完全平方数对半和性质的推广
完全平方公式
如何用完全平方公式解决实际问题，比如计算房间面积、计算价格等。
用完全平方公式解决实际问题
完全平方公式的证明
解答
用完全平方公式计算代数式的值
验证完全平方公式
用完全平方公式解决实际问题
THANKS
感谢观看
公式表述
$a^2$：一个数的平方是指这个数与自己的平方的乘积。例如，$5^2 = 5 \times 5 = 25$。
平方的含义
$(a \pm b)^2$：一个数的完全平方是指这个数与另一个数的平方和它们两倍的乘积的乘积。例如，$(3 \pm 2)^2 = 3^2 \pm 2 \times 3 \times 2 + 2^2 = 9 \pm 12 + 4 = 13 \pm 12$。
差的平方等于平方的差
公式
$(ab)^2 = a^2b^2$
解释
两个数的乘积的平方等于每个数的平方与另一个数的乘积。
积的乘方等于乘方的积
03
完全平方公式的应用
完全平方公式可以用来简化代数式，将复杂的表达式化为简单的形式。
简化代数式
在解一元二次方程时，完全平方公式可以用来求解方程的根。
解方程
在代数中的应用
完全平方的含义
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$：可以用图形表示完全平方公式。首先画一个矩形，长为$a$，宽为$b$。将矩形分割成两个正方形和四个矩形。两个正方形的面积分别为$a^2$和$b^2$，四个矩形的面积分别为两个$ab$。将这些面积相加得到$(a \pm b)^2$。
公式的图形表示
02
完全平方公式的性质
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$
完全平方数
写出下面每个数的所有的因数：
1的因数：（ 1
）
4 16的因数：（ 1、16、2、8、 ）
25的因数：（1、25、5 ） 36的因数：（1、36、2、18、 ） 3、12、
2的因数：（ 1、2 ） 3的因数：（ 1、3 ） 4的因数：（ 1、2、 ） 4 5的因数：（ 1、5 ） 6的因数：（ 1、2、 ） 3、 6 7的因数：（ 1、7 ） 8的因数： （ 1、2、4、8 ） 9的因数： （ 1、3、9 ） 10的因数：（ 1、2、5、10）
5、平方差公式A2－B2＝（A＋B）· （A－B）， 其中A＋B与A－B的奇偶性相同。
例6：已知一个自然数减去50是一个 完全平方数，而这个自然数加上39 也是一个完全平方数，求这个自然 数。
一个两位数与其数字相同而顺序相反的 两位数之和恰是一个完全平方数，这样 的数中最大的一个是多少？ 能不能找到自然数n，使n是完全平方数， 且n+1999也是完全平方数。
4、 9、 6
49的因数：（ 1、49、7 ）
完全平方数之“鸡系列”
3、“因鸡”：完全平方数有奇数个因数， 有奇数个因数的自然数是完全平方数。 。
（约数个数为3的自然数一定是某个 质数的平方。)
例2：有一百盏灯，排成一行，从左到右 我们给电灯编上号码1，2，3，4， 5，……，100，最初电灯全都是关着的， 有100名学生，也编成1，2，3，4，……， 100号，每人都在100盏灯前走过，凡是 电灯的号码能被自己的号码整除时，就 把这盏灯的开关拉一下，这样做之后， 哪些灯是亮着的。
观察：整数乘方的个位数字
整数的个位数字只有0，1，2，3，4， 5，6，7，8，9十种。下面我们列出 表格，看一看经过平方之后，个位数 字如何变化。
完全平方数的性质及推论
完全平方数的性质及推论(详细)一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9分别平方后，得(10a+1)^2=100a^2+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)^2=100a^2+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)^2=100a^2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5(10a+7)^2=100a^2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9(10a+9)^2=100a^2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明已知m^2=10k+6，证明k为奇数。
