北师大版广东省阳江第一中学高中数学 《解三角形》小结与复习导学案 必修5
高中数学《解三角形》学案1 北师大版必修5
解三角形【学法导航】处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1.三角形中的边角关系 三角形内角和等于180°；三角形中任意两边之和大小第三边，任意两边之差小于第三边； 三角形中大边对大角，小边对小角；正弦定理中,a =2R ·sin A ,b =2R ·sin B ,c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. 在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. 三角形的面积公式有:S =21ah ,S =21ab sin C ,S =))(()(c P b P a P P --⋅-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2.利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理.已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. 已知三边，求三个角，常选用余弦定理.已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. 已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3.利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4.解斜三角形在实际中的运用 5．三角形的面积公式：（1）△＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）△＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；（3）△＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝)sin(2sin sin 2B A BA c +；（4）△＝2R 2sin A sin B sin C 。
高中数学 第二章《解三角形》教案 北师大版必修5
北师大版高中数学必修5 第二章《解三角形》全部教案一、教学目标1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
2、过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
3、情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
二、教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。
教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ A 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.探析新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==, A 则sin sin sin a b c c A B C=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==C a B (图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin abAB=sin cC=A c B(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
北师大版高中数学必修五教材分析与导入设计解三角形的实际应用举例复习教案
2.3解三角形的实际应用举例本节教材分析为了突出正弦定理、余弦定理在解决一些与三角形有关的实际问题中的作用，教材设置了不同问题情境的例题.目的是为了进一步强化数学建模的思想方法，即：从实际出发，经过抽象概括，转化为具体问题中的数学模型，通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解.三维目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。
采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。
通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。
教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。
作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间情感与价值：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件教学建议：1.本节教学，要注意贯穿数学建模的思想，在例题的分析解决过程中，让学生讨论归纳出街应用题的一般思路，建立数学模型.2.如果有条件，最好采用多媒体演示例题中模型，帮助学生理解问题的背景，建立模型，同时要求学生要注意观察周围生活中的事物.新课导入设计导入一: [问题导入现实生活中，人们又是怎样测量底部不可到达建筑物的高度呢？通过学习本节你将轻松愉快地测量出山高和工厂的烟囱高，在学生踊跃的状态下由此展开新课.导入二：(情景导入)你有坐汽车（或者火车）经过山前水平公路的经历吗？如果身边带着测角仪，那么根据路标（100米杆）就会立即测算出你所看到的山的高度.利用正弦定理、余弦定理你也会马上算出来，在学生急切想知道如何计算山高的期待中导入新课解三角2.3形的实际应用举例（2）本节教材分析为了突出正弦定理、余弦定理在解决一些与三角形有关的实际问题中的作用，教材设置了不同问题情境的例题.目的是为了进一步强化数学建模的思想方法，即：从实际出发，经过抽象概括，转化为具体问题中的数学模型，通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解.三维目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。
