基本不等式及其应用
基本不等式及其应用
）
ab
A. 7
B. 8
C. 9
D. 5
2
2
3．若 x 0 ， y 0， 2 y 8x m2 2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） xy
A. (, 2][4, ) B. (, 4][2, ) C. (2, 4) D. (4, 2)
4.(2015·福建）若直线ax＋by＝1(a＞0，b＞0）过点(1，1），则 a＋b 的最小值等于( ）
基本不等式及其应用
考纲解读 1. 了解基本不等式错误!未找到引用源。的证明过程. 2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 3. 利用基本不等式证明不等式. 命题趋势探究 基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及 高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等 问题. 知识点精讲 1. 几个重要的不等式 （1）错误!未找到引用源。 （2）基本不等式：如果错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。 (当且仅当“错误! 未找到引用源。”时取“ ”). 特例：错误!未找到引用源。同号 . （3）其他变形： ①错误!未找到引用源。(沟通两和错误!未找到引用源。与两平方和错误!未找到引用源。的 不等关系式) ②错误!未找到引用源。(沟通两积错误!未找到引用源。与两平方和错误!未找到引用源。的 不等关系式) ③错误!未找到引用源。(沟通两积错误!未找到引用源。与两和错误!未找到引用源。的不等 关系式) ④重要不等式串：错误!未找到引用源。即 调和平均值 几何平均值 算数平均值 平方平均值(注意等号成立的条件). 2. 均值定理 已知错误!未找到引用源。. （1）如果错误!未找到引用源。(定值)，则错误!未找到引用源。(当且仅当“错误!未找到引 用源。”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果错误!未找到引用源。(定值)，则错误!未找到引用源。(当且仅当“错误!未找到引 用源。”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.
2.4 基本不等式及其应用.ppt
等号当且仅当 a＝b 时成立。
例 5、
（1）若 x 0 ，则 4x 9 的最小值是
；
x
（2） 若 x 1，则 4x 9 的最小值是
；
x 1
（3）若 x 1 ，则 2x2 9x 10 的最小值 x 1
是
。
例 6、已知 a 0,b 0, c 0，
我们把 a b 和 ab 分别叫做正数 a、b 的算术平均数和几何平 2
均数.
几何解释:
A
B
C
DE
3、例题
例 1、（1）设 a,b, c R ，求证：
a2 b2 c2 ab ac bc ； （2）已知 x, y R ，求证：
(x y)(x2 y2 )(x3 y3 ) 8x3 y3 .
例 2、（1）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（2）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（3）试比较 y x 与 2 的大小。 xy
例 3、已知 x 0, y 0 ，求证： x2 y2 x y 。 yx
4、练习 1、用不等号填空：
若 x 0 ，则 x 1 2 ，若 x 0 ，则 x 1 2 。
2、新课 基本不等式 1：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
变形：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
如果 a,bR,那么a2 b2 2 ab ,当且仅当 a b 时等号成立 .
基本不等式 2：
如果 a,b R ,那么 a b ab,当且仅当a b时等号成立 . 2
1
2 1
ab a b 2
基本不等式及其应用（优秀经典专题及答案详解）
(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．，最后利用基本不等式求最值．考点二 利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业，李明自主创业，李明自主创业，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。
考点24 基本不等式及其应用
考点二十四 基本不等式及其应用知识梳理1．重要不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．2．基本不等式：ab ≤a ＋b 2( a ≥0，b ≥0)，当且仅当a ＝b 时取等号． 其中a ＋b 2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数.因此基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．3.基本不等式的几个常见变形(1) a ＋b ≥2ab (a ，b ＞0)．(2) x ＋1x ≥2(x ＞0)，b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．4.利用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．5.利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)和定积最大：若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24； (2)积定和最小：若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .典例剖析题型一 基本不等式成立条件问题例1 若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是________．①a 2＋b 2>2ab ②a ＋b ≥2ab ③1a ＋1b ≥2ab④b a ＋a b ≥2 答案 ④解析 ∵a 与b 可能相等，∴a 2＋b 2≥2ab ，故①不正确；对于②、③，当a <0，b <0时不等式不成立，故②、③不正确；对于④，由于ab >0，∴b a >0，a b >0，a b ＋b a≥2a b ·b a＝2成立(当且仅当a ＝b 时等号成立)．变式训练 下列不等式中一定成立的是________．①x ＋1x ≥2 ②b a ＋a b ≥2 ③sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) ④x ＋1x ≥2(x >0) 答案 ④解析 对于选项①，当x <0时显然不成立；对于选项②，当b a<0时显然不成立； 对选项③，当sin x <0时显然不成立；只有选项④正确.解题要点 在应用基本不等式时，“一正二定三相等”这三者缺一不可.题型二 利用基本不等式求最值例2 (1) 若x >0，则x ＋2x的最小值是________． (2) 当x >1时，函数y ＝x ＋1x －1的最小值是________． 答案 (1) 2 2 (2) 3解析 (1) 由基本不等式可得x ＋2x≥2x ·2x ＝22，当且仅当x ＝2x 即x ＝2时取等号，故最小值是2 2.(2)y ＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2 (x －1)·1x －1＋1＝3 ⎝⎛⎭⎫当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时等号成立. 变式训练 (1)当x >1时，x ＋4x －1的最小值为________； (2)当x ≥4时，x ＋4x －1的最小值为________． 答案 (1)5 (2)163解析 (1)∵x >1，∴x －1>0.∴x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥24＋1＝5. (当且仅当x －1＝4x －1.即x ＝3时“＝”号成立)∴x ＋4x －1的最小值为5. (2)∵x ≥4，∴x －1≥3.∵函数y ＝x ＋4x在[3，＋∞)上为增函数，∴当x －1＝3时，y ＝(x －1)＋4x －1＋1有最小值163. 例3 设0<x <2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值解析 ∵0<x <2，∴2－x >0，∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x 2＝2， 当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值为 2.