江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练：圆锥曲线

江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练圆锥曲线一、填空题1、（南京市2018高三9月学情调研）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 216－y 29＝1的焦点到其渐近线的距离为 ▲ ．2、（南京市2019高三9月学情调研）在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的交点的纵坐标为2，则该双曲线的离心率是 ▲ ．3、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）双曲线125922=-y x 的渐近线方程是 ▲ ． 4、（南师附中2019届高三年级5月模拟）已知椭圆2212x y +=与双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点，其左、右焦点分别为F 1、F 2，若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P ，且F 1P ＝F 1F 2，则双曲线的离心率为 ．5、（南京市13校2019届高三12月联合调研）在平面直角坐标系xOy 中，已知3y x =是双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ▲ ． 6、（苏州市2018高三上期初调研）若双曲线()2210x y m m-=>的右焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则m 的值是7、（徐州市2019届高三上学期期中）已知双曲线2214x y a -=的离心率为3，则实数a 的值为▲ ．8、（扬州市2019届高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)y px p =>上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为 ．9、（扬州市2019届高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2211x y m m -=+的一个焦点为(3，0)，则双曲线的渐近线方程为 ．10、（常州市2019届高三上学期期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，直线20x y ++=经过双曲线C 的焦点，则双曲线C 的渐近线方程为________.11、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）已知经过双曲线221168x y -=的一个焦点，且垂直于实轴的直线l 与双曲线交于A 、B 两点，12、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线2213y x -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ．13、（苏州市2019届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(﹣3，1)，则该双曲线的离心率为 ． 14、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22y px =的焦点恰好是双曲线22184x y -=的右焦点，则该抛物线的准线方程为 ．15、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的右顶点(20)A ，到渐近线的 距离为2，则b 的值为 ▲ ．16、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第三次模拟（5月））在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221y x a b-=（00a b >>，）的右准线与两条渐近线分别交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为4ab ，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 17、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））已知双曲线C 的方程为2214x y -=，则其离心率为 ．18、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））抛物线24y x =的焦点坐标为 ． 19、（盐城市2019届高三第三次模拟）双曲线1222=-y x 的焦距为______.20、（江苏省2019年百校大联考）双曲线的两个焦点为1F ，2F ，以12F F 为边作正方形12F F MN ，且此双曲线恰好经过边1F N 和2F M 的中点，则此双曲线的离心率为 ．二、解答题1、（南京市2018高三9月学情调研）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点(1，32)．过椭圆C 的左顶点A 作直线交椭圆C 于另一点P ，交直线 l ：x ＝m (m ＞a )于点M ．已知点B (1，0)，直线PB 交l 于点N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若MB 是线段PN 的垂直平分线，求实数m 的值．2、（南京市2019高三9月学情调研）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且直线l ：x ＝2被椭圆E 截得的弦长为2．与坐标轴不垂直的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，且PQ 的中点R 在直线l 上．点M (1，0)．（1）求椭圆E 的方程； （2）求证：MR ⊥PQ ．3、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 上一点与两焦点构成的三角形的周长为4+23,离心率为32.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的右顶点和上顶点分别为A 、B ，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点（点P 在第一象限）.若四边形APBQ 面积为7，求直线l 的方程.4、（南师附中2019届高三年级5月模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且点F 1，F 2与椭圆C 的上顶点构成边长为2的等边三角形．