北京市燕山区2014年中考数学一模试题
北京市燕山区中考数学一模试题
北京市燕山地区 初中毕业暨一模考试数学试卷学校 班级 姓名 成绩考 生 须 知 1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。
考试时间120分钟。
2．答题纸共6页，在规定位置准确填写学校名称、班级和姓名。
3．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效。
4．考试结束，请将答题纸交回，试卷和草稿纸可带走。
．．．．母写在答题纸上；本题共32分，每小题4分） 1．若实数a 与－3互为相反数，则a 的值为A ．31B ．0.3C ．－3D ．3 2．春节假期，全国收费公路7座以下小型客车实行免费通行．据交通运输部统计，春节期间，全国收费公路(除四川、西藏、海南外)共免收通行费846 000 000元．把 846 000 000用科学记数法表示应为A ．0.846×108B ．8.46×107C ．8.46×108D ．846×1063．已知某多边形的每一个外角都是40°，则它的边数为A ．7B ．8C ．9D ．10 4．右图是某个几何体的三视图，则这个几何体是A ．圆锥B ．圆柱C ．长方体D ． 三棱锥 5．燕山地区现有小学7所，初中校4所，高中校1所，现从这些学校中随机抽取1所学校对学生进行视力调查，抽取的学校恰好为初中校的概率是 A ．121 B ．31 C ．127D ．326．如图，在□ABCD 中，AD =6，点E 在边AD 上，且DE =3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则MCAM 的值为A ．12B ．13C ．14D ．197．在一次体育达标测试中，九年级(3)班的15名男同学的引体向上成绩如下表所示：成绩（个）8 9 11 12 13 15 人数123432这A ．12，13 B ．12，12 C ．11，12 D ．3，48． 如图，点P 是⊙O 的弦AB 上任一点(与A ，B 均不重合)，点C 在⊙O 上，PC ⊥OP ，已知AB =8，设BP ＝x ，PC 2＝y ， y 与x 之间的函数图象大致是A俯视图左视图主视图DA EMCB OPy16y16y16y． B ． C ． D ． 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式：mn mn 43-＝ .10．把代数式x 2－4x －5化为(x －m )2＋k 的形式，其中m ，k 为常数，则2m －k ＝ . 11．如图，在一间房子的两墙之间有一个底端在P 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在A 点；当它靠在另一侧墙上时梯子的顶端在D 点．已知∠APB ＝45°，∠DPC ＝30°，点A 到地面的垂直距离为2.4米，则点D 到地面的垂直距离约是米(精确到0.1).12．如图，已知直线1l ：2+-=x y 与2l ：2121+=x y ，过直线1l 与x 轴的交点1P 作x 轴的垂线交2l 于1Q ，过1Q 作x 轴的平行线交1l 于2P ，再过2P 作x 轴的垂线交2l 于2Q ，过2Q 作x 轴的平行线交1l 于3P ，……，这样一直作下去 ，可在直线l 1上继续得到点4P ，5P ，…，n P ，…．设点n P 的横坐标为n x ，则2x ＝ ， 1+n x 与n x 的数量关系是 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：013)(30cos 23127-+︒-⎪⎭⎫⎝⎛--π．14． 解不等式1233x x <+-，并把解集在数轴上表示出来．15．如图，点A ，F ，C ，D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且BC ∥EF ，∠A ＝∠D ，AF ＝DC ．求证：AB ＝DE ．16．已知0142=+-x x ，求代数式34)2123(2-÷-+-+x x x x 的值． 17．如图，直线y ＝2x －1与反比例函数xky =的图象交于A ，B 两点，与x 轴交于C 点，已知点A 的坐标为(－1，m )． ⑴ 求反比例函数的解析式；⑵ 若P 是x 轴上一点，且满足△PAC 的面积是6，直接CyxO ABQ3Q 2Q 1P 3P2P 1l 2l 1y xODFC EBA PBCDA写出点P 的坐标．18． 列方程或方程组解应用题:由于面临严重的能源危机，世界各国都在积极研究用生物柴油替代石油产品，微藻是一种非常有潜力的生物柴油来源．据计算，每公顷微藻的年产柴油量约为每公顷大豆年产柴油量的110倍．我国某微藻养殖示范基地的一块试验田投产后年产柴油量可达2200万升，而一块面积比微藻试验田大500公顷的大豆试验田，年产柴油量却只有40万升．求每公顷微藻年产柴油量约为多少万升？ 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．如图，四边形ABCD 中，∠ADC ＝∠B ＝90°， ∠C ＝ 60°，AD ＝3，E 为DC 中点，AE ∥BC ． 求BC 的长和四边形ABCD 的面积．20．如图，△ABC 中，AC ＝B C ．以B C 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ．作直线DF ⊥AC 交AC 于点F ，交CB 的延长线于点E ． ⑴求证：直线EF 是⊙O 的切线； ⑵若BC ＝6，AB ＝43，求DE 的长． 21．加快新能源和可再生能源发展是建设高效低碳的首都能源体系和“绿色北京”的重要支撑．“十一五”以来，北京市新能源和可再生能源开发利用步伐不断加快，产业规模不断扩大．以下是根据北京市统计局发布的有关数据制作的统计图表的一部分．2010年北京市新能源和可再生能源消费量及结构统计表 类 别 太阳能 生物质能 地热能 风能 水能消费量(万吨标准煤)98 36 78.5 82.8 注：能源消费量的单位是万吨标准煤，简称标煤． 请你结合上面图表中提供的信息解答下列问题： ⑴补全条形统计图并在图中标明相应数据；⑵2010年北京市能源消费总量约是多少万吨标煤（结果精确到百位）？⑶根据北京市“十二五”规划，到2015年，本市能源消费总量比2010年增长31%，其中新能源和可再生能源利用量占全市能源消费总量的6%．已知使用新能源每替代一万吨标煤，可减少二氧化碳排放量约为2万吨，请问到2015年，由于新能源和可再生能源的开发利用，北京市可减少二氧化碳排放量约为多少万吨？ 22．阅读下列材料：问题：如图⑴，已知正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，且 ∠EAF ＝45°． 判断线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系，并说明理由．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△DAF 绕点A 顺时针旋转90°，得到△BAH ，然后通过证明三角形全等可得出结论．请你参考小明同学的思路，解决下列问题：OFBDGEBACDA DAA D “十一五”期间北京市新能源和可再生能源消费量统计图2010年北京市各类能源消费量占新能源和可再生能源3.2%油品30.3%天然气13.1%煤炭30.3%电力23.1%⑴ 图⑴中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系是 ； ⑵ 如图⑵，已知正方形ABCD 边长为5，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，且∠EAF ＝45°，AG ⊥EF 于点G ，则AG 的长为 ，△EFC 的周长为 ；⑶ 如图⑶，已知△AEF 中，∠EAF ＝45°，AG ⊥EF 于点G ，且EG ＝2，GF ＝3，则△AEF 的面积为 ．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．己知二次函数)12(221-+-=t tx x y (t >1)的图象为抛物线1C ．⑴求证：无论t 取何值，抛物线1C 与x 轴总有两个交点；⑵已知抛物线1C 与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧)，将抛物线1C 作适当的平移，得抛物线2C ：22)(t x y -=，平移后A 、B 的对应点分别为D (m ，n )，E (m ＋2，n )，求n 的值． ⑶在⑵的条件下，将抛物线2C 位于直线DE 下方的部分沿直线DE 向上翻折后，连同2C 在DE 上方的部分组成一个新图形，记为图形G ，若直线b x y +-=21(b <3)与图形G 有且只有两个公共点，请结合图象求b 的取值范围．24．如图⑴，两块等腰直角三角板ABC 和DEF ，∠ABC ＝∠DEF ＝ 90°，点C 与EF 在同一条直线l 上，将三角板A B C 绕点C 逆时针旋转α角(︒≤<︒900α)得到 △C B A ''．设EF ＝2，BC ＝1，CE ＝x ．⑴如图⑵，当︒=90α，且点C 与点F 重合时，连结'EB ，将直线'EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线D A '于点M ，请补全图形，并求证：M A '＝DM ．⑵如图⑶，当︒<<︒900α，且点C 与点F 不重合时，连结'EB ，将直线'EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线D A '于点M ，求DMMA '的值（用含x 的代数式表示）． 25．定义：对于平面直角坐标系中的任意线段AB 及点P ，任取线段．．AB 上一点Q ，线段PQ长度的最小值称为点P 到线段．．AB 的距离，记作d （P →AB ）． 已知O 为坐标原点，A (4，0)，B (3，3)，C (m ，n )，D (m ＋4，n )是平面直角坐标系中四点．根据上述定义，解答下列问题： ⑴点A 到线段OB 的距离d (A →OB ) ＝ ；⑵已知点G 到线段OB 的距离d （G →OB ）＝5，且点G 的横坐标为1，则点G 的纵坐标为 ．⑶当m 的值变化时，点A 到动线段CD 的距离d (A →CD )始终为2，线段CD 的中点为M ． ①在图⑵中画出点M 随线段CD 运动所围成的图形并求出该图形的面积．②点E 的坐标为(0，2)，m>0，n>0，作MH ⊥x 轴，垂足为H ．是否存在m 的值，使得以A 、M 、H 为顶点的三角形与△AOE 相似，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．O xy32-1121-1yB4图⑴ 图⑵ 图⑶AC E A'B'D DE lAMD B'A'E lF C数学试卷参考答案及评分标准 2013.05说明：与参考答案不同，但解答正确相应给分． 一、选择题（本题共32分，每小题4分） DCCA BABA二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．mn (n ＋2)(n －2) 10．13 11．1.7 12．21； 321=++n n x x 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式＝33－3—2×23＋1 ………………………4分 ＝23－2． ………………………5分14．解：3(2x －3)＜x ＋1， ………………………1分6x －9＜x ＋1， ………………………2分 5x ＜10， ………………………3分 x ＜2． ………………………4分 ∴原不等式的解集为x ＜2．