上海市一模、二模或中考 数学答题纸
【2023年上海市初中一模数学卷】2023年上海市青浦区初中毕业生学业模拟考试试卷九年级数学及答案
2022学年第二学期九年级学业质量调研数学 试卷（完成时间：100分钟 满分：150分） 2023.3考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂]1．已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（ ） （A ）6； （B ）8； （C ）10； （D ） 12． 2．三角形的重心是（ ）（A ）三角形三条高线的交点； （B ）三角形三条角平分线的交点； （C ）三角形三条中线的交点； （D ）三角形三条边的垂直平分线的交点． 3．如果把一个锐角△ABC 的三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（ ） （A ）扩大为原来的2倍； （B ）缩小为原来的12； （C ）没有变化； （D ）不能确定． 4．已知非零向量a 、b 、c，下列条件中，不能判定向量a 与向量b平行的是（ ） （A ）c a //，c b //； （B ）||||a b =；（C ）2a c = ，3b c =； （D ）0=+b a ．5．如图1，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．如果OA ∶OC =OB ∶OD ，那么下列结论中一定正确的是（ ） （A ）①与②相似； （B ）①与③相似； （C ）①与④相似； （D ）②与④相似． 6．已知二次函数2(y x bx c b =++，c 为常数）．命题①：该函数的图像经过点（-1，0）； 命题②：该函数的图像经过点（-3，0）；命题③：该函数的图像与y 轴的交点位于x 轴的下方；命题④：该函数的图像的对称轴为直线 1x =-．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，那么这个假命题是（ ）（A ）命题①； （B ）命题②； （C ）命题③； （D ）命题④．④③②①ODCBA 图1EDFA Q G 二、填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分） [请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7． 如果32=b a ，那么=+b b a ． 8． 已知向量a 与单位向量e 方向相反，且2a = ，那么a = ．（用向量e的式子表示） 9． 如果两个相似三角形的周长比为1∶2，那么它们的对应中线的比为 ． 10．如果抛物线22y x x m =++-经过原点，那么m 的值等于 ． 11．抛物线231y x =-在y 轴右侧的部分是 ．（填“上升”或“下降”） 12．将抛物线2y x =-向左平移1个单位，所得抛物线的表达式是 ． 13．在△ABC 中，∠C =90º，如果cot ∠A =3，AC =6，那么BC = ．14．如图2，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，DE ∥BC ，EF ∥AB ，CF =3BF ．如果1=∆ADE S ，那么=DBCE S 四边形 ．15． 如图3，河堤横断面迎水坡AB 的坡比为3:1，坡高AC m 10=，则坡面AB 的长度是 ． 16．如图4，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4．点H 、F 分别在边AD 、BC 上，点E 、G 在对角线AC 上．如果四边形EFGH 是菱形，那么线段AH 的长为 ．17．如图5，点P 是正方形ABCD 内一点，AB =5，PB =3，P A ⊥PB ．如果将线段PB 绕点B 顺时针旋转90º，点P 的对应点为Q ，射线QP 交边AD 于点E ，那么线段PE 的长为 ．18．定义：如图6，点M ，N 把线段AB 分割成AM 、MN 和BN ，如果以AM 、MN 、NB 为边的三角形是一个直角三角形，那么称点M 、N 是线段AB 的勾股分割点．问题：如图7，在△ABC 中，已知点D 、E 是边AB 的勾股分割点（线段AD >EB ），射线CD 、CE 与射线AQ 分别交于点F 、G ．如果AQ ∥BC ，DE =3，EB =4，那么AF ∶AG 的值为 ．FEDCBA 图4图6图7HGA BCDEF 图2图3图5三、解答题（本大题共7题，满分78分） [请将解题过程填入答题纸的相应位置] 19．（本题满分10分）计算：()122sin 30cos 45tan30-︒︒︒+-+．20．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图8，在平行四边形ABCD 中，点F 在边AD 上，射线 BA 、CF 相交于点E ，DF=2AF ． （1）求EA ∶AB 的值；（2）如果BA a = ，BC b =，试用 a 、 b 表示向量CF ．21．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图9，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，BF 平分∠ABC 交AD 于点E ，BC =5，AD =4，sin 5C ∠=．（1）求sin ∠BAD 的值； （2）求线段EF 的长．22．（本题满分10分）某校九年级数学兴趣小组在实践活动课中测量路灯的高度．如图10，在A 处测得路灯顶端O 的仰角为26.6°，再沿AH 方向前行13米到达点B 处，在B 处测得路灯顶端O 的仰角为63.4°，求路灯顶端O 到地面的距离OH （点A 、B 、H 在一直线上）的长．（精确到0.1米） （参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，Sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.0）图10F E DCBA FE D CBA 图8图923．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图11，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，AD 、BE 相交 于点F ，∠AFE=∠ABC ，2AB AE AC =⋅． （1）求证：△ABF ∽△BCE ； （2）求证：DF BC DB CE ⋅=⋅．24．（本题满分12分， 其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图12，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22++=bx ax y 与x 轴交于点A （-1，0）和点B （2，0），与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）已知点P （1，m ）与点Q 都是抛物线上的点．① 求PBC ∠tan 的值；② 如果∠QBP =45°，求点Q 的坐标．25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）如图13，在△ABC 中，∠C =90°，AB =10，BC =8，动点D 、E 分别在边BA 、BC 上，且54BD CE =， 设BD =5t ．过点B 作BF ∥AC ，与直线DE 相交于点F ． （1）当DB =DE 时，求t 的值； （2）当t =25时，求FB AC的值； （3）当△BDE 与△BDF 相似时，求BF 的长．ABCDEF 图13图11F E DCBA参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）1．D ； 2．C ； 3．C ； 4．B ； 5．B ； 6．A ． 二、填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分）7．53； 8．2e - ； 9．1:2； 10．2； 11．上升； 12．()21y x =-+；13．2； 14．15； 15．20； 16．52； 17； 18．514．三、解答题：19．解：原式=2112+2-⨯-⎝⎭⎝⎭························································ （4分）=1112+-． ···················································································· （4分） =12． ················································································································· （2分） 20．解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB//CD ，AD//BC ，AB =CD ．········································································· （1分）∴AE AE AFAB CD FD==． ······················································································· （2分） ∵DF=2AF ， ∴12AF FD =． ··············································································· （1分）∴12EA AB =． ····································································································· （1分） （2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ． ······················· （1分）∵DF=2AF ，∴23DF DF AD BC ==． ······································································· （1分）∵BA a = ， BC b = ，∴CD a = ，23DF b =-． ···································· （2分）∴23CF CD DF a b =+=-． ··········································································· （1分）21．解：（1）∵AD ⊥BC ，AD =4，sin ∠∴4AD AC AC =，∴AC = ································································ （2分）∴在Rt △ACD 中，2CD ==．∵BC =5， ∴BD =BC –CD =5–2=3． ······································································ （1分）∵在Rt △ABD 中，5AB ==， ······················································ （1分）∴sin ∠BAD =35BD AB =． ·························································································· （1分） （2）∵AB=BC=5，BF 平分∠ABC ，∴BF ⊥AC ，12AF AC ==．············································································· （2分） ∴∠AFE =∠ADC ，又∵∠EAF =∠CAD ，∴AEF ∆∽ACD ∆， ································ （1分）∴EF AFCD AD=．即 2EF =EF ················································· （2分） 22．解：设OH 的长为x 米． ································································································· （1分）在Rt △OBH 中，∵tan OH OBH BH∠=，∴tan 63.42x xBH =≈︒． ·························· （3分）在Rt △AOH 中，∵tan OH OAH AH∠=，∴2tan 26.50.5x xAH x =≈=︒． ············· （3分）∵AB =AH -BH ，AB =13，∴2132x x -=．解得x =268.73≈（米）． ················································· （2分） ∴路灯顶端O 到地面的距离OH 的长为8.7米． ················································· （1分）23．证明：（1）∵2AB AE AC =⋅，∴AE AB AB AC=． ···························································· （1分）又∵∠BAE =∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB ． ································································ （1分） ∴∠ABF =∠C ，∠ABC =∠AEB ． ·············································································· （1分） ∵∠ABC =∠AFE ，∴∠AFE =∠AEB ． ······································································· （1分） ∴180°–∠AFE =180°–∠AEB ，即∠AFB =∠BEC ． ··············································· （1分） ∴△ABF ∽△BCE ． ································································································· （1分）（2）∵△ABF ∽△BCE ，∴CE BF CB AB =，∠CBE =∠BAF ． ······································· （2分）又∵∠BDF =∠ADB ，∴△DBF ∽△DAB ． ····························································· （1分） ∴BF DF AB DB =，∴CE CB =DF DB． ················································································ （2分） ∴DF BC DB CE ⋅=⋅． ························································································· （1分）24．解：（1）将A （-1，0）、B （2，0）代入2+2y ax bx =+，得204220.a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得：11.a b =-⎧⎨=⎩ ··························································· （2分） 所以，22y x x =-++． ················································································· （1分） 当x =0时，2y =．∴点C 的坐标为（0，2） ················································· （1分） （2）①过点P 作PH ⊥BC ，垂足为点H ． ∵P （1，m ）在22y x x =-++上，∴1122m =-++=，P （1，2） ． ······························································· （1分）∵C （0，2），B （2，0） ，∴BC =．PC ⊥OC ，∠BCO =45°，∠PCH =45°． ···································· （1分）∴CH PH ==BH=BC –CH==． ······························· （1分）∴tan ∠PBC=13PH BH ==． ···································································· （1分） ②由题意可知，点Q 在第二象限．过点Q 作QD ⊥x 轴，垂足为点D ．∵∠QBP =∠CBA=45°，∴∠QBD =∠CBP ．∵tan ∠PBC=13．∴tan ∠QBD =13QD BD =． ·························································· （1分） 设DQ =a ，则BD =3a ，OD =3a -2．∴Q （2-3a ，a ）． ········································ （1分）将Q （2-3a ，a ）代入22y x x =-++，得()223232a a a --+-+=．解得18=9a ，2=0a （舍）．∴P （23-，89）． ················································ （2分）25．解：（1）过D 作DH ⊥BC ，垂足为点H ． ······································································ （1分）∵∠C= 90° ，∴DH ∥AC ．∴45BH BC BD BA ==． ················································ （1分） ∵BD =DE =5t ，∴BH =EH =4t ． ··············································································· （1分）又∵BC =8，CE =4t ，∴12t =8，t =23． ····································································· （1分） （2）当t =25时，得BD =2，CE =85，BE =532．∵BE>BD ，∴点F 是射线ED 与直线BF 的交点 ················································· （1分）过E 作EG ∥AC ，交AB 于点G ，则BF ∥GE ∥AC ．∴AG CE AB CB = ，2AG =．∴10226DG =--=． ······································ （1分） ∴2163BF BD GE DG ===，84105GE BG AC BA ===． ···················································· （1分） ∴1443515BF BF GE AC GE AC =⨯=⨯=． ···································································· （1分） （3）（i ）当点F 是射线ED 与BF 的交点时，∵∠BDE>∠F ，∠BDE>∠FBD ，又∵△BDE 与△BDF 相似， ∴∠BDE =∠BDF=90°．∵∠BDE =∠C ，∠DBE =∠CBA ，∴BDE ∆∽BCA ∆． ···················································································· （1分）∴BD BEBC BA=．即584810t t -=．解得3241t =． ∴16041BD =． ············ （1分） ∵∠F =∠DBE ，∴sin ∠F =sin ∠DBE ．∴BD AC BF AB =．解得 800123BF =．（1分） （ii ）当点F 是射线DE 与BF 的交点时，∵△BDE 与△BDF 相似，又∵∠BDE =∠BDF ， ∴∠DBE =∠F ，即∠ABC =∠F ， 又∵∠EBF =∠C ，∴BEF ∆∽CAB ∆． ∴BF BE BC AC =，即8486BF t -=．解得()4843BF t =-． ······················ （1分）过D 作DM ⊥BC ，垂足为点M ．由BD =5t ，得DM =3t ，BM =4t ，EM ==8t –8． ∵BF ∥DM ，∴ ∠EDM =∠F=∠ABC ．∴tan ∠EDM =tan ∠ABC ． ∴DM =()4883t -．∴()48833t t -=．解得3223t =． ······························ （1分） ∴()422484369BF t =-=． ··········································································· （1分）800 123或22469．综上所述，当△BDE与△BDF相似时，BF的长为。
2024年上海市中考数学徐汇区二模卷和参考答案