变式训练 若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值是________．答案 1解析 ∵a >1，b >1，∴lg a >0，lg b >0.lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b )24＝(lg ab )24＝1. 当且仅当a ＝b ＝10时取等号．解题要点 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．题型三 利用1的代换求值例4 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b的最小值为________． 答案 4解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4， 即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 变式训练 已知x >0，y >0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y的最小值为________． 答案 18解析 ∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1， ∴8x ＋2y ＝(8x ＋2y )(x ＋y )＝10＋8y x ＋2x y≥10＋28y x ·2x y＝18. 当且仅当8y x ＝2x y，即x ＝2y 时等号成立， ∴当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y 有最小值18.解题要点 解决这类条件最值问题通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．当堂练习1．若0<x <32，则y ＝x (3－2x )的最大值是________． 答案 982．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是________． 答案 92解析 依题意得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b )(a ＋b )＝12×[5＋(b a ＋4a b )]≥12×(5＋2b a ×4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92. 3. 已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有________． 答案 最大值为－4解析 ∵x <0，∴－x >0，∴x ＋1x －2＝－(－x ＋1－x )－2≤－2(－x )·1－x－2＝－4， 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立． 4．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝______. 答案 36解析 ∵a >0，x >0，∴f (x )＝4x ＋a x ≥2 4x ·a x＝4a ⎝⎛⎭⎫当且仅当4x ＝a x 即a ＝4x 2时等号成立， 又x ＝3时函数取得最小值，∴a ＝4×9＝36.5．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是________．答案 (－∞，－2]解析 ∵1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ，∴2x ＋y ≤14，∴x ＋y ≤－2. 课后作业一、 填空题1．若0＜x ＜1，则当f (x )＝x (4－3x )取得最大值时，x 的值为________．答案 23解析 ∵0＜x ＜1，∴f (x )＝x (4－3x )＝13·3x (4－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4－3x 22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取得“＝”． 2．已知a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0，则ab 的最大值为________．答案 14解析 ∵ln(a ＋b )＝0，∴a ＋b ＝1，又a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14. 3．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x >－1)的图象最低点的坐标为________． 答案 (0,2)解析 y ＝(x ＋1)2＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1≥2， 当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，y 最小值为2． 4．若x ＞54，则f (x )＝4x ＋14x －5的最小值为________． 答案 7解析 f (x )＝4x ＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋5. ∵x ＞54，∴4x －5＞0，∴4x －5＋14x －5≥2. 故f (x )≥2＋5＝7，等号成立的条件是x ＝32. 5．已知a ，b 为正实数且ab ＝1，若不等式(x ＋y )(a x ＋b y)>m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，4)解析 因为(x ＋y )(a x ＋b y )＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bx y时等号成立，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可.6．下列不等式：①a 2＋1>2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是________． 答案 1解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1. 7．(2015湖南文)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为________． 答案 2 2解析 由条件1a ＋2b＝ab 知a ，b 均为正数．因而可利用基本不等式求解． 由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧ 1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.8．若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为________．答案 6解析 依题意得4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2,9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ×3y ＝232x ＋y ＝232＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，因此9x ＋3y 的最小值是6.9．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. 答案 36解析 因为x >0，a >0，所以f (x )＝4x ＋a x≥24a ＝4a ， 当且仅当4x ＝a x，即a ＝4x 2时取等号．由题意可得a ＝4×32＝36. 10． (2014年上海卷)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．答案 2 2解析 x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22·xy ＝22，当且仅当x 2＝2y 2时等号成立．11．已知x >0，y >0，且3x ＋4y ＝12，则xy 的最大值为______．答案 3解析 ∵12＝3x ＋4y ≥23x ·4y ，∴xy ≤3.二、解答题12．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1＋1a )(1＋1b)≥9. 证明 方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a， 同理，1＋1b ＝2＋a b， ∴(1＋1a )(1＋1b )＝(2＋b a )(2＋a b )＝5＋2(b a ＋a b)≥5＋4＝9. ∴(1＋1a )(1＋1b )≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 方法二 (1＋1a )(1＋1b )＝1＋1a ＋1b ＋1ab .由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8， 故(1＋1a )(1＋1b )＝1＋1a ＋1b ＋1ab≥9. 13．(2015湖南理节选)设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b. 证明：a ＋b ≥2；证明 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab，a ＞0，b ＞0，得ab ＝1. 由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.。
