2017届高考数学(文)二轮复习课时巩固过关练(二)Word版含解析
2017届高三数学(理)二轮复习课时巩固过关练二1.1.2含解析
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课时巩固过关练二向量运算与复数运算、算法、合情推理(40分钟80分）一、选择题（每小题5分，共60分）1.（2016·襄阳一模)复数(1+2i)23−4i的值是( )A。
-1 B。
1 C.—i D.i【解析】选A.(1+2i)23−4i =1+4i+4i23−4i=−3+4i3−4i=—1.2.(2016·潍坊一模）下面几种推理过程是演绎推理的是( ）A。
两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°B。
由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质C。
某校高三共有10个班,1班有51人,2班有53人,三班有52人，由此推测各班都超过50人D。
在数列{a n｝中,a1=1，a n=12(a n−1+1a n−1)(n≥2），计算a1,a2,a3,a4,由此推测通项a n【解析】选A。
演绎推理是由一般到特殊的推理，显然选项A符合；选项B属于类比推理；选项C是归纳推理;选项D是归纳推理.3。
（2016·全国卷Ⅲ）若z=4+3i,则z−|z|= （）A。
1 B.-1 C.45+35i D.45—35i【解析】选D。
|z|=√42+32=5，z−=4-3i,则z−|z|=45—35i.4.（2016·全国卷Ⅱ)已知z=（m+3)+(m—1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A。
(-3,1）B。
(-1,3)C。
（1,+∞) D。
（—∞,-3)【解析】选A.z=(m+3）+（m-1）i对应点的坐标为(m+3,m-1）,该点在第四象限,所以{m+3>0,解得—3<m<1。
m−1<0,5.(2016·漳州一模)已知｜a｜=｜b|=2，a，b的夹角为90°,向量d 满足｜d—a-b｜=1，则｜d|的最大值为( )A.2√2+1 B。
2017届高考数学(文)二轮复习 课时巩固过关练(九) Word版含解析
课时巩固过关练(九) 三角恒等变换与解三角形一、选择题1．(2016·甘肃临夏期中)已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎫0，π2，则cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为( ) A.142 B ．－142C.144 D ．－144解析：∵sin α＝12＋cos α，∴sin α－cos a ＝12.两边平方可得：1－2sin αcos α＝14，∴2sin αcos α＝34，∴1＋2sin αcos α＝74，∴(sin α＋cos α)2＝74.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin α＋cos α＝72. ∴cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－142.答案：B2．在△ABC 中，A ，B ，C 为三个内角，f (B )＝4cos B ·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋B 2＋3cos2B －2cos B ，若f (B )＝2，则角B 为( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：由已知f (B )＝4cos B ·1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋B 2＋3cos2B －2cos B ＝2cos B (1＋sin B )＋3cos2B－2cos B ＝2cos B sin B ＋3cos2B ＝sin2B ＋3cos2B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3，∵f (B )＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3＝1.又π3<2B ＋π3<73π，∴2B ＋π3＝π2，∴B ＝π12.答案：A 3．(2016·山东烟台一调)如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定解析：设直角三角形三边分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边，增加的长度为d ，由已知a 2＋b 2＝c 2，在新三角形中，由余弦定理可得cos C ＝(a ＋d )2＋(b ＋d )2－(c ＋d )22(a ＋d )(b ＋d )＝a 2＋b 2－c 2＋2(a ＋b －c )d ＋d 22(a ＋d )(b ＋d )>0.又边长c ＋d 为最长边，故角C 最大且为锐角，∴新三角形为锐角三角形．答案：A 4．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3解析：由2a sin B ＝3b 及正弦定理可得2sin A sin B ＝3sin B ，即sin A ＝32，结合0<A <π2可知A ＝π3.答案：D5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝1，∴A ＝π2，故选A.答案：A6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，sin A ＝45，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B ，则△ABC 的面积为( )A.83＋1825B.43＋925C.43＋950D.83＋925解析：由题意得，1＋cos2A 2－1＋cos2B 2＝32sin2A －32sin2B ，即32sin2A －12cos2A ＝32sin2B －12cos2B ，sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6，由a ≠b 得A ≠B ，又A ＋B ∈(0，π)，∴2A －π6＋2B －π6＝π，即A ＋B ＝2π3，∴C ＝π3.由c ＝3，sin A ＝45，a sin A ＝c sin C 得a ＝85，由a <c ，得A <C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3310，∴△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825.答案：A7．已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，面积S满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A ．bc (b ＋c )>8B ．ac (a ＋b )>16 2C ．6≤abc ≤12D ．12≤abc ≤24解析：由题设得sin2A ＋sin(π－2B )＝sin(2C －π)＋12⇒sin2A ＋sin2B ＋sin2C ＝12⇒sin[2π－(2B ＋2C )]＋sin2B ＋sin2C ＝12⇒sin2B ＋sin2C －sin(2B ＋2C )＝12⇒sin2B (1－cos2C )＋sin2C (1－cos2B )＝12⇒4sin B sin C (sin B cos C ＋cos B sin C )＝12⇒sin A sin B sin C ＝18.由三角形面积公式S ＝12ab sin C 及正弦定理得S ＝12×4R 2sin A sin B sin C ，∴R 2＝4S ，又1≤S ≤2，∴4≤R 2≤8，∴bc (b ＋c )＝abc ×b ＋c a ＝8R 3sin A sin B sin C ×b ＋c a>R 3恒成立，∴bc (b ＋c )>8.故选A.答案：A 二、填空题 8．(2016·江西吉安期中)在△ABC 中，D 为BC 边上一点，若△ABD 是等边三角形，且AC ＝43，则△ADC 的面积的最大值为__________．解析：在△ACD 中，cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝AD 2＋DC 2－482AD ·DC ＝－12，整理得AD 2＋CD 2＝48－AD ·DC ≥2AD ·DC ，∴AD ·DC ≤16，当AD ＝CD 时等号成立，∴△ADC 的面积S ＝12AD ·DC ·sin ∠ADC ＝34AD ·DC ≤43，故答案为4 3.答案：4 39．(2015·北京高考)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2Asin C＝__________.解析：sin2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2×46×25＋36－162×5×6＝1.答案：110．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝__________. 解析：∵b cos C ＋c cos B ＝2b ，由边角互化得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，即sin(B ＋C )＝2sin B ，即sin A ＝2sin B ，∴a ＝2b ⇒ab＝2.答案：2 三、解答题11．(2016·江西高安段考)如图，在等腰直角三角形OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上．(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．解：(1)在△OPQ 中，∠OPQ ＝45°，OM ＝5，OP ＝22，由余弦定理得，OM 2＝OP 2＋PM 2－2OP ·PM ·cos45°，得PM 2－4PM ＋3＝0，解得PM ＝1或PM ＝3.(2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°，在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OPsin ∠OMP，所以OM ＝OP sin45°sin (45°＋α)＝2sin (45°＋α)，同理ON ＝2sin (75°＋α).S △OMN ＝12OM ·ON sin ∠MON＝1sin (45°＋α)sin (75°＋α)＝1sin (45°＋α)⎣⎡⎦⎤32sin (45°＋α)＋12cos (45°＋α)＝134＋12sin (2α＋30°).∵0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，∴当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN 的面积取到最小值．即∠POM ＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.12.如图，港口A 在港口O 的正东120海里处，小岛B 在港口O 的北偏东60°的方向，且在港口A 北偏西30°的方向上．一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏东30°的OD 方向以20海里/小时的速度驶离港口O .一艘给养快艇从港口A 以60海里/小时的速度驶向小岛B ，在B 岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船．已知两船同时出发，补给装船时间为1小时．(1)求给养快艇从港口A 到小岛B 的航行时间；(2)给养快艇驶离港口A 后，最少经过多少时间能和科考船相遇？ 解：(1)由题意知，在△OAB 中，OA ＝120，∠AOB ＝30°，∠OAB ＝60°.于是AB ＝60，而快艇的速度为60海里/小时，所以快艇从港口A 到小岛B 的航行时间为1小时．(2)由(1)知，给养快艇从港口A 驶离2小时后，从小岛B 出发与科考船汇合．为使航行的时间最少，快艇从小岛B 驶离后必须按直线方向航行，设t 小时后恰与科考船在C 处相遇．在△OAB 中，OA ＝120，∠AOB ＝30°，∠OAB ＝60°，所以OB ＝603，而在△OCB 中，BC ＝60t ，OC ＝20(2＋t )，∠BOC ＝30°，由余弦定理，得BC 2＝OB 2＋OC 2－2OB ·OC ·cos ∠BOC ，即(60t )2＝(603)2＋[20(2＋t )]2－2×603×20(2＋t )×32，即8t 2＋5t －13＝0，解得t＝1或t ＝－138(舍去)．故t ＋2＝3.即给养快艇驶离港口A 后，最少经过3小时能和科考船相遇．。
2017届高三数学(人教版理)二轮复习课时巩固过关练十三1.5.2Word版含解析
