2015-2016学年高中数学2.4正态分布学案新人教A版选修2-3
高中数学人教A版选修2-3课件：2-4 正态分布
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栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三 题型四
反思求正态总体在某个区间上取值的概率,要充分利用正态曲线的 对称性和正态分布的三个常用数据.
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第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练2】 设X~N(10,1). (1)求证:P(1<X<2)=P(18<X<19); (2)若P(X≤2)=a,求P(10<X<18). (1)证明:∵X~N(10,1), ∴正态曲线 φμ,σ(x)关于直线 x=10 对称,而区间(1,2)和(18,19)关 于直线 x=10 对称,
2 19
∴
1
������������, ������(������)d������ =
18
������������, ������(������)d������,
即 P(1<X<2)=P(18<X<19). (2)解:∵P(X≤2)+P(2<X≤10)+P(10<X<18)+P(X≥18)=1, μ=10, ∴P(X≤2)=P(X≥18)=a,P(2<X≤10)=P(10<X<18), ∴2a+2P(10<X<18)=1, 即 P(10<X<18)=
1 , 注意该式在解题中的运用. 2π������
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第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练1】 关于正态曲线特点的描述: ①曲线关于直线x=μ对称,这条曲线在x轴上方; ②曲线关于直线x=σ对称,这条曲线只有当x∈(-3σ,3σ)时才在x轴 上方; ③曲线关于y轴对称,因为曲线对应的正态分布密度函数是一个 偶函数; ④曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐 渐降低; ⑤曲线的对称轴由μ确定,曲线的形状由σ确定; ⑥σ越大,曲线越“矮胖”;σ越小,曲线越“高瘦”. 说法正确的是( ) A.①④⑤⑥ B.②④⑤ C.③④⑤⑥ D.①⑤⑥
2.4正态分布(高中数学人教A版选修2-3)
正态总体的函数表示式
f (x)
1
2
e
(x)2 22
x(,)
（1）当x= μ 时,函数值为最大.
（2）f (x) 的值域为
(0,
1]
2
y
μ=0 σ=1
(3) f (x) 的图象关于 x=μ 对称. -3 -2 -1 0 1 2 3 x
（4）当x∈（－∞，μ] 时f (x)为增函数.
当x∈（μ，+∞） 时f ( x)为减函数. 标准正态曲线
一小球,任其自由下落,在下
落过程中小球碰到钉子时,从
左 边 落 下 的 概 率 是 p, 从 右 边
落 下 的 概 率 是 1-p, 碰 到 下 一
排也是如此.最后落入底板中
的某个格.下面我们来试验一
下:
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知识回放
以格子的编号为横坐标，小球落入各个 格子内的频率值为纵坐标，则在各个格 子内小球的分布情况大致可用下列频率 分布直方图表示.
集中与分散的程度
1
平均数
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2
产品 尺寸
(mm)
如果对于任何实数 a，b (a<b)，随机变量 X 满足 P(a<X≤b)＝ʃbaφμ,σ(x)dx，则称 X 的分布为正态分布，记
3. 正作态分布 .
(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ 0.6826 ； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 0.9544 ； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ 0.9974 .
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
人教版A版高中数学选修2-3课后习题解答
第一章 计数原理1．1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 练习（P6） 1、（1）要完成的“一件事情”是“选出1人完成工作”，不同的选法种数是5＋4＝9；（2）要完成的“一件事情”是“从A 村经B 村到C 村去”，不同路线条数是3×2＝6. 2、（1）要完成的“一件事情”是“选出1人参加活动”，不同的选法种数是3＋5＋4＝12；（2）要完成的“一件事情”是“从3个年级的学生中各选1人参加活动”，不同选法种数是3×5×4＝60.3、因为要确定的是这名同学的专业选择，并不要考虑学校的差异， 所以应当是6＋4－1=9（种）可能的专业选择. 练习（P10）1、要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项”.由于每一项都是i j k a b c 的形式，所以可以分三步完成：第一步，取i a ，有3种方法；第二步，取j b ，有3种方法；第三步，取k c ，有5种方法. 根据分步乘法计数原理，展开式共有3×3×5＝45（项）.2、要完成的“一件事情”是“确定一个电话号码的后四位”. 分四步完成，每一步都是从0～9这10个数字中取一个，共有10×10×10×10=10000（个）.3、要完成的“一件事情”是“从5名同学中选出正、副组长各1名”. 第一步选正组长，有5种方法；第二步选副组长，有4种方法. 共有选法5×4＝20（种）.4、要完成的“一件事情”是“从6个门中的一个进入并从另一个门出去”. 分两步完成：先从6个门中选一个进入，再从其余5个门中选一个出去. 共有进出方法6×5＝30（种）. 习题1.1 A 组（P12） 1、“一件事情”是“买一台某型号的电视机”. 不同的选法有4＋7＝11（种）. 2、“一件事情”是“从甲地经乙地或经丙地到丁地去”. 所以是“先分类，后分步”，不同的路线共有2×3＋4×2=14（条）. 3、对于第一问，“一件事情”是“构成一个分数”. 由于1，5，9，13是奇数，4，8，12，16是偶数，所以1，5，9，13中任意一个为分子，都可以与4，8，12，16中的任意一个构成分数. 因此可以分两步来构成分数：第一步，选分子，有4种选法；第二步，选分母，也有4种选法. 共有不同的分数4×4＝16（个）. 对于第二问，“一件事情”是“构成一个真分数”. 分四类：分子为1时，分母可以从4，8，12，16中任选一个，有4个；分子为5时，分母可以从8，12，16中选一个，有3个；分子为9时，分母从12，16中选一个，有2个；分子为13时，分母只能选16，有1个. 所以共有真分数4＋3＋2＋1＝10（个）. 4、“一件事情”是“接通线路”. 根据电路的有关知识，容易得到不同的接通线路有3＋1＋2×2＝8（条）.5、（1）“一件事情”是“用坐标确定一个点”. 由于横、纵坐标可以相同，因此可以分两步完成：第一步，从A 中选横坐标，有6个选择；第二步，从A 中选纵坐标，也有6个选择. 所以共有坐标6×6＝36（个）. （2）“一件事情”是“确定一条直线的方程”. 由于斜率不同截距不同、斜率不同截距相同、斜率相同截距不同的直线都是互不相同的，因此可分两步完成：第一步，取斜率，有4种取法；第二步，取截距，有4种取法. 所以共有直线4×4＝16（条）.习题1.1 B 组（P13） 1、“一件事情”是“组成一个四位数字号码”. 由于数字可以重复，最后一个只能在0～5这六个数字中拨，所以有号码10×10×10×6＝6000（个）. 2、（1）“一件事情”是“4名学生分别参加3个运动队中的一个，每人限报一个，可以报同一个运动队”. 应该是人选运动队，所以不同报法种数是43.（2）“一件事情”是“3个班分别从5个风景点中选择一处游览”. 应该是人选风景点，故不同的选法种数是35. 1．2排列与组合 练习（P20）1、（1）,,,,,,,,,,,ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc ；（2）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad ae ba bc bd be ca cb cd ce da db dc de ea eb ec ed .2、（1）4151514131232760A =⨯⨯⨯=； （2）777!5040A ==； （3）4288287652871568A A -=⨯⨯⨯-⨯⨯=； （4）87121277121255A A A A ==.3、4、（1）略. （2）876777787677778788A A A A A A A -+=-+=.5、3560A =（种）. 