基本不等式及其应用
基本不等式及其应用1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( × )(2)ab ≤(a ＋b 2)2成立的条件是ab >0.( × )(3)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × ) (4)“x >0且y >0”是“x y ＋yx≥2”的充要条件．( × )(5)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( × )(6)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．( √ )1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b≥2 答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误． 对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误． 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 2．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ≤14 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2 D ．a 2＋b 2≥8答案 D解析 4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，即ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项A ，C 不成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，选项B 不成立；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥8，选项D 成立．3．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A ．2 B.32 C ．1 D.12答案 C解析 由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y ＝log 3a ＋log 3b＝log 3ab ≤log 3⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1y 的最大值为1.4．(2014·福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．(单位：元) 答案 160解析 设该长方体容器的长为x m ，则宽为4x m ．又设该容器的造价为y 元，则y ＝20×4＋2(x ＋4x )×10，即y ＝80＋20(x ＋4x )(x >0)．因为x ＋4x ≥2x ·4x ＝4(当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取“＝”)，所以y min ＝80＋20×4＝160(元).题型一 通过配凑法利用基本不等式求最值例1 (1)已知x <54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知x 为正实数且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值；(3)求函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值．解 (1)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(2)因为x >0， 所以x 1＋y 2＝2x 2(12＋y 22)≤2[x 2＋(12＋y 22)]2，又x 2＋(12＋y 22)＝(x 2＋y 22)＋12＝32，所以x 1＋y 2≤2(12×32)＝324，即(x 1＋y 2)max ＝324. (3)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1， 所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t >0，即x >1时，y ＝1t ＋4t＋1，因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.23 (2)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 答案 (1)B (2)C解析 (1)因为0<x <1，所以x >0,3－3x >0. 由基本不等式可得x (3－3x )＝13·3x (3－3x )≤13(3x ＋3－3x 2)2＝34， 当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时，等号成立．故选B.(2)因为x >2，所以x －2>0，则 f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号．即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.题型二 通过常数代换或消元法利用基本不等式求最值例2 (1)已知x >0，y >0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y 的最小值为________．(2)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 答案 (1)18 (2)6 解析 (1)(常数代换法) ∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1，∴8x ＋2y ＝(8x ＋2y )(x ＋y ) ＝10＋8y x ＋2xy≥10＋28y x ·2xy＝18. 当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y 时等号成立，∴当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y 有最小值18.(2)由已知得x ＝9－3y1＋y .方法一 (消元法) ∵x >0，y >0，∴y <3， ∴x ＋3y ＝9－3y1＋y ＋3y＝121＋y＋(3y ＋3)－6≥2121＋y·(3y ＋3)－6＝6， 当且仅当121＋y ＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 方法二 ∵x >0，y >0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·(x ＋3y 2)2，当且仅当x ＝3y 时等号成立． 设x ＋3y ＝t >0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0， 又∵t >0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.思维升华 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(1)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y＝1，并且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)(2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． 答案 (1)D (2)5解析 (1)x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝2＋4y x ＋xy ＋2≥8，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时等号成立．