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课时巩固过关练十三点、直线、平面之间的位置关系(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共15分)1.(2016·资阳三模)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列叙述正确的是( )A.若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥nB.若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m⊥nC.若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，m⊥n，则α∥βD.若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β【解析】选C.在长方体ABCD-A′B′C′D′中，(1)令平面ABCD为平面α，平面A′B′C′D′为平面β，A′B′为直线m，BC为直线n，显然α∥β，m∥α，n∥β，但m与n不平行.故A错误.(2)令平面ABCD为平面α，平面ABB′A′为平面β，直线BB′为直线m，直线CC′为直线n，显然α⊥β，m⊥α，n∥β，m∥n.故B错误.(3)令平面ABCD为平面α，平面A′B′C′D′为平面β，直线BB′为直线m，直线B′C′为直线n，显然m⊥α，n⊂β，m⊥n，但α∥β.故D错误.2.(2016·石家庄二模)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.①若n∥α，则α内的直线m可能与n平行，也可能与n 异面，故①错误；②若α∥β，β∥γ，则α∥γ，若m⊥α，则m⊥γ，故②正确；③若m⊂α，显然结论错误；④以直三棱柱为例，棱柱的任意两个侧面都与底面垂直，但侧面不平行，故④错误.3.(2016·南昌二模)将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到四面体ABCD(如图2)，则在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )A.相交且垂直B.相交但不垂直C.异面且垂直D.异面但不垂直【解题导引】对于原图：由于AD是等腰直角三角形ABC斜边BC上的中线，可得AD⊥BC.在四面体ABCD中，由于AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC=D，利用线面垂直的判定定理可得AD⊥平面BCD，进而得到AD⊥BC.利用异面直线的定义即可判断：AD与BC是异面直线.【解析】选C.在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是异面且垂直.对于原图：因为AD是等腰直角三角形ABC斜边BC上的中线，所以AD⊥BC.在四面体ABCD中，因为AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC=D，所以AD⊥平面BCD.所以AD⊥BC.又AD与BC是异面直线，综上可知，在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是异面且垂直.二、填空题(每小题5分，共10分)4.空间四边形ABCD的两条对棱AC，BD互相垂直，AC，BD的长分别为8和2，则平行于四边形两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，面积的最大值是__________.【解析】如图，由题意知，EFGH为平行四边形，设EH=x(0<x≤2)，EF=y(0<y≤8)，xy=S(S为所求面积)，由EH∥BD，可得==，==，两式相加，得：=1=+，化简，得8=4x+y，可得：8=4x+y≥2，(当且仅当2x=y时等号成立)，解得：xy≤4，解得：S=xy≤4.答案：45.(2016·湛江二模)设x，y，z为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若x⊥z，y⊥z，则x∥y”为真命题的序号是________.①x为直线，y，z为平面；②x，y，z都为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y，z都为直线；⑤x，y为平面，z为直线.【解析】①x⊥平面z，平面y⊥平面z，所以x∥平面y或x⊂平面y.又因为x⊄平面y，故x∥平面y，①成立；②x，y，z均为平面，则x可与y相交，故②不成立；③x⊥平面z，y⊥平面z，x，y为不同直线，故x∥y，③成立；④x，y，z均为直线，则x与y可平行，可异面，也可相交，故④不成立；⑤z⊥x，z⊥y，z为直线，x，y为平面，所以x∥y，⑤成立.答案：①③⑤【加固训练】(2016·兰州二模)α，β是两个平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是________.【解析】①因为AC⊥β，且EF⊂β，所以AC⊥EF.又AB⊥α且EF⊂α，所以EF⊥AB.因为AC∩AB=A，AC⊂平面ACBD，AB⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD.因为BD⊂平面ACBD，所以BD⊥EF.所以①可以成为增加的条件.②AC与α，β所成的角相等，AC与EF位置关系不确定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不一定垂直，所以就推不出EF与BD垂直.所以②不可以成为增加的条件.③AC与CD在β内的射影在同一条直线上，因为CD⊥α且EF⊂α，所以EF⊥CD.所以EF与CD在β内的射影垂直，若AC与CD在β内的射影在同一条直线上.所以EF⊥AC，因为AC∩CD=C，AC⊂平面ACBD，CD⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，因为BD⊂平面ACBD，所以BD⊥EF.所以③可以成为增加的条件.④若AC∥EF，则AC∥平面α，所以BD∥AC，所以BD∥EF，所以④不可以成为增加的条件.答案：①③三、解答题(6题12分，7题13分，共25分)6.(2016·安庆二模)如图，在圆柱O-O1中，AB为下底面圆O的直径，CD为上底面圆O1的直径，AB∥CD，点E，F在圆O上，且AB∥EF，且AB=2，AD=1.(1)求证：平面ADF⊥平面CBF.(2)若DF与底面所成角为，求几何体EF-ABCD的体积.【解析】(1)由已知，AF⊥BF，AD⊥BF，且AF∩AD=A，故BF⊥平面ADF，又因为BF⊂平面CBF，所以平面ADF⊥平面CBF.(2)因为AD垂直于底面，若DF与底面所成角为，则∠AFD=，故AF=1，则四棱锥F-ABCD的高为，又S四边形ABCD=2，V F-ABCD=××2=，三棱锥C-BEF的高为1，而△BEF中，BE=BF=1，∠BEF=120°，所以S△BEF=，则V C-BEF=×1×=，所以几何体EF-ABCD的体积为V F-ABCD+V C-BEF=+=.7.(2016·吉林二模)如图(1)，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2).(1)求证：DE∥平面A1CB.(2)求证：A1F⊥BE.(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？请说明理由.【解析】(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC，又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由题图(1)得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD，又A1D∩CD=D.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，DP，QE，则PQ ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.(30分钟55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.ABCD -A1B1C1D1是棱长为1的正方体，一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称为“走完一段”.质点的运动规则如下：运动第i段与第i+2段所在直线必须是异面直线(其中i 是正整数).问质点从A点出发又回到起点A走完的段数是( )A.3B.4C.5D.6【解析】选B.不妨设质点运动路线为AB1→B1C→CD1→D1A，即走过4段后又回到起点A.可以看作以4为周期，所以段数是4.【加固训练】下列关于空间的直线和平面的叙述，正确的是( )A.平行于同一平面的两直线平行B.垂直于同一平面的两平面平行C.如果两条互相垂直的直线都分别平行于两个不同的平面，那么这两个平面平行D.如果一个平面内一条直线垂直于另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直【解析】选C.对于A，平行于同一平面的两条直线可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误.对于B，垂直于同一个平面的两个平面可能相交，如直三棱柱的两个侧面都与底面垂直，故B错误.对于C，设a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，a⊥b，过空间一点P分别作a，b 的平行线m，n，则m∩n=P.设m，n所确定的平面为γ，过P作平面γ的垂线l，则l⊥m，l⊥n.因为a∥α，b∥α，所以存在直线a′⊂α，b′⊂α，使得a∥a′，b∥b′，且a′与b′为相交直线.所以l⊥a′，l⊥b′，所以l⊥α，同理l⊥β，所以α∥β.故C正确.对于D，在长方体ABCD-EFGH中，AB⊂平面ABCD，FG⊂平面EFGH，AB⊥FG，显然平面ABCD∥平面EFGH，故D错误.2.已知α，β为两个平面，l为直线，若α⊥β，α∩β=l，则( )A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直【解析】选D.由α⊥β，α∩β=l，知：垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A不正确；垂直于直线l的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B不正确；垂直于平面β的平面与l的关系有l在平面内或l与平面平行或相交，故C不正确；由平面垂直的判定定理知：垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直，故D正确.【加固训练】已知异面直线a与b所成角为锐角，下列结论不正确的是( )A.不存在一个平面α使得a⊂α，b⊂αB.存在一个平面α使得a∥α，b∥αC.不存在一个平面α使得a⊥α，b⊥αD.存在一个平面α使得a∥α，b⊥α【解析】选D.在A中，因为异面直线a与b，所以不存在一个平面α使得a⊂α，b⊂α，故A正确；在B中，在空间中找一点A，A∉a且A∉b，过点A分别作直线a与b 的平行线a′，b′，则a′，b′确定一个平面α使得a∥α，b∥α，故B正确；在C中，若存在一个平面α使得a⊥α，b⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a∥b，这与已知异面直线a与b相矛盾，故不存在一个平面α使得a⊥α，b⊥α，故C正确；在D中，若存在一个平面α使得a∥α，b⊥α，则a⊥b，这与已知异面直线a与b所成角为锐角矛盾，故D错误.3.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出了下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③若m∥α，α⊥β，则m⊥β；④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，n∥β.正确的命题有( )A.②④B.①②④C.①④D.①③【解析】选C.由α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知：①若m⊥α，m⊂β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故①正确；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，故②错误；③若m∥α，α⊥β，则m与β相交、平行或m⊂β，故③错误；④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则由线面平行的判定定理得n∥α，n∥β，故④正确.4.如图，已知一个八面体的各条棱长均为1，四边形ABCD为正方形，则下列命题正确的是( )A.不平行的两条棱所在的直线所成的角是60°B.四边形AECF是正方形C.点A到平面BCE的距离为1D.以上都不对【解析】选B.因为八面体的各条棱长均为1，四边形ABCD为正方形，所以在四棱锥E-ABCD中，相邻两条侧棱所成的角为60°，而AE与CE 所成的角为90°，故A错；因为AE=CE=1，AC=，满足勾股定理的逆定理，所以AE⊥CE，同理AF⊥CF，AE⊥AF，所以四边形AECF是正方形，故B正确；设点A到平面BCE的距离为h，由V E-ABCD=2V A-BCE，所以×1×1×=2××h，解得h=，所以点A到平面BCE的距离为，故C错误.二、填空题(每小题5分，共10分)5.在三棱锥C-ABD中(如图)，△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，AB=4，二面角A-BD-C的大小为60°，并给出下面结论：①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形；④cos∠ADC=.其中真命题是________(填序号).【解析】对于①，因为△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，所以CO⊥BD，AO⊥BD，AO∩OC=O，所以BD⊥平面AOC，所以AC⊥BD，因此①正确；对于②，假设CO⊥AD，又CO⊥BD，可得CO ⊥平面ABD，由①可得：∠AOC是二面角A-BD-C的平面角，这与已知二面角A-BD-C为60°矛盾，因此不正确；对于③，由△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，所以OC=OA，由①可得：∠AOC是二面角A-BD-C的平面角且为60°，所以△AOC为正三角形，因此③正确；对于④，AB=4，由①可得：AC=OA=2，AD=CD=4，所以cos∠ADC==≠，因此不正确；综上可得：只有①③正确. 