2021届河北衡水密卷新高考原创预测试卷(七)理科数学

2021届河北衡水密卷新高考原创预测试卷（七）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，已知复数z 对应的点与复数1i +对应的点关于实轴对称，则zi=（ ） A. 1i + B. 1i -+C. 1i --D. 1i -【答案】C 【解析】 【分析】 先求出复数z,再求zi得解. 【详解】由题得z=1-i ,所以1i i i 11i 1i z +==---=-. 故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数除法的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2. 已知集合(){},|20A x y x y =+=，(){},|10B x y x my =++=.若A B =∅，则实数m =（ ） A. 2- B. 12-C.12D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据集合,A B 元素所表示的意义，以及集合,A B 关系，即可求解. 【详解】因为AB =∅，所以直线20x y +=与直线10x my ++=平行，所以12m =. 故选:C .【点睛】本题主要考查集合的概念与运算、解方程等基础知识，属于基础题. 3. 已知两个单位向量12,e e ，若()1212-⊥e e e ，则12,e e 的夹角为（ ） A.23π B.3π C.4π D.6π 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求出12e e ⋅，再由向量夹角公式，即可求解.【详解】因为()1212-⊥e e e ，所以()12102=-⋅e e e ，所以11222=⋅e e e ，所以12,cos e e <>=12，又因为[]12,0,e e π<∈>，所以12,e e π3<>=.故选:B .【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与夹角，意在考查逻辑推理，数学运算，属于基础题.4. 随机变量()2~,N ξμσ，若(1)0.3P ξ≤=，(15)0.4P ξ<<=，则μ=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性列方程，解方程求得μ的值. 【详解】由于随机变量()2~,N ξμσ，满足(1)0.3P ξ≤=，(15)0.4P ξ<<=，(5)10.30.40.3(1)P P ξξ≥=--==≤，根据正态分布的对称性可知1532μ+==. 故选：C【点睛】本小题主要考查正态分布的对称性，属于基础题. 5. 已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+满足88f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A. 2-B. 0D. 2【答案】B 【解析】 【分析】 由88f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知函数关于x ＝8π对称，根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可求ϕ，然后代入即可求解．【详解】解：由f （8π﹣x ）＝f （8π+x ）可知函数关于x ＝8π对称， 根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可知， 1,42k k Z πϕππ+=+∈,故33,2sin 04844k f k ππππϕππ⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B ．【点睛】本题主要考查了正弦函数的对称性的简单应用，属于基础试题． 6. 已知平面α⊥平面β，直线,m l ααβ⊂=，则“m l ⊥”是“m β⊥”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质定理和线面垂直的定义，即可得出结论. 【详解】若m l ⊥，则根据面面垂直的性质定理可得m β⊥； 若m β⊥，则由l β⊂，可得m l ⊥. 故选:C.【点睛】本题考查命题充要条件的判断，考查空间垂直间的关系，熟记定理是解题的关键，属于基础题. 7. 若)233131log ,,a b e c e -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A. a b c >>B. c a b >>C. a c b >>D.c b a >>【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数、对数函数、幂函数的单调性，即可比较,,a b c 的大小.【详解】)2133221a ==>=，1311331e 2e a c -⎛⎫==> ⎪⎭=⎝，所以1a c <<，33log e log 31b =<=，故c a b >>.故选;B .【点睛】本题主要考查指数、对数、幂的运算及性质等基础知识，注意与特殊数的对比，如“0”“1”等等，属于基础题.8. 若tan 3cos()2αα⎛⎫-=-π ⎪⎝⎭π，则cos2=α（ ）A. 1-B.79C. 0或79D. 1-或79【答案】D 【解析】用诱导公式结合同角间的商的关系，从已知等式可求出sin ,cos αα，即可求解. 【详解】由tan 3cos()2αα⎛⎫-=-π ⎪⎝⎭π得sin 23cos cos 2αααπ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以cos 3cos sin ααα=-，所以cos 0α=或1sin 3α=-，故2cos 22cos 11αα=-=-或2cos21279sin αα=-=. 故选:D .【点睛】本题主要考查三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算的数学核心素养，属于基础题.9. 已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅的最小值是（ ）A. 21-B. 2C. 0D. 1【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由题意得，设，,,又因为,所以222||||21PA PB PC CA x ⋅=-=+，所以PA PB ⋅的最小值为1，故答案选D.