【2021模块复习】第五章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示+参考答案
高考数学专题《平面向量的基本定理及坐标表示》习题含答案解析
专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示1．（2021·全国高一课时练习）已知向量()1,2a =- ，()3,1b =- ，(),2c m = ，(2)c a b ⊥- ，则m 的值为（ ）ABC ．2D ．10【答案】C 【解析】先求出2a b -的坐标，再借助向量垂直的坐标表示即可得解.【详解】因()1,2a =- ，()3,1b =- ，则()25,5a b -=- ，而(),2c m = ，(2)c a b ⊥-，于是得(2)0c a b ⋅-=，即5520m -+⋅=，解得2m =，所以m 的值为2.故选：C2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知()24,4,3a b a b ==-=- ，，记a 与b 夹角为θ，则cos θ的值为（ ）A ．1320B ．516-C ．34D ．57-【答案】B 【解析】利用平面向量数量积的定义以及模长公式求解即可.【详解】因为()4,3a b -=- ，所以5a b -=，因为a b -== 所以25416=+-16cos θ，所以5cos 16θ=-．故选:B .练基础3.（2021·天津和平区·高一期末）已知正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 的中点，F 是线段AE 上的点，则AF CF ⋅的最小值为（ ）A ．95B ．95-C ．1D ．1-【答案】B 【解析】根据题意，建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可.【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，()0,0A ，()2,1E ，()2,2C ，由F 是线段AE 上的点，设,2x F x ⎛⎫⎪⎝⎭，且02x ≤≤，因此,2x AF x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，2,22x CF x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故()25223224x x xAF x x x CF ⋅⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭，因02x ≤≤，所以当65x =时，AF CF ⋅ 取最小值95-.故选：B.4．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，平行四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 在线段BE 上，且3BF FE =，记a BA = ，b BC = ，则CF =（）A ．2133a b+ B ．2133a b-C ．1348a b-+D ．3548a b-【答案】D 【解析】取a BA = ，b BC = 作为基底，把BE 、BF用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出CF .【详解】取a BA = ，b BC =作为基底，则12BE a b =+ .因为3BF FE =，所以3313344248BF BE a b a b ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ，所以33354848CF BF BC a b b a b =-=+-=-.故选：D.5.（2021·全国高一专题练习）已知A B P ，，三点共线，O 为直线外任意一点，若OP xOA y OB →→→=+，则x y += ________.【答案】1【解析】由共线可设AB BP λ→→=，进而得OB OA OP OB λ→→→→⎛⎫= ⎪⎝-⎭-，化简对应的,x y 即可得解.【详解】∵,,A B P 三点共线，∴存在非零实数λ，使得AB BP λ→→=，∴OB OA OP OB λ→→→→⎛⎫= ⎪⎝-⎭-∴11OP OB OAλλλ→→→+=-∵OP xOA y OB →→→=+，∴111x y λλλ+⎛⎫+=-= ⎪⎭+⎝.故答案为：16．（辽宁高考真题）在平面直角坐标系中，四边形的边，，已知点，，则D 点的坐标为___________.【答案】【解析】平行四边形中，，∴，即点坐标为，故答案为.7．（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）设已知向量()1,1a =，向量()3,2b =- .（1）求向量2a b -的坐标；（2）当k 为何值时，向量ka b +与向量2a b -垂直.【答案】（1）()7,3-；（2）274k =.【解析】（1）进行向量坐标的减法和数乘运算即可得出2(7,3)a b -=-；（2）可求出(3,2)ka b k k +=-+ ，然后根据ka b + 与2a b - 垂直即可得出7(3)3(2)0k k --+=，解出k 即可．【详解】（1）∵()1,1a =，()3,2b =- ，∴()27,3a b -=-r r.（2）∵()3,2ka b k k +=-+r r ，且ka b + 与2a b - 垂直，∴()()73320k k --+=，解得274k =.8．（2021·江西新余市·高一期末（文））已知||4a =，(b =-xoy ABCD //AB DC //AD BC ()20A -，()68B ，()8,6C ()0,2-ABCD OB OD OA OC +=+()()()()2,08,66,80,2OD OA OC OB =+=+----=D ()0,2-()0,2-（1）若//a b ，求a的坐标；（2）若a 与b的夹角为120°，求a b -r r .【答案】（1）(2,-或(2,-；（2）.【解析】（1）先求与向量b 共线的单位向量，结合//a b ，即可得出a的坐标；（2）先根据夹角求出a b ⋅，根据模的运算律22a a = ，即可得到a b -r r .【详解】解：（1）(b =- Q ，||2b ∴=∴与b共线的单位向量为12b c b ⎛=±=±- ⎝.||4a = Q ，//a b，(||2,a a c ∴==-或(2,-.（2）||4a = Q ，||2b =，,120a b <>=︒ ，||||cos ,4a b a b a b ∴⋅==-，222()228a b a a b b ∴-=-⋅+=，||a b ∴-=9．（2021·全国高一专题练习）如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 边上的点，12CD AE DA EB ==，记BC a →= ，CA b →= .试用向量a →，b →表示DE .【答案】1()3DE b a →→=- 【解析】根据向量的减法及向量的数乘，化简即可求解.【详解】因为111()()333AE AB CB CA a b →→==-=-- ，2233AD AC b →==- ，所以121()()()333DE AE AD a b b b a →→→→→=-=----=- .即1()3DE b a →→=- 10．（2021·江西省万载中学高一期末（理））已知向量(1,3),(1,)a b t →→=-=，若(2)a b a →→→+⊥，（1）求向量a →与b →的夹角；（2）求3a b →→-的值．【答案】（1）34π；（2）．【解析】（1）根据(2)a b a →→→+⊥得到2t =，再求出=5a b →→⋅-，a →=，b →=，即得解；（2）直接利用向量的模的坐标公式求解.【详解】（1）Q (1,-3),(1,)a b t →→==，()23,32a b t →→∴+=-+，Q (2)a b a →→→+⊥，()(2)=3132-30a b a t →→→+⋅⨯+-+⨯=∴（），解得2t =，11-325a b →→∴⋅=⨯+⨯=-（），a →=，b →=，cos ,a ba b a b→→→→→→⋅∴<>===⋅，所以向量a →与b →的夹角为34π.（2）Q 2223969106-55125a b a a b b →→→→→→-=-⋅+=⨯-⨯+=（），3a b →→∴-=．练提升1．【多选题】（2021·浙江高一期末）任意两个非零向量和m ，n ，定义：m n m n n n⋅⊗=⋅，若平面向量,a b满足||2||0a b ≥> ，a 与b 的夹角πθ0,3æöç÷Îç÷èø，且a b ⊗ 和b a ⊗ 都在集合4n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b ⊗ 的值可能为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】CD 【解析】由已知得集合{|}4nn Z ∈的元素特征，再分析a b ⊗ 和b a ⊗ 的范围，再由定义计算后，可得答案.【详解】首先观察集合311113{|},1,,,,0,,,,1,4424424n n Z ⎧⎫∈=⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，从而分析a b ⊗ 和b a ⊗ 的范围如下：因为(0,3πθ∈，∴1cos 12θ<<，而cos b b a b a a a a θ⋅⊗==⋅，且||2||0a b ≥> ，可得10cos 2b a θ<< ，又∵b a ⊗∈ {|}4n n Z ∈中，∴1cos 4b a θ= ，从而14cos b a θ= ，∴2cos 4cos a a b a b b b b θθ===⋅⋅⊗ ，又21cos 14θ<<，所以214cos 4a b θ⊗<=< ．且a b ⊗ 也在集合{|}4n n Z ∈中，故有2a b ⊗= 或3．故选：CD.2．（2021·江西新余市·高一期末（文））如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC mOA nOB =+，则m n +的取值范围是___________.【答案】(1,0)-【解析】如图所示，由A ，B ，D 三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数λ满足(1)OD OA OB λλ=+-，OD tOC = ，1t<-，(1)tOC OA OB λλ=+- ，即1OC OA OB t tλλ-=+，与OC mOA nOB =+两比较，即可得出．【详解】解：如图所示，A Q ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ满足(1)OD OA OB λλ=+-，又OD tOC =，1t <-，(1)tOC OA OB λλ∴=+-，即1OC OA OB t tλλ-=+，与OC mOA nOB =+两比较，可得m tλ=，1n tλ-=，则1(1,0)m n t+=∈-．m n ∴+的取值范围是(1,0)-．故答案为：(1,0)-．3．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））已知A (1，1)，B (0，1)，C (1，0)，M 为线段BC 上一点，且CM CB λ= ，若MA BC MB MC ⋅>⋅，则实数λ的取值范围是___________.