2016届高三11月月考数学试题

2016届高三年级冲刺一统模拟试卷数学 I参考公式(1) 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑nx i ．(2) 锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1. 已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则A B = ▲ ． 2. 复数i i z +-=2)21(的实部为 ▲ ．3. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取 ▲ 名学生．4. 从1、2、3、4这4个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数的和为5的概率为 ▲ ．5. 函数)62sin(2π-=x y 的图像中，离坐标原点最近的一条对称轴的方程为 ▲ ．6. 如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的 值为 ▲ ．7. 等比数列}{n a 的公比大于1，6,152415=-=-a a a a ， 则=3a ▲ ．（第6题）注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。

本试卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用的0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置。

3.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

8. 在平面直角坐标系中，直线0323=+-y x 被圆422=+y x截得的弦长为 ▲ ．9.一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的 ▲ 倍．10.已知点),1(m P 是函数xax y 2+=图像上的点，直线b y x =+是该函数图像在P 点处的切线，则=-+m b a ▲ ．11.设P 为ABC ∆中线AD 的中点，D 为边BC 中点，且2=AD ，若3-=∙PC PB ，则=∙AC AB ▲ ．12.已知函数(0)x y a b b =+>的图像经过点(1 3)P ，，如右图所 示，则411a b+-的最小值为 ▲ ． 13. 已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (2－x )≤f (1)的 解集为 ▲ ．14.已知函数()f x 是定义在[)1,+∞上的函数，且1|23|,12(),11(),222x x f x f x x --≤<⎧⎪=⎨≥⎪⎩　则函数2()3y xf x =-，则在区间 ()12015，上的零点 个数为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本题满分14分）已知2tan ),,2(-=∈αππα.（1）求)4sin(απ+的值；（2）求)232cos(απ-的值.（第12题）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，14AC BC CC M ⊥=，，是棱1CC 上的一点.（1）求证：BC AM ⊥；（2）若N 是AB 的中点，求证CN ∥平面1AB M .17．（本题满分14分）设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点为F ，短轴上端点为B ，连接BF 并延长交椭圆于点A ，连接AO 并延长交椭圆于点D ，过O F 、、B 三点的圆的圆心为C .（1）若C 的坐标为-1 1（，），求椭圆方程和圆C 的方程；（2）若AD 为圆C 的切线，求椭圆的离心率.18．（本题满分16分）为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m ，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD 区域为运动休闲区，其中A ，B 分别在半径OP ，OQ上，C ，D 在圆弧 PQ上，CD ∥AB ；△OAB 区域为文化展示区，AB长为；其余空地为绿化区域，且CD 长不得超过．．．．200 m ． （1）试确定A ，B 的位置，使△OAB 的周长最大？（2）当△OAB 的周长最大时，设∠DOC =2θ，试将运动休闲区ABCD 的面积S 表示为θ的函数，并求出S 的最大值．B CDQ（第18题）O若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点. 已知函数3()3ln 1()f x ax x x a R =+-∈. （1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间1(,)e e上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围.20．（本题满分16分）已知数列{}n a 中，11=a ，在21,a a 之间插入1个数，在32,a a 之间插入2个数，在43,a a 之间插入3个数，…，在1,+n n a a 之间插入n 个数，使得所有插入的数和原数列{}n a 中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列{}n b . （1）若194=a ，求{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足μλμλ,(2+=+n n b S 为常数），求{}n a 的通项公式.2016届高三年级11月考试卷数学Ⅱ 附加题部分注意事项1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效．21.【选做题】本题包括A,B,C,D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.(选修4-1：几何证明选讲) （本小题满分10分）已知AB 是圆O 的直径，P 是上半圆上的任意一点，PC 是APB ∠的平分线，E 是下半圆的中点. 求证：直线PC 经过点E.B.(选修4-2：矩阵与变换) （本小题满分10分）已知矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10021,2001N M ，试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式.C.(选修4-4：坐标系与参数方程) （本小题满分10分）已知直线l 的极坐标方程为sin()63p r q -=，圆C 的参数方程为10cos (10sin x y qq q ì=ïí=ïî为参数）.