6、3424A =（种）. 练习（P25） 1、（1）甲、乙， 甲、丙， 甲、丁， 乙、丙， 乙、丁， 丙、丁；（2）2、ABC ∆，ABD ∆，ACD ∆，BCD ∆.3、3620C =（种）. 4、246C =（个）. 5、（1）26651512C ⨯==⨯； （2）3887656123C ⨯⨯==⨯⨯；（3）3276351520C C -=-=； （4）328532356210148C C -=⨯-⨯=. 6、()1111(1)!!11(1)![(1)(1)]!!!m m n n m m n n C C n n m n m m n m +++++=⋅==++++-+- 习题1.2 A 组（P27） 1、（1）325454560412348A A +=⨯+⨯=； （2）12344444412242464A A A A +++=+++=.2、（1）315455C =； （2）19732002001313400C C ==； （3）346827C C ÷=； （4）22211(1)(1)(1)22n n n n nn nn n n n CCCC n -++--⋅=⋅=+⋅=.3、（1）12111(1)n n n n n n n n n n n n A A n A A nA n A +-+--=+-==；（2）(1)!!(1)!!(1)!!(1)!!!n n n k n n k n k k k k ++-⋅-+-==-. 4、由于4列火车各不相同，所以停放的方法与顺序有关，有481680A =（种）不同的停法.5、4424A =. 6、由于书架是单层的，所以问题相当于20个元素的全排列，有2020A 种不同的排法.7、可以分三步完成：第一步，安排4个音乐节目，共有44A 种排法；第二步，安排舞蹈节目，共有33A 种排法；第三步，安排曲艺节目，共有22A 种排法. 所以不同的排法有432432288A A A ⋅⋅=（种）. 8、由于n 个不同元素的全排列共有!n 个，而!n n ≥，所以由n 个不同的数值可以以不同的顺序形成其余的每一行，并且任意两行的顺序都不同. 为使每一行都不重复，m 可以取的最大值是!n . 9、（1）由于圆上的任意3点不共线，圆的弦的端点没有顺序，所以共可以画21045C =（条）不同的弦；（2）由于三角形的顶点没有顺序，所以可以画的圆内接三角形有310120C =（个）.10、（1）凸五边形有5个顶点，任意2个顶点的连线段中，除凸五边形的边外都是对角线，所以共有对角线2555C -=（条）；（2）同（1）的理由，可得对角线为2(3) 2n n nC n --=（条）.说明：本题采用间接法更方便.11、由于四张人民币的面值都不相同，组成的面值与顺序无关，所以可以分为四类面值，分别由1张、2张、3张、4张人民币组成，共有不同的面值1234 444415C C C C+++=（种）.12、（1）由“三个不共线的点确定一个平面”，所确定的平面与点的顺序无关，所以共可确定的平面数是3856C=；（2）由于四面体由四个顶点唯一确定，而与四个点的顺序无关，所以共可确定的四面体个数是410210C=.13、（1）由于选出的人没有地位差异，所以是组合问题，不同的方法数是3510C=. （2）由于礼物互不相同，与分送的顺序有关系，所以是排列问题，不同方法数是3560A=；（3）由于5个人中每个人都有3中选择，而且选择的时间对别人没有影响，所以是一个“可重复排列”问题，不同方法数是53243=；（4）由于只要取出元素，而不必考虑顺序，所以可以分两步取元素：第一步，从集合A中取，有m种取法；第二步，从集合B中取，有n种取法. 所以共有取法mn 种.说明：第（3）题是“可重复排列”问题，但可以用分步乘法计数原理解决.14、由于只要选出要做的题目即可，所以是组合问题，另外，可以分三步分别从第1，2，3题中选题，不同的选法种数有32143224C C C⋅⋅=.15、由于选出的人的地位没有差异，所以是组合问题.（1）225460C C⋅=；（2）其余2人可以从剩下的7人中任意选择，所以共有2721C=（种）选法；（3）用间接法，在9人选4人的选法中，把男甲和女乙都不在内的去掉，就得到符合条件的选法数为449791C C-=；如果采用直接法，则可分为3类：只含男甲；只含女乙；同时含男甲女乙，得到符合条件的方法数为33277791C C C++=；（4）用间接法，在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数为444954120C C C--=.也可以用直接法，分别按照含男生1，2，3人分类，得到符合条件的选法数为132231 545454120C C C C C C++=.16、按照去的人数分类，去的人数分别为1，2，3，4，5，6，而去的人大家没有地位差异，所以不同的去法有12345666666663C C C C C C +++++=（种）. 17、（1）31981274196C =； （2）142198124234110C C ⋅=； （3）51982410141734C =； （4）解法1：3141982198125508306C C C =⋅=. 解法2：55200198125508306C C -=. 说明：解答本题时，要注意区分“恰有”“至少有”等词.习题1.2 B 组（P28）1、容易知道，在737C 注彩票中可以有一个一等奖.在解决第2问时，可分别计算37选6及37选8中的一等奖的中奖机会，它们分别是637112324784C =和8371138608020C =. 要将一等奖的机会提高到16000000以上且不超过1500000，即375000006000000nC ≤<， 用计算机可得，6n =，或31n =.所以可在37个数中取6个或31个.2、可以按照I ，II ，III ，IV 的顺序分别着色：分别有5，4，3，3种方法，所以着色种数有5×4×3×3＝180（种）.3、“先取元素后排列”，分三步完成：第一步，从1，3，5，7，9中取3个数，有35C 种取法；第二步，从2，4，6，8中取2个数，有24C 种取法；第三步，将取出的5个数全排列，有55A 种排法. 共有符合条件的五位数3255457200C C A ⋅⋅=（个）. 4、由于甲和乙都没有得冠军，所以冠军是其余3人中的一个，有13A 种可能；乙不是最差的，所以是第2，3，4名中的一种有13A 种可能；上述位置确定后，甲连同其他2人可任意排列，有33A 种排法. 所以名次排列的可能情况的种数是11333354A A A ⋅⋅=.5、等式两边都是两个数相乘，可以想到分步乘法计数原理，于是可得如下分步取组合的方法.在n 个人中选择m 个人搞卫生工作，其中k 个人擦窗，m k -个人拖地，共有多少种不同的选取人员的方法？解法1：利用分步计数原理，先从n 个人中选m 个人，然后从选出的m 个人中再选出k 个人擦窗，剩余的人拖地，这样有m knm C C 种不同的选取人员的方法； 解法2：直接从n 个人中选k 个人擦窗，然后在剩下的n k -个人中选m k -个人拖地，这样，由分步计数原理得，共有k m knn k C C --种不同的人员选择方法. 所以，k m k m knn k n m C C C C --=成立. 说明：经常引导学生从一个排列组合的运算结果或等式出发，构造一个实际问题加以解释，有助于学生对问题的深入理解，检查结果，纠正错误. 1．3二项式定理 练习（P31）1、7652433425677213535217p p q p q p q p q p q pq q +++++++.2、2424236(2)(3)2160T C a b a b =⋅=.3、231(1)(2n rr r n rrr r nn r T C C x --+-=⋅=.4、D . 理由是5105555511010(1)T C x C x -+=-=-. 练习（P35）1、（1）当n 是偶数时，最大值2nn C ；当n 是奇数时，最大值12n nC-.（2）1311111111*********C C C +++=⋅=. （3）12.2、∵0122kn n nn n n n C C C C C ++++++=， 0213n n n n C C C C ++=++∴012knn n n n nC C C C C ++++++0213()()n n n n C C C C =+++++022()2n n n C C =++=∴021222nn n nnnC C C -+++==. 3、略.习题1.3 A 组（P36）1、（1）011222(1)(1)(1)(1)n n n r n rr nn n n n n n C P C P P C P P C P P C P ---+-+-++-++-；（2）0122222nn n nnn n n n C C C C ++++. 