（1）求椭圆C 的方程； （2）已知直线l 与椭圆C 相切于点P ，且分别与直线x ＝﹣4和直线x ＝﹣1相交于点M 、N ．试判断11NF MF 是否为定值，并说明理由．5、（南京市13校2019届高三12月联合调研）如图，F 1、F 2分别为椭圆222210x y (a b )a b+=>>的焦点，椭圆的右准线l 与x 轴交于A 点，若()11,0F -，且122AF AF =. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F 1、F 2作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P 、Q 、 M 、N 四点，求四边形PMQN 面积的取值范围．6、（苏州市2018高三上期初调研）如图，已知椭圆22:14x O y +=的右焦点为F ，点,B C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线:2l y =-上的一个动点（与y 轴的交点除外），直线PC 交椭圆于另一个点M .（1）当直线PM 经过椭圆的右焦点F 时，求FBM ∆的面积； （2）①记直线,BM BP 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k ⋅为定值；②求PB PM ⋅的取值范围.7、（宿迁市2019届高三上学期期末）如图所示，椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为22，右准线方程为4x =，过点(0,4)P 作关于y 轴对称的两条直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点,A B ，2l 与椭圆交于不同两点,D C . （1）求椭圆M 的方程；（2）证明：直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q ； （3）求线段AC 长的取值范围.8、（扬州市2019届高三上学期期末）在平面直角坐标系中，椭圆M ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为12，左右顶点分別为A ，B ，线段AB 的长为4．P 在椭圆M 上且位于第一象限，过点A ，B 分别作l 1⊥PA ，l 2⊥PB ，直线l 1，l 2交于点C ． （1）若点C 的横坐标为﹣1，求P 点的坐标；（2）直线l 1与椭圆M 的另一交点为Q ，且AC AQ λ=，求λ的取值范围．9、（扬州市2019届高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3100x y --=与圆O ：222(0)x y r r +=>相切．（1）直线l 过点(2，1)且截圆O 所得的弦长为26，求直线l 的方程；（2）已知直线y ＝3与圆O 交于A ，B 两点，P 是圆上异于A ，B 的任意一点，且直线AP ，BP 与y 轴相交于M ，N 点．判断点M 、N 的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．10、（如皋市2019届高三上学期期末）如图，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，右准线方程为4x =，A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）记△AFM ，△BFN 的面积分别为S 1，S 2，若1232S S =，求k 的值； （3）设线段MN 的中点为D ，直线OD 与右准线相交于点E ，记直线AM ，BN ，FE 的斜率分别为k 1，k 2，3k ，求k 2·(k 1－3k ) 的值．11、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，且右焦点到右准线l 的距离为1．过x 轴上一点(,0)M m (m 为常数，且(0,2))m ∈的直线与椭圆C 交于,A B 两点，与l 交于点P ，D 是弦AB 的中点，直线OD 与l 交于点Q ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试判断以PQ 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．12、（南京市2019届高三第三次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(1，22)，离心率为22．A ，B 分别是椭圆C 的上、下顶点，M 是椭圆C 上异于A ，B 的一点． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 在直线x －y ＋2＝0上，且BP →＝3BM →，求△PMA 的面积；（3）过点M 作斜率为1的直线分别交椭圆C 于另一点N ，交y 轴于点D ，且D 点在线段OA 上（不包括端点O ，A ），直线NA 与直线BM 交于点P ，求OD →·OP →的值．13、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221y x a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ．（1）已知椭圆的离心率为12，线段AF 中点的横坐标为22，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF 外接圆的圆心在直线y x -=上，求椭圆的离心率e 的值．14、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：2214x y +=，椭圆C 2：22221(0)y x a b a b+=>>，C 2与C 1的长轴长之比为2∶1，离心率相同． （1）求椭圆C 2的标准方程；（2）设点P 为椭圆C 2上一点．① 射线PO 与椭圆C 1依次交于点A B ，，求证：PA PB为定值；② 过点P 作两条斜率分别为12k k ，的直线12l l ，，且直线12l l ，与椭圆C 1均有且只有 一个公共点，求证：12k k ⋅为定值．15、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221y x C a b+=：（0a b >>）的上顶点为()03A ，， 圆2224a O x y +=：经过点()01M ，． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 作直线1l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过点M 作直线1l 的垂线2l 交圆O 于另一点N ． 若△PQN 的面积为3，求直线1l 的斜率．