因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则10k+6=(10n+4)^2=100+(8n+1)x10+6或10k+6=(10n+6)^2=100+(12n+3)x10+6即k=10+8n+1=2(5+4n)+1或k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
完全平方数的性质
完全平方数及其性质能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。
例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
一、平方数有以下性质：【性质1】完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
【性质2】奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
【性质3】如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
【性质4】（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；（2）末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；100，10000，1000000是完全平方数，10，1000，100000等则不是完全平方数。
（3）个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
需要说明的是：个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数，如：11，31，51，74，99，211，454，879等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。
但个位数字为1，4，9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。
如：21，44，89不是完全平方数，但49，64，81是完全平方数。
【性质5】偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 (2k)^2=4k^2【性质6】奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
【性质7】平方数的形式一定是下列两种之一：3k,3k+1。
【注意：具备以上条件的不一定是完全平方数（如13，21，24，28等）】【性质8】不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
完全平方公式的运用及其推广
２９４ 完全平方公式的运用及其推广■陶其亮 （云南省昭通市昭阳区大寨子乡中学 ６５７００７）【中图分类号】Ｇ６３２ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】２０９５－３０８９（２０１８）３２－０２９４－０２ 一、完全平方公式完全平方公式（ａ±ｂ）２＝ａ２±２ａｂ＋ｂ２，是整式运算中最重要的公式之一．在数学计算中可以简化运算过程，提高运算能力，从而培养良好的数学素质。
二、完全平方公式的运用１．ａ２＋ｂ２＝（ａ＋ｂ）２－２ａｂ＝（ａ－ｂ）２＋２ａｂ２．（ａ＋ｂ）２＝（ａ－ｂ）２＋４ａｂ３．（ａ－ｂ）２＝（ａ＋ｂ）２－４ａｂ４．（ａ＋ｂ）２＋（ａ－ｂ）２＝２（ａ２＋ｂ２）５．（ａ＋ｂ）２－（ａ－ｂ）２＝４ａｂ６．ａｂ＝（ａ＋ｂ２）２－（ａ－ｂ２）２例１：计算１．２３５×０．２３５×２．４７－１．２３５３－１．２３５×０．２３５２．解：由ａ２＋ｂ２＝（ａ＋ｂ）２－２ａｂ＝（ａ－ｂ）２＋２ａｂ得１．２３５×０．２３５×２．４７－１．２３５３－１．２３５×０．２３５２＝－１．２３５×（１．２３５２＋０．２３５２－０．２３５×２．４７）＝－１．２３５×［（１．２３５－０．２３５）２＋２×１．２３５×０．２３５－０．２３５×２．４７］＝－１．２３５×（１２＋０）＝－１．２３５例２：已知ｘ１，ｘ２是方程２ｘ２－３ｘ－５＝０的两个根，求代数式（ｘ１－ｘ２）２的值．解：由韦达定理知ｘ１＋ｘ２＝－ｂａ＝－－３２＝３２ｘ１ｘ２＝ｃａ＝－５２＝－５２所以（ｘ１－ｘ２）２＝（ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ２＝（３２）２－４×（－５２）＝９４＋１０＝４９４例３：计算２０１８２２０１９２＋２０１７２－２．