12年高考真题——理科数学(湖北卷)
2012湖北卷高考理科数学
8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆.在扇形OAB
内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A． B．
C． D．
9．函数 在区间 上的零点个数为
A．4B．5
C．6D．7
10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 ，求其直径 的一个近似公式 .人们还用过一些类似的近似公式.根据 判断，下列近似公式中最精确的一个是
.③
依题意，由点 在第一象限可知，点 也在第一象限，且 ， 不重合，
故 .于是由③式可得
.④
又 ， ， 三点共线，所以 ，即 .
于是由④式可得 .
而 等价于 ，即 ，又 ，得 ，
故存在 ，使得在其对应的椭圆 上，对任意的 ，都有 .
22.：（Ⅰ） ，令 ，解得 .
当 时， ，所以 在 内是减函数；
当 时， ，所以 在 内是增函数.
作 的垂线交 于点C，则CD的最大值为.
16．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴
建立极坐标系.已知射线 与曲线 （t为参数）
相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为.
三、解答题
17．（本小题满分12分）
已知向量 ， ，设函数 的图象关于直线 对称，其中 ， 为常数，且 .
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
（一）必考题（11—14题）
2012年湖北高考理科数学试题(解析版)
由折起前 知，折起后（如图2）， ， ，且 ，
所以 平面 ．又 ，所以 ．于是
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故当 ，即 时,三棱锥 的体积最大．
解法2：
同解法1，得 ．
令 ，由 ，且 ，解得 ．
当 时， ；当 时， ．
所以当 时， 取得最大值．
故当 时,三棱锥 的体积最大．
解析：令 ，扇形OAB为对称图形，ACBD围成面积为 ，围成OC为 ，作对称轴OD，则过C点。 即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积， 。在扇形OAD中 为扇形面积减去三角形OAC面积和 ， ， ，扇形OAB面积 ，选A.
9．函数 在区间 上的零点个数为
A．4B．5
C．6D．7
考点分析：本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.
考点分析：本题考查排列、组合的应用.
难易度：★★
解析：（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有 种。
答案：90
（Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数。2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为 .
（Ⅱ）由概率的加法公式，
又 .
由条件概率.
21．（本小题满分13分）
设 是单位圆 上的任意一点， 是过点 与 轴垂直的直线， 是直线 与 轴的交点，点 在直线 上，且满足 .当点 在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线 ．
2012年理数高考试题答案及解析-湖北-(7539)
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试卷解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1．方程2 6 13 0x x 的一个根是 A ． 3 2i B ．3 2iC ． 2 3iD ．2 3i考点分析： 本题考察复数的一元二次方程求根 .难易度 ：★解析： 根据复数求根公式：26 6 13 4 x 3 2i ，所以方程的一个根为3 2i2答案为 A.2．命题“ x 0 e R Q ， 3x Q ”的否定是0 A ． x 0 e R Q ， 3x Q B ． x 0 e R Q ，0 3xQ 0 C ． x e R Q ，3x Q D ． x e R Q ， 3x Q考点分析： 本题主要考察常用逻辑用语，考察对命题的否定和否命题的区别 . 难易度 ：★ 解析： 根据对命题的否定知， 是把谓词取否定， 然后把结论否定。
因此选 D y1 1 3．已知二次函数 y f (x) 的图象如图所示，则它与 x 轴所围图形的面积为1 O x1A ．2π 5 B ． 4 3第3 题图 11 C ．3 2D ．π2考点分析： 本题考察利用定积分求面积 . 难易度 ：★ 4解析： 根据图像可得：2 y f ( x) x1，再由定积分的几何意 24 义，可求得面积为114 23 1 S( x 1)dx ( x x). 11332 正视图2 侧视图4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．8π3B．3π俯视图第 1 页共 15 页第 4 题图C ．10π3D． 6π考点分析：本题考察空间几何体的三视图.难易度：★解析：显然有三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2 的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选B.5．设a Z ，且0 a 13，若2012 51 a 能被13 整除，则aA．0 B．1C．11 D．12考点分析：本题考察二项展开式的系数.难易度：★解析：由于2012 C0 2012 C1 2011 C2011 1 , 51=52-1，(52 1) 52 52 ... 52 12012 2012 2012 又由于13|52,所以只需13|1+a，0≤a<13, 所以a=12选D.6．设a,b, c, x, y, z是正数，且2 2 210a bc ，2 2 2 40x y z ， ax by cz 20 ，则a b cx y zA．14 B．13C．12 D．34考点分析：本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.难易度：★★解析：由于(22 )( 2 2 2 )( )22a b c x y z ax by cza b c等号成立当且仅当t,x y z2 x2 y2 z2则a=t x b=t y c=t z ，t ( ) 10a b c a b c a b c所以由题知t 1/ 2 , 又, 所以t 1/ 2，答案选C.x y z x y z x y z7．定义在(,0) (0, )上的函数 f (x) ，如果对于任意给定的等比数列{a } ，{ f (a )} 仍n n是等比数列，则称f ( x) 为“保等比数列函数”.现有定义在(,0) (0, ) 上的如下函数：① 2 xf (x) x ；②f (x) 2 ；③f (x) | x |；④f(x) ln | x|.第2页共15 页则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为A．①②B．③④C．①③D．②④考点分析：本题考察等比数列性质及函数计算.难易度：★解析：等比数列性质，22 2 2 2 2a n a a ，① f a n f a a a a f a1 ；n2 n 1 n 2 n n 2 n 1n②f a a a a 2a 2a n f a 2 2 2 2 2 f a nn n n1 ；③n n 2n 2 12 2f a n f a a a a f a ；n 2 n n 2 n 1n 1④ 2 2f n f a a a a f a .选Ca 2 ln n ln n ln n nn 2 1 18．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA，OB 为直径作两个半圆. 在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A． 1 2πB．1 12 πC．2πD．1π考点分析：本题考察几何概型及平面图形面积求法. 难易度：★解析：令OA 1，扇形 OAB 为对称图形， ACBD 围成面积为S ，围成 OC 为S2 ，1作对称轴OD，则过 C 点。
2012年湖北高考数学(理)解答题详解
解出：
������ = −1，������ = 3 ������������ = 3������ − 7 ������2 ，������3 ，������1 = −1，2， − 4 或 ������ = −1，������ = −3 ������������ = −3������ + 5 ������2 ，������3 ，������1 = −1， − 4，2
解：(I) 设 ������������ 的长度为 ������，那么BD = 3−������，������D = CD = ������ 1 1 1 1 2 V= SΔBCD ⋅ AD= ������ ⋅ ������(3−������)= ������ (3−������) 3 3 2 6 ������ 2 (3−������)= 于是 1 1 (������+������+6−2������) ������ ⋅ ������ ⋅ (6−2������) ≤ =36 2 2 3 ⋅ 36=6，当 x=6−2������ 即 ������=2 时取等号，
5 ������ ������ 2������������������( × − ) + ������ = 0 3 4 6
������ = − 2
5 ������ ������(������) = 2������������������( ������ − ) − 2 3 6 3������ ������ ∈ [0, ] 5 5 ������ ������ 5������ ������ − ∈ [− , ] 3 6 6 6 ������(������) ∈ [−1 − 2, 2 − 2] 5 ������ 1 ������������������( ������ − ) ∈ [− , 1] 3 6 2