由x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，可知m 2＋2m <8，即m 2＋2m －8<0，解得－4<m <2. (2)方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5. (当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，∴3x ＋4y 的最小值是5. 方法二 由x ＋3y ＝5xy 得x ＝3y5y －1， ∵x >0，y >0，∴y >15，∴3x ＋4y ＝9y 5y －1＋4y ＝135＋95·15y －15＋4(y －15)≥135＋23625＝5， 当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.题型三 基本不等式与函数的综合应用例3 (1)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1) C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (1)B (2)[－83，＋∞)解析 (1)由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)， ∴k ＋1<22，即k <22－1.(2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞)．思维升华 (1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ， a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min ；(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性．已知函数f (x )＝x ＋p x －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________． 答案 94解析 由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94.题型四 基本不等式的实际应用例4 某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2 000元/m 2；材料工程费在建造第一层时为400 元/m 2，以后每增加一层费用增加40 元/m 2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成________层． 答案 10解析 设应把楼房设计成x 层，每层有面积y m 2， 则平均每平方米建筑面积的成本费为k ＝2 000y ＋y ×400＋y ×440＋…＋y ×[400＋40(x －1)]xy＝2 000x＋20x ＋380≥2 2 000x·20x ＋380 ＝780，当且仅当2 000x＝20x ，即x ＝10时取等号，故应把楼房设计成10层．思维升华 对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值．(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%，若p >q >0，则提价多的方案是________．答案 (1)B (2)乙解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B.(2)设原价为1，则提价后的价格为 方案甲：(1＋p %)(1＋q %)， 方案乙：(1＋p ＋q 2%)2，因为(1＋p %)(1＋q %)≤1＋p %2＋1＋q %2＝1＋p ＋q2%， 且p >q >0，所以(1＋p %)(1＋q %)<1＋p ＋q2%，即(1＋p %)(1＋q %)<(1＋p ＋q 2%)2，所以提价多的方案是乙．忽视最值取得的条件致误典例：(1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________．易错分析 (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝1x ＋2y ≥22xy，∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ≥42，得(x ＋y )min ＝4 2.(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x ≥2 6.解析 (1)∵x >0，y >0， ∴x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋2y)＝3＋y x ＋2xy ≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x )≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6. 答案 (1)3＋22 (2)1＋2 6温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.方法与技巧1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋mx (m >0)的单调性．失误与防范1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg(x 2＋14)>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg(x 2＋14)≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”， 而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定， 故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．2．若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b 的最小值是( )A.14 B ．1 C ．4 D ．8 答案 C解析 由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a >0，b >0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1(a ＋b 2)2＝1(12)2＝4. 当且仅当a ＝b ＝12时上式取“＝”．3．已知x >0，y >0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) A.22B ．2 2 C. 2 D ．2 答案 D解析 ∵x >0，y >0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ，即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0， ∴2xy ≥2，∴xy ≥2.4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b 2D ．v ＝a ＋b 2 答案 A解析 设甲、乙两地相距s ，则小王往返两地用时为s a ＋s b， 从而v ＝2s s a ＋s b＝2ab a ＋b . ∵0<a <b ，∴ab <a ＋b 2，2ab a ＋b >2ab 2b ＝a ， ∴2a ＋b <1ab ，即2ab a ＋b<ab ，∴a <v <ab . 5．(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当z xy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98 C ．2 D.94答案 C解析 由题意知：z ＝x 2－3xy ＋4y 2，则z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x－3≥1，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝xy ＝2y 2. 所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2≤2.6．若对于任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 a ≥15解析 x x 2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x ， 因为x >0，所以x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)， 则13＋x ＋1x ≤13＋2＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 7．