲线弧，取其上任意两点，不妨取 作割线，我们总会发现不论两点的位置，割 线段总位于弧段的下方，这种位置关系可以用不等式 来描述。同理，对于上凹的曲线弧，总可用不等式 来描述。由此，我们想到对曲线的凹凸性做如下定义： 凹凸性定义设在区间I上连续，如果对I上任意两点，，恒有
则称在I 上的图形是（向上）凹的，简称为凹弧；如果恒有 则称 在I 上的图形是（向上）凸的，或简称为凸弧。 如果沿曲线从左向右走，则图形是（向上）凸的曲线的几何意义相当于右转弯，图形是（向上）凹的曲线相当于左转弯，而有切线的凹凸弧的分界点正是曲线转向的点，我们把这样的点称为拐点。 2. 凹凸性判定定理的引入 y O x y f x =() x y O y f x =() 曲线凹凸性的定义自然能判别曲线的凹凸性，但实际使用起来需要取两个点，且两个不等式对于一些表达式较复杂的函数来说判断起来也不容易。因此，我们就想能否用其它方法来判定曲线的凹凸性。函数的单调性能由的 符号确定，而对于凹凸性它束手无策，所以我们猜想凹凸性是否和 有关 经过分析，并利用泰勒公式，可证实我们的猜想是正确的，函数图形的凹凸性的确和的符号有关,于是得到 了判断曲线凹凸性的定理。 定理设在 上连续, 在 内具有二阶连续导数,那么： （1）若在内>0，则在上的图形是凹的； （2）若在 内 <0，则 在 上的图形是凸的。 3. 判别凹凸性和拐点举例 例1 判断曲线y x 3的凹凸性 解 y 3x 2 y 6x 由y 0 得x 0 因为当x <0时 y <0 所以曲线在( 0]内为凸的 因为当x >0时 y >0 所以曲线在[0 )内为凹的 例2 求曲线y 2x 33x 22x 14的拐点 解 y 6x 26x 12 ) 21 (12612+=+=''x x y 令y 0 得2 1- =x 因为当2 1 -
函数的凹凸性
函数的凹凸性专题 一、函数凹凸性的定义 1、凹函数定义：设函数)(x f y =在区间I 上连续，对I x x ∈?21,，若恒有2 ) ()()2(2121x f x f x x f +<+，则称)(x f y =的图象是凹的，函数)(x f y =为凹函数； 2、凸函数定义：设函数)(x f y =在区间I 上连续，对I x x ∈?21,，若恒有2 ) ()()2(2121x f x f x x f +>+，则称)(x f y =的图象是凸的，函数)(x f y =为凸函数. 二、凹凸函数图象的几何特征 1、形状特征 如图，设21,A A 是凹函数)(x f y =图象上两点，它们对应的横坐标)(,2121x x x x <，则111(,())A x f x ， 222(,())A x f x ，过点 12 2 x x +作x 轴的垂线交函数图象于点A ，交21A A 于点B . 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方； 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方. 简记为：形状凹下凸上.
2、切线斜率特征 凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率k 随x 增大而增大即)(x f y =的二阶导数0)(''≥x f ； 凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率k 随x 增大而减小即)(x f y =的二阶导数0)(''≤x f . 简记为：斜率凹增凸减. 3、增量特征 设函数)(x g 为凹函数，函数)(x f 为凸函数，其函数图象如图所示.当自变量x 依次增加一个单位增量x ?时，函数)(x g 的相应增量 ,,,321y y y ???越来越大；函数)(x f 的相应增量 ,,,321y y y ???越来越小. 由此，对x 的每一个单位增量x ?，函数y 的对应增量),3,2,1( =?i y i 凹函数的增量特征是：i y ?越来越大；凸函数的增量特征是：i y ?越来越小. 三、常用的不等式 1、二次函数2 )(x x f =中，2 )2(2 22b a b a +≤+； 2、反比例函数)0(1)(>=x x x f 中，2 1 12 b a b a +≤+；
应用函数的凹凸性解高考数学题
应用函数的凹凸性解高考数学题 摘要：函数凹凸性问题在近几年高考试卷中屡见不鲜。但笔者通过平时的教学及高考后学生对这方面问题的反馈中发现大部分学生对此类问题缺乏应变能力，本文通过探讨函数凹凸性定义及几何特征入手，结合具体案例，研究凹凸性问题的一般解法，以期在今后复习过程中，提高针对性和时效性，同时，培养学生探讨创新能力，鼓励学生进行研究性学习，提高学生的数学素养。 关键词：函数凹凸性问题 探究 问题导入：2006年高考重庆卷（9 ）理，如图，单位圆中弧AB x ，f(x)表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，则函数y=f(x)的图象是（ ） 图1 图2 函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神．但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有作专门的研究，因此，就多数学生而言，对这类凹凸性曲线问题往往束手无策；对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养以及在迅速准确解答高考中出现此类的试题都是十分重要的。 一、 凹凸函数定义及几何特征 1、 引出凹凸函数的定义： A B C D
如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。但是)(1x f 与)(2x f 递增方式不同。不同在哪儿？把形如)(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。 2、凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）： 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有： （1）1212()()( )22 x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()()()22x x f x f x f ++>，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。 3、凹凸函数的几何特征： 几何特征1（形状特征） 图4（凹函数） 图5（凸函数） 如图，设21,A A 是凹函数y=)(x f 曲线上两点，它们对应的横坐标12x x <，则 111(,())A x f x ，222(,())A x f x ，过点122 x x +作ox 轴的垂线交函数于A ，交21A A 于B ， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。 简记为：形状凹下凸上。 几何特征2（切线斜率特征）
二阶导数与函数凹凸性证明
二阶导数与函数凹凸性 证明 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
证明设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么若在(a,b)内f"(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。 设x1和x2是[a,b]内任意两点，且x1
函数凹凸性的性质判定及应用