16、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设P 为椭圆上顶点，点A 是椭圆C 上异于顶点的任意一点，直线PA 交x 轴于点M ．点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：在y 轴的正半轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题 1、32、 53、x y 35±= 4、答案：2+22解析：由题意得：F 1P ＝F 1F 2＝2，则PF 2＝222-，所以2a ＝2﹣(222-)＝4﹣22，则a ＝2﹣2，所以e ＝122c a =-＝2+22．5、26、37、28、3x =-9、52y x =± 10、3y x =± 11、4 12、4 13、10 14、23x =- 15、2 16、2 17、18、(1,0) 19、23 20、512+二、解答题1、解：（1）因为椭圆C 的离心率为32，所以a 2＝4b 2． ………………………2分 又因为椭圆C 过点(1，32)，所以1a 2＋34b 2＝1， ………………………3分解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． ………………………5分（2）解法1设P (x 0，y 0)，－2＜x 0＜2， x 0≠1，则x 024＋y 02＝1．因为MB 是PN 的垂直平分线，所以P 关于B 的对称点N (2－x 0，－y 0)， 所以2－x 0＝m ． ………………………7分 由A (－2，0)，P (x 0，y 0)，可得直线AP 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，令x ＝m ，得y ＝y 0(m ＋2) x 0＋2，即M (m ，y 0(m ＋2)x 0＋2)．因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1，所以k PB ·k MB ＝y0x 0－1·y 0(m ＋2)x 0＋2 m －1＝－1， ………………………10分即y 02（m ＋2）(x 0－1)( x 0＋2)( m －1)＝－1． 因为x 024＋y 02＝1．所以( x 0－2)(m ＋2)4(x 0－1) ( m －1)＝1． ………………………12分因为x 0＝2－m ，所以化简得3m 2－10m ＋4＝0，解得m ＝5±133． ………………………15分因为m ＞2，所以m ＝5＋133． ………………………16分解法2①当AP 的斜率不存在或为0时，不满足条件． ………………………6分 ②设AP 斜率为k ，则AP ：y ＝k (x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x ＋2)，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0．因为x A ＝－2，所以x P ＝－8k 2＋24k 2＋1，所以y P ＝4k 4k 2＋1，所以P (－8k 2＋24k 2＋1，4k4k 2＋1)． ………………………8分因为PN 的中点为B ，所以m ＝2－－8k 2＋24k 2＋1＝16k 24k 2＋1．(*) ……………………10分因为AP 交直线l 于点M ，所以M (m ，k (m ＋2))， 因为直线PB 与x 轴不垂直，所以－8k 2＋24k 2＋1≠1，即k 2≠112，所以k PB ＝4k4k 2＋1－8k 2＋24k 2＋1－1＝－4k 12k 2－1，k MB ＝k (m ＋2)m －1． 因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1，所以－4k 12k 2－1·k (m ＋2)m －1＝－1．（**） ………………………12分将(*)代入（**），化简得48k 4－32k 2＋1＝0，解得k 2＝4±1312，所以m ＝16k 24k 2＋1＝5±133． ………………………15分又因为m ＞2，所以m ＝5＋133． ………………………16分2、解：（1）因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2． …………………… 2分因为直线l ：x ＝2被椭圆E 截得的弦长为2， 所以点(2，1)在椭圆上，即 4a 2＋1b 2＝1． 解得a 2＝6，b 2＝3，所以椭圆E 的方程为 x 26＋y 23＝1． …………………… 6分 （2）解法一：因为直线PQ 与坐标轴不垂直，故设PQ 所在直线的方程为y ＝kx ＋m ．设 P (x 1，y 1)，Q (x 2， y 2) ．因为PQ 的中点R 在直线 l ：x ＝2上，故R (2，2k ＋m )．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =kx ＋m ，x 26＋y 23＝1，消去y ，并化简得 (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0， …………………… 9分 所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2． （*）由x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2＝4，得1＋2k 2＝－km ． ① ………………… 12分 因为M (1，0)，故k MR ＝2k ＋m 2－1＝2k ＋m ，所以k MR ·k PQ ＝(2k ＋m )k ＝2k 2＋km ＝2k 2－(1＋2k 2)＝－1，所以MR ⊥PQ ． …………………… 16分 解法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2， y 2)．因为PQ 的中点R 在直线 l ：x ＝2上，故设R (2，t )． 因为点P ，Q 在椭圆E ：x 26＋y 23＝1上，所以⎩⎨⎧x 126＋y 123＝1，x 226＋y 223＝1，两式相减得 (x 1＋x 2) (x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2) (y 1－y 2)＝0．………………… 9分 因为线段PQ 的中点为R ，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2t ．代入上式并化简得 (x 1－x 2)＋t (y 1－y 2)＝0． …………………… 12分 又M (1，0)，所以 MR →·PQ →＝(2－1)×(x 2－x 1)＋(t －0)×(y 2－y 1)＝0，因此 MR ⊥PQ ． …………………… 16分 3、【解析】（1）由题设得4+23，又32e =，解得2,3a c ==,∴1b =.