高中数学 2.1.3解三角形的进一步讨论 复习教案 北师大版必修5
a 2 b 2 c 2 A是直角 ABC是直角三角形 a 2 b 2 c 2 A是钝角 ABC是钝角三角形 a 2 b 2 c 2 A是锐角 ABC是锐角三角形
（注意： A是锐角 ABC是锐角三角形 ） [随堂练习 2] （1）在 ABC 中，已知 sin A :sin B :sin C 1:2:3 ，判断 ABC 的类型。 （2）已知 ABC 满足条件 a cos A b cos B ，判断 ABC 的类型。 （答案： （1） ABC是钝角三角形 ； （2） ABC 是等腰或直角三角形） 例 3．在 ABC 中， A 600 ， b 1 ，面积为 Ⅲ.课堂练习 （1）在 ABC 中，若 a 55 ， b 16 ，且此三角形的面积 S 220 3 ，求角 C （2）在 ABC 中，其三边分别为 a、b、c，且三角形的面积 S （答案： （1） 600 或 1200 ； （2） 450 ） Ⅳ.课时小结 （1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； （2）三角形各种类型的判定方法； （3）三角形面积定理的应用。 Ⅴ.课后作业 （1）在 ABC 中，已知 b 4 ， c 10 ， B 300 ，试判断此三角形的解的情况。 （2）设 x、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长，求实数 x 的取值范围。 （3）在 ABC 中， A 600 ， a 1 ， b c 2 ，判断 ABC 的形状。 （4）三角形的两边分别为 3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程 5x 2 7x 6 0 的根， 求这个三角形的面积。 教学反思
3 a b c ，求 的值 2 sin A sin B sin C
a2 b2 c2
广东省阳江第一中学高中数学 《三角恒等变换》小结与
三角恒等变换小结与复习【复习要点】 1.熟记以下公式：用β-代β常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简、求值、证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变换如：①2α是的二倍；4α是的二倍；α是的二倍；2α是二倍；3α是的二倍；3α是的二倍；22πα±是的二倍.②()ααββ=+-；③()424πππαα+=--；④2()()()()44ππααβαβαα=++-=+--等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
如在三角函数中正余弦是基础，通常切化弦，变异名为同名.（3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：221sin cos sin90tan45αα=+=︒=︒.（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。
常用降幂公式有：， .降幂并非绝对，有时要升幂，如对无理式常用升幂公式有：， . （5）sin cosa bαα+= = ；（其中sinϕ= ；cosϕ= .）运算通常从“角、名、形、幂”四方面入手：的三角函数互化.【课内探究】例1. 已知35123cos(),sin(),(,),(0,)45413444πππππαβαβ-=+=-∈∈，求sin()αβ+的值.变式. 已知11cos cos,sin sin23αβαβ+=+=，求cos()αβ-的值.例2. 若34παβ+=，求(1tan)(1tan)αβ--的值；变式.化简：tan70cos10201)︒︒︒-例3. 已知33cos,52πθπθ=-<<，求2(sin cos)22θθ-的值.变式. 已知1sin cos5αα-=，0απ≤≤，求sin(2)4πα-的值.例4. 已知函数f x x x x ()sin sin cos =++2312.（1）求函数f x ()的最小正周期； （2）求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量x 的集合；（3）求函数的单调增区间.【反馈检测】1. sin cos sin cos 15151515o oo o +-的值为（ ）A. 33B. 264+ C. 264-D. -3 2. 1232cos sin αα-可化为（ ）A. sin πα6-⎛⎝ ⎫⎭⎪B. sin πα3-⎛⎝ ⎫⎭⎪C. sin πα6+⎛⎝ ⎫⎭⎪ D. sin πα3+⎛⎝ ⎫⎭⎪3. 若αβπ、，∈⎛⎝ ⎫⎭⎪02，且tan tan αβ==4317，，则αβ-的值是（ ）A. π3 B. π4 C. π6 D. π84. 函数x x x y 2cos cos sin 8=的周期为T ，最大值为A ，则（ ）A. T A ==π，4B. T A ==π24， C. T A ==π，2 D. T A ==π22，5. tan 20tan 4020tan 40︒+︒+︒︒的值是 .6. 已知sin cos αα+=13，则cos4α=_____________.7. 已知,αβ都是锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，求sin β的值.8. 设函数()sin cos )cos ()f x x x x x x R π=+∈ .（1）求()f x 的最小正周期；（2）若函数()y f x =的图象向右平移4π 个单位,后得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在[0,]4π上的最大值.9. 已知函数2()(cos sin cos )f x a x x x b =++. （1）当0a >时，求()f x 的单调递增区间；（2）当0a <且[0,]2x π∈时，()f x 的值域是[3,4],求,a b 的值.。