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)的最小值为________． 答案 9解析 (x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立．8．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．答案 20解析 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x ＋x ≥2400x ·x ＝40，当且仅当400x ＝x ，即x ＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨．9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值； (2)设0<x <2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值．解 (1)y ＝x ＋82x －3＝－(3－2x 2＋83－2x )＋32. 当x <32时，有3－2x >0， ∴3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时取等号． 于是y ≤－4＋32＝－52. 故函数的最大值为－52. (2)∵0<x <2，∴2－x >0，∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x ) ≤2·x ＋2－x 2＝2， 当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值为 2.10．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解 设铁栅长为x (x >0)米，一侧砖墙长为y (y >0)米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故0<S ≤10，从而0<S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米．B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．(2013·福建)若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案 D解析 ∵2x ＋2y ≥22x ＋y ，且2x ＋2y ＝1， ∴2x ＋y ≤14，∴x ＋y ≤－2.选D. 12．(2013·天津)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值． 答案 －2解析 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b≥2b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧ b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2.13．规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a 、b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗x x的最小值为________． 答案 1 3解析 1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，∴k ＝1或k ＝－2(舍去)．∴k ＝1.f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x≥1＋2＝3， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立． 14．已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为________． 答案 16解析 因为a >0，b >0，所以由m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b 恒成立． 因为3b a ＋3a b ≥2 3b a ·3a b＝6， 当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3a b≥16， 所以m ≤16，即m 的最大值为16.15．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|. (1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值．解 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝(4＋1t)(120－|t －20|) ＝⎩⎨⎧ 401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20，559＋140t－4t ， 20<t ≤30. (2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值)． 当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减， 所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323， 所以t ∈[1,30]时，W (t )的最小值为441万元．。
(高级篇)基本不等式及其应用
基本不等式及其应用一、待定系数法1、设,,(0,)x y z ∈+∝，且222541x y z ++=，则+xy yz 的范围是． 解析：设22221=(5)4x ty t y z ++-+≥+，∵ xy 与yz 系数相同)4t =⇒=，∴ 144xy yz ≥+1xy yz +≤，∴ 当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧==222244zy y x ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===29210252z y x 时等号成立． 即28t ≤，解得2222≤≤-t ．所以+a b 的范围是]22,22[-．2、设0x y z >、、，则222+223xy yzx y z ++的范围是．解析：2222+(2)3x ty t y z +-+≥+，12，解得76=t，故2222+232)x y z xy yz +≥+，所以222max+223xy yzx y z =++ 小结：同时三个（或以上）变量的平方和为常数时，求两个变量乘积之和的最值时，可利用待定系数法将其中一个变量的系数进行拆分，然后利用基本不等式，配凑出变量系数之比等于所求变量系数之比，从而求出最值．二、柯西不等式1、已知+∈R y x ,，22=+y x ，则22y x x ++的最小值为．解析：58)2(545453])54()53)[((222222=+=++≥+++=++y x y x x y x x y x x ，当且仅当53=x ，54=y 时，等号成立．2、已知⎩⎨⎧≥--≤--03201y x y x ，)0,0(>>+=b a by ax z 最小值为52，则22b a +的最小值为____________．解析：由题意得)0,0(52>>=+b a b a ，设20)2()12)((22222=+≥++b a b a ，所以422≥+b a ，即22b a +的最小值为4．3、已知,,0a b c >，且1a b c ++=，则222(+1)+49a b c +的最小值是．解析：因为1a b c ++=，所以(+1)+2a b c +=，2222211[(+1)+49][1+()+()]23a b c +4)1(]313212)1[(22=+++=⨯+⨯++≥c b a c b a ，故222144(+1)+4949a b c +≥222(+1)+49a b c +的最小值是14449．三、权方和不等式1、 已知1>a ，0>b ，若2=+b a 恒成立，则ba 211+-的最小值是________．解析：2231)21()2(11211222+=-++≥+-=+-b a b a b a ，当且仅当b a 211=-，即2=a ，22-=b 时取等号.2、设x 、y 是正实数，且1=+y x ，则2221y x x y +++的最小值是________．解析：222()12134y x y x x y x y ++≥=++++，当21y x x y =++，即2=x ，1=y 时，等号成立，∴ 2221y x x y +++的最小值是41.3、已知1>a 、1>b ，则2211ab b a +--的最小值是________． 