解：２０１８２２０１９２＋２０１７２－２＝２０１８２（２０１８＋１）２＋（２０１８－１）２－２＝２０１８２２（２０１８２＋１２）－２＝２０１８２２×２０１８２＋２－２＝２０１８２２×２０１８２＝１２例４：若（１０１２＋２５）２－（１０１２－２５）２＝１０ｎ，则ｎ＝．解：∵（１０１２＋２５）２－（１０１２－２５）２＝４×１０１２×２５＝１０２×１０１２＝１０１４∴ｎ＝１４例５：已知ａ＋ｂ＝７０，ｃ２＝ａｂ－１２２５，求ａ，ｂ，ｃ的值．解：∵（ａ＋ｂ）２－（ａ－ｂ）２＝４ａｂ∴（ａ－ｂ）２＝（ａ＋ｂ）２－４ａｂ＝７０２－４（ｃ２＋１２２５）＝－４ｃ２∴（ａ－ｂ）２＋４ｃ２＝０由非负数的性质得ａ＝ｂ，ｃ＝０，从而ａ＝３５，ｂ＝３５，ｃ＝０．例６：若ａ，ｂ，ｃ满足（ａ＋２ｂ）（ａ＋２ｃ）＝（ｂ＋２ｃ）（ｂ＋２ａ）＝（ｃ＋２ａ）（ｃ＋２ｂ），求证：ａ＝ｂ＝ｃ．解：由（ａ＋２ｂ）（ａ＋２ｃ）＝（ａ＋ｂ＋ｃ）２－（ｂ－ｃ）２（ｂ＋２ｃ）（ｂ＋２ａ）＝（ｂ＋ｃ＋ａ）２－（ｃ－ａ）２（ｃ＋２ａ）（ｃ＋２ｂ）＝（ｃ＋ａ＋ｂ）２－（ａ－ｂ）２所以（ａ＋ｂ＋ｃ）２－（ｂ－ｃ）２＝（ｂ＋ｃ＋ａ）２－（ｃ－ａ）２＝（ｃ＋ａ＋ｂ）２－（ａ－ｂ）２即（ｂ－ｃ）２＝（ｃ－ａ）２＝（ａ－ｂ）２①．若ａ≠ｂ，则由①式可知ｂ≠ｃ，ｃ≠ａ，即ａ，ｂ，ｃ互不相等，不妨设ｃ＜ｂ＜ａ，于是ａ－ｃ＞０，ｂ－ｃ＞０，故（ａ－ｃ）２＞（ｂ－ｃ）２与（ａ－ｃ）２＝（ｂ－ｃ）２矛盾，因此，ａ＝ｂ．所以（ａ－ｂ）２＝０，由①式得ｂ＝ｃ，故ａ＝ｂ＝ｃ．例７：若两个自然数ａ，ｂ满足ａ＋ｂ＝３０，求这两个数乘积的最大值．解：由ａｂ＝（ａ＋ｂ２）２－（ａ－ｂ２）２＝（３０２）２－（ａ－ｂ２）２∵（ａ－ｂ２）２≥０∴当ａ＝ｂ时，这两个数的乘积有最大值为２２５．三、完全平方公式的推广【推广１】（从后往前算，每满十向前进１）例８：计算２３２的值．【推广２】ａｂ·ａｃ＝ａ（ａ＋１）ｂ·ｃ（ｂ＋ｃ＝１０，若ｂ·ｃ＜１０，则在ｂ·ｃ前添加一个０，即乘数位数减１个０）例９：计算１９×１１的值．１９×１１＝１×（１＋１）９×１＝１×２９×獉１＝２０９例１０：计算６３×６＝，２５２．６３×６７＝６×（６＋１）３×７＝６×７２１＝４２２１２５２＝２×（２＋１）５×５＝２×３２５＝６２５【推广３】ａｂ·ａｃ＝ａ２ａ·ｂ＋ａ·ｃｂ·ｃ（从后往前算，每满十向前进１）例１１：计算５６×５８＝．【推广４】ａｂ·ｃｄ＝ａ·ｃ·ａ·ｄ＋ｂ·ｃｂ·ｄ（从后往前算，每满十向前进１）例１２：计算７９×６４＝．例１３：计算８９×９８＝．参考文献［１］赵兴荣．完全平方公式的应用举例（初二）［Ｊ］．数理天地：初中版，２０１７，０（５）：３－３．［２］刘家良．且看完全平方公式的应用［Ｊ］．数理天地：初中版，２０１６，０（２）：２－３．［３］曹秀之．完全平方公式的应用［Ｊ］．初中生数学学习：初一版，２００３，（７）：６４－６５．［４］皇甫军［１］．例谈完全平方公式的应用［Ｊ］．中学生数理化：初中版初二，２００６，（７）：２８－２９．［５］谢盛富．完全平方公式及其变形的应用［Ｊ］．中学生数学：初中版，２０１６，０（５）：５－６．［６］高文良［１］．完全平方公式的变式应用［Ｊ］．中学生数学：初中版，２０１１，（７）：２－２．［７］刘顿．完全平方公式的变形与应用［Ｊ］．中学课程辅导：初一版，２００３，（５）：３３－３３．［８］陈剑［１］．完全平方公式的一个引申及应用［Ｊ］．中小学数学：初中版，２００９，（４）：３５－３５．浅谈儿童水墨画教学■田 鱼 （重庆市北碚区朝阳小学 ４００７００）【摘 要】现代儿童水墨画教学是现代教育改革的背景下为致力于发展儿童的综合能力，加强文化传承和文化交流，促进其全面发展的一门艺术课程。
完全平方公式的推广
完全平方公式的推广一、完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2语言叙述：两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数的积的两倍。
二、项数推广：*（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac证明如下: （a+b+c）2=[(a+b)+c] 2=(a+b) 2+2(a+b).c+c2= a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac语言描述：三数和的平方，等于这三个数的平方和加上每两项的积的2倍。
