22.2二次函数与一元二次方程配套课件
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2 二次函数与一元二次方程第1课时 二次函数与一元二次方程之间的关系PPT课件(人教版)
15．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2， 0)(x1＜x2)两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2＋4x－5＝0的两根．
(1)若抛物线的顶点为D，求S△ABC∶S△ACD的值； (2)若∠ADC＝90°，求二次函数的解析式．
解：(1)解方程x2＋4x－5＝0，得x＝－5或x＝1，由于x1＜x2，则有 x1＝－5，x2＝1，∴A(－5，0)，B(1，0)．抛物线的解析式为y＝a(x＋ 5)(x－1)(a＞0)，则D(－2，－9a)，∴C(0，－5a)．
13．(1)用配方法把二次函数y＝x2－4x＋3化成y＝(x－h)2＋k的情势； (2)在直角坐标系中画出y＝x2－4x＋3的图象； (3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝x2－4x＋3图象上的两点，且x1＜x2 ＜1，请比较y1，y2的大小关系；(直接写结果) (4)把方程x2－4x＋3＝2的根在函数y＝x2－4x＋3的图象上表示出来．
6．用图象法求一元二次方程2x2－4x－1＝0的近似解． 解：设y＝2x2－4x－1，画出图象(如图)．由图象知，当x≈2.2或x≈－0.2时，
y＝0，即方程2x2－4x－1＝0的近似解为x1≈2.2，x2≈－0.2
知识点3：二次函数与不等式
7．二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是
(
C)
A．x＜－1
B．x＞2
C．－1＜x＜2
D．x＜－1或x＞2
8．(202X·衡水五中模拟)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根 据图象回答下列问题． (1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根； (2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集； (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； (4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 解：(1)x1＝1，x2＝3 (2)1＜x＜3 (3)x＞2 (4)k＜2
人教版九年级数学：22.2 二次函数与一元二次方程 (共27张PPT)
∴y＝－2x2＋8x－6＝－2(x－2)2＋2. y＝－2(x－2)2＋2－k，实际上是原抛物线下移 k 个单位，由题 中图形知，当 k＜2 时，抛物线与 x 轴有两个交点．所以 k＜2.
规律总结：二次函数与一元二次方程的关系 1．从“形”的方面看： 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标，即为一元二 次方程 ax2＋bx＋c＝0 的解． 2．从“数”的方面看： 当二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的函数值等于 0 时，相应的自变 量的值即为一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的解．Fra bibliotek
题组A 二次函数与一元二次方程的关系 1．(2015·苏州)若二次函数y＝x2＋bx的图象的 对称轴是经过点 (2,0) 且平行于 y 轴的直线，则 2＋bx＝5的解为( 关于x 的方程 x ) D A．x1＝0，x2＝4 B.x1＝1，x2＝5 C．x1＝1，x2＝－5 D.x1＝－1，x2＝5
(1)从函数与方程的关系的角度： 利用 b2－4ac 的符号可判断
抛物线与 x 轴交点个数； (2)从形的角度： 根据其开口方向和顶点 的位置可判断抛物线与 x 轴交点个数．
【猜一猜】 二次函次 y＝x2－2x＋1 的图象与 x 轴的交点坐标是 (1,0) ．
【辨一辨】 1．若函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点， 则k的取值范围是k≤4且k≠3.( ) 2．抛物线y＝x2－4× x＋k与x轴的一个交点的坐标为 (－1,0)，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 (3,0)．( )
知识点 2 用函数图象求一元二次方程的根的近似值 【例 2】利用二次函数的图象求一元二次方程 x2－2x－1＝0 的近似解(精确到 0.1)．
人教版九年级上册数学《22-2 二次函数与一元二次方程》课件
1
y x2 2x 2
x…
0 1 2 3…
y… 1
1…
–2 –1 O –1
–2
–3
1 2 3 4 5x
利用函数图象求方程 x2 2x 2 0 的实数根 （结果保留小数点后一位）.
思考2：方程的根的取值范 围是什么？
思考3：怎样得到符合题目 要求的方程根的近似值？
y
4
y x2 2x 2
数 学 人教版·九年级上册
第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
教学目标
教学重难点
教学设计
作业布置
教学目标
1．知道二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程 的根的个数之间的关系．
2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的 近似解，体会数形结合思想．
教学重难点
重点
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a≠0)之间的联系，利用二次函数的图象求一元二次方 程的近似解．
化 求抛物线 y x2 2x 2 与x 轴公共点的横坐标
思考1：画哪个函数的图象？ 画出函数 y x2 2x 2 的图象.