考点：1.圆的性质；2.平面向量的数量积的运算.10. 射线测厚技术原理公式为0tI I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A. 0.110 B. 0.112C. 0.114D. 0.116【答案】C【分析】根据题意知,010.8,7.6,2I t I ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可. 【详解】由题意可得,010.8,7.6,2I t I ρ===因为0t I I e ρμ-=, 所以7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114. 故选:C【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.11. 已知双曲线22221x y a b-=的右支与抛物线22x py =相交于,A B 两点，记点A 到抛物线焦点的距离为1d ，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为2d ，点B 到抛物线焦点的距离为3d ，且123,,d d d 构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（ ）A.2y x =±B. y =C. y =D.y x = 【答案】A 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，抛物线焦点为F ，由已知可得2AF BF p +=，根据抛物线定义可得12y y p +=，利用点差法可得()()1212122222y y y y py py a b-+-=，从而可求得渐近线方程．【详解】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，抛物线焦点为F ， 由已知有2AF BF p +=，即12y y p +=，由22112222222211x y a b x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，两式相减得()()2212121222y y y y x x a b -+-=， 即()()1212122222y y y y py py a b -+-=，故2212b a =，∴渐近线方程为2y x =±， 故选：A ．【点睛】本题主要考查抛物线的定义，考查双曲线的渐近线，考查推理能力与运算能力，属于中档题．12. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，用一平面截此棱柱与侧棱111,,AA BB CC 分别交于,,M N Q ，若MNQ ∆为直角三角形，则MNQ ∆面积的最小值为（ ）B. 3C. D. 6【答案】B 【解析】 【分析】由题意画出图形，以AC 中点O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系，设(0,1,),),(0,1,)M a N b Q c -，不妨设N 为直角，可得0MN QN ⋅=，写出三角形面积，再由基本不等式求最值．【详解】以AC 中点O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系，设(0,1,),),(0,1,)M a N b Q c -，不妨设N 为直角，(3,1,),(3,1,)MN b a QN b c =-=--，所以0MN QN ⋅=，()()20b a b c ∴--+=，即()()2b a bc --= 1||||2S MN QN∴=⋅= =()211642()()22b a bc ≥+⨯--+- 11616432=++= 故选：B.【点睛】本题考查平面的基本性质及推理，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13. 已知()525012512x a a x a x a x -=++++，则012345a a a a a a -+--+的值为__________. 【答案】243 【解析】 【分析】取1x =-代入即可得到结果. 【详解】令1x =-得：()501234512a a a a a a +=-+-+-，012345243a a a a a a ∴-+-+-=.故答案为：243.【点睛】本题考查与二项展开式各项系数和有关的计算，处理此类问题通常采用赋值法来进行求解.14. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()cos sin cos cos ,A C C B -=2,2a c ==C 大小为_____.【答案】6π 【解析】 【分析】根据三角形内角和以及诱导公式将B 转化为,A C ，利用两角和公式，可求出A ，再用正弦定理，即可求解.【详解】因为()cos sin cos cos ,A C C B -= 所以()()cos sin cos cos ,A C C A C -=-+所以cos sin sin sin ,A C A C =所以()sin cos sin 0,C A A -= 因为()0,,sin 0C C ∈π∴≠，所以cos sin A A =， 则tan 1A =，所以4A π=，又sin a A =1sin 2C =， 因为c a <，所以04C π<<，故6C π=.故答案为:6π. 【点睛】本题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，属于基础题.15. 高三年级有四个老师分别为a b c d ,,,，这四位老师要去监考四个班级,,,A B C D ，每个老师只能监考一个班级，一个班级只能有一个监考老师.现要求a 老师不能监考A 班，b 老师不能监考B 班，c 老师不能监考C 班，则不同监考方式有_________种.（用数字作答） 【答案】9 【解析】 【分析】在a 老师监考B 班或C 班和监考D 班两种情况下分别求得监考方式种数，根据分类加法计数原理可求得结果.【详解】若a 老师监考B 班或C 班，则共有：1236C =种监考方式； 若a 老师监考D 班，则共有：2213A +=种监考方式；由分类加法计数原理可知，不同的监考方式共有639+=种监考方式.故答案为：9.【点睛】本题考查排列组合的计数问题的求解，涉及到分类加法计数原理的应用，关键是能够根据限制条件进行准确分类. 16. 函数1()ln||1xf x a x x+=--有两个零点，则a 的取值范围是______. 