湖南省衡阳二十六中2017-2018学年高二上学期期中考试

衡阳市26中2017年下期高二期中考试题数学（文）一、选择题（本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知A B C ∆三内角之比为1:2:3，则对应三内角正弦之比为（ ） A.1:2:3 B.1:1:2C.1:2D.1:3 2. 等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )A ．－24B ．0C ．12D ．243.如果0a b <<，那么下列各式一定成立的是（ ）A. 0a b ->B. a c b c <C. 22a b > D.11ab<4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若47a =，520S =，则10a =（ ） A. 16 B.19 C. 22 D.255.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0，则数列的通项a n 等于( )A ．n 2＋1B ．n ＋1C ．1－nD ．3－n6. 已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)，则a 100的值是( )A ．9 900B ．9 902C ．9 904D ．11 0007.如图所示的程序框图运行的结果为（ ） A.1022 B.1024 C.2044 D.20488.已知实数x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +⎧⎪-+⎨⎪--⎩………，则目标函数z x y =+的最大值为（ ）A.-12B.25C.4D.69. 若不等式210a x b x >＋＋的解集为1|1 3x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b +的值为 ( ) A. 5 B. 5- C. 6 D. 6-第7题图10.若不等式2162a b x x ba+<+对任意a ，(0)b +∞，ä恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A.(20)-，B.(42)-，C.(2)(0)-∞-+∞，，D.(4)(2)-∞-+∞，，11.等差数列{}n a 中，11101<-a a ，若其前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的最大自然数n 的值为（ ）A.19B.20C.9D.1012. 一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)：A ．68B ．132C ．133D ．260第II 卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分.）13. lg(3－2)与lg(3＋2)的等差中项为_______． 14.函数4()(2)2f x x x x =+>-+的最小值为___________.15. 已知数列{a n }中,a n+1=2a n ,a 3=8,则数列{log 2a n }的前n 项和等于________.16.设数列{}n a 是正项数列，若23n n+=+…，则12231n a a a n +++=+…______.三、解答题 （本题共6小题，共70分.） 17．（本小题满分10分）解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4； 18．（本小题满分12分）已知锐角A B C △，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 2s in c A =. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若c =A B C △2a b +的值.19．设f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．20．（本小题满分12分） 已知正项等比数列{}n a ，112a =，2a 与4a 的等比中项为18.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）令n n b n a =，数列{}n b 的前n 项和为n S .证明：对任意的*n N ä，都有2n S <.21．（本小题满分12分）对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知数列{a n }各项均为正数，且a 1＝1，a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＝0(n ∈N *)． (1)设b n ＝1a n，求证：数列{b n }是等差数列；(2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和1n S <对于任意n N *∈恒成立答案 一、选择题二、填空题13. 0 14. 2 15. (1)2n n + 16. 226n n +三、解答题17. (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0. 解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. 18.（本小题满分12分）解：in 2s in s in A C A =，………………………………2分因为(0)A π，ä，所以sin 0A ≠，于是，s in 2C =，………………………………4分又因为锐角A B C △，所以(0)2C π，ä，…………………………………………5分解得3C π=.…………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）因为1s in 2A B C S a b C =△，………………………………………………………7分所以42a b =，解得6a b =，……………………………………………………9分由余弦定理，得2222co s c a b a b C =+-，………………………………………………10分即27()2(1c o s )a b a b C =+-+，………………………………………………………11分 解得5a b +=.………………………………………………………………………12分 19.（本小题满分12分）解析 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m 、n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为正项等比数列{}n a ，所以0n a >，设公比为q ，则0q >.………………1分 又因为2a 与4a 的等比中项为18，所以318a =，…………………………………………2分即2118a q =，由112a =，得12q =，………………………………………………………3分于是，数列{}n a 的通项公式为12n na =.…………………………………………………4分（Ⅱ）由题可知，2n nn b =，……………………………………………………………5分于是，231232222n nn S =++++…——①2341112322222n n nS +=++++…——②………………………………………………6分由①-②，得23411111112222222n nn n S +=+++++-……………………………………………8分111(1)221212nn n+-=--11122nn n +=--.………………………………………………………10分解得222n nn S +=-，………………………………………………………………………11分故2n S <.…………………………………………………………………………………12分21.（本小题满分12分）解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0， 解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零． 22.（本小题满分12分）解：(1)证明：因为a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＝0(n ∈N *)， 所以a n ＋1＝a n a n ＋1.因为b n ＝1a n，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1a n ＝a n ＋1a n －1a n ＝1.又b 1＝1a 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项、1为公差的等差数列． (2)由(1)知，b n ＝n ，所以1a n＝n ，即a n ＝1n ，所以a n n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋11<。