2012年湖北高考数学理科试卷(带详解)
2012年湖北高考数学理科试卷(带详解)2012湖北高考理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．方程2+6+13=0x x 的一个根是 （ ）A ．3+2i -B ．3+2i C ．22i -+ D ．2+2i【测量目标】复数的一元二次方程求根. 【考查方式】给出一元二次方程，由求根公式求出它的根. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】根据复数求根公式：26613432i2x --⨯==-±，所以方程的一个根为32i -+，答案为A. 2．命题“300x x ∃∈∈R Q Q，”的否定是（ ） A ．300x x ∃∉∈RQ Q， B ．300x x ∃∈∉RQ Q，C ．30x x ∀∉∈R Q Q，D ．300x x ∀∈∉RQ Q，【测量目标】常用逻辑用语，含有一个量词的命题的否定.【考查方式】给出了存在性命题，根据逻辑用语写出命题的否定.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定因此选D.3．已知二次函数=()y f x的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为（）第4题图A．2π5B. 43C．32D．π2【测量目标】定积分的几何意义.【考查方式】给出了二次函数的图象，求出函数解析式，由定积分的几何意义可求得面积.【难易程度】容易一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选B. 5．设a ∈Z ，且013a <，若201251a+能被13整除，则a =（ ）A ．0B ．1C ．11D ．12 【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式，根据其展开式的系数求解.【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】由于51=52-1，2012020121201120111201220122012(521)C 52C 52C 521-=-+-+…又由于13|52,所以只需13|1+a ，0a ＜13,所以a =12选D.6．设,,,,,a b c x y z 是正数，且222++=10a b c ，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b cx y z++=++（ ）A ．14B ．13C ．12D ．34【测量目标】不等式的基本性质.【考查方式】给出含未知量的3个方程，根据柯西不等式的使用及其去等条件可得出答案. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】由于2222222()()()a b c x y z ax by cz ++++++等号成立当且仅当ab ct x y z===，则a tx b ty c tz ===，，， 2222()10t x y z ++=（步骤1）所以由题知12t =,又a b c a b cx y z x y z++===++（步骤2）, 所以12a b c t xy z ++==++，答案选C.（步骤3） 7．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}na ，{}()nf a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数：①2()f x x =； ②()2xf x =； ③()f x x=；④()ln f x x =.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ）A ．① ② B．③④C ．① ③D ．② ④ 【测量目标】等比数列性质及函数计算. 【考查方式】给出了保等比数列的定义，判断所给4个函数是否为保等比数列. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】等比数列性质，221n n n a a a ++=，①222222211()()()()nn n n n n f a f aa a a f a ++++=== （步骤1） 2212221()()2222()n n n n n a a a a a n n n f a f a f a ++++++==≠=②（步骤2） ()222211()()()n n n n n n f a f a a a a f a ++++===③（步骤3）2221()()=ln ln ()n n n n n f a f a a a f a +++≠④选C.（步骤4）8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 （ ）A ．21π-B ．112π- C ．2π D ．1π第8题【测量目标】几何概型及平面图形面积公式. 【考查方式】给出扇形根据面积公式求出扇形面积以及阴影部分的面积，算出他们的比值即为概率. 【难易程度】中等【参考答案】A 【试题解析】令1OA =，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为1S ，围成OC 为2S ，作对称轴OD ，则过C 点.2S 即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积， （步骤1）221111π2π122228S -⎛⎫=-⨯⨯=⎪⎝⎭.在扇形OAD 中12S 为扇形面积减去三角形OAC 面积和22S ，21211π2π(1)284216S S -=--=，12π24S S -+=，扇形OAB 面积1π4S =， 选A.（步骤2）第8题图9．函数2()cos f x x x =在区间[]0,4上的零点个数为（ ）A ．4B ． 5C ．6D ．7【测量目标】三角函数的周期性以及函数零点的判断.【考查方式】给出复合函数，根据函数周期性确定其在区间类的零点个数. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】()0f x =，则0x =或2cos 0x=，2ππ+,2xk k =∈Z又[]0,4x ∈，0,1,2,3,4k =所以共有6个解.选C.10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式3169d V ≈人们还用过一些类似的近似公式. 根据π=3.14159...判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ） A ．3169d V ≈B ．32d V≈C ．3300157d V ≈D ．32111d V ≈【测量目标】球的体积公式以及估算. 【考查方式】根据球的体积估算圆周率. 【难易程度】中等 【参考答案】D 【试题解析】由34π32d V ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得36πV d =，设选项中常数为ab ，则6π=b a （步骤1）；A 中代人得69π 3.37516⨯==，B 中代入得6π32==，C 中代入得π61573.14300⨯==，D 中代人得611π= 3.142857,21⨯=由于D 中值最接近π的真实值，故选D.（步骤2） 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若()()a b c a b c ab+-++=，则角C = ．【测量目标】余弦定理，解三角形.【考查方式】给出三角形的各边关系，利用余弦定理求出角C . 【难易程度】容易 【参考答案】120【试题解析】由()(+)a b c a b c ab +--=，得222ab c ab+-=-根据余弦定理2221cos ,222a b c ab C ab ab +-==-=-故120C ∠=.12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s = .第12题图 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序框图，通过输入、赋值、输出语句，得出满足条件的s . 【难易程度】容易 【参考答案】9【试题解析】程序在运行过程中各变量的值如下表示：第一圈循环：当n=1时，得s=1，a=3.（步骤1）第二圈循环: 当n=2时，得s=4，a=5 （步骤2）第三圈循环：当n=3时，得s=9，a=7 （步骤3）此时n=3，不再循环，所以解s=9 . （步骤4）13．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，...，99．3位回文数有90个：101，111，121， (191)202，…，999．则（Ⅰ）4位回文数有个；（Ⅱ）21()+∈N位回文数有个．n n+【测量目标】排列、组合及其应用.【考查方式】根据回文数的定义求出4位回文数以及21()+∈N回文数的个数.n n+【难易程度】较难【参考答案】（I）90；（II）910n⨯【试题解析】（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有91090⨯=种，答案：90. （Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，2n +1位回文数和2n +2位回文数的个数相同，所以可以算出2n +2位回文数的个数.2n +2位回文数只用看前n +1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n 项每项有10种情况，所以个数为910n⨯.法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数.