【答案】(,2)(2,)-∞-+∞ 【解析】 【分析】令()0f x =，转化为1ln ,1xy y a x x+==-的图象有两个交点，结合导数与切线，求得a 的取值范围. 【详解】由101x x +>-解得()f x 的定义域为()1,1-.令()0f x =，得1ln 1xa x x +=-，依题意 1ln ,1x y y a x x +==-的图象有两个交点.令()()1ln 111x g x x x+=-<<-，则()()11ln ln 11x xg x g x x x-+-==-=-+-，所以()g x 是奇函数，且()()122ln ln 111x g x x x --+⎛⎫⎛⎫==-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭在区间()1,1-上递增，且()00g =.当0a =时，()1ln,01xg x y x+==-，只有一个交点()0,0，不符合题意. 当0a >时，画出图象如下图所示，()()()()'11ln 1ln 1,11g x x x g x x x=+--=++-，所以()'11021010g =+=+-，即()g x 在0x =处切线的斜率为2，切线方程为2y x =.要使()1ln ,1xg x y a x x +==-的图象有两个交点，则需2a >.同理，当0a <时，()g x 在0x =处切线的斜率为2，切线方程为2y x =，要使()1ln,1xg x y a x x+==-的图象有两个交点，则需2a <-. 综上所述，实数a 的取值范围是(,2)(2,)-∞-+∞. 故答案为：(,2)(2,)-∞-+∞【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知数列{}n a 满足12a =，()()1121n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若2n bn c n =-，求数列{}n c 的前n 项和.【答案】（1）2n b n =；（2）1244323n n n ++-- 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义，可得{}n b 是等差数列，进而求出通项公式；（2）由已知求出{}n c 的通项公式，根据通项公式的特征分组求和，转化为求等差数列和等比数列的前n 项和.【详解】方法一：（1）因为nn a b n=且()()1121n n na n a n n +-+=+， 所以1121n nn n a a b b n n++-=-=+， 又因为112b a ==，所以{}n b是以2为首项，以2为公差的等差数列. 所以()2212n b n n =+-=.（2）由（1）及题设得，224n n n c n n =-=-， 所以数列{}n c 的前n 项和()()()1241424nn S n =-+-+⋅⋅⋅+-()()1244412n n =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+()1444142n n n +-⨯=-- 1244323n n n ++=--. 方法二：（1）因为nn a b n=，所以n n a nb =， 又因为()()1121n n na n a n n +-+=+，所以()()()11121n n n n b n nb n n ++-+=+， 即12nnb b ，又因为112b a ==，所以{}n b 是以2为首项，以2为公差的等差数列. 所以()2212n b n n =+-=. （2）略，同方法一.【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，注意辅助数列的应用，属于中档题. 18. 为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a 的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？参考公式及数据：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++. 3.841【答案】（1）0.025a =，74.5分；（2）表格见解析，有 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1，求出a ，按照平均数公式，即可求解；（2）由频率直方图求出，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的人数，补全列联表，求出2K 的观测值，结合提供数据，即可得出结论.【详解】（1）由题可得()0.0050.0100.0200.0300.010101a +++++⨯=， 解得0.025a =.因为450.05550.1650.2750.3850.25950.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯74=， 所以估计这100名学生的平均成绩为74.5分（2）由（1）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有()1000.250.11000.3535⨯+=⨯=人，由此可得完整的22⨯列联表： 优秀 非优秀 合计男生 10 40 50 女生 252550合计 3565100∵2K的观测值()2100102525409009.890 6.6353565505091k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， ∴有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”.【点睛】本题主要考查概率与统计等基础知识，意在考查数学建模、数学抽象、数学运算、数据分析的数学核心素养，属于基础题. 19. 在底面为菱形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，111,60,2,A B A D BAD AB AA =∠==︒=,A CO A BD O =⊥平面1A BD .（1）证明：1B C 平面1A BD ；（2）求二面角1B AA D --的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）437【解析】 【分析】（1）由已知可证11B C A D ∥，即可证明结论；（2）根据已知可证1A O ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，求出1,,,A A B D 坐标，进而求出平面1A AB 和平面1A AD 的法向量坐标，由空间向量的二面角公式，即可求解. 