函数凹凸性的判定性质及应用 曹阳数学计算机科学学院 摘要：函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。本文从凸函数的多种定义入手，引出凹凸函数的性质，介绍了凹凸函数的性质及 判定定理。在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二 元函数上，讨论了二元函数凹凸性的性质，判定方法及其应用。一 元到二元，即增加了一个变量，那么对于ｎ元的情况是否有相似的 函数存在呢？本文层层深入，将二元函数进行再次推广，至ｎ元的 情形，给出ｎ元凹凸函数的定义，判定方法及性质。本文主要讨论 了一元，二元，多元凹凸函数的定义，性质，及判定方法，并介绍 了它们应用。 关键词：凹凸性；一元函数；二元函数；多元函数；判别法；应用； Convex function of Judge Properties and Applications Abstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance. In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision theorem. On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application. One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a similar function exist? This layers of depth, the binary function to re-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties. This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes their application. Keywords: Convexity; One Function; Binary function; Multiple functions; Criterion; Applications;
函数的凹凸性在高考中的应用
1、凹凸函数定义及几何特征 ⑴引出凹凸函数的定义： 如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。但是)(1x f 与)(2x f 递增方式不同。不同在哪儿？把形如)(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。 ⑵凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）： 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有： （1）1212()()( )22 x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()()()22 x x f x f x f ++>，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。 ⑶凹凸函数的几何特征： 几何特征1（形状特征） 图4（凹函数） 图5（凸函数） 如图，设21,A A 是凹函数y=)(x f 曲线上两点，它们对应的横坐标12x x <，则111(,())A x f x ，222(,())A x f x ，过点122 x x +作ox 轴的垂线交函数于A ，交21A A 于B ， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。
几何特征2（切线斜率特征） 图6（凹函数） 图7（凸函数） 设21,A A 是函数y=)(x f 曲线上两点，函数曲线1A 与2A 之间任一点A 处切线的斜率：凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(x f 随x 增大而增大； 凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(x f 随x 增大而减小； 简记为：斜率凹增凸减。 几何特征3（增量特征） 图8（凹函数） 图9（凸函数） 图10（凹函数） 图11（凸函数） 设函数ｇ（ｘ）为凹函数，函数ｆ（ｘ）为凸函数，其函数图象如图8、9所示，由图10、11可知，当自变量ｘ逐次增加一个单位增量Δｘ时，函数ｇ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越来越大；函数ｆ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越来越小； 由此，对ｘ的每一个单位增量Δｘ，函数ｙ的对应增量Δｙｉ（ｉ＝1，2，3，…） 凹函数的增量特征是：Δｙｉ越来越大； 凸函数的增量特征是：Δｙｉ越来越小；
函数的凹凸性
函 数 的 凹 凸 性 一、课题导入 题目： 一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图1所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图2中的（ ）．（选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期）的《试题集绵》． 函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神．但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有作专门的研究，因此，就多数学生而言，对这类凹凸性曲线问题往往束手无策；而教师的“导数”理解又不能被学生所接受．所以，对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养以及在迅速准确解答高考中出现此类的试题都是十分重要的。 二、新课讲授 1、凹凸函数定义及几何特征 ⑴引出凹凸函数的定义： 如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。但是)(1x f 与)(2x f 递增方式不同。 不同在哪儿？把形如 )(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。 ⑵凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）： 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有： （1） 1212()() ( )22x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()() ()22 x x f x f x f ++>，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。 图 1 图2
函数的凹凸性方面的应用
函数的凹凸性方面的应用
()f x 严格凸函数?上式严格不等式成立. 证 ?记 32 31x x x x λ-= -,则01λ<<及213(1)x x x λλ=+-, 由f 的凸性知 213()()(1)() f x f x f x λλ≤+-3221133131 ()()x x x x f x f x x x x x --= +-- (4) 从而有 312321213()()()()()() x x f x x x f x x x f x -≤-+- 即 32221232 121 ()()()()()()()() x x f x x x f x x x f x x x f x -+-≤-+- 整理即得(3)式. ?13,x x I ?∈13()x x <,(0,1)λ?∈记213(1)x x x λλ=+-,则123x x x <<,3221x x x x λ-= - 由必要性的推导步骤可逆,从(3)式便得(4)式.故f 为凸函数. 同理便知,曲线上首尾相连的线,其斜率是递增的,即 123,,x x x I ?∈,123 x x x <<,有 31212131 ()() ()()f x f x f x f x x x x x --≤ -- ()f x 严格凸函数?上式严格不等式成立. 定理 设为开区间上的凸函数．若 则在上满足利普希茨条件,且 在上连续． 证明 ( 证明开区间上的凸函数必为连续函数) 当取定后, 由为开区间,必可 选取中的四点 满足： ． 如图所示,再在 中任取两点 . 应用引理得到