【答案】1⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据CM CB λ=可得1x y λλ=-⎧⎨=⎩，再表示出MA MB MC BC ，，，坐标，由条件可得2220x y y +-≤，再将1x y λλ=-⎧⎨=⎩代入可得关于λ的不等式，从而可得答案.【详解】解析：设点(),M x y ，由CM CB λ=，得()()1,1,1x y λ-=-，所以1x y λλ=-⎧⎨=⎩.因为MA BC MB MC ⋅>⋅，所以()()()()1,11,1,11,x y x y x y --⋅-≥----，即2211x y x x y y --+≥-+-+，化简得2220x y y +-≤将1x y λλ=-⎧⎨=⎩代入2220x y y +-≤，得()22120λλλ-+-≤，即22410λλ-+≤，解得11λ≤≤+因为M 为线段BC 上一点，且CM CB λ=，所以01λ≤≤.综上，可知11λ≤≤.故实数λ的取值范围是1⎡⎤⎢⎥⎣⎦.4．（江苏高考真题）在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为与OC 的夹角为α，且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45∘，若OC =mOA +nOB (m,n ∈R )，则m +n =_________．【答案】3【解析】以OA 为x 轴，建立直角坐标系，则A (1,0)，由OC 的模为2与OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7知，cos α=210,sinα=210 ，可得B (cos(α+45∘),sin (α+45∘))，∴B ―35,，由OC =mOA +nOB可得=m ―35n,45n=m ―35n75=45nm =54,n =74，∴m +n =3，故答案为3.5．（2021·福建漳州市·高一期末）在平面直角坐标系xOy中，已知向量m =，()sin ,cos n x x = ，()0,x π∈．若//m n u r r，则x =______；若存在两个不同的x 值，使得n m t n += 恒成立，则实数t 的取值范围为______．【答案】34π)2．【解析】根据向量平行的坐标表示可求34x π=；用坐标表示出n m t n += ，结合三角函数的图象可得实数t 的取值范围.【详解】x x =，则tan 1x =-，又()0,x π∈，则34x π=；计算得sin ,cos m n x x +=+ ，则m n +== ，又存在两个不同的x 值，使得n m t n +=恒成立，则t =()0,π上有两个不同的解，令()22sin ,0,4y x x ππ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，由()0,x π∈，得3,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，2t <<．故答案为：34π；)2．6．（2021·天津滨海新区·高一期末）已知四边形ABCD ，0AB BC ⋅= ，AD BC λ=u u u r u u u r，1AB AD ==，且||||CB CD CB CD ⋅= ，（i ）λ=___________；（ii ）若2DE EC = ，动点F 在线段BE 上，则DF FC ⋅ 的最大值为___________.【答案】12 613 【解析】利用向量的数量积可得4BCD π∠=，过点D 作BC 的垂线，垂足为O ，可得1DO OC ==，进而可得2BC AD =，求出λ；以B 为坐标原点，,BC BD 为,x y 建立平面直角坐标系，首先求出点E 坐标，设(),F x y ，利用向量共线求出5x y =，再由向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】由||||CB CD CB CD ⋅= 1212cos e e e e BCD ⋅=∠= 因为[]0,BCD π∠∈，所以4BCD π∠=，过点D 作BC 的垂线，垂足为O ，可得1DO OC ==，因为1AB AD ==，所以2BC AD =，由AD BC λ=u u u r u u u r ，所以12λ=.以B 为坐标原点，,BC BD 为,x y 建立平面直角坐标系，如图：则()1,1D ，()2,0C ，设(),E m n由2DE EC =，即()()1,122,0m n m n --=--，解得51,33m n ==，即51,33E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),F x y ，503x ≤≤，103y ≤≤， 则51,33BE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),BF x y = ，因为,,B F E 三点共线，所以5133y x =，即5x y =，()1,1DF x y =-- ，()2,FC x y =-- ，所以()()()()()21215125DF FC x x y y y y y y⋅=--+-=--+- 224626162261313y y y ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭，当413y =时，DF FC ⋅ 取得最大值为613.故答案为：12；6137．（2021·全国高一专题练习）已知A (-2，4)，B (3，-1)，C (-3，-4).设,,AB a BC b CA c === ，且3,2CM c CN b ==- .（1）求33a b c +-；（2）求满足a mb nc =+ 的实数m ，n ；（3）求M ，N 的坐标及向量MN 的坐标.【答案】（1）(6，-42)；（2）11m n =-⎧⎨=-⎩；（3）M (0，20)，N (9，2)，(9,18)MN =- .【解析】（1）利用向量加、减、数乘的坐标运算即可求解.（2）利用向量加法的坐标运算以及向量相等即可求解.（3）利用向量减法的坐标运算即可求解.【详解】由已知得a =(5，-5)，b =(-6，-3)，c=(1，8).（1）33a b c +-=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)=(15-6-3，-15-3-24)=(6，-42).（2）∵mb nc + =(-6m +n ，-3m +8n )，∴65385m n m n -+=⎧⎨-+=-⎩，解得11m n =-⎧⎨=-⎩.（3）设O 为坐标原点，∵3CM OM OC c =-=，∴3OM c OC =+ =(3，24)+(-3，-4)=(0，20).∴M (0，20).又∵2CN ON OC b =-=- ，∴2ON b OC =-+=(12，6)+(-3，-4)=(9，2)，∴N (9，2)，∴MN =(9，-18).8．（2021·全国高一课时练习）已知△ABC 的面积为S 23S ≤≤，且AB ·BC ＝3，AB 与BC 的夹角为θ.求AB 与BC 夹角的取值范围．【答案】,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】可设AB 与BC 夹角为θ，则据题意得出θ为锐角，且3||||cos AB BC θ= ，从而根据ABC V 的面积32S ∈tan 1θ…，这样根据正切函数在(0,2π的单调性即可求出θ的范围．【详解】解：Q 3AB BC ⋅= ，∴,AB BC 的夹角为锐角，设,AB BC 的夹角为θ，则：||||cos 3AB BC θ= ，∴3||||cos AB BC θ=，又3]2S ∈；∴()13||||sin 22AB BC πθ- …，∴13||||sin 22AB BC θ …，∴33tan 22θ…，∴tan 1θ…，∴64ππθ……，∴AB 与BC 夹角的取值范围为[,]64ππ．9．（2021·全国高一专题练习）已知O ，A ，B 是不共线的三点，且(,)OP mOA nOB m n R =+∈ （1）若m +n =1，求证：A ，P ，B 三点共线；（2）若A ，P ，B 三点共线，求证：m +n =1.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由1m n +=原式可代换为()1OP mOA m OB =+- ，再由()1OP m m OP =+-⎡⎤⎣⎦ ，两式联立变形即可求证；（2）由A ，P ，B 三点共线，可得AP PB λ= ，变形得()OP OA OB OP λ-=- ，整理成OP 关于,OA OB 的表达式，再结合OP mOA nOB =+ ，由对应关系即可求证【详解】（1）证明：若m +n =1，则()1OP mOA m OB =+- ，()1OP m m OP =+-⎡⎤⎣⎦ ，故()()11mOP m OP mOA m OB +-=+- ，即()()()1m OP OA m OB OP -=-- ，()1mAP m PB =- ，即,AP BP 共线，又,AP BP 有公共点，则A ，P ，B 三点共线；（2）证明：若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使得AP PB λ= ，变形得()OP OA OB OP λ-=- ，即()1OP OB OA λλ+=+ ，111OB OA OB OA OP λλλλλ+==++++ ，又OP mOA nOB =+ ，1111λλλ+=++，故1m n +=10．（2021·北京首都师大二附高一期末）在△ABC 中.∠BAC =120°，AB =AC =1（1）求AB BC ⋅ 的值；（2）如图所示，在直角坐标系中，点A 与原点重合，边AB 在x 轴上，设动点P 在以A 为圆心，AB 为半径的劣弧BC 上运动.求⋅ BP CP 的最小值.【答案】（1）32-；（2）12-.【解析】（1）由()10B ,，12C ⎛- ⎝，利用坐标公式求得数量积即可.（2）设点P 坐标为()2cos ,sin 03πθθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，求得⋅ BP CP 1sin 26πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的最值求得数量积的最值.【详解】解：（1）()10B ,，12C ⎛- ⎝，AB BC ⋅ ()331,022⎛=⋅-=- ⎝.（2）点P 在以A 为圆心，AB 为半径的劣弧BC 上运动，设点P 坐标为()2cos ,sin 03πθθθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，又()10B ,，12C ⎛- ⎝，⋅ BP CP ()1cos 1,sin cos ,sin 2θθθθ⎛=-⋅+ ⎝2211cos cos cos sin 22θθθθθ=-+-+1sin 26πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又203πθ≤≤，则5666πππθ≤+≤1sin 126πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，故当sin 16πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，⋅ BP CP 有最小值12-.1.