【详解】方法一：（1）依题意，11//,A B AB 且//,AB CD ∴11//A B CD ， ∴四边形11A B CD 是平行四边形，∴11BC AD ∥， ∵1B C ⊄平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ， ∴1B C平面1A BD .（2）∵AO ⊥平面1A BD ，∴1AO A O ⊥，∵11A B A D =且O 为BD 的中点，∴1AO BD ⊥， ∵AO BD ⊂、平面ABCD 且AO BD O =，∴1A O ⊥平面ABCD ，以O 为原点，分别以1,,OA OB OA 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则)3,0,0A，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()10,0,1A ，∴()()()13,0,13,1,,0,3,1,0,AB AA AD =-=-=-- 设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，则1n AA n AB ⎧⊥⎨⊥⎩，∴3030x z x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则(1,3,3n =.设平面1A AD 的法向量为()111,,m x y z =，则1n AA n AD ⎧⊥⎨⊥⎩，∴3030x z x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，取1x =，则(1,3,3m =-.∴1cos ,77m n m n m n⋅<>===⨯⋅，设二面角1B AA D --的平面角为α，则sin α=，∴二面角1B AA D --的正弦值为7. 方法二：（1）证明：连接1AB 交1A B 于点Q ，因为四边形11A B BA 为平行四边形，所以Q 为1AB 中点， 又因为四边形ABCD 为菱形，所以O 为AC 中点， ∴在1AB C 中，1,OQ B C ∥且112OQ B C =， ∵OQ ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ， ∴1B C平面1A BD（2）略，同方法一.【点睛】本题主要考查线面平行的证明，考查空间向量法求面面角，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养，属于中档题.20. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0a b ＞＞)，以C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切.（1）求C 的方程；（2）直线y x m =+交C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x >.已知l 上存在点P ，使得PMN 是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，若P 在直线MN 的右下方，求m 的值.【答案】（1）2213x y +=；（2）1- 【解析】 【分析】（1）由C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切求出b ，再由离心率和,,a b c 关系，可求出椭圆标准方程；（2）将直线y x m =+与椭圆方程联立，消元整理，由根与系数关系，得到12,,x x m 的两个关系式，再从已知条件寻找12,,x x m 第三个等量关系，根据已知结合平面图形，可得NP x ∥轴，过M 作NP 的垂线，垂足为Q ，则Q 为线段NP 的中点，得()12,Q x y ，进而有()1222,P x x y -，代入直线l 方程，得到12,,x x m 等量关系，求解关于12,,x x m 方程组，即可求出m .【详解】（1）依题意，1b ==，因为离心率3c e aa ===，=，解得a =所以C 的标准方程为2213x y +=.（2）因为直线y x m =+的倾斜角为45︒， 且PMN 是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，P 在直线MN 的右下方，所以NP x ∥轴，过M 作NP 的垂线，垂足为Q ，则Q 为线段NP 的中点， 所以()12,Q x y ，故()1222,P x x y -，所以()12232450x x y -+-=，即()()12232450x x x m -++-=， 整理得126450x x m ++-=.①由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246330x mx m ++-=. 所以223648480m m ∆=-+>，解得22m -<<， 所以1232x x m +=-，② ()212314x x m =-，③ 由①-②得，112mx =-，④ 将④代入②得21x m =--，⑤将④⑤代入③得()()()3111124mm m m⎛⎫-+=-+⎪⎝⎭，解得1m=-.综上，m的值为1-.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，直线和圆的位置关系等基础知识，意在考查数学运算和逻辑推理，属于中档题.21. 已知函数()()2lnf x x x ax a R=-∈.（1）若函数()f x有两个极值点，求a的取值范围；（2）若()()g x f x x=-两个极值点12,x x，试判断12x x+与12x x⋅的大小关系并证明.【答案】（1）10,2⎛⎫⎪⎝⎭；（2）1212x x x x+<，证明见解析【解析】【分析】（1）利用函数有两个极值点可知()0f x'=在()0,∞+上有两个不等实根，将问题转化为2y ax=与()ln1g x x=+在()0,∞+有两个不同的交点的问题，通过数形结合的方式确定相切为临界状态，进而利用过某点处切线的求解方法可求得结果；（2）根据12,x x为()0g x'=的两根可得到1122ln2ln2x axx ax=⎧⎨=⎩，设12x x>，则121xtx=>，由方程组可求得ln12ttx e-=，将12x x+与12x x⋅的大小比较问题转化为比较1211,1x x+的大小关系，进一步将问题化为比较()()1ln1ln,0t t t t-+-大小关系，设()()()1ln1lnm t t t t t=-+-，利用导数可求得()0m t<，进而得到结论.