2020高考数学冲刺 精选新题好题真题精练【精】第8章 平面解析几何 第7讲 Word版含解析
精选新版2020高考数学专题训练《平面解析几何初步》完整考试题(含参考答案)
2019年高中数学单元测试卷平面解析几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．对任意的实数k,直线y=kx+1与圆222=+y x 的位置关系一定是 （ ） A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心（2012重庆理）2．设m ,n R ∈,若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切,则+m n 的取值范围是（ ）A．[1 B ．(,1[1+3,+)-∞∞C ．[2-D ．(,2[2+22,+)-∞-∞（2012天津理）3．已知点A (1，2)，B(3，1)，则线段AB 的垂直平分线的方程为（ ）A ．4x ＋2y ＝5B ．4x －2y ＝5C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝5（2004全国2文8） 4．圆O 1:0222=-x y x ＋和圆O 2: 0422=-y y x ＋的位置关系是B A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切（重庆卷3)二、填空题5．已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a ＞0，a 是常数)，则当此直线在x ，y 轴上的截距和最小时，a 的值是 。
6．若过点(2,)A n -和点(,4)B n 的直线的斜率为1，则n =_____________7．直线34270x y --=上到点(2,1)P 距离最近的点的坐标是___________8．若直线0ax by c ++=过坐标原点，则,,a b c 应满足的条件是___________-9．已知圆C 的方程为22240x y x y m +--+=。
（1）求实数m 的取值范围；（2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于,M N 两点，且MN =，求m 的值； （3）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于,M N 两点，且OM ON ⊥（O 为原点），求m 的值。
2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7讲抛物线讲义(理)(含解析)
第7讲抛物线[考纲解读] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质(范围、对称性、顶点、准线)．(重点)2.能根据几何性质求最值，能利用抛物线的定义进行灵活转化，并能理解数形结合思想，掌握抛物线的简单应用．(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容．预测2020年高考将会考查：①抛物线的定义及其应用；②抛物线的几何性质；③直线与抛物线的位置关系及抛物线与椭圆或双曲线的综合．试题以选择题、填空题、解答题形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度．试题中等偏难.1．抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做01焦点，直线l叫做抛物线的□02准线．抛物线的□2．抛物线的标准方程与几何性质3．必记结论(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．(2)y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.(3)直线AB 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图．①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.②|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . ③1|AF |＋1|BF |为定值2p . ④弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．⑤以AB 为直径的圆与准线相切．⑥焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°.1．概念辨析(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a .( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．小题热身(1)若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716B.1516C.78 D ．0答案 B解析 M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y＋116＝1，∴y ＝1516. (2)已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4x D ．y 2＝±42x答案 D解析 ∵双曲线x 2－y 2＝1的焦点坐标为(±2，0)， ∴抛物线C 的焦点坐标为(±2，0)．设抛物线C 的方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝ 2.∴p ＝22，∴抛物线C 的方程是y 2＝±42x .故选D.(3)若过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64 答案 B解析 由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x ，得(x －2)2＝8x ，即x 2－12x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝12，弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.故选B.(4)抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，－132解析 由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .∴2p ＝18，p ＝116，∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132.题型 一 抛物线的定义及应用(2016·浙江高考)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点F 的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．答案 9解析 设M (x 0，y 0)，由抛物线的方程知焦点F (1,0)．根据抛物线的定义得|MF |＝x 0＋1＝10，∴x 0＝9，即点M 到y 轴的距离为9.条件探究1 将举例说明条件变为“过该抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝3”，求△AOB 的面积．解 焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得点A 的横坐标为2，纵坐标为22，AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2－5x ＋2＝0，所以点B 的横坐标为12，纵坐标为－2，所以S △AOB ＝12×1×(22＋2)＝322. 条件探究 2 将举例说明条件变为“在抛物线上找一点M ，使|MA |＋|MF |最小，其中A (3,2)”．求点M 的坐标及此时的最小值．解如图，点A在抛物线y2＝4x的内部，由抛物线的定义可知，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|，其中|MH|为点M到抛物线的准线的距离．过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|≥|AB|＝4，当且仅当点M在M1的位置时等号成立．此时点M的坐标为(1,2)．利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．(3)看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．1．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，且点A在第一象限，|AF|＝3|BF|，则直线l的斜率为( )A.33B.32C. 3 D．3答案 C解析设抛物线的准线交x轴于F′，分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，直线l交准线于C，如图所示：则|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |，|AF |＝3|BF |，|AN |＝2|BF |，|AB |＝4|BF |，cos ∠NAB ＝12，∠NAB ＝60°，则直线l 的斜率为 3. 2．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3 C. 5 D.92答案 A解析 如图所示，A (0,2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，由抛物线的定义知|PP ′|＝|PF |，∴|AP |＋|PP ′|＝|AP |＋|PF |≥|AF |＝14＋4＝172.故选A. 题型 二 抛物线的标准方程和几何性质1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－y D ．y 2＝－x 或x 2＝－8y答案 D解析 设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .2．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若△FPM 为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为_______．答案 x 2＝4y解析 △FPM 为等边三角形，则|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22p ，则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－p 2，因为焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，△FPM 是等边三角形， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m 22p ＋p2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，所以抛物线方程为x 2＝4y .1．求抛物线标准方程的方法(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数2p 的关系．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．1．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8y D ．x 2＝16y答案 D解析 双曲线的离心率e ＝ca＝1＋b 2a 2＝2，所以b a ＝3，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x 即 y ＝±3x ，抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，焦点到渐近线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 21＋32＝p4＝2，所以p ＝8，所以抛物线C 2的方程为x 2＝16y . 2．(2018·枣庄二模)抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3,1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( )A.43 B ．－43 C ．±43 D ．－169 答案 B解析 令y ＝1，代入y 2＝4x 可得x ＝14，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.由抛物线的光学性质可知，直线AB 经过焦点F (1,0)，所以k ＝1－014－1＝－43.故选B. 题型 三 直线与抛物线的综合问题角度1 直线与抛物线的交点问题1．(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1,0)解析 由已知，直线l ：x ＝1，又因为l 被抛物线截得的线段长为4，抛物线的图象关于x 轴对称，所以点(1,2)在抛物线上，即22＝4a ×1，解得a ＝1.故抛物线的方程为y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)．2．(2018·长郡中学新高三实验班选拔考试)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)及点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2，动直线l ：y ＝kx ＋1与抛物线C 交于A ，B 两点，若直线AD 与BD 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π.(1)求抛物线C 的方程；(2)若H 为抛物线C 上不与原点O 重合的一点，点N 是线段OH 上与点O ，H 不重合的任意一点，过点N 作x 轴的垂线依次交抛物线C 和x 轴于点P ，M ，求证：|MN |·|ON |＝|MP |·|OH |.解 (1)把y ＝kx ＋1代入x 2＝2py 得x 2－2pkx －2p ＝0，设A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 222p ，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p . 由α＋β＝π可知，直线AD 的斜率与直线BD 的斜率之和为零，所以x 212p ＋p 2x 1＋x 222p ＋p 2x 2＝0，去分母整理得(x 1＋x 2)(x 1x 2＋p 2)＝0，即2pk (p 2－2p )＝0，由该式对任意实数k 恒成立，可得p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)证明：设过点N 的垂线方程为x ＝t (t ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，x 2＝4y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 24，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 24.令|MN ||MP |＝λ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，λt 24， 所以直线ON 的方程为y ＝λt4x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝λt 4x ，x 2＝4y且x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λt ，y ＝λ2t 24，即点H ⎝⎛⎭⎪⎫λt ，λ2t 24，所以|OH ||ON |＝x H x N ＝λt t ＝λ，所以|MN ||MP |＝|OH ||ON |，即|MN |·|ON |＝|MP |·|OH |. 角度2 与抛物线弦中点有关的问题3．(2018·郑州模拟)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14m .(2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.(3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＞0⇒m ＞－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，y P ， ∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，1m . 得QA →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－1m，mx 21－1m ，QB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1m，mx 22－1m ，若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 21－1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 22－1m ＝0，结合(*)化简得－4m2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，－12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. ∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．1．直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组． (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决． 2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：为了回避讨论直线斜率存在和不存在，可以灵活设直线方程，见巩固迁移2.1．已知直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(4,4)，则线段AB 的中点到准线的距离是________．答案 258 解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1，所以k AF ＝4－04－1＝43. 所以直线l 的方程为y －0＝43(x －1)， 即y ＝43(x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝43x －1消去y ，整理得4x 2－17x ＋4＝0， 所以线段AB 的中点的横坐标为178. 所以线段AB 的中点到准线的距离是178－(－1)＝258. 2．(2018·衡水模拟)已知抛物线C ：y 2＝ax (a >0)上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12到焦点F 的距离为2t . (1)求抛物线C 的方程；(2)抛物线上一点A 的纵坐标为1，过点Q (3，－1)的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点(均与点A 不重合)，设直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．解 (1)由抛物线的定义可知|PF |＝t ＋a 4＝2t ，则a ＝4t ，由点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12在抛物线上，则at ＝14.所以a ×a 4＝14，则a 2＝1， 由a >0，则a ＝1，故抛物线的方程为y 2＝x .(2)证明：因为A 点在抛物线上，且y A ＝1.所以x A ＝1，所以A (1,1)，设过点Q (3，－1)的直线l 的方程为x －3＝m (y ＋1)．即x ＝my ＋m ＋3，代入y 2＝x 得y 2－my －m －3＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝m ，y 1y 2＝－m －3，所以k 1·k 2＝y 1－1x 1－1·y 2－1x 2－1 ＝y 1y 2－y 1＋y 2＋1m 2y 1y 2＋m m ＋2y 1＋y 2＋m ＋22 ＝－m －3－m ＋1m 2－m －3＋m m ＋2m ＋m ＋22＝－12， 为定值．。
2023版高考数学一轮复习真题精练第八章平面解析几何pptx课件
【疑难点拨】 破解本题的疑难点是对最值问题如何进行转化,只需把|PM|·|AB|的最小值问题层层转化,最终
转化为|PM|的最小值问题,从而转化为点到直线的距离的最小值问题.