（2019·全国高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t )，=1，则=（ ）A ．-3B ．-2C ．2D ．3【答案】C【解析】由，，得，则，．故选C ．2.（2021·全国高考真题（理））已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥ ，则k =________．【答案】103-.【解析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+ Q ,(),33110a c a c k ⊥∴=++⨯=Q n ，解得103k =-,故答案为：103-.3．（2021·全国高考真题（理））已知向量()()1,3,3,4a b == ，若()a b b λ-⊥ ，则λ=__________．【答案】35AB AC ||BC AB BC ⋅(1,3)BC AC AB t =-=- 1BC == 3t =(1,0)BC = (2,3)(1,0)21302AB BC ⋅=⋅=⨯+⨯=u u u r u u u r 练真题【解析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=-- ，所以由()a b b λ-⊥ 可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．4.（2021·全国高考真题（文））已知向量()()2,5,,4a b λ== ，若//a b r r ，则λ=_________．【答案】85【解析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=，解方程可得：85λ=.故答案为：85.5.（2018·北京高考真题（文））（2018年文北京卷）设向量a=（1,0），b=（−1,m ）,若a ⊥(ma ―b )，则m =_________.【答案】-1.【解析】∵a =(1,0),b =(―1,m )，∴ma ―b =(m ,0)―(―1,m )=(m +1,―m )，由a ⊥(ma ―b )得：a ⋅(ma ―b )=0，∴a ⋅(ma ―b )=m +1=0，即m =―1.6．（2020·北京高考真题）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD = _________；PB PD ⋅= _________．1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=- ，()0,1PB =- ，因此，PD == ，()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=- .1-.。
高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析
高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆上的点到焦点距离的最大值为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）设所求的椭圆方程为：由题意：所求椭圆方程为：．（2）若过点的斜率不存在，则．若过点的直线斜率为，即：时，直线的方程为由因为和椭圆交于不同两点所以，所以①设由已知，则②③将③代入②得：整理得：所以代入①式得，解得．所以或．综上可得，实数的取值范围为：．2.（2013•湖北）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选A．3.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量．【答案】【解析】以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设正方形的边长为，则设 .又向量所以，∴，∴，∴．由题意得∴当时，同时，时，取最小值为.【考点】平面向量的坐标运算，三角函数的性质.4.如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，，则的取值范围是．【答案】【解析】解：建立平面直角坐标系如图所示，则因为，所以所以，, 所以， 故答案应填.【考点】1、平面向量基本定理；2、向量的坐标表示；3、向量的数量积；4、一元二次函数的最值.5. 如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB 、AC 于M 、N 两点．若＝x ，＝y ，求的值．【答案】4 【解析】设＝a ，＝b ，则＝x a ，＝y b ，＝＝ (＋)＝ (a ＋b )．∴＝－＝ (a ＋b )－x a ＝a ＋b ，＝－＝y b －x a ＝－x a ＋y b . ∵与共线，∴存在实数λ，使＝λ.∴a ＋b ＝λ(－x a ＋y b )＝－λx a ＋λy b .∵a 与b 不共线，∴消去λ，得＝4.6. 已知点O (0,0)，A 0(0,1)，A n (6,7)，点A 1，A 2，…，A n －1(n ∈N ，n ≥2)是线段A 0A n 的n 等分点，则| ＋＋…＋OA n －1＋|等于( ) A ．5n B ．10n C ．5(n ＋1) D ．10(n ＋1)【答案】C【解析】取n ＝2，，则＋＋＝(0,1)＋(3,4)＋(6,7)＝(9,12)，所以| ＋＋|＝＝15，把n ＝2代入选项中，只有5(n ＋1)＝15，故排除A 、B 、D ，选C.7. 已知向量a=(cosθ,sinθ),b=(,-1),则|2a-b|的最大值为( ) A ．4 B ．4 C ．16D ．8【答案】B【解析】∵2a-b=(2cosθ-,2sinθ+1), ∴|2a-b|===故最大值为4.8. 已知向量a=(1,-2),b=(m,4),且a ∥b,那么2a-b=( )A．(4,0)B．(0,4)C．(4,-8)D．(-4,8)【答案】C【解析】由a∥b,得4=-2m,∴m=-2,∴b=(-2,4),∴2a-b=2(1,-2)-(-2,4)=(4,-8).9.已知向量a=(cosα,-2),b=(sinα,1)且a∥b,则tan(α-)等于()A．3B．-3C．D．-【答案】B【解析】选B.∵a=(cosα,-2), b=(sinα,1)且a∥b,∴=(经分析知cosα≠0),∴tanα=-.∴tan(α-)===-3,故选B.【方法技巧】解决向量与三角函数的综合题的方法向量与三角函数的结合是近几年高考中出现较多的题目,解答此类题目的关键是根据条件将所给的向量问题转化为三角问题,然后借助三角恒等变换再根据三角求值、三角函数的性质、解三角形的问题来解决.10.已知向量a＝(3,1)，b＝，若a＋λb与a垂直，则λ等于________．【答案】4【解析】根据向量线性运算、数量积运算建立方程求解．由条件可得a＋λb＝，所以(a＋λb)⊥a⇒3(3－λ)＋1＋λ＝0⇒λ＝4.11.设向量，，若满足，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为,所以, ,解得：，故选D.【考点】向量共线的条件.12.在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】过点作，交于，是边上任意一点，设在的左侧，如图，则是在上的投影，即，即在上的投影，，令，，，，故需要，，即，为的中点，又是边上的高，是等腰三角形，故有,选C.【考点】共线向量，向量的数量积.13.已知向量，若,则的最小值为．【答案】4【解析】,所以.【考点】1、向量的平行关系；2、向量的模；3、重要不等式14.已知向量，向量，且，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】，，即得．【考点】向量的坐标运算.15.已知点，，则与共线的单位向量为（）A．或B．C．或D．【答案】C【解析】因为点，，所以，，与共线的单位向量为.【考点】向量共线.16.已知向量，，若，则实数等于．【答案】.【解析】，两边平方得，则有，化简得，即，解得.【考点】平面向量的模、平面向量的坐标运算17.在中,已知,且,则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，，，故选A。
高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析
高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析1.设平面向量，，若，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，故，则，故=．【考点】1、向量共线；2、向量的模和坐标运算.2.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量．【答案】【解析】以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设正方形的边长为，则设 .又向量所以，∴，∴，∴．由题意得∴当时，同时，时，取最小值为.【考点】平面向量的坐标运算，三角函数的性质.3.已知向量，则向量的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为,则根据向量加法的坐标运算可得,故选D.【考点】向量的坐标运算4.在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是()A．=2--B．=++C．++=0D．+++=0【答案】C【解析】++=0,即=-(+),所以M与A,B,C共面.5.已知平面向量，，，则下列说法中错误的是( )A．∥B．C．对同一平面内的任意向量，都存在一对实数，使得D．向量与向量的夹角为【答案】C【解析】选项A正确，因为，所以；选项B正确，因为，所以；选项C 错误，因为，所以向量与向量是共线向量，由平面向量的基本定理可知，它们的线性组合不能表示出同一平面内的任意向量；选项D正确，，所以，，，所以，所以向量与向量的夹角为.【考点】1.平面向量的基本定理；2.平面向量的坐标运算；3.平面向量的夹角6.如图,在等腰三角形中,底边, , , 若, 则= ．【答案】【解析】以BC为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则设，可得，，故=，解得（负值舍去），故，，则 .【考点】1.平面向量的数量积；2.坐标法在向量中的运用.7.如图，在中，已知为线段上的一点，（1）若，求，的值；（2）若，，，且与的夹角为60°时，求的值。
【答案】（1），；（2）.【解析】（1）本题的背景是三点共线向量定理，我们都熟悉当为的中点时，，本题重在考查证明过程，切不可直接应用结论，证明思路就是把向量拆成向量表示，结论自然得证；（2）由于已知向量的模和夹角，很自然得联想到平面向量基本定理，将其它向量用基底表示，将所有向量的运算转化为基底的运算，问题不难解决.试题解析：（1）∵，∴，即， 3分∴，即， 5分（2）∵，∴，即 7分∴ 8分∴， 9分10分12分14分【考点】向量的线性运算、平面向量基本定理、向量的数量积.8.在中，点在上，且，点是的中点，若，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设 .因为是的中点，所以，即,解得，.【考点】1.平面向量的基本定理；2.向量运算的坐标表示.9.如图所示，是圆上的三点，线段的延长线于线段的延长线交于圆外的一点，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】线段的延长线与线段的延长线的交点为，则，在圆外，，又、、共线，故存在，使得，且，又，.，.选D.【考点】圆的性质，平面向量基本定理.10.已知向量在x轴上一点P使有最小值，则P的坐标为（）. A．（-3，0）B．（2，0）C．（3，0）D．（4，0）【答案】C【解析】设P的坐标为，则，，当时，值最小，此时P的坐标为，选C.【考点】1.向量的坐标运算；2.向量的数量积.11.已知向量，若与垂直，则______.【答案】【解析】，，.【考点】1.向量的模；2.向量垂直.12.已知向量，向量，则的最大值为．【答案】4【解析】因为向量，向量，所以=4+4－4（）=8-8sin(),其最大值为16，所以的最大值为4.【考点】本题主要考查平面向量的坐标运算，向量模的计算，向量的数量积，三角函数的性质。