答案：①③6.如图已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.给出下列结论：①CD∥平面PAF；②DF⊥平面PAF；③CF∥平面PAB：④DF∥平面PAB.其中正确结论的个数为________.【解析】因为六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形.所以AF∥CD，由线面平行的判定定理，得CD∥平面PAF，故①正确；由正六边形的特点易知DF⊥AF，因为PA⊥平面ABCD，所以DF⊥PA，由线面垂直的判定定理，得DF⊥平面PAF，故②正确；CF∥AB，由线面平行的判定定理，得CF∥平面PAB，故③正确；连接AC，由正六边形的特点易知DF∥AC，又AC∩平面PAB=A，故DF与平面PAB相交，故④不正确，故正确结论的个数是3.答案：3【加固训练】下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号).【解析】对于①，注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP 平行，因此直线AB平行于平面MNP；对于②，注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交，因此直线AB与平面MNP相交；对于③，注意到此时直线AB与平面MNP内的一条直线MP平行，且直线AB位于平面MNP外，因此直线AB与平面MNP平行；对于④，易知此时AB与平面MNP相交.综上所述，能得出直线AB平行于平面MNP 的图形的序号是①③.答案：①③三、解答题(7题12分，8题13分，共25分)7.如图，已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形.(1)求证：DM∥平面APC.(2)求证：平面ABC⊥平面APC.(3)若BC=4，AB=20，求三棱锥D-BCM的体积.【解析】(1)由已知得，MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP，因为MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，所以MD∥平面APC.(2)因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MD⊥PB，所以AP⊥PB.又因为AP⊥PC，PB∩PC=P，所以AP⊥平面PBC.因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.又因为BC⊥AC，AC∩AP=A，所以BC⊥平面APC，因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.(3)由题意可知，三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形.MD⊥平面PBC，BC=4，AB=20，MB=10，DM=5，PB=10，PC==2.MD是三棱锥D-BCM的高，S△BCD=×4×2×=2.所以V D-BCM=V M -DBC=S△BCD·MD=×2×5=10.8.如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB.(1)求直线EC与平面ABE所成角的余弦值.(2)线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出，并加以证明；若不存在，请说明理由.【解题导引】(1)由已知可得BC⊥平面ABE，则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角，设BC=a，则AB=2a，BE=a，可求CE=a，直角三角形CBE 中，即可求得sin∠CEB=的值，进而可求直线EC与平面ABE所成角的余弦值.(2)连接AC，交BD于点M，在AE上取点F，使=，连接MF，BF，DF，证明FM∥EC，即可证明EC∥平面FBD，从而可得点F满足=时，有EC∥平面FBD. 【解析】(1)因为平面ABE⊥平面ABCD，且AB⊥BC，所以BC⊥平面ABE.则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角.设BC=a，则AB=2a，BE=a，所以CE=a，在直角三角形CBE中，sin∠CEB==.可得：cos∠CEB==.即直线EC与平面ABE所成角的余弦值为.(2)存在点F，且=时，有EC∥平面FBD.证明如下：连接AC，交BD于点M，在AE上取点F，使=，连接MF，BF，DF，因为AB∥CD，AB=2CD，所以==，所以=，因为=，所以FM∥EC，EC⊄平面FBD，所以EC∥平面FBD.即点F满足=时，有EC∥平面FBD.【加固训练】如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，且CD=2，AB=BC=PA=1，PD=.(1)求三棱锥A-PCD的体积.(2)问：棱PB上是否存在点E，使得PD∥平面ACE？若存在，求出的值，并加以证明；若不存在，请说明理由.【解析】(1)取CD的中点G，连接AG，因为CD=2AB，AB∥CD，所以AB ∥GC，AB=GC，所以四边形AGCB为平行四边形，所以∠AGD=∠DCB=∠ABC=90°，在Rt△AGD中，因为AG=BC=1，DG=CD=1，所以AD==，所以PD2=3=PA2+AD2，所以∠PAD=90°，即PA⊥AD，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PA⊥平面ABCD，因为S△ACD=CD·AG=1，所以V A-PCD=V P-ACD=S△ACD·PA=×1×1=.(2)棱PB上存在点E，当=时，PD∥平面ACE.证明如下：连接BD交AC于点O，连接OE.因为AB∥CD，CD=2AB，所以==，所以=，又=，所以=，所以OE∥DP，又OE⊂平面ACE，PD⊄平面ACE，所以PD∥平面ACE.关闭Word文档返回原板块。
高考数学(文)二轮复习 专题突破训练：(高考22题)12+4分项练2 Word版含答案
12＋4分项练2 不等式1．(2017届重庆市巴蜀中学三诊)设0<a <1，b >c >0，则下列结论不正确的是() A ．a b <a c B ．b a >c a C ．log a b <log a c D.a b >ac答案D解析 取a ＝12，b ＝4，c ＝2可知D 错．故选D.2．(2017·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≤0，x ＋3≥0，y ≤2，则z ＝x ＋2y 的最大值是() A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 答案D解析 画出可行域(如图阴影部分所示)．画直线l 0：x ＋2y ＝0，平移直线l 0到直线l 的位置，直线l 过点M .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝0，y ＝2得点M (－1,2)，∴当x ＝－1，y ＝2时，z 取得最大值，z max ＝－1＋2×2＝3. 故选D.3．(2017·辽宁省实验中学模拟)已知实数x ，y 满足x 2－xy ＋y 2＝1，则x ＋y 的最大值为() A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案B解析 原式可化为：(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝1时x ＋y 有最大值2.故选B.4．(2017届浙江省嘉兴市第一中学适应性考试)已知xy ＝1，且0<y <22，则x 2＋4y 2x －2y 的最小值为() A ．4 B.92C ．22D ．4 2 答案A解析 因为xy ＝1且0<y <22， 可知x >2，所以x －2y >0. x 2＋4y 2x －2y ＝(x －2y )2＋4xyx －2y ＝x －2y ＋4x －2y≥4，当且仅当x ＝3＋1，y ＝3－12时等号成立．故选A.5．(2017届吉林省吉林大学附属中学模拟)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y ＋1≥0，2x ＋y －1≤0，若直线y ＝k (x ＋1)把不等式组表示的平面区域分成上、下两部分的面积比为1∶2，则k 等于() A.14B.13 C.12D.34 答案A解析 作出不等式组对应平面区域如图(三角形ABC 及其内部)，A (0,1)，B (1，－1)，∵直线y ＝k (x ＋1)过定点C (－1,0)，∵C 点在平面区域ABC 内，∴点A 到直线y ＝k (x ＋1)的距离d 上＝|k －1|1＋k2，点B 到直线y ＝k (x ＋1)的距离d 下＝|2k ＋1|1＋k2，∵直线y ＝k (x ＋1)把不等式组表示的平面区域分成上、下两部分的面积比为1∶2，∴2×|k －1|1＋k 2＝|2k ＋1|1＋k 2，解得k ＝14.故选A.6．(2017届辽宁省锦州市质量检测)设a >0，b >2，且a ＋b ＝3，则2a ＋1b －2的最小值是()A ．6B ．2 2C ．42D ．3＋2 2 答案D解析 2a ＋1b －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －2(a ＋b －2)＝3＋2(b －2)a ＋ab －2≥3＋22(b －2)a ·ab －2＝3＋22， 当且仅当a ＝2(b －2)＝2－2时取等号，故选D.7．(2017·河北省衡水中学二模)若实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，2x ＋y －5≥0，x －2≤0，则z ＝4x 3x ＋2y的最大值为() A ．1 B.6415C.1619D.12 答案A解析 根据题意画出可行域，z ＝4x3x ＋2y ＝43＋2yx ，所以目标函数最值问题转化为可行域中的点与原点连线斜率的问题，可知取点F ，G 时目标函数取到最值，F (2,1)，G (1，3)，点F 与原点连线的斜率最小，则z 在F 点可取得最大值1.8．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －3≤0，x －y －3≤0，设x 2＋y 2＋4x 的最大值点为A ，则经过点A 和B (－2，－3)的直线方程为()A ．3x －5y －9＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y －3＝0D ．5x －3y ＋9＝0 答案A解析 绘制不等式组表示的可行域，目标函数z ＝((x ＋2)2＋y 2)2－4，结合点到点的距离公式的几何意义可得，目标函数在点A (3,0)处取得最大值，则直线过点A (3,0)，B (－2，－3)，据此可得直线方程为3x －5y －9＝0.故选A.9．(2017·湖北省武汉市调研)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤4，x －2y ≤2，如果目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为163，则实数a 的值为()A ．3 B.143C ．3或143D ．3或－113答案D解析 先画出线性约束条件所表示的可行域，目标函数化为y ＝－1a x ＋1a z ，当a >0时，－1a<0，(1)当－12≤－1a <0，即a ≥2时，最优解为A ⎝⎛⎭⎫43，43， z ＝43＋43a ＝163，a ＝3，符合题意； (2)当－1a <－12，即0<a <2时，最优解为B ⎝⎛⎭⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合，舍去； 当a <0时，－1a>0.(3)当0<－1a <12，即a <－2时，最优解为C (－2，－2)，z ＝－2－2a ＝163，a ＝－113，符合；(4)当－1a ≥12，即－2≤a <0时，最优解为B ⎝⎛⎭⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合，舍去． 综上，实数a 的值为3或－113，故选D.10.(2017届河北省衡水中学押题卷)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为() A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0) C.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 答案D解析 AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b 2－b ＝a －b2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b22，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D.11．(2017届安徽省安庆市第一中学三模)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，x ≤1，则z ＝y －⎝⎛⎭⎫12x的最大值为() A ．－32B ．0C.12D ．