计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,……99”，因此四位数的回文数有90个,按此规律推导22102nn s s =-,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数，因21210n nss +=,则答案为910n⨯.14．如图，双曲线22221(,0)x y a b a b-=＞的两顶点为12A A ，虚轴两端点为12B B ，两焦点为12F F ，. 若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为,,,A B C D . 则第14题图（Ⅰ）双曲线的离心率e = ；（Ⅱ）菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S的比值12SS = .【测量目标】双曲线的标准方程、定义、离心率，以及一般平面几何图形的面积计算.【考查方式】给出了双曲线和平面几何图形的位置关系求出离心率，根据面积公式求出面积比. 【难易程度】较难 【参考答案】（I ）51e +=，（II ）1225SS+=【试题解析】（Ⅰ）由于以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，因此点O 到直线22F B 的距离为a ，又由于虚轴两端点为12B B ，，因此2OB 的长为b ，那么在22F OB △中，由三角形的面积公式知，2222111222bc a B F a b c ==+1），又由双曲线中存在关系222ca b =+联立可得出222(1)ee -=，根据(1,)e ∈+∞解出51e +=（步骤2）（II ）菱形1122F B F B 的面积12S bc =，设矩形ABCD ，2BC m =，2BA n =∴m c n b=（步骤3），∵222m n a +=，∴2222m n b c b c ==++步骤4) ∴面积222244a bcS mn b c==+，∴221222S b c S a +=（步骤5）∵222bc a =-∴12252SS+=（步骤6）.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，点D 在O 的弦AB 上移动，4AB =，连接OD ，过点D作OD 的垂线交O 于点C ，则CD 的最大值为 .第15题图 【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】根据直线与圆的位置关系，判断点D 的位置从而求出线段最大值. 【难易程度】容易 【参考答案】2【试题解析】（由于OD CD ⊥,因此22CD OC OD =-线段OC 长为定值，即需求解线段OD 长度的最小值，根据弦中点到圆心的距离最短，此时D 为AB 的中点，点C与点B 重合，因此122CD AB == 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线π4θ=与曲线21(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为 . 【测量目标】平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点.【考查方式】给出了两曲线的极坐标方程，将它们化为一般方程并求出交点. 【难易程度】中等【参考答案】55(,)22 【试题解析】π4θ=在直角坐标系下的一般方程为()y x x =∈R ，将参数方程21(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）转化为直角坐标系下的一般方程为222(1)(11)(2)y t x x =-=--=-表示一条抛物线（步骤1），联立上面两个方程消去y 有2540xx -+=，设A B，两点及其中点P 的横坐标分别为0ABx x x 、、（步骤2），则有韦达定理0522A B x x x+==,又由于点P 点在直线y x=上，因此AB 的中点P 55(,)22.（步骤3） 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量(cos sin sin )x x x ωωω=-，a ，(cos sin ,23cos )x x x ωωω=--b ，设函数()()f x x λ=+∈R a b 的图象关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且1(,1)2ω∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π,04⎛⎫⎪⎝⎭，求函数()f x 在区间3π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围.【测量目标】平面向量的数量积运算，三角函数的变换及化简.【考查方式】求出函数解析式，根据三角变换求得最小正周期和在特定区间类函数的取值范围.【难易程度】容易【试题解析】（I ）因为22()sin cos cos f x x x x ωωωλ=-+cos23sin 2.x x ωωλ=-+π2sin(2)6x ωλ=-+（步骤1）.由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可πsin(2π)16ω-=±，所以ππ2ππ+()62k k ω-=∈Z ，即1().23k k ω=+∈Z 又1(,1)2k ω∈∈Z ，，所以k =1，故56ω=，所以()f x 的最小正周期为6π5.（步骤2）（II ）由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π()04f =，（步骤3）即5πππ2sin()2sin 2,6264λ=-⨯-=-=-即2λ=- 故5π()2sin()2,36f x x =--（步骤4）由3π0,5x有π5π5π,6366x --所以15πsin()1236x --，得5π122sin()222,36x ----故函数()f x 在3π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围为12,22⎡---⎣.（步骤5）18．（本小题满分12分）已知等差数列{}na 前三项的和为3-，前三项的积为8.（Ⅰ）求等差数列{}na 的通项公式；（Ⅱ）若2a ，3a ，1a 成等比数列，求数列{||}na 的前n 项和.【测量目标】等差数列的通项，前n 项和. 【考查方式】由等差数列的前三项和以及积的大小求出通项，由前三项成等比关系求出新数列的前n 和. 【难易程度】容易【试题解析】（I ）设等差数列{}na 的公差为d ，则21aa d=+，312aa d=+.有题意得1111333()2a d a a d a d +=-⎧⎨++⎩（）=8解得123a d =⎧⎨=-⎩或143a d =-⎧⎨=⎩（步骤1）所以由等差数列通项公式可得23(1)35,n a n n =--=-+或43(1)37.nan n =-+-=-故35,nan =-+或37.nan =-（步骤2）（II ）当35na n =-+时，231,,a a a 分别为1,4,2--,不成等比数列. 当37na n =-时，231,,a a a 分别为1,2,4,--成等比数列，满足条件.故37,1,237.37,3nn n an n n -+=⎧=-=⎨-⎩（步骤3）记数列{}na 的前n 项和为nS .当n =1时，114;S a ==当n =2时，2125;S a a =+=当n 3，234...5(337)(347) (37)n n S S a a a n =++++=+⨯-+⨯-++-=[]2(2)2(37)311510.222n n n n -+-+=-+当2n =时，223112210522S=⨯-⨯+=综上，24131110,122n n S n n n =⎧⎪⎨-+⎪⎩，＞.（步骤4）19．（本小题满分12分）如图1，45ACB ∠=，3BC =，过动点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD折起，使90BDC ∠=（如图2所示）．（Ⅰ）当BD 的长为多少时，三棱锥A BCD -的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥A BCD -的体积最大时，设点E ，M分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN与平面BMN 所成角的大小．图1图2第19题图【测量目标】三棱锥的体积公式，均值不等式求最值，利用导数求函数的最值，空间直角坐标系的建立，平行与垂直关系的综合应用.【考查方式】给出了空间几何体的边、角等，通过均值不等式或者导数求出体积的最大值，利用空间向量或者垂直与平行关系求得线面角的大小.【难易程度】中等【试题解析】（I ）解法1：在如图1所示的△ABC 中，设BD =x (03)x ＜＜，则3CD x =-.由,45AD BC ACB ⊥∠=知，△ADC 为等腰直角三角形，所以AD =CD =3x -.（步骤1）由折起前AD ⊥平面BCD .又90BDC ∠=,所以11(3).22BCD S BD CD x x ==-△于是1111(3)(3)2(3)333212A BCD BCD V AD S x x x x x x -==--=-△（-）312(3)(3)21233x x x +-+-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦当且仅当23,x x =-即当x =1时，等号成立， 故当x =1，即BD =1时，三棱锥A BCD -的体积最大.（步骤2） 解法2：同解法1，得321111=(3)(3)(69).3326A BCD BCD V AD S x x x x x x -=--=-+△（步骤1）令321()(69),6f x x x x =-+由1()(1)(3)02f x x x '=--=，03,x ＜＜解得x =1.当(0,1)x ∈时，()0;f x '＞当(1,3)x ∈时，()0f x '＜. 所以当x =1，()f x 取1得最大值.故当BD =1时，三棱锥A BCD -的体积最大.（步骤2）(II)解法1：以D 为原点，建立如图a 所示的空间直角坐标系D xyz -.