5 (多选)[2021新高考Ⅱ卷·11,5分,难度★★☆☆☆]
已知直线l:ax+by-r2=0(r>0)与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是
1
连接AM,BM,易知四边形PAMB的面积为2|PM|·|AB|,欲使|PM|·|AB|最小,只需四边形PAMB的面积最小,即只需
△PAM的面积最小.因为|AM|=2,所以只需|PA|最小.
又|PA|= ||2 −||2 = ||2 −4,所以只需|PM|最小,此时PM⊥l.因为PM⊥AB,所以l∥AB,所以kAB=-2,排除
5
−2 + 1 = 0
= −1,
得ቊ
所以P(-1,0).易知P,A,M,B四点共圆,所以以PM为直径的圆的方程为
= 0,
1
5
x2+(y-2)2=( 2 )2,即x2+y2-y-1=0 ②,由①②得,直线AB的方程为2x+y+1=0,故选D.
优解 因为☉M:(x-1)2+(y-1)2=4,所以圆心M(1,1).
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
答案
5.ABD
对于A,若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以圆心C(0,0)到直线l的距离d=
正确;对于B,若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2<r2,所以圆心C(0,0)到直线l的距离d=
2022年高考数学(文)一轮复习文档：第八章 平面解析几何 第7讲抛物线 Word版含答案
第7讲 抛物线 ,)1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上． 2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px(p ＞0)y 2＝－2px(p ＞0)x 2＝2py(p ＞0)x 2＝－2py(p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0，0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线 方程 x ＝－p2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0， x ∈R开口方向 向右向左向上 向下 焦半径|PF |＝|PF |＝|PF |＝|PF |＝(其中P (x 0， y 0))x 0＋p 2－x 0＋p2y 0＋p 2－y 0＋p21．辨明两个易误点(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．(2)对于抛物线标准方程中参数p ，易忽视只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．2．与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．1.教材习题改编 抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(0，2) C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，－132 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，132C 由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .2p ＝18，p ＝116，所以焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，－132，故选C.2.教材习题改编 以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4xD 由准线x ＝1知，抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且p2＝1，p ＝2，所以方程为y 2＝－4x ，故选D.3．M 是抛物线y 2＝2px (p >0)位于第一象限的点，F 是抛物线的焦点，若|MF |＝52p ，则直线MF 的斜率为( )A ．43B ．53C ．54D ．52A 设M (x 0，y 0)，由|MF |＝52p ，得x 0＋p 2＝5p2，所以x 0＝2p .所以y 20＝2px 0＝4p 2，取正根得y 0＝2p . 即M 的坐标为(2p ，2p )， 又F 的坐标为(p2，0)，所以k MF ＝2p －02p －p 2＝43，故选A.4．动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，依据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .y 2＝4x5.教材习题改编 抛物线x 2＝2py (p >0)上的点P (m ，2)到焦点F 的距离为3，则该抛物线的方程为________． 依据抛物线定义可知2＋p2＝3，所以p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝4y .x 2＝4y抛物线的定义及其应用(1)若抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为( )A ．22B ．24C ．12D ．14(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．【解析】 (1)由题意知，抛物线准线方程为x ＝－12.设M (a ，b )，由抛物线的定义可知， 点M 到准线的距离为32，所以a ＝1，代入抛物线方程y 2＝2x ， 解得b ＝±2，所以S △MFO ＝12×12×2＝24.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |，则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4. 【答案】 (1)B (2)4若本例(2)中的B 点坐标改为(3，4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．由于|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离， 所以|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应机敏地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)留意机敏运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.1．(2021·云南省统一检测)设经过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交但不经过圆心D ．相交且经过圆心B 设圆心为M ，过点A 、B 、M 作准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1、M 1， 则|MM 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|， 所以|AB |＝|BB 1|＋|AA 1|，|MM 1|＝12|AB |，即圆心M 到准线的距离等于圆的半径， 故以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．2．(2021·长春调研)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．355B ．2C ．115D ．3B 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点F 为(1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.抛物线的标准方程及性质(高频考点)抛物线的标准方程及性质是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式消灭，个别高考题有肯定难度． 高考对抛物线的考查主要有以下三个命题角度： (1)求抛物线方程； (2)由已知求参数p ； (3)抛物线方程的实际应用．(1)(2022·高考全国卷乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)若抛物线的焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点，则抛物线的标准方程为________．【解析】 (1)由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4，所以选B.(2)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3，令y ＝0，得x ＝4，所以抛物线的焦点坐标可能为(0，－3)或(4，0)．当焦点坐标为(0，－3)时，设方程为x 2＝－2py (p >0)，则p2＝3，所以p ＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y ；当焦点坐标为(4，0)时，设方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝4，所以p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x . 所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x . 【答案】 (1)B (2)x 2＝－12y 或y 2＝16x(1)求抛物线的标准方程的方法①求抛物线的标准方程常用待定系数法，由于未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可． ②由于抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． (2)确定及应用抛物线性质的技巧①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．②要结合图形分析，机敏运用平面几何的性质以图助解．角度一 求抛物线方程1．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则抛物线的方程是( ) A ．y ＝4x 2B ．y ＝8x 2C ．y 2＝4xD ．y 2＝8xD 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由抛物线的定义知1＋p2＝3，即p ＝4，所以抛物线方程为y2＝8x .角度二 由已知求参数p2．(2021·襄阳调研测试)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8B 由于△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切，所以△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由于圆面积为9π，所以圆的半径为3，又由于圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，所以p 2＋p4＝3，所以p ＝4.角度三 抛物线方程的实际应用3．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．建立坐标系如图所示．则可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．由于点(2，－2)在抛物线上，所以p ＝1， 即抛物线方程为x 2＝－2y . 当y ＝－3时，x ＝± 6.所以水位下降1米后，水面宽为26米． 2 6直线与抛物线的位置关系(2022·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．【解】 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝ptx ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t2p.因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要留意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝|x 1|＋|x 2|＋p ，若不过焦点，则必需用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系接受“设而不求”“整体代入”等解法．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)． 又y 23＝8x 3，所以2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.,)——忽视焦点位置而致误已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．【解】 由题意，设抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)． 设公共弦MN 交y 轴于A ， 则|MA |＝|AN |，且|AN |＝ 5. 由于|ON |＝3，所以|OA |＝32－（5）2＝2，所以N (5，±2)．由于N 点在抛物线上，所以5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，58，准线方程为y ＝－58.抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－58，准线方程为y ＝58.(1)解决本题易忽视焦点位置可在y 轴的正半轴也可在负半轴上两种状况，误认为a >0，从而导致漏解．(2)对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线方程有如下特点： ①当焦点在x 轴上时，可将抛物线方程设为y 2＝ax (a ≠0)； ②当焦点在y 轴上时，可将抛物线方程设为x 2＝ay (a ≠0)．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的焦点重合，则抛物线的准线方程为________．由椭圆x 29＋y 25＝1，得c 2＝9－5＝4，即c ＝2，故椭圆的焦点坐标为(±2，0)． 即抛物线的焦点坐标为(±2，0)．所以当p >0时，抛物线的准线方程为x ＝－2；当p <0时，抛物线的准线方程为x ＝2. x ＝2或x ＝－2,)1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0B M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，所以y ＝1516.2．若抛物线y 2＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±22D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±1 A 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF 的中点，所以x P ＝14，代入y 2＝2x ，得y P ＝±22，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22. 3．(2022·高考全国卷甲)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A ．12 B ．1C ．32D ．2D 易知抛物线的焦点为F (1，0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线方程得y P ＝2(－2舍去)，把P (1，2)代入曲线y ＝k x(k ＞0)得k ＝2.4．