辽宁省辽阳市2019届高三数学下学期一模考试试题理(含解析)

辽宁省辽阳市2019届高三数学下学期一模考试试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z 1，z 满足z 1＝﹣1﹣i ，z 1z ＝4，则复数z 在复平面内对应点的坐标为（ ） A. （2，﹣2） B. （﹣2，2）C. （2，2）D. （﹣2，﹣2） 【答案】D 【解析】 【分析】把z 1＝﹣1﹣i 代到z 1z ＝4变形后利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得z 得答案。

【详解】解：由z 1＝﹣1﹣i ，z 1z ＝4，得z ()()()1414422111i i z i i i -+====-+-----+， ∴22z i =--．则复数z 在复平面内对应点的坐标为（﹣2，﹣2）． 故选：D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lgx }，B ＝{x |﹣7＜2+3x ＜5}，则∁U （A ∪B ）＝（ ） A. {x |0＜x ＜1} B. {x |x ≤0或x ≥1}C. {x |x ≤﹣3}D. {x |x ＞﹣3} 【答案】C 【解析】 【分析】可求出集合A ，B ，然后进行并集、补集的运算即可． 【详解】解：A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |﹣3＜x ＜1}； ∴A ∪B ＝{x |x ＞﹣3}； ∴∁U （A ∪B ）＝{x |x ≤﹣3}． 故选：C ．【点睛】考查描述法的定义，对数函数的定义域，以及并集、补集的运算．3.已知α∈（22ππ-，），tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°，则sinα＝（ ） A.5 B. 5-C.25D. 25-【答案】A 【解析】 【分析】由已知求得tanα，再由同角三角函数基本关系式结合角的范围求解．【详解】解：由tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°＝sin （76°﹣46°）＝sin30°12=， 且α∈（22ππ-，），∴α∈（0，2π）， 联立22121sin cos sin cos αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sinα5=． 故选：A ．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角差的正弦，是基础题．4.函数f （x ）221x x +=的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义，得出函数的奇偶性，以及函数值的符号，利用排除法进行求解，即可得到答案．【详解】由题意，函数满足()()22x -x 2x 1(x)2x 1f x f x e e x -+-+-==-=-+，即()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，又由当y FE AE =-22时，()f x 0>恒成立，排除A ，D ，故选：C ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数值的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，得出函数的奇偶性，再利用函数值排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

5.如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱AB 和A 1D 1的中点分别为E ，F ，AB ＝6，AD ＝8，AA 1＝7，则异面直线EF 与AA 1所成角的正切值为（ ）A.57B.75574774【答案】A 【解析】 【分析】由题意平移AA 1，异面直线EF 与AA 1所成角为∠FEG 或其补角，在△EFG 中可求． 【详解】解：取A 1B 1中点G ，连接EG ，FG ，EG ⊥FG ，因为EG ∥AA 1， 所以异面直线EF 与AA 1所成角为∠FEG 或其补角， 在△EFG 中，FG ＝5，EG ＝7，所以tan∠FEG 57=， 故选：A ．【点睛】本题考查异面直线所成的角，属于简单题．6.已知直线l ：34150x y --=与圆C ：2222450(0)x y x y r r +--+-=>相交于A ，B 两点，若6AB =，则圆C 的标准方程为（ ） A. 22(1)(2)25x y -+-= B. 22(1)(2)36x y -+-= C. 22(1)(2)16x y -+-= D. 22(1)(2)49x y -+-=【答案】A 【解析】 【分析】先求得圆心到直线的距离，再结合弦长为6，利用垂径定理可求得半径. 【详解】圆C ：2222450x y x y r +--+-=可化为()()22212x y r -+-=，设圆心()1,2到直线l 的距离为d ，则381545d --==，又6AB =，根据2223425r =+=，所以圆C 的标准方程为()()221225x y -+-=. 故选：A【点睛】本题主要考查了圆的弦长公式，垂径定理的应用，属于基础题.7.某市体育局将从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加全省100米仰泳比赛，现将他们最近集训的10次成绩(单位：秒)的平均数与方差制成表格如下： 甲乙丙丁平均数59 57 59 57根据表中的数据，应选哪位选手参加全省的比赛（ ） A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D 【解析】 【分析】选择平均成绩最好，方差最小的即可.