由（I ）知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，1,2BD AD CD ===.于是可得1(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1),(,1,0)2D B C A M E且(1,1,1).BM =-（步骤3）设1(0,,0),=2N EN λλ则（-,-1,0）.因为EN BM ⊥等价于0EN BM =,即111022λλ+-=（-,-1,0）(-1,1,1)=，故11,(0,,0)22N λ=（步骤4）所以当DN =12（即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点）时，EN BM ⊥.设平面BMN 的一个法向量为n(,,),x y z =由BNBM⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n ，及1(1,,0),2BN =- 得2y x z x=⎧⎨=-⎩可取(1,2,1)=-n .（步骤5）3cos EN <>=，n即EN 与平面BMN 所成角的大小60.（步骤6）第19题图a解法2：由（I）知，当三棱锥A BCD-的体积最大时，1, 2.===（步骤3）BD AD CD如图b,取CD的中点F，连接,MF BF,EF,则MF AD.由（I）知AD⊥平面BCD，所以MF⊥平面BCD.（步骤4）如图c，延长FE至P点使得FP=DB，连接BP,DP，则四边形DBPF为正方形，所以.⊥取DF得中点N，连接EN，又DP BFE为FP的中点，则EN DP，所以.⊥因为MF⊥平面BCD，又EN⊂面EN BFBCD，所以MF EN⊥.又=MF BF F，因为MF∈面BMF，所以EN⊥BM..因为EN BM⊥当且仅当,⊥而点F是唯一EN BF的，所以点N是唯一的.即当1DN=(即N是CD的靠近点D的一个2四等分点)，EN BM⊥.连接MN，ME，由计算得NB=NM=EB=EM5所以△NMB与△EMB是两个共底边的全等的等腰三角形，（步骤5）如图d.BM EGN⊥平面在平面EGN中，过点E作EH GN⊥于H,则EH⊥平面BMN.故ENH∠是EN与平面BMN所成的角.，所在△EGN中，易得EG=GN=NE=22以△EGN是正三角形，故=60EGN∠，即EN与平面BMN所成角的大小为60.（步骤6）图b图c图d第19题图 20．（本小题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X （单位：mm ）对工期的影响如下表：历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300，700，900的概率分别为0.3，降水量X300X ＜300700X ＜＜ 700900X ＜＜ 900X 工期延0 2 6 100.7，0.9. 求：（Ⅰ）工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率.【测量目标】概率的加法公式与方差，条件概率. 【考查方式】给出了降水量与工期延误的关系，根据概率的加法公式以及方差公式求出延误天数的均值与方差、条件概率.【难易程度】中等【试题解析】（I）由已知条件和概率的加法公式有:(300)0.3,(300700)(700)(300)=0.70.30.4P X P X P X P X==--=＜＜＜＜＜(700900)=(900)700=0.90.70.2P X P X P X--=＜＜（＜）(900)1(900)=10.90.1.P X P X=--=＜（步骤1）所以Y的分布列为：Y0 2 6 1 0P0.0.0.0于是，()00.320.460.2100.13E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8.D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=故工期延误天数Y 的均值为3，方差9.8.（步骤2）（II ）由概率的加法公式，(300)1(300)0.7P X P X =-=＜，又(300900)(900)(300)0.90.30.6P X P X P X =-=-=＜＜＜.由条件概率，得(300900)0.66(6300)(900300)(300)0.77P X P YXP X XP X ====＜＜.故在降水量X 至少是300mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.（步骤3）21．（本小题满分13分）设A 是单位圆221xy +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足(01),DM m DA m m =≠＞，且. 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．3 4 2 .1（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ，使得对任意的k ＞0，都有PQ PH ⊥？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.【测量目标】双曲线的标准方程，直线的方程，直线与双曲线的位置关系，双曲线中的定点问题.【考查方式】给出了圆的方程以及直线与圆的位置关系，从而判断轨迹为何种曲线，根据直线与方程的联立求出满足条件的点. 【难易程度】较难【试题解析】（I ）如图1，设0(,),(,),M x y A x y 则由(01),DM m DA m m =≠＞，且可得0,,x x y m y ==所以001,.xx y y m==①因为A 点在单位圆上运动，所以22001x y +=②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为2221(0)y x m m m+=≠＞，且1，（步骤1）因为(0,1)(1,),m ∈+∞所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为22(1,0),(1,0)m m ---；（步骤2）当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为22(0,1),(0,1)m m ---.（步骤3）（II ）解法1：如图2、30k ∀＞，设1122(,),(,),P x kx H x y 则111(,),(0,),Q x kx N kx --直线QN 的方程为12y kx kx =+，将其代入椭圆C 的方程并整理可得222222211(4)40.m k x k x x k x m +++-=依题意可知此方程的两根为12,,x x -于是由韦达定理可得21122244k x x x m k -+=-+，即21222.4m x x m k=+（步骤4）因为点H 在直线QN 上，所以212122222.4km x y kx kx m k-==+于是112121(2,2),(,)PQ x kx PH x x y kx =--=--=2211222242(,)44k x km x m k m k -++.而PQ PH ⊥等价于PQ PH =2221224(2)0,4m k x m k-=+即220m-=，又m ＞0，得2m =，故存在2m =，使得在其对应的椭圆2212y x +=上，对任意的0k ＞，都有PQ PH ⊥.（步骤5）第21题图1解法2：如图2、3，1(0,1)x ∀∈，设1122(,),(,),P x y H x y 则111(,),(0,)Q x y N y --因为P ,H 两点在椭圆C 上，所以222211222222m x y m m x y m ⎧+=⎨+=⎩，两式相减可得222221212()()0.m x x y y -+-=（步骤3）依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ,H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠，于是由③式可得212121212()()()()y y y y m x x x x -+=--+.（步骤4）又Q ,N ,H 三点共线，所以QNQHK K =，即1121122.yy y x x x +=+于是由④式可得211212*********()()1.2()()2PQPHy y y y y y y m K K x x x x x x x --+===---+（步骤5） 而PQ PH ⊥等价于PQPHK K =1-,即22m -=1-，又m ＞0，得m =2.故存在m =2，使得在其对应的椭圆2212y x +=上，对任意的k ＞0，都有PQ PH ⊥. （步骤6）图2图3（0＜m ＜1） （m ＞1）第21题图 22．（本小题满分14分） （Ⅰ）已知函数()(1)(0)rf x rx xr x =-+-＞，其中r 为有理数，且01r ＜＜. 求()f x 的 最小值；（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设12120,0,,aa b b ，为正有理数. 若121b b+=，则12121122;b b aaa b a b +（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题. 注：当α为正有理数时，有求导公式1()xx ααα-'=.【测量目标】利用导数求函数的单调区间及最值、解不等式问题，数学归纳法.【考查方式】给出函数解析式，求其导数从而求出函数的最值.给出了参数的范围，利用问题（I ）的结论以及导数解决不等式的证明.在利用（II ）的命题根据数学归纳法得到命题的一般形式进行推广.【难易程度】较难 【试题解析】（I ）11()(1),r r f x r rx r x --'=-=-令()0f x '=，解得x =1.当0＜x ＜1时，()0f x '＜，所以f (x )在（0，1）内是减函数；当x ＞1时，()f x '＞0，所以f (x )在（0，1）内是增函数.