在数轴上表示为 ： ………………………5分 15．证明 ：∵AF ＝DC ，∴ AF ＋FC ＝DC ＋CF ，即AC ＝DF ． ………………………1分 又∵BC ∥EF ，∴∠BCA ＝∠DFE ， ………………………2分 在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D ，∠BCA ＝∠DFE ， AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）， ………………………4分 ∴AB ＝DE ． ………………………5分16．解：原式＝)2)(2(3)2123(-+⨯---+x x x x x ＝)2)(2(322-+⨯-+x x x x ＝2)2(3-x ＝4432+-x x ． ………………………3分 ∵0142=+-x x ，∴142-=-x x ，∴ 原式＝413+-＝1． ………………………5分17．解：⑴∵点 A (－1，m )在直线y ＝2x －1上，∴m ＝2×(-1)－1＝－3， ………………………1分 ∴点A 的坐标为(－1，－3)． ∵点A 在函数xky =的图象上， ∴ k ＝－1×(－3)＝3， ………………………2分∴反比例函数的解析式为xy 3=． ………………………3分 ⑵点P 的坐标为(－27，0)或(29，0)． ………………………5分18．解：设每公顷大豆年产柴油量约为x 万升，则每公顷微藻年产柴油量约为110x 万升，根据题意得， ………………………1分500110220040=-xx ， ………………………2分 解得：x ＝0.04． ………………………3分 经检验：x ＝0.04是原方程的解，并符合题意． ………………………4分∴110x ＝110×0.04＝4.4(万升)．答：每公顷微藻年产柴油量约为4.4万升． ………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）∴DE ＝3360tan =︒AD ＝1，AE ＝︒60sin AD ＝2． ………………………1分 又∵E 为DC 中点，∴CE ＝DE ＝1， 在Rt △CEF 中，∠CFE ＝90°，∠C ＝60°，∴CF ＝CE ·cos 60°＝21，EF ＝CE ·sin 60°＝23．………………………2分∴BC ＝BF ＋CF ＝AE ＋CF ＝2＋21＝25． ………………………3分∴四边形ABCD 的面积ABCD S 四边形＝ADE S ∆＋ABCE S 梯形＝21AD ·DE ＋21(AE ＋ BC )·EF ＝21×3×1＋21×(2＋25)×23＝8313． ………………………5分 20．⑴证法一：如图，连结OD ， ∵AC ＝BC ， ∴∠A ＝∠ABC ∵OD ＝OB ， ∴∠ABC ＝∠BDO ， ∴∠BDO ＝∠A ，∴OD∥AC ， ………………………1分 ∵AC DF ⊥，∴DF OD ⊥，∴直线EF 是⊙O 的切线． ………………………2分 证法二：如图，连结OD ，CD ，∵BC 是⊙O 直径，∴∠BDC ＝90°，即CD ⊥AB ．EBACDF∵AC ＝BC ，∴AD ＝BD ，即D 是AB 的中点． ………………………1分 ∵O 是BC 的中点， ∴D O∥AC ． ∵EF ⊥AC 于F ， ∴DO EF ⊥，∴直线EF 是⊙O 的切线． ………………………2分⑵解法一：如图，连结CD ，由⑴证法二，∠BDC ＝90°，D 是AB 的中点，AB ＝43， ∴AD ＝BD ＝23．在Rt △ADC 中，AC ＝6，AD ＝23，由勾股定理得：CD ＝22AD AC -＝26， ………………3分 又∵EF ⊥AC ， ∴DF ＝ACCD AD ⋅＝66232⋅＝22，∴CF ＝22DF CD -＝4， …………………4分 又∵DO∥C F ， ∴CF OD EF ED =，即4322=+ED ED ，解得ED ＝62． ………………………5分 解法二：如图，连结OD ，CD ，BG ，同解法一得∠BDC ＝90°，CD ＝26， ………………………3分 ∵BC 是⊙O 直径，∴∠BGC ＝90°， 在△ABC 中，有CD AB ⋅⋅21＝BG AC ⋅⋅21， ∴BG ＝ACCD AB ⋅＝66234⋅＝42， ………………………4分又∵∠BGC ＝∠CFE ＝90°， ∴BG EF ∥，∴∠E ＝∠GBC ． 在Rt △BGC 中，BC ＝6，BG ＝42， ∴CG ＝22BG BC -＝2， tan ∠GBC ＝BG CG ＝31， 在Rt △EOD 中，OD ＝21BC ＝3，tan ∠E ＝tan ∠GBC ＝31，∴ED ＝EOD∠tan ＝62． ………………………5分21．解：⑴ 补全统计图如右图，所补数据为98＋36＋78.5＋8＋2.8＝223.3． ………2分OFB DG OFBADG OFBDG⑵ 2010年北京市总能耗量约是223.3÷3.2%≈7000(万吨标煤)．………3分 ⑶到2015年，由于新能源和可再生能源的开发 利用北京市可减少二氧化碳排放量约为7000×（1＋31%）×6%×2＝1100.4（万吨）．………………………5分22．⑴线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系是 EF ＝BE ＋FD ；………………………1分 ⑵AG 的长为 5 ，△EFC 的周长为 10 ； ………………………3分 ⑶△AEF 的面积为 15 ． ………………………5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23．⑴ 令01=y ，得△＝222)1(4484)12(4)2(-=+-=---t t t t t ， …………1分∵t >1，∴△＝2)1(4-t >0，∴无论t 取何值，方程0)12(22=-+-t tx x 总有两个不相等的实数根，∴无论t 取何值，抛物线1C 与x 轴总有两个交点． ………………………2分 ⑵解法一：解方程0)12(22=-+-t tx x 得，11=x ，122-=t x ， ………………………3分∵t >1，∴112>-t ．得A (1，0)，B (12-t ，0)， ∵D (m ，n )，E (m ＋2，n )， ∴DE ＝AB ＝2，即2112=--t ，解得2=t ． ………………………4分 ∴二次函数为1)2(34221--=+-=x x x y ，显然将抛物线1C 向上平移1个单位可得抛物线2C ：22)2(-=x y ，故1=n ． ………………………5分 解法二：∵D (m ，n )在抛物线2C ：22)(t x y -=上，∴2)(t m n -=，解得n t m ±=， ………………………3分∴D (n t -，n )，E (n t +，n )，∵DE ＝2，∴n t +－(n t -)＝n 2＝2， ………………………4分 解得 1=n ． ………………………5分 ⑶由⑵得抛物线2C ：22)2(-=x y ，D (1，1)，E (3，1)， 翻折后，顶点F (2，0)的对应点为F ＇(2，2)， 如图，当直线b x y +-=21经过点D (1，1)时，记为1l ， 此时23=b ，图形G 与1l 只有一个公共点； 当直线b x y +-=21经过点E (3，1)时，记为2l ，此时25=b ，图形G 与2l 有三个公共点；当3<b 时，由图象可知，只有当直线l :b x y +-=21位于1l 与2l 之间时，图形G 与直线l 有且只有两个公共点， ∴符合题意的b 的取值范围是2523<<b ． ………………………7分24．解：⑴补全图形如右图⑴． ………………………1分② 如图⑵，连结AE ，∵△ABC 和△DEF 是等腰直角三角形， ∠ABC ＝∠DEF ＝90°，AB ＝1，DE ＝2， ∴BC ＝1，EF ＝2，∠DFE ＝∠ACB ＝45°． ∴2'==AC C A ，22DF =，'EFB ∠＝90°．∴2''=-=C A DF D A ， ………………………2分 ∴点'A 为DF 的中点． ∴'EA ⊥DF ，'EA 平分∠DEF ．∴E MA '∠＝90°，EF A '∠＝45°，2'=E A ． ∵'MEB ∠＝EF A '∠＝45°， ∴'MEA ∠＝EF B '∠, ∴Rt △E MA '∽Rt △FE B '， ∴F B M A ''＝EFE A '，∴22'=M A ， ………………………3分∴22222''=-=-=M A D A DM ， ∴M A '＝DM ． ………………………4分 ⑵如图⑶，过点'B 作G B '⊥E B '交直线EM 于点G ，连结G A '． ∵G EB '∠＝90°，EM B '∠＝45°，∴GE B '∠＝45°． ∴E B '＝G B '．∵C B A ''∠＝G EB '∠＝90°，∴G B A ''∠＝E CB '∠． 又∵''A B ＝C B '，∴△G B A ''≌△E CB '． ………………………5分 ∴G A '＝CE ＝x ，''GB A ∠＝'CEB ∠．∵''GB A ∠＋GM A '∠＝'CEB ∠＋DEM ∠＝45°，∴GM A '∠＝DEM ∠， …………………………6分 ∴G A '∥DE ． ∴2''xDE G A DM M A ==． …………………………7分 25．解：⑴点A 到线段OB 的距离d (A →OB )＝22； ……1分⑵点G 的纵坐标为 －2或101+． ……………3分 ⑶①如图⑴，当点C 在以A 为圆心，半径为2的⊙A的右半圆上时，点M 在圆弧M 1FM 4上运动；图⑵MDB'A'ElF (C )ABMDB'A'ElF (C )AB图⑴图⑶GMDB'A'ElFCM 4C 4C 2C 1M 3M 2M 1C 3A yxOF-1-111当点C 从C 1到C 2时，点M 在线段M 1M 2上运动； 当点C 从C 4到C 3时，点M 在线段M 4M 3上运动；当点D 在以A 为圆心，半径为2的⊙A 的左半圆上时，点M 在圆弧M 2OM 3上运动； ∴点M 随线段CD 运动所围成的封闭图形是图中实线部分，面积为16+4π． ………5分 ②存在．由A (4，0)，E (0，2)，得2142==OA OE ． （i ）当点M 位于左侧圆弧上时，m ≤0，不合题意； （ii ）如图⑵，当点M 位于线段M 1M 2上时， ∵MH ＝2，∴只要AH ＝1，就有△AOE ∽△MHA ， 此时OH 1＝5，OH 2＝3．∵点M 为线段CD 的中点，CD =4，∴OH 1＝5时，m ＝3；OH 2＝3时，m ＝1． (7)分（iii ）解法一：如图⑶，当点M 位于右侧圆弧M 1FM 4上时，连结GM ，其中点G 是圆弧的圆心，坐标为（6，0）． 设MH 3＝x ，∵AH 3> M 3H 3∴AH 3＝2x ，∴GH 3＝2x －2，又GM ＝2，在Rt △MGH 3中，由勾股定理得：2222)22(=+-x x ，解得581=x ，02=x （不合题意，舍去），此时5163=AH ，53633=+=AH OA OH ，∵点M 为线段CD 的中点，CD =4，∴m ＝526．综上所述，存在m ＝1或m ＝3或m ＝526，使得以A 、M 、H 为顶点的三角形与△AOD 相似．………………………8分解法二：如图⑶，当点M 位于右侧圆弧M 1FM 4上时，连结GM ，其中点G 是圆弧的圆心，坐标为（6，0）．设OH 3＝x ，则GH 3＝x －6．又GM ＝2，∴M 3H 3＝2323GH GM -＝22)6(2--x ＝32122-+-x x∵AH 3> M 3H 3∴△AOE ∽△A H 3M 3， 则333H M AH ＝321242-+--x x x ＝12，即01445652=+-x x ，MH 2H 1M M 2M 1E AyxO F-1-111图⑵H 3M4M 2M 1M 3E AyxO FG M-1-111文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。