解析：令)0(2>=-+t t b a ，2222()(2)4=48112a b t a b t b a a b t t +++≥=++≥--+-当2211a b a b b a +-=⎧⎪⎨=⎪--⎩时，即2a =，2=b ，两个等号同时成立. 4、对任意实数1>x ，21>y ，不等式1)1(4)12(2222≥-+-x a y y a x 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：min2221412⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-≤x y y x a ，设220x y t +-=>，则844)2(22)2(14122222≥++=+=-++≥-+-t t t t y x y x x y y x ，当⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-+1212222x y y x y x 即2x =， 1=y ，两个等号同时成立.5、若正实数x ，y 满足1=+y x ，则1x +的最小值为________．解析：21(1)2(12)511114==112121212222224y y x x y x y x y x y x y --+++++=++-≥-=++++++ 当14222x y =+，即32=x ，13y =时等号成立，故121x x y ++的最小值45.6、若正实数x ，y 满足1=+y x ，则2281x y+的最小值为________．解析：33322222(12)8112=27()x y x y x y +++≥=+，当12x y =，即31=x ，23y =时等号成立，故2281x y +的最小值27.小结：在a 、b 、x 、y ＞0，y x b a y b x a ++≥+222)(，当yb x a =时等号成立，它是柯西不等式的变形．四、切线放缩法1、0>a ，0>b ，482=++b a ，则ba 13+的最小值为________．解析：21)(x x f +=在)3,1(处的切线为38+=x y ，可知)0(3882>+≥+x x x∴384++≥b a ，即43≤+b a ，4434322541434349)13(4313=⋅+≥+++=++≥+b a a b b a a b b a b a b a 当且仅当1==b a 时等号成立，ba 13+的最小值为4.2、若正实数x ，y 满足1=+y x ，则2281x y+的最小值为________．解析：∵21x y =在)9,31(处的切线2754+-=x y ，∴x x542712-≥，同理y y 545482-≥ 所以2281(2754)(5454)27x y x y+≥-+-=，当且仅当31=x ，32=y 时取等号．3、已知正实数x ，y 满足2215=-y x ，则2233y x y x --+的最小值是________．解析：设23)(x x x f -=在23=x 处的切线方程为 29415-=x y ，所以2941523-≥-x x x ，4)(223y y y y y y -≥-=-，所以129422294152233=-=--≥--+y x y x y x当且仅当 23=x ，21=y 时等号成立．五、放缩法1、若不等式C B C A B k sin sin 19sin sin sin 2>+对任意△ABC 都成立，则k 的最小值为________．解析：由正弦定理可得bc ac kb 192>+，则219bac bc k ->， 由⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+=--<-⇒->b c b c bc b c c c b c c b b c b ac b c c b a ,20)(,18)(||1919||2222当b c ≤时，1918)(2≤+bc b c当b c >时，10020)(2≤+-bc b c所以，100≤k .2、在△ABC 中，角A 、B 、C 分别为a 、b 、c ． 若kbc ab c >+22，则实数k 的最大值是________．解析：ca b c bc ab c k +=+≤222，∵ c b a ->，所以1221222-≥-+=-+>+c b b c c c b b c c a b c ，所以122-≤k .3、若实数x 、y 、z 、t 满足100001≤≤≤≤≤t z y x ，则tz y x +的最小值是________．解析：5011000012100001=⋅≥+≥+yy y y tz y x ，易错提醒：50001100001100001=+≥+tz y x ，这个结果是不对的，矛盾出现在哪里呢？观察以下，已知条件100001≤≤≤≤≤t z y x ，不难发现当x 和z 取得最小值时，11≤≤y ，即1=y ，同理y 和t 取得最大值时，z 会等于10000，因为x 、z 和y 、t 交叉相等! 故先只对x 、t 放缩，tz y t z y x +≥+1，对于y 、z ，不妨研究z ，显然z 放缩到1时，则1=y ，z 的最小值为y ，所以5011000012100001=⋅≥+≥+yy y y t z y x .。
基本不等式及其应用
基本不等式及其应用基本不等式及其应用一、知识结构二、重点叙述1. 基本不等式模型一般地,如果a>0,b>0,则立。
我们常把叫做正数a、b的算术平均数,把ab叫做正数a、b的几何平均数, ,或,当且仅当a=b时等号成即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当两个正数相等时等号成立。
拓展:若a、b∈R,则2. 基本不等式证明方法,当且仅当a=b时等号成立。
3.基本不等式的应用①利用基本不等式证明不等式或比较大小; ②利用基本不等式求最值或求范围; ③利用基本不等式解决实际问题。
三、案例分析案例1：(1)（xx天津·理）设的最小值为A 8B 4C 1D (2) （xx海南、宁夏·理7）已知，，成等差数列，若成等比数列，则Ａ．Ｂ．的最小值是（）Ｃ．Ｄ．分析：（1）由是与的等比中项，得。
用“1代换法”，把看成，进而利用基本不等式求得最小值。
（2）可用直接法解之。
根据等差、等比数列的“等距离”性质，把多元函数转化为x、y的二元函数，由二元的基本不等式求其最小值。
也可以用特殊值法解决。
解：（1）∵是与的等比中项，∴，得。
∴，当且仅当即时，“=”成立。
故选择C。
成等差数列，成等比数列，（2）（直接法）∵∴∴，∵，，∴，∴，当且仅当时，等号成立。
∴。
故选D。
成等差数列，成等比数列分别都为另解：（特殊值法）令，则，故选D。
案例2：(1) （xx重庆·文）已知A．2B．，则C．4的最小值是（） D．5(2)（xx山东·理16）函数y=loga (x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n＞0，则的最小值为________________.分析：(1)用基本不等式解之，由于两次使用基本不等式，两次的“等号”成立应该“同时”。
(2)抓住函数图象过定点，求得定点A的坐标，建立m、n的线性关系，两次应用基本不等式求得最小值，同样注意两次的“等号”成立是否“同时”？只有“同时”，最小值才存在。
考点二十四 基本不等式及其应用
考点二十四 基本不等式及其应用知识梳理1．重要不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． 2．基本不等式：ab ≤a ＋b2( a ≥0，b ≥0)，当且仅当a ＝b 时取等号． 其中a ＋b 2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数.因此基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．3.基本不等式的几个常见变形 (1) a ＋b ≥2ab (a ，b ＞0)．(2) x ＋1x ≥2(x ＞0)，b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．4.利用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件． 5.利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)和定积最大：若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24；(2)积定和最小：若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .典例剖析题型一 基本不等式成立条件问题例1 若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b ≥2ab D.b a ＋ab ≥2答案 D解析 ∵a 与b 可能相等，∴a 2＋b 2≥2ab ，故A 不正确；对于B 、C ，当a <0，b <0时不等式不成立，故B 、C 不正确；对于D ，由于ab >0，∴b a >0，a b >0，a b ＋ba ≥2a b ·ba＝2成立(当且仅当a ＝b 时等号成立)．