故函数()f x 在x =1处取得最小值(1)0.f =（步骤1） （II ）由（I ）知，当(0,)x ∈+∞时，有()(1)0f x f =，即(1)rx rx r +-若12,a a 中有一个不为0，则12121122b b aa ab a b ++成立（步骤2）；若12,a a 均不为0，又121b b+=，可得211bb =-，于是在①中令112,,ax r b a ==可得1111122(1),b a a b b a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭即12121121(1)b b aaa b a b +-，亦即12121122b b aaa b a b +.（步骤3）综上，对12120,0,,aa b b 为正有理数且121b b+=，总有12121122b b a a a b a b +.②（步骤3）(III) （II ）中命题的推广形式为： 设12,,,na a a …为非负实数，12,,,nb b b …为正有理数.若121,kb b b+++=…则12121122+kb b b k k kaa a ab a b a b ++…….（步骤4）③用数学归纳法证明如下: （1）当1n =时，11,b =有11,aa ③成立.（步骤5）（2）假设当n k =时③成立，即若12,,,ka a a …，非负实数，12,,,kb b b …，为正有理数.且121,kb b b+++=…则12121122kb b b k k ka a a ab a b a b ++…….当1n k =+时，已知12,,,ka a a …，1k a +非负实数，12,,,kb b b …，1k b +为正有理数且1211,kk b b b b+++++=…此时101k b+＜＜，即110k b+-＞，（步骤6）于是111212121121(...)kk kk b b b b b b b b k k k k a a a aa a a a++++= (1)2111+1+11111121()kk k k k k b b b b b b b b kk aa a a +++----+=…12111...1111k k k k b b b b b b ++++++=---，由归纳假设可得1211111112k k k k b b b b b b kaa a +++--- (1122)121211111111k k k k k k k k b a b a b a b b b a a a b b b b +++++++++=----……从而112121k k b b b b k k aa a a ++ (1)111122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫++ ⎪-⎝⎭…（步骤7）又因1+1(1)=1k k bb +-+，由②得11111221122111111k k b b k k k kk k k k a b a b a b a b a b a b a b b b ++-++++⎛⎫++++ ⎪--⎝⎭……+（1-）1+1k k a b ++=1122k ka b a b a b ++…++11k k a b ++，从而112121kk b b b b k k a a a a ++ (11)2211k kk k a b a b a b a b +++++…+.（步骤7） 故当1n k =+时，③成立. 由（1）（2）可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立. 说明：（III ）中如果推广形式中指出③式对2n 成立，则后续证明不需要讨论1n =的情况（步骤8）。
完整版2012年湖北省高考数学试卷理科答案及解析
2012年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2+6x+13=0的一个根是（湖北）方程x）1．（2012? A．﹣3+2i B．3+2i C．﹣2+3i D．2+3i，∈Q”的否定是（“?x∈CQ）2．（2012?湖北）命题R0，?CQQQ ∈D．?xQ，?Q C．?x?CQ∈，C A．?x?Q．，∈Q B?x∈C R0R0RR003．（2012?湖北）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与X轴所围图形的面积为（）．． C AD．B．4．（2012?湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为（）．D．6π．B．3πAC2012+a能被13整除，则a=（）51Z（2012?湖北）设a∈，且0≤a≤13，若5．A．0 B．1 C．11 D．12222222，则=（）x=10，+y+zax+by+cz=20=40，azyxcba?（6．2012湖北）设，，，，，是正数，且+b+cCBA ．．．．D1}a），{f（f（0，+∞）上的函数（x），如果对于任意给定的等比数列{a}．7（2012?湖北）定义在（﹣∞，0）∪nn）x①f（+．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，∞）上的如下函数：f仍是等比数列，则称（x）为“保等比数列函数”x2）=ln|x|）．则其中是“保等比数列函数”的f（=2；②f（x）x；③f（x））的序号为（=；④f（x=x D．②④B．③④C．①③．A①②内随机为直径作两个半圆．在扇形OAB（2012?湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB8．）取一点，则此点取自阴影部分的概率是（．D﹣A．1C﹣B．．2）在区间[0，4]上的零点个数为（湖北）函数9．（2012?f（x）=xcosx7 ．5 C．6 D．A．4 B曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方2012?湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”（10．．人们还用过一≈的一个近似公式，求其直径dd除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ）判断，下列近似公式中最精确的一个是（些类似的近似公式．根据x=3.14159…..≈≈C．d．≈Dd A．d≈B．d分．请将答案5分，共25二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．，则角_________C=．cb所对的边分别是a，，c．若（a+b﹣）（a+b+c）=ab，，△201211．（?湖北）设ABC的内角AB，C_________．（2012?湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=12．位回2等．显然，3443，942492213．（2012?湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如，，11 999，．则：191，202，…，个：，22，，33…99.3位回文数有90101，111121，…，119文数有个：_________位回文数有个；Ⅰ（）4（Ⅱ）2n+1（n∈N）位回文数有_________个．+2，，两焦点为F．（2012?B湖北）如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的两顶点为A，A，虚轴两端点为，B1411122 D为直径的圆内切于菱形F．若以AAFBFB，切点分别为A，B，C，．则：2112221；（Ⅰ）双曲线的离心率_________e=（Ⅱ）菱形FBFB的面积S与矩形ABCD的面积S的比值=_________．212211二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（2012?湖北）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为_________．16．（2012?湖北）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=与曲线_________．来两点，则线段AB的中点的直角坐标为（t为参数）相较于A，B75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．三、解答题：本大题共6小题，共λ?+）f（x=，设函数cos，（﹣=cosωx﹣sinωx2ωx）xxx=（17．2012?湖北）已知向量（cos ω﹣sinω，sinω），，1）（λπ∈（xR）的图象关于直线x=对称，其中ω，为常数，且ω∈）的最小正周期；f（1）求函数（x上的取值范围．，）在区间（，）的图象经过点（0）求函数fx[0]xy=f2（）若（18．（2012?湖北）已知等差数列{a}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．n（1）求等差数列{a}的通项公式；n 3项和．|}的前naa，，a成等比数列，求数列{|a（2）若n213，AB上且异于点B，连接⊥BC，垂足D在线段BC1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD（19．2012?湖北）如图，（如图2所示）ABD折起，使∠BDC=90°沿AD将△的体积最大；A﹣BCD（1）当BD的长为多少时，三棱锥，BMEN⊥CD上确定一点N，使得设点E，M分别为棱BC，AC 的中点，试在棱（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，所成角的大小．与平面BMN并求EN20．（2012?湖北）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：X≥900 降水量X X＜300 300≤X＜700 700≤X＜900工期延误天数Y 02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（I）工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．22=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i湖北）设21．（2012?A是单位圆x与+yx轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．r+（1﹣r）（x＞0），其中r为有理数，且0＜r＜1．求f（x=rxf湖北）．22（2012?（I）已知函数（x）﹣x）的最小值；b1b2≤ab+aab；a+b为正有理数，若b≥≥I（II）试用（）的结果证明如下命题：设a0，a0，，bb=1，则222121121112（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求r1﹣αα．α道公式（x）=x42012年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（2012?湖北）考点：复数相等的充要条件。