中考数学与中点有关的问题试题(24题)
〔二讲〕与中点有关的几何题〔2014年昌平二模〕24．[探究]如图1,在△ABC 中, D 是AB 边的中点,AE ⊥BC 于点E ,BF ⊥AC 于点F ,AE ,BF 相交于点M ,连接DE ,DF . 则DE ,DF 的数量关系为.[拓展]如图2,在△A B C 中,C B = C A ,点D 是AB 边的中点,点M 在△A B C 的内部,且∠MBC =∠MAC . 过点M 作ME ⊥BC 于点E ,MF ⊥AC 于点F ,连接DE ,DF . 求证：DE =DF ；[推广]如图3,若将上面[拓展]中的条件"CB =CA "变为"CB ≠CA ",其他条件不变,试探究DE 与DF 之间的数量关系,并证明你的结论.ADBE CM F A D BECMF MABCDFE图3图2图1海淀2-海淀25. 在矩形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上,且DF = DC , M 为AB 边上一点, N 为MD 的中 点, 点E 在直线CF 上〔点E 、C 不重合〕.〔1〕如图1, 若AB =BC , 点M 、A 重合, E 为CF 的中点,试探究BN 与NE 的位置关系与BMCE的值, 并证明你的结论; 〔2〕如图2,且若AB =BC , 点M 、A 不重合, BN =NE ,你在〔1〕中得到的两个结论是否成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;〔3〕如图3,若点M 、A 不重合,BN =NE ,你在〔1〕中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论.丰台1-24．已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形,其中BA =BC ,DA =DE ,联结EC ,取EC 的中点M ,联结BM 和DM ．〔1〕如图1,如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上,那么BM 、DM 的数量关系与位置关系是；〔2〕将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时,判断〔1〕中的结论是否仍然成立,并说明理由．海淀1-24． 在□ABCD 中,∠A =∠DBC , 过点D 作DE =DF , 且∠EDF=∠ABD , 连接EF 、 EC ,N 、P 分别为EC 、BC 的中点,连接NP ．〔1〕如图1,若点E 在DP 上, EF 与DC 交于点M , 试探究线段NP 与线段NM 的数量关系与∠ABD 与∠MNP 满足的等量关系,请直接写出你的结论；〔2〕如图2,若点M 在线段EF 上, 当点M 在何位置时,你在〔1〕中得到的结论仍然成立,写出你确定的点M 的位置,并证明〔1〕中的结论.图1图213、〔2014燕山一模〕24.如图1,已知ABC ∆是等腰直角三角形,︒=∠90BAC ,点D 是BCD C B A EMMEA B C DMBDCFE ANPPN AEFCDBEDMBCAEDMBCAMBCA的中点．作正方形DEFG ,使点A 、C 分别在DG 和DE 上,连接 AE ,BG ．〔1〕试猜想线段BG 和AE 的数量关系是；〔2〕将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转)3600(︒≤<︒αα, ①判断〔1〕中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论； ②若4==DE BC ,当AE 取最大值时,求AF 的值．1、〔2014年门头沟二模〕24. 在△ABC 中,AB=AC ,分别以AB 和AC 为斜边,向△ABC 的外侧作等腰直角三角形,M 是BC 边中点中点,连接MD 和ME〔1〕如图24-1所示,若AB=AC ,则MD 和ME 的数量关系是〔2〕如图24-2所示,若AB ≠AC 其他条件不变,则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； 〔3〕 在任意△ABC 中,仍分别以AB 和AC 为斜边,向△ABC 的内侧．．作等腰直角三角形,M 是BC 的中点,连接MD 和ME ,请在图24-3中补全图形,并直接判断△MED 的形状．〔2014年昌平二模〕24．[探究]DE =DF . …………………………………………………………………………………1分[拓展]如图2,连接CD . ∵在△A B C 中 ,C B = C A , ∴∠CAB =∠CBA . ∵∠MBC =∠MAC ,∴∠MAB =∠MBA . ……………………………2分 ∴AM =BM .∵点 D 是 边 AB 的 中点 ,∴点M 在CD 上. ………………………………………3分 ∴CM 平分∠FCE . ∴∠FCD =∠ECD .∵ME ⊥BC 于E ,MF ⊥AC 于F , ∴MF =ME . 又∵CM =CM , ∴△CMF ≌△CME . ∴CF =CE . ∵CD =CD ,∴△CFD ≌△CED .∴DE =DF .………………………………………4分 [推广] DE =DF .如图3,作AM 的中点G ,BM 的中点H .∵点 D 是 边 AB 的 中点 , ∴1//,.2DG BM DG BM =同理可得：1//,.2DH AM DH AM = ∵ME ⊥BC 于E ,H 是BM 的中点, ∴在Rt △BEM 中, 1.2HE BM BH ==∴DG =HE . ……………………………………………………5分 同理可得：.DH FG = ∵DG //BM ,DH //GM ,∴四边形DHMG 是平行四边形.图2F MCE BD A图3H GF M CE BD A∴∠DGM =∠DHM .∵∠MGF =2∠MAC ,∠MHE =2∠MBC , 又∵∠MBC =∠MAC , ∴∠MGF =∠MHE .∴∠DGM +∠MGF =∠DHM +∠MHE .∴∠DGF =∠DHE . ……………………………………6分 ∴△DHE ≌△FGD .∴DE =DF . ……………………………………………………7分〔海淀二模〕25. 解：〔1〕BN 与NE 的位置关系是BN ⊥NE ；CE BM.证明：如图,过点E 作EG ⊥AF 于G , 则∠EGN =90°．∵ 矩形ABCD 中,AB =BC , ∴ 矩形ABCD 为正方形.∴AB=AD =CD ,∠A =∠ADC =∠DCB =90°． ∴EG//CD , ∠EGN =∠A , ∠CDF =90°． ………………………………1分 ∵E 为CF 的中点,EG//CD ,∴GF =DG =11.22DF CD =∴1.2GE CD =∵N 为MD <AD >的中点, ∴AN =ND =11.22AD CD =∴GE =AN , NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB .……………………………2分∴△NGE ≌△BAN ． ∴∠1=∠2. ∵∠2+∠3=90°, ∴∠1+∠3=90°． ∴∠BNE =90°.∴BN ⊥NE ．……………………………………………………………3分 ∵∠CDF =90°, CD =DF , 可得 ∠F =∠FCD =45°,2.CF CD .于是122.2CF CECE CE BMBACDCD……………………………………4分 〔2〕在〔1〕中得到的两个结论均成立.证明：如图,延长BN 交CD 的延长线于点G ,连结BE 、GE ,过E 作EH ⊥CE ,交CD 于点H ．∵ 四边形ABCD 是矩形,∴AB ∥CG ．∴∠MBN =∠DGN ,∠BMN =∠GDN .∵N 为MD 的中点, H A BC DEM NF 321GFEA (M )CDNB∴MN=DN．∴△BMN≌△GDN．∴MB=DG,BN=GN.∵BN=NE,∴BN=NE=GN.∴∠BEG=90°．……………………………………………5分∵EH⊥CE,∴∠CEH=90°．∴∠BEG=∠CEH．∴∠BEC=∠GEH．由〔1〕得∠DCF=45°．∴∠CHE=∠HCE=45°．∴EC=EH,∠EHG=135°．∵∠ECB=∠DCB+∠HCE=135°,∴∠ECB=∠EHG．∴△ECB≌△EHG．∴EB=EG,CB=HG．∵BN=NG,∴BN⊥NE. ……………………………………………6分∵BM =DG= HG-HD= BC-HD=CD-HD =CH=2CE,∴CEBM =22. ……………………………………………7分〔3〕BN⊥NE；CEBM 不一定等于22. …………………………………………8分〔2012丰台一模〕24.解：〔1〕BM=DM且BM⊥DM．………2分〔2〕成立．……………3分理由如下：延长DM至点F,使MF=MD,联结CF、BF、BD．易证△EMD≌△CMF．………4分∴ED=CF,∠DEM=∠1．∵AB=BC,AD=DE,且∠ADE=∠ABC=90°,∴∠2=∠3=45°,∠4=∠5=45°．∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1,∠7=180°-∠6-∠9,∴∠8=360°-45°-〔180°-∠6-∠9〕-〔∠3+∠9〕=360°-45°-180°+∠6+∠9- 45°-∠9=90°+∠6 ．∴∠8=∠BAD．………5分又AD=CF．∴△ABD≌△CBF．∴BD=BF,∠ABD=∠CBF．………6分∴∠DBF=∠ABC=90°．∵MF=MD,∴BM=DM且BM⊥DM．〔海淀一模〕9解:〔1〕 NP =MN ,∠ABD +∠MNP =180︒<或其它变式与文字叙述,各1分>.………2分 〔2〕点M 是线段EF 的中点<或其它等价写法>. 证明：如图, 分别连接BE 、CF .∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC ,AB ∥DC ,∠A =∠DCB , ∴∠ABD =∠BDC . ∵∠A =∠DBC , ∴∠DBC =∠DCB . ∴ DB =DC .①………………………3分 ∵∠EDF =∠ABD ,∴∠EDF =∠BDC .∴∠BDC-∠EDC =∠EDF-∠EDC .即∠BDE =∠CDF .②又 DE =DF ,③由①②③得△BDE ≌△CDF .…………………………………………4分 ∴ EB =FC , ∠1=∠2.∵N 、P 分别为EC 、BC 的中点, ∴NP ∥EB , NP =EB 21.同理可得 MN ∥FC ,MN =FC 21.∴NP = NM . …………………………………………………5分∵NP ∥EB , ∴∠NPC =∠4.∴∠ENP =∠NCP +∠NPC =∠NCP +∠4. ∵MN ∥FC ,∴∠MNE =∠FCE =∠3+∠2=∠3+∠1.∴∠MNP =∠MNE +∠ENP =∠3+∠1+∠NCP +∠4=∠DBC +∠DCB =180︒-∠BDC =180︒-∠ABD .∴∠ABD +∠MNP =180︒.……………………………………7分〔2014燕山一模〕解析：24. 解：〔1〕AE BG =； …………………2分 〔2〕①成立．以下给出证明： 如图,连接AD ,∵在 Rt BAC ∆中,D 为斜边BC 中点,∴BD AD =,BC AD ⊥,∴︒=∠+∠90GDB ADG ． …………………3分 ∵四边形EFGD 为正方形, ∴DG DE =,且︒=∠90GDE , ∴︒=∠+∠90ADE ADG , ∴ADE BGD ∠=∠． ……4分 在BDG ∆和ADE ∆中, ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,ED GD ADE BDG AD BD ∴BDG ∆≌ADE ∆,M 1 32 4P N A EF C DB BACDEGFEDMBC∴AE BG =．