二次函数初步
初步认识二次函数二次函数与其他函数的综合应用题
初步认识二次函数二次函数与其他函数的综合应用题初步认识二次函数与其他函数的综合应用题二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在现实生活中的应用十分广泛。
本文将从初步认识二次函数开始，探讨二次函数与其他函数的综合应用题，旨在帮助读者更好地理解和应用二次函数。
一、初步认识二次函数二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），其中a、b、c为常数，且a表示二次函数的开口方向和开口程度。
当a>0时，二次函数开口向上，称为正向开口；当a<0时，二次函数开口向下，称为负向开口。
b表示二次函数在横轴上的平移，c表示二次函数在纵轴上的平移。
二、二次函数的基本性质1. 零点和解析式二次函数的零点即方程f(x) = 0的解，可以通过求解二次方程ax^2+ bx + c = 0得出。
解析式可以利用求根公式或配方法得出，其中求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
2. 对称轴和顶点坐标二次函数的对称轴是x = -b/2a，当x = h时，函数值f(h)最大或最小，该点称为顶点，顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
3. 函数图像和开口情况根据二次函数的a值，可以确定函数的开口方向和开口程度。
当a>0时，二次函数开口向上，a的绝对值越小，开口程度越大；当a<0时，二次函数开口向下，a的绝对值越小，开口程度越大。
三、二次函数与其他函数的综合应用题1. 求解方程假设小明去超市购买苹果和香蕉，苹果的单价为x元/个，小明购买了a个苹果。
香蕉的单价为y元/个，小明购买了b个香蕉。
若小明总共花费了m元，请问每个苹果和香蕉的单价分别是多少？解析：根据已知条件，我们可以列出方程组：a*x + b*y = m；m = 10。
将方程组转化为二次函数的形式，得到f(x, y) = ax + by - m 和 g(x, y) = m - 10。
求解方程组即求解二次函数f(x, y) = 0和g(x, y) = 0的交点，即可得到每个苹果和香蕉的单价。
二次函数与反比例函数初步总结
题型7:二次函数与二次方程与二次不等式的关系 1.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121例1,画出y=2x 2+3x -2与 y ＇= -2x +1的图象并解答下列问题： ①试写出方程2x 2+3x -2=0的解：②试写出不等式2x 2+3x -2＞0的解：③试写出不等式2x 2+3x -2＜0的解：④试根据图象写出方程2x 2+3x -2= -2x +1的解：⑤试写出不等式2x 2+3x -2＞-2x +1的解： ⑥试写出不等式2x 2+3x -2＜-2x +1的解：例2.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精确到1米）．解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 1092＋＝ax y ． 因为点A （25-，0）（或B （25，0））在抛物线上， 所以109)25(02＋＝-⋅a ，得12518＝－a ．因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y ＋＝－． （2）因为点D 、E 的纵坐标为209， 所以109125182092＋－x =，得245±＝x ．所以点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245，209）．所以225)245(245＝－＝-DE ． 因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.011000225≈⨯⨯＝（米）．题型8:二次函数对称轴的应用8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：设A(x 1，y a），B (x 2，y b）是抛物线上的两点，且y a=y b，则抛物线的对称轴为直线122x x x +=用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.例1(2010年浙江省金华)若二次函数k x x y ++-=22的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程:022=++-k x x 的一个解31=x ，另一个解=2x -1 ；（2010年日照市）如图，是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x =1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2+bx+c＜0的解集是 .(第15题图)答案：－1＜x＜3 ;题型9:二次函数与平面几何的构建与再创造15. 如图，在△ABC中，90B∠= ，12mmAB=，24mmBC=，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒，四边形APQC的面积最小．3.(2010年山东聊城)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（—1，0）、B（0，—3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M 的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x＝1上的一动点，求使∠PCB＝90°的点P的坐标．