2012年湖北省高考数学试卷(理科)附送答案
2012年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）方程x2+6x+13=0的一个根是（）A．﹣3+2i B．3+2i C．﹣2+3i D．2+3i2．（5分）命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是（）A．∃x0∉∁R Q，x03∈Q B．∃x0∈∁R Q，x03∉QC．∀x0∉∁R Q，x03∈Q D．∀x0∈∁R Q，x03∉Q3．（5分）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（）A． B．C．D．4．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π5．（5分）设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=（）A．0 B．1 C．11 D．126．（5分）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A．B．C．D．7．（5分）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（）A．①②B．③④C．①③D．②④8．（5分）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．1﹣B．﹣C．D．9．（5分）函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．710．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A．d≈B．d≈ C．d≈D．d≈二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．12．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=．13．（5分）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：（Ⅰ）4位回文数有个；）位回文数有个．（Ⅱ）2n+1（n∈N+14．（5分）如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：（Ⅰ）双曲线的离心率e=；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=．二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（5分）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD 的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为．16．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=与曲线（t为参数）相交于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．18．（12分）已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．19．（12分）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．20．（12分）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量X X＜300300≤X＜700700≤X＜900X≥90002610工期延误天数Y历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（I）工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．21．（13分）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．22．（14分）（I）已知函数f（x）=rx﹣x r+（1﹣r）（x＞0），其中r为有理数，且0＜r＜1．求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式（xα）r=αxα﹣1．2012年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2012•湖北）方程x2+6x+13=0的一个根是（）A．﹣3+2i B．3+2i C．﹣2+3i D．2+3i【分析】由方程x2+6x+13=0中，△=36﹣52=﹣16＜0，知=﹣3±2i，由此能求出结果．【解答】解：∵方程x2+6x+13=0中，△=36﹣52=﹣16＜0，∴=﹣3±2i，故选A．2．（5分）（2012•湖北）命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是（）A．∃x0∉∁R Q，x03∈Q B．∃x0∈∁R Q，x03∉QC．∀x0∉∁R Q，x03∈Q D．∀x0∈∁R Q，x03∉Q【分析】根据特称命题“∃x∈A，p（A）”的否定是“∀x∈A，非p（A）”，结合已知中命题，即可得到答案．【解答】解：∵命题“∃x0∈C R Q，∈Q”是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，∴“∃x0∈C R Q，∈Q”的否定是∀x0∈C R Q，∉Q故选D3．（5分）（2012•湖北）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（）A． B．C．D．【分析】先根据函数的图象求出函数的解析式，然后利用定积分表示所求面积，最后根据定积分运算法则求出所求．【解答】解：根据函数的图象可知二次函数y=f（x）图象过点（﹣1，0），（1，0），（0，1）从而可知二次函数y=f（x）=﹣x2+1∴它与X轴所围图形的面积为=（）=（﹣+1）﹣（﹣1）=故选B．4．（5分）（2012•湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3π．故选B．5．（5分）（2012•湖北）设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=（）A．0 B．1 C．11 D．12【分析】由二项式定理可知512012+a=（52﹣1）2012+a的展开式中的项含有因数52，要使得能512012+a能被13整除，只要a+1能被13整除，结合已知a的范围可求【解答】解：∵512012+a=（52﹣1）2012+a=+…++a由于含有因数52，故能被52整除要使得能512012+a能被13整除，且a∈Z，0≤a≤13则可得a+1=13∴a=12故选D6．（5分）（2012•湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A．B．C．D．【分析】根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可．【解答】解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2，当且仅当时等号成立∵a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，∴等号成立∴∴=故选C．7．（5分）（2012•湖北）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f （x）的序号为（）A．①②B．③④C．①③D．②④【分析】根据新定义，结合等比数列性质，一一加以判断，即可得到结论．【解答】解：由等比数列性质知，①=f2（a n），故正确；+1），故不正确；②≠=f2（a n+1），故正确；③==f2（a n+1④f（a n）f（a n+2）=ln|a n|ln|a n+2|≠=f2（a n+1），故不正确；故选C8．（5分）（2012•湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．1﹣B．﹣C．D．【分析】求出阴影部分的面积即可，连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，那么阴影部分的面积就是图中扇形的面积﹣直角三角形AOB的面积．【解答】解：设扇形的半径为r，则扇形OAB的面积为，连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：﹣，∴此点取自阴影部分的概率是．故选A．9．（5分）（2012•湖北）函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】令函数值为0，构建方程，即可求出在区间[0，4]上的解，从而可得函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数【解答】解：令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0∴x=0或x2=，k∈Z∵x∈[0，4]，则x2∈[0，16]，∴k可取的值有0，1，2，3，4，∴方程共有6个解∴函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为6个故选C10．