……………………5分②由①可得AE BG =,当BG 取得最大值时,AE 取得最大值．当旋转角为︒270时,AE BG =,最大值为642=+. ………6分 如图,此时13222=+=EF AE AF ． ……………………7分〔2014年门头沟二模〕24. 〔1〕MD =ME ……………1分〔2〕如图,作DF ⊥AB ,EG ⊥AC ,垂足分别为F 、G ． 因为DF 、EG 分别是等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角形ACE 斜边上的高,所以F 、G 分别是AB 、AC 的中点．又∵M 是BC 的中点,所以MF 、MG 是△ABC 的中位线． ∴12MF AC =,12MG AB =,MF //AC ,MG //AB ．∴∠BFM ＝∠BAC ,∠MGC ＝∠BAC ．∴∠BFM ＝∠MGC ．所以∠DFM ＝∠MGE ．……………2分∵DF 、EG 分别是直角三角形ABD 和直角三角形ACE 斜边上的中线, ∴12EG AC =,12DF AB =． ∴MF ＝EG ,DF ＝NG ．……………3分∴△DFM ≌△MGE ．∴DM ＝ME ．……………4分 ∠FMD=∠GEM∴∠DME =∠FMD+∠FMG+∠GME=∠GEM+∠MGC +∠GME ∵EG ⊥AC ∴∠EGC=900∵∠GEM+∠MGC +∠GME+∠EGC=1800∴∠DME=900……………5分〔3〕作图正确得一分……………6分△MDE 是等腰直角三角形．……………7分BA CDE GF。
2014年北京市中考数学试卷(附答案与解析)
数学试卷 第1页（共28页） 数学试卷 第2页（共28页）绝密★启用前北京市2014年高级中等学校招生考试数 学本试卷满分120分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共32分)一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.2的相反数是( )A .2B .2-C .12-D .122.据报道,某小区居民李先生改进用水设备,在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300000吨.将300000用科学记数法表示应为( )A .60.310⨯B .5310⨯C .6310⨯D .43010⨯ 3.如图,有6张扑克牌,从中随机抽取一张,点数为偶数的概率是( )A .16B .14C .13D .124.如图是某几何体的三视图,该几何体是( )A .圆锥B .圆柱C .正三棱柱D .正三棱锥5.某篮球队12名队员的年龄如下表所示：年龄18 19 20 21 人数5 41 2 则这12名队员年龄的众数和平均数分别是( ) A .18,19B .19,19C .18,19.5D .19,19.56.园林队在某公园进行绿化,中间休息了一段时间.已知绿化面积S (单位：平方米)与工作时间t (单位：小时)的函数关系的图象如图所示,则休息后园林队每小时绿化面积为 ( ) A .40平方米 B .50平方米 C .80平方米 D .100平方米7.如图,O 的直径AB 垂直于弦CD ,垂足是E ,22.5A ∠=,4OC =,CD 的长为( ) A .22 B .4 C .42 D .88.已知点A 为某封闭图形边界上一定点,动点P 从点A 出发,沿其边界顺时针匀速运动一周.设点P 运动的时间为x ,线段AP 的长为y ,表示y 与x 的函数关系的图象大致如图所示,则该封闭图形可能是( )ABCD第Ⅱ卷(非选择题 共88分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把答案填在题中的横线上) 9.分解因式：429ax ay -= .10.在某一时刻,测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ,同时测得一根旗杆的影长为25m ,那么这根旗杆的高度为 m .11.如图,在平面直角坐标系xOy 中,正方形OABC 的边长为2.写出一个函数(0)ky k x=≠,使它的图象与正方形OABC 有公共点,这个函数的表达方式为 .毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共28页） 数学试卷 第4页（共28页）12.在平面直角坐标系xOy 中,对于点(,)P x y ,我们把点(1,1)P y x '-++叫做点P 的伴随点.已知点1A 的伴随点为2A ,点2A 的伴随点为3A ,点3A 的伴随点为4A ,…,这样依次得到点1A ,2A ,3A ,…,n A ,….若点1A 的坐标为(3,1),则点3A 的坐标为 ,点2014A 的坐标为 ；若点1A 的坐标为(),a b ,对于任意的正整数n ,点n A 均在x 轴上方,则a ,b 应满足的条件为 .三、解答题(本大题共13小题,共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13.(本小题满分5分)如图,点B 在线段AD 上,BC DE ∥,AB ED =,BC DB =. 求证：A E ∠=∠.14.(本小题满分5分)计算：011(6π)()3tan30|5--+--+-.15.(本小题满分5分)解不等式1211232x x --≤,并把它的解集在数轴上表示出来.16.(本小题满分5分)已知x y -=,求代数式2(1)2(2)x x y y x +-+-的值.17.(本小题满分5分)已知关于x 的方程2(2)20(0)mx m x m -++=≠. (1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数m 的值.18.(本小题满分5分) 列方程或方程组解应用题：小马自驾私家车从A 地到B 地,驾驶原来的燃油汽车所需油费108元,驾驶新购买的纯电动车所需电费27元.已知每行驶1千米,原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元,求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费.19.(本小题满分5分)如图,在□ABCD 中,AE 平分BAD ∠,交BC 于点E ,BF 平分ABC ∠,交AD 于点F ,AE 与BF 交于点P ,连接EF ,PD .(1)求证：四边形ABEF 是菱形；(2)若4AB =,6AD =,60ABC ∠=,求tan ADP ∠的值.20.(本小题满分5分)根据某研究院公布的2009—2013年我国成年国民阅读调查报告的部分相关数据,绘制的统计图表如下：2013年成年国民倾向的阅读方式人数分布统计图FPECBADECBAD数学试卷 第5页（共28页） 数学试卷 第6页（共28页）根据以上信息解答下列问题： (1)直接写出扇形统计图中m 的值；(2)从2009到2013年,成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等,估算2014年成年国民年人均阅读图书的数量约为 本；(3)2013年某小区倾向图书阅读的成年国民有990人,若该小区2014年与2013年成年国民的人数基本持平,估算2014年该小区成年国民阅读图书的总数量约为 本.21.(本小题满分5分)如图,AB 是O 的直径,C 是AB 的中点,O 的切线BD 交AC 的延长线于点D ,E 是OB 的中点,CE 的延长线交切线DB 于点F ,AF 交O 于点H ,连接BH .(1)求证：AC CD =； (2)若2OB =,求BH 的长.22.(本小题满分5分) 阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1,在ABC △中,点D 在线段BC 上,75BAD ∠=,30CAD ∠=,2AD =,2BD DC =,求AC 的长.小腾发现,过点C 作CE AB ∥,交AD 的延长线于点E ,通过构造ACE △,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2).请回答：ACE ∠的度数为 ,AC 的长为 . 参考小腾思考问题的方法,解决问题：如图3,在四边形ABCD 中,90BAC ∠=,30CAD ∠=,75ADC ∠=,AC 与BD 交于点E ,2AE =,2BE ED =,求BC 的长.23.(本小题满分7分)在平面直角坐标系xOy 中,抛物线22y x mx n =++经过点2(0,)A -,(3,4)B . (1)求抛物线的表达式及对称轴；(2)设点B 关于原点的对称点为C ,点D 是抛物线对称轴上一动点,记抛物线在A ,B 之间的部分为图象G (包含A ,B 两点).若直线CD 与图象G 有公共点,结合函数图象,求点D 纵坐标t 的取值范围.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第7页（共28页） 数学试卷 第8页（共28页）24.(本小题满分7分)在正方形ABCD 外侧作直线AP ,点B 关于直线AP 的对称点为E ,连接,BE DE ,其中DE 交直线AP 于点F .(1)依题意补全图1；(2)若20PAB ∠=,求ADF ∠的度数；(3)如图2,若4590PAB ∠＜＜,用等式表示线段,,AB FE FD 之间的数量关系,并证明.25.(本小题满分8分)对某一个函数给出如下定义：若存在实数0M ＞,对于任意的函数值y ,都满足M y M -≤≤,则称这个函数是有界函数.在所有满足条件的M 中,其最小值称为这个函数的边界值.例如,下图中的函数是有界函数,其边界值是1.(1)分别判断函数1y x=(0)x ＞和1(42)y x x =+-＜≤是不是有界函数？若是有界函数,求其边界值；(2)若函数1y x =-+(,)a x b b a ≤≤＞的边界值是2,且这个函数的最大值也是2,求b 的取值范围；(3)将函数2(1,0)y x x m m =-≤≤≥的图象向下平移m 个单位,得到的函数的边界值是t ,当m 在什么范围时,满足314t ≤≤？北京市2014年高级中等学校招生考试数学答案解析5/ 14数学试卷 第11页（共28页）数学试卷 第12页（共28页）【解析】22.5A =∠sin OC COE =∠，又AB CD ⊥【考点】圆周角定理，垂径定理，解直角三角形. 【答案】A【解析】因为由图象看，点AP 是先增大再减小，直到半周的位置而当点动半周时，AP 是先增大再减小再增大；当点P 沿正方形边界运动半周时，第Ⅱ卷【答案】证明：BC DE∥EDB中，ABABCBC⎧⎪⎨⎪⎩∠，A∴=∠【考点】平行线的性质，全等三角形的判定和性质不等式的解集在数轴上表示如下：7/ 14数学试卷 第15页（共28页）数学试卷 第16页（共28页）x y -=【考点】代数式的化简求值17.【答案】）证明：0m ≠，2(mx m ∴-是关于x 的一元二次方程(2)m m =-2(2)m -≥∴方程总有两个实数根（2）由求根公式，得11x ∴=，方程的两个根都是整数，且19.【答案】（1）证明：BF 是ABC ∠的平分线，AD BC ∥AFB ∴=∠同理AB =∴四边形ABEF AB AF =9 / 14(2)过点P 作PG AD ⊥于点G ，如图.四边形4AB =，12AP ∴=在Rt AGP △cos601AG AP ∴==，sin 603GP AP ==. 6AD =，5DG ∴=3tan 5ADP ∴=∠. 【考点】角平分线的定义，平行四边形及菱形的判定和性质，解直角三角形等20.【答案】（2）5.00AB 是O 的直径，C 是AB 的中点，AC BC ∴=.CAB CBA ∴∠=∠=BD 是O 的切线，可证CBD D ∠=∠=BC CD ∴=.AC ∴=数学试卷 第19页（共28页）数学试卷 第20页（共28页）OA OC =COE ∴∠=E 是OB CEO ∠=BF OC ∴=.2OB =，由勾股定理，得AF =90ABF AHB ∠=∠=4=55AB BF BH AF ∴=【考点】切线的性质，等腰直角三角形的性质，全等角形的判定与性质，勾股定理等22.【答案】解：ACE ∠解决问题：过点D 作DF AB ∥交AC 于点F .如图.2 BE ED=CAD∠=2ABFD=，ADC∠=AC AD∴=在Rt ABC△【考点】相似三角形的判定与性质，勾股定理等23.【答案】）点∴抛物线的对称轴为1x=.24.【答案】（1）补全图形，如图1所示.（2）连接AE，如图2.点AB AD=AED∴∠=2ADF∴∠ADF∴∠=（3）AB，数学试卷第23页（共28页）点=AB AD∴∠=ADE∠=又DGF22∴+FB FD22=BD AB【解析】轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理等25.【答案】（1(=+-y xy函数的最大值是又函数的边界值是数学试卷第27页（共28页）。