高中数学必修5新教学案：第一章解三角形小结与复习
第一章 解三角形小结和复习(学案)【知识归类】1．正弦定理：在△ABC 中，R Cc B b A a 2sin sin sin === 注意：（1）R 表示△ABC 外接圆的半径；（2）正弦定理可以变形成各种形式来使用；（3）使用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它．（4）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，具体后面例题再进一步分析.2.余弦定理：在△ABC 中，A bc c b a cos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=变形为：bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，abc b a C 2cos 222-+= 注意：（1）使用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它③已知两边和夹角，求其它；（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；（3）正、余弦定理可以结合使用；3.△ABC 的面积公式，B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===. 4.三角形形状的判定方法常用两种途径：（1）由正余弦定理将边转化为角；（2）由正余弦定理将角转化为边；注：化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和和差的三角公式等综合结合起来.5.解三角形的使用可大体上把它分成以下三类：（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）； （3）角度问题； （4）面积问题.【题型归类】题型一：正弦定理的使用例1 （1）在△ABC 中， A=030，B=045，a=6,求c ；（2）在△ABC 中，A=030，b=4，a=3,则cosB ；（3）在ΔABC 中，B=030，b=350,c=150,求a. 题型二：余弦定理的使用例2（1）在△ABC 中， a=2，B=060，c=4,求b ；（2）在△ABC 中， a=7，b=3，c=5, 求最大角和sinC ；（3）在△ABC 中， a=3，b=2，045=B ,求c.题型三：判定下列三角形的形状例3（1）在△ABC 中，已知C B A 222sin sin sin <+，判断△ABC 的形状； （2）在△ABC 中，已知bc a A ==2,21cos ，判断△ABC 的形状； （3）在△ABC 中，若c a b B +==2,600，试判断△ABC 的形状. 变式练习：设12,,12-+a a a 为钝角三角形的三边，求实数a 的取值范围？题型四：三角形的面积例4 （1）在△ABC 中，已知87cos ,6,0222===--A a c bc b ，求△ABC 的面积；（2）在△ABC 中，,32,300==AB B 面积,3=S 求;AC(3) 在△ABC 中，边b a ,的长是方程0252=+-x x 的两个根，,600=C 求边C 的长. 题型五：三角形恒等式例5 在ABC ∆中，求证AB A c b B c a sin sin cos cos =--. 例6 如图，港口A 北偏东030方向的C 处有一观测站，港口正东方向的B 处有一轮船，测得BC 为nmile 31，该轮船从B 处沿正西方向航行nmile 20后到D 处，测得CD 为nmile 21，问此时轮船离港口A 还有多远？【思想方法】1.数学思想：函数和方程、转化和化归、分类讨论的数学思想.2.数学方法: 数学计算方法、公式法、转化和化归的方法、建模法等.【自主检测】一．选择题1．在△ABC 中，若3:2sin :sin =B A ，则边=a b :（ ）.（A ）492:3：或 （B ）32：（C ） 49：（D ）23：.2．在△ABC 中，已知A=30°，a=8，b=38则三角形的面积为（ ）．（A ）332 （B ）16 （C ）332或16 （D ）332或316．3在△ABC 中，A 、B 、C 所对边分别为a,b,c 且bc a c b c b a 3))((=-+++，则A 等于（ ）．（A ）6π （B ）3π （C ）4π （D ）32π 4.在△ABC 中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则∙的值为（ ）．（A ）19（B ）-14 （C ）-18 （D ）-19 5.若cC b B a A cos cos sin ==，则△ABC 的形状为（ ）. （A ）等边三角形 （B ）等腰直角三角形（C ）有一个角为30°的直角三角形 （D ）有一个角为30°的等腰三角形.6. 在直角三角形中，A 、B 为两锐角，则B A sin sin 中（ ）（A ）有最大值21和最小值0 （B ）有最大值21和无最小值 （C ）无最大值也无最小值（D ）有最大值1，但无最小值.二、真空题： 7.在△ABC 中，若B=30°，AB=32，AC=2，则△ABC 的面积为 .8. 已知三角形的三边成公差为2的等差数列，且它的最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为 .9.