利用函数图象求方程 x2 2x 2 0 的实数根 （结果保留小数点后一位）.
x2 2x 2 0
画出函数 y x2 2x 2 的图象,
y 4
3
2
y (x 1)2 3
x2-x+1=0无解
3
x2-6x+9=0，x1=x2=3
-2, 1 x2+x-2=0，x1=-2,x2=1
y = x2－x＋1
y = x2－6x＋9
y = x2＋x－2 1
抛物线与x 轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说 明呢？
2二次函数与一元二次方程课件
与x轴有两个不同的交点
（x1，0）（x2，0）
有两个重合的公共点
与x轴没有交点
一元二次方程ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
图象
y
O
x
y
O
有两个相等的实数根
x
y
O
有两个不同的
解x=x1，x=x2
没有实数根
x
图象伐解一元二次方程
由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。
由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的。
33
22
11
-3 -2 -1 O
-1-1
-2-2
-3-3
-4-4
x
1
2 3 4 5 6
y x 6x 9
2
探索二次函数和x轴公共点与一元二次方程的根的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程
ax2+bx+c=0的根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 一元二次方程ax2+bx+c=0
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出。4s
时球落回地面。
例如：已知二次函数y＝－x2＋4x的值为3。求自变量x的
值。可以解一元二次方程－x2＋4x＝3（即x2－4x＋3＝0） 。
反过来，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函数y＝
x2－4＋3的值为0，求自变量x的值。一般地，我们可以利
(2) x>3或x<-1时，函数值大于0.
(3) -1<x<3时，函数值小于0.
-3
（x1，0）（x2，0）
有两个重合的公共点
与x轴没有交点
一元二次方程ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
图象
y
O
x
y
O
有两个相等的实数根
x
y
O
有两个不同的
解x=x1，x=x2
没有实数根
x
图象伐解一元二次方程
由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。
由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的。
33
22
11
-3 -2 -1 O
-1-1
-2-2
-3-3
-4-4
x
1
2 3 4 5 6
y x 6x 9
2
探索二次函数和x轴公共点与一元二次方程的根的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程
ax2+bx+c=0的根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 一元二次方程ax2+bx+c=0
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出。4s
时球落回地面。
例如：已知二次函数y＝－x2＋4x的值为3。求自变量x的
值。可以解一元二次方程－x2＋4x＝3（即x2－4x＋3＝0） 。
反过来，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函数y＝
x2－4＋3的值为0，求自变量x的值。一般地，我们可以利
(2) x>3或x<-1时，函数值大于0.
(3) -1<x<3时，函数值小于0.
-3
22.2 二次函数与一元二次方程课件
22.2 二次函数与
一元二次方程
单击页面即可演示
复习旧知
1. 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况 可由 b2- 4ac
＞ 0 = 0 ＜ 0
确定。
有两个不相等的实数根. 有两个相等的实数根. 没有实数根.
问题：如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面 成30°角的方向击出时,小球的飞行路线是一 条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球的飞行高 度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有 关系：h=20t –5t2
∴当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.
那么为什么只在 一个时间求得高 度为20m呢？
（3）解方程20.5=20t-5t2
即： t2-4t+4.1=0
因为(-4)2-4×4.1＜0，所以方程无实数根. ∴小球的飞行高度达不到20.5m. （4）解方程0=20t-5t2 即： t2-4t=0
t1=0,t2=4.
公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时，函数值 为0，因此x=x0就是方程y=ax2+bx+c的一个根.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的 交点情况.
（1）有两个交点 （2）有一个交点 （3）没有交点 b2 – 4ac > 0
（方程有两个不相等的实数根）
b2 – 4ac= 0
（方程有两个相等的实数根）
y x x2
2
y x2 6 x 9
y x2 x 1
（1） 每个图象与x轴有几个交点？ 答：2个，1个，0个 （2）一元二次方程 x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几 个根？验证一下一元二次方程x2 – x+ 1 =0有根吗？
一元二次方程
单击页面即可演示
复习旧知
1. 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况 可由 b2- 4ac
＞ 0 = 0 ＜ 0
确定。
有两个不相等的实数根. 有两个相等的实数根. 没有实数根.