2023学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学 试卷 2024.4（时间100分钟 满分150分）考生注意∶1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】 1．下列实数中，有理数是（A ）3； （B ）4； （C ）5； （D ）6． 2．下列单项式中，与单项式322b a 是同类项的是（A ）4ab −； （B ）232b a ； （C ）233a b ； （D ）c b a 222−． 3．已知一次函数b kx y +=的图像经过第一、二、四象限，那么直线k bx y +=经过 （A ）第二、三、四象限； （B ）第一、二、三象限； （C ）第一、二、四象限； （D ）第一、三、四象限．4．如表1，记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择 （A ）甲； （B ）乙； （C ）丙； （D ）丁． 5．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，如果添加一个条件使得□ABCD 是矩形，那么下列添加的条件中正确的是 （A ）︒=∠+∠90ADO DAO ； （B ）ACD DAC ∠=∠； （C ）BAC DAC ∠=∠； （D ）ABC DAB ∠=∠． 6．如图，一个半径为cm 9的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了︒120，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是 （A ）π5 cm ； （B ）π6 cm ； （C ）π7cm ； （D ）π8cm ．表1 甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差统计表BOACD（第5题图）（第6题图）二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．方程012=−−x x 的根是___▲___． 8．不等式组⎩⎨⎧>−−>−1)3(23,312x x x 的解集是___▲___．9．方程组⎩⎨⎧=−=+02,522y x y x 的解是____▲____．10．关于x 的一元二次方程012=−−mx x 根的情况是：原方程__▲___实数根．11．如果二次函数1422+−=x x y 的图像的一部分是上升的，那么x 的取值范围是▲_．12．如果反比例函数xy 4−=的图像经过点)2,(t t A −，那么t 的值是____▲_____． 13．如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任意取出三条，那么取出的三条线段能构成三角形的概率是__▲__．14．小杰沿着坡比4.2:1=i 的斜坡，从坡底向上步行了130米，那么他上升的高度是▲米． 15．某校为了了解学生家长对孩子用手机的态度问题，随机抽取了100名家长进行问卷调查， 每位学生家长只有一份问卷，且每份问卷仅表明一种态度（这100名家长的问卷真实有效），将这100份问卷进行回收整理后，绘制了如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．如果该校共有2000名学生，那么可以估计该校对手机持“严格管理”态度的家长有__▲__人．16．如图，梯形ABCD 中，AD BC //，CD AB =，AC 平分BAD ∠，如果AB AD 2=，a AB=，b AD =，那么AC 是_▲_（用向量a 、b 表示）． 17．如图，在ABC ∆中，6==AC AB ，4=BC ． 已知点D 是边AC 的中点，将ABC ∆沿直线BD 翻折，点C 落在点E 处，联结AE ，那么AE 的长是_▲__． 18．如图，点A 是函数)0(8<−=x x y 图像上一点，联结OA 交函数)0(1<−=x xy 图像于 点B ，点C 是x 轴负半轴上一点，且AO AC =，联结BC ，那么ABC ∆的面积是_▲_．（第16题图）D AB C（第17题图）AB C （第15题图1）不管询问 管理（第15题图2） 25℅ 从来 不管 严格 管理稍加 询问三、（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分） 19．（本题满分10分）计算：212218−+−−π．20．（本题满分10分）解方程：21416222+=−−−+x x x x ． 21．（本题满分10分）如图，⊙1O 和⊙2O 相交于点A 、B ，联结AB 、21O O 、2AO ，已知48=AB ，5021=O O ，302=AO ．（1）求⊙1O 的半径长；（2）试判断以21O O 为直径的⊙P 是否经过点B ，并说明理由． 22．（本题满分10分）A 市“第××届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送8名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐4人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地15千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车．已知这辆车的平均速度是每小时60千米，人步行的平均速度是每小时5千米（上、下车时间忽略不计）．（1）如果该小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达？并说明理由；（2）试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行性的理由． 23．（本题满分12分） 如图，在菱形ABCD 中，点E 、G 、H 、F 分别在边AB 、BC 、CD 、DA 上，AF AE =，CH CG =，AE CG ≠． （1）求证：GH EF //； （2）分别联结EG 、FH ，求证：四边形EGHF 是等腰梯形．（第23题图）E A B C DFGH （第21题图）AB1O 2O24．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线)0(442>+−=a ax ax y 与x 轴交于点)0,1(A 和点B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点B 的坐标；（2）已知点),0(m M ，联结BC ，过点M 作BC MG ⊥，垂足为G ，点D 是x 轴上的动点，分别联结GD 、MD ，以GD 、MD 为边作平行四边形GDMN ．① 当23=m 时，且□GDMN 的顶点N 正好落在y 轴上，求点D 的坐标； ② 当0≥m 时，且点D 在运动过程中存在唯一的位置，使得□GDMN 是矩形，求m 的值．25．（本题满分14分）如图，在扇形OAB 中， 26==OB OA ，︒=∠90AOB ，点C 、D 是弧AB 上的动点（点C 在点D 的上方，点C 不与点A 重合，点D 不与点B 重合），且︒=∠45COD ． （1）①请直接写出弧AC 、弧CD 和弧BD 之间的数量关系；②分别联结AC 、CD 和BD ，试比较BD AC +和CD 的大小关系，并证明你的结论； （2）联结AB 分别交OC 、OD 于点M 、N ．①当点C 在弧AB 上运动过程中， BM AN ⋅的值是否变化，若变化请说明理由；若不变，请求BM AN ⋅的值；②当5=MN 时，求圆心角DOB ∠的正切值．（第25题图）BA CDO2023学年第二学期徐汇区初三年级数学学科学习能力诊断卷参考答案和评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．C ； 3．D ； 4．A ； 5．D ； 6．B ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．1=x ； 8．2>x ； 9．⎩⎨⎧==1,2y x 或⎩⎨⎧−=−=1,2y x ； 10．有两个不相等的；11．1≥x ； 12．2±； 13．21； 14．50； 15．400；16．b a21+； 17．171710； 18．228−．三、（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19. 解：原式21)12(22−+−−=1122++−=2=．20．解：去分母，得216)2(2−=−+x x ；化简，得01032=−+x x ； 解得 51−=x ，22=x ； 经检验，2=x 是原方程的增根；所以，原方程的根是5−=x ．21．解：（1）联结1AO ，设21O O 与AB 的交点为C ． ∵⊙1O 和⊙2O 相交于点A 、B ，∴2421==AB AC ，AB O O ⊥21； 在2ACO Rt ∆中，︒=∠902ACO ，∴182430222222=−=−=AC AO CO ；∴3218502211=−=−=CO O O CO ；在1ACO Rt ∆中，︒=∠901ACO ， ∴402432222211=+=+=AC CO AO ；即⊙1O 的半径长为40．（2）以21O O 为直径的⊙P 经过点B ．∵535030212==O O AO ，53301822==AO CO ； ∴22212AO CO O O AO =，又A O O C AO 212∠=∠； ∴21O AO ∆∽2ACO ∆；∴︒=∠=∠90221ACO AO O ； 取21O O 的中点P ，联结AP 、BP ．∴1PO AP =； 又21O O 垂直平分AB ，1PO AP BP ==； ∴以21O O 为直径的⊙P 经过点B ．22．解：（1）他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地．∵单程送达比赛场地的时间是：)(15)(25.06015分钟小时==÷； ∴送完另4名学生的时间是：)(42)(45315分钟分钟>=⨯：∴他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地． （2）方案不唯一．如：先将4名学生用车送达比赛场地，另外4名学生同时步行前往比赛场地， 汽车到比赛场地后返回到与另外4名学生的相遇处再载他们到比赛场地．（用 这种方案送这8名学生到达比赛场地共需时间约为4.40分钟）．理由如下：先将4名学生用车送达比赛场地的时间是：)(15)(25.06015分钟小时==÷ 此时另外4名学生步行路程是：25,125,05=⨯(千米)；设汽车与另外4名学生相遇所用时间为t 小时．则25.115605−=+t t ；解得5211=t （小时）13165=（分钟）； 从相遇处返回比赛场地所需的时间也是13165（分钟）；所以，送这8名学生到达比赛场地共需时间为：4.4021316515≈⨯+（分钟）； 又424.40<；所以，用这种方案送这8名学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地．23．证明：（1）联结BD ．∵四边形ABCD 是菱形， ∴CD BC AD AB ===；又AF AE =，CH CG =，∴AD AF AB AE =，CDCHCB CG =； ∴BD EF //，BD GH //； ∴GH EF //．（2）∵BD EF //，∴AB AEBD EF =； ∵BD GH //，∴BCCGBD GH =；又AE CG ≠，∴GH EF ≠； 又GH EF //，∴四边形EGHF 是梯形； ∵AF AD AE AB −=−,即DF BE =； 又CH CD CG BC −=−，即DH BG =； ∵四边形ABCD 是菱形，∴D B ∠=∠； ∴DHF BGE ∆≅∆；∴FH EG =； ∴梯形EGHF 是等腰梯形．24．解：（1）由题意，得044=+−a a ；解得34=a ；∴抛物线的表达式为4316342+−=x x y ； ∵抛物线的对称轴是直线2=x ，∴点)0,3(B ． （2）①由题意，得)4,0(C 、)23,0(M ，∴25=CM ； ∵四边形GDMN 是平行四边形，∴NM GD //； 又点N 在y 轴上，∴OD NM ⊥；∴OD GD ⊥； 在BOC Rt ∆中。
2024届上海市徐汇区高三二模数学试题及答案
第12题图上海市徐汇区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合22A y y x ，集合2430B x x x ，那么A B ．2.已知复数1iz i（i 为虚数单位），则z z ．3.在ABC 中，1AC ，2C ，A，则ABC 的外接圆半径为．4.5.6.7.8.9.10.11.不与O 点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点P 满足OP AB ，则OAP 面积的取值范围是．12.如图所示，已知ABC 满足8BC ，3AC AB ，P 为ABC 所在平面内一点．定义点集13,3P AP AB AC R D．若存在点0P D ，使得对任意P D ，满足0AP AP恒成立，则0AP的最大值为．第11题图二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.在下列函数中，值域为R 的偶函数是（）.A 13y x ；.B lg y x ；.C x x y e e ；.D 3cos y x x ．14.为了研究y 关于x 的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：.A ˆa.B 当x .C .D 15.）.A 若 .B 若 .C .D 若16.三棱锥90 ，二面角P BC A 的大小为45 ，则对以下两个命题，判断正确的是（）①三棱锥O ABC 的体积为83；②点P 形成的轨迹长度为．.A ①②都是真命题；.B ①是真命题，②是假命题；.C ①是假命题，②是真命题；.D ①②都是假命题．第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数 y f x ，其中 122log 2xf x x ．（1）求证： y f x 是奇函数；（2）若关于x 的方程 12log f x x k 在区间 3,4上有解，求实数k 的取值范围．18.如图，4，ABC 是底面圆O （1）（2）19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如右表．（单位：个）（1）若规定显著性水平0.05 ，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效；（2）已知中草药乙对该疾病的治疗有效率数据如下：对未服用过中草药甲的患者治疗有效率为12，对服用过中草药甲的患者治疗有效率为34．若用频率估计20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆224:13x y C ，1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，1F 、2F 分别为左、右焦点，直线l 交椭圆C 于M 、N 两点（l 不过点2A ）．（1）若Q 为椭圆C 上（除1A 、2A 外）任意一点，求直线1QA 和2QA 的斜率之积；（2）若112NF F M，求直线l 的方程；（3）若直线2MA 与直线2NA 的斜率分别是1k 、2k ，且1294k k，求证：直线l 过定点．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题（i ）满分6分，第2小题（ii ）满分8分）已知各项均不为0的数列 n a 满足2211n n n n n a a a a a（n 是正整数），121a a ，定义函数111!nkn k y f x x k（0x ），e 是自然对数的底数．（1）求证：数列1n n a a是等差数列，并求数列 n a 的通项公式；（2）记函数 n y g x ，其中 1xn n g x e f x ；（i ）证明：对任意0x ， 3430g x f x f x ；（ii ）数列 n b 满足12n n nb a ，设n T 为数列 n b 的前n 项和．数列 n T 的极限的严格定义为：若m 满足：当n m n T 的极限T ．上海市徐汇区2024届高三二模数学试卷-简答参考答案及评分标准2024.4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1． 3, 2.2 3.14.35.816.17.2108.79.76410.7211.12.3二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.B 14.D 15.C 16.A三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【解】（1）证明:函数122log 2xy x 的定义域为 22D x x x 或，在D 中任取一个实数x ，都有x D ，并且1111222222()log log log ()222x x x f x f x x x x.因此，122log 2xy x 是奇函数.（2） 12()log f x x k 等价于22x x k x即24122x k x x x x在 3,4上有解．记4()12g x x x，因为()g x 在 3,4上为严格减函数，所以，max ()(3)2g x g ，min ()(4)1g x g ，故()g x 的值域为 1,2 ，因此，实数k 的取值范围为 1,2 ．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）【解】（1）在椭圆22:143x y C 中，左、右顶点分别为12(2,0)(2,0)A A 、，设点 000,(2)Q x y x ，则12202000220000312244344QA QA x y y y k k x x x x ．（2）设 1122,,,M x y N x y ，由已知可得1(1,0) F ，122111(1,)(+1,)NF x y F M x y，，由112 NF FM 得2211(1,)2(+1,) x y x y ，化简得2121=322 x x y y 代入2222431 x y 可得22114(32)(32)1 x y ，联立2211431 x y 解得117=4=8x y 由112 NF FM 得直线l 过点1(1,0) F ，7(,4 N ，所以，所求直线方程为=(1)2y x.（3）设 3344,,,M x y N x y ，易知直线l 的斜率不为0，设其方程为x my t （2 t ），联立22143x my tx y ，可得2223463120m y mty t ，由2222364(34)(312)0m t m t ，得2234t m ．由韦达定理，得234342263123434， mt t y y y y m m ．1294k k ，34349224y y x x ．可化为 343449220 y y my t my t ，整理即得 223434499(2)9(2)0 m y y m t y y t ，222223126499(2)9(2)03434t mt m m t t m m ，由20t ，进一步得2222(49)(2)183(2)03434m t m t t m m ，化简可得16160t ，解得1t ，直线MN 的方程为1x my ，恒过定点(1,0)．21.（本题满分18分，第（1）小题满分4分，第（2）（i ）满分6分，第（2）（ii ）满分8分）（方法二）而对于任意0u ，只需22e n u 且4n 时，可得22222222222!123n n e e e u e n n u个…….故存在22max ,5e m u，当n m 时，恒有n T T u ，因而n T 的极限2T e .。
2024年上海杨浦区初三二模数学试卷和答案