…2分 故椭圆C 的方程为2214x y +=. …………………………………………4分（2）设直线l 方程为：12y x m =+代入椭圆22:14x C y +=并整理得：222220x mx m ++-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12212222x x mx x m +=-⎧⎨=-⎩. …………………………………6分 221212||()()PQ x x y y =-+-222212112151||1()48442k x x x x x x m =+-=+⋅+-=⋅-， ……8分 B 到直线PQ 的距离为5121-=m d ，A 到直线PQ 的距离为5121+=m d ， ………………………………10分又因为P 在第一象限, 所以11<<-m ，所以5451251221=++-=+)m ()m (d d ， 所以74821221=-=⋅+=m PQ )d d (S APBQ ， ……………………………12分解得21±=m ，所以直线方程为2121±=x y ． …………………………………………14分4、解析：解：(1) 依题意，2c ＝a ＝2，所以c ＝1，b ＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2) ① 因为直线l 分别与直线x ＝－4和直线x ＝－1相交， 所以直线l 一定存在斜率．(6分) ② 设直线l ：y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0. 由Δ＝(8km)2－4×(4k 2＋3)×4(m 2－3)＝0， 得4k 2＋3－m 2＝0 ①.(8分)把x ＝－4代入y ＝kx ＋m ，得M(－4，－4k ＋m)，把x ＝－1代入y ＝kx ＋m ，得N(－1，－k ＋m)，(10分) 所以NF 1＝|－k ＋m|，MF 1＝（－4＋1）2＋（－4k ＋m ）2＝9＋（－4k ＋m ）2 ②，(12分) 由①式，得3＝m 2－4k 2 ③，把③式代入②式，得MF 1＝4（k －m ）2＝2|－k ＋m|，∴ NF 1MF 1＝|k －m|2|k －m|＝12，即NF 1MF 1为定值12.(16分) 5、解：(I) 由F 1(-1，0)得1c =,∴A 点坐标为()2,0a ；……2分∵122AF AF = ∴2F 是1AF 的中点 ∴223,2a b == ∴ 椭圆方程为22132x y += ……4分 (II)当直线MN 与PQ 之一与x 轴垂直时，四边形PMQN 面积142S MN PQ ==；…………5分 当直线PQ ，MN 均与x 轴不垂直时，不妨设PQ ：()()10y k x k =+≠，联立22(1)132y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩代入消去y 得()()2222236360k x k x k +++-=设()()1122,,,P x y Q x y 则22121222636,2323k k x x x x k k --+==++ ………8分∴ ()22122431123k PQ k x x k +=+-=+，同理221431123k MN k⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+∴四边形PMQN 面积22221242112613k k S MN PQ k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ………12分令221u k k =+，则()24242,4613613u u S u u +≥==-++，易知S 是以u 为变量的增函数所以当1,2k u =±=时，min 9625S =，∴96425S ≤< 综上可知，96425S ≤≤，∴四边形PMQN 面积的取值范围为96,425⎡⎤⎢⎥⎣⎦………16分 6、（1）由题意()()0,1,0,1B C -，焦点()3,0F，当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，则直线PM 的方程为113x y +=-，即313y x =-， 联立2214313x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得83717x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或01x y =⎧⎨=-⎩(舍），即831,77M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 连BF ，则直线:113x yBF +=，即 330x y +-=，而2BF a ==，()22831233377372713d +⋅-===+. 故113322277MBF S BF d ∆=⋅⋅=⋅⋅=. （2）解:法一：①设(),2P m -，且0m ≠，则直线PM 的斜率为()1210k mm---==--，则直线PM 的方程为11y x m=--， 联立221114y x m x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得224810x x m m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得22284,44m m M m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 所以22212412148844m m m k m m m m ---+===--+，()21230k m m --==--， 所以1231344k k m m ⋅=-⋅=-为定值. ②由①知，(),3PB m =-，2322222841212,2,4444m m m m m PM m m m m m ⎛⎫⎛⎫---+=--+= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 所以()324222212121536,3,444m m m m m PB PM m m m m ⎛⎫--+++⋅=-⋅= ⎪+++⎝⎭， 令244m t +=> 故()()224154367887t t t t PB PM t tt t-+-++-⋅===-+，因为87y t t=-+在()4,t ∈+∞上单调递增，所以8874794PB PM t t ⋅=-+>-+=，即PB PM ⋅的取值范围为()9,+∞.解法二：①设点()()000,0M x y x ≠，则直线PM 的方程为0011y y x x +=-，令2y =-，得00,21xP y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭.所以()0012000031121,1y y k k x x x y +---===-+， 所以()()()()2200001222000031313113=441y y y y k k x x x y --+-⋅=⋅==--(定值）. ②由①知，00,31x PB y ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，0000,21xPM x y y ⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭，所以，()()()()20000000200023232111x y x x PB PM x y y y y y +⎛⎫⋅=+++=++ ⎪+++⎝⎭ ()()()()()()200000200412723211y y y y y y y -+-+=++=++.令()010,2t y =+∈，则()()8187t t PB PM t tt-+⋅==-++，因为87y t t=-++在()0,2t ∈上单调递减,所以8872792PB PM t t ⋅=-++>-++=，即PB PM ⋅的取值范围为()9,+∞.7、解：（1）由2224c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 得22,2a c ==，2224b a c ∴=-=，所以椭圆M 的方程22184x y +=.………………………………………………4分 （2）设直线14l y kx =+：，11221122(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y C x y --则，联立221844x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得221+2)16240k x kx ++=（， 1212221624,1+21+2k x x x x k k -∴+=⋅=， …………………………………6分 又212111,BQ DQ y y k k x x --==-， 212121211133BQ DQ y y kx kx k k x x x x --++∴-=-=+-212122483()122+=2+2202412k x x k k k k k x x k -++==-=+，………8分 =BQ DQ k k ∴，故点,,B D Q 三点共线，即直线BD 经过点(0,1)Q同理可得直线AC 经过点(0,1)Q ，所以直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q . …………………………10分（3）由（2）可知22222212121212()()()()AC x x y y x x k x x =++-=++-222121212()(+)4x x k x x x x ⎡⎤=++-⋅⎣⎦2222222222161624+41+21+21+2k k k k k k ⎡⎤⋅⋅=-⨯⎢⎥⎣⎦（）（）42424+10164+4+1k k k k ⋅=⨯24261161+4+4+1k k k ⎡⎤-=⨯⎢⎥⎣⎦…………………………12分 令22161,6t t k k ==+-则 又由222=16424(12)0k k ∆-⨯⨯+>得23,2k >所以8t > 221616+114+4+166tAC t t ∴=++⎛⎫⎪⎝⎭29161++8+16t t t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦9161+16++8t t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ……………………………………14分21616++810t t t '⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在8+t ∈∞（，）上恒成立 16++8t t∴在8+t ∈∞（，）上单调递增 16++818t t ∴>， 910162++8t t ∴<<，9311+162++8t t∴<< 21624AC ∴<<426AC ∴<<. …………………………………………………16分8、解：由题意得1224c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得12c a =⎧⎨=⎩，∴2223b a c =-=∴椭圆M 的方程是22143x y +=且(2,0),(2,0)A B - …………3分（1）方法一：设00(,)P x y ，002PA y k x =+，∵1l PA ⊥ ∴直线AC 的方程为02(2)x y x y +=-+， 同理：直线BC 的方程为002(2)x y x y -=--． 联立方程00002(2)2(2)x y x y x y x y +⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩，解得02004x x x y y =-⎧⎪-⎨=⎪⎩，又∵22000004444433y x y y y ---==-， ∴点C 的坐标为004(,)3x y --， …………6分∵点C 的横坐标为1- ∴01x =，又∵P 为椭圆M 上第一象限内一点 ∴032y =∴P 点的坐标为3(1,)2． …………8分（2）设(,)Q Q Q x y ∵AC AQ λ= ∴002(2)43Q Q x x y y λλ-+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：002243Q Qx x y y λλλ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∵点Q 在椭圆M 上 ∴22001214(2)()1433x y λλλ-+-+-= 又22003(1)4x y =-整理得：200736(1)721000x x λλ--+-=，解得：02x =或036507x λ-= …………14分∵P 为椭圆M 上第一象限内一点 ∴3650027λ-<<，解得：2516189λ<< …………16分方法二：（1）设AP 的斜率为k ，00(,)P x y ， ∵P 为椭圆M 上第一象限内一点 ∴302k << ∵2000200032244AP BPy y y k k x x x ⋅=⋅==-+-- ∴BP 的斜率为34k-． 联立方程(2)3(2)4y k x y x k =+⎧⎪⎨=--⎪⎩，解得22268431243k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即2226812(,)4343k k P k k -++ ∵1l PA ⊥，∴1AC k k =-，则AC 的方程为1(2)y x k=-+∵2l PB ⊥，∴43BC k k =，则BC 的方程为4(2)3y k x =-． 