． 令 , 则 , ． 显然,上述 L 与中的点 无关, 故在上的每个内闭区间 上满足利普希茨 条件． 由此容易推知 在 上连续,再由 在上的任意性,又可推知 在上处处连续． 如果f 是I 上的可导函数,则进一步有： 二、凸函数与导数的关系 定理1（可导函数为凸函数的等价命题） 设f 为区间I 上的可导函数,则下述论断互相等价：（1）f 为I 上的凸函数；（2）f '为I 上的增函数；（3）对I 上的任意两点12,x x 总有 21121()()()()f x f x f x x x '≥+- 证 (i)(ii) ,并取,使 据定理3.12,有
函数的凹凸性在高考中的应用
函数的凹凸性在高考中的应用 教学目的: ①了解函数的凹凸性，掌握增量法解决凹凸曲线问题。 ②培养学生探索创新能力，鼓励学生进行研究型学习。 教学重点：掌握增量法解决凹凸曲线问题 教学难点：函数的凹凸性定义及图像特征 教学过程： 一、课题导入 1.展示崇仁县第二中学2008届高三第一次月考试题12得分统计表 2.组织学生现场解答月考试题12并进行得分统计，以引出课题——— 题目：一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图1所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图2中的（）．（选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期）的《试题集绵》． 函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神．但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有作专门的研究，因此，就多数学生而言，对这类凹凸性曲线问题往往束手无策；而教师的“导数”理解又不能被学生所接受．所以，对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养以及在迅速准确解答高考中出现此类的试题都是十分重要的。 二、新课讲授 1、凹凸函数定义及几何特征 图1 图2
⑴引出凹凸函数的定义： 如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。但是)(1x f 与 )(2x f 递增方式不同。不同在哪儿？把形如)(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。 ⑵凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）： 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有： （1）1212()() ( )22x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()() ()22 x x f x f x f ++>，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。 ⑶凹凸函数的几何特征： 几何特征1（形状特征） 图4（凹函数） 图5（凸函数） 如图，设21,A A 是凹函数y=)(x f 曲线上两点，它们对应的横坐标12x x <，则 111(,())A x f x ，222(,())A x f x ，过点 12 2 x x +作ox 轴的垂线交函数于A ，交21A A 于B ， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。 简记为：形状凹下凸上。
函数的凹凸性方面的应用
§6.5 微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用 教学目标: 掌握讨论函数的凹凸性和方法. 教学要求: 弄清函数凸性的概念,掌握函数凸性的几个等价论断,会求曲线的拐点,能应用函数的 凸性证明某些有关的命题. 教学重点: 利用导数研究函数的凸性 教学难点: 利用凸性证明相关命题 教学方法: 系统讲授法＋演示例题 教学过程: 引言 上面已经讨论了函数的升降与极值,这对函数性状的了解是有很大作用的.为了更深入和较精确地掌握函数的性状,我们在这里再讲述一下有关函数凸性的概念及其与函数二阶导数的关系. 什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性.如函 数y 所表示的曲线是向上凸的,而2y x =所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看,若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方. 如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？ 设函数()f x 在区间I 上是凸的（向下凸）,任意1x ,2x I ∈（12x x <）. 曲线()y f x =上任意两点11(,())A x f x ,11(,())B x f x 之间的图象位于弦AB 的下方,即任意
12(,)x x x ∈,()f x 的值小于或等于弦AB 在x 点的函数值,弦AB 的方程 211121 ()() ()() f x f x y x x f x x x -= -+-. 对任意12(,)x x x ∈有 211121 ()() ()()() f x f x f x x x f x x x -≤ -+-,整理得 21 122121 ()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤ +--. 令 221()x x t x x -= -,则有01t <<,且12(1)x tx t x =+-,易得1 21 1x x t x x -=--,上式可写成 1212[(1)]()(1)()f tx t x tf x t f x +-≤+-. 一、凸函数定义以及与连续性的关系 (一) 凸（凹）函数的定义 定义1 设函数f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上任意两点1x 、2x 和任意实数(0,1)λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-,则称f 为I 上的凸函数.反之,如果总有 12 12((1))()(1 )()f x x f x f x λλλλ+-≥+-,则称f 为I 上的凹函数. 注 易证：若一f 为区间I 上的凸函数,则f 为区间I 上的凹函数,因此,今后只讨论凸函数的性质即可. 定义2 设曲线y ＝f(x)在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点. 必须指出；若(00,()x f x )是曲线y=f （x)的一个拐点,y ＝f(x)在点0x 的导数不一定存在, 如 y 在x ＝0的情形. (二) 凸函数的特征 引理 f 为I 上的凸函数?对于I 上任意三点123x x x <<总有： 32212132 ()() ()()f x f x f x f x x x x x --≤ -- (3) ()f x 严格凸函数?上式严格不等式成立.