上海杨浦区2023-2024学年第二学期初三质量调研数学学科（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分，下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上）1.下列根式中，）A.B.C.D.2.已知a b >，下列不等式成立的是（）A.a b->- B.22a b-<- C.22a b< D.a b -<3.当k ＜0，b ＜0时，一次函数y =kx +b 的图像不经过．．．（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知一组数据a ，2，4，1，6的中位数是4，那么a 可以是（）A.0B.2C.3D.55.下列命题中，真命题的是（）A.四条边相等的四边形是正方形B.四个内角相等的四边形是正方形C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形D.对角线互相垂直的矩形是正方形6.如图，在ABC 中，AB AC ≠，120BAC ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转，点A 、B 分别落在点D 、E 处，如果点A 、D 、E 在同一直线上，那么下列结论错误的是（）A.60ADC ∠=︒B.60ACD ∠=︒C.BCD ECD∠=∠ D.BAD BCE∠=∠二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分，请将结果直接填入答题纸的相应位置上）7.计算：3262a a ÷=______．8.在实数范围内因式分解23=x -__________9.函数1y x =-__________．10.若关于x 的方程260x x k -+=有两个实数根，则k 的取值范围是________．11.布袋中有大小、质地完全相同的5个小球，每个小球上分别标有数字1，2，3，4，5，如果从布袋中随机抽一个小球，那么这个小球上的数字是合数的概率是______．12.已知反比例函数1k y x-=的图象在每一个象限内，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是_________．13.根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为x ，根据题意可列方程______．14.如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边AD 的中点，CE 与对角线BD 相交于点F ，设向量AB a =，向量BC b=，那么向量BF = ______．（用含a 、b 的式子表示）15.近年来越来越多的“社区食堂”出现在街头巷尾，它们是城市服务不断丰富的缩影．已知某社区食堂推出了15元、18元、20元三种价格的套餐，每人限购一份．据统计，3月16日该食堂销售套餐共计160份，其中15元的占总份数的40%，18元的卖出40份，其余均为20元，那么食堂这一天卖出一份套餐的平均价格是______元．16.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线交边BC 于点D ，如果4BD CD =，那么tan B =______．17.如图，已知一张正方形纸片的边长为6厘米，将这个正方形纸片剪去四个角后成为一个正八边形，那么这个正八边形的边长是______厘米．18.已知矩形ABCD 中，5AB =，以AD 为半径的圆A 和以CD 为半径的圆C 相交于点D 、E ，如果点E 到直线BC 的距离不超过3，设AD 的长度为m ，则m 的取值范围是______．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.计算：)112112713-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭．20.解方程组：222124440x y x xy y +=⎧⎨-+-=⎩．21.如图，已知在ABC 中，9AB AC ==，5cos 3B =，点G 是ABC 的重心，延长AG 交边BC 于点D ，以G 为圆心，GA 为半径的圆分别交边AB 、AC 于点E 、F ．（1）求AG 的长；（2）求BE 的长．22.寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6∶00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程y （千米）与所用时间x （小时）的函数图像．根据图像提供的信息回答下列问题：（1）图中的=a _______，b =______；（2）求提速后y 关于x 的函数解析式（不用写出定义域）；（3）她们能否在中午12∶30之前到达目的地？请说明理由．23.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB CD =，BD BC =，DBC ∠的平分线交AD 延长线于点E ，交CD 于点F ．（1）求证：四边形BCED 是菱形；（2）连接AC 交BF 于点G ，如果AC CE ⊥，求证：2AB AG AC =⋅．24.定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l 外有一点H ，圆Q 经过点H 且与直线l 相切，则称圆Q 是点H 与直线l 的点切圆．阅读以上材料，解决问题：已知直线OA 外有一点P ，PA OA ⊥，4OA =，2AP =，圆M 是点P 与直线OA 的点切圆．（1）如果圆心M 在线段OP 上，那么圆M 的半径长是_____（直接写出答案）．（2）如图2，以O 为坐标原点、OA 为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，点P 在第一象限，设圆心M 的坐标是(),x y ．①求y 关于x 的函数解析式；②点B 是①中所求函数图象上的一点，连接BP 并延长交此函数图象于另一点C ．如果:1:4CP BP =，求点B 的坐标．25.已知以AB 为直径的半圆O 上有一点C ，CD OA ⊥，垂足为点D ，点E 是半径OC 上一点（不与点O 、C 重合），作EF OC ⊥交弧BC 于点F ，连接OF ．（1）如图1，当FE 的延长线经过点A 时，求CDAF的值；（2）如图2，作FG AB ⊥，垂足为点G ，连接EG ．①试判断EG 与CD 的大小关系，并证明你的结论；②当EFG 是等腰三角形，且4sin 5COD ∠=，求OE OD的值．2023学年度第二学期初三质量调研数学学科含答案（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分，下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上）1.下列根式中，）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】此题考查同类二次根式，解题关键在于先化简．化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．【详解】解：A ．B ．被开方数不同，故不是同类二次根式；C ．=D ．=故选C ．2.已知a b >，下列不等式成立的是（）A.a b->- B.22a b-<- C.22a b< D.a b -<【答案】B 【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质，易错在不等式的基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．不等式性质：基本性质1．不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变．基本性质2．不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．基本性质3．不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据性质逐一分析即可．【详解】解：A ．∵a b >，∴a b -<-，故不符合题意；B ．∵a b >，∴a b -<-，∴22a b -<-，故符合题意；C ．∵a b >，∴22a b >，故不符合题意；D ．∵a b >，∴0a b ->，故不符合题意．故选：B ．3.当k ＜0，b ＜0时，一次函数y =kx +b 的图像不经过．．．（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】先根据k 判断是经过一三象限还是二四象限，然后再根据b 的值判断在y 轴的哪半轴，从而得出结果．【详解】解：∵k ＜0，∴函数图像经过第二四象限，∵b ＜0，∴图像与y 轴负半轴相交，∴图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数的图像，解题的关键是根据一次函数的解析式判断其经过的象限．4.已知一组数据a ，2，4，1，6的中位数是4，那么a 可以是（）A.0B.2C.3D.5【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是中位数的定义，属于基本题型，熟知中位数的概念是解题的关键．根据中位数的定义先确定从小到大排列后a 的位置，再解答即可．【详解】解：根据题意，a 的位置按照从小到大的排列是：1，2，4，a ，6或1，2，4，6，a ；∴4a >．∴D 符合题意故选D ．5.下列命题中，真命题的是（）A.四条边相等的四边形是正方形B.四个内角相等的四边形是正方形C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形D.对角线互相垂直的矩形是正方形【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．【详解】解：A 、四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项不符合题意；B 、四个内角相等的四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项不符合题意；C 、对角线互相垂直的平行四边形是是菱形，不一定是正方形，故本选项不符合题意；D 、对角线互相垂直的矩形是正方形，命题正确，符合题意；故选：D ．6.如图，在ABC 中，AB AC ≠，120BAC ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转，点A 、B 分别落在点D 、E 处，如果点A 、D 、E 在同一直线上，那么下列结论错误的是（）A.60ADC ∠=︒B.60ACD ∠=︒C.BCD ECD∠=∠ D.BAD BCE∠=∠【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质等知识，解题关键是熟练运用旋转的性质．由旋转的性质可得BAC EDC △≌△，ACD BCE ∠=∠，再结合已知条件逐一分析判断即可．【详解】解：A ．由旋转的性质可知，120EDC BAC ∠=∠=︒，∴当点A 、D 、E 在同一条直线上时，18060ADC EDC ∠=︒-∠=︒，故选项A 不符合题意；B ．由旋转的性质可知，BAC EDC △≌△，∴BCA ECD ∠=∠，CA CD =，由∵60ADC ∠=︒，∴ACD 为等边三角形，∴60ACD ∠=︒，故选项B 不符合题意；C 、∵BCA ECD ∠=∠，60ACD ∠=︒，∴由旋转的性质可得：60BCE ACD ∠=∠=︒，当BCD ECD ∠=∠时，∴30ACB BCD ECD ∠=∠=∠=︒，与题干条件矛盾，∴选项C 符合题意D ．∵ACD 为等边三角形，∴60DAC ∠=︒，∵120BAC ∠=︒，∴1206060BAE BAC DAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∵60BCE ∠=︒，∴BAD BCE ∠=∠，故选项D 不符合题意；故选：C ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分，请将结果直接填入答题纸的相应位置上）7.计算：3262a a ÷=______．【答案】3a 【解析】【分析】本题考查了单项式的除法，熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是关键．根据单项式除以单项式的运算法则计算即可．【详解】解：32623a a a ÷=，故答案为：3a ．8.在实数范围内因式分解23=x -__________【答案】(x x ##(x x 【解析】【分析】根据平方差公式分解因式即可．【详解】解：(23=x x x -．故答案是：(x x ．【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，掌握()()22a b a b a b -=+-是解题的关键．9.函数y =__________．【答案】1x ＞【解析】【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式即可．【详解】解：根据题意可得，1x -＞0，解得，1x ＞，故答案为：1x ＞．【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，解题关键是熟练运用相关性质列不等式，确定自变量的取值范围．10.若关于x 的方程260x x k -+=有两个实数根，则k 的取值范围是________．【答案】9k ≤【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：由题意得：243640b ac k ∆=-=-≥，解得：9k ≤；故答案为9k ≤．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．11.布袋中有大小、质地完全相同的5个小球，每个小球上分别标有数字1，2，3，4，5，如果从布袋中随机抽一个小球，那么这个小球上的数字是合数的概率是______．【答案】15【解析】【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率()m P A n=．求出事件全部结果数及摸出的小球所标数字是合数的全部结果数，由概率计算公式即可求得答案．【详解】解：∵共五个数，合数为4，共1个，∴从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是合数的概率为15，故答案为：15．12.已知反比例函数1k y x-=的图象在每一个象限内，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是_________．【答案】1k >##1k<【解析】【分析】根据反比例函数的性质进行作答，当反比例函数系数0k >时，它图象所在的每个象限内y 随x 的增大而减小．【详解】解：∵在每个象限内，y 随着x 的增大而减小，∴10k ->，即1k >，故答案为：1k >．【点睛】本题主要考查反比例函数y kx =的性质，对于反比例函数（0k ≠），（1）0k >，反比例函数图象在一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小；（2）0k <，反比例函数图象在第二、四象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．13.根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为x ，根据题意可列方程______．【答案】()24.321 4.72x +=【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据上海市2021年及2023年我国国民生产总值，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：依题意得：()24.321 4.72x +=．故答案为：()24.321 4.72x +=．14.如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边AD 的中点，CE 与对角线BD 相交于点F ，设向量AB a =，向量BC b =，那么向量BF = ______．（用含a 、b 的式子表示）【答案】2233b a - 【解析】【分析】本题主要考查平面向量的知识，结合平行四边形性质，相似三角形的性质解题是关键．利用平行四边形的性质可先证明23BF BD =，然后用三角形法则表示出BD ，即可得到BF ．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥，DC AB =，AD BC ∥，AD BC =，∴BC AD b == ，DEF BCF △∽△，∵E 是边AD 的中点，∴12DE DF BC BF ==，∴23BF BD =，∵BD BA AD BA BC b a =+=+=- ，∴222333BF BD b a ==- ，故答案为：2233b a - 15.近年来越来越多的“社区食堂”出现在街头巷尾，它们是城市服务不断丰富的缩影．已知某社区食堂推出了15元、18元、20元三种价格的套餐，每人限购一份．据统计，3月16日该食堂销售套餐共计160份，其中15元的占总份数的40%，18元的卖出40份，其余均为20元，那么食堂这一天卖出一份套餐的平均价格是______元．【答案】175.【解析】【分析】本题考查的是加权平均数的含义，用各自的单价乘以各自的权重即可得到答案．【详解】解：∵4016025%÷=，∴20元的占比140%25%35%--=，∴食堂这一天卖出一份套餐的平均价格是1540%1825%2035%17.5⨯+⨯+⨯=（元），故答案为：175.16.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线交边BC 于点D ，如果4BD CD =，那么tan B =______．【答案】155【解析】【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，求解锐角的正切，如图，连接AD ，设CD x =，可得4AD BD x ==，求解AC ==，再利用正切的定义可得答案．【详解】解：如图，连接AD ，∵4BD CD =，设CD x =，∴4BD x =，∵AB 的垂直平分线交边BC 于点D ，∴4AD BD x ==，∵90C ∠=︒，∴AC ==，∴1515tan 45AC B BC x x ===+；故答案为155．17.如图，已知一张正方形纸片的边长为6厘米，将这个正方形纸片剪去四个角后成为一个正八边形，那么这个正八边形的边长是______厘米．【答案】6-##6-+【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，读懂题目信息，根据正方形的边长列出方程是解题的关键．设正八边形的边长为x ，表示出剪掉的等腰直角三角形的直角边，再根据正方形的边长列出方程求解即可．【详解】解：如图设正八边形的边长为x ，则剪掉的等腰直角三角形的直角边为22x ， 正方形的边长为6，∴622x x ++=，解得6x ==，故答案为：6-．18.已知矩形ABCD 中，5AB =，以AD 为半径的圆A 和以CD 为半径的圆C 相交于点D 、E ，如果点E 到直线BC 的距离不超过3，设AD 的长度为m ，则m 的取值范围是______．【答案】5102m ≤≤【解析】【分析】如图，当E 在AB 的左侧时，连接AC ，AE ，CE ，过E 作ER BC ⊥于R ，作ES AB ⊥于S ，如图，当E 在AB 的右侧时，连接AC ，AE ，CE ，过E 作EH BC ⊥于H ，交AD 于Q ，再分别求解m 的值，从而可得答案．【详解】解：如图，当E 在AB 的左侧时，连接AC ，AE ，CE ，过E 作ER BC ⊥于R ，作ES AB ⊥于S ，∵矩形ABCD ，5AB =，AD m =，∴四边形ERBS 为矩形，AD CB m ==，5AB CD ==，∴ES BR =，3ER BS ==，∴532AS =-=，∵A ，C 为圆心，∴AC 是DE 的垂直平分线，∴AD AE m ==，5CD CE ==，∵3ER =，∴22534CR =-=，∴4ES BR m ==-，在Rt AES 中，()22242m m =-+，解得：52m =；如图，当E 在AB 的右侧时，连接AC ，AE ，CE ，过E 作EH BC ⊥于H ，交AD 于Q ，∵矩形ABCD ，5AB =，AD m =，∴AD CB m ==，5AB CD ==，四边形CDQH 为矩形，∴5QH CD ==，同理可得：AD AE m ==，5CD CE ==，∵3EH =，∴224QD CH CE EH ==-=，∴4AQ m =-，∵538EQ =+=在Rt AEQ △中，()22248m m =-+，∴10m =，综上：点E 到直线BC 的距离不超过3，则5102m ≤≤；故答案为：5102m ≤≤【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，勾股定理的应用，两圆的位置关系，线段的垂直平分线的性质，确定临界点是解本题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.计算：)0112112713-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭．【答案】13322-【解析】【分析】本题考查的是分数指数幂的运算，二次根式的混合运算，整数指数幂的运算，掌握运算法则是解本题的关键，先计算负整数指数幂，零次幂，分数指数幂，化简绝对值，再合并即可．【详解】解：)0112112713-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭11=-11122=++-13322=-；20.解方程组：222124440x yx xy y+=⎧⎨-+-=⎩．【答案】572xy=⎧⎪⎨=⎪⎩或752xy=⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】本题考查的是二元二次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，先把方程组化为212220x yx y+=⎧⎨-+=⎩或212220x yx y+=⎧⎨--=⎩，再解二元一次方程组即可．【详解】解：222124440x yx xy y+=⎧⎨-+-=⎩①②，由②得：()2240x y--=，∴()()22220x y x y-+--=，∴220x y-+=或220x y--=，∴212220x yx y+=⎧⎨-+=⎩或212220x yx y+=⎧⎨--=⎩，解得：572xy=⎧⎪⎨=⎪⎩或752xy=⎧⎪⎨=⎪⎩．21.如图，已知在ABC中，9AB AC==，5cos3B=，点G是ABC的重心，延长AG 交边BC于点D，以G为圆心，GA为半径的圆分别交边AB、AC于点E、F．（1）求AG 的长；（2）求BE 的长．【答案】（1）4（2）113【解析】【分析】（1）先证明BD CD =，AD BC ⊥，23AG AD =，结合5cos 3B =，可得35CD BD ==（2）过G 作GH AB ⊥于H ，可得EH AH =，证明B AGH ∠=∠，求解453GH =，可得2283AH AG GH =-，从而可得答案．【小问1详解】解：∵9AB AC ==，点G 是ABC 的重心，∴BD CD =，AD BC ⊥，23AG AD =，∵5cos 3B =，∴53BD AB =，∴35CD BD ==∴226AD AB BD =-=，∴243AG AD ==；【小问2详解】如图，过G 作GH AB ⊥于H ，∴EH AH =，∵90ADB AHG ∠=︒=∠，∴90B BAD BAD AGH ∠+∠=︒=∠+∠，∴B AGH ∠=∠，∴cos cos 3GH B AGH AG=∠==，∴453GH =，∴83AH ==，∴816233AE =⨯=，∴1611933BE =-=．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，重心性质，等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．22.寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6∶00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程y （千米）与所用时间x （小时）的函数图像．根据图像提供的信息回答下列问题：（1）图中的=a _______，b =______；（2）求提速后y 关于x 的函数解析式（不用写出定义域）；（3）她们能否在中午12∶30之前到达目的地？请说明理由．【答案】（1）3；320；（2）提速后y 关于x 的函数解析式为100620y x =-+．（3）能．理由见解析【解析】【分析】（1）根据图象求出a 的值，根据“离目的地的路程=家与目的地之间的距离-行驶的路程”可计算b 的数值；（2）利用待定系数法求解即可；（3）当0y =时求出对应x 的值，计算出到达目的地的时间，从而作出判断即可．