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32， 则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.5．直线l 过抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝12x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝6xD ．y 2＝－4xB 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由抛物线定义可得|x 1|＋|x 2|＋p ＝8，又AB 的中点到y 轴的距离为2，即|x 1|＋|x 2|＝4，所以p ＝4，所以y 2＝－8x .故选B.6．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则下列关于|AB |·|CD |的值的说法中，正确的是( )A ．等于1B ．等于4C ．最小值是1D ．最大值是4A 设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，依据抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝（y 1y 2）216.而y 1y 2＝－4，故|AB |·|CD |＝1.7．(2021·资阳模拟)顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点P (－4，－2)的抛物线方程是________． 设抛物线方程为x 2＝my ，将点P (－4，－2)代入x 2＝my ，得m ＝－8. 所以抛物线方程是x 2＝－8y . x 2＝－8y8．(2021·云南省第一次统一检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，○· M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，假如抛物线C 的准线与○·M 相切，那么p 的值为________．将○·M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r ＝2，又由于抛物线的准线方程为x ＝－p2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－p 2＝2，p ＝12或4.12或49．经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，假如A ，B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1，B 1，那么∠A 1FB 1＝________．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AFA 1＝∠AA 1F . 又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OFA 1＝∠AA 1F ， 故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AFA 1＝∠OFA 1， 所以∠OFA 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2.π210．(2021·豫东、豫北十校联考)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x 2－y 2＝20的两条渐近线围成的三角形的面积为45，则抛物线方程为________．由双曲线方程5x 2－y 2＝20知其渐近线方程为y ＝±5x ，由题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，故其准线方程为x ＝－p 2，设准线与双曲线的两条渐近线的交点为A ，B ，则不妨令A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，52p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－52p ，故S △ABO ＝12×5p ×p 2＝54p 2＝45，解得p 2＝16，又由于p >0，所以p ＝4，故抛物线方程为y 2＝8x .y 2＝8x11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)由于点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又由于F (1，0)，所以k FA ＝43，由于MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34.所以FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.12．(2021·长春一模)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( ) A ．13B ．23 C.34 D.43A 记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13.13．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A 、B 两点． (1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．(1)由已知得抛物线的焦点为F (1，0)．由于线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1. (2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消元得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0. |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝m 2＋1·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝m 2＋1·（4m ）2－4×（－4） ＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2， 所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1，即x ±2y －1＝0.14．已知圆C 过定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．(1)由题意，点C 到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等， 故点C 的轨迹E 的方程为y 2＝－x .(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k （x ＋1），消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系有y 1＋y 2＝－1k，y 1y 2＝－1.设直线l 与x 轴交于点N ，则N (－1，0)． 所以S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|， ＝12|ON ||y 1－y 2| ＝12×1×（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋4＝10， 解得k ＝±16.。
精选新版2020高考数学专题训练《平面解析几何初步》完整考题(含标准答案)
2019年高中数学单元测试卷平面解析几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．1 ．（2013年高考湖南卷（理））在等腰三角形ABC 中,=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点,光线从点P 出发,经,BC CA 发射后又回到原点P (如图1).若光线QR 经过ABC ∆的中心,则AP 等（ ）A ．2B ．1C ．83D ．432．(2005浙江理)点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )A ． 21B ． 32 C ． 2 D ．23．曲线x 2+y 2+22x －22y=0关于（ ）A ．直线x=2轴对称B ．直线y=－x 轴对称C ．点（－2，2）中心对称D ．点（－2，0）中心对称（1999全国文6）4．以点（2，－1）为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为( )A ．22(2)(1)3x y -++=B ．22(2)(1)3x y ++-=C ．22(2)(1)9x y -++=D ．22(2)(1)3x y ++-=(2006重庆文)5．从圆x 2-2x+y 2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为( )A ．21B ．53C ．23D ．0（2004）6．已知直线0=++C By Ax 在x 轴的截距大于在y 轴的截距，则A 、B、C 应满足条件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（Ｄ） Ａ．B A > Ｂ．B A < Ｃ．0>+B C A C Ｄ．0<-BC A C 7．下列方程中圆心在点(2,3)P -，并且与y 轴相切的圆是（ ）Ａ、22(2)(3)4x y -++= Ｂ、22(2)(3)4x y ++-=Ｃ、22(2)(3)9x y -++= Ｄ、22(2)(3)9x y ++-=二、填空题8．（5分）已知函数y=f （x ）（x ∈（0，2））的图象是如图所示的圆C 的一段圆弧．现给出如下命题：①f ′（1）=0；②f ′（x ）≥0；③f ′（x ）为减函数；④若f ′（a ）+f ′（b ）=0，则a+b=2．其中所有正确命题的序号为 ①③④ ．9． 若直线240x y ++=截圆22()()9(,0)x a y b a b -+-=>所得的弦长为4，则8a b ab+的最小值是_ _． 10．已知直线1:20l ax y a -+=,2:(21)0l a x ay a -++=互相垂直，则实数a 的值是▲11．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于________；12．直线x －y +3=0被圆（x +2）2+（y －2）2=2截得的弦长等于__________；13． 若点（5，b ）在两条平行直线6x －8y +1=0与3x －4y +5=0之间，则整数b 的值为14．已知m R ∈,直线(12)(22)210m x m y m ++---=经过定点,定点坐标为 ．15．已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，直线1l 过定点 A (1，0)．（1）若1l 与圆C 相切，求1l 的方程；（2）若1l 的倾斜角为4π，1l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求线段PQ 的中点M 的坐标； （3）若1l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求三角形CPQ 的面积的最大值，并求此时1l 的直线方程．16．若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 ▲ ．17．已知集合}),{(},9),{(2m x y y x N x y y x M +==-==，且≠N M ∅，则m 的取值范围为 ▲ ．18．已知正方形的中心为直线2x －y ＋2＝0和x ＋y ＋1＝0的交点，正方形一边所在直线的方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程分别为__________________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝0， 即得正方形的中心为(－1,0)．设所求正方形相邻两边的方程为3x －y ＋p ＝0和x ＋3y ＋q ＝0.∵中心(－1,0)到两边距离相等， ∴|－3＋p |10＝|－1＋q |10＝610. 解得p ＝－3或p ＝9，q ＝－5或q ＝7.∴所求三边的方程为3x －y －3＝0,3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0.19．若原点在直线l 上的投影是点(2,1)P -，则l 的方程为_______20．若直线230ax y ++=与直线320x y --=平行，则a =_____21．两条平行直线34120x y +-=和6860x y ++=之间的距离是_______22．直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为__________ ．1133y x =-+三、解答题 23． (本小题满分16分) 已知函数()ln f x a b x =-(,a b R ∈)，其图像在x e =处的切线方程为0x ey e -+=．函数()(0)k g x k x =>，()()1f x h x x =-． (Ⅰ)求实数a 、b 的值；（Ⅱ）以函数()g x 图像上一点为圆心，2为半径作圆C ，若圆C 上存在两个不同的点到原点O 的距离为1，求k 的取值范围；（Ⅲ）求最大的正整数k ，对于任意的(1,)p ∈+∞，存在实数m 、n 满足0m n p<<<，使得()()()h p h m g n ==．24．在平面直角坐标系中，已知()()1,0,1,0A B -，求满足224PA PB -=且在圆22x y + 4=上的点P 的坐标25．（14分）圆C 的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别为()()1,1,3,5A B - （I ）求圆C 的方程（II ）若过点()2,0M -的直线与圆C 有且只有一个公共点，求直线l 的方程26． （本题16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知以O 为圆心的圆与直线:(34)()l y mx m m R =+-∈恒有公共点，且要求使圆O 的面积最小.（1）写出圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内动点P 使PA 、PO 、PB 成等比数列，求PB PA ∙的范围；（3）已知定点Q （−4，3），直线l 与圆O 交于M 、N 两点，试判断MQN QN QM ∠∙∙tan 是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线l 的方程，若不存在，给出理由.27．已知直线a y x a l 354)3(:1-=++与8)5(2:2=++y a x l ，则当a 为何值时，直线21l l 与：（1）平行； （2）垂直．28．已知两圆相交于两点(1,3),(,1)A B m -，且两圆的圆心都在直线0x y c -+=上，求,m c 的值。
高考理数真题训练08 平面解析几何(解答题)(原卷版)