第25题【关键词】二次函数【答案】⑴设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--==+-1230ab c c b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a ，所以抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3. ⑵令x 2－2x －3＝0，解得x 1＝－１，x 2＝3,所以B 点坐标为（3，0）. 设直线BC 的解析式为y ＝kx 2＋b, 则⎩⎨⎧-==+303b b k ，解得⎩⎨⎧-==31b k ，所以直线解析式是y ＝x －3. 当x ＝1时，y ＝－2.所以M 点的坐标为（1，－2）.⑶方法一：要使∠PBC ＝90°，则直线PC 过点C ，且与BC 垂直， 又直线BC 的解析式为y ＝x －3，所以直线PC 的解析式为y ＝－x －3，当x ＝1时，y ＝－4， 所以P 点坐标为（1，－4）.方法二：设P 点坐标为（1，y ），则PC 2＝12＋（－3－y ）2,BC 2＝32＋32；PB 2＝22＋y 2由∠PBC ＝90°可知△PBC 是直角三角形，且PB 为斜边，则有PC 2＋BC 2＝PB 2. 所以：[12＋（－3－y ）2]＋[32＋32]＝22＋y 2；解得y ＝－4， 所以P 点坐标为（1，－4）.题型10: 反比例函数的应用① 物理学中，电压一定时，电阻R 与电流强度I 成反比例函数，RU I =②当在一个可以改变体积的容器中装入一定质量的气体时，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m 3）是体积v 的反比例函数，解析式可以表达为vk =ρ ③收音机刻度盘的波长l 与频率f 关系式: fk l =④压力F 一定时，压强P 与受力面积S 成反比例关系，即SF P =⑤当汽车输出功率P 一定时，汽车行驶速度v 与汽车所受的负载即阻力F 成反比例关系，FPv =⑥反比例函数在日常生活中的应用：路程问题、工程问题等。
二次函数入门
二次函数入门二次函数是高中数学中重要的一部分，它具有简洁的数学表达形式并且在实际生活中有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的基本概念、图像特征和一些常见的问题解决方法，帮助读者初步理解和应用二次函数。
1. 二次函数的定义二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于零。
其中，a决定了二次函数的开口方向（正面开口或者负面开口），b决定了二次函数图像在x轴方向的平移，c则决定了二次函数图像在y轴方向的平移。
2. 二次函数的图像特征（1）抛物线二次函数的图像是一条抛物线。
当a大于零时，抛物线开口向上，称为正面开口；当a小于零时，抛物线开口向下，称为负面开口。
（2）顶点二次函数的图像的最高点（正面开口）或最低点（负面开口）称为顶点，记作（h,k）。
顶点的横坐标h等于-b/2a，纵坐标k等于二次函数的值。
（3）对称轴二次函数的图像关于顶点的直线称为对称轴，方程为x=h。
（4）判别式二次函数的判别式Δ=b^2-4ac决定了二次函数图像与x轴的交点个数。
当Δ大于零时，图像与x轴有两个交点；当Δ等于零时，图像与x轴有一个交点；当Δ小于零时，图像与x轴没有交点。
（5）平移通过改变二次函数的b和c的值可以实现图像在x轴和y轴的平移。
3. 二次函数方程的求解（1）求顶点已知二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c，顶点的横坐标h=-b/2a，纵坐标k=二次函数值。
（2）求根求解二次函数的解等价于求解二次方程ax^2+bx+c=0的解。
可以使用求根公式x=(-b±√Δ)/2a求得二次方程的根。
根的个数和判别式Δ的值有关，当Δ大于零时，有两个不相等的实根；当Δ等于零时，有一个重根；当Δ小于零时，无实根。
（3）求对称轴和焦点对称轴的方程为x=h，焦点的坐标为（h,k+1/4a）。
4. 二次函数的应用举例二次函数在实际生活中有广泛的应用，例如物体的抛体运动、建筑物的拱形结构等。
二次函数求表达式
二次函数求表达式一、常规的抛物线求解方法二次函数的表达式为y=ax^2+bx+c(a≠0),最常见的也是最容易明白的求解方法，就是题目中告诉抛物线经过三个任意点，这种类型的求解方法是根据抛物线的定义来求解。
把抛物线所经过的三点的横坐标和纵坐标依次带入表达式，组成三个三元一次方程，从而构成三元一次方程组，根据求解方程组的方法求出a,b,c的值。
在中考压轴题中，这种类型比较少，但是对于初步学习二次函数的学生来说，一定要理解这种表达式的求解方法，并且要在计算过程中保证不要算错，因此进行验算非常有必要。
二、根据顶点求解析式每个抛物线都有一个顶点，而且只有一个。
有些题目指出抛物线的顶点，怎么根据顶点来求抛物线表达式？首先要对抛物线基本表达式y=ax^2+bx+c进行分析，这个表达式中，它的顶点坐标是什么？通过化简，可得y=a(x+b/2a)-(b^2-4ac)/4a,通过这个解析式知道它的顶点是[-2a/b,-(b^2-4ac)/4a],在实际解题中，如果知道某个函数的顶点之后，我们把顶点坐标代入到顶点公式中，比较繁琐，因此可以设函数为y=a(x+h)^2+k,这个函数的顶点是（-h,k）这样可以使这个函数的求解变得简单，只要能够求出二次函数的系数，这个函数的解析式就可以求出。
已知某函数的顶点是A（1,2），它又过点（3,5），求它的解析式根据顶点是（1,2）可设y=a(x-1)^2+2,再把x=3,y=5代入可得4a+2=5,a=3/4再把a=3/4代入可以算出y=3/4(x-1)^2+2=3x^2/4-3x/2+11/4备注：当a>0时，函数顶点处是函数的最低点，具有最小值，而当a<0时，顶点处是最高点，具有最大值。
三、根据与坐标轴交点求解析式根据函数图像的性质可知，二次函数与x轴的交点有三种可能，分别是无交点，一个交点和两个交点，而题目中大多数情况下是有两个交点，如果知道两个交点的坐标，再知道另一个交点，就可以求出表达式。
二次函数初步知识点+基础题
二次函数2.1二次函数开语问题：（1）圆的面积y（cm²）与圆的半径x（cm）；（2）如果温室的种植面积为y（m²），外围矩形周长为120m，一边长为x（m）,请写出y 关于x的函数关系。