1 答案C解析 约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，x ≤1对应的可行域为△OBC 及其内部，如图所示，其中O (0,0)，B (1,1)，C (1，－1)，由z ＝y －⎝⎛⎭⎫12x，得y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋z ，当经过点B (1,1)时，z max ＝1－⎝⎛⎭⎫121＝12.12．(2017届天津市耀华中学二模)已知x ，y ，z 为正实数，则xy ＋yzx 2＋y 2＋z 2的最大值为()A.235B.45C.22D.23答案C解析 由题意可得x 2＋12y 2≥2xy ，z 2＋12y 2≥2yz ，结合不等式的性质有x 2＋y 2＋z 2≥2(xy ＋yz )，当且仅当x ＝z ＝22y 时等号成立，即xy ＋yz x 2＋y 2＋z2≤22，xy ＋yz x 2＋y 2＋z 2的最大值为22.故选C. 13．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.答案 －2解析 作出不等式对应的平面区域(阴影部分)，由z ＝2x＋y ，得y ＝－2x ＋z ，平移直线y ＝－2x ＋z ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋z的截距最小，此时z 最小．目标函数为2x ＋y ＝－6，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，2x ＋y ＝－6解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2，x ＝－2，即A (－2，－2)．又点A 也在直线y ＝k 上，所以k ＝－2.14．(2017届云南省师范大学附属中学月考)下表所示为X ，Y ，Z 三种食物的维生素含量及成本，某食品厂欲将三种食物混合，制成至少含44 000单位维生素A 及48 000单位维生素B 的混合物100千克，所用的食物X ，Y ，Z 的质量分别为x ，y ，z (千克)，混合物的成本最少为________元.答案960解析 混合食物成本的多少受到维生素A ，B 的含量以及混合物总量等因素的制约，各个条件综合考虑，得⎩⎪⎨⎪⎧400x ＋600y ＋400z ≥44 000，800x ＋200y ＋400z ≥48 000，x ＋y ＋z ＝100，x ≥0，y ≥0，z ≥0，消去不等式中的变量z ，得⎩⎪⎨⎪⎧y ≥20，2x －y ≥40，x ＋y ≤100，目标函数为混合物成本函数P ＝12x ＋10y ＋8z ＝800＋4x ＋2y .画出可行域如图所示，当直线y ＝－2x －400＋P2过可行域内的点A (30,20)时，即x ＝30千克，y ＝20千克，z ＝50千克时，成本P ＝960元为最少．15．(2017·山东)若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．答案8解析∵直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,2)，∴1a ＋2b＝1， ∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝4＋4a b ＋b a ≥4＋24a b ·ba＝8， 当且仅当b a ＝4ab ，即a ＝2，b ＝4时，等号成立．故2a ＋b 的最小值为8.16．已知变量x ，y (x ，y ∈R )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥5，y －3≤0，若不等式(x ＋y )2≥c (x 2＋y 2) (c ∈R )恒成立，则实数c 的最大值为________． 答案2513解析 作出可行域如图所示，设t ＝y x ，由可行域易知1≤t ≤32.又由(x ＋y )2≥c (x 2＋y 2) (c ∈R )，得 c ≤(x ＋y )2x 2＋y 2＝1＋2xy x 2＋y 2＝1＋2x y ＋y x，即c ≤1＋2t ＋1t，而2≤t ＋1t ≤136，所以1＋2t ＋1t 的最小值为1＋2136＝1＋1213＝2513，所以c ≤2513.。
2017届高考数学(文)二轮复习 课时巩固过关练(十七) 含解析
课时巩固过关练(十七) 统计 统计案例一、选择题 1．(2016·湖南十校高三联考)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( )A ．101B ．808C ．1 212D ．2 012解析：∵甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12，∴每个个体被抽到的概率为1296＝18，样本容量为12＋21＋25＋43＝101，∴这四个社区驾驶员的总人数N 为10118＝808，故选B . 答案：B 2．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．15解析：抽取号码的间隔为96032＝30，从而区间[451,750]包含的段数为75030－45030＝10，则编号落入区间[451,750]的人数为10，即做问卷B 的人数为10.答案：C 3．(2015·湖南高考)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：根据茎叶图中的数据，得成绩在区间[139,151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139,151]上的运动员应抽取7×2035＝4(人)，故选B .答案：B 4．(2015·山东高考)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差． 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④解析：甲地数据为：26,28,29,31,31，乙地数据为：28,29,30,31,32，所以x甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29，x 乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30，s 2甲＝15[(26－29)2－(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝3.6，s 2乙＝15[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2.即正确的有①④，故选B .答案：B 5．(2016·广东惠州调研二)惠州市某机构对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机．已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( )A ．31.6岁B ．32.6岁C ．33.6岁D ．36.6岁解析：由面积为1，知[25,30)的频率为0.2，为保证中位数的左右两边面积都是0.5，必须把[30,35)的面积0.35划分为0.25＋0.1，此时划分边界为30＋5×0.250.35≈33.6，故选C .答案：C 6．(2016·广西梧州、崇左联考)某教育机构随机选取某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是( )解析：由频率分布直方图可知：[0,5)的频数为20×0.01×5＝1，[5,10)的频数为20×0.01×5＝1，[10,15)的频数为20×0.04×5＝4，[15,20)的频数为20×0.02×5＝2，[20,25)的频数为20×0.04×5＝4，[25,30)的频数为20×0.03×5＝3，[30,35)的频数为20×0.03×5＝3，[35,40)的频数为20×0.02×5＝2，则对应的茎叶图为A ，故选A .答案：A 7．(2016·湖南衡阳一模)如图是某篮球联赛中，甲、乙两名运动员9个场次得分的茎叶图，设甲、乙两人得分平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则( )A .x 甲<x 乙，m 甲<m 乙B .x 甲>x 乙，m 甲>m 乙C .x 甲<x 乙，m 甲>m 乙D .x 甲>x 乙，m 甲<m 乙 解析：由茎叶图可知x 甲＝13＋15＋28＋26＋23＋39＋37＋34＋419＝2569；x 乙＝24＋25＋32＋36＋33＋37＋38＋45＋479＝3179；所以x 甲<x 乙；m 甲＝28，m 乙＝36，所以m 甲<m 乙；故选A .答案：A 8．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423；②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648；③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④解析：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423，此结论错误，由线性回归方程知，此两变量的关系是正相关；②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648，此结论正确，线性回归方程符合负相关的特征；③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493，此结论正确，线性回归方程符合正相关的特征；④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578，此结论不正确，线性回归方程符合负相关的特征．综上判断知，①④一定不正确，故选D .答案：D9．为考察喜欢黑色的人是否易患抑郁症，对91名大学生进行调查，得到如下2×2列联表：则( )A ．有99%把握 B ．有95%把握 C ．有90%把握 D ．不能解析：∵a ＝15，b ＝32，c ＝14，d ＝30，∴k ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝91(15×30－32×14)229×62×44×47＝91×43718264＝0.000097895<0.455观测值为0.455时，有50%的把握说明两个变量有关系， 而0.000097895远远的小于0.455，∴不能认为喜欢黑色与患抑郁症有关系． 故选D . 答案：D10．设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是( )A．x和y的相关系数为直线l的斜率B．x和y的相关系数在0到1之间C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同D．直线l过点(x，y)二、填空题11．从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知体重的平均值为__________kg；若要从体重在[60,70)，[70,80)，[80,90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人中选两人当正副队长，则这两人体重不在同一组内的概率为__________．解析：设平均值为X ，X ＝45×0.05＋55×0.35＋65×0.3＋75×0.2＋85×0.1＝64.5，身高在[60,70)的男生有100×0.3＝30(人)，身高在[70,80)的男生有100×0.2＝20(人)，身高在[80,90]的男生有100×0.1＝10(人)，抽样比为1260＝15，这12人中，身高在[60,70)的有6人，身高在[70,80)的有4人，身高在[80,90]的有2人，从这12人中选两人当正副队长，则这两人体重不在同一组内的概率为1－C 24＋C 26＋C 22C 212＝1－6＋15＋166＝23.答案：64.5 23。
2017届高三数学(人教版理)二轮复习课时巩固过关练二十二选修4-5Word版含解析