【小问1详解】解：由题意可得：213a =+=，480802320b =-⨯=．【小问2详解】设提速后y 关于x 的函数解析式为y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）．将坐标()3,320和()5,120代入y kx b =+，得33205120k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得100620k b =-⎧⎨=⎩，∴提速后y 关于x 的函数解析式为100620y x =-+．【小问3详解】能．理由如下：当她们到达目的地时，0y =，得1006200x -+=，解得 6.2x =，6.2小时=6时12分，∴她们于12：12分到达目的地．23.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB CD =，BD BC =，DBC ∠的平分线交AD 延长线于点E ，交CD 于点F ．（1）求证：四边形BCED 是菱形；（2）连接AC 交BF 于点G ，如果AC CE ⊥，求证：2AB AG AC =⋅．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先证明DB DE =，可得DE BC =，结合DE BC ∥，可得四边形DBCE 是平行四边形，从而可得结论，（2）如图，连接AC 交BF 于点G ，交BD 于K ，证明梯形ABCD 是等腰梯形，证明45ABG ACB ∠=∠=︒，结合BAG CAB ∠=∠，可得ABG ACB ∽△△，再利用相似三角形的性质可得结论．【小问1详解】证明：∵AD BC ∥，∴AEB CBE ∠=∠，∵DBC ∠的平分线交AD 延长线于点E ，交CD 于点F ．∴DBE CBE ∠=∠，∴AEB DBE ∠=∠，∴DB DE =，∵BD BC =，∴DE BC =，而DE BC ∥，∴四边形DBCE 是平行四边形，∵DB DE =，∴四边形DBCE 是菱形；【小问2详解】如图，连接AC 交BF 于点G ，交BD 于K ，∵在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB CD =，∴梯形ABCD 是等腰梯形，∴ABC DCB ∠=∠，AC BD =，∵菱形BCED ，∴BD CE ∥，BD CE DE ==，DBC DEC ∠=∠，∴AC CE =，EDC ECD ∠=∠，∵AC CE ⊥，∴45CAE CEA ∠=∠=︒，AC BD ⊥，∴45DBC DEC ACB ∠=∠=∠=︒，67.5EDC ECD ∠=∠=︒，∴9067.522.5ACD ∠=︒-︒=︒，∴454522.5ABD ABC DCB ∠=∠-︒=∠-︒=︒，∵BE 平分DBC ∠，∴22.5DBF CBF ∠=∠=︒，∴45ABG ACB ∠=∠=︒，∵BAG CAB ∠=∠，∴ABG ACB ∽△△，∴AB AG AC AB=，∴2AB AG AC =⋅．【点睛】本题考查的是等腰梯形的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握基本几何图形的性质是解本题的关键．24.定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l 外有一点H ，圆Q 经过点H 且与直线l 相切，则称圆Q 是点H 与直线l 的点切圆．阅读以上材料，解决问题：已知直线OA 外有一点P ，PA OA ⊥，4OA =，2AP =，圆M 是点P 与直线OA 的点切圆．（1）如果圆心M 在线段OP 上，那么圆M 的半径长是_____（直接写出答案）．（2）如图2，以O 为坐标原点、OA 为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，点P 在第一象限，设圆心M 的坐标是(),x y ．①求y 关于x 的函数解析式；②点B 是①中所求函数图象上的一点，连接BP 并延长交此函数图象于另一点C ．如果:1:4CP BP =，求点B 的坐标．【答案】（1）552-（2）①21254y x x =-+；②()8,5或()0,5【解析】【分析】本题考查了二次函数与相似三角形的综合题，以新定义的形式出现，理解题意是解决本题的关键．（1）过点M 作MN OA ⊥，设圆M 的半径为R ，根据点切圆的定义，先通过勾股定理求OP ，再利用同角三角函数值相等得：sinO ==，求解即可；（2）①过点M 作MN OA ⊥,MC AP ⊥，则4MC AN x ==-，MN CA y ==，则2PC y =-，对Rt PCM 运用勾股定理即可建立y 关于x 的函数关系式；②设点(),C x y ，过点C 、B 作AP 的垂线交于点D 、E ，构造相似三角形，用x ，y 的代数式表示出B 点坐标，再代入抛物线解析式，联立即可求解．【小问1详解】解：过点M 作MN OA ⊥，设圆M 的半径为R ，∵PA OA ⊥，4OA =，2AP =∴2225OP OA AP =+=，∵圆M 是点P 与直线OA 的点切圆，∴MN R =，∴1sin 255O R ==-，解得：552R -=．故答案为：552-．【小问2详解】解：①过点M 作MN OA ⊥,MC AP ⊥，由（1）得MN PM y ==，则4MC AN x ==-，MN CA y ==，则2PC y =-，在Rt PCM 中，222PM PC CM =+得：22224y y x =-+-，化简得：21254y x x =-+．②设点(),C x y ，过点C 、B 作AP 的垂线交于点D 、E ，∵BE CD ，∴BEP CDP △∽△，∴4BE EP BP CD DP CP===，则4,164,284CD x BE x DP y PE y =-=-=-=-，，∴点()204,104B x y --代入21254y x x =-+得：()()2211042042204541254y x x y x x ⎧-=---+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得：3x =或5x =，∴点()8,5B 或()0,5B ．25.已知以AB 为直径的半圆O 上有一点C ，CD OA ⊥，垂足为点D ，点E 是半径OC 上一点（不与点O 、C 重合），作EF OC ⊥交弧BC 于点F ，连接OF．（1）如图1，当FE 的延长线经过点A 时，求CD AF的值；（2）如图2，作FG AB ⊥，垂足为点G ，连接EG ．①试判断EG 与CD 的大小关系，并证明你的结论；②当EFG 是等腰三角形，且4sin 5COD ∠=，求OE OD 的值．【答案】（1）12CD AF =；（2）①EG CD =，理由见解析；②OE OD 的值为1或3或715．【解析】【分析】（1）利用垂径定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质解答即可；（2）①延长FE 交O 于点M ，延长FG 交O 于点N ，延长CD 交O 于点H ，连接MN ，OH ，ON ，OM ，利用垂径定理，三角形的中位线定理得到12EG MN =，利用垂径定理得到12CD DH CH ==，再利用四边形的内角和定理和邻补角的性质得到AOC EFG ∠=∠，再利用相等的圆心角所对的弧相等的性质，等弧对等弦的性质得到CH MN =则结论可得；②利用分类讨论的方法分三种情况解答：.Ⅰ当EF EG =时，利用全等三角形的判定与性质和勾股定理解答即可；.Ⅱ当FG EF =时，过点E 作EH AB ⊥于点H ，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理解答即可；.Ⅲ当FG EG =时，则4FG k =，连接FC ，利用矩形的判定与性质和勾股定理解答即可．【小问1详解】当FE 的延长线经过点A 时，∵EF OC ⊥，∴12AE FE AF ==，90A AOE ∠+∠= ，∵CD OA ⊥，∴90C AOE ∠+∠=︒，∴A C ∠=∠，在AOE △和COD △中，A C OA OC AOE COD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AOE COD ≌，∴AE CD =，∴12CD AF =，∴12CD AF =；【小问2详解】①EG 与CD 的大小关系为：EG CD =，理由：延长FE 交O 于点M ，延长FG 交O 于点N ，延长CD 交O 于点H ，连接MN ，OH ，ON ，OM，如图，∵OE FM⊥∴EF EM =，∵AB 为直径，FG AB ⊥，∴FG GN =,∴EG 为FMN 的中位线，∴12EG MN =，∵AB 为直径，CD OA ⊥，∴12CD DH CH ==，∵OC OH =，OA CH ⊥，∴2COH COD ∠=∠，∵90FEO FGO ∠=∠= ，∴180EFG EOG ∠+∠= ，∵180AOC EOG ∠+∠= ，∴AOC EFG ∠=∠，∴2COH EFG ∠=∠，∵=2MON EFG∠∠∴MON COH ∠=∠，∴ CH MN =，∴CH MN =，∴EG CD =；②∵4sin 5COD ∠=，sin CDCOD OC ∠=，∴45CD OC =，∴设4CD k =，则5OC k =，∴3OD k ===，.Ⅰ当EF EG =时，由（2）①知：4EG CD k ==，∴4EF k =，5OF OC k ==，∵EF OC ⊥，∴3OE k ==，∴OE =OD ，∴1OE OD =；.Ⅱ当FG EF =时，过点E 作EH AB ⊥于点H ，如图，在Rt FEO △和Rt FGO △中，FO FOFE FG =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL FEO FGO ≌，∴OE OG =，设OE OG m ==，∵4sin 5COD ∠=，∴45EH OE =，∴45EH m =，∴35OH m =，∴85HG m =，∵222EH GH EG +=，∴()22248455m m k ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴5m k =，5OE k =，∴53OE OD =，.Ⅲ当FG EG =时，则4FG k =，连接FC ，如图，初中31∵4CD FG k ==，CD AB ⊥，FG AB ⊥，∴四边形CDGF 为矩形，∴CF DG =，在Rt CDO 和Rt FGO 中，,CD FG OC OF=⎧⎨=⎩∴()Rt Rt HL CDO FGO ≌，∴3OD OG k ==，∴6FC DG k ==，设OE x =，则5CE OC OE k x =-=-，∴222EF CF CE =-，222EF OF OE =-，∴()()()2222655k k x k x --=-，∴75x k =，∴75OE k =，∴775315k OE OD k ==综上，当EFG 是等腰三角形，且4sin 5COD ∠=，OE OD 的值为1或53或715．【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，三角形的中位线定理，添加适当的辅助线和利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．。
【2023年上海市初中一模数学卷】2023年上海市青浦区初中毕业生学业模拟考试试卷九年级数学及答案
2022学年第二学期九年级学业质量调研数学 试卷（完成时间：100分钟 满分：150分） 2023.3考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂]1．已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（ ） （A ）6； （B ）8； （C ）10； （D ） 12． 2．三角形的重心是（ ）（A ）三角形三条高线的交点； （B ）三角形三条角平分线的交点； （C ）三角形三条中线的交点； （D ）三角形三条边的垂直平分线的交点． 3．如果把一个锐角△ABC 的三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（ ） （A ）扩大为原来的2倍； （B ）缩小为原来的12； （C ）没有变化； （D ）不能确定． 4．已知非零向量a 、b 、c，下列条件中，不能判定向量a 与向量b平行的是（ ） （A ）c a //，c b //； （B ）||||a b =；（C ）2a c = ，3b c =； （D ）0=+b a ．5．如图1，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．如果OA ∶OC =OB ∶OD ，那么下列结论中一定正确的是（ ） （A ）①与②相似； （B ）①与③相似； （C ）①与④相似； （D ）②与④相似． 6．已知二次函数2(y x bx c b =++，c 为常数）．命题①：该函数的图像经过点（-1，0）； 命题②：该函数的图像经过点（-3，0）；命题③：该函数的图像与y 轴的交点位于x 轴的下方；命题④：该函数的图像的对称轴为直线 1x =-．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，那么这个假命题是（ ）（A ）命题①； （B ）命题②； （C ）命题③； （D ）命题④．④③②①ODCBA 图1EDFA Q G 二、填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分） [请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7． 如果32=b a ，那么=+b b a ． 8． 已知向量a 与单位向量e 方向相反，且2a = ，那么a = ．（用向量e的式子表示） 9． 如果两个相似三角形的周长比为1∶2，那么它们的对应中线的比为 ． 10．如果抛物线22y x x m =++-经过原点，那么m 的值等于 ． 11．抛物线231y x =-在y 轴右侧的部分是 ．（填“上升”或“下降”） 12．将抛物线2y x =-向左平移1个单位，所得抛物线的表达式是 ． 13．在△ABC 中，∠C =90º，如果cot ∠A =3，AC =6，那么BC = ．14．如图2，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，DE ∥BC ，EF ∥AB ，CF =3BF ．如果1=∆ADE S ，那么=DBCE S 四边形 ．15． 如图3，河堤横断面迎水坡AB 的坡比为3:1，坡高AC m 10=，则坡面AB 的长度是 ． 16．如图4，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4．点H 、F 分别在边AD 、BC 上，点E 、G 在对角线AC 上．如果四边形EFGH 是菱形，那么线段AH 的长为 ．17．如图5，点P 是正方形ABCD 内一点，AB =5，PB =3，P A ⊥PB ．如果将线段PB 绕点B 顺时针旋转90º，点P 的对应点为Q ，射线QP 交边AD 于点E ，那么线段PE 的长为 ．18．定义：如图6，点M ，N 把线段AB 分割成AM 、MN 和BN ，如果以AM 、MN 、NB 为边的三角形是一个直角三角形，那么称点M 、N 是线段AB 的勾股分割点．问题：如图7，在△ABC 中，已知点D 、E 是边AB 的勾股分割点（线段AD >EB ），射线CD 、CE 与射线AQ 分别交于点F 、G ．如果AQ ∥BC ，DE =3，EB =4，那么AF ∶AG 的值为 ．FEDCBA 图4图6图7HGA BCDEF 图2图3图5三、解答题（本大题共7题，满分78分） [请将解题过程填入答题纸的相应位置] 19．（本题满分10分）计算：()122sin 30cos 45tan30-︒︒︒+-+．20．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图8，在平行四边形ABCD 中，点F 在边AD 上，射线 BA 、CF 相交于点E ，DF=2AF ． （1）求EA ∶AB 的值；（2）如果BA a = ，BC b =，试用 a 、 b 表示向量CF ．21．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图9，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，BF 平分∠ABC 交AD 于点E ，BC =5，AD =4，sin 5C ∠=．（1）求sin ∠BAD 的值； （2）求线段EF 的长．22．（本题满分10分）某校九年级数学兴趣小组在实践活动课中测量路灯的高度．如图10，在A 处测得路灯顶端O 的仰角为26.6°，再沿AH 方向前行13米到达点B 处，在B 处测得路灯顶端O 的仰角为63.4°，求路灯顶端O 到地面的距离OH （点A 、B 、H 在一直线上）的长．（精确到0.1米） （参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，Sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.0）图10F E DCBA FE D CBA 图8图923．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图11，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，AD 、BE 相交 于点F ，∠AFE=∠ABC ，2AB AE AC =⋅． （1）求证：△ABF ∽△BCE ； （2）求证：DF BC DB CE ⋅=⋅．24．（本题满分12分， 其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图12，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22++=bx ax y 与x 轴交于点A （-1，0）和点B （2，0），与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）已知点P （1，m ）与点Q 都是抛物线上的点．① 求PBC ∠tan 的值；② 如果∠QBP =45°，求点Q 的坐标．25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）如图13，在△ABC 中，∠C =90°，AB =10，BC =8，动点D 、E 分别在边BA 、BC 上，且54BD CE =， 设BD =5t ．过点B 作BF ∥AC ，与直线DE 相交于点F ． （1）当DB =DE 时，求t 的值； （2）当t =25时，求FB AC的值； （3）当△BDE 与△BDF 相似时，求BF 的长．ABCDEF 图13图11F E DCBA参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）1．D ； 2．C ； 3．C ； 4．B ； 5．B ； 6．A ． 二、填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分）7．53； 8．2e - ； 9．1:2； 10．2； 11．上升； 12．()21y x =-+；13．2； 14．15； 15．20； 16．52； 17； 18．514．三、解答题：19．解：原式=2112+2-⨯-⎝⎭⎝⎭························································ （4分）=1112+-． ···················································································· （4分） =12． ················································································································· （2分） 20．解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB//CD ，AD//BC ，AB =CD ．········································································· （1分）∴AE AE AFAB CD FD==． ······················································································· （2分） ∵DF=2AF ， ∴12AF FD =． ··············································································· （1分）∴12EA AB =． ····································································································· （1分） （2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ． ······················· （1分）∵DF=2AF ，∴23DF DF AD BC ==． ······································································· （1分）∵BA a = ， BC b = ，∴CD a = ，23DF b =-． ···································· （2分）∴23CF CD DF a b =+=-． ··········································································· （1分）21．解：（1）∵AD ⊥BC ，AD =4，sin ∠∴4AD AC AC =，∴AC = ································································ （2分）∴在Rt △ACD 中，2CD ==．