由以上函数解析式，我们可以得出化简后它们都具有y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，其中a≠0）的形式。
二次函数：形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，其中a≠0）的函数。
其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
例如：y=-x²+58x-112的二次项系数a=-1，一次项系数b=58，常数项c=-112注意：有时x和y都有范围限制，做题时格外注意，否则影响答案以致全部做错！1、下列函数中，哪些是二次函数？（1）y=x²；（2）y=2x²-x-1；（3）y=x(1-x)；（4）y=（x-1）²-（x+1）（x-1）2、分别写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项；（1）y=x²+1；（2）y=-3x²+7x-12：（3）y=2x（1-x）例1、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去四个全等的直角三角形（图中阴影部分）。
设AE=BF=CG=DH=x(cm)，四边形EFGH的面积为y(cm²)，求：（1）y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；（2）当x分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH的面积。
例2、已知二次函数y=x²+px+q，当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5，求这个二次函数的解析式。
例3、已知二次函数y=ax²+bx+3，当x=2时，函数值是3；当x=-2时，函数值是2。
求这个二次函数的解析式。
例4、某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，求该工厂第一季度的产值y关于x的函数解析式。
2.2二次函数的图象请按下列步骤用描点法画二次函数y=x ²的图象。
二次函数数学活动教案(热门16篇)
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九年级上册二次函数知识点总结
一、引言二次函数是初中数学课程中的重要内容，也是九年级上册数学课本中的重点章节之一。
掌握二次函数的知识对于理解数学原理、解决实际问题都具有重要意义。
通过九年级上册的学习，我们已经初步接触了二次函数的概念和基本性质，下面将对九年级上册二次函数的知识点进行总结，帮助大家巩固所学内容。
二、二次函数的定义1. 二次函数的定义：一般地，形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数称为二次函数，其中a、b、c是已知常数，且a不等于0。
2. 二次函数的图像：二次函数的图像是抛物线。
抛物线开口方向由二次函数的系数a的正负性决定。
3. 二次函数的自变量、因变量：自变量通常用x表示，因变量通常用y表示。
三、二次函数的图像特征1. 抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的顶点：二次函数的图像在其顶点处取得极值，当a>0时，抛物线的顶点是最小值点；当a<0时，抛物线的顶点是最大值点。
3. 抛物线的对称轴：对称轴是垂直于x轴过抛物线顶点的直线，其方程为x=-b/2a。
4. 抛物线的焦点：焦点是抛物线上所有点到定点的距离与到定直线的距离相等的点。
四、二次函数的基本性质1. 判别二次函数的开口方向：利用二次函数的一阶导数的正负性可以判断抛物线的开口方向。
2. 求解二次函数的零点：利用二次函数的根的求法，可以求出二次函数的零点。
3. 求解二次函数的顶点：利用二次函数的完全平方公式，可以求出二次函数的顶点。
五、二次函数的应用1. 利用二次函数解决实际问题：例如利用二次函数的图像特征和性质，可以解决抛物线运动、抛物线的方程等实际问题。
2. 二次函数与其他函数的关系：二次函数是数学中的一种基本函数，也是其他函数的重要组成部分，掌握二次函数的知识对于理解其他函数具有重要意义。
六、总结九年级上册的二次函数知识点虽然不算太多，但其中蕴含的数学思想和方法却是非常丰富的。
通过对二次函数的定义、图像特征、基本性质和应用进行总结，希望大家能够更加深入地理解和掌握二次函数，为今后的数学学习打下坚实的基础。
二次函数及其图象
函数的图像以y轴为对称轴。
与x轴的交点
当c=0时，函数与x轴无交点；当c>0时，函数与x轴有两 个交点；当c<0时，函数与x轴有一个交点。
CHAPTER 03
二次函数图象特征
开口方向
开口向上
当二次项系数a大于0时，函数图 像开口向上，顶点为最低点。
开口向下
当二次项系数a小于0时，函数图 像开口向下，顶点为最高点。
科技领域
图像处理
01
在计算机视觉和图像处理中，二次函数常被用于图像的缩放、
旋转和变形等操作中。
声音处理
02
在音频处理中，二次函数被用于声音的频谱分析和合成，以及
音频信号的滤波等。
航天技术
03
在航天学中，二次函数被用于描述火箭和卫星的运动轨迹，以
及太空探测器的路径规划等。
CHAPTER 06
二次函数与数学文化
CHAPTER 04
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
01
二次函数是一元二次方程的图形 表示，一元二次方程是二次函数 的解析形式。
02
二次函数描述了一个抛物线的形 状，而一元二次方程则描述了该 抛物线与x轴的交点位置。
一元二次方程解法
公式法
使用求根公式计算一元二次方程 的解。
因式分解法
期货与期权定价
二次函数常被用于金融衍生品如 期货、期权等的定价模型中，通 过调整参数来估算未来资产价格
的不确定性。
物理领域
弹性力学
在研究材料的弹性和塑性问题时，经常使用二次函数来描述应变 和应力之间的关系。
波动方程
在物理学中，二次函数经常被用来描述波动现象，如弦的振动、电 磁波等。