2014年北京中考数学各区一模试题最新汇编--几何综合全(教师版)
1、(2014西城数学一模）24．四边形ABCD 是正方形，BEF △是等腰直角三角形,90BEF ∠=︒，BE EF =．连接DF ,G 为DF 的中点，连接EG CG EC ，，． （1）如图1，若点E 在CB 边的延长线上,直接写出EG 与GC 的位置关系及ECGC的值； （2）将图1中的BEF △绕点B 顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）将图1中的BEF △，绕点B 顺时针旋转(090)αα︒<<︒，若1BE =,2AB =,当E 、F 、D 三点共线时,求DF 的长及tan ABF ∠的值．备用图图2图1ACBDACBDEFGGFEDBCA解析：24解：（1)EG GC ⊥，2ECGC=； （2）倍长EG 至H ,连接GH 、OH 、CH 、CE ； 在EFG △与HDG △中， GF GD EGF HGD EG HG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ EFG HDG △≌△（SAS)∴ DH EF BE ==，FEG DHG ∠=∠． ∴ //EF OH∴ 129034∠=∠=︒-∠=∠．∴ 18041801EBC HDC ∠=︒-∠=︒-∠=∠． 在EBC △与HDC △中 BE DH EBC HDC BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ EBC HDC △≌△（SAS ） ∴ CE CH =，BCE DCH ∠=∠∴90ECH DCH ECD BCE ECD BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∴ ECH △为等腰Rt △ 又∵G 为EH 的中点 ∴EG GC ⊥，2ECGC=，故（1）中的结论仍然成立; (3）连接BD则2BD =，2AB =，∴1cos 2BE DBE BD ∠== ∴60DBE ∠=︒∴15ABE DBE ABD ∠=∠-∠=︒ ∴451530ABF ∠=︒-︒=︒ ∴3tan 3ABF ∠=； ∴33DE BE == ∴31DF DE EF =-=-2、（2014朝阳一模)24．在△ABC 中，CA ＝CB ，在△AED 中， DA ＝DE ，点D 、E 分别在CA 、AB 上，．（1）如图①，若∠ACB ＝∠ADE ＝90°，则CD 与BE 的数量关系是 ；(2）若∠ACB ＝∠ADE ＝120°,将△AED 绕点A 旋转至如图②所示的位置，则CD 与BE 的数量关系是 ；,（3)若∠ACB ＝∠ADE ＝2α（0°< α 〈 90°),将△AED 绕点A 旋转至如图③所示的位置，探究线段C D 与BE 的数量关系，并加以证明（用含α的式子表示)．解析：24.解：（1）BE ＝2CD ； ……………………………………………………………… 1分（2）BE ＝3CD ； ………………………………………………………………… 3分 （3）BE =2CD ·sin α． ……………………………………………………………… 4分 证明：如图,分别过点C 、D 作CM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AE 于点N ， ∵ CA ＝CB ，DA ＝DE ，∠ACB ＝∠ADE =2α ， ∴ ∠CAB ＝∠DAE ，∠ACM ＝∠ADN=α ,AM=12AB ，AN=12AE ． ∴∠CAD ＝∠BAE ． ……………………………………………………………… 5分Rt △ACM 和Rt △ADN 中，sin ∠ACM =AM AC,sin ∠ADN =ANAD ．∴ sin AM AN AC AD α==．∴ 2sin AB AE AC ADα==．……………………… 6分又 ∵∠CAD ＝∠BAE,∴ △BAE ∽△CAD ．E D B A C 图① E D B A C图③E D B A C图②QPED CBAQPEDCBAQ PED CBA∴2sin BE ABCD ACα== ∴ BE =2DC ·sin α． ……………………………………………………………… 7分 3、（2014东城一模）24. 如图1,已知∠DAC =90°，△ABC 是等边三角形,点P 为射线AD 上任意一点（点P 与点A 不重合），连结CP ，将线段CP 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CQ ，连结QB 并延长交直线AD 于点E . (1）如图1，猜想∠QEP = °；（2)如图2，3,若当∠DAC 是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP 的度数，选取一种情况加以证明；(3）如图3，若∠DAC =135°，∠ACP =15°，且AC =4，求BQ 的长． 解析：24。
2014年中考一模数学试卷
2014年中考一模数学试卷一、选择题：(本大题有l0小题，每小题4分，共40分。
请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不给分)1、下列各数中，最小的是( ) (A)-5 (B)2 (C)0 (D)．-12、雾霾天气对北京地区的人民造成严重影响，为改善大气质量，北京市政府决定投入7600 亿元治理雾霾，请你对7600亿元用科学记数法表示( )(A)7．6X 1010元 (B)76X 1010元 (C)7．6³lon 元 (D)7．6³l012元3、左下图为主视方向的几何体，它的俯视图是( )A.B. C. D.4、xx x x -=-11式子成立的条件是( )(A)X<1目x ≠0 （B ）x>0目．x ≠1 (C)0<x ≤l (D)0<x<15、下列说法错误的是( ) (A)16的平方根是±2(B)2是无理数(C)327-是有理数(D)22是分数 6、如图，定圆0的半径是3cm ，动圆P 的半径是lcm ，动圆在直线，上移动，当两圆相切 时，0P 的长是( )cm 。
(A)2或4 (B)2 (C)4 (D)37、如图，在3³3方格纸中，点A 、B 、C 、D 、E 、F 分别位于小正方形的格点上。
从A 、D 、 E 、F 四个点中任意选取两个不同的点，以所取得这两个点与点B 、C 为顶点画四边形，则所 画四边形是平行四边形的概率为( ) (A)21 (B)31 ( C) 41 ( D) 61 8、如图，把四张形状大小完全相同的小长方形卡片不重叠地放在一个底面为长方形(长为a ， 宽为b)的盒子底部，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则这两块阴影部分小长方 形周长的和为( )（Aa+2b (B)4a (C)4b (D)2a+b9、如图，圆柱形纸杯高8 cm ，底面周长为l2,cm ，在纸杯内壁离杯底2 Cem 的点C 处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在纸杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜 的最短距离为( ) (A)32(B)26 (C)10 (D)以上答案都不对10、如图，平面直角坐标系中，⊙01过原点O ，且⊙01与⊙02相外切，圆心O 1与O 2在X 轴正半轴上，⊙Ol 的半径O l P l 、⊙02的半径O 2P 2都与X 轴垂直，且点P l 、P 2在反比例函数xy 4= 的图像上，则△OP l P 2的面积为( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8二、填空题(本大题有6小题，每小题5分，共30分。
2014年北京市各城区中考一模数学——应用题18题汇总
2014年北京市各城区中考一模数学——应用题汇总1、（2014年门头沟一模）18．某建筑集团完成一路段的高架桥铺设任务，在合同期内高通过这段对话,请你求出该建筑集团原来每天铺设的米数.2、（2014年丰台一模）17.列方程或方程组解应用题：为了进一步落实“北京市中小学课外活动计划”，某校计划用4000元购买乒乓球拍，用6000元购买羽毛球拍,且购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量相同.已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵40元，求一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各是多少元．3、（2014年平谷一模）17. 端午节期间，某校“慈善小组”筹集善款600元，全部用于购买粽子到福利院送给老人.购买大枣粽子和豆沙粽子各花300元，已知大枣粽子比豆沙粽子每盒贵5元，结果购买的大枣粽子比豆沙粽子少2盒．请求出两种口味的粽子每盒各多少元?解题备注：4、（2014年顺义一模）18．重量相同的甲、乙两种商品，分别价值900元和1 500元，已知甲种商品每千克的价值比乙种商品每千克的价值少100元，分别求甲、乙两种商品每千克的价值．记者：5、（2014年石景山一模）18．某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，已知甲、乙型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元/台.（1）求该公司至少购买甲型显示器多少台？（2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案？解题备注：6、（2014年海淀一模）17．某市计划建造80万套保障性住房，用于改善百姓的住房状况. 开工后每年建造保障性住房的套数比原计划增加25%，结果提前两年保质保量地完成了任务. 求原计划每年建造保障性住房多少万套？7、（2014年西城一模）17. 某校甲、乙给贫困地区捐款购买图书，每班捐款总数均为1200元，已知甲班比乙班多8人，乙班人均捐款是甲班人均捐款的1.2倍，求：甲、乙两班各有多少名学生。
14、2014年北京市各城区中考一模数学—代几综合25题