高一数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析
高一数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析1.若向量与相等，其中，则=_________.【答案】-1【解析】由题意知，而向量与相等，∴，解得.【考点】相等向量的定义.2.已知点，和向量，若，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题可得，又，所以，即.【考点】向量坐标与端点坐标的关系，两向量共线的坐标运算.3.设R，向量，且，则 ( )A．B．C．D．10【答案】B【解析】因为，所以因此所以选B.【考点】向量平行与垂直的坐标表示4.若向量，则等于 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】设，则有，所以，解得，所以，选B.【考点】1.平面向量的基本定理；2.平面向量的坐标运算.5.已知，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于，，那么差向量的坐标等于对应的横坐标的差，以及纵坐标的差，故可知结论为，选C.【考点】向量的减法运算点评：主要是考查了向量的坐标运算，属于基础题。
6.与共线的单位向量是（）A．B．C．和D．和【答案】C【解析】根据单位向量的长度等于1，同时由于表示的为与向量共线的单位向量，即可知答案为C【考点】单位向量点评：主要是考查了单位向量的坐标运算，属于基础题。
7.设正六边形的中心为点,为平面内任意一点，则( )Ａ． B．Ｃ．3Ｄ．6【答案】D【解析】根据题意，由于对于正六边形内任意一点，与其两个顶点构成的向量的和等于该点P到中心O的向量的二倍，这是平行四边形法则得到的，因此可知6，故选D.【考点】向量的加法点评：主要是考查了向量的加法运算，属于基础题。
8.已知是所在平面内一点，且，则与的面积之比为（）Ａ． B．Ｃ．Ｄ．【答案】C【解析】根据题意，由于是所在平面内一点，且，那么对于,根据平行四边形的法则可知点O在过点C的中线四等分点处，故答案可知与的面积之比为，选C.【考点】向量的加法运算点评：主要是考查了向量的加法运算，以及平行四边形法则的运用，属于基础题。
第5章第2节 平面向量基本定理及坐标表示练习和答案
A．－3
B．3
C．1
D．－1
14. 如图，在正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，若 AC AM BD ，则λ＋μ＝( )
A.4
B.5
C.15
D．2
3
3
8
15. 给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ，它们的夹角为2π.如图所示，点 C 在以 O 为
3
圆心的圆弧 AB 上运动．若 OC xOA yOB ，其中 x，y R，则 x＋y 的最大值为
n 1 AC AB ＝(1－n)A→B＋nA→C.
5
5
又
AP
m
AB
2 5
AC
，∴
1 n m,
n 5
2 5
,
解得
n 2, m 1.
12.D
【 解 析 】 设 OP3 ＝ (x ， y) ， 则 由 OP3 ∥a 知 x ＋ y ＝ 0 ， 于 是 OP3 ＝ (x ， － x) ． 若
.
16. 在△ABC 中，点 D 满足 BD DC ，当点 E 在线段 AD 上移动时，若 AE AB AC ，
则 t ( 1)2 2 的最小值是
.
1. C. 2. B． 3. A． 4. A. 5. D． 6. A. 7. BC． 8. ABC
第 2 节 平面向量基本定理及坐标表示
OP3 OP1 (1 )OP2 ， 则 有 (x ， － x) ＝ λ(3,1) ＋ (1 － λ)( － 1,3) ＝ (4λ － 1,3 － 2λ) ， 即 4 -1 x, 3 2 x, 所以 4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选 D.
13. B
【解析】以点 A 为坐标原点，分别以 AB ， AD 的方向为 x 轴，y 轴的正方向，建立平面直
平面向量的基本定理及坐标运算讲义加题目解析
平面向量的基本定理及坐标运算知识讲解一、平面向量的基本定理1.平面向量基本定理：如果1e u r和2e u u r是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a r ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =r1122a e a e +u r u u r ．2.基底：我们把不共线向量1e u r ，2e u u r 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作{}12,e e u r u u r ．1122a e a e +u r u u r 叫做向量a r关于基底{}12,e e u r u u r 的分解式．注：①定理中1e u r ，2e u u r是两个不共线向量；②a r是平面内的任一向量，且实数对1a ，2a 是惟一的；③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．3.平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点O ，作11OE e =u u u u r u r ，22OE e =u u u u r u u r ，OA a =u u u r r ．由于1e u r 与2e u u r不平行，可以进行如下作图：过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ， 过点A 作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ， 于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =u u u u r u r ，22ON a e =u u u r u u r ，所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+r u u u r u u u u r u u u r u r u u r证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使12OA xe ye =+u u u r u r u u r ，则112212a e a e xe ye +=+u r u u r u r u u r ，E 2E 1e 2e 1O ANM即1122()()0x a e y a e -+-=u r u u r r ，由于1e u r 与2e u u r不平行，如果1x a -与2y a -中有一个不等于0，不妨设20y a -≠，则1212x a e e y a -=--u u r u r ， 由平行向量基本定理，得1e u r 与2e u u r平行，这与假设矛盾，因此10x a -=，20y a -=，即1x a =，2y a =．4‘证明A ，B ，P 三点共线或点在线上的方法：已知A 、B 是直线l 上的任意两点，O 是l 外一点，则对直线l 上任意一点P ，存在实数t ，使OP u u u r关于基底{},OA OB u u u r u u u r 的分解式为(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r ……①，并且满足①式的点P一定在l 上．证明：设点P 在直线l 上，则由平行向量定理知，存在实数t ，使AP t AB =u u u r u u u r()t OB OA =-u u u r u u u r ，∴(1)OP OA AP OA tOB tOA t OA tOB =+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r设点P 满足等式(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r ，则AP t AB =u u u r u u u r，即P 在l 上．其中①式可称为直线l 的向量参数方程式5.向量AB u u u r的中点的向量表达式：点M 是AB 的中点，则1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ．可推广到OAB ∆中，若M 为边AB 中点，则有1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r存在．二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：1.向量的直角坐标：如果基底的两个基向量1e u r ，2e u u r 互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA u u u r所唯一确定．设点A 的坐标为(,)x y ，由平面向量基本定理，有12(,)OA xe ye x y =+=u u u r u r u u r，即点A 的位置向量OA u u u r的坐标(,)x y ，也就是点A 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA u u u r的坐标．3.设12(,)a a a =r ，12(,)b b b =r，则①1122(,)a b a b a b +=++r r ；②1122(,)a b a b a b -=--r r ；③1212(,)(,)a a a a a λλλλ==r注：① 两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；② 数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．4.坐标含义：若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则向量2121(,)AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．5.用平面向量坐标表示向量共线条件：设12(,)a a a =r ，12(,)b b b =r，则12210a b a b -=就是两个向量平行的条件．若向量b r不平行于坐标轴，即10b ≠，20b ≠，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．典型例题一．选择题（共11小题）1．