若以2，3，x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围是 .10.△ABC 中，若AB=1，BC=2，则角C 的取值范围是 .三、解答题：11.已知c b a ,,是ABC ∆中角C B A ,,的对边，且0322,0222=+-+=---c b a c b a a ，求这个三角形的最大内角.12.在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，a,b 是方程02322=+-x x 的两个根，且21)cos(=+B A . 求（1）角C 的度数；（2）AB 的长；（3）△ABC 的面积. 第一章 解三角形小结和复习(教案)【知识归类】1．正弦定理：在△ABC 中，R Cc B b A a 2sin sin sin === 注意：（1）R 表示△ABC 外接圆的半径；（2）正弦定理可以变形成各种形式来使用；（3）使用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它．（4）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，具体后面例题再进一步分析.2.余弦定理：在△ABC 中，A bc c b a cos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+= 变形为：bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，abc b a C 2cos 222-+= 注意：（1）使用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它③已知两边和夹角，求其它；（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；（3）正、余弦定理可以结合使用；3.△ABC 的面积公式，B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===. 4.三角形形状的判定方法常用两种途径：（1）由正余弦定理将边转化为角；（2）由正余弦定理将角转化为边；注：化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和和差的三角公式等综合结合起来.5.解三角形的使用可大体上把它分成以下三类：（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）；（3）角度问题；（4）面积问题.【题型归类】题型一：正弦定理的使用例1 （1）在△ABC 中， A=030，B=045，a=6,求c ；（2）在△ABC 中，A=030，b=4，a=3,则cosB ；（3）在ΔABC 中，B=030，b=350,c=150,求a. 【审题要津】这里已知两角和一边或两边和一对角，适合正弦定理解决的类型.解：（1）0000030,4518003045105.A B C ==∴=--=由正弦定理得006sin1053.sin sin sin 30c a c C A =∴== （2）由正弦定理得0sin sin 4sin 302sin .33B A B b a =∴==又由三角函数同角基本关系得cos B ==(3) 由正弦定理得0sinsin sin c b C C B =∴== 0000150,60C C <<∴=或0120.C =当060C =时，0018090,A B C a =--=∴==当0120C =时，0018030,A B C a =--=∴==故a =a =【方法总结】当已知两边和一对角，求其它时，可能有无解、一解或两解，注意讨论.题型二：余弦定理的使用例2（1）在△ABC 中， a=2，B=060，c=4,求b ；（2）在△ABC 中， a=7，b=3，c=5, 求最大角和sinC ；（3）在△ABC 中， a=3，b=2，045=B ,求c.【审题要津】这里已知两边和夹角或三边求其它，适合余弦定理解决的类型；当已知两边和一对角，求其它时也可使用余弦定理.解：（1）由余弦定理得22202cos 416224cos6012b a c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=（2）a c b A >>∴∠为最大角. 由余弦定理得22201cos ,120,22b c a A A bc +-==-∴=又由正弦定理得sin 5sin 7c A C a ===（3）由余弦定理得222202cos 32cos 452b a c ac B c c =+-=+-⨯=，解得c =或c = 【方法总结】正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，注意难易方法的选择.题型三：判定下列三角形的形状例3（1）在△ABC 中，已知C B A 222sin sin sin <+，判断△ABC 的形状； （2）在△ABC 中，已知bc a A ==2,21cos ，判断△ABC 的形状； （3）在△ABC 中，若c a b B +==2,600，试判断△ABC 的形状. 【审题要津】这里已知边和角判断△ABC 的形状，正确选择正、余弦定理进行解决.解：（1）由正弦定理得222222a b c R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222222,0.a b c a b c ∴+<∴+-<由余弦定理得222cos 02a b c C C ab+-=<∴∠，故△ABC 为钝角三角形. （2）060,21cos =∴=A A , 又.2122cos ,,21cos 222222=-+=-+=∴==bc bc c b bc a c b A bc a A ().,02c b c b =∴=-∴ 故△ABC 为等边三角形.