问题：如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面 成30°角的方向击出时,小球的飞行路线是一 条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球的飞行高 度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有 关系：h=20t –5t2
∴当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.
那么为什么只在 一个时间求得高 度为20m呢？
（3）解方程20.5=20t-5t2
即： t2-4t+4.1=0
因为(-4)2-4×4.1＜0，所以方程无实数根. ∴小球的飞行高度达不到20.5m. （4）解方程0=20t-5t2 即： t2-4t=0
t1=0,t2=4.
公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时，函数值 为0，因此x=x0就是方程y=ax2+bx+c的一个根.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的 交点情况.
（1）有两个交点 （2）有一个交点 （3）没有交点 b2 – 4ac > 0
（方程有两个不相等的实数根）
b2 – 4ac= 0
（方程有两个相等的实数根）
y x x2
2
y x2 6 x 9
y x2 x 1
（1） 每个图象与x轴有几个交点？ 答：2个，1个，0个 （2）一元二次方程 x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几 个根？验证一下一元二次方程x2 – x+ 1 =0有根吗？
人教版初中数学九年级上册精品教学课件 第22章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程
2
3
4
5
6
7
7.利用二次函数的图象求方程1
1 2
x +x+2=0的近似解(精确到0.1).
2
解: 函数 y=-2x2+x+2 的图象如图.
1 2
设-2x +x+2=0
的两根分别为 x1,x2,且 x1<x2,观察图象可知
-2<x1<-1,3<x2<4.
1
因为当 x=-1 时,y=-2×(-1)2-1+2=0.5>0,
的交点个数是3.故选A.
A
解析
关闭
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
3.已知二次函数y=x2-2ax+a2-2a-4(a为常数)的图象与x轴有交点,且
当x>3时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是(
)
A.a≥-2
B.a<3
C.-2≤a<3
D.-2≤a≤3
关闭
D
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
4.(2023·浙江宁波中考)已知二次函数y=ax2-(3a+1)x+3(a≠0),下列说
1
时,y=-2×(-1.5)2-1.5+2=-0.625<0,
当 x=-1.5
所以-1.5<x1<-1.
因为当 x=3
1 2
时,y=-2×3 +3+2=0.5>0,当
1
时,y=- ×3.52+3.5+2=-0.625<0,
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
人教版《二次函数与一元二次方程》PPT课件初中数学ppt
20.5 m
0m
0s
4s
（4）当 h = 0 时， 20 t – 5 t 2 = 0 t2－4t =0 t 1 = 0，t 2 = 4
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
二次函数与一元二次方程的关系（1）
已知二次函数，求自变量的值
解一元二次方程的根
，4），（，）。
习题答案
1. （1）略. （2）1，3.
2. （1）x1 = 1，x2 = 2；（2）x1 = x2 = －3 ；
（3）没有实数根； （4）x1 = －1，x2 = 1 .
3. （1）略. （2）10m.
2
4. x = 1
例：利用函数图象求方 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
实际问题
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方 向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考 虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2
考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要 多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要 多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
解：当 y = 0 时， x2 – x+ 1 = 0
因为（-1）2－4×1×1 = －3 < 0
o
x 所以与 x 轴没有交点。
二次函数与一元二次方程的关系（2）
确定二次函数图象与 x 轴的位置关系
解一元二次方程的根
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点
0m
0s
4s
（4）当 h = 0 时， 20 t – 5 t 2 = 0 t2－4t =0 t 1 = 0，t 2 = 4
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
二次函数与一元二次方程的关系（1）
已知二次函数，求自变量的值
解一元二次方程的根
，4），（，）。
习题答案
1. （1）略. （2）1，3.
2. （1）x1 = 1，x2 = 2；（2）x1 = x2 = －3 ；
（3）没有实数根； （4）x1 = －1，x2 = 1 .
3. （1）略. （2）10m.