专题08 平面解析几何（解答题）1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且43CD AB =．（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．4．【2020年高考北京】已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅰ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．5．【2020年高考浙江】如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．6．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．8．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.9．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若，求|AB |．10．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM的斜率之积323AP PB =为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 12．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．13．【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4 （1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．14．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．15．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．16．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．17．【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．18．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．19．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．20．【2018年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为7，求直线l 的方程．21．【2018年高考浙江卷】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．（1）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．22．【2018年高考天津卷理数】设椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率A 的坐标为(,0)b，且FB AB ⋅= （1）求椭圆的方程；（2）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点)，求k 的值．。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面解析几何》真题汇编及答案
【最新】高考数学《平面解析几何》练习题一、选择题1．如图，设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．12B ．23C ．13D ．14【答案】C 【解析】如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线， 于是△OFM ∽△AFB ，且OF OM 1FAAB2==， 即c c a -=12可得e=c a =13． 故答案为13． 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.2．已知抛物线2:6C x y =的焦点为F 直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若AB 中点的纵坐标为5，则||||AF BF +=（ ） A ．8 B ．11C ．13D ．16【答案】C 【解析】 【分析】设点A 、B 的坐标，利用线段AB 中点纵坐标公式和抛物线的定义，求得12y y +的值，即可得结果；【详解】抛物线2:6C x y =中p ＝3， 设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由抛物线定义可得：|AF |+|BF |＝y 1+ y 2+p ＝y 1+ y 2+3， 又线段AB 中点M 的横坐标为122y y +=5， ∴12y y +＝10， ∴|AF |+|BF |＝13； 故选：C . 【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用及中点坐标公式，是中档题．3．已知一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，其中4AB =，2BC CD AD ===，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）ABCD．【答案】B 【解析】 【分析】不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>，将条件转化为坐标，代入解出p ，即得结果. 【详解】不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>，可设(1,),(2,C m B m ，则123242(pm p p m =⎧⎪∴==⎨=+⎪⎩B. 【点睛】本题考查抛物线方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基本题.4．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率.【详解】根据题意，点P 一定在左支上.由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =， 再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ， 从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.在2OMF △中22224cos 2a c aMOF ac+-∠=.——① 由2tan b MOF a ∠=，得2cos aMOF c∠=. ——② 由①②，解得225c a=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±.故选：C. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.5．已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ） A ．2 BC．D ．4【答案】A 【解析】圆22:20C x y y ++=即22(y 1)1x ++=,表示以C (0,-1)为圆心，以1为半径的圆。
2020届山东优质冲刺数学试卷分项解析08 平面解析几何(解析版)
专题8 平面解析几何纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.预测2021年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查圆、椭圆、双曲线、抛物线问题，难度在中等或以下.主观题考查或直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系，相关各种综合问题应有充分准备.1．（2020·山东海南省高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD 【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线CB 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y =C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确； 故选：ACD.2．（2020·C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点FAB的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1633．（2020·浙江省高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．【答案】33 233- 【解析】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C 2211k =+，2211k =+，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得3333k b ==-. 3234．（2020·山东海南省高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析. 【解析】(1)由题意可得：222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)设点()()1122,,,M x y N x y .因为AM ⊥AN ，∴·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=,① 当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+,如图1. 代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k4260xkmx m +++-=,2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++ ②, 根据1122,y kx m y kx m =+=+,代入①整理可得：()()()()221212k1x 2140x km k x x m ++--++-+=将②代入，()()()22222264k 121401212m km km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得()()231210k m k m +++-=,∵2,1A （）不在直线MN 上，∴210k m +-≠，∴23101k m k ++=≠，， 于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以直线过定点直线过定点21,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭. 当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -,如图2.代入()()()()121222110x x y y --+--=得()2212210x y -+-=,结合2211163x y +=,解得()1122,3x x ==舍,此时直线MN 过点21,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值（AE 221214221233⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭）. 由于()21,32,13,A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故由中点坐标公式可得41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故存在点41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得|DQ|为定值.一、单选题1．（2020·山东省泰安市6月三模）已知抛物线2:4C x y =的准线恰好与圆()()()222:340M x y r r -+-=>相切，则r =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】抛物线2:4C x y =的准线方程为1y =-，()()()222:340M x y r r -+-=>的圆心为()3,4，因为准线恰好与圆M 相切，所以圆心到直线的距离为415r =+=. 故选：C.2．（2020·山东省泰安市6月三模）如图，已知双曲线22212x y C a a -=+：的左、右焦点分别为12,,F F M 是C上位于第一象限内的一点，且直线2F M 与y 轴的正半轴交于A 点，1AMF ∆的内切圆在边1MF 上的切点为N ，若=2MN ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．5 B ．5C ．2D ．2【答案】D 【解析】设1AMF ∆的内切圆在边1,AF AM 的切点分别为E ，G ，则122MF MF a -=，得1222NF MF a +-=，又112||||||NF EF GF ==，则22||22GF MF a +-=，得2||2MG a +=，又||2MG =，得24,a = 2a =，所以双曲线C 的离心率为22422+=故选：D3．（2020·山东省临沂市、枣庄市临考演练）已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，AB 的中点为C ，过C 作抛物线准线的垂线交准线于1C ，若1CC 的中点为()1,4M ，则p =（ ） A ．4 B ．8C ．42D．82【答案】B 【解析】因为1CC 的中点为()1,4M ，所以8,212A B C py y x +=-=⨯， 所以4,22A B C p x x p x +=+=+， 设直线AB 的方程为2p x my =+，代入抛物线的方程得，2220y pmy p --=，所以 2,()8A B A B A B y y pm x x m y y p m p +=+=++=+所以8284pm m p p =⎧⎨+=+⎩，解得812p m =⎧⎪⎨=⎪⎩，故选：B4．（2020·山东省济南市二模）已知抛物线24x y =的焦点为F ，点P 在抛物线上且横坐标为4，则||PF =（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．6【答案】C 【解析】将4x =代入抛物线得到()4,4P ，根据抛物线定义得到||44152pPF =+=+=. 故选：C.5．（2020·山东省济南市二模）已知点A ，B ，C 均在半径为2的圆上，若||2AB =，则AC BC ⋅的最大值为（ ） A ．3+22 B ．222+C ．4D ．2【答案】B 【解析】根据圆O 半径为2，2AB =得到OA OB ⊥，以,OB OA 为,x y 轴建立直角坐标系， 则()0,2A ，()2,0B ，设()2cos ,2sin Cθθ，则()()2cos ,2sin 22cos 2,2sin 222sin 4AC BC πθθθθθ⎛⎫⋅=-⋅-=-+ ⎪⎝⎭，当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时有最大值为222+. 故选：B.6．（2020·山东省仿真联考3）已知双曲线2222:10,0)x y C a b a b-=>>（，直线y b =与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ，O 为坐标原点．若OMN 为直角三角形，则C 的离心率为（）． A 2 B 3C ．2D 5【答案】A 【解析】OMN ∆为直角三角形，结合对称性可知，双曲线C 的渐近线为：y x =±即1ba=c ∴==c e a ∴==本题正确选项：A7．（2020·山东省仿真联考3）已知点P 在圆224x y +=上，(2,0)A -，(2,0)B ，M 为BP 中点，则sin BAM ∠的最大值为( ) A ．14BC ．13D ．12【答案】C 【解析】设(),P x y ，因为为BP 中点，所以2M ,22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2tan 2622yy BAM x x ∠==+++，因为点P 在圆224x y +=上，则22x -≤≤,不妨令0y >，则tan 6yBAM x ∠====+ 令111t ,684x ⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦，则tan BAM ∠==所以当且仅当316t=时，tan BAM ∠取最大值4，故1sin 3BAM ∠=.