2、（1）9965432(9368412612684a a a a a b a a a b =+++2369a b （）27311357752222222172135701682241281283282x x x x x x x x ----=-+-+-+-.3、（1）552(1(122010x x +=++； （2）11114412222(23)(23)192432x x x x x x ---+--=+.4、（1）前4项分别是1，30x -，2420x ，33640x -； （2）91482099520T a b =-； （3）7924T =；（4）展开式的中间两项分别为8T ，9T ，其中78711815((6435T C x y =-=-87811915((6435T C x y =-=5、（1）含51x的项是第6项，它的系数是5510163()28C -=-； （2）常数项是第6项，5105561012()2522T C -=⋅-=-.6、（1）2221221()(1)r n r r r r n rr n n T C x C xx --+=-=- 6、（1）2221221()(1)r n r r r r n rr n n T C x C xx--+=-=- 由220n r -=得r n =，即21()n x x-的展开式中常数项是12(1)n r n nT C +=-(2)!(1)!!nn n n =- 12345(21)2(1)!!nn nn n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅=-…[135(21)][2462](1)!!n n n n n ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=-……[135(21)]2!(1)!!n nn n n n ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅=-…135(21)(2)!nn n ⋅⋅⋅⋅-=-…（2）2(1)n x +的展开式共有21n +项，所以中间一项是12135(21)(2)!n nn n n n T C x x n +⋅⋅⋅⋅-==…7、略.8、展开式的第4项与第8项的二项式系数分别是3n C 与7n C ，由37n n n C C -=，得37n =-，即10n =.所以，这两个二项式系数分别是310C 与710C ，即120.习题1.3 B 组（P37）1、（1）∵1122221(1)111n n n n n n n n n n n n C n C n C n C n ----+-=++++++- 1122222n n n n nn n n C n C n C n n ---=+++++2213242(1)n n n n nn n n n C n C n C ----=+++++∴(1)1n n +-能被2n 整除； （2）∵1010991(1001)1-=--1019288291010101010010010010010011C C C C =-⋅+⋅++⋅-⋅+- 1019288210101010010010010010100C C C =-⋅+⋅++⋅-⨯ 1711521381010101000(101010101)C C C =-⋅+⋅++⋅-∴10991-能被1000整除.2、由0112211(21)222(1)2(1)n n n n n n n nnn n n n C C C C C -----=⋅-⋅+⋅++-⋅⋅+-，得112211222(1)2(1)1n n n n n n nn n C C C -----⋅+⋅++-⋅⋅+-=.第一章 复习参考题A 组（P40）1、（1）2n ；说明：这里的“一件事情”是“得到展开式中的一项”. 由于项的形式是i j a b ，而,i j 都有n 种取法. （2）3276525C C ⋅=；（3）1545480A A ⋅=，或2454480A A ⋅=；说明：第一种方法是先考虑有限制的这名歌手的出场位置，第二种方法是先考虑有限制的两个位置.（4）45C ；说明：因为足球票无座，所以与顺序无关，是组合问题. （5）53；说明：对于每一名同学来说，有3种讲座选择，而且允许5名同学听同一个讲座，因此是一个“有重复排列”问题，可以用分步乘法原理解答.（6）54；说明：对角线的条数等于连接正十二边形中任意两个顶点的线段的条数212C ，减去其中的正十二边形的边12条：21212111212542C ⨯-=-=.（7）第1n +项.说明：展开式共有21n +项，且各系数与相应的二项式系数相同.2、（1）1234566666661956A A A A A A +++++=；说明：只要数字是1，2，3，4，5，6中的，而且数字是不重复的一位数、二位数、三位数、四位数、五位数和六位数都符合要求.（2）552240A =.说明：只有首位数是6和5的六位数才符合要求. 3、（1）3856C =； （2）1234555530C C C C +++=.4、468898C C +=. 说明：所请的人的地位没有差异，所以是组合问题. 按照“其中两位同学是否都请”为标准分为两类.5、（1）2(1)2n n n C -=； 说明：任意两条直线都有交点，而且交点各不相同. （2）2(1)2n n n C -=. 说明：任意两个平面都有一条交线，而且交线互不相同.6、（1）59764446024C =； （2）23397442320C C ⋅=； （3）2332397397446976C C C C ⋅+⋅=.7、34533453103680A A A A ⋅⋅⋅=.说明：由于不同类型的书不能分开，所以可以将它们看成一个整体，相当于是3个元素的全排列. 但同类书之间可以交换顺序，所以可以分步对它们进行全排列.8、（1）226x -；说明：第三项是含2x 的项，其系数是22112244553(23)(2)26C C C C ⋅+⋅-⨯+--.（2）18118(9)(rr r r T C x -+=，由题意有1802rr --= 解得12r =，1318564T =；（3）由题意得98102n n n C C C =+，即2!!!9!(9)!8!(8)!10!(10)!n n n n n n ⋅=+---化简得2373220n n -+=，解得14n =，23n =；（4）解法1：设1r T +'是10(1)x -展开式的第1r +项，由题意知，所求展开式中4x 的系数为41T +'，31T +'与21T +'的系数之和. 444110()T C x +'=-，333110()T C x +'=-，222110()T C x +'=-，因此，4x 的系数432101010135C C C =-+=. 解法2：原式39(1)(1)x x =-- 3223344999(1)(19)x x C x C x C x =--+-++因此，4x 的系数499135C =+=.9、5555559(561)9+=-+5515454555556565619C C =-⋅++⋅-+551545455555656568C C =-⋅++⋅+由于551545455555656568C C -⋅++⋅+中各项都能被8整除，因此55559+也能被8整除.第一章 复习参考题B 组（P41）1、（1）121121n n n C C -++==，即1(1)212n n +⋅=，解得6n =； （2）1144244224192A A A ⋅⋅=⨯⨯=；说明：先排有特殊要求的，再排其他的. （3）433333⨯⨯⨯=，34444⨯⨯=；说明：根据映射定义，只要集合A 中任意一个元素在集合B可以相同，所以是“有重复排列”问题.（4）2426106500000A ⨯=； （5）481258C -=； 说明：在从正方体的8个顶点中任取4个的所有种数48C 中， 排除四点共面的12种情况，即正方体表面上的6种四点共面的情况，以及如右图中ABC D ''这样的四点共面的其他 6种情况，因此三棱锥的个数为481258C -=（6）1或1-.说明：令1x =，这时(12)n x -的值就是展开式中各项系数的和，其值是1,(12)(1)1n n n n -⎧-=-=⎨⎩是奇数，是偶数2、（1）先从1，3，5中选1个数放在末位，有13A 种情况；再从除0以外的4个数中选1个数放在首位，有14A 种情况；然后将剩余的数进行全排列，有44A 种情况. 所以能组成的六位奇数个数为114344288A A A ⋅⋅=. （2）解法1：由0，1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的正整数的个数是1555A A ⋅，其中不大于201345的正整数的个数，当首位数字是2时，只有201345这1个；当首位数字是1时，有55A 个. 