（1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程；（2）求直线l 被圆截得的弦长.D.(选修4-5：不等式选讲) （本小题满分10分）已知函数()12f x x x =-+-，若不等式()a b a b a f x ++-?对任意,a b R Î恒成立，求实数x 的取值范围.【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22.（本小题满分10分）已知A 为曲线2:410C x y -+=上的动点，定点(2,0)M -，若2AT TM =，求动点T 的轨迹方程.23.（本小题满分10分）已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//,90,AB CD DAB PA ?癪底面A B C D ,且11,2PA AD DC AB M ====是PB 的中点. （1）证明：平面PAD ^平面PCD ； （2）求AC 与PB 所成角的余弦值； （3）求平面AMC 与平面BMC 所成二面角（锐角）的余弦值.B2016届高三年级冲刺一统数学模拟试卷参考答案与评分标准（I 卷）说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1. {0,2}； 2. -3； 3. 60； 4.31； 5.6π-； 6. 7； 7. 4 8. 2； 9. 32 ； 10. 2； 11. 0； 12. 4.5 ; 13. [－1，＋∞); 14. 11 二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题．．卡指定的区域内作答．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 15. 解：（1）由2tan ),,2(-=∈αππα得552sin =α，55cos -=α ………………………………………………2分， απαπαπsin 4coscos 4sin)4sin(+=+……………………………………………………4分10101=………………………………………………………6分 （2）==αααcos sin 22sin 54- ………………………………………………………8分，53sin cos 2cos 22-=-=ααα ……………………………………………………10分103432sin 32sin 2cos 32cos )232cos(-=+=-απαπαπ… ……………… 14分 16. （1）证明：∵ABC ﹣A 1B 1C 1为直三棱柱，∴C 1C ⊥平面ABC ，∴BC ⊥C 1C ， 又BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面ACC 1A 1， ∵AM 在平面ACC 1A 1上，∴BC ⊥AM ． ………………………………………………………… 6分 （2）解：取AB 1的中点P ，连接MP ，NP ，∵P 为A B 1中点，N 为AB 中点，∴NP 为△AB B 1的中位线，∴NP ∥B B 1， 又∵C 1C ，B 1B 都是直三棱柱的棱，∴C 1C ∥B 1B ，∴MC ∥B 1B ，∴NP ∥CM ，∴NPCM 共面，∴CN ∥平面AB 1M …………………………………… 14分17. （1）因为三角形BFO 为直角三角形，所以其外接圆圆心为斜边BF 中点C ，由C 点坐标为)1,1(-得，2,2==c b ，所以222c b a +=8=，圆半径2==CO r ，所以椭圆方程为14822=+y x ，圆方程为2)1()1(22=-++y x ………………………4分 （2）由AD 与圆C 相切，得 CO AD ⊥ BF 方程为b x cby +=由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=12222b y a x b x c b y 得),)(2(2232222c a b c a c c a A +-+- ……………………………………10分 0=∙OC OA 得2242c a b =，222222)(c a c a =-044224=+-c c a a ，32-=e ………………………………………………14分18. （1）设(0200]OA m OB n m n ==∈，，，，， 在△OAB 中，22222cos3AB OA OB OA OB π=+-⋅⋅，即222m n mn =++， …………………2分所以，22222()3()()()44m n m n mn m n m n +=+-+-=+≥，所以100m n +≤，当且仅当m =n =50时，m n +取得最大值，此时△OAB 周长取得最大值．答：当OA OB 、都为50 m 时，△OAB 的周长最大． ……………………………………6分（2）当△AOB 的周长最大时，梯形ACBD 为等腰梯形．过O 作OF ⊥CD 交CD 于F ，交AB 于E ，BCDQ（第18题）OE F则E F 、分别为AB ，CD 的中点，所以DOE θ∠=，由CD 200≤，得(0]6 θπ∈，． ……………………………………8分在△ODF 中，200sin 200cos DF OF θθ==，． 又在△AOE 中，cos253OE OA π==，故200cos 25EF θ=-． …………………………10分所以，1400sin )(200cos 25)2S θθ=-=8sin )(8cos 1)θθ-8sin 64sin cos θθθθ=-+，(0]6θπ∈，．（不交代范围扣2分）12分令()8sin 64sin cos f θθθθθ=-+(0]6θπ∈，，()8cos 64cos216sin()64cos26f θθθθθθπ'=--+=-++，(0]6 θπ∈，，又y =16sin()6πθ-+及y =cos 2θ在(0]6θπ∈，上均为单调递减函数，故()f θ'在(0]6θπ∈，上为单调递减函数．因1()4)62f π'=--⨯＞0，故()f θ'＞0在(0]6θπ∈，上恒成立，于是，()f θ在(0]6θπ∈，上为单调递增函数． …………………………………………… 14分所以当6θπ=时，()f θ有最大值，此时S 有最大值为625(8+．答：当6θπ=时，梯形ABCD 面积有最大值，且最大值为625(8+ m 2．……………16分 19. 