故选C. 8．（2020·山东省仿真联考2）设曲线x =20x y --=的距离的最大值为a ，最小值为b ，则-a b 的值为 （） A．2BC ．12+ D ．2【答案】C 【解析】将x =化为：x 2+（y ﹣1）2＝1， ∴圆心（0，1），半径r ＝1， ∵圆心到直线x ﹣y ﹣2＝0的距离d =，∴圆上的点到直线的最小距离b 32=-1， 最大值为（0，2）到直线的距离，即a 2==22 则a ﹣b 2=+1． 故选：C ．9．（2020·山东省仿真联考2）已知双曲线的左右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若的周长为12，则取得最大值时该双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，得①，且分别为的中点．由双曲线定义，知②，③，联立①②③，得．因为的周长为12，所以的周长为24，即，亦即，所以．令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，此时，所以，所以，故选C ．10．（2020·山东省滨州市三模）已知抛物线24C y x =：与圆()2219：-+=E x y 相交于A ，B 两点，点M为劣弧AB 上不同A ，B 的一个动点，平行于x 轴的直线MN 交抛物线于点N ，则MNE 的周长的取值范围为（ ） A ．(3，5) B ．(5，7)C ．(6，8)D ．(6，8]【答案】C 【解析】画出图象如下图所示.圆E 的圆心为()1,0，半径为3，抛物线的焦点为()1,0，准线为1x =-.由()222419y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩解得()()2,22,2,22A B -，所以24m x <<. 设平行于x 轴的直线MN 交抛物线的准线1x =-于D ，根据抛物线的定义可知NE ND =， 所以MNE 的周长为33ME NE MN ND MN MD ++=++=+. 而()13,5m MD x =+∈，所以()36,8MD +∈. 也即MNE 周长的取值范围是()6,8. 故选：C11．（2020·山东省济南市6月模拟）已知双曲线C 的方程为221169x y -=，则下列说法错误的是（ ） A ．双曲线C 的实轴长为8B ．双曲线C 的渐近线方程为34yx C ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3 D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为94【答案】D 【解析】由双曲线C 的方程为221169x y -=得：2216,9,a b ==224,3,5a b c a b ∴===+=.∴双曲线C 的实轴长为28a =,故选项A 正确.双曲线C 的渐近线方程为34=±=±b y x x a ，故选项B 正确.取焦点()5,0F ，则焦点()5,0F 到渐近线34yx 的距离2235334d ⨯==+，故选项C 正确.双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为541c a -=-=，故选项D 错误. 故选：D .12．（2020·山东省济宁市6月三模）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C 的两个交点分别为A ，B ，且满足2,AF FB E =为AB 的中点，则点E 到抛物线准线的距离为( ) A ．114B ．94C ．52D ．54【答案】B 【解析】由题得抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，2,AF FB =||2||AF BF ∴=，1212(1)x x ∴+=+，1221x x ∴=+， 221212||2||,y 4y y y =∴=，124x x ∴=，12x ∴=，212x =. ∴线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为1219[(1)(1)]24x x +++=. 故选：B.13．（2020届山东省青岛市三模）若直线21:320l a x y -+=，2:250l ax y a +-=．:0p a =，1:q l 与2l 平行，则下列选项中正确的（ ） A ．p 是q 的必要非充分条件B ．q 是p 的充分非必要条件1C ．p 是q 的充分非必要条件D ．q 是p 的非充分也非必要条件【答案】C 【解析】因为1l 与2l 平行，所以25(3)20,0a a a ⨯--⨯=∴=或65a =-. 经检验，当0a =或65a =-时，两直线平行. 设{|0}A a a ==，{|0B a a ==或6}5a =-，因为A B ,所以p 是q 的充分非必要条件. 故选：C.14．（2020·山东省青岛市二模）已知曲线C 的方程为()222126x y k k k-=∈--R ，则下列结论正确的是（ ）A ．当8k时，曲线C 为椭圆，其焦距为4B ．当2k =时，曲线C C ．存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线D ．当3k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线与圆()2249x y -+=相切 【答案】B 【解析】对于A ，当8k 时，曲线C 的方程为221622x y +=，轨迹为椭圆，焦距2c ==A 错误；对于B ，当2k =时，曲线C 的方程为22124x y -=，轨迹为双曲线，则a =c =∴离心率==ce a，B 正确； 对于C ，若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则26020k k -<⎧⎨-<⎩，解集为空集，∴不存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，C 错误；对于D ，当3k =时，曲线C 的方程为22173x y -=，其渐近线方程为7y x =±，则圆()2249x y -+=的圆心到渐近线的距离35d ===≠，∴双曲线渐近线与圆()2249x y -+=不相切，D 错误.故选：B .15．（2020·山东省日照丶潍坊、临沂部分6月模拟）已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，则“a =是“0OA OB ⋅=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立22202x y a x y -+=⎧⎨+=⎩，化为225420y xy a -+-=， 直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于,A B 两点，(O 为坐标原点），()22162020a a ∴∆=-->，解得210a <， 2121242,55a a y y y y -∴+==， 121200OA OB x x y y ⋅=⇔+=， ()()1212220y a y a y y ∴--+=， ()21212520y y a y y a ∴-++=，222452055a aa a -∴⨯-⨯+=，解得a =则“5a =”是“0OA OB ⋅=”的充分不必要条件，故选A.16．（2020·山东省日照丶潍坊、临沂部分6月模拟）如图，点F 是抛物线28y x =的焦点，点A ，B 分别在抛物线28y x =及圆22(2)16x y -+=的实线部分上运动，且AB 始终平行于x 轴，则ABF ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(2,6)B ．(6,8)C ．(8,12)D ．(10,14)【答案】C 【解析】抛物线的准线2l x =-：，焦点20F （，）， 由抛物线定义可得2A AF x =+，圆()22216x y -+=的圆心为20（，），半径为4， ∴FAB 的周长()246A B A B AF AB BF x x x x =++=++-+=+， 由抛物线28y x =及圆()22216x y -+=可得交点的横坐标为2，∴26B x ∈（，），∴()6812B x +∈，，故选 C. 17．（2020·山东省日照丶潍坊、临沂部分6月模拟）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 为左顶点，过点A 3M ，若120MF MF ⋅=，则该双曲线的离心率是（ ）A 2B 21C 13D ．53【答案】B 【解析】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，设点,b M m m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为120MF MF ⋅=，即12MF F ∆为直角三角形，且12F MF ∠为直角， 所以1212OM F F =，则222bm m c a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭上， 解得m a =，故(),M a b ，又(),0A a -，所以直线AM 的斜率23b k a ==，所以2243b a =，故该双曲线的离心率3c e a ===.故选：B . 二、多选题18．（2020·山东省德州市6月二模）抛物线24C x y =：的焦点为F ，P 为其上一动点，设直线l 与抛物线C相交于A ，B 两点，点()22,M ，下列结论正确的是（ ） A ．|PM | +|PF |的最小值为3B ．抛物线C 上的动点到点()0,3H 的距离最小值为3 C ．存在直线l ，使得A ，B 两点关于30x y +-=对称D ．若过A 、B 的抛物线的两条切线交准线于点T ，则A 、B 两点的纵坐标之和最小值为2 【答案】AD 【解析】A ．设l 是抛物线的准线，过P 作PN l '⊥于N ，则3PM PF PM PN +=+≥，当且仅当,,P M N 三点共线时等号成立．所以PM PF +最小值是3，A 正确；B ．设(,)P x y 是抛物线上任一点，即24x y =，2222(3)4(3)(1)8PH x y y y y =+-=+--+1y =时，min 822PH ==B 错误；C ．假设存在直线l ，使得A ，B 两点关于30x y +-=对称，设l 方程为0x y m -+=，由240x yx y m ⎧=⎨-+=⎩得2440x x m --=，所以16160m ∆=+>，1m >-，设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x +=，AB 中点为00(,)Q x y ，则12022x x x +==，002y x m m =+=+，Q 必在直线30x y +-=上， 所以2230m ++-=，1m =-，这与直线l 抛物线相交于两个点矛盾，故不存在，C 错误；D ．设1122(,),(,)A x y B x y ，由24x y =即214y x =，得12y x '=，则切线AT 方程为1111()2y y x x x -=-，即2111124y x x x =-，同理BT 方程是2221124y x x x =-，由21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得12121()214x x x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由题意T 在准线1y =-上，所以12114x x =-，124x x =-， 所以22221212121212111()[()2]()2444y y x x x x x x x x +=+=+-=++，所以120x x +=时，122y y +=为最小值．D 正确． 故选：AD ．19．（2020·山东省德州市6月二模）直线1y kx =-与圆C ：()()223336x y ++-=相交于A 、B 两点,则AB 长度可能为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．16【答案】BC 【解析】因为直线1y kx =-过定点()0,1-,故圆C 的圆心()3,3-到直线1y kx =-的距离的最大值为5=.又圆C 的半径为6,故弦长AB 的最小值为=.又当直线1y kx =-过圆心时弦长AB 取最大值为直径12,故AB ⎡⎤∈⎣⎦.故选：BC20．（2020·山东省滨州市三模）已知曲线22:22C x y x y +=+，则曲线C 的图形满足（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．所围成图形的面积为84π+【答案】ABCD 【解析】设(),x y 是曲线上任意一点，由于曲线方程为2222x y x y +=+，所以()()()(),,,,,,,x y x y x y x y ----都满足曲线方程，所以曲线C 的图形满足关于x 轴对称、关于y 轴对称、关于原点对称，故ABC 选项正确. 当0,0x y >>时，曲线方程为2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=，是圆心为()1,1的圆在第一象限的部分，如下图阴影部分所示. 阴影部分是由一个等腰直角三角形和一个半圆组合而成，其面积为21122222ππ⨯⨯+⨯⨯=+，根据对称性可知，曲线C 所围成图形的面积为()2484ππ+⨯=+.故D 选项正确. 故选：ABCD21．（2020·山东省威海市三模）已知抛物线()220y px p =>上三点()11,A x y ，()1,2B ，()22,C x y ，F 为抛物线的焦点，则（ ） A ．抛物线的准线方程为1x =-B ．0FA FB FC ++=，则FA ，FB ，FC 成等差数列 C ．若A ，F ，C 三点共线，则121y y =-D ．若6AC =，则AC 的中点到y 轴距离的最小值为2 【答案】ABD 【解析】把点(1,2)B 代入抛物线22y px =，得2p =，所以抛物线的准线方程为1x =-，故A 正确；因为1122(,),(1,2),(,),(1,0)A x y B C x y F ，所以11(1,)FA x y =-，(0,2)FB =，22(1,)FC x y =-，又由0FA FB FC ++=，得122x x +=，所以121142FA FC x x FB +=+++==，即FA ，FB ，FC 成等差数列，故B 正确； 因为A ，F ，C 三点共线，所以直线斜率AFCF k k =，即121211y y x x =--，所以122212111144y y y y =--，化简得，124y y =-，故C 不正确；设AC 的中点为00(,)M x y ，因为AF CF AC +≥，1201122AF CF x x x +=+++=+，所以0226x +≥，得02x ≥，即AC 的中点到y 轴距离的最小值为2，故D 正确. 故选：ABD22．（2020·山东省仿真联考1）已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()F ，点P 的坐标为（0，1），点Q 为双曲线C 左支上的动点，且PQF △的周长不小于14，则双曲线C 的离心率可能为( )A B ．C D ．3【答案】AC 【解析】设双曲线C 的左焦点为F ',则2QF QF a '-=,即2QF QF a '=+，故22QF PQ QF PQ a PF a ''+=++≥+.由题意可得5PF PF '===，所以2214PQ QF PF PF a +≥+≥+，所以2a ≥.则双曲线C 的离心率c e a ==≤因为1e >.所以双曲线C 的离心率的取值范围为(. 故选：AC23．（2020·山东省仿真联考3）设M ，N 是抛物线2y x =上的两个不同的点，O 是坐标原点．若直线OM 与ON 的斜率之积为12-，则（ ）．A ．||||OM ON +≥B ．以MN 为直径的圆的面积大于4πC ．直线MN 过定点(2,0)D ．