浙江省七彩阳光联盟2020届高三上学期期初考试数学试题(解析版)

浙江省“七彩阳光”联盟2020届高三上期初联考数学考生须知：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。

4.考试结束后，只需上交答题卷。

参考公式：球的表面积公式 锥体的体积公式球的体积公式 其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高台体的体积公式其中R 表示球的半径柱体的体积公式 其中Sa,Sb 分别表示台体的上、下底面积 V ＝Sh h 表示台体的高 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高选择题部分（共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、 已知集合A ＝｛－1，0，1，2｝，B ＝｛22x y x =-｝，则A ∩B ＝（ ）A 、｛－1， 1｝B 、｛0｝C 、｛－1，0，1｝D 、｛－1，0，1，2｝ 答案：C考点：二次根式，一元二次不等式，集合的运算。

解析：22{|2}{|20}{|22}B x y x x x x x ==-=-≥=-≤≤，所以AB ={1,0,1}-，故选C.2、双曲线2213x y =－与2213y x =－有相同的（ ）A 、离心率B 、渐近线C 、实轴长D 、焦点 答案：D考点：双曲线的性质。

解析：2213x y =－中a ＝3，b ＝1，242c c =⇒=，2213y x =－中a ＝1，b ＝3，242c c =⇒=，所以焦点相同，故选D.3、设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为（ ）A 、6B 、5C 、72D 、0 答案：B 考点：解析：作出满足约束条件的平面区域，如图所示，目标函数即2y x z =-+，易知过A （2,1）时有最大值z ＝5.故选B.4、某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：3cm ）是（ ）A 、6B 、2C 、3D 、1第4题图112211俯视图侧视图正视图答案：A 考点：三视图。

解析：该几何体是2个四棱柱组成的组合体， 底面积为：S ＝2×12（1＋2）＝3， 326V sh ==⨯=，故选A.5、若a ＋b ＞0，则（ ）答案：B考点：不等式，对数、三角函数。

解析：由a ＋b ＞0，a ，b 中有可能其中一个小于0，则对ln a 或lnb 没有意义，故A 错； 由a b >-得333()a b b >-=-，所以330a b +>，故B 正确； 当3,44a b ππ==时，a ＋b ＞0，但tan a ＋tanb ＝0，故C 错； 当a ＝－1，b ＝2时，a ＋b ＞0，但｜a ｜＞｜b ｜不成立，D 错。

故选B.6、“点(),a b 在圆221x y +=内”是“直线10ax by ++=与圆221x y +=相离”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件答案：C考点：充分必要条件解析：若点(,)a b 在圆221x y +=内，则221a b +<，则圆心O 到直线10ax by ++=的距离为2211d a b =>+，故直线10ax by ++=与圆221x y +=相离，反之亦然.故选C.7、函数的图象大致为（ ）答案：A考点：函数图象。

解析：由定义域可知，x ≠0，所以，排除C 、D ；当(0,)x π∈时，函数2()f x x =-与()cos g x x =无交点，排除B ； 或令x ＝π，得：21()f πππ-+=＞0，所以，排除B ；故选A.8、如图，四棱柱S ABCD -中，底面是正方形，各侧棱都相等，记直线SA 与直线AD 所成角为α，直线SA 与平面ABCD 所成角为β，二面角S AB C --的平面角为γ，则（ ）A 、αβγ>>B 、γαβ>>C 、αγβ>>D 、γβα>>答案：C考点：线面角，二面角。

解析：如图，过S 作SO ⊥平面ABCD ，过O 分别作分别,OE BC OF CD ⊥⊥于E 、F ，连接,,OC SE SF ，FEO第8题图DCBAS则,,SCE SCO SFO αβγ∠=∠=∠=， 因为sin sin SE SOSC SC αβ=>=，所以αβ>， 又因为tan tan SO SEOF CEγα=<=，所以γα<， 而tan tan SO SOOF OCγβ=>=，所以γβ>， 综上可得，αγβ>>，故选C.9、设()xf x e bx c =++，若方程f （x ）＝x 无实根，则（ ）A 、b ＞1，c ＜1B 、b ＞1，c ＞－1C 、b ≤1，c ＜1D 、b ≤1，c ＞－1 答案：D考点：指数函数，一次函数的图象，方程的根与恒成立问题。