由1(2)4(2)3y x k y k x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22286431643k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，即2228616(,)4343k k C k k --++ …………6分∵点C 的横坐标为1- ∴2286143k k -=-+，解得：12k =±∵302k <<∴12k = ∴P 点的坐标为3(1,)2． …………8分 （2）设(,)Q Q Q x y ，(,)C C C x y ，又直线AC 的方程为：1(2)y x k=-+联立方程221(2)143y x kx y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222(34)1616120k x x k +++-= ∴221612234Q k x k --⋅=+，解得：226834Q k x k -=+ ∵AC AQ λ= ∴222222222862216(34)743168212(43)129234C Q k x k k k k x k k k k λ-++++====+-+++++， …………14分∵302k <<∴2516(,)189λ∈ …………16分 9、解：∵直线3100x y --=与圆222:(0)O x y r r +=>相切 ∴圆心O 到直线3100x y --=的距离为|10|1019r ==+． …2分（1）记圆心到直线l 的距离为d ，所以1062d =-=．当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为2x =，满足题意； …3分 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1(2)y k x -=-，即(12)0kx y k -+-= 所以2|12|21k d k -==+，解得34k =-，此时直线l 的方程为34100x y +-= …6分综上，直线l 的方程为2x =或34100x y +-=． …7分 （2）设00(,)P x y ．∵直线3y =与圆O 交于A 、B 两点，不妨取(1,3),(1,3)A B -， ∴直线PA 、PB 的方程分别为0033(1)1y y x x --=--，0033(1)1y y x x --=++ 令0x =，得00000033(0,),(0,)11x y x y M N x x -+-+，则220000002000339111M N x y x y x y y y x x x -+-⋅=⋅=-+-（*）…13分 因为点00(,)P x y 在圆C 上，所以220010x y +=，即220010y x =-，代入（*）式得M N y y ⋅=2200209(10)101x x x --=-为定值． …15分 10、【解】（1）设椭圆的焦距为2c (c ＞0)．依题意，12c a =，且24a c =，解得a ＝2，c ＝1．故b 2＝a 2－c 2＝3．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． …… 4分（2）设点M (x 1，y 1)， N (x 2，y 2)．据题意，1232S S =，即12132122AF y BF y ⨯⨯=⨯⨯，整理可得1212y y =，所以2NF FM =． 代入坐标，可得()21211212x x y y -=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，， 即2121322x x y y =-⎧⎨=-⎩．，又点M ， N 在椭圆C 上，所以()()22112211143322143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩，，解得1174358x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．， 所以直线l 的斜率35587214k ==-． …… 9分（3）法一：依题意，直线l 的方程为()1y k x =-．联立方程组()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，，整理得()22224384120k x k x k +-+-=，所以2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．故21224243D x x k x k +==+，()23143D D k y k x k =-=-+， 所以直线OD 的方程为34y x k =-，令x ＝4，得3E y k =-，即34E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 所以33141k k k-==--． …… 12分所以()2121321211122y y k k k k k k x x k ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅+=⋅+ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭ ()()()()()()()()2211221211211111212222k x k x k x x x x x x k x x ----+-+⎡⎤=⋅+=⎢⎥-++-⎣⎦()2121212121212122224k x x x x x x x x x x x x -+++-+-⎡⎤⎣⎦=-+-()()()212121212212122123244k x x x x x x x x x x x x x x -+++-+-+⎡⎤⎣⎦=-+-+222222222222222412841281234343434341282444343k k k k k x k k k k k k x k k ⎡⎤---++--+⎢⎥++++⎣⎦=--⨯-+++22222222222276211833433432824476444343k k x x k k k k x x k k ⎛⎫++- ⎪-+⎝⎭+===+⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭． …… 16分法二：依题意，直线l 的方程为()1y k x =-，即11x y k =+，记1m k=， 则直线l 的方程为1x my =+，与椭圆C 联立方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，整理得()2243690m y my ++-=，所以122643m y y m +=-+，122943y y m =-+． 故1223243D y y my m +==-+，24143D Dx my m =+=+， 所以直线OD 的方程为34my x =-，令x ＝4，得3E y m =-，即()43E m -，． 