2
4. x = 1
例：利用函数图象求方 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
实际问题
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方 向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考 虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2
考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要 多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要 多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
解：当 y = 0 时， x2 – x+ 1 = 0
因为（-1）2－4×1×1 = －3 < 0
o
x 所以与 x 轴没有交点。
二次函数与一元二次方程的关系（2）
确定二次函数图象与 x 轴的位置关系
解一元二次方程的根
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点
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t 2 － 4 t ＋4 = 0 t1=t
2
Байду номын сангаас
2
= 20
=2
当球飞行 2s 时，它的高度为 20m 。
20 m 2s
知识点详解
解：（3）当 h = 20.5 时，20 t – 5 t 2 = 20.5 t 2 － 4 t ＋4.1 = 0 因为(－4)2－4×4.1 < 0 ，所以方程无实根。
球的飞行高度达不到 20.5 m。
课堂总结
2.y＝ax2＋bx＋c(a>0)与不等式ax2 ＋bx ＋c>0关系如下： b2－4ac的符号 y＝ax2＋bx＋c(a>0) 的图象 ax2＋bx＋ c>0 (a>0)的解集 ax2＋bx＋ c<0 (a>0)的解集 {x|x<x1或 x>x2} {x|x1<x<x2}
b x ≠ 2a
课堂总结
1.y＝ax2＋bx＋c(a>0)与方程ax2 ＋bx ＋c=0关系如下： 判别式： b2－4ac b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c 与x轴的公共点 与x轴有 两 个公共点 与x轴有 一 个公共点 与x轴有 0 个公共点 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的根 有 两 个实数根 有 一 个实数根 有 0 个实数根
b2－4ac>0
b2－4ac＝0
b2－4ac<0
关于x的 一元二次 不等式
全体实数
无实数解
无实数解
2
。
（4）球从飞出到落地要用多少时间?
知识点详解
解：（1）当 h = 15 时，20 t – 5 t
2
= 15
t 2 － 4 t ＋3 = 0
t 1 = 1，t
2
=3
当球飞行 1s 和 3s 时，它的高度为 15m 。
15 m 1s 3s
知识点详解
解：（2）当 h = 20 时，20 t – 5 t
无 公共点，则一元二次方程 ③二次函数 y＝x2－x＋2 的图象与 x 轴________
< x2－x＋2＝0 的根的判别式Δ ______0 。
知识点详解
归纳：（1）如果抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴有公共点，公共点的横坐 标是 x0，那么当 x＝x0 时，函数的值是 0，因此x＝x0 就是方程ax2＋bx ＋c＝0的一个根。 （2）如下表： 判别式： b2－4ac b2－4ac＞0 二次函数y＝ax2＋bx＋c 与x轴的公共点 与x轴有 两 个公共点 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的根 有 两 个实数根
2.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图象与x轴交点情况 是（ C ）
A.无交点
C. 有两个交点
B. 只有一个交点
D. 不能确定
练习题
3.利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（结果保留小数点后一位）。 解：画出函数y＝x2－2x－2的图象（下图），它与x轴的公共点的横坐标大约 是－0.7，2.7。 所以方程x2－2x－2＝0的实数根为 x1≈－0.7，x2≈2.7。
b2－4ac＝0 b2－4ac＜0
与x轴有 一 个公共点 与x轴有 0 个公共点
有 一 个实数根 有 0 个实数根
知识点详解
利用函数图象求一元二次方程的根
步骤： （1）作函数图象； （2）确定根所在的范围； （3）通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，直至符
合题目要求。
练习题
1.不与x轴相交的抛物线是（ D ） A. y = 2x2 – 3 C. y= －x2 – 3x B. y=－2 x2 + 3 D. y=－2(x+1)2 －3
温故知新
二次函数的一般式：
y = ax² + bx + c
X 是自变量，____ Y 是____ X 的函数。 ______
当 y = 0 时，
ax² + bx + c = 0(一元二次方程）
问题引入
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的飞行路线
是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时 间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？
20.5 m
知识点详解
解：（4）当 h = 0 时，20 t – 5 t 2 = 0