（5分）（2012•湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A．d≈B．d≈ C．d≈D．d≈【分析】根据球的体积公式求出直径，然后选项中的常数为，表示出π，将四个选项逐一代入，求出最接近真实值的那一个即可．【解答】解：由V=，解得d=设选项中的常数为，则π=选项A代入得π==3.375；选项B代入得π==3；选项C代入得π==3.14；选项D代入得π==3.142857由于D的值最接近π的真实值故选D．二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）（2012•湖北）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．【分析】利用已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，以及余弦定理，可联立解得cosB 的值，进一步求得角B．【解答】解：由已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab可得a2+b2﹣c2+2ab=ab即a2+b2﹣c2=﹣ab由余弦定理得：cosC==又因为0＜C＜π，所以C=．故答案为：12．（5分）（2012•湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=9．【分析】用列举法，通过循环过程直接得出S与n的值，得到n=3时退出循环，即可．【解答】解：循环前，S=1，a=3，第1次判断后循环，n=2，s=4，a=5，第2次判断并循环n=3，s=9，a=7，第3次判断退出循环，输出S=9．故答案为：9．13．（5分）（2012•湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：（Ⅰ）4位回文数有90个；（Ⅱ）2n+1（n∈N）位回文数有9×10n个．+【分析】（I）利用回文数的定义，四位回文数只需从10个数字中选两个可重复数字即可，但要注意最两边的数字不能为0，利用分步计数原理即可计算4位回文数的个数；（II）将（I）中求法推广到一般，利用分步计数原理即可计算2n+1（n∈N）位+回文数的个数【解答】解：（I）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法；故4位回文数有9×10=90个故答案为90（II）第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二步，分别选左边第2、3、4、…、n、n+1个数字，共有10×10×10×…×10=10n 种选法，）位回文数有9×10n个故2n+1（n∈N+故答案为9×10n14．（5分）（2012•湖北）如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：（Ⅰ）双曲线的离心率e=；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=．【分析】（Ⅰ）直线B2F1的方程为bx﹣cy+bc=0，所以O到直线的距离为，根据以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，可得，由此可求双曲线的离心率；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc，求出矩形ABCD的长与宽，从而求出面积S2=4mn=，由此可得结论．（Ⅰ）直线B2F1的方程为bx﹣cy+bc=0，所以O到直线的距离为【解答】解：∵以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，∴∴（c2﹣a2）c2=（2c2﹣a2）a2∴c4﹣3a2c2+a4=0∴e4﹣3e2+1=0∵e＞1∴e=（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc设矩形ABCD，BC=2n，BA=2m，∴∵m2+n2=a2，∴，∴面积S2=4mn=∴==∵bc=a2=c2﹣b2∴∴=故答案为：，二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（5分）（2012•湖北）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为2．【分析】由题意可得CD2=OC2﹣OD2，故当半径OC最大且弦心距OD最小时，CD取得最大值，故当AB为直径、且D为AB的中点时，CD取得最大值，为AB的一半．【解答】解：由题意可得△OCD为直角三角形，故有CD2=OC2﹣OD2，故当半径OC最大且弦心距OD最小时，CD取得最大值．故当AB为直径、且D为AB的中点时，CD取得最大值，为AB的一半，由于AB=4，故CD的最大值为2，故答案为2．16．（2012•湖北）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=与曲线（t为参数）相交于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为（2.5，2.5）．【分析】化极坐标方程为直角坐标方程，参数方程为普通方程，联立可求线段AB的中点的直角坐标．【解答】解：射线θ=的直角坐标方程为y=x（x≥0），曲线（t为参数）化为普通方程为y=（x﹣2）2，联立方程并消元可得x2﹣5x+4=0，∴方程的两个根分别为1，4∴线段AB的中点的横坐标为2.5，纵坐标为2.5∴线段AB的中点的直角坐标为（2.5，2.5）故答案为：（2.5，2.5）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•湖北）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx ﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【分析】（1）先利用向量数量积运算性质，求函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期；（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的值域．【解答】解：（1）∵f（x）=•+λ=（cosωx﹣sinωx）×（﹣cosωx﹣sinωx）+sinωx ×2cosωx+λ=﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+sin2ωx+λ=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z∴ω=+，又ω∈（，1）∴k=1时，ω=∴函数f（x）的最小正周期为=（2）∵f（）=0∴2sin（2××﹣）+λ=0∴λ=﹣∴f（x）=2sin（x﹣）﹣由x∈[0，]∴x﹣∈[﹣，]∴sin（x﹣）∈[﹣，1]∴2sin（x﹣）﹣=f（x）∈[﹣1﹣，2﹣]故函数f（x）在区间[0，]上的取值范围为[﹣1﹣，2﹣]18．（12分）（2012•湖北）已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．【分析】（I）设等差数列的公差为d，由题意可得，，解方程可求a1，d，进而可求通项（II）由（I）的通项可求满足条件a2，a3，a1成等比的通项为a n=3n﹣7，则|a n|=|3n ﹣7|=，根据等差数列的求和公式可求【解答】解：（I）设等差数列的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d由题意可得，解得或由等差数列的通项公式可得，a n=2﹣3（n﹣1）=﹣3n+5或a n=﹣4+3（n﹣1）=3n ﹣7（II）当a n=﹣3n+5时，a2，a3，a1分别为﹣1，﹣4，2不成等比当a n=3n﹣7时，a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4成等比数列，满足条件故|a n|=|3n﹣7|=设数列{|a n|}的前n项和为S n当n=1时，S1=4，当n=2时，S2=5当n≥3时，S n=|a1|+|a2|+…+|a n|=5+（3×3﹣7）+（3×4﹣7）+…+（3n﹣7）=5+=，当n=2时，满足此式综上可得19．（12分）（2012•湖北）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．【分析】（1）设BD=x，先利用线面垂直的判定定理证明AD即为三棱锥A﹣BCD 的高，再将三棱锥的体积表示为x的函数，最后利用导数求函数的最大值即可；（2）由（1）可先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，设出动点N的坐标，先利用线线垂直的充要条件计算出N点坐标，从而确定N 点位置，再求平面BMN的法向量，从而利用夹角公式即可求得所求线面角【解答】解：（1）设BD=x，则CD=3﹣x∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3﹣x∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D∴AD⊥平面BCD=×AD×S△BCD=×（3﹣x）××x（3﹣x）=（x3﹣6x2+9x）∴V A﹣BCD设f（x）=（x3﹣6x2+9x）x∈（0，3），∵f′（x）=（x﹣1）（x﹣3），∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数∴当x=1时，函数f（x）取最大值∴当BD=1时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；（2）以D为原点，建立如图直角坐标系D﹣xyz，由（1）知，三棱锥A﹣BCD的体积最大时，BD=1，AD=CD=2∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E （，1，0），且=（﹣1，1，1）设N（0，λ，0），则=（﹣，λ﹣1，0）∵EN⊥BM，∴•=0即（﹣1，1，1）•（﹣，λ﹣1，0）=+λ﹣1=0，∴λ=，∴N（0，，0）∴当DN=时，EN⊥BM设平面BMN的一个法向量为=（x，y，z），由及=（﹣1，，0）得，取=（1，2，﹣1）设EN与平面BMN所成角为θ，则=（﹣，﹣，0）sinθ=|cos＜，＞|=||==∴θ=60°∴EN与平面BMN所成角的大小为60°20．