解析：()f x x =无实根，可得()f x x >恒成立，即(1)x e b x c >--对任意实数x 恒成立，所以10,1b c ->-<，或1,0b c =-≤，故选D.10、已知数列{}n a 满足()()1211n n n n a a n +++-＝，前n 项和为n S ，且20191009m S +-＝，下列说法中错误的（ ）A 、m 为定值B 、1m a +为定值C 、20191S a -为定值D 、1ma 有最大值 答案：A考点：数列，基本不等式。

解析：当2n k =时，由已知得(21)2212(1)k k k k a a k +++=- 所以201912320191234520182019()()()S a a a a a a a a a a a =++++=+++++++1112468102018100820181010a a a =-+-+-+-=+-=-，故201911010S a -=-，11101010091m a m a +-=-⇒+=， 所以，2111()24m a ma +≤=，B 、C 、D 都正确。

故选A.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分 11、设()2lg xf x x =+，则()1f = ，()()25f f += ．答案：2，37考点：指数、对数运算。

解析：25(1)2,(2)(5)2lg 22lg537f f f =+=+++=.12、已知两条平行直线l 1：a x ＋y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0的距离为d ，则a ＝ ，d = ． 答案：22 考点：直线方程。

解析：因为12//l l ，所以1a =-，两直线的距离为4222d ==. 13、已知正项等比数列{}n a 满足，则n a = ，数列{}2log n a 的前n 项和为 ． 答案：12n -+，(1)2n n --考点：等比数列的性质，对数运算。

解析：2745a a a a =，2195a a a =，2465a a a =，由12671911,16a a a a a a ==得，11511,()2162n n n a a --+===， 而2log 1n a n =-+，所以2{log }n a 的前n 项和为(1)2n n --.14、在ABC △中，a ＝3，b ＋c ＝12，B ＝120°，则b －c ＝ ，sin （B ＋C ）＝ ． 答案：2，3314考点：余弦定理，正弦定理。

解析：由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得，2293453b c c b c =++⇒-=，所以7,5b c ==，而731433sin sin()sin sin sin 143a A B C A B A =⇒=⇒=+=. 15、已知F 是椭圆C ：22221(0)x y ab a b+=>>的一个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点，若POF △为等边三角形，则C 的离心率为 ． 答案：3－1 考点：椭圆的性质。

解析：设F 为椭圆C 的右焦点，P 为椭圆C 在第一象限内的点，由题意可知3(,)22cc P ， 代入椭圆方程得22223144c c a b+=，即222234423311e e e e e +=⇒-=-⇒=--. 16、已知函数，若存在，使得，则正整数n 的最大值为 ．答案：4考点：函数的值域。

解析：当1[,1]16x ∈时，1()[1,3]4f x ∈，要使正整数n 尽可能大，则应该是5111344++=，故n 的最大值为4.17、已知向量a ，b 满足｜a ｜＝4，()t t -∈R b a 的最小值为1，当()⋅-b a b 最大时，｜a －2b ｜＝ ． 答案：2考点：平面向量。