【详解】100米仰泳比赛的成绩是时间越短越好的，方差越小发挥水平越稳定，故丁是最佳人选.故选D【点睛】本题考查统计，主要考查应用意识，属于基础题型.8.已知(,1)12P π，5(,1)12Q π-分别是函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><图象上相邻的最高点和最低点，则ωϕ=（ ）A. 2π B. 54±C. 43π-D.34π 【答案】D 【解析】 【分析】根据两个最值的横坐标的距离可得周期，进而得ω，把,112P π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入方程()sin 3y x ϕ=+，可得ϕ，从而得解.【详解】因为5221212T πππω⎛⎫⨯-==⎪⎝⎭，所以3ω=， 把,112P π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入方程()sin 3y x ϕ=+，得()24k k Z πϕπ=+∈，因2πϕ<，所以4πϕ=，34πωϕ=. 故选：D【点睛】已知函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象求参数的方法：,A T 可由观察图象得到，进而得到ω的值．求ϕ的值的方法有两种，一是“代点”法，即通过代入图象中的已知点的坐标并根据ϕ的取值范围求解；另一种方法是“五点法”，即将x ωϕ+作为一个整体，通过观察图象得到0x ωϕ+对应正弦函数图象中“五点”中的第几点，然后得到等式求解．考查识图、用图的能力．9.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22(sin sin )sin ()3sin sin B C B C B C +-+=，且2a =，则ABC ∆的面积的最大值是（ ）B. 3C.D. 4【答案】B 【解析】 【分析】由()()22sin sin sin 3sin sin B C B C B C +-+=，根据三角形内角和定理，结合诱导公式可得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，再由正弦定理可得222a b c bc +-=，从而由余弦定理求得1cos 2A =，再利用基本不等式可得4bc ≤，由三角形面积公式可得结果. 【详解】()sin sin B C A +=Q ，且()()22sin sin sin 3sin sin B C B C B C +-+=，222sin sin sin sin sin B C A B C ∴+-=，由正弦定理可得222a b c bc +-=，由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，sin 2A =， 又222,42a b c bc bc bc bc =∴=+-≥-=Q ，即4bc ≤，11sin 4222ABC S bc A ∆∴=⨯≤⨯⨯=即ABC ∆ B.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式的应用，属于难题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.10.已知函数f （x ）为R 上的奇函数，当x ＜0时，()122xf x =-，则xf （x ）≥0的解集为（ ）A. [﹣1，0）∪[1，+∞）B. （﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C. [﹣1，0]∪[1，+∞）D. （﹣∞，﹣1]∪{0}∪[1，+∞）【答案】D 【解析】 【分析】由0x <时，()122xf x =-，可得()f x 在(),0-∞上递增，利用奇偶性可得()f x 在()0,∞+上递增，再求得()()()00,110f f f ==--=，分类讨论，将不等式转化为不等式组求解即可.【详解】0x <Q 时，()122xf x =-， ()10f ∴-=，且在(),0-∞上递增，又()f x Q 是定义在R 上的奇函数，()()()00,110f f f ∴==--=，且()f x 在()0,∞+上递增， ()0xf x ≥等价于0x =或()()001x f x f >⎧⎨≥=⎩或()()001x f x f <⎧⎨≤=-⎩，解得0x =或1x ≥或1-≤x ，即()0xf x ≥解集为(]{}[),101,+-∞-⋃⋃∞，故选D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.11.已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为22．若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为（ ） A. 4 B. 6C. 8D. 10【答案】B 【解析】 【分析】设两圆的圆心分别为O 1、O 2，球心为O ，公共弦为AB ，其中点为E ，则OO 1EO 2为正方形，可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案． 【详解】解：如下图所示，设两圆的圆心为O 1、O 2，球心为O ，公共弦为AB ，中点为E ，因为圆心到这两个平面的距离相等，则OO 1EO 2为正方形，两圆半径相等，设两圆半径为r ，2116OO r =-，2322OE r =- 又|OE |2+|AE |2＝|OA |2，即32﹣2r 2+2＝16，则r 2＝9，r ＝3，所以，这两个圆的半径之和为6，故选：B ．