（2018•新课标Ⅰ）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →=（ ）A ．34AB →﹣14AC → B ．14AB →﹣34AC → C ．34AB →+14AC →D ．14AB →+34AC →【解答】解：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点， EB →=AB →﹣AE →=AB →﹣12AD →=AB →﹣12×12（AB →+AC →）=34AB →﹣14AC →， 故选：A ．2．（2018•城关区校级模拟）在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD →=3DC →，AD →=xAB →+yAC →，则（ ）A ．x =13，y =23B ．x =14，y =34C ．x =23，y =13D ．x =34，y =14【解答】解：在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD →=3DC →，AD →=xAB →+yAC →，AD →=AB →+BD →=AB →+34BC →=AB →+34(BA →+AC →)=14AB →+34AC →，所以x=14，y=34．故选：B ．3．（2018•资阳模拟）平行四边形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →=λAM →+μBD →，则λ+μ=（ ）A ．94B ．2C ．158 D ．53【解答】解：∵AC →=AB →+AD →，AM →=AB →+BM →=AB →+12AD →BD →=AD →−AB →．∴AC →=λAM →+μBD →=λ(AB →+12AD →)+μ(AD →−AB →)，∴{λ−μ=1λ2+μ=1⇒{λ=43μ=13则λ+μ=53．故选：D ．4．（2018•黄浦区一模）已知向量a →=(−3，4)，则下列能使a →=λe 1→+μe 2→(λ、μ∈R)成立的一组向量e 1→，e 2→是（ ）A ．e 1→=(0，0)，e 2→=(−1，2) B ．e 1→=(−1，3)，e 2→=(2，−6)C ．e 1→=(−1，2)，e 2→=(3，−1)D ．e 1→=(−12，1)，e 2→=(1，−2)【解答】解：作为基底不共线即可， e 1→=(0，0)，e 2→=(−1，2)共线， e 1→=(−1，3)，e 2→=(2，−6)共线， e 1→=(−1，2)，e 2→=(3，−1)不共线，e 1→=(−12，1)，e 2→=(1，−2)共线， 故选：C ．5．（2018•吉林三模）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A ．e 1→=(0，0)，e 2→=(1，−2)B ．e 1→=(2，−3)，e 2→=(12，−34)C ．e 1→=(3，5)，e 2→=(6，10)D ．e 1→=(−1，2)，e 2→=(5，7)【解答】解：选项A ，可得0×（﹣2）﹣0×1=0，故e 1→∥e 2→，不可作基底，故错误；选项B ，可得2×（﹣34）﹣（﹣3）×12=0，故e 1→∥e 2→，不可作基底，故错误；选项C ，可得3×10﹣5×6=0，故e 1→∥e 2→，不可作基底，故错误；选项D ，可得﹣1×7﹣2×5≠0，故e 1→，e 2→不平行，故可作基底，故正确． 故选：D ．6．（2018春•薛城区校级期末）如图，已知AB →=a →，AC →=b →，BD →=3DC →，用a →、b →表示AD →，则AD →等于（ ）A ．a →+34b →B ．34a →+14b →C ．14a →+14b →D ．14a →+34b →【解答】解：AD →=AB →+BD →=a →+34BC → =a →+34(AC →−AB →)=a →+34(b →−a →) =14a →+34b →； 故选：D ．7．（2018春•尧都区校级期末）如图所示，在△ABC 中，BD=2CD ，若AB →=a →，AC →=b →，则AD →=（ ）A ．23a →+13b →B ．23a →−13b →C ．13a →+23b →D ．23a →−23b →【解答】解：AD →=AC →+CD →=AC →+13CB →=AC →+13（AB →﹣AC →）=13AB →+23AC →=13a →+23b →，故选：C ．8．（2018•三明二模）已知平面向量a →=（1，2），b →=（﹣2，m ），且a →∥b →，则|a →+b →|=（ ）A ．√5B ．2√5C ．3√5D ．4√5【解答】解：平面向量a →=（1，2），b →=（﹣2，m ），且a →∥b →， 可得m=﹣4，|a →+b →|=|（﹣1，﹣2）|=√5． 故选：A ．9．（2018•梅河口市校级二模）若向量AB →=(1，2)，BC →=(−4，2)，则|AC →|=（ ） A ．2√5 B ．5C ．20D ．25【解答】解：向量AB →=(1，2)，BC →=(−4，2)，AC →=（﹣3，4） 则|AC →|=√(−3)2+42=5． 故选：B ．10．（2018•咸阳二模）设向量a →和b →满足：|a →+b →|=2√3，|a →−b →|=2，则a →⋅b →=（ ）A ．√2B ．√3C ．2D ．3【解答】解：∵|a →+b →|=2√3，|a →−b →|=2；∴a →2+2a →⋅b →+b →2=12，a →2−2a →⋅b →+b →2=4，两式相减得：4a →⋅b →=8； ∴a →⋅b →=2． 故选：C ．11．（2018•东莞市模拟）已知AB →=(3，6)，点B 的坐标为（2，3），则点A 的坐标为（ ） A ．（﹣1，﹣3）B ．（﹣3，﹣1）C ．（1，3）D ．（5，9）【解答】解：AB →=(3，6)，点B 的坐标为（2，3）， 设A （x ，y ），∴（2﹣x ，3﹣y ）=（3，6）， 即2﹣x=3，3﹣y=6， 解得x=﹣1，y=﹣3， ∴A （﹣1，﹣3）， 故选：A ．二．解答题（共9小题）12．在△ABC 中，E 为线段AC 的中点，试问在线段AC 上是否存在一点D ．使得BD →=13BC →+23BE →，若存在，说明D 点位置：若不存在，说明理由．【解答】解：∵E 是AC 的中点，∴BE →=12（BA →+BC →），则BD →=13BC →+23BE →=13BC →+23•12（BA →+BC →） =23BC →+13BA →；又∵AD →=BD →﹣BA →=23BC →+13BA →﹣BA →=23BC →﹣23BA → =23（BC →﹣BA →） =23AC →， ∴A ，C ，D 三点共线，且D 是线段AC 的三等分点（靠近C 的那个）．13．已知△ABC 中，对于任意实数t ，CP →=t （CA→|CA →|+CB→|CB →|），证明：点P 始终在∠ACB 的平分线上．【解答】证明：CA→|CA →|，CB→|CB|→都是单位向量，即长度为1，并且CA→|CA →|与CA →同向，CB→|CB →|与CB →同向，如图，在AC 上取|CD |=1，CB 上取|CE |=1，作平行四边形CDFE ； 则该平行四边形为菱形，∴对角线CF 为∠ACB 的平分线，且CF →=CA →|CA →|+CB→|CB →|，t(CA→|CA →|+CB→|CB →|)与CF →共线；∴点P 始终在∠ACB 的平分线上．14．已知：平行四边形ABCD ，对角线AC ，BD 交于点O ，点E 为线段OB 中点，完成下列各题（用于填空的向量为图中已有有向线段所表示向量）． （1）当以{AB →，AD →}为基底时，设AB →=a →，AD →=b →，用a →，b →表示OD →=12(b →−a →) ；用a →，b →表示AE →= 34a →+14b → ；（2）设点MN 分别为边DC ，BC 中点． ①当以{AB →，AD →}为基底时，设AB →=c →，AD →=d →，用c →，d →表示AN →，则AN →= c →+12d →．②当以{AM →，AN →}为基底时，设AM →=m →，AN →=n →，用m →，n →表示：AB →= 43n →−23m → ，AC →= 23n →+23m → ，OE = 12n →+12m →．【解答】解：（1）OD →=12BD →=12(AD →−AB →)=12(b →−a →)；AE →=12(AO →+AB →)，AO →=12(AB →+AD →)，∴AE →=34a →+14b →； （2）①依题意AN →=AB →+BN →=c →+12d →；②2AM →=AD →+AC →=2AD →+AB →，2AN →=AB →+AC →=AD →+2AB →；⇒AB →=43AN →−23AM →=43n →−23m →，AD →=43AM →−23AN →=43m →−23n →，AC →=AB →+AD →=23m →+23n →；OE →=14DB →=14(AB →−AD →)=12n →−12m →．15．过△ABC 的重心G 任作一条直线分别交AB ，AC 于点D 、E ，设AB →=a →，AC →=b →． （1）用a →，b →表示向量AG →；（2）若AD →=x AB →，AE →=y AC →，且xy ≠0，求1x +1y的值．【解答】解：（1）G 为△ABC 的重心；∴AG →=23AM →=13(AB →+AC →)=13(a →+b →)；（2）根据条件，AB →=1x AD →，AC →=1y AE →； ∴AG →=13(AB →+AC →) =13(1x AD →+1y AE →) =13x AD →+13y AE →； 又D ，G ，E 三点共线； ∴13x +13y =1； ∴1x +1y =3．16．如图，△ABC 中，点E 、F 、G 分别在边BC 、AC 、AB 上，且AG GB =BE EC =CF FA =12，设AB →=a →，BC →=b →．（1）用a →、b →表示向量AF →； （2）证明：AE →+BF →+CG →=0．【解答】解：（1）∵AG GB =BE EC =CF FA =12，∴AF →=23AC →=23（AB →+BC →）=23a →+23b →．（2）AE →=AB →+BE →=AB →+13BC →=a →+13b →，BF →=BC →+CF →=BC →+13CA →=BC →﹣13（AB →+BC →）=﹣13AB →+23BC →=﹣13a →+23b →，CG →=CB →+BG →=﹣BC →﹣23AB →=﹣23a →﹣b →．∴AE →+BF →+CG →=a →+13b →﹣13a →+23b →﹣23a →﹣b →=0→．17．若AD 与BE 分别为△ABC 的边，BC 与AC 上的中线AD 交BE 于点O ，AD →=a →，BE →=b →，试用a →，b →表示OC →．【解答】解：如图，B ，D ，C 三点共线，所以向量BC →∥BD →，∴存在实数λ，使BC →=λBD →；∴OC →−OB →=λ(OD →−OB →)；∴OC →=(1−λ)OB →+λOD →=λ3AD →+2(λ−1)3BE →=λ3a →+2(λ−1)3b →；同理，A ，E ，C 三点共线，所以存在实数μ，使OC →=2(μ−1)3a →+μ3b →；∴{λ3=2(μ−1)32(λ−1)3=μ3，解得λ=μ=2； ∴OC →=23a →+23b →．18．已知A （1，﹣2），B （2，1），C （3，2），D （﹣2，3）． （1）求AD →+2BD →﹣3BC →；（2）设CM →=3CA →，CN →=﹣2BC →，求MN →及M 、N 点的坐标．