∵BC =5， ∴BD =BC –CD =5–2=3． ······································································ （1分）∵在Rt △ABD 中，5AB ==， ······················································ （1分）∴sin ∠BAD =35BD AB =． ·························································································· （1分） （2）∵AB=BC=5，BF 平分∠ABC ，∴BF ⊥AC ，12AF AC ==．············································································· （2分） ∴∠AFE =∠ADC ，又∵∠EAF =∠CAD ，∴AEF ∆∽ACD ∆， ································ （1分）∴EF AFCD AD=．即 2EF =EF ················································· （2分） 22．解：设OH 的长为x 米． ································································································· （1分）在Rt △OBH 中，∵tan OH OBH BH∠=，∴tan 63.42x xBH =≈︒． ·························· （3分）在Rt △AOH 中，∵tan OH OAH AH∠=，∴2tan 26.50.5x xAH x =≈=︒． ············· （3分）∵AB =AH -BH ，AB =13，∴2132x x -=．解得x =268.73≈（米）． ················································· （2分） ∴路灯顶端O 到地面的距离OH 的长为8.7米． ················································· （1分）23．证明：（1）∵2AB AE AC =⋅，∴AE AB AB AC=． ···························································· （1分）又∵∠BAE =∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB ． ································································ （1分） ∴∠ABF =∠C ，∠ABC =∠AEB ． ·············································································· （1分） ∵∠ABC =∠AFE ，∴∠AFE =∠AEB ． ······································································· （1分） ∴180°–∠AFE =180°–∠AEB ，即∠AFB =∠BEC ． ··············································· （1分） ∴△ABF ∽△BCE ． ································································································· （1分）（2）∵△ABF ∽△BCE ，∴CE BF CB AB =，∠CBE =∠BAF ． ······································· （2分）又∵∠BDF =∠ADB ，∴△DBF ∽△DAB ． ····························································· （1分） ∴BF DF AB DB =，∴CE CB =DF DB． ················································································ （2分） ∴DF BC DB CE ⋅=⋅． ························································································· （1分）24．解：（1）将A （-1，0）、B （2，0）代入2+2y ax bx =+，得204220.a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得：11.a b =-⎧⎨=⎩ ··························································· （2分） 所以，22y x x =-++． ················································································· （1分） 当x =0时，2y =．∴点C 的坐标为（0，2） ················································· （1分） （2）①过点P 作PH ⊥BC ，垂足为点H ． ∵P （1，m ）在22y x x =-++上，∴1122m =-++=，P （1，2） ． ······························································· （1分）∵C （0，2），B （2，0） ，∴BC =．PC ⊥OC ，∠BCO =45°，∠PCH =45°． ···································· （1分）∴CH PH ==BH=BC –CH==． ······························· （1分）∴tan ∠PBC=13PH BH ==． ···································································· （1分） ②由题意可知，点Q 在第二象限．过点Q 作QD ⊥x 轴，垂足为点D ．∵∠QBP =∠CBA=45°，∴∠QBD =∠CBP ．∵tan ∠PBC=13．∴tan ∠QBD =13QD BD =． ·························································· （1分） 设DQ =a ，则BD =3a ，OD =3a -2．∴Q （2-3a ，a ）． ········································ （1分）将Q （2-3a ，a ）代入22y x x =-++，得()223232a a a --+-+=．解得18=9a ，2=0a （舍）．∴P （23-，89）． ················································ （2分）25．解：（1）过D 作DH ⊥BC ，垂足为点H ． ······································································ （1分）∵∠C= 90° ，∴DH ∥AC ．∴45BH BC BD BA ==． ················································ （1分） ∵BD =DE =5t ，∴BH =EH =4t ． ··············································································· （1分）又∵BC =8，CE =4t ，∴12t =8，t =23． ····································································· （1分） （2）当t =25时，得BD =2，CE =85，BE =532．∵BE>BD ，∴点F 是射线ED 与直线BF 的交点 ················································· （1分）过E 作EG ∥AC ，交AB 于点G ，则BF ∥GE ∥AC ．∴AG CE AB CB = ，2AG =．∴10226DG =--=． ······································ （1分） ∴2163BF BD GE DG ===，84105GE BG AC BA ===． ···················································· （1分） ∴1443515BF BF GE AC GE AC =⨯=⨯=． ···································································· （1分） （3）（i ）当点F 是射线ED 与BF 的交点时，∵∠BDE>∠F ，∠BDE>∠FBD ，又∵△BDE 与△BDF 相似， ∴∠BDE =∠BDF=90°．∵∠BDE =∠C ，∠DBE =∠CBA ，∴BDE ∆∽BCA ∆． ···················································································· （1分）∴BD BEBC BA=．即584810t t -=．解得3241t =． ∴16041BD =． ············ （1分） ∵∠F =∠DBE ，∴sin ∠F =sin ∠DBE ．∴BD AC BF AB =．解得 800123BF =．（1分） （ii ）当点F 是射线DE 与BF 的交点时，∵△BDE 与△BDF 相似，又∵∠BDE =∠BDF ， ∴∠DBE =∠F ，即∠ABC =∠F ， 又∵∠EBF =∠C ，∴BEF ∆∽CAB ∆． ∴BF BE BC AC =，即8486BF t -=．解得()4843BF t =-． ······················ （1分）过D 作DM ⊥BC ，垂足为点M ．由BD =5t ，得DM =3t ，BM =4t ，EM ==8t –8． ∵BF ∥DM ，∴ ∠EDM =∠F=∠ABC ．∴tan ∠EDM =tan ∠ABC ． ∴DM =()4883t -．∴()48833t t -=．解得3223t =． ······························ （1分） ∴()422484369BF t =-=． ··········································································· （1分）800 123或22469．综上所述，当△BDE与△BDF相似时，BF的长为。
2024年上海市虹口区中考二模数学试题(解析版)
虹口区2023学年度初三年级第二次学生学习能力诊断练习数学 练习卷（满分150分，考试时间100分钟）注意：1．本练习卷含三个大题，共25题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）［下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．］1. 下列各数中，无理数是（ ）A. B. 3.14159 C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是对无理数定义的应用，熟练掌握理解无理数的定义是解此题的关键．根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．【详解】解：A、是分数，不是无理数，故本选项错误；B 、3.14159是小数，不是无理数，故本选项错误；C 是无理数，故本选项正确；D 、是循环小数，不是无理数，故本选项错误；故选C ．2. 关于一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程判别式与根情况的关系，列代数式求解即可．【详解】解：一元二次方程无实数根，的211 1.22111.2x 220x x m -+=m 1m <1m £m 1≥1m >220x x m -+=则判别式解得，故选：D ．【点睛】此题考查了一元二次方程判别式与根情况的关系，解题的关键是掌握相关基础知识，一元二次方程的判别式，当时有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根，当时，无实数根．3. 已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图象开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答．【详解】解：二次函数，，函数图象开口向下，对称轴为，时，函数值随自变量的增大而减小，故选：A ．4. 下列事件中，必然事件是（ ）A. 随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数B. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上C. 在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球D. 在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于【答案】D【解析】【分析】本题考查是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断．的()224240b ac m ∆=-=--<1m >()200ax bx c a ++=≠24b ac ∆=-0∆>Δ0=Δ0<()24y x =--y x x 4x ≥4x ≤4x ≥-4x ≤-()24y x =--()24y x =--4x =y x 4x ≥()24y x =--10-< ∴()24y x =--4x =∴4x ≥y x 180︒【详解】解：A 、随机购买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件；B 、抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝下，是随机事件；C 、在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球，是不可能事件；D 、在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于，是必然事件；故选D ．5. 如图，在正方形中，点、分别在边和上，，，如果，那么的面积为（ ）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，先根据正方形的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，得到，则，最后根据三角形面积计算公式求解即可．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴，故选：B ．6. 在中，，．如果以顶点为圆心，为半径作，那么与边所在直线的公共点的个数是（ ）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个．180︒ABCD E F BC AD 2BE =6AF =AE CF ABE 90AD BC AB CD ABE =∠=︒∥，，AECF 6AF CE ==8AB BC BE CE ==+=ABCD 90AD BC AB CD ABE =∠=︒∥，，AE CF AECF 6AF CE ==8AB BC BE CE ==+=1128822ABE S AB BE =⋅=⨯⨯=△ABCD Y 5BC =20ABCD S = C BC C C AD【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行四边形的面积，直线与圆的位置关系d 、r 法则，熟练掌握法则是解题的关键．根据面积公式计算点C 到的距离d ，比较d 与半径的大小判断即可．【详解】解：如图，∵在平行四边形中，，，设点C 到的距离为d ，∴点C 到的距离，∴直线与圆C 相交，即有2个交点，故选：B ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）［请将结果直接填入答题纸的相应位置］7.=___．【答案】﹣2【解析】【分析】根据立方根的定义，求数a 的立方根，也就是求一个数x ，使得x 3=a ，则x 就是a 的立方根．【详解】∵（－2）3=－8，，故答案为：-28. 分解因式：_______．【答案】【解析】【分析】根据平方差公式因式分解即可求解．【详解】解：AD BC ABCD 5BC =20ABCD S = AD AD 2054d =÷= 45BC<=AD 2-229a b -=()()33a b a b +-229a b -=()()33a b a b +-故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．9. 解不等式：，的解集为________.【答案】【解析】【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式；按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解．【详解】解：去括号，移项，合并同类项，化系数为1，故答案为：．10. 函数的定义域是 【答案】＞【解析】【分析】定义域是指该函数的自变量的取值范围，根据二次根号下被开方数≥0；分式中分母不为0；即可解答.【详解】定义域是指该函数的自变量的取值范围，二次根号下被开方数≥0；分式中分母不为0；∴∴故答案为11. 将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并()()33a b a b +-()5232x x +≤+2x ≤()5232x x +≤+5263+≤+x x5362x x -≤-24x ≤2x ≤2x≤y =10x +>1x >-1x >-()221y x =-+()253y x =--用规律求函数解析式．根据平移规律“左加右减，上加下减”写出新抛物线解析式．【详解】解：抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为，即．故答案为：．12. 在一个不透明袋子中，装有2个红球和一些白球，这些球除颜色外其他都一样，如果从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，那么白球的个数是________．【答案】6【解析】【分析】本题考查了概率的定义．解题的关键与难点在于理解概率的定义，求出球的总数．随机摸出一个球是红球的概率是，可以得到球的总个数，进而得出白球的个数．【详解】解：设红、白球总共n 个，记摸出一个球是红球为事件A ，，白球有个故答案为：．13. 某校为了解该校1200名学生参加家务劳动的情况，随机抽取40名学生，调查了他们的周家务劳动时间并制作成频数分布直方图，那么估计该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有________名．【答案】780【解析】【分析】本题主要考查了用样本估计总体，根据条形统计图获取信息是解题的关键．根据条形统计图直接得出家务劳动时间不少于2小时的学生有26名，进而估计该校1200名学生参加家务劳动时间不少于2小时的学生人数即可求解．()221y x =-+()22314y x =--+-()253y x =--()253y x =--0.2520.25n=()20.25P A n==8n ∴=∴826-=6【详解】解：由题意得：被调查的40人中，家务劳动时间不少于2小时的学生有26名，该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有（名），故答案为：780．14. 一根蜡烛长30厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半．在燃烧的过程中，如果设蜡烛的长为（厘米），燃烧的时间为（分钟），那么关于的函数解析式为________（不写定义域）．【答案】【解析】【分析】本题主要考查由实际问题列一次函数的解析式，解题的关键是理解题意．根据题意先求出蜡烛燃烧的速度为（厘米/分），即可直接进行求解．【详解】解：由题意可得：蜡烛长30厘米，经过50分钟其长度恰为原长的一半，经过50分钟蜡烛燃烧的长度为15厘米，蜡烛燃烧的速度为（厘米/分），蜡烛的长为蜡烛燃烧前长度减去燃烧的长度，，故答案为：．15. 如图，正六边形螺帽的边长是，那么这个扳手的开口的值是______．【答案】【解析】【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质．由螺帽是正六边形，可得是含角的直角三角形，再根据即可求出和．【详解】解：如图，连接,则，过点作于∴26120078040⨯=y t y t 300.3y t=-15500.3÷=∴∴15500.3÷=300.3y t \=-300.3y t =-4cm a 30︒ACD 30︒4AC =AD AB AB a AB =C CD AB ⊥D螺帽是正六边形，,．故答案为：16. 如图，在梯形中，，，点、分别是边、的中点，连接，设，，那么用向量、表示向量________．【答案】【解析】【分析】本题考查了平面向量的问题，熟练掌握三角形法则是解题的关键，根据梯形的中位线定理及向量的三角形法则解答即可．【详解】解：，，，，， 120ACB ∴∠=︒CD AB ⊥AC BC=1120602ACD ∴∠=⨯︒=︒AD BD =4AC = 4AD AC ∴===22a AB AD ∴===⨯=ABCD AD BC ∥2BC AD =E F AB CD AC AB a =AC b = a b EF = 3344a b -+ AB a = AC b =BC BA AC a b \=+=-+ ,2AD BC BC AD = ∥111222AD BC a b \==-+,点、分别是边、的中点，，，，故答案为：．17. 如图，在中，，，．点在边上，，以点为圆心，为半径作．点在边上，以点为圆心，为半径作．如果和外切，那么的长为________．【答案】##【解析】【分析】本题考查的是圆和圆的位置关系、解直角三角形的知识，作于点H ，连接，先求出，设，在中，根据勾股定理列方程即可解决．