变式训练 下列不等式中一定成立的是 ( )A ．x ＋1x ≥2B ．b a ＋a b ≥2 C. sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) D. x ＋1x ≥2(x >0)答案 D解析 对于选项A ，当x <0时显然不成立； 对于选项B ，当ba <0时显然不成立；对选项C ，当sin x <0时显然不成立； 只有选项D 正确.解题要点 在应用基本不等式时，“一正二定三相等”这三者缺一不可. 题型二 利用基本不等式求最值例2 (1) 若x >0，则x ＋2x的最小值是( )A ．2B ．4 C. 2 D ．2 2 (2) 当x >1时，函数y ＝x ＋1x －1的最小值是________． 答案 (1) D (2) 3解析 (1) 由基本不等式可得x ＋2x ≥2x ·2x ＝22，当且仅当x ＝2x即x ＝2时取等号，故最小值是2 2.(2)y ＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2(x －1)·1x －1＋1＝3⎝⎛⎭⎫当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时等号成立.变式训练 (1)当x >1时，x ＋4x －1的最小值为________； (2)当x ≥4时，x ＋4x －1的最小值为________．答案 (1)5 (2)163解析 (1)∵x >1，∴x －1>0.∴x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥24＋1＝5.(当且仅当x －1＝4x －1.即x ＝3时“＝”号成立)∴x ＋4x －1的最小值为5.(2)∵x ≥4，∴x －1≥3.∵函数y ＝x ＋4x在[3，＋∞)上为增函数，∴当x －1＝3时，y ＝(x －1)＋4x －1＋1有最小值163.例3 设0<x <2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值 解析 ∵0<x <2，∴2－x >0，∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值为 2.变式训练 若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D. 52答案 B解析 ∵a >1，b >1，∴lg a >0，lg b >0. lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b )24＝(lg ab )24＝1.当且仅当a ＝b ＝10时取等号．解题要点 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． 题型三 利用1的代换求值例4 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．答案 4解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4， 即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 变式训练 已知x >0，y >0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y 的最小值为________．答案 18解析 ∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1，∴8x ＋2y ＝(8x ＋2y )(x ＋y )＝10＋8y x ＋2xy ≥10＋28y x ·2xy＝18. 当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y 时等号成立，∴当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y有最小值18.解题要点 解决这类条件最值问题通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．当堂练习1．若0<x <32，则y ＝x (3－2x )的最大值是( )A.916 B. 94 C ．2 D. 98答案 D2．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A. 72 B ．4 C. 92 D ．5 答案 C解析 依题意得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b )(a ＋b )＝12×[5＋(b a ＋4a b )]≥12×(5＋2b a ×4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4ab ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92.3. 已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A. 最大值为0B. 最小值为0C. 最大值为－4D. 最小值为－4 答案 C解析 ∵x <0，∴－x >0， ∴x ＋1x －2＝－(－x ＋1－x)－2≤－2(－x )·1－x－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立．4．已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝______.答案 36解析 ∵a >0，x >0，∴f (x )＝4x ＋ax≥24x ·ax＝4a ⎝⎛⎭⎫当且仅当4x ＝a x 即a ＝4x 2时等号成立，又x ＝3时函数取得最小值，∴a ＝4×9＝36. 5．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 答案 D解析 ∵1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ，∴2x ＋y ≤14，∴x ＋y ≤－2.课后作业一、 选择题1．若0＜x ＜1，则当f (x )＝x (4－3x )取得最大值时，x 的值为( ) A. 13 B. 12 C. 34 D. 23 答案 D解析 ∵0＜x ＜1，∴f (x )＝x (4－3x )＝13·3x (4－3x )≤13×⎝⎛⎭⎫3x ＋4－3x 22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取得“＝”，故选D 项．2．已知a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0，则ab 的最大值为( ) A.12 B.14 C ．1 D.18 答案 B解析 ∵ln(a ＋b )＝0，∴a ＋b ＝1，又a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14.3．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x >－1)的图象最低点的坐标为( )A. (1,2)B. (1，－2)C. (1,1)D. (0,2) 答案 D解析 y ＝(x ＋1)2＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1≥2，当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，y 最小值为2，故选D 项．4．若x ＞54，则f (x )＝4x ＋14x －5的最小值为( )A ．－3B ．2C ．5D ．7 答案 D 解析 f (x )＝4x ＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋5. ∵x ＞54，∴4x －5＞0，∴4x －5＋14x －5≥2.故f (x )≥2＋5＝7，等号成立的条件是x ＝32.5．已知a ，b 为正实数且ab ＝1，若不等式(x ＋y )(a x ＋by )>m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. [4，＋∞)B. (－∞，1]C. (－∞，4]D. (－∞，4) 答案 D解析 因为(x ＋y )(a x ＋b y )＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bxy 时等号成立，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可，正确选项为D.6．下列不等式：①a 2＋1>2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.7．