因此，所求的正整数的个数是155555(1)479A A A ⋅-+=.解法2：由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的正整数中，大于201345的数分为以下几种情况：前4位数字为2013，只有201354，个数为1；同理，前3位数字为201，个数为1222A A ⋅；前2位数字为20，个数为1333A A ⋅；首位数字为2，个数为1444A A ⋅；首位数字为3，4，5中的一个，个数为1535A A ⋅；根据分类计数原理，所求的正整数的个数是12131415223344351479A A A A A A A A +⋅+⋅+⋅+⋅=.3、（1）分别从两组平行线中各取两条平行线，便可构成一个平行四边形，所以可以构成的平行四边形个数为221(1)(1)4m n C mn m n ⋅=--； （2）分别从三组平行平面中各取两个平行平面，便可构成一个平行六面体，所以可以构成的平行六面体个数为2221(1)(1)(1)8m n l C C C mnl m n l ⋅⋅=---. 4、（1）先排不能放在最后的那道工序，有14A 种排法；再排其余的4道工序，有44A 种排法. 根据分步乘法计数原理，排列加工顺序的方法共有144496A A ⋅=（种）；（2）先排不能放在最前和最后的那两道工序，有23A 种排法；再排其余的3道工序，有33A 种排法，根据分步乘法计数原理，排列加工顺序的方法共有233336A A ⋅=（种）.5、解法1：由等比数列求和公式得33342(1)(1)(1)(1)(1)n n x x x x x x+++-+++++++=， 上述等式右边分子的两个二项式中含2x 项的系数分别是33n C +，33C ，因此它们的差23333(611)6n n n n C C +++-=，就是所求展开式中含2x 项的系数. 解法2：原式中含2x 项的系数分别是23C ，24C ，…，22n C +，因此它们的和就是所求展开式中含2x 项的系数. 与复习参考题B 组第2题同理，可得22223334233(611)6n n n n n C C C C C +++++++=-= 第二章 随机变量及其分布2．1离散型随机变量及其分布列练习（P45）1、（1）能用离散型随机变量表示. 可能的取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.（2）能用离散型随机变量表示. 可能的取值为0，1，2，3，4，5. （3）不能用离散型随机变量表示.说明：本题的目的是检验学生是否理解离散型随机变量的含义. 在（3）中，实际值与规定值之差可能的取值是在0附近的实数，既不是有限个值，也不是可数个值.2、可以举的例子很多，这里给出几个例子：例1 某公共汽车站一分钟内等车的人数；例2 某城市一年内下雨的天数；例3 一位跳水运动员在比赛时所得的分数； 例4 某人的手机在1天内接收到电话的次数.说明：本题希望学生能观察生活中的随机现象，知道哪些量是随机变量，哪些随机变量又是离散型随机变量.练习（P49）1说明：这是一个两点分布的例子，投中看作试验成功，没投中看作试验失败. 通过这样的例子可以使学生理解两点分布是一个很常用的概率模型，实际中大量存在. 虽然离散型随机变量的分布列可以用解析式的形式表示，但当分布列中的各个概率是以数值的形式给出时，通常用列表的方式表示分布列更为方便. 2、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，其全部可能的结果为{正正，正反，反正，反反}. 正面向上次数X 是一个离散型随机变量，1(0)({})0.254P X P ====反反 2(1)({}{})0.54P X P ====正反反正 1(2)({})0.25P X P ====正正 因此X 的分布列为说明：这个离散型随机变量虽然简单，但却是帮助学生理解随机变量含义的一个很好的例子. 试验的全部可能的结果为{正正，正反，反正，反反}，随机量X 的取值范围为{0，1，2}，对应关系为正正→2 正反→1 反正→1 反反→0在这个例子中，对应于1的试验结果有两个，即“正反”和“反正”，因此用随机变量X 不能表示随机事件{正反}. 这说明对于一个具体的随机变量而言，有时它不能表示所有的随机事件.可以通过让学生们分析下面的推理过程存在的问题，进一步巩固古典概型的知识. 如果把X 所有取值看成是全体基本事件，即{0,1,2}Ω=.根据古典概型计算概率的公式有 1(1)({1})3P X P ===. 这与解答的结果相矛盾. 原因是这里的概率模型不是古典概型，因此上面式中的最后一个等号不成立. 详细解释下：虽然Ω中只含有3个基本事件，但是出现这3个基本事件不是等可能的，因此不能用古典概型计算概率的公式来计算事件发生的概率.3、设抽出的5张牌中包含A 牌的张数为X ，则X 服从超几何分布，其分布列为 5448552()i i C C P X i C -==，i =0，1，2，3，4. 因此抽出的5张牌中至少3张A 的概率为(3)(3)(4)0.002P X P X P X ≥==+=≈.说明：从52张牌任意取出5张，这5张牌中包含A 的个数X 是一个离散型随机变量. 把52张牌看成是52件产品，把牌A 看成次品，则X 就成为从含有四件次品的52件产品中任意抽取5件中的次品数，因此X 服从超几何分布.本题的目的是让学生熟悉超几何分布模型，体会超几何分布在不同问题背景下的表现形式. 当让本题也可以用古典概型去解决，但不如直接用超几何分布简单. 另外，在解题中分布列是用解析式表达的，优点是书写简单，一目了然.4、两点分布的例子：掷一枚质地均匀的硬币出现正面的次数X 服从两点分布；射击一次命中目标的次数服从两点分布.超几何分布的例子：假设某鱼池中仅有鲤鱼和鲑鱼两种鱼，其中鲤鱼200条，鲑鱼40条，从鱼池中任意取出5条鱼，这5条鱼包含鲑鱼的条数X 服从超几何分布.说明：通过让学生举例子的方式，帮助学生理解这两个概率模型.习题2.1 A 组（P49）1、（1）能用离散型随机变量表示.设能遇到的红灯个数为X ，它可能的取值为0，1，2，3，4，5.事件{X ＝0}表示5个路口遇到的都不是红灯；事件{X ＝1}表示5个路口其中有1个路口遇到红灯，其他4个路口都不是红灯；事件{X ＝2}表示5个路口其中有2个路口遇到红灯，其他3个路口都不是红灯；事件{X ＝3}表示5个路口其中有3个路口遇到红灯，剩下2个路口都不是红灯；事件{X ＝4}表示5个路口其中有4个路口遇到红灯，另外1个路口都不是红灯；事件{X ＝5}表示5个路口全部都遇到红灯.（2）能用离散型随机变量表示.定义 12345X ⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩，成绩不及格，成绩及格，成绩中，成绩良，成绩优则X 是一个离散型随机变量，可能的取值为1，2，3，4，5.事件{X ＝1}表示该同学取得的成绩为不及格；事件{X ＝2}表示该同学取得的成绩为及格；事件{X ＝3}表示该同学取得的成绩为中；事件{X ＝4}表示该同学取得的成绩为良；事件{X ＝5}表示该同学取得的成绩为优.说明：本题是考查学生是否理解离散型随机变量的含义. 在（2）中，需要学生建立一个对应关系，因为随机变量的取值一定是实数，但这个对应关系不是唯一的，只要是从五个等级到实数的意义映射即可.2、某同学跑1 km 所用时间X 不是一个离散型随机变量. 如果我们只关心该同学是否能够取得优秀成绩，可以定义如下的随机变量：01km 4min 11km 4minY >⎧=⎨≤⎩，跑所用的时间，跑所用的时间 它是离散型随机变量，且仅取两个值：0或1.事件{1}Y =表示该同学跑1 km 所用时间小于等于4 min ，能够取得优秀成绩；事件{0}Y =表示该同学跑1 km 所用时间大于4 min ，不能够取得优秀成绩.说明：考查学生在一个随机现象中能否根据关心的问题不同定义不同的随机变量，以简化问题的解答. 可以与教科书中电灯泡的寿命的例子对比，基本思想是一致的.3、一般不能. 比如掷一枚质地均匀的硬币两次，用随机变量X 表示出现正面的次数，则不能用随机变量X 表示随机事件{第1次出现正面且第2次出现反面}和{第1次出现反面且第2次出现正面}. 因为{X ＝1}＝{第1次出现正面且第2次出现反面}∪{第1次出现反面且第2次出现正面}，所以这两个事件不能分别用随机变量X 表示.说明：一个随机变量是与一个事件域相对应的，一个事件域一般是由部分事件组成，但要满足一定的条件. 对离散型随机变量，如果它取某个值是由几个随机变量组成，则这几个随机事件就不能用随机变量表示，比如从一批产品中依次取出几个产品，用X 表示取出的产品中次品的个数，这时我们不能用X 表示随机事件{第i 次取出次品，其他均为合格品}.4、不正确，因为取所有值的概率和不等于1.