【解答】解：（1）∵A （1，﹣2），B （2，1），C （3，2），D （﹣2，3）， ∴AD →=（﹣3，5），BD →=（﹣4，2），BC →=（1，1），∴AD →+2BD →﹣3BC →=（﹣3，5）+2（﹣4，2）﹣3（1，1）=（﹣10，6）， （2）设M 、N 点的坐标为（x ，y ），（m ，n ），∴CM →=（x ﹣3，y ﹣2），CN →=（m ﹣3，n ﹣2），CA →=（﹣2，﹣4）， ∵CM →=3CA →，CN →=﹣2BC →，∴{x −3=−6y −2=−12，或{m −3=−1n −2=−1，解得{x =−3y =−10，或{m =2n =1，∴M 、N 点的坐标为（﹣3，﹣10），（2，1）， ∴MN →=（5，11）．19．已知向量a →=（1，﹣3），b →=（3，0），求下列向量的坐标：（1）a →+b →；（2）12a →﹣3b →．【解答】解：（1）∵向量a →=（1，﹣3），b →=（3，0）， ∴a →+b →=（4，﹣3）．（2）12a →﹣3b →=（12，﹣32）﹣（9，0）=（﹣172，﹣32）．20．已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5），OP →=t 1OA →+t 2AB →． （1）证明：当t 1=1时，不论t 2为何实数，A 、B 、P 三点共线；（2）试求当t 1、t 2满足什么条件时，O 、A 、B 、P 能组成一个平行四边形． 【解答】证明：（1）由题意知，t 1=1，代入OP →=t 1OA →+t 2AB →得， OP →=OA →+t 2AB →，则OP →﹣OA →=t 2AB →，即AP →=t 2AB →，所以当t 1=1时，不论t 2为何实数，A 、B 、P 三点共线； （2）设P 的坐标是（x ，y ），由O （0，0），A （1，2），B （4，5）得，OA →=（1，2），AB →=（3，3），因为OP→=t1OA→+t2AB→，所以（x，y）=t1（1，2）+t2（3，3），解得x=t1+3t2，y=2t1+3t2，若四边形OABP能成为平行四边形，如图所得，OA→=PB→，即（1，2）=（4﹣t1﹣3t2，5﹣2t1﹣3t2），所以{1=4−t1−3t22=5−2t1−3t2，得{t1+3t2=32t1+3t2=3，解得{t1=0t2=1，所以当t1=0、t2=1时，O、A、B、P能组成一个平行四边形．平面向量的基本定理及坐标运算一、选择题（共12小题；共60分）1. 若向量 a ⃗=(1,1)，b ⃗⃗=(−1,1)，c ⃗=(4,2)，则 c ⃗= ( )A. 3a ⃗+b⃗⃗ B. 3a ⃗−b⃗⃗ C. −a ⃗+3b⃗⃗ D. a ⃗+3b⃗⃗ 2. 若向量 BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,3)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4,7)，则 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ( )A. (−2,−4)B. (3,4)C. (6,10)D.(−6,−10)3. 若向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,4)，则 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ( )A. (4,6)B. (−4,−6)C. (−2,−2)D. (2,2)4. 若向量 a ⃗=(x +1,2) 和向量 b ⃗⃗=(1,−1) 平行，则 ∣a ⃗+b⃗⃗∣=( )A. √10B.√102C. √2D.√225. 平行四边形 ABCD 的对称中心为 O ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,7)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,3)，则 CO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A. (−12,5)B. (−12,−5)C. (12,−5)D. (12,5)6. 若向量 a ⃗=(1,2),b ⃗⃗=(−3,4)，则 (a ⃗⋅b ⃗⃗)(a ⃗+b⃗⃗) 等于 ( )A. 20B. (−10,30)C. 54D.(−8,24)7. 已知向量 a ⃗=(1,1)，b ⃗⃗=(2,x )，若 a ⃗+b ⃗⃗ 与 4b ⃗⃗−2a ⃗ 平行，则实数 x 的值是 ( )A. −2B. 0C. 1D. 28. 已知点 A (0,1)，B (3,2)，向量 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−4,−3)，则向量 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ( ) A. (−7,−4)B. (7,4)C. (−1,4)D. (1,4)9. 设向量 a ⃗=(1,−2)，向量 b ⃗⃗=(−3,4)，向量 c ⃗=(3,2)，则 (a ⃗+2b ⃗⃗)⋅c ⃗= ( )A. (−15,12)B. 0C. −3D. −1110. 已知向量 a ⃗=(5,2)，b ⃗⃗=(−4,−3)，c ⃗=(x,y )，若 3a ⃗−2b ⃗⃗+c ⃗=0⃗⃗，则 c ⃗= ( )A. (−23,−12)B. (23,12)C. (7,0)D. (−7,0)11. 已知 M (3,−2) ， N (−5,−1) 且 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则点 P 的坐标为 ( ) A. (−8,1)B. (1,32)C. (−1,−32)D. (8,−1)12. 已知向量 a ⃗=(4,2)，向量 b ⃗⃗=(x,3)，且 a ⃗∥b ⃗⃗，则实数 x 等于 ( ) A. 9 B. 6 C. 5 D. 3二、填空题（共5小题；共25分）13. 若三点 A (2,2)，B (a,0)，C (0,6)（ab ≠0）共线，则 1a +1b 的值等于 ． 14. 设平面向量 a ⃗=(3,5)，b ⃗⃗=(−2,1)，则 a ⃗−2b ⃗⃗= ． 15. 已知向量 a ⃗=(−2,1)，b ⃗⃗=(1,0)，则 ∣2a ⃗+b⃗⃗∣= ．16. 已知向量 a ⃗=(1,3)，b ⃗⃗=(−2,1)，c ⃗=(3,2)．若向量 c ⃗ 与向量 ka ⃗+b⃗⃗ 共线，则实数 k = ．17. 已知向量 a ⃗=(1,2)，b ⃗⃗=(−2,3)，c ⃗=(x,1)，若 c ⃗ 与 a ⃗+b⃗⃗ 平行，则 x = ．三、解答题（共5小题；共65分） 18. 在 △ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (−4,7)，求 ∠A 的平分线所在直线的方程．19. 已知 A (−2,4)，B (3,−1)，C (−3,−4)，且 CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求点 M ，N 的坐标及向量 MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标．20. 已知向量 a ⃗=(2,0)，b⃗⃗=(1,4)． （1）求 2a ⃗+3b ⃗⃗，a ⃗−2b ⃗⃗； （2）若向量 ka ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗+2b ⃗⃗ 平行，求 k 的值．21. 已知 a ⃗=(cosα,sinα)，b⃗⃗=(cosβ,sinβ)，0<β<α<π． （1）若 ∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣=√2，求证：a ⃗⊥b ⃗⃗； （2）设 c ⃗=(0,1)，若 a ⃗+b ⃗⃗=c ⃗，求 α,β 的值．22. （1）已知向量 a ⃗=(1,2)，b ⃗⃗=(x,1)，u ⃗⃗=a ⃗+2b ⃗⃗，v ⃗=2a ⃗−b ⃗⃗，且 u ⃗⃗∥v ⃗，求 x 的值．（2）在直角三角形 ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,k )，求实数 k 的值．答案第一部分 1. B【解析】点拨：设 c =xa +yb ，则 (4,2)=x (1,1)+y (−1,1)．所以 4=x −y ，2=x +y ．所以 x =3， y =−1．故 c =3a −b ． 2. A 【解析】BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,−4)． 3. A 【解析】AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4,6)． 4. C【解析】依题意得，−(x +1)−2×1=0，得 x =−3，又 a ⃗+b ⃗⃗=(−2,2)+(1,−1)=(−1,1)， 所以 ∣a ⃗+b ⃗⃗∣=√2． 5. B【解析】AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,7)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,10)，则 CO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−12,−5)． 6. B【解析】a ⃗⋅b ⃗⃗=−3+8=5，a ⃗+b ⃗⃗=(−2,6)， 所以 (a ⃗⋅b ⃗⃗)(a ⃗+b ⃗⃗)=5×(−2,6)=(−10,30)． 7. D【解析】解法一：因为 a ⃗=(1,1)，b⃗⃗=(2,x )， 所以 a ⃗+b ⃗⃗=(3,x +1)，4b ⃗⃗−2a ⃗=(6,4x −2)，由于 a ⃗+b ⃗⃗ 与 4b ⃗⃗−2a ⃗ 平行，得 6(x +1)−3(4x −2)=0，解得 x =2． 解法二：因为 a ⃗+b ⃗⃗ 与 4b ⃗⃗−2a ⃗ 平行，则存在常数 λ，使 a ⃗+b ⃗⃗=λ(4b ⃗⃗−2a ⃗)，即 (2λ+1)a ⃗=(4λ−1)b ⃗⃗， 根据向量共线的条件知，向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 共线，故 x =2． 8. A9. C【解析】因为 a ⃗=(1,−2)，b⃗⃗=(−3,4)， 所以 a ⃗+2b ⃗⃗=(1,−2)+2(−3,4)=(−5,6)． 因为 c ⃗=(3,2)，所以 (a ⃗+2b ⃗⃗)⋅c ⃗=(−5,6)⋅(3,2)=−5×3+6×2=−3． 10. A11. C 【解析】设 P (x,y )，由 (x −3,y +2)=12⋅(−8,1)，所以 x =−1 ， y =−32． 12. B 第二部分 13. 1214. (7,3) 15. √13 16. −1 17. x =−15【解析】a ⃗+b ⃗⃗=(−1,5)，又 c ⃗∥(a ⃗+b⃗⃗)，则 x =−15． 第三部分18. AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,4)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−8,6)， ∠A 的平分线的一个方向向量为：AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=(35,45)+(−45,35)=(−15,75)=−15(1,−7)， 所以 ∠A 的平分线所在直线的斜率为 −7， 因为 ∠A 的平分线过点 A ．