(2015湖南文)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 答案 C解析 由条件1a ＋2b ＝ab 知a ，b 均为正数．因而可利用基本不等式求解．由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧1a ＝2b，1a ＋2b＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.8．若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A. 12 B. 2 3 C. 32 D. 6 答案 D解析 依题意得4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2,9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ×3y ＝232x ＋y ＝232＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，因此9x ＋3y 的最小值是6，选D.二、填空题9．已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.答案 36解析 因为x >0，a >0，所以f (x )＝4x ＋ax ≥24a ＝4a ，当且仅当4x ＝ax ，即a ＝4x 2时取等号．由题意可得a ＝4×32＝36.10． (2014年上海卷)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________． 答案 2 2解析 x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22·xy ＝22，当且仅当x 2＝2y 2时等号成立． 11．已知x >0，y >0，且3x ＋4y ＝12，则xy 的最大值为______． 答案 3解析 ∵12＝3x ＋4y ≥23x ·4y ，∴xy ≤3. 三、解答题12．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1＋1a )(1＋1b )≥9.证明 方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋ba ，同理，1＋1b ＝2＋a b，∴(1＋1a )(1＋1b )＝(2＋b a )(2＋a b )＝5＋2(b a ＋ab )≥5＋4＝9.∴(1＋1a )(1＋1b )≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．方法二 (1＋1a )(1＋1b )＝1＋1a ＋1b ＋1ab .由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，故(1＋1a )(1＋1b )＝1＋1a ＋1b ＋1ab≥9.13．(2015湖南理节选)设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b .证明：a ＋b ≥2；证明 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ，a ＞0，b ＞0，得ab ＝1.由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.。
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2、4 基本不等式及其应用
【教学目标】1、要求学生掌握2个基本不等式，算术平均数与几何平均数的意
义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。
2、运用“平均不等式”解决实际问题
【教学重点】1、基本不等式的证明
2、基本不等式的实际应用
【教学难点】基本不等式的灵活运用
【教学过程】
一、 新课引入
1、给一根长度给定的铁丝，围成的各种封闭图形中，何时面积最大？
2、如果长度为16，围成的的矩形中，何时面积最大？
二、 新课讲解
一、定理：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）
证明：222)(2b a ab b a -=-+
⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+
1．指出定理适用范围：R b a ∈,
2．强调取“=”的条件b a =
二、定理：如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 证明：∵
ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+ 即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab b a =+2
注意：1．这个定理适用的范围：+∈R a
2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
三、例题：
[例1]已知矩形周长为16，求何时可取得矩形面积的最大值，最大值为多少？ 解：设矩形两边长为a,b ，则a+b=8
∵a,b>0 ∴ab b a ≥+22162a b ab ab +⎛⎫⇒≤⇒≤ ⎪⎝⎭
当且仅当a=b=4时，等号成立
即：当矩形的长和宽等于4时（正方形），面积取得最大值为16
[说明]1、周长相等的矩形，其面积在正方形时面积最大；
2、2
2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
当两个正数的和为定值时，那么这两个数相等时他们的积最大 [例2]提问：面积相等的矩形中，正方形周长最小？
已知：a,b>0,且ab=S(S>0,S 为定值)
求：a+b 的最小值
解：a,b>0⇒ab b a ≥+2⇒ab b a 2≥+⇒a b +≥
当且仅当
[说明]
ab b a 2≥+当两个正数的积为定值时，那么这两个数相等时他们的和最小
[例3]1、已知：a,b>0,求证：2b a a b
+≥，并指出等号成立的条件 2、已知：ab>0（其实只要ab 同号就成立）
3、已知：ab<0,可得：2b a a b
+≤- 4、ab ≠0,就有2b a a b
+≥ [说明]对任意的实数x,都有(][)1,22,x x
+∈-∞-⋃+∞
[例4]求证:对任意实数a,b,c,有a2+b2+c2≥ab+bc+ca,
当且仅当a=b=c 时等号成立
拓展推广：(有兴趣的同学自学)
定理：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++
（当且仅当c b a ==时取“=”）
证明：∵
abc ab b a c b a abc c b a 333)(32233333---++=-++ )(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++=
]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++=
))((222ca bc ab c b a c b a ---++++=
])()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++=
∵+∈R c b a ,, ∴上式≥0 从而abc c b a 3333≥++
指出：这里+∈R c b a ,, ∵0<++c b a 就不能保证
推论：如果+
∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”）
证明：
3333333333)()()(c b a c b a ⋅⋅≥++⇒33abc c b a ≥++ ⇒33abc c b a ≥++
四、关于“平均数”的概念
1．如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：
n a a a n
+++ 21叫做这n 个正数的算术平均数
n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数
2．点题：算术平均数与几何平均数
3．基本不等式： n a a a n +++ 21≥n n a a a 2
1
n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,* 这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略） 语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
三、 课时小结
1、基本不等式，及其不同的前提条件
2、平均不等式的内涵：
当两个正数的和为定值时，那么这两个数相等时他们的积最大 当两个正数的积为定值时，那么这两个数相等时他们的和最小
3、灵活运用，变形运用
四、 家庭作业
【教学后记】。