（3）解法1由正弦定理得.sin sin sin 2C A B +=,120,120,60000C A C A B -==+∴= ().sin 120sin 60sin 200C C +-=∴ 展开得.1cos 21sin 23=+C C .609030,1)30sin(0000=∴=+∴=+∴C C C ,600=∴A 故△ABC 为等边三角形.解法2由余弦定理得2222cos .b a c ac B =+- ,60cos 22,2,6002220ac c a c a c a b B -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴+== 整理得()20,.a c a c b -=∴==故△ABC 为等边三角形.【方法总结】常用两种途径：（1）由正余弦定理将边转化为角；（2）由正余弦定理将角转化为边；注：化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和和差的三角公式等综合结合起来.变式练习：设12,,12-+a a a 为钝角三角形的三边，求实数a 的取值范围？ 解：12,,12-+a a a 为钝角三角形的三边，⎪⎩⎪⎨⎧>->>+∴0120012a a a 解得,21>a 此时12+a 最大，∴要使12,,12-+a a a 是三角形的三边，还需,1212+>+-a a a得.2>a设最长边12+a 所对的角为θ，则()()0128cos <--=a a a a θ，解得,218>>a 故a 的取值范围为.28>>a题型四：三角形的面积例4 （1）在△ABC 中，已知87cos ,6,0222===--A a c bc b ，求△ABC 的面积； （2）在△ABC 中，,32,300==AB B 面积,3=S 求;AC (3) 在△ABC 中，边b a ,的长是方程0252=+-x x 的两个根，,600=C 求边C 的长.【审题要津】这里已知边和角求△ABC 的面积或变形使用面积公式求解.解：（1）bcc b A 2687,87cos 22-+=∴= . ()().42,02222==∴=+-=--∴c b c b c b c bc b.215,815871sin ,87cos 2=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴=∆ABC S A A (2) ,32,300==AB B ,3=S.2,30sin 3221sin 2130==∴⨯⨯⨯===∴AC a a B ac S (3) 边b a ,的长是方程0252=+-x x 的两个根，.2,5==+∴ab b a().19,192122cos 2,6022220=∴=⨯--+=-+=∴=c ab ab b a C ab b a c C 【方法总结】根据三角形的面积A bc B ac C ab S sin 21sin 21sin 21===知关键在于两邻边的乘积和夹角的正弦值的积，结合条件直接使用或整体求解.题型五：三角形恒等式例5 在ABC ∆中，求证AB A c b B c a sin sin cos cos =--. 【审题要津】由左边看出含有角和边，可由余弦定理将角的余弦值转化为边的比值，再由正弦定理化变为角的正弦；左边中分子、分母的边是齐次式可由正弦定理将边转化为角求的.证明：解法1 化角为边得：左边()()====-+--+-=A B A R B R a b bca cbc b b c a c a sin sin sin 2sin 22222222右边. 故原等式成立.解法2化边为角得：左边AC C A B C C B A C B B C A cos sin )sin(cos sin )sin(cos sin sin cos sin sin -+-+=∙-∙-= ==AB sin sin 右边. 故原等式成立.【方法总结】解决此类题时，既要用到三角形有关的恒等式，又要用到任意角的三角函数的恒等式；证明时注意分析等式两边的形式是边还是角，便于从正余弦定理转化证得.题型六：使用题例6 如图，港口A 北偏东030方向的C 处有一观测站，港口正东方向的B 处有一轮船，测得BC 为nmile 31，该轮船从B 处沿正西方向航行nmile 20后到D 处，测得CD 为nmile 21，问此时轮船离港口A 还有多远？【审题要津】要求AD 的长，在ACD ∆中，只要求出ACD ∠即可，可由正弦定理求解；要求ACD ∠，可在CDB ∆中，由余弦定理求解CDB ∠.解：易知060=∠A ，设,,βα=∠=∠CDB ACD 在BCD ∆中，由余弦定理得：,712cos 222-=∙-+=BD CD BC BD CD β .734)71(1sin 2=--=∴β.143560sin cos 60cos sin )60sin(sin 000=-=-=∴βββα 在ACD ∆中，由正弦定理得：,sin sin αAD A CD =).(15sin sin nmile ACD AD ==∴α 故此时轮船离港口A 还有.15nmile 【方法总结】正余弦定理在实际使用中很广泛，常见题有：距离、高度、角度等问题；解决时，首先要认真分析题意，找出各量间的关系，根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形模型（数学建模），然后利用正余弦定理求解，最后将结果转化为实际问题.【思想方法】1.数学思想：函数和方程、转化和化归、分类讨论的数学思想.2.数学方法: 数学计算方法、公式法、转化和化归的方法、建模法等.【自主检测题】一．选择题：1．在△ABC 中，若3:2sin :sin =B A ，则边=a b :（ D ）.（A ）492:3：或 （B ）32：（C ） 49：（D ）23：.2．在△ABC 中，已知A=30°，a=8，b=38则三角形的面积为（D ）（A ）332 （B ）16 （C ）332或16 （D ）332或3163．在△ABC 中，A 、B 、C 所对边分别为a,b,c 且bc a c b c b a 3))((=-+++，则A 等于（ B ）（A ）6π （B ）3π （C ）4π （D ）32π 4.