【点睛】本题主要考查球的有关概念以及两平面垂直的性质，是对基础知识的考查．解决本题的关键在于得到OO 1EO 2为矩形．12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当21PF PF ⋅取得最小值和最大值时，21F PF ∆的面积分别为1S ，2S ，则=12S S （ ） A. 4 B. 8C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据离心率公式和双曲线方程的a ，b ，c的关系，可知2,?c a b ==，根据题意表示出点p ()m 和m 的取值范围，利用平面向量数量积的坐标表示得关于m 的一元二次函数，问题转化为求在给定区间内二次函数的最大值与最小值，进而问题得解. 【详解】由2ce a==，得2,c a b ==则，故线段MN所在直线的方程为)y x a =+，又点P 在线段MN 上，可设()P m ，其中[],0m a ∈-，由于()()12,0,,0F c F c -，即()()122,0,2,0F a F a -，得()()122,,2,PF a m PF a m =--=-u u u v u u u u v ，所以221246PF PF m ma a⋅=+-u u u v u u u u v 22313444m a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．由于[],0m a ∈-，可知当34m a =-时，12PF PF ⋅u u u v u u u u v 取得最小值，此时4P y a =， 当0m =时，12PF PF ⋅u u u v u u u u v取得最大值，此时P y =，则214S S ==．故选A. 【点睛】本题考查了平面向量在解析几何中应用，涉及了双曲线的简单性质，平面向量的数量积表示，二次函数在给定区间的最值问题；关键是利用向量作为工具，通过运算脱去“向量外衣”，将曲线上的点的坐标之间的关系转化为函数问题，进而解决距离、夹角、最值等问题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.在正方形ABCD 中，E 为线段AD 的中点，若EC AD AB λμ=+u u u v u u u v u u u v，则λμ+=_______．【答案】23 【解析】 【分析】由12EC ED DC AD AB =+=+u u u r u u u r u u u v u u u v u u u v即可得解.【详解】因为12EC ED DC AD AB =+=+u u u r u u u r u u u v u u u v u u u v ，所以13122λμ+=+=.故答案为：32【点睛】本题主要考查了向量的加法运算和线性运算，属于基础题.14.已知实数x ，y 满足123321142y x y x y x ⎧≥-+⎪⎪≤--⎨⎪⎪≤+⎩，则目标函数43z x y =-的最小值为_____．【答案】﹣22 【解析】 【分析】画出约束条件表示的平面区域，利用图形找出最优解，代入目标函数求出最小值．【详解】解：画出约束条件123321142y x y x y x ⎧≥-+⎪⎪≤--⎨⎪⎪≤+⎩表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数z ＝4x ﹣3y 过点A 时取得最小值，由1233142y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得A （﹣4，2），代入计算z ＝4×（﹣4）﹣3×2＝﹣22， 所以z ＝4x ﹣3y 的最小值为﹣22． 故答案为：﹣22．【点睛】本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题．15.已知函数1()11f x x a x =++-+的图象是以点)1,1(--为中心的中心对称图形，2()x g x e ax bx =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线互相垂直，则a b +=__________． 【答案】43- 【解析】 【分析】由中心对称得()()022f f +-=-，可解得a ，再由两切线垂直，求导数得斜率，令其乘积为-1，即可得解.【详解】由()()022f f +-=-，得11121242a a a +---+-=-=-， 解得1a =，所以()11f x x x =++.又()()21'11f x x =-++，所以()3'14f =.因为()2xg x e x bx =++，()'2xg x e x b =++，()'01g b =+，由()3114b +=-，得413b +=-，即43a b +=-. 故答案为：43-【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性，考查了导数的几何意义即切线斜率，属于中档题.16.用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为__________．【答案】165 【解析】 【分析】按照①全是1；②第一个格子是1，另外4个格子有一个0；③第一个格子是1，另外4个格子有2个0，分类计算满足条件的基本事件数，总事件为52个，利用古典概型公式求解即可. 【详解】5个格子用0与1两个数字随机填入共有5232=种不同方法，从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数包含的基本事件有：①全是1，有1种方法；②第一个格子是1，另外4个格子有一个0，有4种方法；③第一个格子是1，另外4个格子有2个0，有5种方法，所以共有14510++=种基本方法，那么概率1053216P ==. 