t2－4t =0 t 1 = 0，t 2 = 4 当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面 飞出，4s 时球落回地面。
0s
4s
0m
知识点详解
观察下列函数图像回答下列问题：
（1）y＝x2＋x－1； （2）y＝x2－4x＋4； （3）y＝x2－x＋2。
知识点详解
①二次函数 y＝x2＋x－1 的图象与 x 轴有______ 2 个交点，则一元二次方程 > x2＋x－1＝0 的根的判别式Δ ______0 。 1 个交点，则一元二次方 ②二次函数 y＝x2－4x＋4 的图像与 x 轴有______
= 程 x2－4x＋4＝0 的根的判别式Δ ______0 。
2
Байду номын сангаас
2
= 20
=2
当球飞行 2s 时，它的高度为 20m 。
20 m 2s
知识点详解
解：（3）当 h = 20.5 时，20 t – 5 t 2 = 20.5 t 2 － 4 t ＋4.1 = 0 因为(－4)2－4×4.1 < 0 ，所以方程无实根。
球的飞行高度达不到 20.5 m。
课堂总结
2.y＝ax2＋bx＋c(a>0)与不等式ax2 ＋bx ＋c>0关系如下： b2－4ac的符号 y＝ax2＋bx＋c(a>0) 的图象 ax2＋bx＋ c>0 (a>0)的解集 ax2＋bx＋ c<0 (a>0)的解集 {x|x<x1或 x>x2} {x|x1<x<x2}
b x ≠ 2a
课堂总结
1.y＝ax2＋bx＋c(a>0)与方程ax2 ＋bx ＋c=0关系如下： 判别式： b2－4ac b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c 与x轴的公共点 与x轴有 两 个公共点 与x轴有 一 个公共点 与x轴有 0 个公共点 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的根 有 两 个实数根 有 一 个实数根 有 0 个实数根
b2－4ac>0
b2－4ac＝0
b2－4ac<0
关于x的 一元二次 不等式
全体实数
无实数解
无实数解
2
。
（4）球从飞出到落地要用多少时间?
知识点详解
解：（1）当 h = 15 时，20 t – 5 t
2
= 15
t 2 － 4 t ＋3 = 0
t 1 = 1，t
2
=3
当球飞行 1s 和 3s 时，它的高度为 15m 。
15 m 1s 3s
知识点详解
解：（2）当 h = 20 时，20 t – 5 t
无 公共点，则一元二次方程 ③二次函数 y＝x2－x＋2 的图象与 x 轴________
< x2－x＋2＝0 的根的判别式Δ ______0 。
知识点详解
归纳：（1）如果抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴有公共点，公共点的横坐 标是 x0，那么当 x＝x0 时，函数的值是 0，因此x＝x0 就是方程ax2＋bx ＋c＝0的一个根。 （2）如下表： 判别式： b2－4ac b2－4ac＞0 二次函数y＝ax2＋bx＋c 与x轴的公共点 与x轴有 两 个公共点 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的根 有 两 个实数根
2.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图象与x轴交点情况 是（ C ）
A.无交点
C. 有两个交点
B. 只有一个交点
D. 不能确定
练习题
3.利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（结果保留小数点后一位）。 解：画出函数y＝x2－2x－2的图象（下图），它与x轴的公共点的横坐标大约 是－0.7，2.7。 所以方程x2－2x－2＝0的实数根为 x1≈－0.7，x2≈2.7。
b2－4ac＝0 b2－4ac＜0
与x轴有 一 个公共点 与x轴有 0 个公共点
有 一 个实数根 有 0 个实数根
知识点详解
利用函数图象求一元二次方程的根
步骤： （1）作函数图象； （2）确定根所在的范围； （3）通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，直至符
合题目要求。
练习题
1.不与x轴相交的抛物线是（ D ） A. y = 2x2 – 3 C. y= －x2 – 3x B. y=－2 x2 + 3 D. y=－2(x+1)2 －3
温故知新
二次函数的一般式：
y = ax² + bx + c
X 是自变量，____ Y 是____ X 的函数。 ______
当 y = 0 时，
ax² + bx + c = 0(一元二次方程）
问题引入
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的飞行路线
是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时 间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？
20.5 m
知识点详解
解：（4）当 h = 0 时，20 t – 5 t 2 = 0
t2－4t =0 t 1 = 0，t 2 = 4 当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面 飞出，4s 时球落回地面。
0s
4s
0m
知识点详解
观察下列函数图像回答下列问题：
（1）y＝x2＋x－1； （2）y＝x2－4x＋4； （3）y＝x2－x＋2。
知识点详解
①二次函数 y＝x2＋x－1 的图象与 x 轴有______ 2 个交点，则一元二次方程 > x2＋x－1＝0 的根的判别式Δ ______0 。 1 个交点，则一元二次方 ②二次函数 y＝x2－4x＋4 的图像与 x 轴有______
= 程 x2－4x＋4＝0 的根的判别式Δ ______0 。