在△ABC 中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则BC AB ∙的值为（ D ）（A ）19（B ）-14 （C ）-18 （D ）-19 5.若cC b B a A cos cos sin ==，则△ABC 的形状为（ B ）. （A ）等边三角形 （B ）等腰直角三角形（C ）有一个角为30°的直角三角形 （D ）有一个角为30°的等腰三角形.6. 在直角三角形中，A 、B 为两锐角，则B A sin sin 中（ B ）（A ）有最大值21和最小值0 （B ）有最大值21和无最小值 （C ）无最大值也无最小值（D ）有最大值1，但无最小值.二、真空题：7.在△ABC 中，若B=30°，AB=32，AC=2，则△ABC 的面积为 8. 已知三角形的三边成公差为2的等差数列，且它的最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为4315 . 9.若以2，3，x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围是()13,5 . 10.△ABC 中，若AB=1，BC=2，则角C 的取值范围是 ⎥⎦⎤ ⎝⎛6,0π . 三、解答题：11.已知c b a ,,是ABC ∆中角C B A ,,的对边，且0322,0222=+-+=---c b a c b a a ，求这个三角形的最大内角.解：0322,0222=+-+=---c b a c b a a ，.0)32(22=++---∴b a b a a ()()()().341,1341324122+=+-=--=∴a c a a a a b .032,02>--∴>a a b ,.3>∴a ().03.21<+-=-∴a c b .c b <∴又()(),01341>--=-a a a c .a c >∴故是△ABC 中最大的边. 由余弦定理得.212))((2cos 2222-=-++=-+=ab c b c b a ab c b a C 0120=∴C12.在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，a,b 是方程02322=+-x x 的两个根，且21)cos(=+B A . 求（1）角C 的度数；（2）AB 的长；（3）△ABC 的面积.（1）C=120°（2）AB=10（3）23=∆ABC S。
北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》之《解三角形》小结与复习
第十课时《解三角形》本章小结与复习一、教学目标：1、熟练掌握三角形中的边角关系：掌握边与角的转化方法；掌握三角形的形状判断方法。
2、通过本节学习，要求对全章有一个清晰的认识，熟练掌握利用正、余弦定理理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向杰斜三角形类型问题的转换，逐步提高数学知识的应用能力。
3、注重思维引导及方法提炼，展现学生的主题作用，关注情感的积极体验，加强题后反思环节，提升习题效率，激发学生钻研数学的热情、兴趣和信心。
二、教学重难点：重点：掌握正、余弦定理及其推导过程并且能用它们解斜三角形。
难点：正弦定理、余弦定理的灵活应用，及将实际问题转化为数学问题并能正确地解出这个数学问题。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（二）、知识归纳1.解三角形常见类型及解法(1)已知一边和两角,利用正弦定理求其它边和角;(2)已知两边和夹角,利用余弦定理求其它边和角;(3)已知三边,利用余弦定理求其它的角;(4)已知两边和其中一边的对角,利用正弦定理求其它边和角,注意有两解和一解的情形. 2.三角形解的个数的确定： 已知两边和其中一边的对角不能确定唯一的三角形,解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形理解.3.三角形形状的判定方法： 判定三角形形状通常有两种途径:一是通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断;二是利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.4.解三角形应用题的基本思路： 解三角形应用题的关键使将实际问题转化为解三角形问题来解决,其基本解题思路是:首先分析此题属于哪种类型的问题,然后依题意画出示意图,把已知量和未知量标在示意图中,最后确定用哪个定理转化,哪个定理求解,并进行作答. （三）例题探析例1、在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）34C =π， AB∴边最大，即AB =又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，， ∴角A 最小，BC 边为最小边．由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin A =由sin sin AB BC C A =得：sin 2sin ABC AB C==．所以，最小边BC = 例2、在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值． 解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3．应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭． 因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin cos sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪2⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值 例3、在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ； （2）若52CB CA =，且9a b +=，求c ． 