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课时巩固过关练二十二不等式选讲(建议用时:30分钟)1.(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)画出y=f(x)的图象.(2)求不等式|f(x)|>1的解集.【解析】(1)如图所示:(2)f(x)=|f(x)|>1,当x≤-1时,|x-4|>1,解得x>5或x<3,所以x≤-1.当-1<x<时,|3x-2|>1,解得x>1或x<,所以-1<x<或1<x<.当x≥时,|4-x|>1,解得x>5或x<3,所以≤x<3或x>5.综上,x<或1<x<3或x>5,所以|f(x)|>1的解集为∪(1,3)∪(5,+∞).【加固训练】(2016·贵阳一模)已知函数f(x)=|x-2|-|x+1|.(1)求证:-3≤f(x)≤3.(2)解不等式f(x)≥x2-2x.【解析】(1)当x≤-1时,f(x)=3,成立;当-1<x<2时,f(x)=-2x+1,-4<-2x<2,所以-3<-2x+1<3,成立;当x≥2时,f(x)=-3,成立;故-3≤f(x)≤3.(2)当x≤-1时,x2-2x≤3,所以-1≤x≤3,所以x=-1;当-1<x<2时,x2-2x≤-2x+1,所以-1≤x≤1,所以-1<x≤1;当x≥2时,x2-2x≤-3,无解;综合上述,不等式的解集为:[-1,1].2.(2016·衡阳二模)已知a∈(0,+∞),b∈(0,+∞),a+b=2.(1)求+的最小值.(2)若对∀a,b∈(0,+∞),+≥|2x-1|-|x+1|恒成立,求实数x的取值范围.【解析】(1)因为a∈(0,+∞),b∈(0,+∞),a+b=2,所以+=·=++≥+2=+2=,所以=,此时a=,b=.(2)因为+≥|2x-1|-|x+1|对∀a,b∈(0,+∞)恒成立,所以|2x-1|-|x+1|≤⇔或或⇔-≤x≤-1或-1<x≤或<x≤⇔-≤x≤.所以x∈.【加固训练】(2016·哈尔滨一模)已知函数f(x)=m-|x-3|,不等式f(x)>2的解集为(2,4).(1)求实数m的值.(2)若关于x的不等式|x-a|≥f(x)恒成立,求实数a的取值范围. 【解析】(1)由已知得|x-3|<m-2,得5-m<x<1+m,从而m=3.(2)|x-a|≥f(x)得|x-3|+|x-a|≥3恒成立,因为|x-3|+|x-a|≥|x-3-(x-a)|=|a-3|(当且仅当(x-3)(x-a)≤0时取到等号), 所以|a-3|≥3解得a≥6或a≤0,故a的取值范围为a≤0或a≥6.3.(2016·衡水二模)已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x+2|-a).(1)当a=7时,求函数f(x)的定义域.(2)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R,求a的取值范围.【解析】(1)由已知得,|x-1|+|x+2|>7,由绝对值的几何意义可得x<-4或x>3,从而函数f(x)的定义域为(-∞,-4)∪(3,+∞).(2)不等式f(x)≥3,即|x-1|+|x+2|≥a+8,则x∈R,恒有|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x+2)|=3,又不等式|x-1|+|x+2|≥a+8解集是R,故a+8≤3,即a≤-5,即a的取值范围是(-∞,-5].【加固训练】设f(x)=|ax-1|.(1)若f(x)≤2的解集为[-6,2],求实数a的值.(2)当a=2时,若存在x∈R,使得不等式f(2x+1)-f(x-1)≤7-3m成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)显然a≠0,当a>0时,解集为,-=-6,=2,无解;当a<0时,解集为,令-=2,=-6,得a=-.综上所述,a=-.(2)当a=2时,令h(x)=f(2x+1)-f(x-1)=|4x+1|-|2x-3|=由此可知,h(x)在上单调减,在上单调增,在上单调增,则当x=-时,h(x)取到最小值-,由题意知,-≤7-3m,则实数m的取值范围是.4.(2016·乌鲁木齐二模)设函数f(x)=x2-3x.(1)若λ+μ=1(λ,μ>0),求证:f(λx1+μx2)≤λf(x1)+μf(x2).(2)若对任意x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|,求L的最小值.【解析】(1)因为f(λx1+μx2)-[λf(x1)+μf(x2)]=(λx1+μx2)2-3(λx1+μx2)-[λ(-3x1)+μ(-3x2)]=λ(λ-1)+2λμx1x2+μ(μ-1)=-λμ+2λμx1x2-λμ=-λμ(x1-x2)2≤0,所以f(λx1+μx2)≤λf(x1)+μf(x2).(2)因为|f(x1)-f(x2)|=|-3x1-+3x2|=|x1-x2||x1+x2-3|,因为0≤x1,x2≤1,所以0≤x1+x2≤2,所以-3≤x1+x2-3≤-1,所以|x1+x2-3|≤3,所以使|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|恒成立的L的最小值是3.(建议用时:30分钟)1.设函数f(x)=|x-3|-|x+a|,其中a∈R.(1)当a=2时,解不等式f(x)<1.(2)若对于任意实数x,恒有f(x)≤2a成立,求a的取值范围. 【解析】(1)a=2时,f(x)<1就是|x-3|-|x+2|<1,当x<-2时,3-x+x+2<1,得5<1,不成立;当-2≤x<3时,3-x-x-2<1,得x>0,所以0<x<3;当x≥3时,x-3-x-2<1,即-5<1,恒成立,所以x≥3.综上可知,不等式f(x)<1的解集是(0,+∞).(2)因为f(x)=|x-3|-|x+a|≤|(x-3)-(x+a)|=|a+3|,所以f(x)的最大值为|a+3|.对于任意实数x,恒有f(x)≤2a成立等价于|a+3|≤2a,解得a≥3;所以a的取值范围是[3,+∞).2.已知函数f(x)=|x-a|-|x+3|,a∈R.(1)当a=-1时,解不等式f(x)≤1.(2)不等式f(x)≤4在x∈[-2,3]时恒成立,求a的取值范围. 【解析】(1)当a=-1时,不等式为|x+1|-|x+3|≤1,当x≤-3时,不等式转化为-(x+1)+(x+3)≤1,恒不成立,当-3<x<-1时,不等式转化为-(x+1)-(x+3)≤1,解之得-≤x<-1;当x≥-1时,不等式转化为(x+1)-(x+3)≤1,恒成立;综上不等式的解集为.(2)若x∈[-2,3]时,f(x)=|x-a|-(x+3),则f(x)≤4即|x-a|≤x+7,所以-x-7≤x-a≤x+7,即为-7≤a≤2x+7恒成立,又因为x∈[-2,3],所以-7≤a≤3,所以a的取值范围为[-7,3].【加固训练】已知a,b∈R,f(x)=|x-2|-|x-1|.(1)若f(x)>0,求实数x的取值范围.(2)对∀b∈R,若|a+b|+|a-b|≥f(x)恒成立,求a的取值范围. 【解析】(1)由f(x)>0得|x-2|>|x-1|,两边平方得x2-4x+4>x2-2x+1,解得x<,即实数x的取值范围是.(2)|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|,因为f(x)=|x-2|-|x-1|,f(x)max=1,所以2|a|≥1⇒|a|≥⇒a≥或a≤-,所以a的取值范围为∪.3.设函数f(x)=|x+2|-|x-2|.(1)解不等式f(x)≥2.(2)当x∈R,0<y<1时,证明:|x+2|-|x-2|≤+.【解析】(1)由已知可得:f(x)=所以,f(x)≥2的解集为{x|x≥1}.(2)由(1)知,|x+2|-|x-2|≤|(x+2)-(x-2)|=4;+=[y+(1-y)]=2++≥4,当且仅当=,即y=时取等号,所以|x+2|-|x-2|≤+.4.已知函数f(x)=|x-1|.(1)解不等式:f(x)+f(x-1)≤2.(2)若a>0,求证:f(ax)-af(x)≤f(a). 【解析】(1)由题f(x)+f(x-1)=|x-1|+|x-2|, 因此只需解不等式|x-1|+|x-2|≤2.当x≤1时,原不等式等价于-2x+3≤2,即≤x≤1.当1<x≤2时,原不等式等价于1≤2,即1<x≤2.当x>2时,原不等式等价于2x-3≤2,即2<x≤.综上,原不等式的解集为.(2)由题f(ax)-af(x)=|ax-1|-a|x-1|.当a>0时,f(ax)-af(x)=|ax-1|-|ax-a|=|ax-1|-|a-ax|≤|ax-1+a-ax|=|a-1|=f(a).【加固训练】已知函数f(x)=|x+2|-2|x-1|.(1)求不等式f(x)≥-2的解集.(2)对任意x∈[a,+∞),都有f(x)≤x-a成立,求实数a的取值范围. 【解析】(1)f(x)≥-2,当x≤-2时,x-4≥-2,即x≥2,所以x∈∅;当-2<x<1时,3x≥-2,即x≥-,所以-≤x<1,当x≥1时,-x+4≥-2,即x≤6,所以1≤x≤6.综上,.(2)f(x)=函数f(x)的图象如图所示:令y=x-a,-a表示直线的纵截距,当直线过(1,3)点时,-a=2;所以当-a≥2,即a≤-2时成立;当-a<2,即a>-2时,令-x+4=x-a,得x=2+,所以a≥2+,即a≥4时成立,综上a≤-2或a≥4.关闭Word文档返回原板块。
2017届高考数学(文)二轮复习 课时巩固过关练(十一) 含解析
课时巩固过关练(十一) 数列求和及综合应用一、选择题1．(2016·广东惠州二调)数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }的第100项为( )A.12100B.1250C.1100D.150解析：a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1(n ≥2)两边取倒数可得1a n －1a n －1＝1a n ＋1－1a n ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，首项1a 1＝12，公差d ＝1a 2－1a 1＝1－12＝12，所以1a 100＝12＋12×(100－1)＝50⇒a 100＝150，故选D.答案：D2．(2016·山东济宁期中)已知在数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项和为910，则在平面直角坐标系中，直线nx ＋y ＋(n ＋1)＝0在y 轴上的截距是( )A ．－10B ．－9C ．10D ．9解析：a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，前n 项和为S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1，由题意可得1－1n ＋1＝910，解得n ＝9，直线nx ＋y ＋(n ＋1)＝0，即为9x ＋y ＋10＝0，令x ＝0，可得y ＝－10.故选A.答案：A 3．(2016·山东东营期中)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15解析：依题意可知a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝3，…，a 9＋a 10＝3，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝5×3＝15.故选A.答案：A4．(2016·山西晋中联考)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于( )A ．13B ．10C ．9D ．6解析：∵数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，∴a n ＝1－12n ，∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－18＋…＋⎝⎛⎭⎫1－12n ＝n －⎝⎛⎭⎫12＋14＋18＋…＋12n ＝n －12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n －1＋12n .由S n ＝32164＝n －1＋12n，可得n ＝6.故选D.答案：D5．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为( )A.n n ＋1B.4n n ＋1C.3n n ＋1D.5n n ＋1解析：∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝4⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝4n n ＋1.答案：B6．已知在等差数列{a n }中，a 2＝3，a 6＝11，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和为S n ，若S n ≤m10对n ∈N *恒成立，则正整数m 的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 2＝3，a 6＝11， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝3，a 1＋5d ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.∴1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1. 其前n 项和为S n ＝12⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…⎦⎤＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. ∵S n ≤m 10对n ∈N *恒成立，∴m ≥10n 2n ＋1，∵10n 2n ＋1＝102＋1n<102＝5.∴m ≥5.则正整数m 的最小值为5.故选A. 答案：A 7．(2016·中原名校二联)已知函数f (x )＝x 2＋ax 的图象在点A (0，f (0))处的切线l 与直线2x －y ＋2＝0平行，若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )的前n 项和为S n ，则S 20的值为( )A.325462B.1920C.119256D.2 0102 011 解析：因为f (x )＝x 2＋ax ，所以f ′(x )＝2x ＋a ，又函数f (x )＝x 2＋ax 的图象在点A (0，f (0))处的切线l 与直线2x －y ＋2＝0平行，所以f ′(0)＝a ＝2，所以f (x )＝x 2＋2x ，所以1f (n )＝1n 2＋2n＝1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，所以S 20＝12⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15⎦⎤＋…＋⎝⎛⎭⎫120－122＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－121－122＝325462.故选A. 答案：A 二、填空题8．(2016·河北衡水四调)设向量a ＝(1,2)，b ＝⎝⎛⎭⎫1n 2＋n ，a n (n ∈N *)，若a ∥b ，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n 的最小值为__________．