所以所求直线方程为 y −1=−7(x −4)． 整理得：7x +y −29=0．19. ∵A (−2,4)，B (3,−1)，C (−3,−4)， ∴CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,8)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(6,3)， ∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3(1,8)=(3,24)，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2(6,3)=(12,6)． 设 M (x,y )，则 CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x +3,y +4)， ∴{x +3=3,y +4=24, 得 {x =0,y =20,∴ 点 M 坐标为 M (0,20)． 同理可得 N (9,2)，∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(9−0,2−20)=(9,−18)． 20. （1） ∵a ⃗=(2,0)，b⃗⃗=(1,4)， ∴2a ⃗+3b ⃗⃗=2(2,0)+3(1,4)=(4,0)+(3,12)=(7,12)， a ⃗−2b⃗⃗=(2,0)−2(1,4)=(2,0)−(2,8)=(0,−8)． （2） 依题意得 ka ⃗+b ⃗⃗=(2k,0)+(1,4)=(2k +1,4)， a ⃗+2b⃗⃗=(2,0)+(2,8)=(4,8)． ∵ 向量 ka ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗+2b ⃗⃗ 平行， ∴8(2k +1)−4×4=0，解得 k =12． 21. （1） 由题意得 ∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣2=2，即(a ⃗−b ⃗⃗)2=a ⃗2−2a ⃗⋅b⃗⃗+b ⃗⃗2=2. 又因为 a ⃗2=b ⃗⃗2=∣a ⃗∣2=∣∣b ⃗⃗∣∣2=1，所以2−2a ⃗⋅b⃗⃗=2, 即 a ⃗⋅b ⃗⃗=0，故 a ⃗⊥b⃗⃗． （2） 因为 a ⃗+b⃗⃗=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1)，所以 {cosα+cosβ=0,sinα+sinβ=1,由此得cosα=cos (π−β),由 0<β<π，得0<π−β<π.又 0<α<π，故 α=π−β．代入 sinα+sinβ=1，得sinα=sinβ=12,而 α>β，所以α=5π,β=π.22. （1） u ⃗⃗=(2x +1,4)，v ⃗=(2−x,3)．因为 u ⃗⃗∥v ⃗，所以 3(2x +1)−4(2−x )=0，解得 x =12．（2） 若 ∠A =90∘，则 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，即 2+3k =0，所以 k =−23． 若 ∠B =90∘，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，而 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,k −3)，所以 2×(−1)+3(k −3)=0，所以 k =113．若 ∠C =90∘，则 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，所以 1×(−1)+(k −3)k =0，即 k 2−3k −1=0，所以 k =3±√132． 因此，k =−23 或 113或 3±√132．。
高考数学一轮复习第五章平面向量复数第二节平面向量基本定理及坐标表示讲义含解析0513143.doc
第二节 平面向量基本定理及坐标表示突破点一 平面向量基本定理[基本知识]如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)在△ABC 中，设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，则向量a 与b 的夹角为∠ABC .( ) (3)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题1.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则BE ―→等于________．答案：b －12a2．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________. 答案：03．设e 1，e 2是平面内一组基底，且a ＝e 1＋2 e 2，b ＝－e 1＋e 2，则2a －b ＝________. 答案：3 e 1＋3 e 2[典例感悟]1.(2019·郑州模拟)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC ―→＝3EC ―→，F 为AE 的中点，则BF ―→＝( )A.23AB ―→－13AD ―→B.13AB ―→－23AD ―→C ．－23AB ―→＋13AD ―→D ．－13AB ―→＋23AD ―→解析：选C 如图，取AB 的中点G ，连接DG ，CG ，易知四边形DCBG 为平行四边形，所以BC ―→＝GD ―→＝AD ―→－AG ―→＝AD ―→－12AB ―→，∴AE―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→－12AB ―→＝23AB ―→＋23AD ―→，于是BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12AE ―→－AB ―→＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB ―→＋23 AD ―→－AB ―→＝－23AB ―→＋13AD ―→，故选C.2．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，Q 是BC 的中点，AQ 与CP的交点为M ，又CM ―→＝t CP ―→，则实数t 的值为________．解析：因为CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，所以3CP ―→＝2CA ―→＋CB ―→，即2CP―→－2CA ―→＝CB ―→－CP ―→，所以2AP ―→＝PB ―→.即P 为AB 的一个三等分点(靠近A 点)， 又因为A ，M ，Q 三点共线，设AM ―→＝λAQ ―→.所以CM ―→＝AM ―→－AC ―→＝λAQ ―→－AC ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB ―→＋12 AC ―→－AC ―→＝λ2AB ―→＋λ－22AC ―→，又CM ―→＝t CP ―→＝t (AP ―→－AC ―→)＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB ―→－AC ―→＝t 3AB ―→－t AC ―→.故⎩⎪⎨⎪⎧λ2＝t3，λ－22＝－t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝34，λ＝12.故t 的值是34.答案：34[方法技巧]平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[针对训练]1．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则λ＋μ等于( )A.15B.25C.35D.45解析：选 D 因为AB ―→＝AN ―→＋NB ―→＝AN ―→＋CN ―→＝AN ―→＋(CA ―→＋AN ―→)＝2AN ―→＋CM ―→＋MA ―→＝2AN ―→－14AB ―→－AM ―→，所以AB ―→＝85AN ―→－45AM ―→，所以λ＝－45，μ＝85，所以λ＋μ＝45. 2．如图，已知平行四边形ABCD 的边BC ，CD 的中点分别是K ，L ，且AK ―→＝e 1，AL ―→＝e 2，试用e 1，e 2表示BC ―→，CD ―→.解：设BC ―→＝x ，CD ―→＝y ，则BK ―→＝12x ，DL ―→＝－12y .由AB ―→＋BK ―→＝AK ―→，AD ―→＋DL ―→＝AL ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2， ②①＋②×(－2)，得12x －2x ＝e 1－2e 2，即x ＝－23(e 1－2e 2)＝－23e 1＋43e 2，所以BC ―→＝－23e 1＋43e 2.同理可得y ＝－43e 1＋23e 2，即CD ―→＝－43e 1＋23e 2.突破点二 平面向量的坐标表示[基本知识]1．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则：a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a|＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．2．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[基本能力]1．已知向量a ＝(m ,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析：∵a ＝(m ,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，∴－2m －4×3＝0.∴m ＝－6. 答案：－62．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC ―→＝(－4，－3)，则向量BC ―→＝________. 解析：设C (x ，y )，则AC―→＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC ―→＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．答案：(－7，－4)3．已知A (1,4)，B (－3,2)，向量BC ―→＝(2,4)，D 为AC 的中点，则BD ―→＝________. 解析：设C (x ，y )，则BC ―→＝(x ＋3，y －2)＝(2,4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，y －2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝6，即C (－1,6)．由D 为AC 的中点可得点D 的坐标为(0,5)， 所以BD ―→＝(0＋3,5－2)＝(3,3)． 