解析：设OA =a ，OB =b ，由题意知||4OA =，B 点到直线OA 的距离为1，设OA 的中点为C ，则()⋅-b a b =222()()4413OB OA OB BO BA BC CA BC ⋅-=-⋅=--=-≤-=， 当且仅当||1BC =时，等号成立，此时，|2-a b ||2|2||2OA OB BC =-==三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18、（14分）已知函数()()2cos cos 3sin 1f x x x x =+-，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最小正周期和对称轴；（2）求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最值及相应的x 的值．19、（15分）如图，ABCDEF 是由两个全等的菱形ABEF 和CDFE 组成的空间图形，AB ＝2， ∠BAF ＝∠ECD ＝60°．（1）求证：BD DC ⊥；（2）如果二面角B EF D --的平面角为60︒，求直线BD 与平面BCE 所成角的正弦值．20、（15分）已知正项数列{}n a 的前n 项和n S ，且对一切n *∈Ν，有333212n n a a a S +++=．求证： （1）对一切n *∈Ν，有2112n n n a a S ++-=；（2）数列{}n a 是等差数列； （3）对一切n *∈Ν，22221231233n n a a a a ++++<．21、（15分）过抛物线()220x py p =>外一点P 作抛物线的两条切线，切点为M ，N ，F 为抛物线的焦点，证明：（1）｜PF ｜2＝｜MF ｜·｜NF ｜；（2）∠PMF ＝∠FPN ．22、（15分）已知函数()e x f x mx =-． （1）2m =时，求()f x 的单调区间；（2）若0x >时，不等式()()2220x f x mx -++>恒成立，求实数m 的取值范围．2019-2020学年第一学期浙江“七彩阳光”联盟期初联考高三数学 参考答案18.解析：（Ⅰ）()2cos (cos 3sin )1cos 23sin 2f x x x x x x =+-=+………………2分2sin(2)6x π=+，………………4分故函数()f x 的最小正周期为π，………………6分 函数()f x 的对称轴方程为,26k x k Z ππ=+∈. ………………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）()2sin(2)6f x x π=+，当[0,]2x π∈时，72[,]666x πππ+∈，………………10分 因此，当6x π=时，()f x 有最大值2；………………12分当2x π=时，()f x 有最小值1-.………………14分（直接求出最值及相应的x 的值也给满分）19.解析：（Ⅰ）如图，取EF 的中点G ，连接BG 、DG 在菱形ABEF 中， ∵60BAF ∠=，∴ BEF ∆是正三角形，∴ EF BG ⊥， ………………2分 同理在菱形CDEF ，可证EF DG ⊥， ………………4分 ∴ EF ⊥平面BDG ， ∴ EF BD ⊥………………6分 又∵ //CD EF ，∴ CD BD ⊥. ………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BGD ∠就是二面角B EF D --的平面角， 即60BGD ∠=， 又3BG GD ==，所以BDG ∆是正三角形，故有3BD =，如图，取DG 的中点O ，连接BO ，则BO DG ⊥， 又由（Ⅰ）得EF BO ⊥， 所以，BO ⊥平面CDFE ，且32BO =， 又BD CD ⊥，在直角BDC ∆中，7BC =，第19题图E FDCBAG OE FDCBAG所以173774244BCE S ∆=⋅⋅-=， 设D 到平面BCE 的距离为h ，则11333433242B DCE DCE V BO S -∆=⋅⋅=⨯⨯⨯=， 113733342D BCE BCE V h S h -∆=⋅⋅=⨯⨯=， 所以2217h =， 故直线BD 与平面BCE 所成角正弦值为277h BD =. （建系或作出线面角的平面角按步骤相应给分）20.解析：（Ⅰ）由333212+n n a a a S ++=，得333321211+n n n a a a a S +++++=，两式相减得3221111()n n n n n n a S S a S S ++++=-=+………………2分因为，0n a >，所以21112n n n n n a S S S a +++=+=+，所以，对一切*n N ∈，有2112n n n a a S ++-=. ………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）2112n n n a a S ++-=可得，212(2)n n n a a S n --=≥，两式相减得，22112(2)n n n n n a a a a a n ++--+=≥，即2211(2)n n n n a a a a n ++-=+≥，………………6分由于0n a >，所以11(2)n n a a n +-=≥，………………7分又1n =时，解得11a =；2n =时，32221(1)a a +=+，解得22a =，满足11n n a a +-=， 因此，对对一切*n N ∈，都有11n n a a +-=，即{}n a 是等差数列. ………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，n a n =，而当2n ≥时，2311111()()1+11+111n na n n n n n n n n n n =<=-⋅⋅-⋅⋅-⋅+--11111111()()211112n n n n n n n n n n n++-++-=-⋅=-⋅⋅-⋅+-+ 1111n n <--+，………………12分 所以，当2n ≥时，22221231231111111132411n n a a a a n n ++++<+-+-++--+ 2112321n n =+--<+，………………14分 又当1n =时，22221231233n n a a a a ++++<显然成立，所以，对一切*n N ∈，22221231233n na a a a ++++<.