故答案为：516【点睛】本题主要考查了古典概型的求解，解题的关键是采用分类的方式计算满足条件的基本事件数，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17.已知数列{a n }为等差数列，a 7﹣a 2＝10，且a 1，a 6，a 21依次成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n 11n n a a +=，数列{b n }的前n 项和为S n ，若S n 225=，求n 的值． 【答案】（1）a n ＝2n +3（2）10 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d ，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式； （2）求得b n 12=（112325n n -++），运用裂项相消求和可得S n ，解方程可得n ．【详解】解：（1）设数列{a n }为公差为d 的等差数列，a 7﹣a 2＝10，即5d ＝10，即d ＝2， a 1，a 6，a 21依次成等比数列，可得 a 62＝a 1a 21，即（a 1+10）2＝a 1（a 1+40），解得a 1＝5，则a n ＝5+2（n ﹣1）＝2n +3； （2）b n ()()111123252n n a a n n +===++（112325n n -++）， 即有前n 项和为S n 12=（11111157792325n n -+-++-++L ）12=（11525n -+）()525n n =+， 由S n 225=，可得5n ＝4n +10， 解得n ＝10．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题．18.2018年9月，台风“山竹”在我国多个省市登陆，造成直接经济损失达52亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的数据分成五组：[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为X，求X的分布列和数学期望.【答案】（1）3360元；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失；（2）根据频率分布直方图计算随机变量X的可能取值，再求X的分布列和数学期望值．【详解】（1）记每个农户的平均损失为元，则⨯+⨯+⨯=；x=⨯+⨯+50000.1870000.0690000.063360 10000.330000.4（2）由频率分布直方图，可得损失超过1000元的农户共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15（户），损失超过8000元的农户共有0.00003×2000×50＝3（户），随机抽取2户，则X的可能取值为0，1，2；计算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以X的分布列为；X 0 1 2P数学期望为E （X ）＝0×+1×+2×＝．【点睛】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，属于中档题．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PB PC =，E 为线段BC 的中点，F 为线段PA 上的一点.（1）证明：平面PAE ⊥平面BCP . （2）若22PA AB PB ==，二面角A BD F --的余弦值为35，求PD 与平面BDF 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）102【解析】 【分析】（1）由PE BC BC AE ⊥⊥，得BC ⊥平面PAE ，进而可得证；（2）先证得PA ⊥平面ABCD ，设AC BD O ⋂=，以O 为坐标原点，OB uuu v的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，分别计算平面BDF 的法向量为n v 和PD u u u v，设PD 与平面BDF 所成角为θ，则sin n PDn PDθ⋅=u u uv v u u u v v ，代入计算即可得解. 【详解】（1）证明：连接AC ，因为PB PC =，E 为线段BC 的中点， 所以PE BC ⊥.又AB BC =，60ABC ∠=︒，所以ABC ∆为等边三角形，BC AE ⊥.因为AE PE E ⋂=，所以BC ⊥平面PAE ， 又BC ⊂平面BCP ，所以平面PAE ⊥平面BCP . （2）解：设AB PA a ==，则PB PC ==，因为222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，同理可证PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD .如图，设AC BD O ⋂=，以O 为坐标原点，OB uuu v的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.易知FOA ∠为二面角A BD F --的平面角，所以3cos 5FOA ∠=，从而4tan 3FOA ∠=. 由432AF a =，得23AF a =.