函数的凸性及应用[文献综述]
文献综述 信息与计算科学 函数的凸性及应用 一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主 题争论焦点） 凸函数是一类重要的函数。对函数凹凸性的研究，在数学分析的多个分支都有用处。特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面，凸函数都有着十分重要的作用。凸函数的定义，最早是由Jersen 给出的。各文献中对凸函数的定义不尽相同，在大学的数学分析或高等数学教材中，常常只研究具有二阶导数的凸函数。 本文首先给出凸函数的定义以及对凸函数的基本性质进行总结。然后由基本性质进行延伸，进一步给出凸函数的应用。对于凸函数的应用，本文拟将主要介绍以下的几点：凸函数在证明Jensen 不等式时的应用；凸函数在Hadamard 不等式中的证明的应用；凸函数在分析不等式中的应用等。 二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题 的评述） 凸函数具有一些非常优良的性质[1] ，有着较好的几何和代数性质，在数学各个领域中都有着广泛的应用。1905年丹麦数学家Jensen 首次给出了凸函数的定义，经过近百年努力，凸函数的研究在各个方面正得到长足的发展，在现代学习和生活中的重要性已经不断的凸显出来。凸函数是一类非常重要的函数，应用函数的凸性，不仅可以科学、准确的描述函数的图像，而且也有证明不等式的凸函数方法，同时，凸函数也是优化问题中重要的研究对象，它研究的内容非常丰富，研究的结果也在许多领域得到了广泛的应用，所以研究凸函数的性质及应用就显得尤为重要。 2.1凸函数的定义 2.1.1凸函数一些基本定义 通过数学分析的学习，对于函数()2 x x f =和()x x f = 的图像，我们很容易看出它们 之间的不同点：曲线2 x y =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲线x y = 则 相反，在任意两点间的弧段总在这两点连线的上方。通过这两个函数，我们把前一种特性的
高考必考高中数学函数的凹凸性
高考必考-----函数的凹凸性在高考中的应用 目的: ①了解函数的凹凸性，掌握增量法解决凹凸曲线问题。 ②培养学生探索创新能力，鼓励学生进行研究型学习。 教学重点：掌握增量法解决凹凸曲线问题 教学难点：函数的凹凸性定义及图像特征 教学过程： 一、课题导入 1.2013届高三第一次月考试题12得分统计表 2.组织学生现场解答月考试题12并进行得分统计，以引出课题——— 题目：一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图1所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图2中的（）．（选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期）的《试题集绵》． 函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神．但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有作专门的研究，因此，就多数学生而言，对这类凹凸性曲线问题往往束手无策；而教师的“导数”理解又不能被学生所接受．所以，对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养以及在迅速准确解答高考中出现此类的试题都是十分重要的。 二、新课讲授 1、凹凸函数定义及几何特征 图1 图2
⑴引出凹凸函数的定义： 如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。但是)(1x f 与 )(2x f 递增方式不同。不同在哪儿？把形如)(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。 ⑵凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）： 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有： （1）1212()() ( )22x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()() ()22 x x f x f x f ++>，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。 ⑶凹凸函数的几何特征： 几何特征1（形状特征） 图4（凹函数） 图5（凸函数） 如图，设21,A A 是凹函数y=)(x f 曲线上两点，它们对应的横坐标12x x <，则 111(,())A x f x ，222(,())A x f x ，过点 12 2 x x +作ox 轴的垂线交函数于A ，交21A A 于B ， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。 简记为：形状凹下凸上。