【详解】解：作于点H ，连接，，，，在中，，11112222DC DA AC AD AC a b b a b \=+=-+=-+=+ E F AB CD 111222EA BA AB a \==-=- 111244DF DC a b \==+ 11111332224444EF EA AD DF a a b a b a b æöæöç÷ç÷\=++=-+-+++=-+ç÷ç÷èøèø3344a b -+ ABCD Y 7AB =8BC =4sin 5B =P AB 2AP =P AP P Q BC Q CQ Q P Q CQ 37149214PH BC ⊥PQ 43PH BH ==，CQ a =Rt QPH △PH BC ⊥PQ 7AB = 2AP =725BP \=-=Rt BPH 4sin 5B =，，设，和外切，半径为2，，在中，，，解得：，故答案为：．18. 如图，在扇形中，，，点在半径上，将沿着翻折，点的对称点恰好落在弧上，再将弧沿着翻折至弧（点是点A 的对称点），那么的长为________．【答案】##【解析】【分析】本题考查翻折性质，圆的基本性质，等边三角形判定与性质、勾股定理的应用，连接，由翻折得，证出是等边三角形，设，在中，根据勾股定理列方程并解出进而求出结论．【详解】解：连接，455PH \=43PH BH \==，CQ a =P Qe Q P 2PQ a \=+Rt QPH △4,835PH HQ a a ==--=-()()222452a a ∴+-=+3714a =3714AOB 105AOB ∠=︒8OA =C OA BOC BC O D AB AD CD 1A D 1A 1OA 8-8-+OD 1105OB BD AC A C BOC BDC ==∠=∠=︒，，OBD AC a =Rt COD AC OD由翻折得：，，，是等边三角形，，，设，则，在中，，，解得：（舍去），，故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.先化简，再求值：，其中．【答案】【解析】【分析】本题主要考查分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的基本性质与运算法则是解题的关键，注意化简过程中能因式分解要先因式分解．先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求值即可．【详解】解：1105OB BD AC A C BOC BDC ==∠=∠=︒，，OC CD =OB OD = OBD ∴△60OBD ∴∠=︒3601051056090OCD \Ð=°-°-°-°=°AC a =1882OC a CD A O a =-==-，Rt COD 8OC CD a ==-()()222888a a ∴-+-=12888a a =-=+>(128288OA OA AC ∴=-=--=8-22214133m m m m m -+⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭m 1m m -22214133m m m m m -+⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭()()2134333m m m m m m -+⎛⎫=÷- ⎪+++⎝⎭；当．20. 解方程组：【答案】【解析】【分析】将第二个方程进行因式分解得到，然后令因式和因式分别为0即可求解.【详解】解：由题意可知： 对方程②进行因式分解得：即或∴原方程组化为 或 解得或故原方程组的解为：或.【点睛】本题考查了因式分解的方法及二元方程组，熟练掌握常见的二元一次方程组的解法是解决此类题的关键.21. 如图，一次函数图像在反比例函数图像相交于点和点，与轴交于点．点在反比例函数图像上，过点作轴的垂线交一次函数图像于点．()()21133m m m m m --=÷++()()21331m m m m m -+=⨯+-1m m-=m =1m m -222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩121242,22x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩()(2)0+-=x y x y 2x y -x y +222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩①②()(2)0+-=x y x y 20x y -=0x y +=2620x y x y -=⎧⎨-=⎩260x y x y -=⎧⎨+=⎩1142x y =⎧⎨=⎩2222x y =⎧⎨=-⎩1142x y =⎧⎨=⎩2222x y =⎧⎨=-⎩(),2A m ()2,4B -y C ()1,D n -D x E（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求面积．【答案】（1）反比例函数为，一次函数解析式 （2）【解析】【分析】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数和一次函数解析式，三角形面积．（）利用待定系数法求解即可；（）先分别求出、、的坐标，进而利用三角形面积公式解答即可．【小问1详解】解：设反比例函数为，把点代入得，，∴反比例函数为，把点，点代入，得，，∴，，∴点，点，设一次函数解析式，的CDE 8y x=-2y x =--9212C D E k y x=()2,4B -k y x=428k =-⨯=-8y x=-(),2A m ()1,D n -8y x =-82m =-881n =-=-4m =-8n =()4,2A -()1,8D -y cx d =+把点，点代入得，解得，∴一次函数解析式；【小问2详解】∵一次函数解析式，∴把点代入，得，∴，∴点，∵轴，∴点横坐标为，把代入得，∴∴，∴22. 根据以下素材，完成探索任务．探究斜坡上两车之间距离素材1图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为25米，斜坡长为65米．素如图②，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为的()4,2A -()2,4B -4224c d c d-=+⎧⎨=-+⎩12c d =-⎧⎨=-⎩2y x =--2y x =--()0,2C -,()1,D n -8y x =-881n =-=-8n =()1,8D -DE x ⊥E 1-1x =-2y x =--121y =-=-()1,1E --,189DE =+=119191222CDE S DE =⋅=⨯⨯= .BM AN AB BM AN ∥BM BH AB ECKG CK EC 3.5材2米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为米，且．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离为1米．任务一如图①，求斜坡的坡比．问题解决任务二如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即、、在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾的距离．【答案】任务一：斜坡的坡比；任务二：米【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形坡度坡角问题及相似三角形判定与性质，矩形判定与性质，任务一：根据勾股定理求出第三边进而求出坡度；任务二：作交延长线于点O ，作于点Q ，交于点R ，通过解直角三角形结合矩形判定与性质求出相关线段长度，再证明，根据性质求出结论即可．【详解】解：任务一：如图①，由题意得：在中，25米，斜坡长为65米，（米），斜坡的坡比；任务二：如图③，作交延长线于点O ，作于点Q ，交于点R ，为ECKG K B B P BP 6.5BP BM ⊥FD AB P E F EC CD AB 1:2.4i =12.5PO DB ⊥DB FQ PO ^CE FER FPQ ∽Rt ABH △BH AB 60AH \=∴AB 251:2.460BH i AH ===PO DB ⊥DB FQ PO ^CE则四边形为矩形，四边形为矩形，米，米，，为米，，解得：米，米，米，米，，，，，，解得：，经检验，是原方程的解，米．23. 如图，在中，，延长至点，使得，过点、分别作，，与相交于点，连接．CRQO FDCR,1RQ CO FR DC FD CR OQ\=====，3.51 2.5ER\=-=,90ABH PBO O HÐ=ÐÐ=Ð=°BP 6.525cos cos6.565BOPBO ABH\Ð==Ð=2.5BO=6PO\==615PQ∴=-=10 2.512.5RQ CO==+=,EC AB PQ AB^^ER PQ\∥FER FPQ\∽ER FRPQ FQ\=2.5512.5FRFR\=+12.5FR=12.5FR=12.5CD FR\==Rt ABC△90C∠=︒CB D DB CB=A DAE BC∥DE BA∥AE DE E BE（1）求证：；（2）连接交于点，连接交于点．如果，求证：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形和矩形的判定方法．（1）先证四边形是平行四边形，得出从而证出四边形是矩形，即可证明结论；（2）设，算出，证明，求出 ，进而证出结论；【小问1详解】证明：，，四边形是平行四边形，，，，又，点D 在的延长线上，，四边形是平行四边形，又，四边形是矩形，；【小问2详解】解：如图，BE CD ⊥AD BE F CE AD G FBA ADB ∠=∠AG AB =AEDB AE CB =AEBC EF BF a ==AE =AEG DCG V ∽△AGAB = AE BD DE BA ∥∴AEDB ∴AE BD = BD CB =∴AE CB = AE BD CB ∴AE CB ∥∴AEBC 90C ∠=︒∴AEBC ∴BE CD ⊥四边形是平行四边形，，设，，，，，，，，，，，在中，，，，在中，，AEDB ,EF BF AF DF \==EF BF a ==FBA ADB Ð=Ð tan tan FBA ADB \Ð=ÐAE BF BE BD\=AE BD = 222AE a \=AE ∴=BD BC AE \==AE CD AEG DCG \ ∽12AE AG CD DG \==Rt DBF △DF ==AD \=AG \=Rt ABC △AB ==．24. 新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为．已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为．（1）如果点的坐标为，求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标；（3）已知点在抛物线上，点坐标为，当时，求的值．【答案】（1） （2） （3）或【解析】【分析】本题考查的是二次函数综合题，重点考查二次函数的性质、平行四边形性质及相似三角形性质，（1）将点代入表达式，求出m 的值，根据“轮换抛物线”定义写出即可；AG AB \=AG AB \=2y ax bx c =++0abc ≠2y cx ax b =++2y ax bx c =++2231y x x =++223y x x =++1C ()2445y mx m x m =+-+2C 1C 2C y E F E F 2C P E ()0,12C 2C 38y x =+Q PQEF E ()4,M n -2C N 12,72⎛⎫-- ⎪⎝⎭PMN PEF △∽△m 241y x x =+-20,3E ⎛⎫- ⎪⎝⎭1m =-1732()0,1E（2）根据轮换抛物线定义得出抛物线表达式及点E 、F 坐标，并求出P 、Q 坐标，根据平行四边形性质得出列方程并解出m 值，进而解决问题；（3）先求，结合求出的点P 、E 、F 坐标得出及，根据相似三角形性质得出关于m 的方程，解方程即可解决．【小问1详解】解：抛物线：与轴交于点坐标为，当，代入，得，，抛物线表达式为，抛物线的“轮换抛物线”为表达式为；【小问2详解】解：抛物线：，当时，，即与y 轴交点为，抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线表达式为，同理抛物线与y 轴交点为，抛物线对称轴为直线，当时，，抛物线的顶点坐标为，当时，，抛物线的对称轴与直线交点，点在点的上方，，解得：，2C PQ EF =()4,45M m --2PN 2PF 1C ()2445y mx m x m =+-+y E ()0,10x =1y =1m =451m \-=-∴1C 241y x x =-+∴1C 2C 241y x x =+-1C ()2445y mx m x m =+-+0x =y m =()0,E m 1C ()2445y mx m x m =+-+2C ∴2C ()2445y mx mx m =++-2C ()0,45F m -2C 422m x m=-=-2x =-5y =-∴2C ()25P --，2x =-382y x =+=∴2C 38y x =+()2,2Q - E F 45m m \>-53m <，四边形为平行四边形，，即，解得：，；【小问3详解】解：点在抛物线上，当时，，即，点坐标为，，，，，，，，，，解得：．25. 在梯形中，，点在射线上，点在射线上，连接、相交于点，．()4553EF m m m \=--=- PQEF PQ EF \=()2553m --=-23m =-20,3E ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ ()4,M n -2C 4x =-()244545y mx mx m m =++-=-()4,45M m -- N 12,72⎛⎫-- ⎪⎝⎭()25P --，()0,E m ()0,45F m -()222125225724PN æöç÷\=-++-+=ç÷èø()()22222455416PF m m =-+-+=+()115325322PEF P S EF x m m =×=-´=- ()111557242222PMN M P S PN x x æöç÷=×-=´-+´-+=ç÷èø PMN PEF ∽222PEF PMN S PF PF S PN PN æöç÷\==ç÷èø 25341652524m m -+\=12171,32m m =-=ABCD AD BC ∥E DA F AB CE DF P EPF ABC ∠=∠（1）如图①，如果，点、分别在边、上．求证：；（2）如图②，如果，，，．在射线的下方，以为直径作半圆，半圆与的另一个交点为点．设与弧的交点为．①当时，求和的长；②当点为弧的中点时，求的长．【答案】（1）见解析（2）①；；②【解析】【分析】（1）根据等腰梯形的性质可得，，，根据三角形的外角性质得出，进而可得，即可证明，根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①同（1）证明，如图所示，过点作于点，连接，得出，，解直角三角形，分别求得，，进而根据相似三角形的性质求得的长；②根据题意画出图形，根据垂径定理得出，根据题意可设，，则，得出，设，则，则，在中，得出，根据得出，即可求解．【小问1详解】证明：∵梯形中，，，∴，，，又∵，∴AB CD =E F ADAB AF DF DE CE =AD CD ⊥5AB =10BC =3cos 5ABC ∠=DA DE O O CE G DF EG Q 6DE =EG AF Q EG AF EG =215AF =15B DCB DCE BCE ∠=∠=∠+∠A EDC ∠=∠DEC BCE ∠=∠FPE CED EDP ∠=∠+∠ADF DCE ∠=∠ADF DCE ∽ADF PDE ∽A AM BC ⊥M DG cos DEC ∠=sin DEC ∠=EG EP AF OQ EQ ⊥EPF ABC α∠=∠=ODQ OQD β∠=∠=90αβ+=︒43tan tan 34αβ==12FR a =9AR a =15AF a =Rt DFR 16DR a =1697AD DR AR a a a =-=-=1a =ABCD AD BC ∥AB CD =B DCB DCE BCE ∠=∠=∠+∠A EDC ∠=∠DEC BCE ∠=∠FPE CED EDP ∠=∠+∠EPF ABC∠=∠ADF DCE∠=∠∴，∴；【小问2详解】解：∵，∵，则∴∴∵∴又∵∴，如图所示，过点作于点，连接，∵，∴，则，，∵∴∵∴又∵∴，在中，∴∴，ADF DCE ∽AF DF DE CE=EPF ABC ∠=∠DPC EPF∠=∠180FPC DPC ∠+∠=︒180FPC B ∠+∠=︒180ECB PFB ∠+∠=︒ECB AFD∠=∠AD BC∥ECB DEC∠=∠EDP FDA∠=∠ADF PDE ∽A AM BC ⊥M DG 5AB =3cos 5ABC ∠=3BM =4AM =4sin 5AM ABC AB ∠==,AD BC AD CD⊥∥4CD AM==10BC =1037AD MC BC BM ==-=-=6DE =1AE=Rt EDC 6,4ED CD ==EC ===cos DE DEC EC ∠===sin DC DEC EC ∠===∵为直径∴∴，∴，∵∴∴②过点作于点，∵∴∵∴设，，则ED 90DGE ∠=︒cos 6EG ED DEC =⨯∠==sin 6DG ED DEC =∠==sin sin DG DG PD DPG ABC ====∠∠3cos 5PG PD DPG =∠==EP EG PG =-=ADF PDE∽AF AD PE PD=215D A PE AF PD ⋅===F FR AD ⊥R EQGQ =OQ EQ⊥OQ OD=ODQ OQD∠=∠EPF ABC α∠=∠=ODQ OQD β∠=∠=90αβ+=︒∵，则设，则∴∵∴设，则，∴，在中，∴又∵∴∴【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰梯形的性质，相似三角形的性质与判定，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．3cos os cos 5DPG EPF ABC ∠=∠=∠=35PG PD =3,5PG k PD k ==4GD k =43tan tan 34αβ==AD BC∥RAF α∠=12FR a =9AR a =15AF a =Rt DFR 3tan 4RF DR β==16DR a=1697AD DR AR a a a =-=-=7=1a =15AF =。
2024年上海普陀区高三二模数学试卷和答案
上海普陀区2023-2024学年第二学期高三数学质量调研2024.4考生注意:1.本试卷共4页，21道试题，满分150分.考试时间120分钟.2.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.务必用钢笔或圆珠笔在答题纸相应位置正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1．已知复数1i z =+，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点的坐标为.2.已知R a ∈，设集合{}1,,4A a =，集合{}1,2B a =+，若A B B = ，则a =.3.若π3cos()35θ-=，则πsin()6θ+=________.4.已知()24,2X N ，若()00.02P X <=，则()48P X <<=.5.若实数a ，b 满足20a b -≥，则124ab+的最小值为_______.6.设()20121nnn x a a x a x a x +=++++ （1,N n n ≥∈），若54a a >，且56a a >，则1nii a==∑_.7.为了提高学生参加体育锻炼的积极性，某校本学期依据学生特点针对性的组建了五个特色运动社团，学校为了了解学生参与运动的情况，对每个特色运动社团的参与人数进行了统计，其中一个特色运动社团开学第1周至第5周参与运动的人数统计数据如表所示.周次x 12345参与运动的人数y3536403945若表中数据可用回归方程 2.3y x b =+（118x ≤≤，N x ∈）来预测，则本学期第11周参与该特色运动社团的人数约为_______.（精确到整数）8.设等比数列{}n a 的公比为q （1,N n n ≥∈），则“212a ，4a ，32a 成等差数列”的一个充分非必要条件是________.9.若向量a 在向量b 上的投影为13b，且3a b a b -=+ ，则cos ,a b = ________.10.已知抛物线2y =的焦点F 是双曲线Γ的右焦点，过点F 的直线l 的法向量(1,n = ，l 与y 轴以及Γ的左支分别相交A ，B 两点，若2BF BA =，则双曲线Γ的实轴长为_______.11.设k ，m ，n 是正整数，n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =，11n n S a +=+，若1(1)ki i i m t S ==-∑，且{}0,1i t ∈，记12()k f m t t t =+++ ，则(2024)f =________.12.已知R a ∈，若关于x 的不等式(2)e 0xa x x --->的解集中有且仅有一个负整数，则a 的取值范围是.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分.13.从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为A 、B ，白球标记为C ，则它的一个样本空间可以是…………………………………………（）)A ({},AB BC ()B {},,AB AC BC ()C {},,,AB BA BC CB ()D {},,,,AB BA AC CA CB14.若一个圆锥的体积为3，用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的顶角为π2，则该圆锥的侧面积为…………………………………………（）)A (()B 2π()C ()D 15.直线l 经过定点()2,1P ，且与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，动圆M 在△OAB 的外部，且与直线l 及两坐标轴的正半轴均相切，则△OAB 周长的最小值是…（）)A (3()B 5()C 10()D 1216.