说明：考查学生对分布列的两个条件的理解，每个概率不小于0，其和等于1，即 （1）0i p ≥，1,2,,i n =； （2）11ni i p ==∑.5、射击成绩优秀可以用事件{X ≥8}表示，因此射击优秀的概率为P {X ≥8}＝(8)(9)(10)0.280.290.220.79P X P X P X =+=+==++=说明：本题知识点是用随机变量表示随机事件，并通过分布列计算随机事件的概率.6、用X 表示该班被选中的人数，则X 服从超几何分布，其分布列为104261030()i i C C P X i C -==， i =0，1，2，3，4. 该班恰有2名同学被选到的概率为 2842610304!26!1902!2!8!18!(2)0.31230!60910!20!C C P X C ⨯⨯⨯====≈⨯. 说明：本题与49页练习的第3题类似，希望学生在不同背景下能看出超几何分布模型.习题2.1 B 组（P49）1、（1）设随机抽出的3篇课文中该同学能背诵的 篇数为X ，则X 是一个离散型随机变量，它可能的取值为0，1，2，3，且X 服从超几何分布，分布列为即（2112(2)(2)(3)0.667263P X P X P X ≥==+==+==. 说明：本题是为了让学生熟悉超几何分布模型，并能用该模型解决实际问题.2、用X 表示所购买彩票上与选出的7个基本号码相同的号码的个数，则X 服从超几何分布，其分布列为 7729736()i i C C P X i C -==， i =0，1，2，3，4，5，6，7. 至少中三等奖的概率为52617072972972977736363697(5)0.00192752C C C C C C P X C C C ≥=++=≈. 说明：与上题类似同样是用超几何分布解决实际问题，从此题的结算结果可以看出至少中三等奖的概率近似为1／1000.2．2二项分布及其应用练习（P54）1、设第1次抽到A 的事件为B ，第2次抽到A 的事件为C ，则第1次和第2次都抽到A 的事件为BC .解法1：在第1次抽到A 的条件下，扑克牌中仅剩下51张牌，其中有3张A ，所以在第1次抽到A 的条件下第2次也抽到A 的概率为3()51P C B =. 解法2：在第1次抽到A 的条件下第2次也抽到A 的概率为()433()()45151n BC P C B n B ⨯===⨯. 解法3：在第1次抽到A 的条件下第2次也抽到A 的概率为43()35251()451()515251P BC P C B P B ⨯⨯===⨯⨯. 说明：解法1是利用缩小基本事件范围的方法计算条件概率，即分析在第1次抽到A 的条件下第2次抽取一张牌的随机试验的所有可能结果，利用古典概型计算概率的公式直接得到结果. 解法2实际上是在原来的基本事件范围内通过事件的计数来计算条件概率. 第3种方法是利用条件概率的定义来计算. 这里可以让学生体会从不同角度求解条件概率的特点.2、设第1次抽出次品的时间为B ，第2次抽出正品的事件为C ，则第1次抽出次品且第2次抽出正品的事件为BC .解法1：在第1次抽出次品的条件下，剩下的99件产品中有4件次品，所以在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为95()99P C B =. 解法2：在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为()59595()()59999n BC P C B n B ⨯===⨯. 解法3：在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为595()9510099()599()9910099P BC P C B P B ⨯⨯===⨯⨯. 说明：与上题类似，可以用不同方法计算条件概率.3、例1 箱中3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3人无放回地任意抽取，在已知第一个人抽到奖券的条件下，第二个人抽到奖券的概率或第三个人抽到奖券的概率，均为条件概率，它们都是0.例2 某班有45名同学，其中20名男生，25名女生，依次从全班同学中任选两名同学代表班级参加知识竞赛，在第1名同学是女生的条件下，第2名同学也是女生的概率.说明：这样的例子很多，学生举例的过程可以帮助学生理解条件概率的含义. 练习（P55）1、利用古典概型计算的公式，可以求得()0.5P A =，()0.5P B =，()0.5P C =，()0.25P AB =，()0.25P BC =，()0.25P AC =，可以验证()()()P AB P A P B =，()()()P BC P B P C =，()()()P AC P A P C =.所以根据事件相互独立的定义，有事件A 与B 相互独立，事件B 与C 相互独立，事件A 与C 相互独立.说明：本题中事件A 与B 相互独立比较显然，因为抛掷的两枚硬币之间是互不影响的. 但事件B 与C 相互独立，事件A 与C 相互独立不显然，需要利用定义验证, 从该习题可以看出，事件之间是否独立有时根据实际含义就可做出判断，但有时仅根据实际含义是不能判断，需要用独立性的定义判断.2、（1）先摸出1个白球不放回的条件下，口袋中剩下3个球，其中仅有1个白球，所以在先摸出1个白球不放回的条件下，再摸出1个白球的概率是1／3.（2）先摸出1个白球后放回的条件下，口袋中仍然有4个球，其中有2个白球，所以在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是1／2.说明：此题的目的是希望学生体会有放回摸球与无放回摸球的区别，在有放回摸球中第2次摸到白球的概率不受第1次摸球结果的影响，而在无放回摸球中第2次摸到白球的概率受第1次摸球结果的影响.3、设在元旦期间甲地降雨的事件为A ，乙地降雨的事件为B .（1）甲、乙两地都降雨的事件为AB ，所以甲、乙两地都降雨的概率为()()()0.20.30.06P AB P A P B ==⨯= （2）甲、乙两地都不降雨的事件为AB ，所以甲、乙两地都不降雨的概率为 ()()()0.80.70.56P AB P A P B ==⨯= （3）其中至少一个地方降雨的事件为()()()AB AB AB ，由于事件AB ，AB 和AB 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，其中至少一个地方降雨的概率为()()()0.060.20.70.80.30.44P AB P AB P AB ++=+⨯+⨯=.说明：与例3类似，利用事件独立性和概率的性质计算事件的概率，需要学生复习《数学3（必修）》中学过的概率性质.4、因为()()A AB AB =，而事件AB 与事件AB 互斥，利用概率的性质得到()()()P A P AB P AB =+所以()()()P AB P A P AB =-.又因为事件A 与B 相互独立.故 ()()()()()(1())()()P AB P A P A P B P A P B P A P B =-=-=..类似可证明A 与B ，A 与B .。
人教版新课标高中数学A版选修2-3课本
人教版新课标高中数学A版选修2-3课本人教版新课标高中数学A版选修2-3课本是为高中阶段的学生设计的，旨在帮助学生深入理解数学知识，培养数学思维能力，并为进一步的学习打下坚实的基础。
本课本涵盖了概率论、统计学、算法初步等重要数学分支，是高中数学学习的重要组成部分。
首先，概率论部分介绍了随机事件及其概率，包括古典概型、几何概型和条件概率等基本概念。
通过学习这些内容，学生能够理解随机现象背后的数学原理，并学会如何计算事件发生的可能性。
此外，课本还介绍了概率的加法和乘法规则，以及独立事件和相互独立事件的概念，这些都是解决概率问题的重要工具。
在统计学部分，课本从数据的收集、整理和描述入手，介绍了数据的图表表示方法，如条形图、折线图和饼图等。
这些图表能够帮助学生直观地理解数据的特点和趋势。
课本还涉及了数据的集中趋势和离散程度的度量，包括平均数、中位数、众数、方差和标准差等统计量。
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在整本书的学习过程中，课本通过大量的例题和习题来巩固学生的理论知识，并提高他们的解题能力。
每个章节后都配有相应的习题，这些习题从易到难，逐步提升难度，旨在帮助学生逐步掌握数学知识，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。
总之，人教版新课标高中数学A版选修2-3课本是高中数学教育的重要资源，它不仅提供了丰富的数学知识，还通过各种练习和应用，帮助学生建立起扎实的数学基础，为他们的未来发展奠定坚实的基础。
人教版新课标高中数学A版选修2-3答案
人教版新课标高中数学A版选修2-3答案人教版新课标高中数学A版选修2-3是高中数学课程中的一个重要部分，它涵盖了概率论与统计、数列、极限与导数等重要数学概念。