答案：(3,3)[全析考法]考法一 平面向量的坐标运算[例1] (1)若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R)，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)(2)(2019·内蒙古包钢一中月考)已知在平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO ―→的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5 [解析] (1)因为a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．(2)因为在平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，所以CO ―→＝－AO ―→＝－12(AD ―→＋AB ―→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5.故选C.[答案] (1)D (2)C [方法技巧]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．考法二 平面向量共线的坐标表示[例2] (2019·文登二中模拟)平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)若(a ＋k c )∥(2b －a)，求实数k ；(2)若d 满足(d －c)∥(a ＋b)，且|d －c |＝5，求d 的坐标． [解] (1)a ＋k c ＝(3＋4k ,2＋k)，2b －a ＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， 解得k ＝－1613.(2)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)， 又a ＋b ＝(2,4)，| d －c |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －－y －＝0，x －2＋y －2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．[方法技巧]向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．(2)当x 2y 2≠0时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．(3)公式x 1y 2－x 2y 1＝0无条件x 2y 2≠0的限制，便于记忆；公式x 1x 2＝y 1y 2有条件x 2y 2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．[集训冲关]1.[考法一]如果向量a ＝(1,2)，b ＝(4,3)，那么a －2b ＝( ) A ．(9,8) B ．(－7，－4) C ．(7,4)D ．(－9，－8)解析：选B a －2b ＝(1,2)－(8,6)＝(－7，－4)，故选B.2.[考法二]已知向量a ＝(1，－1)，则下列向量中与向量a 平行且同向的是( ) A ．b ＝(2，－2) B ．b ＝(－2,2) C ．b ＝(－1,2)D ．b ＝(2，－1)解析：选A (2，－2)＝2(1，－1)，b ＝2a ，故选A.3.[考法一]已知向量a ＝(1，m)，b ＝(4，m)，若有(2|a|－|b|)(a ＋b)＝0，则实数m ＝________.解析：因为a ＋b ＝(5,2m )≠0，所以由(2|a|－|b|)(a ＋b)＝0得2|a|－|b|＝0，所以|b|＝2|a|，所以42＋m 2＝212＋m 2，解得m ＝±2.答案：±24.[考法二 ]已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若ma －nb 与2a ＋b 共线(其中n ∈R ，且n ≠0)，则m n＝________.解析：由a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，得ma －nb ＝(m ＋2n ,2m －3n)，2a ＋b ＝(0,7)，由ma －nb 与2a ＋b 共线，可得7(m ＋2n)＝0，则m n＝－2.答案：－2精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高一数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析
高一数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析1.若向量与相等，其中，则=_________.【答案】-1【解析】由题意知，而向量与相等，∴，解得.【考点】相等向量的定义.2.设、是不共线的两个非零向量.(1)若，求证：三点共线；(2)若与共线，求实数的值.【答案】（1）证明详见解析；（2）当与共线时，.【解析】(1)利用向量证明三点共线，先建立平面向量的基底，求出、，找到使得，从而说明，再说明两个向量有一个公共点即可；（2）根据与共线，得到，然后根据向量相等的条件，建立、的方程组，求解即可得到的值.试题解析：(1)证明：∵而∴与共线，又有公共端点，∴三点共线(2)∵与共线，∴存在实数，使得∵与不共线∴或.【考点】1.向量共线定理；2.平面向量的基本定理；3.两向量相等的条件.3.已知向量a=（2,1）b=（3，﹣1）向量a与b的夹角为，则=（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】B【解析】因为，向量a=（2,1）b=（3，﹣1）向量a与b的夹角为，所以，而，所以，=45°，选B。
【考点】平面向量的坐标运算，向量的夹角。
点评：简单题，注意应用夹角公式。
4.已知下列命题中：A.若，且，则或B.若，则或C.若不平行的两个非零向量，满足，则D.若与平行，则其中真命题的个数是A． B. C. D.【答案】C【解析】对于A.若，且，则或，成立。
对于B.若，则或，可能是非零的垂直向量，错误。
对于C.若不平行的两个非零向量，满足，则，由于数量积公式展开得到成立对于D.若与平行，则，，只有共线同向成立，反向不成立，错误，故选C【考点】向量的概念和数量积点评：主要是考查了向量的基本概念和数量积的运用，属于基础题。
5.在中，，.若点D满足,则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】向量加减法点评：向量加减法遵循三角形法则：加法法则：将向量首位相接，由最初的起点指向最末的终点；减法法则：将两向量起点放在一起，连接终点，方向指向被减向量6.设，向量且，则 ( )A．B．C．2D．10【答案】B【解析】根据题意，由于同时结合，由于，那么可知，故选B.【考点】向量的数量积点评：主要是考查了向量数量积的坐标表示，以及共线和垂直的运用，属于基础题。
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第2节平面向量基本定理及坐标表示
最新考纲 1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表
.
示的平面向量共线的条件
1.平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.
1
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b
⇔x1y2
－x2y1＝0.
[微点提醒]
1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a＝b，则x1＝x2且y1＝y
2.
2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( )
(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.( )
(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成x1
x2＝
y1
y2.( )
解析(1)共线向量不可以作为基底. (2)同一向量在不同基底下的表示不相同.
(4)若b＝(0，0)，则x1
x2＝
y1
y2无意义.
答案(1)×(2)×(3)√(4)×
1
1
2.(必修4P118A2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A.e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2) B.e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7) C.e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D.e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫12
，－34
解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B. 答案 B
3.(必修4P99例8改编)设P 是线段P 1P 2上的一点，若P 1(1，3)，P 2(4，0)且P 是线段P 1P 2的一个三等分点(靠近点P 1)，则点P 的坐标为( ) A.(2，2)
B.(3，－1)
C.(2，2)或(3，－1)
D.(2，2)或(3，1)
解析 由题意得P 1P →
＝13P 1P 2→且P 1P 2→＝(3，－3).
设P (x ，y )，则(x －1，y －3)＝(1，－1)， ∴x ＝2，y ＝2，则点P (2，2). 答案 A
4.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →
＝( ) A.(－7，－4) B.(7，4) C.(－1，4)
D.(1，4)
1
解析 根据题意得AB →＝(3，1)，∴BC →＝AC →－AB →
＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7， －4)，故选A. 答案 A
5.(2017·山东卷)已知向量a ＝(2，6)，b ＝(－1，λ)，若a ∥b ，则λ＝________. 解析 ∵a ∥b ，∴2λ＋6＝0，解得λ＝－3. 答案 －3
6.(2019·福州质检)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________.
解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →
，得(4，1)＝(5－x ，6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得
⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，
y ＝5. 答案 (1，
5)
考点一 平面向量基本定理及其应用
【例1】 (1)(2019·衡水中学调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →
(λ，μ∈R )，则52μ－λ＝( )
A.－12
B.1
C.32
D.－3
(2)(2019·长春调研)在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD →
＝13AB →＋12
AC →.。