算法设计与分析实验指导2014版

算法分析
设计与实验
王 源
二0一四年十月
实验一：分治算法及其应用
实验要求：
掌握分治算法的原理.
掌握递归算法及递归程序的设计.
能用程序设计语言设计求解典型问题的算法
实验题：
1、棋盘覆盖问题：在一个2k ×2k 个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。

用图示的4种不同形态的L 型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L 型骨牌不得重叠覆盖。

2、最近对问题：设p 1=(x 1,y 1), p 2=(x 2,y 2), …, p n =(x 1,y 1)，是平面上n 个点构成的集合S ，最近对问题就是找出集合S 中距离最近的点对。

3、（选作）最大子段和问题：给定由n 个整数（可能有负整数）组成的序列(a 1, a 2, …, a n )，
最大子段和问题要求该序列形如 的最大值（1≤i ≤j ≤n ），当序列中所有整数均为负
整数时，其最大子段和为0。

例如，序列(-20, 11, -4, 13, -5, -2)的最大子段和为 。

∑=j
i k k a ∑==4
220
k k a
实验要求：
基本动态规划法的原理方法；
能用程序设计语言实现求解背包问题的算法
实验题：
1、最长公共子序列问题：对给定序列X=(x1, x2,…, xm)和序列Z=(z1, z2,…, zk)，Z是X的子序列当且仅当存在一个递增下标序列(i1, i2,…, ik)，使得对于所有j=1, 2, …, k，有（1≤ij ≤m）。

给定两个序列X和Y，当序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X 和Y的公共子序列最长公共子序列问题就是在序列X和Y中查找最长的公共子序列。

2、（选作）多段图的最短路径问题：设图G=(V, E)是一个带权有向图，如果把顶点集合V 划分成k个互不相交的子集Vi (2≤k≤n, 1≤i≤k)，使得E中的任何一条边(u, v)，必有u∈Vi，v∈Vi+m (1≤i≤k, 1＜i+m≤k)，则称图G为多段图，称s∈V1为源点，t∈Vk为终点。

多段图的最短路径问题求从源点到终点的最小代价路径。

3、
实验要求：
掌握贪心及回溯法解题的基本思想；
掌握贪心及回溯算法的设计方法；
熟练掌握贪心及回溯递归算法、迭代算法的设计与实现。

实验题：
1、图着色问题：给定无向连通图G=(V, E)，求图G的最小色数k，使得用k种颜色对G中的顶点着色，可使任意两个相邻顶点着色不同。

2、n皇后问题：在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。

按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。

n后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。

给出所有可行解。

随机输出2个可行解的图形。

其中棋盘要有含8×8的格子的不少于两种，Queen图像自选；估算该算法的效率。

实验要求：
掌握分支限界法算法的解题的基本思想和设计方法；
理解分支限界法算法中的限界函数应遵循正确、准确、高效的设计原则
实验题：
1、0-1背包问题的优先队列式（最大堆）分支限界求法：已知有N个物品和一个可以容纳M重量的背包，每种物品I的重量为WEIGHT，一个只能全放入或者不放入，求解如何放入物品，可以使背包里的物品的总效益最大。

输入：第一行有2个正整数n和c。

n是物品数，c是背包的容量。

接下来的1 行中有n个正整数，表示物品的价值。

第3 行中有n个正整数，表示物品的重量。

输出：将计算出的装入背包物品的最大价值和最优装入方案输出。

第一行输出为：Optimal value is
第二行输出：装入背包物品的最大价值。

第三行输出：最优装入方案。

输入样例：
5 10
6 3 5 4 6
2 2 6 5 4
输出样例：
Optimal value is
15
1 1 0 0 1
2、圆排列问题(选作)
复习练习
复习练习
1、证明n !=o(n n
) 2、证明
)(32
122
n n n Θ=− 3、利用递归树证明下列递归式T (n )的渐近复杂度为)lg (n n Θ
T (n )= ⎩⎨
⎧>+=1
)2/(21n cn
n T n c
4、说明)2(2
1
n n O =+是否成立？
5、设计时间复杂度为O(n 2)和O(n)的两种算法，求s= 1!+2!+……n!
6、请用动态规划法，求解以下流水作业调度问题： n=4, (a 1, a 2, a 3, a 4)=(5,12,4,8), (b 1, b 2, b 3, b 4)=(6,2,14,7)。

7、已知序列X=<A,B,C,B,D,A,B>和Y=<B,D,C,A,B,A>，构造A 和B 的LCS 问题的C(i,j)矩阵。

8、已知R= {r 1,r 2,r 3,……,r rn }，编写一个递归程序输出其全排列。

9、试设计一个O(n)时间算法，使之能产生数组a [0:n-1]元素的一个随机排列。

10、给定由n 个互不相同的数组成的集合S ，及一个正整数k<=n ，试设计一个O(n)时间算法找出S 中最接近S 的中位数的k 个数。

11、请用贪心法，求解以下Knapsack 问题：
n=7，C=15，(p 1, p 2, p 3, p 4, p 5, p 6, p 7)=(10,5,15,7,6,18,3)， (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6, w 7)=(2,3,5,7,1,4,1)。

12、试设计一个解最大团问题的非递归迭代回溯法。

13、给定一个赋权无向图G=(V ，E)，每个顶点v ∈V 都有一个权值w(v)。

如果v ∈V ，且对任意(u,v)∈E 有u ∈U 或v ∈U ，就称U 为图G 的一个顶点 覆盖。

G 的最小权顶点覆盖是指G 中所含顶点权之和最小的顶点覆盖。

对于给定的无向图G ，设计一个优先队列分支限界法，计算G 的最小权顶点覆盖。

14、设有n 间工作分配给n 个人。

将工作i 分配给第j 个人所需的费用为cij 。

试设计一个算法，为每一个人都分配1件不同的工作，并使总费用达到最小。

15、设某一机器由n 个部件组成，每一种部件都可以从m 个不同的供应商处购得。

设wij 是从供应商j 处购得的部件i 的重量，cij 是相应的价格。

设计一个优先队列式分支限界法，给出总价格不超过d 的最小重量机器设计。