所以3341mk m -==--． …… 12分所以()()()()122121213212112212222y y my x y y k k k k k m k x x x x ++⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅+=⋅+= ⎪ ⎪-++-⎝⎭⎝⎭()()()()2122122121212121333133my y my y y my my my my m y y my my ++++==+--+-()()()22221222221212222291313439634344343m my m y y my m m m m y y m y y my my m m +-++++==-+-+-+-+++ ()()2222229133434121443m my m m my m +-++==+-++． …… 16分法三：依题意，点M (x 1，y 1)， N (x 2，y 2)在椭圆C 上，所以22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，两式相减，得22222121043x x y y --+=， 即2121212134y y y y x x x x +-⋅=-+-，所以34OD k k ⋅=-，即34OD k k=-，所以直线OD 的方程为34y x k =-，令x ＝4，得3E y k =-，即34E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 所以33141k k k-==--． …… 12分又直线AM 的方程为()12y k x =+，与椭圆C 联立方程组()1222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，，整理得()2222111431616120k x k x k +++-=，所以211211612243k x k --⋅=+，得211216843k x k -=+，()11112112243ky k x k =+=+． 所以点M 的坐标为211221168124343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，． 同理，点N 的坐标为222222286124343k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，． 又点M ，N ，F 三点共线，所以12221222122212121243436886114343k k k k k k k k k -++==----++，整理得()()12124330k k k k +-=， 依题意，10k >，20k >，故213k k =．由1211221121124346814143k k k k k k k +==---+可得，21111141144k k k k k -==-，即11114k k k +=． 所以()21311111133344k k k k k k k k ⎛⎫⋅-=⋅+=⋅= ⎪⎝⎭． …… 16分11、（1）由题意，得2221c e a a c c⎧==⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得21a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以222,1a b ==，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=． ………………………………………4分（2）由题意，当直线AB 的斜率不存在或为零时显然不符合题意； 所以设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为()y k x m =-， 又准线方程为2x =，所以P 点的坐标为()2,(2)P k m -，………………………………………………6分由22()22y k x m x y =-⎧⎨+=⎩得，2222()2x k x m +-=，即22222(12)4220k x k mx k m +-+-=所以222214222121D k m k m x k k =⋅=++，22222121D k m km y k m k k ⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭， …………8分 所以12OD k k=-，从而直线OD 的方程为12y x k =-，（也可用点差法求解） 所以Q 点的坐标为12,Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，…………………………………………………10分所以以,P Q 为直径的圆的方程为()()212(2)0x y k m y k ⎛⎫-+--+= ⎪⎝⎭，即22142(2)0x x m y k m y k ⎛⎫-+++---= ⎪⎝⎭， ………………………………14分因为该式对0k ∀≠恒成立，令0y =，得22x m =±-，所以以PQ 为直径的圆经过定点(22,0)m ±-．………………………………16分 12、解：（1）因为椭圆过点(1，22)，离心率为22，所以1a 2＋12b 2＝1，b 2a 2＝1－e 2＝12，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1． ························································ 2分（2）由（1）知B (0，－1)，设M (x 0，y 0)，P (x ，y )．由BP →＝3BM →，得(x ，y ＋1)＝3(x 0，y 0＋1)， 则x ＝3x 0，y ＝3y 0＋2．又因为P 在直线x －y ＋2＝0上，所以y 0＝x 0．① ··································· 4分 因为M 在椭圆C 上，所以x 022＋y 02＝1，将①代入上式，得x 02＝23． ······························································· 6分所以|x 0|＝63，从而|x P |＝6， 所以S △PMA ＝S △P AB －S △MAB ＝12×2×6－12×2×63＝263． ···························· 8分（3）方法1由（1）知，A (0，1)，B (0，－1)．设D (0，m )，0＜m ＜1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．因为MN 的斜率为1，所以直线MN 的方程为：y ＝x ＋m ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22＋y 2＝1，消去y ，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝－4m3，x 1·x 2＝2m 2－23． …………………………………………10分直线MB 的方程为：y ＝y 1＋1x 1x －1，直线NA 的方程为：y ＝y 2－1x 2x ＋1，联立解得y P ＝(y 1＋1)x 2＋(y 2－1)x 1(y 1＋1)x 2－(y 2－1)x 1．