解：（1）当a =0时，f （x ）=3x ln x ﹣1的定义域为（0，+∞），f ′（x ）=3ln x +3=3（ln x +1），故f （x ）=3x ln x ﹣1在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数；故f （x ）在x =时取得极小值f （）=﹣3﹣1；…………………………………………4分 （2）函数f （x ）=ax 3+3x ln x ﹣1的定义域为（0，+∞）， f ′（x ）=3（ax 2+ln x +1），令g （x ）=ax 2+ln x +1，则g′（x ）=2ax +1x =221ax x+，当a ＞0时，g ′（x ）＞0在（0，+∞）恒成立， 故'()f x =3（ax 2+ln x +1）在（0，+∞）上是增函数， 而1'()f e =3[a （1e ）2+ln 1e +1]=3a （1e）2＞0， …………………………………………6分 故当x ∈（1e，e ）时，'()f x ＞0恒成立， 故()f x 在区间（1e ，e ）上单调递增，故()f x 在区间（1e，e ）上没有极值点； …………………………………………10分当a =0时，由（1）知，()f x 在区间（1e，e ）上没有极值点；当a ＜0时，令221ax x +=0解得，x故()g x =a x 2+ln x +1在（0+∞）上是减函数，…12分 ①当g （e ）•g （1e ）＜0，即﹣22e＜a ＜0时， g （x ）在（1e ，e ）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号， ②令g （1e ）=0得2ae=0，不可能； …………………………………………14分③令g （e ）=0得a =﹣22e 1e ，e ），而g =g （2e ）=+ln 2e ＞0，又g （1e）＜0， 所以g （x ）在（1e，e ）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，综上所述，实数a 的取值范围是[﹣22e，0）．…………………………………………16分20. 解：（1）设{}n b 的公差为d ，由题意：数列{}n b 的前几项为：1121,b a b ==324563789104,,,,,,,,19b a b b b a b b b b a ==== …………………………2分4a 为{}n b 的第10项，则1019b b d =+， ………………………………………4分2d =，而11b =，故数列{}n b 的通项公式为n b 12(1)21n n =+-=-.……………………………………6分（2n b μ+（,λμ为常数），得2222()2n n n n S b b b λμμμ+=+=++，……① 当1n =得：2212λμμ+=++，……②当2n ≥时，2211122n n n S b b λμμ---+=++， ……③①-③得221122()n n n n n b b b b b μ--=-+-， ………………………………………8分则12()2(2)2n n n n b d b b d d b d d μμ-=++=-+，若0d =，则11n b b ==，代入④式，得20=，不成立； ……………………………10分 当2n ≥，2(22)2n d b d d μ-=-=常数……④恒成立，又{}n b 为正项等差数列，当0d ≠时，n b 不为常数，则2220,20,d d d μ-=⎧⎨-=⎩得11,2d μ==， 代入②式，得14λ=. ………………………………………12分 所以等差数列{}n b 的首项为11b =，公差为1d =，则n b n =.设{}n a 中的第n 项为数列{}n b 中的第k 项，则n a 前面共有{}n a 的1n -项，又插入了(1)123(1)2n n n -++++-= 项，则：(1)(1)12n n k n -=-++22n n += 故22n k n n a b k +===. ………………………………………16分 数学Ⅱ 附加题部分21.A 证明： 连结,,AE EB OE ，则o 90AOE BOE ∠=∠=． …………………………………2分 因为APE ∠是圆周角，AOE ∠同弧上的圆心角， 所以o 1452APE AOE ∠=∠=． ………………………5分同理可得，o 45BPE ∠=，所以PE 是APB ∠的平分线． …………………………………8分 又PC 也是APB ∠的平分线，APB ∠的平分线有且只有一条，所以PC 与PE 重合. 所以直线PC 经过点E . ………………………10分21.B 解：MN =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=10202⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦， …………………………………4分 即在矩阵MN 变换下11022022x x x x y y y y ⎡⎡⎤⎤'⎡⎡⎡⎤⎤⎤⎢⎢⎥⎥→==⎢⎢⎢⎥⎥⎥⎢⎢⎥⎥'⎦⎦⎦⎣⎣⎣⎢⎣⎦⎦⎣， ………………………………6分 1,22x x y y ''==， ………………………………8分 代入得：1sin 22y x ''=， 即曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式为2sin 2y x =．……………………10分21.C 解：（1）由 πsin()63ρθ-=，得1(sin )62ρθθ=:12y ∴=120y -+=.圆的方程为22100x y +=. ………………………………6分（2）6,10d r == ，弦长16l =. ………………………………10分22. 解：设00(,),(,)T x y A x y ，则200410x y -+=，①又(2,0)M -，由2AT TM = 得00(,)2(2,0)x x y y x y --=---， ………………………………5分0034,3x x y y ∴=+=，代入①式得24(34)310x y +-+=，即为所求轨迹方程. ………………………………6分23.解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则1(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,2,0),(1,1,0),(0,1,)2A D PBC M ， （1）证明：因为(0,0,1),(0,1,0)AP DC == ，0,AP DC AP DC ⋅=⊥ 故所以，由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD ，又DC ⊂面PCD ，故平面PAD ⊥面PCD .……………………………4分（2）因(1,1,0),(0,2,1),AC PB ==-|||2,AC PB AC PB ∴==⋅=cos ,||||AC PB AC PB AC PB ⋅∴<>==⋅ ………………………………7分 （3）设平面AMC 的一个法向量为1111(,,)n x y z = ，则1n AM ⊥ ，11111111(,,)(0,1,)022n AM x y z y z ∴⋅=⋅=+= ， 又1n AC ⊥ ，111111(,,)(1,1,0)0n AC x y z x y ∴⋅=⋅=+= ，取11x =，得111,2y z =-=，故1(1,1,2)n =- ，同理可得面BMC 的一个法向量为2(1,1,2)n = ， ………………………………8分1212122cos ,3n n n n n n ⋅<>== ， ∴平面AMC 与平面BMC 所成二面角（锐角）的余弦值为23. ………………………………10分。