2014年北京市各区中考一模数学—代几综合1、（2014年门头沟一模）25．概念：点P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“理想距离”．已知O（0，0），A，1），B（m，n），C（m，n+2）是平面直角坐标系中四点．（1）根据上述概念，根据上述概念，完成下面的问题（直接写答案）①当m=，n=1时，如图13-1，线段BC与线段OA的理想距离是；②当m=未找到引用源。
，n=2时，如图13-2，线段BC与线段OA的理想距离为；③当m=BC与线段OA则n的取值范围是 .（2）如图13-3，若点B落在圆心为A，半径为1的圆上，当n≥1时，线段BC与线段OA的理想距离记为d，则d的最小值为(说明理由)（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为1，线段BC的中点为G，求点G随线段BC 运动所走过的路径长是多少？2、（2014年丰台一模）25. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax c =+与x 轴交于点A （-2,0）和点B ，与y 轴交于点C （0,AC 上有一动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度向点C 移动，线段AB 上有另一个动点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，两动点同时出发，设运动时间为t 秒. （1）求该抛物线的解析式；（2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOC 相似?如果存在，请求出对应的t 的值;如果不存在，请说明理由.（3）在y 轴上有两点M （0，m ）和N （0，m+1），若要使得AM+MN+NP 的和最小，请直接写出相应的m 、t 的值以及AM+MN+NP 的最小值.3、（2014年平谷一模）25．在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c (b ，c 为常数)的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(0，–1)，C 的坐标为(4，3)，直角顶点B 在第四象限．(1)如图，若该抛物线过A ，B 两点，求b ，c 的值；(2)平移(1)中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与直线AC 交于另一点Q ．①点M 在直线AC 下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点，当以M ，P ，Q 三点为顶点的三角形是以PQ 为腰的等腰直角三角形时，求点M 的坐标； ②取BC 的中点N ，连接NP ，BQ ．当PQNP ＋BQ取最大值时，点Q 的坐标为________.4、（2014年顺义一模）25．设p q ，都是实数，且p q <．我们规定：满足不等式p x q ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[]p q ，．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当p x q ≤≤时，有p y q ≤≤，我们就称此函数是闭区间[]p q ，上的“闭函数”．（1）反比例函数2014y x=是闭区间[]12014，上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； （2）若一次函数()0y kx b k =+≠是闭区间[]m n ，上的“闭函数”，求此函数的解析式； （3）若实数c ，d 满足c d <，且2d >，当二次函数2122y x x =-是闭区间[]c d ，上的“闭函数”时，求c d ，的值．5、（2014年石景山一模）25．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C 的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a ：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h ：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”=S ah .例如：三点坐标分别为)2,1(A ，)1,3(-B ，)2,2(-C ，则“水平底”5=a ，“铅垂高”4=h ，“矩面积”20==S ah ．（1）已知点)2,1(A ，)1,3(-B ，),0(t P ．①若A ，B ，P 三点的“矩面积”为12，求点P 的坐标； ②直接写出A ，B ，P 三点的“矩面积”的最小值． （2）已知点)0,4(E ，)2,0(F ，)4,(m m M ，)16,(nn N ，其中0>m ，0>n . ①若E ，F ，M 三点的“矩面积”为8，求m 的取值范围；②直接写出E ，F ，N 三点的“矩面积”的最小值及对应n 的取值范围．6、（2014年海淀一模）25．对于平面直角坐标系x Oy中的点P（a，b），若点P'的坐标为（bak+，ka b+）（其中k为常数，且0k≠），则称点P'为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P'（1+42，214⨯+），即P'（3，6）．（1）①点P（-1，-2）的“2属派生点”P'的坐标为____________；②若点P的“k属派生点”P'的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P的坐标____________；（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P'点，且△OPP'为等腰直角三角形，则k的值为____________；（3）如图, 点Q的坐标为（0，），点A在函数y=0x<）的图象上，且点A是点B的“属派生点”，当线段B Q最短时，求B点坐标．7、（2014年西城一模）25. 定义1：在ABC ∆中，若顶点A ，B ，C 按逆时针方向排列，则规定它的面积为“有向面积”；若顶点A ，B ，C 按顺时针方向排列，则规定它的面积的相反数为ABC ∆的“有向面积”。
2014中考数学试题及答案)
2014年北京中考题数学题一、 选择题（本题共32分，每题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．2的相反数是（ ）．A ．2B ．2-C ．12-D ．122．据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300000吨，将300000用科学计数法表示应为（ ）．A ．60.310⨯B ．5310⨯C ．6310⨯D ．43010⨯3．如图，有6张扑克牌，从中随机抽取1张，点数为偶数的概率（ ）．A ．16 B ．14 C ．13D ．124．右图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）．A ．圆锥B ．圆柱C ．正三棱柱D ．正三棱锥5．某篮球队12名队员的年龄如下表所示：则这12A ．18，19 B ．19，19 C ．18，19.5 D ．19，19.56．园林队公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S （单位：平方米）与工作时间t （单位：小时）的函数关系的图像如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为（ ）．A ．40平方米B ．50平方米C ．80平方米D ．100平方米7．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，22.5A ∠=︒，4OC =，CD的长为（ ）．A ．B ．4C． D ．88．已知点A 为某封闭图形边界的一定点，动点P 从点A 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点P 的时间为x ，线段AP 的长为y ，表示y 与x 的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）．二．填空题（本体共16分，每题4分）9．分解因式：24ay 9x a -=___________________．10．在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为_________________m ．11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形O ABC 的边长为2．写出一个函数(0)ky k x=≠使它的图象与正方形OABC 有公共点，这个函数的表达式为______________．12．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P x y ，我们把点(1,1)P y x '-++叫做点P 伴随点，一直点1A 的伴随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ，点3A 的伴随点为4A ，这样依次得到点1A ，2A ，3A …，n A …，若点1A 的坐标为(3,1)，则点3A 的坐标为__________，点2014A 的坐标为__________；若点1A 的坐标为(,)a b ，对于任意正整数n ，点n A 均在x 轴上方，则a ，b 应满足的条件为_____________．三．解答题（本题共30分，每小题5分）13．如图，点B 在线段AD 上，BC DE ∥，AB ED =，BC DB =． 求证：A E ∠=∠．14．计算：()3-3tan30----+⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 15160π．15．解不等式2132121-≤-x x ，并把它的解集在数轴上表示出来．（添加图）16、已知x-y=3,求代数式（x+1 )2 - 2x + y(y-2x) 的值．17、已知关于x 的方程mx 2-(m+2)x+2=0（m≠0)． (1) 求证：方程总有两个实数根；(2) 若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值．18．列方程或方程组解应用题小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动汽车所需电费27．已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0．54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．19．如图，在ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF 交于点P，连接EF．PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．20．根据某研究院公布的2009-2013年我国成年国民阅读调查报告的部分数据，绘制的统计图表如下：2013年成年国民2009~2013年成年国民倾向的阅读方式人数分布统计图年人均阅读图书数量统计表根据以上信息解答下列问题：（1）直接写出扇形统计图中m的值；（2）从2009到2013年，成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等，估算2014年成年国民年人均阅读图书的数量约为_______本；（3）2013年某小区倾向图书阅读的成年国民有990人，若该小区2014年与2013年成年国民的人数基本持平，估算2014年该小区成年国民阅读图书的总数量约为_____本．