设n S 是数列{}n a 的前n 项和（1,N n n ≥∈），若数列{}n a 满足：对任意的2n ≥，存在大于1的整数m ，使得1()()0m n m n S a S a +--<成立，则称数列{}n a 是“G 数列”.现给出如下两个结论：①存在等差数列{}n a 是“G 数列”；②任意等比数列{}n a 都不是“G 数列”.则…………（）)A (①成立②成立()B ①成立②不成立()C ①不成立②成立()D ①不成立②不成立三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，2SA SB ==，E 、F 分别是SC 、BD 的中点.（1）求证：EF ∥平面SAB ；（2）若二面角S AB D --的大小为π2，求直线SD 与平面ABCD 所成角的大小.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分设函数()()sin f x x ωϕ=+，0ω>，0πϕ<<，它的最小正周期为π.（1）若函数π()12y f x =-是偶函数，求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2a =，π6A =，(24B f c ϕ-=，求b 的值.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分张先生每周有5个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路口，直行车道有三条，直行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件A 为“张先生驾车从左侧直行车道通行”.（1）某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行.记事件B 为“大货车从中间直行车道通行”，求()P A B ；（2）用X 表示张先生每周工作日出行事件A 发生的次数，求X 的分布及期望[]E X.第17题20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设椭圆222:1x y a Γ+=（1a >），Γ的离心率是短轴长的4倍，直线l 交Γ于A 、B 两点，C 是Γ上异于A 、B 的一点，O 是坐标原点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l 过Γ的右焦点F ，且CO OB = ，0CF AB ⋅=，求CBF S ∆的值；（3）设直线l 的方程为y kx m =+（,R k m ∈），且OA OB CO +=，求AB 的取值范围.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于函数()y f x =，1x D ∈和()y g x =，2x D ∈，设12D D D = ，若12,x x D ∈，且12x x ≠，皆有1212()()()()f x f x t g x g x -≤-（0t >）成立，则称函数()y f x =与()y g x =“具有性质()H t ”.（1）判断函数[]2(),1,2f x x x =∈与()2g x x =是否“具有性质(2)H ”，并说明理由；（2）若函数()(]22,0,1f x x x =+∈与()1g x x=“具有性质()H t ”，求t 的取值范围；（3）若函数()212ln 3f x x x=+-与()y g x =“具有性质(1)H ”，且函数()y g x =在区间()0,+∞上存在两个零点1x ，2x ，求证22122x x +>.评分标准（参考答案）二、选择题13141516BC C D三、解答题17.（1）证明：取线段SB 、AB 的中点分别为H 、G ，连接EH 、HG 、FG ，则1//2EH BC =，1//2FG AD =，………2分又底面ABCD 是正方形，即//BC AD =，则//EH FG =，即四边形EFGH 为平行四边形，则//EF HG ，………4分又EF 在平面SAB 外，HG ⊂平面SAB ，则//EF 平面SAB .………6分备注：连接AC ，利用SAC ∆的中位线性质，证明结论，仿以上步骤，相应评分.（2）取线段AB 的中点为O 点，连接SO 、DO ，又2SA SB ==，底面ABCD 是边长为1的正方形，则SO AB ⊥，且152SO =，52DO =，………4分又二面角S AB D --的大小为π2，即平面SAB ⊥平面ABCD ，又SO ⊂平面SAB ，平面SAB 平面ABCD AB =，则SO ⊥平面ABCD ，则SDO ∠是直线SD 与平面ABCD 所成角，………6分在Rt SDO ∆中，tan SOSDO DO∠==即π3SDO ∠=，则直线SD 与平面ABCD 所成角的大小为π3.………8分备注：用空间向量求解，仿以上步骤相应评分.18.（1）因为函数()()sin f x x ωϕ=+的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππω=，即2ω=，………2分则ππ(sin(2)126y f x x ϕ=-=+-，又函数π()12y f x =-是偶函数，则πππ62k ϕ-=+，Z k ∈，………4分即2ππ3k ϕ=+，又0πϕ<<，则2π3ϕ=.………6分（2）由(24B f c ϕ-=得，sin 4B c =，又2a =，π6A =，则sin sin 44b A b B a ===，即b =，………4分由余弦定理得，2222232cos 32a b c bc A c c c =+-=+-⋅⋅，………6分即2c =，则b =………8分19.（1）方法一：依题意得，两辆车从直行车道通行这个样本空间中的基本事件共有23P 个，事件A B 只有1个基本事件，………4分则()23116P A B P == .………6分方法二：依题意得，事件B 的概率为1()3P B =，事件A 基于条件B 的概率为1()2P A B =，…4分则()()()111|236P A B P A B P B ==⨯= .………6分（2）依题意得，事件A 发生的次数X 可取：0,1,2,3,4,5，则X 的分布为：542332450123455555550123452121212121C C C C C C 3333333333⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即01234532808040101243243243243243243⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，………4分则[]80804010112345243243243243243E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，………6分则所求的X 的期望[]53E X =.………8分20.（1）由Γ的离心率是短轴的长的4倍，得2a =a =，………2分又1a >，则a =故椭圆Γ的方程为2212x y +=.………4分（2）设Γ的左焦点为1F ，连接1CF ，因为CO OB =，所以点B 、C 关于点O 对称，又0CF AB ⋅=，则CF AB ⊥，由椭圆Γ的对称性可得，1CF CF ⊥，且三角形1OCF 与三角形OBF 全等，………2分则1112CBF CF F S S CF CF ==⋅ ，………4分又1222114CF CF CF CF F F ⎧+=⎪⎨+==⎪⎩，化简整理得，12CF CF ⋅=，则1CBF S = .………6分（3）设11(,)A x y ，11(,)B x y ，00(,)C x y ，又OA OB CO +=，则012()x x x =-+，012()y y y =-+，由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，222(12)4220k x mkx m +++-=，222222168(12)(1)8(21)m k k m k m ∆=-+-=-+，由韦达定理得，122412mkx x k-+=+，21222212m x x k -=+，………2分又121222()212my y k x x m k+=++=+，则02412mk x k =+，02212my k -=+，因为点C 在椭圆Γ上，所以222242()2()21212mk m k k -+=++，化简整理得，22412m k =+，………4分此时，22222218(21)8(21)6(21)04k k m k k +∆=-+=+-=+>，则AB =====，………6分令212t k =+，即1t ≥，则(]2266333=33,612k t k t t ++=+∈+，则AB的取值范围是.………8分21.解：（1）（1）由[]12,1,2x x ∈，且12x x ≠，得1224x x <+<，即124x x +<，………2分则1212124x x x x x x +⋅-<-，即221212222x x x x -<-，即()()()()12122f x f x g x g x -≤-，则函数[]2(),1,2f x x x =∈与()2g x x =“具有性质(2)H ”.………4分（2）由函数()(]22,0,1f x x x =+∈与()1g x x=“具有性质()H t ”，得()()()()1212f x f x t g x g x -≤-，(]12,0,1x x ∈，且12x x ≠，即2212121122x x tx x +--≤-，整理得21121212()()x x x x x x tx x -+-≤，则1212()t x x x x ≥+对(]12,0,1x x ∈恒成立，………2分又(]12,0,1x x ∈，12x x ≠，则1202x x <+<，1201x x <<，即12120()2x x x x <+<，………4分则2t ≥，即所求的t 的取值范围为[)2,+∞.………6分（3）由函数()y g x =在()0,+∞有两个零点12,x x ，得()()120g x g x ==，又函数()212ln 3f x x x=+-与()y g x =“具有性质(1)H ”，则()()()()12120f x f x g x g x -≤-=，即()()12f x f x =，即122212112ln 32ln 3x x x x +-=+-，………2分令221122,x t x t ==，即121211ln 3ln 3t t t t +-=+-，记()1ln 3h x x x=+-，即()()12h t h t =，因为()22111x h x x x x-'=-+=，当1x <时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>，所以函数()y h x =在区间()0,1是减函数，在()1,+∞上是增函数.………4分要证22122x x +>，即证122t t +>，不妨设1201t t <<<，即证2121t t >->，只需证()()212h t h t >-，即证()()112h t h t >-，设()()()2H x h x h x =--，即()()11ln ln 22H x x x x x=+----，………6分因为()()()()222224111110222x H x x x x x x x -'=-+-+=-≤---，所以函数()y H x =在()0,+∞是减函数，且(1)0H =，又101t <<，则()()110H t H >=，即()()1120h t h t -->，则()()112h t h t >-得证，故22122x x +>.………8分。
2022年上海市普陀区中考二模数学试卷含详解
初中数学学科适应性随堂练习考生注意：1．本试卷共25题．2．试卷满分150分．考试时间100分钟．3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．4．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列各数在数轴上所对应的点与原点的距离最远的是A.2B.1C. 1.5- D.3-2.）A. B. C. D.3.关于函数2y x =-，下列说法中正确的是（）A.图像位于第一、三象限B.图像与坐标轴没有交点C.图像是一条直线D.y 的值随x 的值增大而减小4.某公司有9个子公司，某年各子公司所创年利润的情况如下表所示．根据表中的信息，下列统计量中，较为适宜表示该年各子公司所创年利润的平均水平的是（）A.方差 B.众数 C.平均数 D.中位数5.知1O 和2O ，1O 的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米，如果两圆的圆心距为15厘米时，那么此时这两圆的位置关系是（）A.内含 B.内切 C.相交 D.外离6.如图，已知点D 、E 、F 、G 、H 、I 分别在ABC 的三边上，如果六边形DEFGHI 是正六边形，下列结论中不正确的是（）A.60A ∠=︒B.31DE BC =C.35=六边形△DEFGHI ABC C CD.23DEFGHI ABC S S = 六边形二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：23-=____________.8.已知()26=m a a ，那么m =___________．9.方程x =的根是___________．10.如果关于x 的方程2(1)-=x m 没有实数根，那么实数m 的取值范围是__________．11.将直线21y x =-+沿着y 轴向下平移4个单位，所得直线的表达式是___________．12.如果二次函数2(1)y a x =-的图像在y 轴的右侧部分是下降的，写出符合条件的一个a 的值是________．13.从-1，0，π，13这五个数中任意抽取一个，抽取到无理数的概率是____．14.如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在边BC 上，AD BD =，如果102∠=︒DAC °，那么BAD ∠=___________度．15.如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，2AO =，4=AD ，6OC =，8BC =，如果DAO CBO ∠=∠，那么AB CD ∶的值是___________．16.如图，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥，3BC AD =，设AB a = ，DC b = ，那么向量AD 用向量a 、b表示为___________．17.如图，小明和小亮进行赛跑，小亮的起跑点在小明前方10米，1l 、2l ，分别表示小亮、小明在赛跑中的路程与时间的关系．可知起跑后6秒时，小明领先小亮___________米．18.如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =．矩形ABCD 绕着点A 旋转，点B 、C 、D 的对应点分别是点B '、C '、D ¢，如果点B '恰好落在对角线BD 上，连接DD '，DD '与B C ''交于点E ，那么DE =___________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.先化简，再求值：223112-⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭a a a a，其中a =20.解不等式组：()52226118x x x x ⎧-≤+⎪⎨+-<⎪⎩，，并把解集在数轴上表示出来．21.如图，在ABC 中，2cos ,8,93∠===ABC BC AB ．分别以点B 、C 为圆心、大于12BC 的同样长为半径作弧，两弧相交于点M 、N ，直线MN 分别交AB BC 、于点D 、E ．（1）直线MN 是线段BC 的___________，BE =___________；（2）求点A 到直线MN 的距离．22.2021年1月1日起《中华人民共和国民法典》正式施行．某社区为了解本社区的居民对该部法典的关注状况，在4000名居民中作随机抽样调查，把收集到的居民对法典的关注状况分为以下四种情况：A ．十分清楚；B ．清楚；C ．不太清楚；D ．不清楚．图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．（1）此次接受随机抽样调查的人数是___________人；（2）由样本估计总体可得，该社区居民中“十分清楚”和“清楚”的人数共有___________人；（3）根据本次调查结果，为促进居民对《中华人民共和国民法典》的了解，做好普法工作，计划两年后将该社区居民中“十分清楚”和“清楚”的总人数增加到3600人，如果这两年的年增长率相同，求年增长率，23.已知如图，四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，E 为对角线BD 的中点，点F 在边AD 上，CF 交BD 于点G ，1,2=∥CF AE CF BD ．（1）求证：四边形AECF 为菱形；（2）如果DCG DEC ∠=∠，求证：2=⋅AE AD DC ．24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线28y ax bx =++与x 轴交于点(2,0)A -、(4,0)B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）求抛物线的表达式和点D 的坐标；（2）点E 是第一象限内抛物线的一个动点，其横坐标为m ，直线AE 交y 轴于点F ．①用m 的代数式表示直线AE 的截距；②在ECF △的面积与EAD 的面积相等的条件下探究：在y 轴右侧存在这样一条直线，满足：以该直线上的任意一点及点C 、F 三点为顶点的三角形的面积都等于EAD 面积，试用规范、准确的数学语言表达符合条件的直线．25.如图，已知矩形ABCD 中，5AD =，以AD 上的一点E 为圆心，EA 为半径的圆，经过点C ，并交边BC 于点F （点F 不与点C 重合）．（1）当4AE =时，求矩形对角线AC 的长；（2）设边,==AB x CF y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）设点G 是 AC 的中点，且45GEF ∠=︒，求边AB 的长．初中数学学科适应性随堂练习一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列各数在数轴上所对应的点与原点的距离最远的是A.2B.1C. 1.5- D.3-【答案】D【分析】根据到原点距离最远的点就是绝对值最大的数，对每个数作出判断，即可求出答案．【详解】2到原点的距离是2个长度单位，1到原点的距离是1个长度单位，-1.5到原点的距离是1.5个长度单位，-3到原点的距离是3个长度单位，即到原点的距离最远的点是﹣3．故选：D．【点睛】本题考查绝对值的几何意义，绝对值就是一个数在数轴上到原点的距离，求出每一个数的绝对值就是到原点的距离．2.的是（）A.B. C. D.【答案】A【分析】根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．求解即可．【详解】解：A.原式=33，符合题意；B.不是同类二次根式，不符合题意；C.不是同类二次根式，不符合题意；D.原式=故选：A．【点睛】本题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的概念．3.关于函数2yx=-，下列说法中正确的是（）A.图像位于第一、三象限B.图像与坐标轴没有交点C.图像是一条直线D.y的值随x的值增大而减小【答案】B【分析】根据反比例函数的图像和性质即可判断．【详解】解：在y=-2x中，k=-2＜0，∴图像位于第二、四象限，图像是双曲线，在每一象限内，y 随着x 增大而增大，故A ，C ，D 选项不符合题意，∵x ≠0，y ≠0，∴函数图像与坐标轴没有交点，故B 选项符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的性质与系数的关系是解题的关键．4.某公司有9个子公司，某年各子公司所创年利润的情况如下表所示．年利润（千万元）50431子公司个数1224根据表中的信息，下列统计量中，较为适宜表示该年各子公司所创年利润的平均水平的是（）A.方差B.众数C.平均数D.中位数【答案】D【分析】先分别求出平均数和中位数，再进行分析即可得．【详解】解：平均数为5014232146899⨯+⨯+⨯+⨯=（千万元），将数据按从小到大进行排序后，第5个数即为中位数，则中位数为3千万元，由此可知，平均数比8个子公司所创年利润都高，所以平均数不适宜表示该年各子公司所创年利润的平均水平；而中位数为3千万元，适宜表示该年各子公司所创年利润的平均水平，故选：D ．【点睛】本题考查了平均数和中位数，熟练掌握平均数和中位数的计算方法是解题关键．5.知1O 和2O ，1O 的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米，如果两圆的圆心距为15厘米时，那么此时这两圆的位置关系是（）A.内含B.内切C.相交D.外离【答案】C【分析】根据圆心距在两圆半径差和两圆半径和之间，故判断出两圆相交．【详解】解：1O 的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米，2O ∴ 的半径为15厘米，1510151510-<<+ ，∴两圆的位置关系是相交.故选：C ．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，熟练掌握两圆的圆心距大小和两圆的位置之间的关系是解题的关键．6.如图，已知点D 、E 、F 、G 、H 、I 分别在ABC 的三边上，如果六边形DEFGHI 是正六边形，下列结论中不正确的是（）A.60A ∠=︒B.31DE BC =C.35=六边形△DEFGHI ABC C CD.23DEFGHI ABC S S = 六边形【答案】C 【分析】由题意可以得到△ABC 是正三角形，从而对A 作出判断，然后根据正三角形和正六边形的性质可以对其他选项作出判断．【详解】解：∵六边形DEFGHI 是正六边形，∴∠IDE =∠FED =120°，∴∠ADE =∠AED =60°，∴∠A =60°，A 正确；∴△ADE 、△IBH 、△FGC 都是正三角形，∴三个正三角形的边长都等于正六边形的边长，∴31DE BC =，B 正确；6293DEFGHI ABC C C == 六边形，C 不正确；如图，分别连接DG 、IF 、HE，则六边形被分成和△ADE 全等的六个三角形，∴6239DEFGHI ABC S S == 六边形，∴D 正确，故选C ．