解析：向量a ＝(1,2)，b ＝⎝⎛⎭⎫1n 2＋n ，a n (n ∈N *)，若a ∥b ，可得a n ＝2n 2＋n ＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∵S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2⎝⎛1－12＋12－13＋13－14⎭⎫＋…＋1n －1n ＋1＝2n n ＋1.数列{S n }是递增数列，∴S n 的最小值为S 1＝1.故答案为1.答案：1 三、解答题9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n ＝λ(λ为常数)．令c n ＝b 2n (n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和R n .解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1得 ⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋(2n －1)d ＝2a 1＋2(n －1)d ＋1， 解得a 1＝1，d ＝2.因此a n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由题意知T n ＝λ－n 2n －1，所以n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝－n2n －1＋n －12n －2＝n －22n －1.故c n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝⎛⎭⎫14n －1，n ∈N *. 所以R n ＝0×⎝⎛⎭⎫140＋1×⎝⎛⎭⎫141＋2×⎝⎛⎭⎫142＋3×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n －1，则14R n ＝0×⎝⎛⎭⎫141＋1×⎝⎛⎭⎫142＋2×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －2)×⎝⎛⎭⎫14n －1＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ，两式相减得34R n ＝⎝⎛⎭⎫141＋⎝⎛⎭⎫142＋⎝⎛⎭⎫143＋…＋⎝⎛⎭⎫14n －1－(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ＝14－⎝⎛⎭⎫14n 1－14－(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ＝13－1＋3n 3⎝⎛⎭⎫14n ，整理得R n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.所以数列{c n }的前n 项和R n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1. 10．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)． (1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n .解：据题设可得b n ＝2a n .(1)∵b 7＝2a 7＝2－2＋6d ，∴4×2－2＋6d ＝2－2＋7d ，∴d ＝2，∴S n ＝－2n ＋n (n －1)＝n (n －3)．(2)将f (x )＝2x 求导得f ′(x )＝2x ln2，∴f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －b 2＝22a(x－a 2)ln2，令y ＝0，得－b 2＝(22aln2)×(x －a 2)，x ＝a 2－1ln2，∴a 2＝2，∴d ＝2－1＝1，∴a n＝n ，b n ＝2n ，∴a n b n ＝n 2n ，其前n 项和T n ＝121＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ①，两边同乘2得2T n＝11＋221＋322＋…＋n 2n －1 ②，②－①得2T n －T n ＝11＋121＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n2n ，∴T n ＝2n ＋1－n －22n.11．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，所以(2＋d )2＝2(2＋4d )，解得d ＝0或d ＝4.当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2.(2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800，不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800.当a n＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2，令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0，解得n >40或n <－10(舍去)．此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41.综上所述，当a n ＝2时，不存在正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41.。
2017届高考数学(文)二轮复习 课时巩固过关练(七) Word版含答案
课时巩固过关练(七) 导数的综合应用一、选择题1．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( ) A ．x ＝12为f (x )的极大值点 B ．x ＝12为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2， 令f ′(x )＝0，则x ＝2.当x <2时，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2<0； 当x >2时，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2>0. 即当x <2时，f (x )是单调递减的；当x >2时，f (x )是单调递增的．所以x ＝2是f (x )的极小值点，故选D.答案：D2．(2015·湖南卷)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( )A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数解析：函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，函数的定义域为(－1,1)，函数f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，所以函数是奇函数．f ′(x )＝11＋x ＋11－x ＝21－x 2，在(0,1)上f ′(x )>0，所以f (x )在(0,1)上单调递增，故选A.答案：A3．(2015·福建卷)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1k <1kB ．f ⎝⎛⎭⎫1k >1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1<1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1>k k －1解析：∵f ′(x )＝li m x →0 f (x )－f (0)x －0，f ′(x )>k >1，∴f (x )－f (0)x >k >1，即f (x )＋1x >k >1， 当x ＝1k －1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＋1>1k －1×k ＝k k －1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>k k －1－1＝1k －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>1k －1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1<1k －1一定错误．故选C. 答案：C4．(2016·吉林四模)设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x )，对任意的x ∈R ，有f (－x )＋f (x )＝x 2，且x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>x .若f (2－a )－f (a )≥2－2a ，则实数a 的取值范围为( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)解析：∵f (－x )＋f (x )＝x 2，∴f (x )－12x 2＋f (－x )－12x 2＝0， 令g (x )＝f (x )－12x 2，∵g (－x )＋g (x )＝f (－x )－12x 2＋f (x )－12x 2＝0， ∴函数g (x )为奇函数．∵x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>x .∴x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＝f ′(x )－x >0，故函数g (x )在(0，＋∞)上是增函数，故函数g (x )在(－∞，0)上也是增函数，由f (0)＝0，可得g (x )在R 上是增函数．f (2－a )－f (a )≥2－2a ，等价于f (2－a )－(2－a )22≥f (a )－a 22， 即g (2－a )≥g (a )，∴2－a ≥a ，解得a ≤1，故选B.答案：B5．(2015·新课标全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－32e ，1B.⎣⎡⎭⎫－32e ，34 C.⎣⎡⎭⎫32e ，34 D.⎣⎡⎭⎫32e ，1 解析：设g (x )＝e x (2x －1)，y ＝ax －a ，由题知存在唯一的整数x 0，使得g (x 0)在直线y ＝ax －a 的下方．因为g ′(x )＝e x (2x ＋1)，所以当x <－12时， g ′(x )<0，当x >－12时， g ′(x )>0，所以当x ＝－12时， (g (x ))min ＝－2e －12， 当x ＝0时，g (0)＝－1，当x ＝1时，g (1)＝e>0，直线y ＝ax －a 恒过(1,0)，斜率为a ，故－a >g (0)＝－1，且g (－1)＝－3e －1≤－a －a ，解得32e≤a <1，故选D.答案：D二、填空题6．设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________.解析：(1)当a ＝1时，代入题中不等式显然不恒成立．(2)当a ≠1时，构造函数f (x )＝(a －1)x －1，g (x )＝x 2－ax －1，由它们都过定点P (0，－1)，如图所示．设函数f (x )＝(a －1)x －1与x 轴的交点M 坐标为(x 0,0)，即0＝(a －1)·x 0－1，x 0＝1a －1， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，0.易知a <1时不符合题意，∴a >1. ∵x >0时，f (x )·g (x )≥0，∴g (x )过点M ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －12－a a －1－1＝0， 解得a ＝32或a ＝0(舍去)． 答案：327．(2015·安徽卷)设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是__________．(写出所有正确条件的序号)①a ＝－3，b ＝－3 ②a ＝－3，b ＝2③a ＝－3，b >2 ④a ＝0，b ＝2⑤a ＝1，b ＝2.解析：令f (x )＝x 3＋ax ＋b ，求导得f ′(x )＝3x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0，所以f (x )单调递增，且至少存在一个数使f (x )<0，至少存在一个数使f (x )>0，所以f (x )＝x 3＋ax ＋b 必有一个零点，即方程x 3＋ax ＋b ＝0仅有一根，故④⑤正确；当a <0时，若a ＝－3，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)·(x －1)，易知，f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在[－1,1]上单调递减，所以f (x )极大值＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2，f (x )极小值＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2，要使方程仅有一根，则f (x )极大值＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2<0或者f (x )极小值＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2>0，解得b <－2或b >2，故①③正确，所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤.答案：①③④⑤8．(2016·河南南阳期中)已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x ·g (x )(a >0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (n )g (n )的前n 项和大于62，则n 的最小值为__________．解析：∵f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x )，∴f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0，∴⎝⎛⎭⎫f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )>0， 从而可得f (x )g (x )＝a x 单调递增，从而可得a >1， ∵f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝a ＋a －1＝52， ∴a ＝2.故f (1)g (1)＋f (2)g (2)＋…＋f (n )g (n )＝a ＋a 2＋…＋a n ＝2＋22＋…＋2n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2>62. ∴2n ＋1>64，即n ＋1>6，n >5，n ∈N *.∴n min ＝6.答案：6三、解答题9．已知函数f (x )＝ln x ＋k e k (k 为常数，e ＝2.718 28……是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数．证明：对任意x >0，g (x )<1＋e －2.解：(1)由f (x )＝ln x ＋k e x ，得f ′(x )＝1－kx －x ln x x e x，x ∈(0，＋∞)， 由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(2)由(1)得f ′(x )＝1x e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)， 令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0.又e x >0，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.因此f (x )的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)．(3)因为g (x )＝xf ′(x )，所以g (x )＝1e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)． 由(2)中h (x )＝1－x －x ln x ，求导得h ′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －lne －2)，所以当x ∈(0，e －2)时， h ′(x )>0，函数h (x )单调递增；当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减．所以当x ∈(0，＋∞)时，h (x )≤h (e －2)＝1＋e －2.又当x ∈(0，＋∞)时，0<1e x <1， 所以当x ∈(0，＋∞)时，1e x h (x )<1＋e －2，即g (x )<1＋e －2. 综上所述，结论成立．10．已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值；(2)证明：当x >0时，x 2<e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x . 解：解法一：(1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a .又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2.所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2.令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.当x <ln2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >ln2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以当x ＝ln2时，f (x )有极小值，且极小值为f (ln2)＝e ln2－2ln2＝2－ln4，f (x )无极大值．(2)令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x .由(1)，得g ′(x )＝f (x )≥f (ln2)＝2－ln4>0，即g ′(x )>0.所以g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1>0，所以当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2<e x .(3)对任意给定的正数c ，取x 0＝1c ，由(2)知，当x >0时，x 2<e x .所以当x >x 0时，e x >x 2>1c x ，即x <c e x .因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .解法二：(1)同解法一．(2)同解法一．(3)令k ＝1c (k >0)，要使不等式x <c e x 成立，只要e x >kx 成立．而要使e x >kx 成立，则只需x >ln(kx )，即x >ln x ＋ln k 成立．①若0<k ≤1，则ln k ≤0，易知当x >0时，x >ln x ≥ln x ＋ln k 成立．即对任意c ∈[1，＋∞)，取x 0＝0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .②若k >1，令h (x )＝x －ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，所以当x >1时，h ′(x )>0，h (x )在(1，＋∞)内单调递增．取x 0＝4k ，h (x 0)＝4k －ln(4k )－ln k ＝2(k －ln k )＋2(k －ln2)，易知k >ln k ，k >ln2，所以h (x 0)>0.因此对任意c ∈(0,1)，取x 0＝4c ，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .解法三：(1)同解法一．(2)同解法一．(3)①若c ≥1，取x 0＝0，由(2)的证明过程知e x >2x ，所以当x ∈(x 0，＋∞)时，有c e x ≥e x >2x >x ，即x <c e x .②若0<c <1，令h (x )＝c e x －x ，则h ′(x )＝c e x －1，令h ′(x )＝0，得x ＝ln 1c ，当x >ln 1c 时，h ′(x )>0，h (x )单调递增．取x 0＝2ln 2c ，h (x 0)＝c e2ln 2c －2ln 2c ＝2⎝⎛⎭⎫2c －ln 2c ，易知2c －ln 2c >0，又h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增，所以当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有h (x )>h (x 0)>0，即x <c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .11．(2016·山东淄博期中)设函数f (x )＝12x 2－2ax ＋(2a －1)ln x ，其中a ∈R .(1)a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)讨论函数y ＝f (x )的单调性；(3)当a >12时，证明：对∀x ∈(0,2)，都有f (x )<0.解：(1)a ＝1时，f (x )＝12x 2－2x ＋ln x ，f ′(x )＝x －2＋1x ，∴f ′(1)＝0.又f (1)＝－32，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＋32＝0.(2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －2a ＋2a －1x＝x 2－2ax ＋2a －1x＝(x －1)[x －(2a －1)]x ，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝2a －1，①当2a －1≤0，即a ≤12时，若x ∈(0,1)，f ′(x )<0；若x ∈(1，＋∞)，f ′(x )>0.②当0<2a －1<1，即12<a <1时，若x ∈(0,2a －1)，f ′(x )>0； 若x ∈(2a －1,1)，f ′(x )<0；若x ∈(1，＋∞)，f ′(x )>0.③当2a －1＝1，即a ＝1时，f ′(x )＝(x －1)2x≥0. ④当2a －1>1，即a >1时，若x ∈(0,1)，f ′(x )>0；若x ∈(1,2a －1)，f ′(x )<0；若x ∈(2a －1，＋∞)，f ′(x )>0.综上所述：当a ≤12时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)； 当12<a <1时，f (x )的单调递增区间为(0,2a －1)和(1，＋∞)，单调递减区间为(2a －1,1)； 当a ＝1时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a >1时，f (x )的单调递增区间为(0,1)和(2a －1，＋∞)，单调递减区间为(1,2a －1)．(3)①当12<a <1时，由(2)知f (x )在(0,2a －1)上单调递增，在(2a －1,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，∴f (x )≤max{f (2a －1)，f (2)}．而f (2)＝2－4a ＋(2a －1)ln2＝(2a －1)(ln2－2)<0，f (2a －1)＝12(2a －1)2－2a (2a －1)＋(2a －1)ln(2a －1)＝ (2a －1)·⎣⎡⎦⎤－a －12＋ln (2a －1)，记g (a )＝－a －12＋ln(2a －1)， a ∈⎝⎛⎭⎫12，1，g ′(a )＝－1＋22a －1＝－2⎝⎛⎭⎫a －322⎝⎛⎭⎫a －12， 又12<a <1，∴g ′(a )>0. ∴g (a )在a ∈⎝⎛⎭⎫12，1上单调递增．∴当a ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，g (a )<g (1)＝－32<0， 即－a －12＋ln(2a －1)<0成立．又a >12， ∴2a －1>0.∴f (2a －1)<0.∴当12<a <1，x ∈(0,2)时，f (x )<0. ②当a ＝1时，f (x )在(0,2)上单调递增，∴f (x )<f (2)＝ln2－2<0.③当a >1时，由(2)知，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1,2a －1)上单调递减，在(2a －1,2)上单调递增．故f (x )在(0,2)上只有一个极大值f (1)，∴当x ∈(0,2)时，f (x )≤max{f (1)，f (2)}．而f (1)＝12－2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a －14<0，f (2)＝2－4a ＋(2a －1)ln2＝(2a －1)(ln2－2)<0， ∴当a >1，x ∈(0,2)时，f (x )<0.综合①②③知：当a >12时，对∀x ∈(0,2)，都有f (x )<0.。
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→→ ＝0，则 OC·AB的值为 ( )
11 A ．－ 5 B.5
66 C．－ 5 D.5
→→ → 解析： ∵ 3OA＋ 4OB＋ 5OC＝ 0，
→→
→
→
→→
→
→
→
∴ 3OA＋ 4OB＝－ 5OC ，∴ 9OA2＋24OA·OB＋ 16OB2＝ 25OC 2，∵ A，B，C 在圆上， ∴ |OA
→→ |＝ |OB |＝ |OC|＝ 1.代入原式得
答案： D
6． (2016 ·四川巴蜀中学月考 )下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的 是( )
A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： 小数
π 是无理数；结论： π是无限不循环
B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： 理数
π是无限不循环小数；结论： π是无
C．大前提： π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论： 理数
A ． |a·b|≤ |a||b|
B．|a－ b|≤ ||a|－ |b|| C．( a＋ b)2＝|a＋ b|2 D． (a＋ b)( a－ b)＝ a2－ b2
解析： 因为 |a·b|＝ ||a||b|cos〈a，b〉|≤ |a ||b|，所以 A 选项正确；当
a 与 b 方向相反时， B
选项不成立，所以 B 选项错误；向量平方等于向量模的平方，所以 －b)＝ a2－ b2 所以 D 选项正确，故选 B.