又由20,,23a a F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,0,0B ⎫⎪⎪⎝⎭，知2,23a a BF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ，20,,23a a OF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v . 设平面BDF 的法向量为(),,n x y z =v，由n BF ⊥u u u v v ，n OF u u u v v ⊥，得20232023a ax y z a a y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，不妨设3z =，得()0,4,3n =v .又0,,2a P a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,0,0D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以,2a PD a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v . 设PD 与平面BDF 所成角为θ，则sin 10n PDn PDθ⋅===u u uv v u u u v v .所以PD 与平面BDF所成角的正弦值为10.【点睛】用向量法求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20.设D是圆O：x2+y2＝16上的任意一点，m是过点D且与x轴垂直的直线，E是直线m与x 轴的交点，点Q在直线m上，且满足2|EQ|3=ED|．当点D在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程．（2）已知点P（2，3），过F（2，0）的直线l交曲线C于A，B两点，交直线x＝8于点M．判定直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．【答案】（1）221612x y+=1，（2）成等差数列【解析】【分析】（1）由题意设Q（x，y），D（x0，y0），根据2|EQ|3=ED|Q在直线m上，则椭圆的方程即可得到；（2）设出直线l的方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到k1+k3，并求得k2的值，由k1+k3=2k2说明直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．【详解】解：（1）设Q（x，y），D（x0，y0），∵2|EQ|3=ED|，Q在直线m上，∴x0＝x，|y0|＝3|．①∵点D在圆x2+y2＝16上运动，∴x 02+y 02＝16，将①式代入②式即得曲线C 的方程为x 243+y 2＝16，即221612x y +=1，（2）直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列，证明如下： 由（1）知椭圆C ：3x 2+4y 2＝48， 直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2），代入椭圆方程并整理，得（3+4k 2）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣48＝0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线PA ，PM ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则有x 1+x 2221634k k =+，x 1x 222164834k k-=+， 可知M 的坐标为（8，6k ）． ∴k 1+k 3()()121212122323332222k x k x y y x x x x ------=+=+---- ＝2k ﹣3•()121212442x x x x x x +-=+-+2k ﹣3•1236-=-2k ﹣1， 2k 2＝2•6382k -=-2k ﹣1． ∴k 1+k 3＝2k 2．故直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列．【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，该题是中档题．21.已知函数()ln f x x x =. （1）若函数2()1()f x g x x x=-，求()g x 的极值； （2）证明：2()1xf x e x +<-.（参考数据：ln20.69≈ ln3 1.10≈ 32 4.48e ≈ 27.39e ≈） 【答案】（1）见解析；（2）见证明 【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为证e x ﹣x 2﹣xlnx ﹣1＞0，根据xlnx ≤x （x ﹣1），问题转化为只需证明当x ＞0时，e x ﹣2x 2+x ﹣1＞0恒成立，令k （x ）＝e x ﹣2x 2+x ﹣1，（x ≥0），根据函数的单调性证明即可．【详解】（1）()()21ln 1(0)f x x g x x x x x x=-=->，()22ln 'x g x x -=，当122=+y x ，()'0g x >，当()2,x e ∈+∞，()'0g x <，()g x \在()20,e上递增，在()2,e +∞上递减，()g x \在2x e =取得极大值，极大值为21e，无极大值. （2）要证f （x ）+1＜e x﹣x 2． 