这些内容对于培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和解决问题的能力都具有重要意义。
以下是该课程部分习题的答案解析，供同学们参考。
1. 概率论与统计在概率论与统计部分，学生需要掌握随机事件的概率计算、条件概率、独立事件以及随机变量的分布等基本概念。
例如，计算两个独立事件同时发生的概率，可以通过以下公式进行：\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]其中，\( P(A \cap B) \) 表示两个事件同时发生的概率，\( P(A) \) 和 \( P(B) \) 分别表示事件A和事件B发生的概率。
2. 数列数列是高中数学中的一个基础概念，它涉及到等差数列、等比数列以及数列的求和等。
例如，等差数列的通项公式为：\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]其中，\( a_n \) 表示第n项，\( a_1 \) 表示首项，\( d \) 表示公差。
3. 极限与导数极限是微积分的基础，它描述了函数在某一点附近的行为。
例如，函数 \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处的极限可以表示为：\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]导数则是描述函数在某一点处变化率的工具。
函数 \( f(x) \) 在\( x = a \) 处的导数表示为：\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]这些答案仅是课程内容的一小部分，具体的习题答案需要根据具体的题目来确定。
在学习过程中，理解概念和原理比单纯记忆答案更为重要。
通过不断的练习和思考，学生可以更好地掌握这些数学知识，并在实际问题中应用它们。
《与名师对话》2015-2016学年高中数学人教版A版选修2-3课时作业阶段测评第1章
阶段测评(一)时间：90分钟 满分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．若A 3m ＝6C 4m ，则m 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：由m (m －1)(m －2)＝6·m (m －1)(m －2)(m －3)4×3×2×1，解得m ＝7.答案：C2．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.58C.38D.78解析：由题知所求概率P ＝24－224＝78，选D. 答案：D3．从4双不同鞋中任取4只，结果都不成双的取法有________种．( ) A ．24 B ．16 C ．44D ．24×16解析：取4只不成双的鞋分4步完成：(1)从第一双鞋任取一只，有2种取法；(2)从第二双鞋任取一只，有2种取法；(3)从第三双鞋任取一只，有2种取法；(4)从第四双鞋任取一只，有2种取法．由分步乘法计数原理，共有24＝16种取法．答案：B4．从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数为( )A ．C 48－12B ．C 48－8C ．C 48－6D ．C 48－4解析：在正方体中，6个面和6个对角面上的四个点不能构成四面体． 答案：A5.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为 ( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40解析：在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5中令x ＝1得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1.原式＝x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5，故常数项为 x ·C 35(2x )2⎝⎛⎭⎪⎫－1x 3＋1x·C 25(2x )3⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝－40＋80＝40.答案：D6．C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2k 2n ＋…＋C 2n2n 的值为( )A ．22n －1－1B ．22n －1C ．2n －1D ．2n解析：因为C 12n ＋C 32n ＋…＋C 2n －12n ＝C 02n ＋C 22n ＋…＋C 2n 2n ＝22n －1，所以C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2k 2n ＋…＋C 2n 2n ＝22n －1－1. 答案：A7．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72D ．24解析：3人中每两人之间恰有一个空座位，有A 33×2＝12种坐法，3人中某两人之间有两个空座位，有A 33×A 22＝12种坐法，所以共有12＋12＝24种坐法．答案：D8．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是( )A ．40B ．74C ．84D ．200解析：分三类：第一类：前5个题目的3个，后4个题目的3个，第二类：前5个题目的4个，后4个题目的2个， 第三类：前5个题目的5个，后4个题目的1个，由分类加法计数原理得C 35C 34＋C 45C 24＋C 55C 14＝74.答案：B9．将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有( )A ．18种B ．36种C ．48种D ．60种解析：当甲一人住一个寝室时有：C 12×C 24＝12种，当甲和另一人住一起时有：C 12×C 14×C 23×A 22＝48种，所以共有12＋48＝60种，故选D.答案：D10．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210解析：由题意知f (3,0)＝C 36C 04，f (2,1)＝C 26C 14，f (1,2)＝C 16C 24，f (0,3)＝C 06C 34，因此f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝120，选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第一种方法完成，另有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同的选法的种数是____．解析：由分类加法计数原理得共有5＋4＝9种方法． 答案：912．若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为______．解析：T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r ＝C r 6a6－r b r x 12－3r，令12－3r ＝3，得r ＝3，故C 36a 3b3＝20，所以ab ＝1，a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1时，等号成立．答案：213．把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：将A 、B 捆绑在一起，有A 22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A 44种摆法，共有A 22A 44＝48种摆法，而A 、B 、C 3件在一起，且A 、B 相邻，A 、C 相邻有CAB 、BAC 两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A 33＝12种摆法，故A 、B 相邻，A 、C 不相邻的摆法有48－12＝36种．答案：3614．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有__________种不同的方法(用数字作答)．解析：只需找到不同颜色的球所在的位置即可，有C 29C 37C 44＝1 260种．答案：1 260三、解答题(本大题共4小题，第15～17小题各12分，第18小题14分，共50分)15．有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋．现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？解：设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A,3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B,4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C ，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类：第一类：A 中选1人参加象棋比赛，B 中选1人参加围棋比赛，方法数为C 12·C 13＝6(种)；第二类：C 中选1人参加象棋比赛，B 中选1人参加围棋比赛，方法数为C 14·C 13＝12(种)；第三类：C 中选1人参加围棋比赛，A 中选1人参加象棋比赛，方法数为C 14·C 12＝8(种)；第四类：C 中选2人分别参加两项比赛，方法数为A 24＝12(种)； 由分类加法计数原理，选派方法数共有：6＋12＋8＋12＝38(种)． 16．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫2x i ＋1x 2n ，i 是虚数单位，x >0，n ∈N *.(1)如果展开式中的倒数第3项的系数是－180，求n 的值； (2)对(1)中的n ，求展开式中系数为正实数的项．解：(1)由已知，得C n －2n (2i)2＝－180，即4C 2n ＝180，所以n 2－n －90＝0，又n∈N *，解得n ＝10.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x i ＋1x 210展开式的通项为T k ＋1＝C k 10·(2x i)10－k x －2k ＝C k 10(2i)10－k x . 因为系数为正实数，且k ∈{0,1,2，…，10}， 所以k ＝2,6,10.所以所求的项为T 3＝11 520，T 7＝3 360x －10，T 11＝x －20. 17．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？ (1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？ (2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？解：(1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 66·A 47＝604 800种不同排法．(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A 99种排法，若甲不在末位，则甲有A 18种排法，乙有A 18种排法，其余有A 88种排法，综上共有(A 99＋A 18A 18·A 88)＝2 943 360种排法．方法二：无条件排列总数A 1010－⎩⎨⎧甲在首，乙在末A 88，甲在首，乙不在末A 99－A 88，甲不在首，乙在末A 99－A 88，甲不在首，乙不在末，共有A 1010－2A 99＋A 88＝2 943 360种排法．(3)10人的所有排列方法有A 1010种，其中甲、乙、丙的排序有A 33种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有A 1010A 33＝604 800种．(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A 1010＝1 814 400种排法．18．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 28的展开式中， (1)系数的绝对值最大的项是第几项？ (2)求二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项． 解：T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r ＝(－1)r ·C r 8·2r ·x . (1)设第r ＋1项系数的绝对值最大．则⎩⎨⎧C r 8·2r≥C r ＋18·2r ＋1，C r 8·2r ≥C r －18·2r －1.∴⎩⎪⎨⎪⎧18－r ≥2r ＋1，2r ≥19－r .∴⎩⎨⎧r ≥5，r ≤6.∴r ＝5或6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． (2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项． ∴T 5＝C 48·24·x ＝1 120x －6. (3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，第7项的系数为正．则系数最大的项为T 7＝C 68·26·x －11＝1 792x －11.。
人教版高中选修2-3《正态分布》教案
人教版高中选修2-3《正态分布》教案一、教学目标1.知识与技能：–能够通过计算、观察与分析进行正态分布的基本参数估计与计算；–能够根据数据特征确定正态分布的使用条件，并运用正态分布解决实际问题。
2.过程与方法：–提高学生数理思维能力及运用计算机软件进行数据统计和分析的能力；–提高学生观察、归纳、分析问题及解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：–培养学生科学态度，认识正态分布的重要性和应用价值，拓宽学生科学视野。
二、教学重、难点1.教学重点：–正态分布的基本概念与相关参数的计算；–正态分布的性质及模型的应用；–正态分布与假设检验。
2.教学难点：–正态分布在实际中的广泛应用。
三、教学内容1. 正态分布的基本概念与参数1.正态分布的定义–介绍正态分布的基本特征和概念。
2.正态分布的概率密度函数和分布函数–掌握正态分布的概率密度函数和分布函数的定义；–画出正态分布的概率密度函数和分布函数的图像。
3.正态分布的标准化–掌握正态分布的标准化转化法，以及标准正态分布表的使用方法。
2. 正态分布的参数估计与计算1.正态分布的基本形式–介绍正态分布的基本形式，以及参数的含义；–学习如何通过样本来估计总体的参数。
2.样本均值和样本标准差–掌握样本均值和样本标准差的定义和计算方法；–从样本中估计总体的均值和标准差。
3.抽样分布–掌握样本均值和样本标准差的概率分布，以及如何计算抽样分布。
3. 正态分布的应用1.正态分布的性质及模型的应用–描述正态分布的各种统计特征；–掌握利用正态分布进行概率估计的方法；–了解正态分布在实际问题中的应用，如质量控制、投资、风险评估等。
2.正态分布与假设检验–了解假设检验的基本内容及步骤；–学习如何从正态分布的角度来诠释假设检验。
四、教学方法1.授课讲解：对正态分布相关概念和公式进行讲解，以期解决学生对于正态分布不熟悉的情况。
2.讲解示范法：用实例向学生呈现正态分布的应用场景及应用方法，以期加深学生对于正态分布在实践中的应用认识。
数学：2.4《正态分布》课件(新人教A版选修2-3)
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
m
x2 x1
例1、在某次数学考试中，考生的成绩 x 服从一个 x ~N(90,100). 正态分布，即 （1）试求考试成绩 x 位于区间(70,110)上的概率是 多少？ 0.9544
（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩 在(80,100)间的考生大约有多少人？
练习
1 解： P 5 X 7 P 3 X 7 0.4772 2 1 P 5 X 6 P 4 X 6 0.3413 2 P 6 X 7 P 5 X 7 P 5 X 6 0.1359
1、某年级的一次信息技术测验成绩近似的服从正 态分布 N (70,102 ) ，如果规定低于60分为不及格， 求：
（1）成绩不及格的人数占多少？
15.87%
（2）成绩在80~90内的学生占多少？ 13.59%
μa μ μa
上述结果可用图 2.4 7表示
68.26% 95.44%
图2.4 6
99.74%
μ
2σ
4σ
μ
6σ
μ
图2.4 7
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 • 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
m
正态曲线下的面积规律
• 对称区域面积相等。
b a
x
即由正态曲线 ,过点a,0和点b,0的两条 x 轴的垂线 , 及x轴所围成的平面图形的 面积(图2.4 4中阴影部 a,b的概率的近似值 分的面积), 就是X落在区间 .