【详解】（1）由题意得：()f x定义域为()0,∞+，()ln12f x x ax'=+-，()f x有两个极值点，()0f x'∴=在()0,∞+上有两个不等实根，令()ln1g x x=+，则2y ax=与()g x在()0,∞+有两个不同的交点，当y kx =与()g x 相切时，设切点为()00,ln 1x x +， 则()0000ln 11x g x k x x +'===，解得：011x k =⎧⎨=⎩， 则当021a <<时，2y ax =与()g x 在()0,∞+有两个不同的交点，10,2a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭， 即当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 有两个极值点. （2）1212x x x x +<，证明如下：由题意得：()1ln 21ln 2g x x ax x ax '=+--=-， 12,x x 为()0g x '=的两个根，不妨设12x x >，则121x t x =>， 则11122212ln ln 2ln ln 2ln ln ln x t x ax x x ax x x t⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=+⎩，解得：ln 122ln ln 1t t tx x e t -=⇒=-，要考虑1212,x x x x +大小关系即考虑1211,1x x +的大小关系，即考虑211,1t x t +⨯的大小关系即考虑ln 11,1t t t e t--+⨯的大小关系， 即考虑ln 1+ln ,01t tt t+--的大小关系即()()1ln 1ln ,0t t t t -+-的大小关系， 令()()()1ln 1ln m t t t t t =-+-，则()()212ln 1ln ln 111m t t t t t t ⎛⎫'=+--=+- ⎪++⎝⎭， 由()ln 1x x ≤+知：()()121011t m t t t t t -'≤-=<++，()m t ∴在()1,+∞上单调递减，()()10m t m ∴<=，即12111x x +<， 1212x x x x ∴+<.【点睛】本题考查根据导数极值点的个数求解参数范围和比较大小的问题；构造函数比较大小的关键是能够通过引入第三变量，将双变量问题转化为单变量问题，进而通过构造函数将问题转化为函数最值的求解问题，从而利用导数求解函数的最值得到大小关系.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）写出1C 的极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为(4,0)，射线04πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭分别交1C ，2C 于A ，B 两点（异于极点），当4AMB π∠=时，求tan α.【答案】（1）4cos ρθ=（2）1tan 2α= 【解析】 【分析】（1）利用22sin cos 1ϕϕ+=，消去1C 的参数将1C 的参数方长化为普通方程，再根据直角坐标和极坐标转换公式，转化为极坐标方程.（2）将射线θα=分别于12,C C 的极坐标方程联立，求得,A B 两点对应的12,ρρ，由此求得AB 的表达式，求得AM 的表达式，根据||||AB AM =列方程，由此求得tan α的值.【详解】（1）∵22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ参数） ∴曲线1C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-=∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴24cos 0ρρθ-= ∴曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=（2）依题意设()1,A ρθ，()2,B ρθ，∴由4cos θαρθ=⎧⎨=⎩得14cos ρα=.由4sin θαρθ=⎧⎨=⎩得24sin ρα=. ∵04πα<<，∴12ρρ>.∴12||||||4cos 4sin AB OA OB ρραα=-=-=-.∵OM 是圆1C 的直径，∴2OAM π∠=.∴在直角Rt OAM ∆中，||4sin AM α=∵直角Rt BAM ∆中，4AMB π∠=∴||||AB AM =，即4cos 4sin 4sin ααα-=∴4cos 8sin αα=，即1tan 2α=.【点睛】本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等知识；考查运算求解能力；考查数形结合、函数与方程思想.23. 已知0,0,0a b c ＞＞＞，且2a b c ++=.（1）求2a b c ++的取值范围；（2）求证：14918a b c++≥.【答案】（1）7,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由条件等式将b c +用a 表示，再从0,0,0a b c ＞＞＞，进一步求出a 的范围，将问题转化为求二次函数的取值范围，二次函数配方，即可求解；（2）根据已知条件转化证明149()36a b c a b c ++++≥，利用基本不等式即可得证. 【详解】（1）依题意，20a b c -=+＞，故02a ＜＜.所以()22217224a b c a a a ⎛⎫++=+-=-+ ⎪⎝⎭， 所以()22722244a b c +++-=≤＜，即2a b c ++的取值范围为7,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭. （2）因为0,0,0a b c ＞＞＞，所以()149494914b a c a c b a b c a b c a b a c b c ⎛⎫++++=++++++ ⎪⎝⎭14+≥，1436+= 当且仅当12,,133a b c ===时，等号成立， 又因为2a b c ++=， 所以14918a b c++≥. 【点睛】本题主要考查配方法、基本不等式和不等式证明等基础知识，解题中注意应用条件等式，属于中档题.。