【点睛】本题考查正六边形的综合应用，熟练掌握正六边形的性质、正三角形的判定和性质是解题关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：23-=____________.【答案】19【详解】解：22113=39-=故答案为19.8.已知()26=m a a ，那么m =___________．【答案】3【分析】根据幂的乘方进行计算即可求解．【详解】解：∵()26=m a a ，∴26m =，解得3m =．故答案为：3．【点睛】本题考查了幂的乘方运算，掌握幂的乘方，底数不变指数相乘是解题的关键．9.方程x =的根是___________．【答案】x =1【分析】先根据二次根式的性质两边同时平方，得到一个一元二次方程，解出x 的值，再根据原方程中x 的取值范围进行取舍即可得出结果．x =，∴3-2x ≥0且x ≥0，解得0≤x ≤32．原方程两边同时平方，整理得，x 2+2x -3=0，∴(x -1)(x +3)=0，∴x 1=1，x 2=-3．又0≤x ≤32，∴x =1．故答案为：x =1．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质以及解一元二次方程，掌握基本概念和解法是解题的关键．10.如果关于x 的方程2(1)-=x m 没有实数根，那么实数m 的取值范围是__________．【答案】0m <【分析】根据直接开平方法定义即可求得m 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的方程2(1)-=x m 没有实数根，∴0m <，故答案为：0m <．【点睛】考查了解一元二次方程的直接开平方法，解决本题的关键是掌握直接开平方法．11.将直线21y x =-+沿着y 轴向下平移4个单位，所得直线的表达式是___________．【答案】23y x =--【分析】根据一次函数沿着y 轴平移的变换规律：上加下减，即可求出直线表达式．【详解】解：根据题意可得，平移后的直线解析式：y =-2x +1-4=-2x -3，故答案为：y =-2x -3．【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数沿着y 轴平移的变换规律“上加下减”是解题的关键．12.如果二次函数2(1)y a x =-的图像在y 轴的右侧部分是下降的，写出符合条件的一个a 的值是________．【答案】0（答案不唯一）【分析】由图像在y 轴的右侧部分是下降的可得10a -<，进而求解．【详解】解：2(1)y a x =- 图像在y 轴右侧部分下降，∴抛物线开口向下，10a ∴-<，解得1a <，故答案为：0（答案不唯一）．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系．13.从-1，0，π，13这五个数中任意抽取一个，抽取到无理数的概率是____．【答案】【分析】先确定无理数的个数，再根据概率的含义求值即可.【详解】因为无限不循环小数是无理数，所以此题所给5个数中，有两个无理数，是π，，故抽取到无理数的概率是．【点睛】本题考查无理数的概念，求随机事件的概率．正确确定无理数的个数是解题的关键.14.如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在边BC 上，AD BD =，如果102∠=︒DAC °，那么BAD ∠=___________度．【答案】26【分析】根据等腰三角形两个底角相等、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到B BADC ∠=∠=∠，2ADC C ∠=∠，再根据三角形内角和等于180︒建立方程即可得到答案．【详解】解：设B x ∠=，∵AB AC =，∴B C x ∠=∠=，∴AD BD =，∴B BAD x ∠=∠=，∵2ADC B BAD x ∠=∠+∠=，180ADC DAC C ︒∠+∠+∠=，∴2102180x x ︒︒++=，∴26x ︒=，∴26BAD ︒∠=，故答案为：26．【点睛】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质．15.如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，2AO =，4=AD ，6OC =，8BC =，如果DAO CBO ∠=∠，那么AB CD ∶的值是___________．【答案】23【分析】由题意可以证得△AOD ∽△BOC ，再根据相似三角形的性质得到AO ∶OD =BO ∶OC ，从而得到△AOB ∽△DOC ，最后再根据相似三角形的性质得到解答．【详解】解：在△AOD 和△BOC 中，DAO CBO ∠=∠，∠AOD =∠BOC ，∴△AOD ∽△BOC ，∴AO ∶OB =DO ∶OC =AD ∶BC =1∶2，∴OB =4，DO =3，∴在△AOB 和△DOC 中，∠AOB =∠DOC ，AO ∶OD =BO ∶OC =2∶3，∴△AOB ∽△DOC ，∴:AB CD =AO ∶OD =2∶3，故答案为23．【点睛】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题关键．16.如图，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥，3BC AD =，设AB a = ，DC b = ，那么向量AD 用向量a 、b 表示为___________．【答案】1122b a -【分析】过点D 作DE AB ∥交BC 于点E ，根据平行四边形的判定和性质及向量的三角形法则进行求解即可．【详解】解：如图，过点D 作DE AB ∥交BC 于点E ，AD BC ∥ ，∴四边形ABED 是平行四边形，,AB DE AD BE ∴== ，AB a = ，DE a ∴= ，,ED DC EC DC b +== ，EC a b ∴=-+ ，3,BC AD BE EC BC =+= ，3,2AD BE EC AD EC EC AD ∴=+=+=，()11112222AD EC a b b a ∴==-+=- 故答案为：1122b a - ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，向量加法的三角形法则，掌握向量加法的三角形法则是解本题的关键．17.如图，小明和小亮进行赛跑，小亮的起跑点在小明前方10米，1l 、2l ，分别表示小亮、小明在赛跑中的路程与时间的关系．可知起跑后6秒时，小明领先小亮___________米．【答案】2【分析】根据函数图像中的数据，可以分别计算出小亮和小明的速度，然后即可计算出起跑后6秒时，小明领先小亮距离．【详解】解：由图像可得，小亮的速度为：（40-10）÷5=30÷5=6（米/秒），小明的速度为：40÷5=8（米/秒），当t =6时，小明领先小亮的距离是：（6-5）×（8-6）=1×2=2（米），故答案为：2．【点睛】本题考查了函数图像，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18.如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =．矩形ABCD 绕着点A 旋转，点B 、C 、D 的对应点分别是点B '、C '、D ¢，如果点B '恰好落在对角线上，连接DD '，DD '与B C ''交于点E ，那么DE =___________．【答案】2120【分析】过A 点作AF ⊥BD ，交BD 于点F ，利用勾股定理求出BD =5，在根据是矩形ABD 的面积求出AF ，进而可求出 1.8BF B F '==，进而求出BD '，再证明AB F B ED ''△∽△，即有AF B F B D DE ''=，DE 可求．【详解】过A 点作AF ⊥BD ，交BD 于点F ，如图，∵矩形中AB =3，BC =AD =4，∠BAC =90°，∴5BD ===，∵1122ABD AB AD B S D AF ⨯⨯=⨯⨯=V ，∴34 2.45AB AD AF BD ⨯⨯===，∴ 1.8BF ===，根据旋转可知：AB AB '=，90ABC AB C '∠=∠=o ，AD AD ='，∵AF BD ⊥，∴ 1.8BF B F '==，即 3.6BB BF B F ''=+=，∴5 3.6 1.4B D BD BB ''=-=-=，根据旋转可知：AB AB '=，AD AD ='，BAB DAD ''∠=∠，ABD ADD '∠=∠，∵90ABD ADB ∠+∠=︒，∴90ADB ADD BDD ∠+∠==∠'' ，∵90AB F DB E ''∠+∠=o ，90B ED DB E ''∠+∠=o ，∴AB F DEB ''∠=∠，∵90AFB B DE ''∠=∠=o ，∴AB F B ED ''△∽△，∴AF B F B D DE''=，∴2.4 1.81.4DE=，∴2120DE =，故答案为：2120．【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，求出BD '是解答本题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.先化简，再求值：223112-⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭a a a a，其中a =【答案】2a a+，3-【分析】根据分式的加减乘除法则进行化简，然后代入数值计算即可．【详解】解：原式1(1)2(1)(1)-+=⨯++-a a a a a a 2=+aa当a ==3=-．【点睛】本题考查了分式加减乘除的混合运算，分式的化简求值，二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确进行化简．20.解不等式组：()52226118x x x x ⎧-≤+⎪⎨+-<⎪⎩，，并把解集在数轴上表示出来．【答案】742-<≤x ，图见解析【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【详解】解：由5(2)22-≤+x x 得，4x ≤．由6118+-<x x ，得72x >-．∴原不等式组的解集是742-<≤x ．在数轴上表示为【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．21.如图，在ABC 中，2cos ,8,93∠===ABC BC AB ．分别以点B 、C 为圆心、大于12BC 的同样长为半径作弧，两弧相交于点M 、N ，直线MN 分别交AB BC 、于点D 、E ．（1）直线MN 是线段BC 的___________，BE =___________；（2）求点A 到直线MN 的距离．【答案】（1）垂直平分线，4（2）2【分析】（1）根据作图可得直线MN 是线段BC 的垂直平分线，再根据垂直平分线的定义可得BE 的长度；（2）过点A 作AH MN ⊥，垂足为点H ．先证明,B HAD Ð=Ð再在在Rt DBE 中，求解46cos BD ABC ==∠，AD ，利用2cos cos ,3AH HAD B ADÐ=Ð==从而可得答案．【小问1详解】由作图可得：直线MN 是线段BC 的垂直平分线，8,BC =Q 1 4.2BE CE BC \===故答案为：垂直平分线，4；【小问2详解】过点A 作AH MN ⊥，垂足为点H ．,MN BC ^Q ,AH BC \∥,B HAD \Ð=Ð在Rt DBE 中，∵2cos ,43∠==ABC BE ，∴46cos BD ABC==∠．由9AB =，得3AD =．2cos cos ,3AH HAD B AD \Ð=Ð==∴2AH =．即点A 到直线MN 的距离为2．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图理解，锐角三角函数的应用，熟练的利用锐角三角函数求解直角三角形的边长是解本题的关键．22.2021年1月1日起《中华人民共和国民法典》正式施行．某社区为了解本社区的居民对该部法典的关注状况，在4000名居民中作随机抽样调查，把收集到的居民对法典的关注状况分为以下四种情况：A ．十分清楚；B ．清楚；C ．不太清楚；D ．不清楚．图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．（1）此次接受随机抽样调查的人数是___________人；（2）由样本估计总体可得，该社区居民中“十分清楚”和“清楚”的人数共有___________人；（3）根据本次调查结果，为促进居民对《中华人民共和国民法典》的了解，做好普法工作，计划两年后将该社区居民中“十分清楚”和“清楚”的总人数增加到3600人，如果这两年的年增长率相同，求年增长率，【答案】（1）200（2）2500（3）20%【分析】（1）根据A 的人数和所占的百分比即可得出答案；（2）用总的居民人数乘以“十分清楚”和“清楚”的人数所占的百分比即可；（3）设年增长率为x ，根据这两年的年增长率相同，列方程求出x 的值，即可得出答案．【小问1详解】解：此次接受随机抽样调查的人数是：42÷21%＝200（人），故答案为：200；【小问2详解】根据题意得：4000×（21%＋41.5%）＝2500（人），则该社区居民中“十分清楚”和“清楚”的人数共有2500人，故答案为：2500；设年增长率为x ，依题意得：2500（1＋x ）2＝3600，解得：x 1＝0.2＝20%，x 2＝−2.2（不合题意舍去），答：年增长率为20%．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用样本估计总体，一元二次方程的应用等．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．23.已知如图，四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，E 为对角线BD 的中点，点F 在边AD 上，CF 交BD 于点G ，1,2=∥CF AE CF BD ．（1）求证：四边形AECF 为菱形；（2）如果DCG DEC ∠=∠，求证：2=⋅AE AD DC ．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线可得AE ＝CE ＝12BD ，再结合已知CF ＝12BD ，从而可得AE ＝CF ，进而可得四边形AECF 是平行四边形，然后再根据AE ＝CE 即可解答；（2）利用（1）的结论可得AD ∥CE ，从而可得∠ADE ＝∠DEC ，进而可得∠ADE ＝∠DCF ，再利用平行线的性质可得∠EAD ＝∠CFD ，然后证明△∽△DCF EDA ，利用相似三角形的性质解答．【小问1详解】证明：∵90BAD BCD ∠=∠=︒，E 为对角线BD 的中点，∴12==AE CE BD ，∵12CF BD =，∴AE CF =，又∵//CF AE ，∴四边形AECF 为平行四边形，又∵AE CE =，∴平行四边形AECF 为菱形；∵四边形AECF 为菱形，∴//AF CE ，∴ADE DEC ∠=∠，∵DCG DEC ∠=∠，∴DCF ADE ∠=∠，∵//CF AE ，∴DFC DAE ∠=∠，∴△∽△DCF EDA ，∴=DC CF DE AD，∵AE ED CF ==，∴=DC AE AE AD ，即2=⋅AE AD DC ．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等知识，熟练掌握菱形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线28y ax bx =++与x 轴交于点(2,0)A -、(4,0)B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）求抛物线的表达式和点D 的坐标；（2）点E 是第一象限内抛物线的一个动点，其横坐标为m ，直线AE 交y 轴于点F ．①用m 的代数式表示直线AE 的截距；②在ECF △的面积与EAD 的面积相等的条件下探究：在y 轴右侧存在这样一条直线，满足：以该直线上的任意一点及点C 、F 三点为顶点的三角形的面积都等于EAD 面积，试用规范、准确的数学语言表达符合条件的直线．【答案】（1）228y x x =-++，点D 的坐标为(1,9)（2）①直线AE 的截距是(82)m -；②符合条件的直线应该是经过点E 且垂直于x 轴的直线，为直线3332x -+=和直线310-+=x【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式，再利用配方法将抛物线表达式化为顶点式即可求得顶点坐标；（2）①设点()()2,2804E m m m m -++<<，利用待定系数法求得直线AE 的解析式为()482y m x m =-+-，即可得出答案；②当点E 在对称轴右侧时，设抛物线对称轴交直线AE 于点H ，则()1,123H m -，可得()()()1133222EAD E A S DH x x m m ∆=⋅-=-+，再求得11222ECF S CF m m m ∆=⋅=⨯⨯=2m ，根据题意可得：()()213322m m m =-+，解得32-+=m ，故符合条件的直线为x =；当点E 在y 轴与对称轴之间时，过点E 作平行y 轴的直线交AD 于点K ，利用待定系数法求得直线AD 的解析式为36y x =+，可得(),36K m m +，进而可得()()213222EAD D A S EK x x m m ∆=⋅-=--+，建立方程求解即可得出符合条件的直线为310-=x ．【小问1详解】解： 抛物线28y ax bx =++与x 轴交于点()2,0A -、()4,0B ，428016480a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为228y x x =-++，()222819y x x x =-++=--+ ，∴顶点D 的坐标为()1,9；【小问2详解】解：①设点()()2,2804E m m m m -++<<，直线AE 的解析式为y kx d =+，则22028k d mk d m m -+=⎧⎨+=-++⎩，解得：482k m d m =-⎧⎨=-⎩，∴直线AE 的解析式为()482y m x m =-+-，∴直线AE 的截距为82m -；② 抛物线顶点D 的坐标为()1,9，∴抛物线对称轴为直线1x =，当点E 在对称轴右侧时，设抛物线对称轴交直线AE 于点H ，如图1，则()1,123H m -，()912333DH m m ∴=--=-，()()()1133222EAD E A S DH x x m m ∆∴=⋅-=-+，由①知：直线AE 的截距为82m -，即()0,82F m -，又()0,8C ，()8822CF m m ∴=--=，211222ECF S CF m m m m ∆∴=⋅=⨯⨯=，由题意：ECF EAD S S ∆∆=，()()213322m m m ∴=-+，解得：3332m -=或3332-=m ，04m << ，32m -∴=，根据同底等高的三角形面积相等可得：过点E 且平行y 轴的直线上任意一点及点C 、F 三点为顶点的三角形的面积都等于EAD ∆面积，∴符合条件的直线为x =；当点E 在y 轴与对称轴之间时，过点E 作平行y 轴的直线交AD 于点K ，如图2，()2,0A - 、()1,9D ，∴直线AD 的解析式为36y x =+，(),36K m m ∴+，()2228362EK m m m m m ∴=-++-+=--+．()()213222EAD D A S EK x x m m ∆∴=⋅-=--+，ECF EAD S S ∆∆= ，()22322m m m ∴--+=，解得：312910m -=310-+=m ，∴符合条件的直线为310-+=x ，综上所述，符合条件的直线为3332x -=或310-+=x ．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，抛物线的顶点式、顶点坐标、对称轴，直线的截距，三角形面积等，运用等底等高的三角形面积相等解决问题是解题关键．25.如图，已知矩形ABCD 中，5AD =，以AD 上的一点E 为圆心，EA 为半径的圆，经过点C ，并交边BC 于点F （点F 不与点C 重合）．（1）当4AE =时，求矩形对角线AC 的长；（2）设边,==AB x CF y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）设点G 是 AC 的中点，且45GEF ∠=︒，求边AB 的长．【答案】（1）AC =（2）225.(05)5-=<<x y x（3）10-【分析】（1）连接CE ，AC ，由勾股定理可求出答案；（2）过点E 作EH ⊥BC 于点H ，连接CE ，由矩形的性质得出AB =EH =x ，AE =5-12y ，由勾股定理可求出答案；（3）当点G 在弧CF 上时，设EF 与AC 的交点为M ，连接CE ，求出∠DEC =30°，由直角三角形的性质可得出答案；当点G 在弧AF 上时，则点F 与点C 重合，不合题意．【小问1详解】解：连接EC ，AC ．∵4,5AE AD ==，∴4,1==CE ED ．在Rt CDE △中，由勾股定理得222224115CD CE DE =-=-=．在Rt ACD △中，同理得，∴AC ==【小问2详解】过点E 作EH BC ⊥，垂足为点H ．由垂径定理可得1122==CH CF y ．那么152=-BH y ．由四边形ABHE 为矩形，得1,52==-EH x AE y ．那么152=-EC y ．在Rt CHE △中，由股定理得：22211522⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y y ．化简得225.(05)5-=<<x y x ；【小问3详解】①当点G 在弧CF 上时，设EF 与AC 的交点为M ．∵点G 是AC 的中点，∴EG AC ⊥．由45GEF ∠=︒，得45EMC ∠=°．∵EA EC=∴EAC ECA ∠=∠．同理得EFC ECF ∠=∠．∵AD BC ∥，∴EAC ACF ∠=∠．∴∠=∠ECA ACF ．∵∠=∠+∠EMC EFC ACF ，∴3∠=∠EMC ACF ．∴230∠=∠︒=EFC ACF ．∵AD BC ∥，30DEC ∠=︒．∴CE =2CD ∴1522-=y x ．解得110x =-210x =+(不合题意，舍去)即边AB 的长为10-②当点G 在弧AF 上时，则点F 与点C 重合，不符合题意．【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握圆的性质定理是解题的关键．。