21．如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线DB于点F，AF交⊙O于点H，连结BH．（1）求证：AC=CD；（2）若OB=2，求BH的长．22．阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．E图1 图2小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：∠ACE的度数为___________，AC的长为_____________．参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．五．解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，-2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．24．在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．（1）依题意补全图1；（2）若∠PAB=20°，求∠ADF的度数；（3）如图2，若45°<∠PAB < 90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．25． 对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y ，都满足-M≤y≤M ，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1） 分别判断函数y=x1（x > 0）和y= x + 1（-4 < x ≤ 2）是不是有界函数？若是有界函数，求边界值；（2） 若函数y=-x+1（a ≤ x ≤ b ，b > a ）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围；（3） 将函数2(1,0)y x x m m =-≤≤≥的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足143≤≤t ？2014年北京高级中等学校招生考试数学答案一.二.三. 解答题（本题共30分，每小题 5分）：13．（本小题满分5分）证明：∵ BC ∥DE∴ ∠ABC = ∠EDB ；在△ABC 和△EDB 中：AB = ED ；∠ABC = ∠ EDB ； BC = DB ；∴ △ABC ≌ △EDB ； ∴ ∠A = ∠E14.（本小题满分5分）解：原式 ===15.（本小题满分5分） 解： 移项得：；合并同类项得：系数化为1： x ≥在数轴上表示出来：16.（本小题满分5分） 解：化简代数可得： 原式 == =∵∴ 原式 == 417.（本小题满分5分） （1）证明：可知 △===== ≥0∴ 方程总有两个实数根。
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2014年北京市燕山地区初中毕业考试(即一模)数 学 试 卷题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效。
走。
一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是．．．．．符合题意的． 1．3-的绝对值是A.3B.3-C.31-D.312. 2014年2月14日从北京航天飞行控制中心获悉，嫦娥二号卫星再次刷新我国深空探测最远距离记录，达到7 000万公里，这是我国航天器迄今为止飞行距离最远的一次“太空长征” ．将7 000万用科学记数法表示应为A.6107⨯ B.7107⨯ C.8107⨯ D.8107.0⨯ 3．下列立体图形中，左视图是圆的是4. 小月的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，其中语文5页、数学 4页、英语3页，她随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是 数学试卷的概率是A.61 B.41C.31D.1255. 如右图所示，AB ∥CD ，点E 在CB 的延长线上． 若∠ABE ＝70°，则∠ECD 的度数为A.20°B.70° C .100° D.110°6. 下列正多边形中，内角和等于外角和的是A.正三边形B.正四边形C.正五边形D.正六边形7. 小贝家买了一辆小轿车,小贝记录了连续七天中每天行驶的路程:则小贝家轿车这七天行驶路程的众数和中位数分别是A.33, 52B.43,52C.43,43D.52,438．如图，点C 在线段AB 上，AB =8， AC =2，P 为线段CB 上一动点，点 A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转 后重合于点D .设CP =x ，△CPD 的面积为y . 则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是A. B. C . D. 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．若二次根式23-x 有意义，则x 的取值范围是 ． 10. 分解因式：=+-n mn n m 22． 11．为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一组标杆、皮尺，设 计了如图所示的测量方案．已知测量同 学眼睛A 、标杆顶端F 、树的顶端E 在 同一直线上，此同学眼睛距地面1.6m ， 标杆长为3.3m ，且m BC 1=，m CD 4=， 则树高=ED m ． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知点0P 的坐标为(1，0)，将线段0OP 绕点O 按顺时针方向旋转︒45，再将其长度伸长为0OP 的2倍，得到线段1OP ；又将线段1OP 绕点O 按顺时针方向旋转︒45，再将其长度伸P ACP BD树标杆人CDEF B A长为1OP 的2倍，得到线段2OP ，…，这样依次得到线段3OP ，4OP ，…，n OP ． 则点2P 的坐标为 ；当14+=m n (m 为自然数)时，点n P 的坐标为 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：00160sin 2122014)51(-+--．14．如图，︒=∠90AOB ,OB OA =，直线EF 经过点O ，EF AC ⊥ 于点C ，EF BD ⊥于点D ．求证: OD AC = ．15. 解分式方程：13932=-+-x xx ．16. 已知0132=--x x ，求2)12)(1()2(2--+-+x x x 的值．17.在“母亲节”到来之际，某校九年级团支部组织全体团员到敬老院慰问. 为筹集慰问金，团员们利用课余期间去卖鲜花．已知团员们从花店按每 支1.5元的价格买进鲜花共x 支，并按每支5元的价格全部卖出，若从 花店购买鲜花的同时，还用去50元购买包装材料．（1）求所筹集的慰问金y （元）与x （支）之间的函数表达式； （2）若要筹集不少于650元的慰问金，则至少要卖出鲜花多少支？D C FE B O A18.如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线l 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，OB OA <，且OA 、OB 的长分别是一元二次方程 01272=+-x x 的两根． （1）求直线AB 的函数表达式；（2）点P 是y 轴上的点，点Q 是第一象限内的点.若以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，请直接．．写出Q 点的坐标．四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19. 如图，在四边形ABCD 中，BC AD //，25=AB ，4=BC ，连接BD ，BAD ∠的平分线交BD 于点E ，且CD AE //． （1）求AD 的长；（2）若︒=∠30C ，求四边形ABCD 的周长．E D CBA20. 2014年春季，北京持续多天的雾霾天气让环保和健康问题成为人们关 注的焦点．为了美丽的北京和师生的身心健康，某校开展以“倡导绿色 出行，关爱师生健康”为主题的教育活动．为了了解本校师生的出行方 式，在本校范围内随机抽查了部分师生，将收集的数据绘制成下列不完 整的两种统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）m = ；（2）已知随机抽查的教师人数为学生人数的一半，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；（3）若全校师生共1800人，请你通过计算估计，全校师生乘私家车出行 的有多少人？学生出行方式扇形统计图21. 如图，点C 是以AB 为直径的圆O 上一点，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，点E 是BD 的中点，直线CE 交直线AB 于点F . （1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）若23=ED ，43tan =F ， 求⊙O 的半径.22. 阅读下面材料：如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平 行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对 边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．如图 1 所示，平行四边形ABEF 即为ABC ∆的“友好平行四边形”．请解决下列问题:（1）仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好矩形”；（2）若A B C ∆是钝角三角形，则ABC ∆显然只有一个“友好矩形”， 若ABC ∆是直角三角形，其“友好矩形”有 个；（3）若ABC ∆是锐角三角形，且BC AC AB <<，如图2，请画出ABC ∆的所有“友好矩形”；指出其中周长最小的“友好矩形”并说明理由.A五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. 已知关于x 的一元二次方程032)1(222=--++-k k x k x 有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）当k 取最小的整数时，求抛物线32)1(222--++-=k k x k x y 的顶点坐标以及它与x 轴的交点坐标；（3）将(2)中求得的抛物线在x 轴下方的 部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的 其余部分不变，得到一个新图象． 请你画出这个新图象，并求出新图象 与直线m x y +=有三个不同公共点 时m 的值．24.如图1，已知ABC ∆是等腰直角三角形，︒=∠90BAC ,点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接 AE ，BG ．