点O 到直线MN 的距离不大于2【答案】CD 【解析】不妨设M 为第一象限内的点，①当直线MN x ⊥轴时，OM ON k k =-，由12OM ON k k ⋅=-，得OM k =2ON k =-，所以直线OM ，ON的方程分别为：y x =和y x =．与抛物线方程联立，得M，(2,N ，所以直线MN 的方程为2x =，此时||||OM ON += 以MN 为直径的圆的面积2S π=，故A 、B 不正确．②当直线MN 与x 轴不垂直时，设直线MN 的方程为y kx m =+， 与抛物线方程联立消去x ，得20ky y m -+=，则140km ∆=->．设()11,M x y ，()22,N x y ，则12m y y k=． 因为12OM ONk k ⋅=-，所以121212y y x x ⋅=-， 则222121122y y x x y y =-=-，则122y y =-，所以2mk=-，即2m k =-， 所以直线MN 的方程为2y kx k =-，即(2)y k x =-．综上可知，直线MN 为恒过定点(2,0)Q 的动直线，故C 正确； 易知当OQ MN ⊥时，原点O 到直线MN 的距离最大，最大距离为2， 即原点O 到直线MN 的距离不大于2．故D 正确． 故选：CD24．（2020·山东省泰安市模拟）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，点Q在圆()()22:344E x y ++-=上，且圆E 上的所有点均在椭圆C 外，若PQ PF -的最小值为6，且椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆C 的焦距为2B ．椭圆CC ．PQ PF +的最小值为D ．过点F 的圆E的切线斜率为43-± 【答案】AD 【解析】圆E 的圆心为()3,4E -，半径长为2，由于椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则24a =，可得2a =，设椭圆的左焦点为点1F ，由椭圆的定义可得124PF PF a +==，14PF PF ∴=-，所以，()111144246256PQ PF PQ PF PF PQ PF PE EF -=--=+-≥+--≥-=， 当且仅当P 、Q 、E 、1F 四点共线，且当P 、Q 分别为线段1EF 与椭圆C 、圆E 的交点时，等号成立， 则()()()222134031625EF c c =-++-=-+=02c a <<=，解得1c =，所以，椭圆C 的焦距为22c =，A 选项正确；椭圆C 的短轴长为222223b a c =-=，B 选项错误；()()222231402422PQ PF PE PF EF +≥+-≥-=--+-=，当且仅当P 、Q 、E 、F 四点共线，且当P 、Q 分别为线段EF 与椭圆C 、圆E 的交点时，等号成立，C 选项错误；若所求切线的斜率不存在，则直线方程为1x =，圆心E 到该直线的距离为3142--=>，则直线1x =与圆E 相离，不合乎题意；若所求切线的斜率存在，可设切线的方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，223441211k k k k k ---+==++，整理得23830k k ++=，解得47k -±=.故选：AD.25．（2020·山东省潍坊市6月模拟）已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A ．1QF QP +的最小值为21a -B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C的离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．若11PF FQ =，则椭圆C【答案】ACD 【解析】A. 因为122F F =，所以()221,0,1=F PF ，所以1222221+=-+≥-=-QF QP a QF QP a PF a ，当2,,Q F P ，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆C 的短轴长为2，则1,2b a ==，所以椭圆方程为22121x y +=，11121+>，则点P 在椭圆外，故错误；C. 因为点()1,1P 在椭圆内部，所以111a b +<，又1a b -=，所以1b a =-，所以1111+<-a a ，即2310a a -+>，解得(214+>==a12+>，所以12=<e ，所以椭圆C的离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故正确；D. 若11PF FQ =，则1F 为线段PQ 的中点，所以()3,1Q --，所以911+=a b，又1a b -=，即21190-+=a a ，解得21122244+===a ，2=，所以椭圆C 的.三、填空题26．（2020·山东省潍坊市6月模拟）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()2223F x y -+=：相切，且双曲线C 的一个焦点与圆F 的圆心重合，则双曲线C 的方程为______. 【答案】2213y x -=【解析】由题意，圆()2223F x y -+=：的圆心()2,0F 是双曲线C 的右焦点，2c ∴=.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()2223F x y -+=：相切，∴圆心()2,0F 到直线by x a=，223b a =∴=，又2224c a b =+=，221,3a b ∴==.∴双曲线C 的方程为2213y x -=.故答案为：2213y x -=.27．（2020届山东省青岛市三模）若方程2211x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为________． 【答案】1(0,)2【解析】由题可知，方程2211x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，可得10m m ->>，解得：102m <<， 所以实数m 的取值范围为：1(0,)2. 故答案为：1(0,)2.28．（2020·山东省威海市三模）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于P ，Q 两点，以P ，Q ，则双曲线的离心率为________． 【答案】32【解析】设(),0F c -，当x c =-，代人双曲线方程22221c ya b-=，解得：2b y a =±，设2,b Pc a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,b Q c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭根据对称性，可设与两圆相切的渐近线是by x a=，则,P Q 两点到渐近线的距离22bc b bc b cc---++=，c b >，上式去掉绝对值为22bc b bc b c c +-+=，即2b a =，那么32c a ==.∴双曲线的离心率32e =. 故答案为：3229．（2020·山东省泰安市模拟）已知点12F F ，分别为双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的左、右焦点，点A ，B 在C 的右支上，且点2F 恰好为1F AB 的外心，若11()0BF BA AF +⋅=，则C 的离心率为__________.【答案】31+ 【解析】取1AF 的中点为C ，连接BC 、2AF 、2BF ，如图所示：因为1111()02BF BA AF BC AF +⋅=⋅=，所以1BC AF ⊥， 又C 为1AF 的中点，所以1ABF 为等腰三角形且1BF BA =，因为点2F 恰好为1F AB 的外心，所以点2F 在直线BC 上，且22122AF BF F F c ===， 由双曲线的定义知12122AF AF BF BF a -=-=，则1122AF BF a c ==+， 所以1ABF 为等边三角形，则2332BC BF c ==， 在1CBF 中，22211CB CF BF +=即()()222922c a c a c ++=+，化简得223660a ac c +-=， 同时除以2a 可得22210e e --=，解得132e +=13-(舍去). 故答案为：31230．（2020·山东省青岛市二模）抛物线()220y px p =>过圆2248190x y x y +-++=的圆心，()3,A m 为抛物线上一点，则A 到抛物线焦点F 的距离为__________. 【答案】5 【解析】圆2248190x y x y +-++=的圆心为48,22-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即()2,4-，代入抛物线方程得()24224p p -=⨯⇒=，所以抛物线方程为28y x =，其准线方程为2x =-，()3,A m 则A 到抛物线焦点F 的距离等于A 到抛物线准线的距离，即距离为325+=. 故答案为：531．（2020·山东省临沂市、枣庄市临考演练）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，M 为虚轴的一端点，若以M 为圆心的圆与C 的一条渐近线相切于点N ，且M ，N ，F 三点共线，则该双曲线的离心率为________. 【答案】152+ 【解析】由题意可得(),0F c -，()0,A b -， 双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=， 可得22ab abMN ca b ==+，22MF c b =+， 在直角三角形MOF 中，可得：222abb c b c=+， 化为()22222b c acb =+，由222b c a =-，可得422430c a c a -+=， 由ce a=，可得42310e e -+=， 解得235e ±=1e >，所以2e =e =.32．（2020·山东省济宁市6月三模）设双曲线()222210x y C a b a b -=>0,>：的左、右焦点分别为1212,,2F F F F c =，过2F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A ，点Q 坐标为3,2a c ⎛⎫⎪⎝⎭且满足22F Q F A >，若在双曲线C 的右支上存在点P 使得11276PF PQ F F +<成立，则双曲线的离心率的取值范围是___________.【答案】32⎛ ⎝⎭【解析】将x c =代入双曲线的方程，得2by a =±=±，所以2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又22F Q F A >，得232a b a >，所以232b a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以2c e a ==<=；因为12222PF PQ a PF PQ a F Q +=++≥+，又在双曲线C 的右支上存在点P 使得11276PF PQ F F +<成立，所以有212726a F Q F F +<， 即372226a a c +<⨯，解得：32e >，又1e >，所以32e <<故答案为：3,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭33．（2020·山东省济南市6月模拟）已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，若20BP AF ⋅=，则椭圆C 的离心率的值为__________.【解析】由于2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，又A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，所以AB 过左焦点1F 且12AB F F ⊥，则22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为P 是2AF 的中点，则20,2b P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又()2,0F c ，则2223,,2,2b b BP c AF c a a ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为20BP AF ⋅=，则4223202b c a -=，即2c =.又222b ac =-，则)222ac a c=-220e +=，解得：3e =或e =（舍去）.34．（2020·山东省德州市6月二模）已知双曲线C 过点()1,-且与双曲线221126x y -=有相同的渐近线，则双曲线C 的标准方程为______.【答案】221105x y -=【解析】由题意设所求双曲线方程为22126x y k -=，因为双曲线过点()1,-所以121126k -=，56k =，所以双曲线方程为2251266x y -=，即221105x y -=． 故答案为：221105x y -=．35．（2020·山东省仿真联考2）已知抛物线22(0)y px p =>与直线:4320l x y p --=在第一、四象限分别交于A ，B 两点，F 是抛物线的焦点，若||||AF FB λ=，则λ=________. 【答案】4 【解析】直线:l 当0y =时，2p x =， ∴直线l 过抛物线的焦点，,,A F B 三点共线，联立直线与抛物线方程，224320y pxx y p ⎧=⎨--=⎩ ， 得2281720x px p -+=， 解得：2A x p = ，8B p x =， 522A p AF x p ∴=+=，528B p BF x p =+=， 4AF FBλ==.故答案为：436．（2020·山东省仿真联考1）已知抛物线()2:20Cx py p =>的焦点为F ，斜率为1的直线l 过点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，点M 在抛物线C 上，且点M 在直线l 的下方，若MAB △面积的最大值是C 的方程是_______；此时，点M 的坐标为_______.【答案】24x y = ()2,1【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意可得直线l 的方程为2p y x =+， 联立222p y x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理得2220x px p--=，所以122x x p +=，212x x p =-，则12x x -==，故124AB x p =-=，设()00,M x y ，由题意可知当直线l 与过点M ，且与抛物线C 相切的直线平行时，MAB △的面积取最大值.因为212y x p =，所以1y x p '=，所以011k x p ==.所以0x p =，则,2p M p ⎛⎫⎪⎝⎭， 此时，点M 到直线l的距离2d ==，故1422p ⨯⨯=2p =， 故抛物线C 的方程为24x y =，此时点M 的坐标为()2,1. 故答案为：24x y =，()2,137．（2020·山东省济南市二模）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F 向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点P ，直线2F P 与y 轴交于点Q （P ，Q 在x 轴同侧），连接1QF ，若1PQF △的内切圆圆心恰好落在以12F F 为直径的圆上，则12F PF ∠的大小为________；双曲线的离心率为________． 【答案】2π【解析】如图所示：不妨取渐近线by x a=，易知b a >，（否则不能与右支相交）. 则直线1F P 为：()ay x c b=-+，即0ax by ac ++=， 设内切圆圆心为1O ，根据对称性知1O 在y 轴上，1PQF △的内切圆圆心恰好落在以12F F 为直径的圆上，故1112O F O F ⊥，故()10,O c -，1O 到直线1PF的距离为：1d b a ==-，设直线2PF ：()y k x c =-，即0kx y kc --=1O 到直线2PF的距离为：21d d b a ===-，化简整理得到()2220abk a b k ab -++=，解得bk a=或a k b =， 当a k b =时，直线()a y x c b =-+与()ay x c b=-的交点横坐标为0，不满足题意，舍去. 