……………………………………………12分将y 1＝x 1＋m ，y 2＝x 2＋m 代入，得y P ＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋x 2－x 1x 1＋x 2＋m (x 2－x 1)＝2·2m 2－23－4m 23＋(x 2－x 1)－4m 3＋m (x 2－x 1)＝－43＋(x 2－x 1)－4m 3＋m (x 2－x 1)＝1m ． ······························································ 14分所以OD →·OP →＝(0，m )·(x P ，y P )＝my P ＝m ·1m＝1． ……………………………16分方法2A (0，1)，B (0，－1)．设M (x 0，y 0)，则x 022＋y 02＝1．因为MN 的斜率为1，所以直线MN 的方程为：y ＝x －x 0＋y 0，则D (0，y 0－x 0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 0＋y 0，x 22＋y 2＝1，消去y ，得3x 2－4(x 0－y 0)x ＋2(x 0－y 0)2－2＝0，所以x N ＋x 0＝4(x 0－y 0)3，…………………………………………………………10分所以x N ＝x 0－4y 03，y N ＝－2x 0＋y 03，所以直线NA 的方程为：y ＝y N －1x N x ＋1＝2x 0＋y 0＋34y 0－x 0x ＋1 直线MB 的方程为：y ＝y 0＋1x 0x －1联立解得y P ＝2y 02＋x 02＋x 0＋2y 02y 02－x 02－x 0y 0－2x 0＋2y 0．……………………………………12分又因为x 022＋y 02＝1，所以y P ＝2＋x 0＋2y 0(2＋x 0＋2y 0)(y 0－x 0)＝1y 0－x 0，………………………………………14分所以OD →·OP →＝(0，y 0－x 0)·(x P ，y P )＝(y 0－x 0)1y 0－x 0＝1．……………………16分13、【解】（1）因为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为12，所以12c a =，则2a c =． 因为线段AF 中点的横坐标为22， 所以222a c -=． 所以2c =，则28a =，2226b a c -==．所以椭圆的标准方程为22186x y +=． …………………………………………………4分（2）因为(0)(0)A a F c -，，，，所以线段AF 的中垂线方程为：2a cx -=． 又因为△ABF 外接圆的圆心C 在直线y x -=上， 所以()22a c a cC ---，．…………………………………………………………………6分 因为(0)(0)A a B b ，，，，所以线段AB 的中垂线方程为：()22b a ay x b --=． 由C 在线段AB 的中垂线上，得()2222a cb a ac ab -----=，整理得，2()b a c b ac -+=，…………………………………………………………10分 即()()0b c a b -+=．因为0a b +>，所以b c =．……………………………………………………………12分 所以椭圆的离心率2222c c e a b c===+． …………………………………………14分14、【解】（1）设椭圆C 2的焦距为2c ，由题意，22a =，32c a =，222a b c =+，解得2b =，因此椭圆C 2的标准方程为22182y x +=． ……………………………3分（2）①1°当直线OP 斜率不存在时，21PA =-，21PB =+，则2132221PA PB -==-+． ……………………………4分2°当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y kx =，xO F A B（第17题）y PABxyO代入椭圆C 1的方程，消去y ，得22(41)4k x +=， 所以22441A x k =+，同理22841P x k =+．………6分所以222P A x x =，由题意，P A x x 与同号，所以2P A x x =，从而||||21322||||21P A P A P B P A x x x x PA PB x x x x ---====--++．所以322PA PB =-为定值． ……………………………………………………………8分 ②设00()P x y ，，所以直线1l 的方程为010()y y k x x -=-，即1100y k x k y x =+-， 记100t k y x =-，则1l 的方程为1y k x t =+，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得22211(41)8440k x k tx t +++-=， 因为直线1l 与椭圆C 1有且只有一个公共点，所以22211(8)4(41)(44)0k t k t =-+-=V ，即221410k t -+=，将100t k y x =-代入上式，整理得，222010010(4)210x k x y k y --+-=， ……………12分 同理可得，222020020(4)210x k x y k y --+-=，所以12k k ，为关于k 的方程2220000(4)210x k x y k y --+-=的两根，从而20122014y k k x -⋅=-．……………………………………………………………………14分又点在00()P x y ，椭圆C 2：22182y x +=上，所以2200124y x =-，所以2012201211444x k k x --⋅==--为定值． ………………………………………………16分 15、【解】（1）因为椭圆C 的上顶点为()03A ，，所以3b =， 又圆22214O x y a +=：经过点()01M ，， 所以2a =． …… 2分所以椭圆C 的方程为22143y x +=． …… 4分 （2）若1l 的斜率为0，则463PQ =，2MN =，所以△PQN 的面积为463，不合题意，所以直线1l 的斜率不为0． …… 5分设直线1l 的方程为1y kx =+，由221431y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y ，得22(34)880k x kx ++-=， 设()11P x y ，，()22Q x y ，， 则2124262134k k x k --⋅+=+，2224262134k k x k-+⋅+=+， 所以221212()()PQ x x y y =-+-22212246121134k k k x x k+⋅+=+-=+． …… 8分直线2l 的方程为11y x k=-+，即0x ky k +-=，所以22222111k MN k k =-=++． …… 11分 所以△PQN 的面积12S PQ MN =⋅2222461211232341k k k k+⋅+=⨯⋅=++， 解得12k =±，即直线1l 的斜率为12±． …… 14分。