（1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系是 ； （2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转)3600(︒≤<︒αα， ①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论； ②若4==DE BC ，当AE 取最大值时，求AF 的值．25. 定义：如果一个y 与x 的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y 与x 的“反比例平移函数”．例如:121+-=x y 的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到x y 1=的图象，则121+-=x y 是y 与x 的“反比例平移函数”．（1）若矩形的两边分别是2cm 、3cm ，当这两边分别增加x (cm )、y (cm )后，得到的新矩形的面积为82cm ，求y 与x 的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”．（2）如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为(9，0)、(0，3) ．点D 是OA 的中点，连接OB 、CD 交于点E ，“反比例平移函数”6-+=x kax y 的图象经过B 、E 两点．则这个“反比例平移函数”的表达式为 ；这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请写出这个反比例函数的表达式 ．（3）在（2）的条件下， 已知过线段BE 中点的一条直线l 交这个“反比例平移函数”图象于P 、Q 两点(P 在Q 的右侧)，若B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形面积为16，请求出点P 的坐标．2014年北京市燕山地区初中毕业考试数学试卷答案及评分参考 2014年4月一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）注：第12题第一空2分，第二空2分，写对一个给1分.(不写m 的取 值范围不扣分)三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：00160sin 2122014)51(-+--．． 33215-+-= ……………………4分34+= ……………………5分14．证明：∵EF BD EF AC ⊥⊥,，∴︒=∠=∠90ODB ACO ， ……………………1分 ∴︒=∠+∠90AOC A ， ∵︒=∠90AOB ，∴︒=∠+∠90BOD AOC ，∴BOD A ∠=∠． ……………………2分 在AOC ∆和OBD ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠.,,OB AO BOD A ODB ACO∴AOC ∆≌OBD ∆． …………………4分 ∴OD AC =． …………………5分 15. 解：9)3(32-=++x x x …………………2分93322-=++x x x …………………3分4-=x …………………4分 经检验，4-=x 是原分式方程的根. …………………5分16．解：原式=2)12(4422--+-++x x x x (2)分=2124422-+--++x x x x=332++-x x . …………………3分 ∵0132=--x x ，∴132=-x x .∴原式=3)3(2+--x x ， …………………4分=231=+-. …………………5分17.解：（1）505.350)5.15(-=--=x x y . …………………2分（2）当650≥y 时，即650505.3≥-x ， …………………3分解得200≥x . …………………4分答：若要筹集不少于650元的慰问金，至少要售出鲜花200支. …………………5分18.解：（1）∵01272=+-x x ， ∴0)4)(3(=--x x ， ∴31=x ，42=x .∴ 点A 的坐标为(3,0)，点B 的坐标为(0,4) ． ……………2分 ∵设直线AB 的函数表达式为)0(≠+=k b kx y∴⎩⎨⎧=+=.4,30b b k ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=434b k∴直线AB 的函数表达式为434+-=x y . ……………3分 （2）Q 点的坐标是(3，5)或(3, 825)． ……………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.解：（1）延长AE 交BC 于点F .∵AE 平分BAD ∠，∴DAF BAF ∠=∠. ∵BC AD //， ∴DAF AFB ∠=∠，GF ED CBA∴AFB BAF ∠=∠， ………1分∴25==AB BF . ∵4=BC ，∴23254=-=FC . ……………2分 ∵BC AD DC AF //,//，∴四边形AFCD 是平行四边形，∴23==FC AD .………3分 （2）过B 作AF 的垂线BG ，垂足为G .∵DC AF //，︒=∠=∠30C AFB ，在BGF Rt ∆中，435232530cos =⨯=︒⋅=BF GF ， ∴23543522=⨯===GF AF DC . ………………4分 ∴四边形ABCD 的周长.235823235425+=+++=+++=DA CD BC AB………………5分20.解：（1）20%； ………………1分（2）补全条形统计图如下图： ………………3分（3）902%2515%2515=÷÷+÷（人）24159=+（人）90180024⨯=480（人） ………………5分 答:全校师生乘私家车出行的有480人．21.（1）证明：连接CB 、OC ，∵AB 是直径， ∴︒=∠90ACB . ………………1分 ∴︒=∠90BCD . ∵E 是BD 的中点，∴EB CE =..90ACO CAB CBA CBEBCE ∠=∠=∠-︒=∠=∠，∴︒=∠90OCF ，∴CF OC ⊥. ………………2分 ∵OC 是⊙O 的半径，∴CF 是⊙O 的切线. ………………3分（2）解:∵E 是BD 的中点，BD 、CF 是⊙O 的切线，∴23==ED EB ，︒=∠=∠90OCF EBF . ∴23423tan =⨯==F BE BF ， ………………4分 ∴2522=+=BF EB EF . 设⊙O 的半径为r .∵BEF ∆∽COF ∆，∴22523+=r r ，∴3=r . ………………5分 ∴⊙O 的半径为3.22. 解：（1）三角形的一边与矩形的一边重合，三角形这边所对的顶点在矩形这边的对边上. ………………1分（2）2； ………………2分（3）画图: ………………3分F E D K H GC BA A周长最小的“友好矩形”是矩形ABHK . ………………4分 理由:易知这三个矩形的面积都等于ABC ∆的面积的一半，所以这三个矩形的面积相等,令其为S ,设矩形BCDE ，矩形CAFG ，矩形ABHK 的周长分别为1L 、2L 、3L ，ABC ∆的边长a BC =，b CA =，c AB =，(a b c <<)，则a a S L 221+=，b b S L 222+=，c cS L 223+=， ∴abS ab b a b b S a a S L L -⋅-=+-+=-)(2)22()22(21， 而S ab >，b a >，∴021>-L L ，即21L L >.同理可证32L L >. ……………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.解：（1）由题意，得01616)32(4)1(422>+=---+=∆k k k k ， ∴1->k ． ∴k 的取值范围为1->k ． …………2分（2）∵1->k ，且k 取最小的整数，∴0=k ．∴4)1(3222--=--=x x x y ，则抛物线的顶点坐标为)4,1(- …………………3分∵322--=x x y 的图象与x 轴相交，∴0322=--x x ，∴0)1)(3(=+-x x ，∴1-=x 或3=x ，∴抛物线与x 轴相交于)0,1(-A ，)0,3(B ． …………4分（3）翻折后所得新图象如图所示. …………5分平移直线m x y +=知: 直线位于1l 和2l 时，它与新图象有三个不同的公共点．①当直线位于1l 时，此时1l 过点)0,1(-A ，∴m +-=10，即1=m ． ………………6分 ② 当直线位于2l 时，此时2l 与函数)31(322≤≤-++-=x x x y 的图象有一个公共点，∴方程322++-=+x x m x ，即032=+--m x x 有两个相等实根，∴0)3(41=--=∆m ， 即413=m ． ………………7分 当413=m 时，2121==x x 满足31≤≤-x ， 由①②知1=m 或413=m ． 24. 解：（1）AE BG =； …………………2分（2）①成立．以下给出证明：如图，连接AD ，∵在 Rt BAC ∆中，D 为斜边BC 中点，∴ BD AD =，BC AD ⊥，∴︒=∠+∠90GDB ADG ． …………………3分 ∵四边形EFGD 为正方形，∴DG DE =，且︒=∠90GDE ，∴︒=∠+∠90ADE ADG ， ∴ADE BGD ∠=∠． ……4分在BDG ∆和ADE ∆中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,ED GD ADE BDG AD BD∴BDG ∆≌ADE ∆，∴AE BG =． ……………………5分 ②由①可得AE BG =，当BG 取得最大值时，AE 取得最大值．当旋转角为︒270时，AE BG =，最大值为642=+. ………6分 如图,此时13222=+=EF AE AF ． ……………………7分B AC DEGF25.解：（1）8)3)(2(=++y x ， ∴328-+=x y ………………1分 328-+=x y 向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到xy 8=．∴328-+=x y 是 “反比例平移函数”．……2分（2）“反比例平移函数”的表达式为692--=x x y . ……………3分 变换后的反比例函数表达式为xy 3=. ……………4分 （3）如图，当点P 在点B 左侧时，设线段BE 的中点为F ，由反比 例函数中心对称性，四边形PEQB 为平行四边形.∵四边形PEQB 的面积为16，∴PFB S ∆=4， ……………5分 ∵B (9,3)，F (6,2). 692--=x x y 是xy 3=的 “反比例平移函数”， ∴PFB S ∆=O E P S 1∆=4，E (3,1) 过E 作x 轴的垂线，与BC 、x 轴分别交于M 、N 点.111EMP O NE O CP O NMC E O P S S S S S ∆∆∆∆---=四边形.设),(001y x P ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=---⨯⨯--=.4)3)(1(213121213,30000000x y y x y y x 即⎩⎨⎧=-=.83,30000x y y x ………………6分B ACDE G F∴⎩⎨⎧==.3,100y x∴1P (1，3) ，∴点P 的坐标为（7，5）. ………………7分 当点P 在点B 右侧时，同理可得点P 的坐标为（15，37）. ………8分(注：本卷中许多试题解法不唯一,请老师们根据评分标准酌情给分)y=2x -9y C。