故直线2PF ：()b y x c a =-，故12PF PF ⊥，122F PF π∠=，联立方程得到()()a y xc bb y xc a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得222,b a ab P c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入双曲线方程得到：()22222222241ba ab ac b c--=，化简整理得到：225c a =，故5e =. 故答案为：2π；5.38．（2020·山东省山东师范大学附中最后一卷）已知双曲线2218y x -=，F 1，F 2是双曲线的左右两个焦点，P 在双曲线上且在第一象限，圆M 是△F 1PF 2的内切圆.则M 的横坐标为_________，若F 1到圆M 上点的最大距离为3△F 1PF 2的面积为___________. 【答案】1 243 【解析】双曲线的方程为2218y x -=，则1,2,183a b c ===+=.设圆M 分别与1212,,PF PF F F 相切于,,B C A ，根据双曲线的定义可知122PF PF -=，根据内切圆的性质可知()121212122PF PF PB F B PC F C F B F C F A F A -=+-+=-=-=①，而12126F A F A F F +==②. 由①②得：124,2F A F A ==，所以1,0A , 所以直线MA 的方程为1x =，即M 的横坐标为1.设M 的坐标为()()1,0M r r >，则1F 到圆M上点的最大距离为1MF r +=r =，解得3r =. 设直线1PF 的方程为()()30y k x k =+>，即30kx y k -+=.M 到直线1PF=k =所以线1PF的方程为)3y x +.由)22318y x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩且P在第一象限，解得(P . 所以116PF ==，21214PF PF a =-=.所以△F 1PF 2的面积为()121212PF PF F Fr ⨯++⋅()1161462=⨯++=. 故答案为：1；四、解答题39．（2020·山东省潍坊市6月模拟）设抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，点A 是E 上一点，且线段AF 的中点坐标为()1,1.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若B ，C 为抛物线E 上的两个动点（异于点A ），且BA BC ⊥，求点C 的横坐标的取值范围. 【答案】（1）24x y =；（2）()[),610,-∞-+∞.【解析】（1）依题意得0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()00,A x y ，由AF 的中点坐标为()1,1，得0012212x p y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即02x =，022p y =-，所以4222p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得2440p p -+=，即2p =，所以抛物线E 的标准方程为24x y =；（2）由题意知()2,1A ，设211,4xB x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4xC x ⎛⎫⎪⎝⎭，则()2111114224BA x kx x -==+-，因为12x ≠-，所以142BCk x =-+，BC 所在直线方程为()2111442x y x x x --=-+，联立()211124424x y x x x x y ⎧--=-⎪+⎨⎪=⎩， 因为1x x ≠，得()()112160x x x +++=，即()21122160x x x x ++++=，因为()()2242160x x ∆=+-+≥，即24600x x --≥，故10x ≥或6x ≤-. 经检验，当6x =-时，不满足题意； 所以点C 的横坐标的取值范围是()[),610,-∞-+∞.40．（2020·山东省威海市三模）已知P是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，以点P 及椭圆的左、右焦点1F ，2F为顶点的三角形面积为 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过2F 作斜率存在且互相垂直的直线1l ，2l ，M 是1l 与C 两交点的中点，N 是2l 与C 两交点的中点，求△2MNF 面积的最大值．【答案】（Ⅰ）22184x y +=；（Ⅱ）49． 【解析】 解：（Ⅰ）由点P在椭圆上可得22231a b+=， 整理得222223b a a b +=①．12122PF F Sc =⨯=2c =， 所以22224a b c b =+=+，代入①式整理得42120b b --=， 解得24b =，28a =．所以椭圆的标准方程为22184x y +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()22,0F ，所以设直线1l ：2x my =+，联立直线与椭圆的方程222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222480m y my ++-=．所以直线1l 与椭圆两交点的中点M 的纵坐标122222M y y my m +==+， 同理直线2l 与椭圆两交点的中点N 的纵坐标22221212N m m y m m --==++，所以22212MNF M N S MF NF y ==△()24221252m m m m +=++()()22222121m m m m+=++， 将上式分子分母同除()21m m+可得，2222121MNF S m m m m =+++△，不妨设0m >，令21m t m+=，2t ≥，则2212MNF S t t =+△， 令()12f t t t =+，()2221't f t t-=，因为2t ≥，所以()'0f t >， 所以f t 在[)2,+∞单调递增，所以当2t =时，三角形△2MNF 面积取得最大值max 241942S ==+．41．（2020·山东省泰安市模拟）已知点()0,2M -，点P 在直线21216y x =+上运动，请点Q 满足12MQ MP =，记点Q 的为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设()()0,3,0,3D E -，过点D 的直线交曲线C 于A ，B 两个不同的点，求证：2AEB AED ∠=∠. 【答案】（1）28x y =；（2）证明见解析. 【解析】（1）设()()00,,,Q x y P x y ，由12MQ MP =可得()()001,2,22x y x y +=+， 所以0012222x x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩即00222x x y y =⎧⎨=+⎩，因为点P 在曲线21216y x =+上， 所以2001216y x =+即()21222216y x +=⋅+，整理得28x y =. 所以曲线C 的方程为28x y =；（2）证明：当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 与抛物线仅有一个交点，不符合题意； 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，()()1122,,,A x y B x y ，由238y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去x 得28240x kx --=，264960k ∆=+>， 可知128x x k +=，1224x x ⋅=-， 直线AE ，BE 的斜率之和为121212123366AE BE y y kx kx k k x x x x +++++=+=+ ()121212264848024kx x x x k kx x ++-+===-，故AE ，BE 的倾斜角互补，∴AED BED ∠=∠， ∴2AEB AED ∠=∠.42．（2020·山东省日照丶潍坊、临沂部分6月模拟）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左，右两个焦点为1F 、2F ，抛物线22:4(0)C y mx m =>与椭圆1C 有公共焦点()21,0F .且两曲线1C 、2C 在第一象限的交点P 的横坐标为23. （1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）直线:l y kx =与抛物线2C 的交点为Q 、O （O 为坐标原点），与椭圆1C 的交点为M 、N （N 在线段OQ 上），且MO NQ =.问满足条件的直线l 有几条，说明理由.【答案】（1）221:143x y C +=；22:4C y x =；（2）满足条件的直线l 有2条，理由见解析. 【解析】（1）由于椭圆1C 和抛物线2C 的公共焦点为()21,0F ，故椭圆1C 的焦点坐标为()1,0±. 所以1m =，所以抛物线2C 的方程24y x =，由点P 在抛物线上，所以226,3P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，又点P 又在椭圆1C 上，所以222222622621143333a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以2a =，又1c =，故3b =，从而椭圆1C 的方程为22143x y +=；（2）联立直线与椭圆方程得22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2223412x k x +=，解得2334M x k =-+2334N x k=+. 联立直线与抛物线得24y kx y x=⎧⎨=⎩，得224k x x =，解得0O x =，24Q x k =，由MO NQ =，故N 为线段OQ 的中点，即2O QN x x x +=，得24k=，化简得423430k k --=，解得223k +=（负值含去）， 故满足题意的k 值有2个，从而存在过原点O 的有两条直线l 满足题意.43．（2020·山东省青岛市二模）已知O 为坐标原点，椭圆()22:10x y C a b a b +=>>线2214x y -=的渐近线与椭圆C 的交点到原点的距离均为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点,,D M N 为椭圆C 上的动点，,,M O N 三点共线，直线,DM DN 的斜率分别为12,k k . （i ）证明：1214k k =-； （ii ）若120k k +=，设直线DM 过点()0,m ，直线DN 过点()0,n ，证明：22m n +为定值.【答案】（1）2214x y +=（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析； 【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意知：c e a ====，2a b ∴=…①， 双曲线2214x y -=的渐近线方程为12y x =±， ∴可设双曲线的渐近线与椭圆C 在第一象限的交点为()2,P t t ，=，解得：212t =. ()2,P t t 在椭圆上，222241t t a b∴+=，即：222112a b +=…②，由①②解得：2a =，1b =，∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=.（2）由题意知：,M N 关于原点对称，则可设()11,D x y ，()22,M x y ，()22,N x y --.（i ）点,D M 在椭圆C 上，221114x y ∴+=，222214x y +=， 221114x y ∴=-，222214x y =-，22122212121212222212121212114414x x y y y y y y k k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭∴=⋅===--+--. （ii ）不妨设10k >，20k <，1214k k =-，120k k +=，112k ∴=，212k =-，直线DM 过点()0,m ，直线DN 过点()0,n ，∴直线1:2DM y x m =+，1:2DN y x n =-+， 由221214y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：22 2220x mx m ++-=，21222x x m ∴=-， 由221214y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：222220x nx n -+-=，21222x x n ∴-=-， ()2212122240x x x x m n ∴+-=+-=，即222m n +=， 22m n ∴+为定值2.44．（2020届山东省青岛市三模）已知直线1l 过坐标原点O 且与圆224x y +=相交于点A ，B ，圆M 过点A ，B 且与直线20y +=相切． （1）求圆心M 的轨迹C 的方程；（2）若圆心在x 轴正半轴上面积等于2π的圆W 与曲线C 有且仅有1个公共点． （ⅰ）求出圆W 标准方程；。