*（a+b+c+d）2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd证明如下：（a+b+c+d）2=[（a+b）+（c+d）]2=(a+b) 2+2（a+b）（c+d）+（c+d）2= a2+2ab+b2+2（ac+ad+bc+bd）+ c2+2cd+d2= a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd语言描述：四数和的平方，等于这四个数的平方和加上每两数的积的2倍。
推广：几个数的和的平方，等于这几个数的平方和加上每两数的积的2倍。
注：①三数和、四数和的平方要求学生会推导，考试时大题应书写完整推导过程。
②如何计算“差”类问题：例：计算：（a-b+c）2= [a+（-b）+c]2= a2+（-b）2+c2+2a(-b)+2(-b)c+2ac=a2+b2+c2-2ab-2bc+2ac三、次数推广：计算并观察规律* (a+b) 3= (a+b) 2 .（a+b）= （a2+2ab+b2）（a+b）=a3 +a2b+2a2b+2ab2+ ab2+b3=a3 +3a2b+3ab2 +b3* (a+b) 4= (a+b) 2 .（a+b）2= （a2+2ab+b2）（a2+2ab+b2）=a4 +2a3b+a2b2+2a3b+ 4a2b2+2ab3 +a2b2+2ab3 +b4=a4 +4a3b+6a2b2 +4ab3+b4规律：（a+b）n=的展开式中①每项的次数均为n②按以上方式排列，正好是第一个字母的降幂排列，同时，也是第二个字母的升幂排列。
教学计划设计,优化完全平方公式在数学中的应用
教学计划设计，优化完全平方公式在数学中的应用优化完全平方公式在数学中的应用在数学中，我们经常会遇到需要求平方根的问题，在这个时候完全平方公式就成为了一个重要的工具。
完全平方公式是数学中的基本公式之一，在初中数学中就开始学习，在高中数学中更是必须熟练掌握。
这篇文章将探讨完全平方公式在数学教学中的应用，讨论如何优化教学计划，帮助学生更好地掌握完全平方公式。
完全平方公式是指一个二次多项式可以因式分解为两个相同的一次多项式之和的形式。
具体而言，完全平方公式可以表示为：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。
这个公式在数学中有广泛的应用，特别是在代数学、数学分析和几何学中。
在教学计划设计中，我们应当注重培养学生的批判性思维能力。
因为只有通过批判性思维，我们才能更好地理解、记忆和应用完全平方公式。
同时，在教学中应该采用多元化的教学方式，以满足不同学生的学习需求。
以下是一些教学策略和方法，可以帮助学生更好地理解完全平方公式并将其应用于实际问题。
1.以数学历史为背景进行教学了解完全平方公式的历史背景，有利于学生更好地理解公式的来龙去脉。
例如，老师可以让学生了解到该公式的原始形式是由西方的裴蜀(Euclid)和斯诺(Sun Tzu)等人提出的，后来在中国唐代的数学家李冶的《算经》一书中得到了更加完整的阐述。
学生通过了解完全平方公式的历史背景，可以更深刻地认识到它的应用价值。
2.通过实例和演示来解释完全平方公式采用具体的实例和演示的方式会更生动形象地帮助学生理解和掌握完全平方公式。
例如，老师可以拿一个正方形和两块等腰直角三角形来演示完全平方公式：将正方形边长表示为$a$，三角形的直角边长表示为$b$，则整个正方形的面积可以表示为$a^2+2ab+b^2$。
通过学生手中的模型来解释完全平方公式，可以使学生更加直观地理解该公式。
3.制定合适的练习题目在练习题目的设计中，老师应该考虑到学生的不同层次，制定不同难度级别的练习题，以满足不同的学习需求。
五年级数学完全平方数的性质和应用
完全平方数的性质和应用课前预习数字不重复的平方数观察只含两位数字的完全平方数：16＝42 25＝52 36＝62 49＝72 64＝82 81＝92 其中每个平方数都是两位数字互不相同。
含有三位数字的完全平方数，情况就不一样了。
例如： 100＝102 121＝112 144＝122这些平方数都已包含重复数字。
不过，也有许多三位平方数的各位数字互不相同，例如： 169＝132 196＝142 256＝162 62＝5252 含有四位数的完全平方数，包含重复数字的现象更为普遍。