………………15分另法： 因为2(1)(1)(1)n n n n n n n =+>-+--,所以 11121(1)1n n n n n n n --<=-+--11112(1)1n n n n n n n n --⇒<=---, 从而 333111111111121223123n n n ⎛⎫++++<+-+-++- ⎪-⎝⎭233n=-<. 21. 证明：（Ⅰ）设001122(,),(,),(,)P x y M x y N x y ，易求得切线11:()PM x x p y y =+，切线22:()PN x x p y y =+，………………2分 因为点P 在两条切线上，所以10012002(),()x x p y y x x p y y =+=+.故点M 、N 均在直线00()xx p y y =+上，于是00:()MN l xx p y y =+，………………3分联立200220002()2()02xx p y y x y y y y p x py=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 由韦达定理得，2201201202(),x y y y y y y p+=-=，………………5分 而12||,||,22p p MF y NF y =+=+ 所以，22221212000||||()244p p p MF NF y y y y y x py ⋅=+++=+-+ 2220()||2p x y PF =+-=. ………………8分 （Ⅱ）由001122(,),(,),(,),222p p p FP x y FM x y FN x y =-=-=-知 2010*******()()()2224p p p p FP FM x x y y x x y y y y ⋅=+--=+-++ 2010101()()()2422p p p p y y y y y y =+++=++………………10分 所以，02cos ||||||p y FP FM PFM FP FP FM +⋅∠==⋅，………………12分 同理，02cos ||py PFN FP +∠=，………………13分 故cos cos PFM PFN ∠=∠，所以，PFM PFN ∠=∠，由（Ⅰ）知2||||||PF MF NF =⋅，所以，PFM ∆∽PFN ∆所以，PMF FPN ∠=∠.………………15分 另法：（Ⅰ) 由已知抛物线方程即为22x y p =,x y p '=.设221212,,,22x x M x N x p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则 切线PM 与PN 的方程分别为:221122,22x x x x y x y x p p p p =-=-.由21122222x x y x p p x x y x p p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可解得1212,22x x x x P p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 于是22222222121212122||222444x x x x x x x x p p PF p p ⎛⎫++⎛⎫=+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 22222221212122||||2222444x x x x x x p p p MF NF p p p ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.从而2||||||PF MF NF =.(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 22222221122()()||||24x p x p x x PM NF p p++-=⋅,22222212122()()||||24x p x p x x PN MF p p ++-=⋅. 所以22||||||||||||||||||||||||||MF NF PN NF PF PM NF PN MF PM MF MF MF =⇔===. 又由(Ⅰ)知||||||||PF NF MF PF =,于是||||||||||||PN PF NF PM MF PF ==,故PMF ∆∽NPF ∆,从而 PMF FPN ∠=∠.22.解析：（Ⅰ）当2m =时，()2x f x e x =-，则()2x f x e '=-，………………2分所以，当ln 2x >时，()0f x '>；ln 2x <时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(ln 2,)+∞，单调递减区间为(,ln 2)-∞. ………………4分（Ⅱ）设22()(2)()2(2)()2(2)22x x g x x f x mx x e mx mx x e mx =-++=--++=-++， 而()(1)2x g x x e m '=-+，令()(1)2x h x x e m =-+，则()x h x xe '=.于是，当0x >时，()0h x '>，()h x 为增函数，………………6分又由(2)420g m =+>，知12m >-. ………………8分(1)若1122m -<<，则2(0)120,(2)20g m g e m ''=-+<=+>， 此时，()g x '在区间(0,2)上有唯一零点，设为0x . ………………10分 则00x x <<时，()0g x '<.故()g x 在区间0[0,]x 上为减函数，0()(0)0g x g <=. 因此，1122m -<<不符合要求. ………………12分 (2)若12m ≥，则0x >时，()(0)120g x g m ''>=-+≥.此时，()g x 在区间[0,)+∞上为增函数.故0x >时，()(0)0g x g >=. 因此，12m ≥符合要求.综上，m 的取值范围是1[,)2+∞.……………15分。