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2020高考数学冲刺精选新题好题真题精练第7讲抛物线[考纲解读] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质(范围、对称性、顶点、准线)．(重点)2.能根据几何性质求最值，能利用抛物线的定义进行灵活转化，并能理解数形结合思想，掌握抛物线的简单应用．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容．预测2020年高考将会考查：①抛物线的定义及其应用；②抛物线的几何性质；③直线与抛物线的位置关系及抛物线与椭圆或双曲线的综合．试题以选择题、填空题、解答题形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度．试题中等偏难.1．抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物01焦点，直线l叫做抛物线的□02准线．线．点F叫做抛物线的□2．抛物线的标准方程与几何性质3．必记结论(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2，也称为抛物线的焦半径．(2)y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a 4.(3)直线AB 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图．①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.②|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . ③1|AF |＋1|BF |为定值2p .④弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)． ⑤以AB 为直径的圆与准线相切．⑥焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°.1．概念辨析(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a .( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．小题热身(1)若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516 C.78 D ．0答案 B解析 M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.(2)已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±22xB ．y 2＝±2xC ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x答案 D解析 ∵双曲线x 2－y 2＝1的焦点坐标为(±2，0)， ∴抛物线C 的焦点坐标为(±2，0)．设抛物线C 的方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝ 2. ∴p ＝22，∴抛物线C 的方程是y 2＝±42x .故选D.(3)若过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )A ．8B ．16C ．32D ．64 答案 B解析 由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x ，得(x －2)2＝8x ，即x 2－12x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝12，弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.故选B.(4)抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132 解析 由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .∴2p ＝18，p ＝116，∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132.题型 一 抛物线的定义及应用(2016·浙江高考)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点F 的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．答案 9解析 设M (x 0，y 0)，由抛物线的方程知焦点F (1,0)．根据抛物线的定义得|MF |＝x 0＋1＝10，∴x 0＝9，即点M 到y 轴的距离为9.条件探究1将举例说明条件变为“过该抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝3”，求△AOB的面积．解焦点F(1,0)，设A，B分别在第一、四象限，则点A到准线l：x＝－1的距离为3，得点A的横坐标为2，纵坐标为22，AB的方程为y＝22(x－1)，与抛物线方程联立可得2x2－5x＋2＝0，所以点B的横坐标为12，纵坐标为－2，所以S△AOB＝12×1×(22＋2)＝32 2.条件探究2将举例说明条件变为“在抛物线上找一点M，使|MA|＋|MF|最小，其中A(3,2)”．求点M的坐标及此时的最小值．解如图，点A在抛物线y2＝4x的内部，由抛物线的定义可知，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|，其中|MH|为点M到抛物线的准线的距离．过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|≥|AB|＝4，当且仅当点M在M1的位置时等号成立．此时点M的坐标为(1,2)．利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．(3)看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．1．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，且点A在第一象限，|AF|＝3|BF|，则直线l的斜率为()A.33 B.32C. 3 D．3答案 C解析设抛物线的准线交x轴于F′，分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，直线l交准线于C，如图所示：则|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，|AF|＝3|BF|，|AN|＝2|BF|，|AB|＝4|BF|，cos ∠NAB＝12，∠NAB＝60°，则直线l的斜率为 3.2．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.172B．3C. 5D.9 2答案 A解析 如图所示，A (0,2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，由抛物线的定义知|PP ′|＝|PF |，∴|AP |＋|PP ′|＝|AP |＋|PF |≥|AF |＝14＋4＝172.故选A.题型 二 抛物线的标准方程和几何性质1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y答案 D解析 设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .2．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若△FPM 为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为_______．答案 x 2＝4y解析 △FPM 为等边三角形，则|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22p ，则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－p 2，因为焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，△FPM 是等边三角形，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 22p ＋p 2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，所以抛物线方程为x 2＝4y .1．求抛物线标准方程的方法(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数2p 的关系．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．1．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为 2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8y D ．x 2＝16y答案 D解析 双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝2，所以b a ＝3，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x 即 y ＝±3x ，抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，焦点到渐近线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 21＋(3)2＝p4＝2，所以p ＝8，所以抛物线C 2的方程为x 2＝16y .2．(2018·枣庄二模)抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为()A.43B．－43C．±43D．－169答案 B解析令y＝1，代入y2＝4x可得x＝14，即A⎝⎛⎭⎪⎫14，1.由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1,0)，所以k＝1－014－1＝－43.故选B.题型三直线与抛物线的综合问题角度1直线与抛物线的交点问题1．(2018·北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．答案(1,0)解析由已知，直线l：x＝1，又因为l被抛物线截得的线段长为4，抛物线的图象关于x轴对称，所以点(1,2)在抛物线上，即22＝4a×1，解得a＝1.故抛物线的方程为y2＝4x，焦点坐标为(1,0)．2．(2018·长郡中学新高三实验班选拔考试)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)及点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2，动直线l ：y ＝kx ＋1与抛物线C 交于A ，B 两点，若直线AD 与BD 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π.(1)求抛物线C 的方程；(2)若H 为抛物线C 上不与原点O 重合的一点，点N 是线段OH 上与点O ，H 不重合的任意一点，过点N 作x 轴的垂线依次交抛物线C 和x 轴于点P ，M ，求证：|MN |·|ON |＝|MP |·|OH |.解 (1)把y ＝kx ＋1代入x 2＝2py 得x 2－2pkx －2p ＝0，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 222p ，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .由α＋β＝π可知，直线AD 的斜率与直线BD 的斜率之和为零，所以x 212p ＋p 2x 1＋x 222p ＋p 2x 2＝0，去分母整理得(x 1＋x 2)(x 1x 2＋p 2)＝0，即2pk (p 2－2p )＝0，由该式对任意实数k 恒成立，可得p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)证明：设过点N 的垂线方程为x ＝t (t ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，x 2＝4y 得⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t 24，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 24.令|MN ||MP |＝λ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，λt 24，所以直线ON 的方程为y ＝λt4x ，由⎩⎨⎧y ＝λt4x ，x 2＝4y且x ≠0得⎩⎨⎧x ＝λt ，y ＝λ2t 24，即点H ⎝ ⎛⎭⎪⎫λt ，λ2t 24，所以|OH ||ON |＝x H x N＝λt t ＝λ，所以|MN ||MP |＝|OH ||ON |，即|MN |·|ON |＝|MP |·|OH |.角度2 与抛物线弦中点有关的问题3．(2018·郑州模拟)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14m . (2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.(3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0， 消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＞0⇒m ＞－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2m ，x 1x 2＝－2m .(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，y P ， ∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，1m . 得QA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ，mx 21－1m ，QB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1m ，mx 22－1m ， 若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB→＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1m ＋⎝⎛⎭⎪⎫mx 21－1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 22－1m ＝0， 结合(*)化简得－4m 2－6m ＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，－12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. ∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．1．直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：为了回避讨论直线斜率存在和不存在，可以灵活设直线方程，见巩固迁移2.1．已知直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(4,4)，则线段AB 的中点到准线的距离是________． 答案 258解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1，所以k AF ＝4－04－1＝43. 所以直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即y ＝43(x －1)．由⎩⎨⎧ y 2＝4x ，y ＝43(x －1)消去y ，整理得4x 2－17x ＋4＝0，所以线段AB 的中点的横坐标为178.所以线段AB 的中点到准线的距离是178－(－1)＝258.2．(2018·衡水模拟)已知抛物线C ：y 2＝ax (a >0)上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12到焦点F 的距离为2t .(1)求抛物线C 的方程；(2)抛物线上一点A 的纵坐标为1，过点Q (3，－1)的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点(均与点A 不重合)，设直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．解 (1)由抛物线的定义可知|PF |＝t ＋a 4＝2t ，则a ＝4t ，由点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12在抛物线上，则at ＝14.所以a ×a 4＝14，则a 2＝1，由a >0，则a ＝1，故抛物线的方程为y 2＝x .(2)证明：因为A 点在抛物线上，且y A ＝1.所以x A ＝1，所以A (1,1)，设过点Q (3，－1)的直线l 的方程为x －3＝m (y ＋1)．即x ＝my ＋m ＋3，代入y 2＝x 得y 2－my －m －3＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝m ，y 1y 2＝－m －3，所以k 1·k 2＝y 1－1x 1－1·y 2－1x 2－1＝y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1m 2y 1y 2＋m (m ＋2)(y 1＋y 2)＋(m ＋2)2＝－m －3－m ＋1m 2(－m －3)＋m (m ＋2)m ＋(m ＋2)2＝－12， 为定值．。