解：（1）sin tan cos C C C =∴= 又22sin cos 1C C += 解得1cos 8C =±．tan 0C >，C ∴是锐角． 1cos 8C ∴=．（2）52CB CA =， 5c o s 2a b C ∴=， 20ab ∴=．又9a b += 22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=． 6c ∴=．例4、已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数． 解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=，BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =，得13BC AC =， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==， 所以60C =．例5、某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。
北师大版必修5高中数学第2章解三角形小结导学案
高中数学 第2章 解三角形小结导学案北师大版必修5【学习目标】1、通过对任意三角函数边与角度的探索，掌握正弦定理、余弦定理并能解决一些简单的三角形度量问题。
2、能运用正弦定理、余弦定理解决一些计算和测量有关的实际问题 【学习重点】正弦定理、余弦定理【学法指导】阅读课本15-17页内容，结合导学案，要求在30分钟内独学至课内探究。
2、请写出余弦定理及其变形3、请写出三角形面积公式（一） 学习探究（1）(A)在ABC ∆中，45B =，60C =，1c =，求最短边的边长 。
（2）(A)求边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和。
变式、（1）在ABC ∆中，已知2=b ，︒=30B ，︒=135C ，求a 的长个 性 笔 记（2）(B)在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅= ( )A ．23-B ．32- C ．32 D ．23三角形面积例2、(B)在∆A B C 中，s i n c o s A A +=22，A C =2，A B =3，求A tan 的值和∆A B C 的面积。
正、余弦定理判断三角形形状3在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形变式、（1）(A)在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin +=，判断ABC ∆的形状变式、（2）(C)在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+判断△ABC 的形状正、余弦定理实际应用1、(B)如图一个三角形的绿地ABC ，AB 边长7米，由C 点看AB 的张角为45，在AC 边上一点D 处看AB 得张角为60，且2AD DC =，试求这块绿地得面积。
变式、(C)货轮在海上A 点处以30 n mile/h 的速度沿方向角（指北方向顺时针转到方向线的水平角）为1500的方向航行，半小时后到达B 点，在B 点处观察灯塔C 的方向角是900， 且灯塔C 到货轮航行方向主最短距离为310 n mile ，求点A 与灯塔C 的距离。
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高中数学
广东省阳江第一中学高中数学 《解三角形》小结与复习导学案 必
修5
【问题导学】阅读课本P 23后回答下列问题：
2、三角形的面积公式：
_____________________________________________________________
4、在△ABC
5、在△ABC 中，0
45,30,2===C A a ，则△ABC 的面积S=__________。
【课内探究】
例1、在△ABC 中，若B c a C b cos )2(cos -=：(1) 求B 的大小； (2) 若4,7=+=c a b ，求△ABC 的面积S 。
例2、在△ABC 中，若)cos(2cos ,2C B A a +==，2=•，求角A 及b 、c 的大小。
高中数学
例3：如右图所示，在坡度一定的坡上的一点A
顶端C 对于山坡的斜度为 15，向山顶前进100米后到达B 顶端C 对于山坡的斜度为 45 ，已知建筑物高CD=50水平面倾斜角θ的余弦值。
【总结提升】
【课后作业】
1、△ABC 中，C c B b sin sin =，且C B A 222sin sin sin +=，则它是( ) 三角形
A 、 等腰
B 、直角
C 、等腰直角
D 、等腰或者直角 2、△ABC 中，6c =，0
120,30==B A ，则△ABC 的面积S=( )
A 、9
B 、18
C 、39
D 、318
3、△ABC 中，8,5a b ==,ABC ∆的面积S=12，则=C 2cos ________。
4、锐角△ABC 中，A c a sin 23=：(1) 求角C 的大小； (2) 若7=
c ，△ABC 的面积为，求b a +的值。
5、如图，某观测站C 在港口A 的南偏西20°方向上，在港口A 南偏东40°方向上的B 处有一艘船正向港口A 驶去，行驶了20 km 后，到达D 处，在观察站C 测得C ，B 间的距离为31 km ，C ，D 间的距离为21 km ：(1)求观察站C 与港口A 之间的距离；(2)这艘船到达港口A 还需行驶多少km?
A
C
D 200
400
高中数学。