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【易错剖析】本题易有如下错解：
1
1
P( － 1<ξ ≤ 0) ＝ [1 － P( ξ ≤1)] ＝ (1 － 0.841 3) ＝
2
2
0.0793 5.
这是用错正态分布的对称性造成的．由于
ξ ～ N(0 ， 1) ，所以对称轴为 x ＝ 0，所以与 ( －
1， 0) 对称的区间应为 (0 ， 1) ，与 (1 ，＋∞ ) 对称的区间为 ( －∞，－ 1) ．
不能正确应用正态分布的对称性致误 【典例】 随机变量 ξ 服从正态分布 N(0 ， 1) ，如果 P( ξ ≤1) ＝ 0.841 3 ，求 P( － 1<ξ ≤0) ． 解析： 如图所示，因为 P( ξ ≤1) ＝ 0.413 ，所以 P( ξ >1) ＝ 1－ 0.413 ＝ 0.158 7. 所以 P( ξ ≤ －1) ＝ 0.158 7 ，所以 P( － 1<ξ ≤0) ＝ 0.5 －0.158 7 ＝ 0.341 3.
4．3σ 原则：正态总体几乎取值于区间 ( μ － 3σ ， μ ＋ 3σ ) 之内，而在此区间以外取值的 概率只有 0.002_6 ，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．
自测自评
1．设有一正态总体，它的正态分布密度曲线是函数
（x － 10） 2 ，则这个正态总体的均值与标准差分别
8
是 ( B)
3σ <ξ <μ ＋ 3σ) ＝ 0.9974)(B)
2．如图，曲线
1
（ x－ μ 1） 2
C1： f ( x) ＝
e－
2 ( x∈ R) ，曲线
2π σ 1
2σ 1
1
f ( x) ＝
e－
2π × 2
1
C2： φ ( x) ＝
e－
2π σ 2
（x － μ 2） 2
2σ
2 2
( x ∈ R) ，则 ( D)
A． μ 1＜ μ 2 B．曲线 C1 与 x 轴相交 C． σ 1＞ σ 2 D．曲线 C1、 C2分别与 x 轴所夹的面积相等 3．(2013·惠州一模 ) 设随机变量 ξ 服从正态分布 2) ，则 a 的值为 ( A)
1
f ( x) 的图象，且 f ( x) ＝
e－
8π
A． 10 与 8 B ． 10 与 2
C． 8 与 10 D ． 2 与 10 解析： 把函数 f ( x ) ＝
1
（ x － 10） 2
e－
化简成正态密度函数为
8π
8
（x － 10） 2
2×
2
2
，易知这个正态总体
的均值与标准差分别是
10 与 2.
．
2π
能力提升
5. 工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布
N( μ ， σ 2) ，在一次正常的试验中，
取 1 000 个零件，不属于 ( μ － 3σ ， μ ＋ 3σ ) 这个尺寸范围的零件个数可能为 (C)
A． 7 B ． 10 C ． 3 D ． 6
解析： ∵ P( μ － 3σ ≤ ξ ≤ μ ＋ 3σ ) ＝ 0.9974 ，∴不属于区间 ( μ － 3σ ， μ－ 3σ ) 内的零点
【金版学案】 2015-2016 学年高中数学 2.4 正态分布学案 新人教 A 版选修 2-3
基础梳理
1．正态曲线 函数 φ μ ，σ ( x ) ＝
1
（x－ μ ） 2
e－ 2πσ
2σ2
， x∈ ( －∞，＋∞ )( 其中实数
的图象为正态分布密度曲线， 简称正态曲线．
μ 和 σ ( σ >0) 为参数 )
N(3 ， 4) ，若 P( ξ <2a－ 3) ＝ P( ξ >a＋
75 A. B. C ． 5 D ． 3
33 解析： 因为随机变量 ξ 服从正态分布 N(3 ， 4) ，因为 P( ξ <2a－ 3) ＝ p( ξ >a＋ 2) ，所以 2a
7 －3 与 a＋ 2 关于 x ＝ 3 对称，所以 2a－3＋ a＋2＝ 6，所以 3a ＝ 7，所以 a＝ 3. 故选 A.
基础巩固
1．设随机变量 X～ N( μ ， σ 2) ，且 P( X≤ c) ＝ P( X>c ) ，则 c 的值是 (C)
A．－ μ
B．0 C ．μ D ．σ2
2．已知随机变量
ξ 服从正态分布
N(3
，
σ
2
)
，则
P( ξ <3) 等于 (D)
1
1
1
1
A. B.
C.
D.
5
4
3
2
解析： ∵ ξ～ N(3 ， σ 2) ，∴ ξ ＝ 3 为正态分布的对称轴，∴
1
(3) 曲线在 x＝ μ 处达到峰值
．
σ 2π
(4) 曲线与 x 轴之间的面积为 1.
(5) 当 σ 一定时，曲线的位置由 μ 确定，曲线随着 μ 的变化 而沿 x 轴平移．
(6) 如图所示：当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定． σ 越大，曲线越“辞矮”，表示总体
的分布越分散 ； σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．
∴ P( －2≤ ξ ≤ 2) ＝ 1－ P( ξ <－ 2) － P( ξ >2) ＝ 1－ 2P( ξ >2) ＝ 1－2× 0.023 ＝ 0.954.
4．正态变量的概率密度函数
1
（ x－ 3） 2
f ( x) ＝
e－
， x∈ R 的图象关于直线 x＝ 3 x) 的最大值为
个数约为 1000×(1 － 0.9974) ＝2.6 ≈３ 个．
6．(2014·哈师大附中高二期中 ) 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(1 ， 4) ，则 P( － 3<ξ <5)
＝
( 参考数据： P( μ － σ <ξ <μ ＋ σ ) ＝ 0.6 826 ， P( μ － 2σ <ξ <μ ＋ 2σ ) ＝ 0.9544 ， P( μ －
1 P( ξ <3) ＝ 2.
3．已知随机变量
ξ 服从正态分布
N(0
，
σ
2
)
，若
P( ξ >2) ＝ 0.023 ，则
P( －2≤ ξ ≤ 2) ＝
(C)
A． 0.477 B ． 0.628 C ． 0.954 D ． 0.977 解析： ∵ ξ～ N(0 ， σ 2) ，∴ μ ＝ 0，即图象关于 y 轴对称，
2．正态分布 (1) 如果对于任何实数
a， b( a<b) ，随机变量 X 满足 P( a<X≤ b) ＝
b a
φ
μ，
σ(
x)d
x，则称随机
变量 X 服从正态分布． (2) 记作： X～ N( μ ， σ 2) ．
3．正态曲线的性质
(1) 曲线在 x 轴上方，与 x 轴不相交．
(2) 曲线是单峰的，关于直线 x＝ μ 对称．