即证e x﹣x 2﹣xlnx ﹣1＞0，先证明lnx ≤x ﹣1，取h （x ）＝lnx ﹣x+1，则h ′（x ）＝，易知h （x ）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故h （x ）≤h （1）＝0，即lnx ≤x ﹣1，当且仅当x ＝1时取“＝”， 故xlnx ≤x （x ﹣1），e x ﹣x 2﹣xlnx ≥e x ﹣2x 2+x ﹣1， 故只需证明当x ＞0时，e x ﹣2x 2+x ﹣1＞0恒成立，令k （x ）＝e x ﹣2x 2+x ﹣1，（x ≥0），则k ′（x ）＝e x ﹣4x+1，令F （x ）＝k ′（x ），则F ′（x ）＝e x ﹣4，令F ′（x ）＝0，解得：x ＝2ln2， ∵F ′（x ）递增，故x ∈（0，2ln2]时，F ′（x ）≤0，F （x ）递减，即k ′（x ）递减， x ∈（2ln2，+∞）时，F ′（x ）＞0，F （x ）递增，即k ′（x ）递增， 且k ′（2ln2）＝5﹣8ln2＜0，k ′（0）＝2＞0，k ′（2）＝e 2﹣8+1＞0，由零点存在定理，可知∃x 1∈（0，2ln2），∃x 2∈（2ln2，2），使得k ′（x 1）＝k ′（x 2）＝0， 故0＜x ＜x 1或x ＞x 2时，k ′（x ）＞0，k （x ）递增，当x 1＜x ＜x 2时，k ′（x ）＜0，k （x ）递减，故k （x ）的最小值是k （0）＝0或k （x 2），由k ′（x 2）＝0，得＝4x 2﹣1，k （x 2）＝﹣2+x 2﹣1＝﹣（x 2﹣2）（2x 2﹣1），∵x 2∈（2ln2，2），∴k （x 2）＞0，故x ＞0时，k （x ）＞0，原不等式成立．【点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，属于中档题．22.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：2x tcos y tsin θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数），C 2：244x m y m⎧=⎨=⎩（m为参数）．（1）将C 1，C 2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）设曲线C 1与C 2的交点分别为A ，B ，O 为坐标原点，求△OAB 的面积的最小值．【答案】（1）1:C sinθx -cosθy﹣2sin θ=0，2:C y 2＝4x ，（2）． 【解析】 【分析】（1）C 1：将2x tcos θ=+两边同时乘以sin ，θ将y tsin θ=两边同时乘以cos θ，消去参数t 即可，C 2消去m 即可；（2）联立()224ycos x sin y x θθ⎧=-⎨=⎩得y 2sinθ﹣4ycosθ﹣8sinθ＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 24cos sin θθ=，y 1y 2＝﹣8，代入S △OAB ＝122=⨯⨯|y 1﹣y 2|计算即可. 【详解】（1）由C 1：2x tcos y tsin θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）消去t 得C 1：cosθy＝sinθ（x ﹣2），得sinθx -cosθy -2sinθ=0,由C 2：244x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数）消去m 得C 2：y 2＝4x ，（2）联立()224ycos x sin y x θθ⎧=-⎨=⎩消去x 得y 2sinθ﹣4ycosθ﹣8sinθ＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 24cos sin θθ=，y 1y 2＝﹣8，又C 1与x 轴的交点（2，0）∴S △OAB ＝122=⨯⨯|y 1﹣y 2|==＝=所以 sinθ＝1时，S OAB 取得最小值42． 【点睛】本题考查了参数方程化成普通方程，直线与抛物线的位置关系，韦达定理的应用，三角形的面积，属于中档题．23.已知函数f （x ）＝|ax ﹣1|﹣|2x +a |的图象如图所示．（1）求a 的值；（2）设g （x ）＝f （x 12+）+f （x ﹣1），g （x ）的最大值为t ，若正数m ，n 满足m +n ＝t ，证明：49256m n +≥．【答案】（1）2a =；（2）见解析【解析】【分析】（1）由图知()01f =-和()13f -=，得2a =；（2）写出()g x 的分段形式，求得函数的最大值6t =，由()491496m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开利用基本不等式即可得证. 【详解】（1）解：由()01f =-，得11a -=-，即2a =±.由()13f -=，得123a a +--=，所以2a =.（2）证明：由（1）知()2122f x x x =--+，所以()()1123232g x f x f x x x ⎛⎫=++-=--+ ⎪⎝⎭ 36,2334,2236,2x x x x ⎧≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 显然()g x 的最大值为6，即6t =.因为6(0,0)m n m n +=>>， 所以()491491491366n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为4912n m m n +≥=（当且仅当125m =，185n =时取等号）， 所以()49125131266m n +≥⨯+=. 【点睛】本题主要考查了绝对值函数性质的研究，基本不等式的应用，属于中档题.。