C 选项正确； (a＋ b)(a
答案： B
→→ 4． (2016 ·山东淄博期中 )已知矩形 ABCD 中， AB＝ 2， BC＝ 1，则 AC·DB等于 ( )
A ． 1 B．－ 1
C. 6 D． 2 2 解析： 解法一：如图，以 A 为坐标原点， AB 为 x 轴， AD 为 y 轴建立平面直角坐标系，
8． (2016 ·江西赣州于都实验中学月考 )阅读程序框图，若输入 m＝ 4，n＝ 6，则输出 a， i 分别是 ( )
A ． a＝ 12， i ＝ 3 B ． a＝ 12， i＝ 4
C．a＝ 8， i＝ 3 D ． a＝ 8， i＝ 4 解析： 由程序框图得：第一次运行 i ＝ 1， a＝ 4；第二次运行 i＝ 2，a＝ 8；第三次运行 i ＝3， a＝ 12，满足 a 被 6 整除，结束运行，输出 a＝ 12， i＝ 3.故选 A. 答案： A
→→ OA·OB＝ 0，∴
→→ OC·AB＝－
1 5(3
→ OA
＋
→ 4 OB
)
→ ·( OB
－
→ OA )
＝－
1 5
→ (3OA
→ ·OB
＋
→ 4OB
2－
→ 3OA
2－
→→ 4OA·OB)
＝－
1 5.
答案： A
5． (2016 ·甘肃会宁四中期末 )将正整数排列如下：
1 234 56789 10 11 12 13 14 15 16 ,
a ＝ b 成立的充要 |a| |b|
A ． a＝－ b B ．a∥ b 且方向相同 C．a＝ 2b D ．a∥ b 且 |a|＝ |b|
解析： 非零向量
a、 b 使 a ＝ b 成立 ? |a| |b|
a＝ |a|b? |b|
a 与 b 共线且方向相同，故选
B.
答案： B
2．(2016 ·江西南昌一联 )已知 A，B，C 是平面上不共线的三点， O 是△ ABC 的重心，动
→ ＝λｍAB＋
(1－
→ λ)nAC①.又
→ BD
＝
1→ 2DC
，∴
→ AD
－
→ AB＝
12A→C－
1→ 2AD
，∴
→ AD ＝
13A→C ＋
2→ 3AB
②
.由①②
知 λｍ＝23， (1－ λ)n＝13.∴ m2＋ 1n＝ 3，故选 D.
答案： D
3． (2015 ·陕西高考 )对任意向量 a，b，下列关系式中不恒成立的是 ( )
则在表中数字 2 016 出现在 ( )
A ．第 44 行第 81 列 B ．第 45 行第 81 列
C．第 44 行第 80 列 D ．第 45 行第 80 列
解析： 依题意可知第 n 行有 (2n－ 1)个数字，前 n 行的数字个数为 1＋ 3＋ 5＋, ＋ (2n－ 1)＝ n2(个 )，∵ 442＝ 1 936,45 2＝ 2 025，且 1 936<2 016,2 025>2 016 ，∴ 2 016 在第 45 行，又
＋2A→C. 3
故选
C.
答案： C
→ AD
＝
→ AB＋
→ BD
＝
→ AB＋
2→ 3BC
＝
→ AB＋
2 3(
→ AC
－
→ AB)＝
1→ 3AB
1 2． (2016 ·福建南安期中 )在△ ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且满足 BD ＝2DC ，过点 D
→ →→ → 的直线分别交直线 AB， AC 于不同的两点 M ， N，若 AM ＝ mAB， AN＝ nAC，则 ( )
－b2＝ 2－ 1＝ 1.故选 A.
答案： A 5． (2016 ·山东德州一中一模 )用数学归纳法证明“ 验证 n＝ 1 时，左边计算所得的式子为 ( )
1＋ 2＋ 22＋, ＋ 2n＋2＝ 2n＋3－ 1”，在
A．1
B． 1＋ 2
2
C．1＋ 2＋ 2
D ． 1＋2＋ 22＋ 23
解析： 当 n＝ 1 时，左边＝ 1＋ 2＋22＋23.
A ． |b|＝ 1 B． a⊥ b
→ C．a·b＝ 1 D． (4a＋ b)⊥ BC
→ →→ 解析： 如图，由题意， BC＝ AC－ AB＝ (2a＋b) －2a＝ b，则 |b|＝ 2，故 A 错误．因为 |2a|
→→ ＝2|a|＝ 2，所以 |a|＝ 1，又 AB·AC＝ 2a·(2a＋ b)＝ 4|a|2＋ 2a·b＝2× 2cos60°＝ 2，所以 a·b＝－ 1，
课时巩固过关练 (二) 向量运算与复数运算、算法、合情推理
A组
一、选择题
→→
→
1． (2016 ·广东佛山期中 )如图，在△ ABC 中，已知 BD ＝ 2DC，则 AD等于 ( )
A
．－
12A→B＋
3→ 2AC
B.12A→B＋
3→ 2AC
1→ C. AB
＋2A→C
33
D.
1A→B－
2→ AC
33
解析：根据平面向量的运算法则可知：
＋
23O→C，即
→→ →
→→
3OP＝ OM ＋2OC，也就是 MP ＝ 2PC，∴ P， M ， C 三点共线，且 P 是 CM 上靠近 C 点的一
个三等分点．
答案： B
3．(2015 ·安徽高考 )△ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 ＝2a＋ b，则下列结论正确的是 ( )
→
→
a，b 满足 AB ＝ 2a，AC
A ． m＋ n 是定值，定值为 2
B．2m＋n 是定值，定值为 3 C.m1 ＋ 1n是定值，定值为 2
D.m2 ＋ 1n是定值，定值为 3
解析：
解法一：过点
C 作 CE 平行于
MN 交 AB 于点
E.由
→→ AN＝ nAC可得
AACN＝ 1n，∴
AE EM
＝
AC CN
＝
1 ，由 n－ 1
BD
＝
1 2DC
2 025－ 2 016＝ 9，且第 45 行有 2× 45－1＝ 89 个数字，∴ 2 016 在第 89－ 9＝ 80 列．故选 D. 答案： D
π是无
D．大前提： π是无限不循环小数；小前提： π是无理数；结论：无限不循环小数是无 理数
解析： 对于 A，小前提与结论应互换，错误；对于 B ，符合演绎推理过程且结论正确；
对于 C，大前提和小前提颠倒，错误；对于 D ，大、小前提和结论颠倒，错误．故选 B.
答案： B
7． (2016 ·四川雅安中学月考 )执行如图所示的程序框图，若输入的 的 S 等于 ( )
解析： 根据 a＋ b＝(5，－ 10)，a－ b＝ (3,6)，求得 a＝ (4，－ 2)，b＝ (1，－ 8)，根据投影
公式可得
b 在 a 方向上的投影为
a|a·b| ＝
4＋ 2
16＝ 5
2
5.
答案： 2 5
13．(2016 ·河北南宫一中周测 )某天， 小赵、 小张、 小李、 小刘四人一起到电影院看电影， 他们到达电影院之后发现，当天正在放映 A， B， C，D ，E 五部影片，于是他们商量一起看 其中的一部影片：
点
P
满足
→ OP
＝
1
3
1→ 2OA
＋
12O→B＋
→ 2OC
，则点
P 一定为△ ABC 的(
)
A ． AB 边中线的中点 B．AB 边中线的三等分点 (非重心 )
C．重心
D． AB 边的中点
解析： 设 AB 的中点为
M
，则
12O→A＋
12O→B＝
→ OM
，∴
→ OP＝
1→ 3(OM
＋
→ 2OC)＝
1→ 3OM
1， 2
1＋
sinθ，且
a∥ b，则锐
角 θ等于 __________．
解析：
∵ a∥ b，∴
(1－ sinθ)(1 ＋sin θ) ＝1，∴ 2
cosθ＝±22.又
θ为锐角，∴
θ＝ 45°.
答案： 45°