1444＝382 不含重复数字的四位平方数也很多，例如1024＝322 2401＝492 1369＝372 1936＝442如果一个平方数有九位数字，每位数字各不相同，并且不含数字0，那么在这个数中，从1到9全都出现，全只出现一次。
其中最小的是：139854276＝118262，最大的是：923187456＝303842知识框架完全平方数常用性质1.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．不可能是2，3，7，8。
性质2：在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
性质3：自然数N 为完全平方数自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.性质4：若质数p 整除完全平方数，则p 能被整除。
2.一些重要的推论（1）任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
（2）一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
（3）自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
⇔⇔2a a（4）完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
（5）完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
35完全平方数对半和性质的推广0
文[1]中的定理1推广了印度数学家J ⋅V ⋅chaudhari 和M ⋅N ⋅Deshpande 在1996年2月发现的“漏网之鱼”这一规律，回答了戴宏图先生提出的问题(见文[2]）, 也推广了美国俄亥俄州数学家Owen Thomas 在1996年9月所获得的结论(见文[3]), 定理2和定理3各自又得到了一类有趣的连续数组.
本文通过两个定理将文[1]中2k 的有关性质推广到n
k . 设k 是一个t 位自然数，即1
10
10t t k -≤<，若n ∈N ，那么(1)1010n t n nt k -≤<，n k =
(1)(2)(3)123110101010n t n t n t t n n m m m m m ----⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+.其中010t j m ≤<，j m 是整数，j = 1 ~ n. 本文重点研究
1n j j m =∑与11(1)n j j j m -=-⋅∑的性质. 以下字母意义同上.用[x]表示x
的整数部分. 定理1 当n 是正偶数，m ∈
N, 111)n m n -<+⋅+, {lg(!)t n n >-
2lg(!)}(1)lg(1)m n m +-+
, 10101t t k -≤≤--时, (1) 1(1)(101)(101)2
n t t n j j n m
m k =-+-⋅-=--∑; (2) 11
(1)(101)(1)(101)2n t j t n j j n m m k -=+-⋅+--⋅=+-∑ 由定理1的(1)可证：当n=2 (1m -)时, 1(101)n t n j j m
k ==--∑.
对定理1的(1)来说，当m=2, n=2时，是文[1]的定理1；当m=1, n=2时，是文[1]的定理2；当m=3, n=2时，是文[1]的定理3. 可见定理1的(1)是文[1]定理的推广.
定理2 当n 是正奇数，m ∈
N, 11)n m n -<⋅+，
1{lg(!)lg(!)2n t n n +>- 1lg(!)}(1)lg 2
n n m --+-
，10101t t k -≤≤--时， (1) 1
1()(101)(101)2n t t n j j n m m k =-+⋅--=--∑; (2) 11
1()(101)(1)(101)2n t j t n j j n m m k -=-+⋅+--⋅=+-∑. 参考文献
1. 王凯成，罗运伦. 完全平方数对半和的几个性质. 数学通报，1999，1
2.
2. 戴宏图. 一个有趣的连续数组. 小学数学教师，1996，6.
3. 蒋秀章. 有趣的连续数组的再发现. 小学数学教师，1997，2.
4. 王凯成. 数论中的“漏网之鱼”. 中学数学教学参考，1998，8~9.
本文发表于陕西师范大学主办的中学数学教学参考2001年第7期. 发表时署名陕西省 艺术师范学校王凯成.。