（12分）（2012•湖北）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量X X＜300300≤X＜700700≤X＜900X≥900工期延误天数02610Y历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（I）工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．【分析】（I）由题意，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，结合某程施工期间的降水量对工期的影响，可求相应的概率，进而可得期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）利用概率的加法公式可得P（X≥300）=1﹣P（X＜300）=0.7，P（300≤X ＜900）=P（X＜900）﹣P（X＜300）=0.9﹣0.3=0.6，利用条件概率，即可得到结论【解答】（I）由题意，P（X＜300）=0.3，P（300≤X＜700）=P（X＜700）﹣P（X ＜300）=0.7﹣0.3=0.4，P（700≤X＜900）=P（X＜900）﹣P（X＜700）=0.9﹣0.7=0.2，P（X≥900）=1﹣0.9=0.1Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1∴E（Y）=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3D（Y）=（0﹣3）2×0.3+（2﹣3）2×0.4+（6﹣3）2×0.2+（10﹣3）2×0.1=9.8∴工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8；（Ⅱ）P（X≥300）=1﹣P（X＜300）=0.7，P（300≤X＜900）=P（X＜900）﹣P （X＜300）=0.9﹣0.3=0.6由条件概率可得P（Y≤6|X≥300）=．21．（13分）（2012•湖北）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x 轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m 丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（I）设M（x，y），A（x0，y0），根据丨DM丨=m丨DA丨，确定坐标之间的关系x0=x，|y0|=|y|，利用点A在圆上运动即得所求曲线C的方程；根据m∈（0，1）∪（1，+∞），分类讨论，可确定焦点坐标；（Ⅱ）∀x1∈（0，1），设P（x1，y1），H（x2，y2），则Q（﹣x1，﹣y1），N（0，y1），利用P，H两点在椭圆C上，可得，从而可得可得．利用Q，N，H三点共线，及PQ⊥PH，即可求得结论．【解答】解：（I）如图1，设M（x，y），A（x0，y0）∵丨DM丨=m丨DA丨，∴x=x0，|y|=m|y0|∴x0=x，|y0|=|y|①∵点A在圆上运动，∴②①代入②即得所求曲线C的方程为∵m∈（0，1）∪（1，+∞），∴0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（），m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（），（Ⅱ）如图2、3，∀x1∈（0，1），设P（x1，y1），H（x2，y2），则Q（﹣x1，﹣y1），N（0，y1），∵P，H两点在椭圆C上，∴①﹣②可得③∵Q，N，H三点共线，∴k QN=k QH，∴∴k PQ•k PH=∵PQ⊥PH，∴k PQ•k PH=﹣1∴∵m＞0，∴故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意k＞0，都有PQ⊥PH22．（14分）（2012•湖北）（I）已知函数f（x）=rx﹣x r+（1﹣r）（x＞0），其中r 为有理数，且0＜r＜1．求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式（xα）r=αxα﹣1．【分析】（I）求导函数，令f′（x）=0，解得x=1；确定函数在（0，1）上是减函数；在（0，1）上是增函数，从而可求f（x）的最小值；（II）由（I）知，x∈（0，+∞）时，有f（x）≥f（1）=0，即x r≤rx+（1﹣r），分类讨论：若a1，a2中有一个为0，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立；若a1，a2均不为0，，可得a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立（III）（II）中的命题推广到一般形式为：设a1≥0，a2≥0，…，a n≥0，b1，b2，…，b n为正有理数，若b1+b2+…+b n=1，则a1b1a2b2…a n bn≤a1b1+a2b2+…a n b n；用数学归纳法证明：（1）当n=1时，b1=1，a1≤a1，推广命题成立；（2）假设当n=k时，推广命题成立，证明当n=k+1时，利用a1b1a2b2…a k bk a k+1bk+1=（a1b1a2b2…a k bk）a k+1bk+1=a k+1bk+1，结合归纳假设，即可得到结论．【解答】（I）解：求导函数可得：f′（x）=r（1﹣x r﹣1），令f′（x）=0，解得x=1；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上是减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函数所以f（x）在x=1处取得最小值f（1）=0；（II）解：由（I）知，x∈（0，+∞）时，有f（x）≥f（1）=0，即x r≤rx+（1﹣r）①若a1，a2中有一个为0，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立；若a1，a2均不为0，∵b1+b2=1，∴b2=1﹣b1，∴①中令，可得a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立综上，对a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；②（III）解：（II）中的命题推广到一般形式为：设a1≥0，a2≥0，…，a n≥0，b1，b2，…，b n为正有理数，若b1+b2+…+b n=1，则a1b1a2b2…a n bn≤a1b1+a2b2+…a n b n；③用数学归纳法证明（1）当n=1时，b1=1，a1≤a1，③成立（2）假设当n=k时，③成立，即a1≥0，a2≥0，…，a k≥0，b1，b2，…，b k为正有理数，若b1+b2+…+b k=1，则a1b1a2b2…a k bk≤a1b1+a2b2+…a k b k．当n=k+1时，a1≥0，a2≥0，…，a k+1≥0，b1，b2，…，b k+1为正有理数，若b1+b2+…+b k+1=1，＞0则1﹣b k+1于是a1b1a2b2…a k bk a k+1bk+1=（a1b1a2b2…a k bk）a k+1bk+1=a k+1bk+1∵++…+=1∴…≤++…+=bk+1≤•（1∴a k+1﹣b k）+a k+1b k+1，+1∴a1b1a2b2…a k b ka k+1bk+1≤a1b1+a2b2+…a k b k+a k+1b k+1．∴当n=k+1时，③成立由（1）（2）可知，对一切正整数，推广的命题成立．。
2012高考湖北理科数学试题及答案(高清版)
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖北卷)本试卷共22题，其中第15、16题为选考题．满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．方程x 2＋6x ＋13＝0的一个根是( ) A ．－3＋2i B ．3＋2i C ．－2＋3i D ．2＋3i2．命题“x 0∈R Q ，30x ∈Q ”的否定是( )A ．x 0R Q ，30x ∈Q B ．x 0∈R Q ，30x QC ．x R Q ，x 3∈QD ．x ∈R Q ，x3Q 3．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A ．2π5 B ．43 C ．32 D ．π24．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8π3 B ．3π C ．10π3D ．6π 5．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．126．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a b cx y z++=++( )A ．14B ．13C ．12D ．347．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)f(x)＝ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()A．①②B．③④C．①③D．②④8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A．21π-B．112π-C．2πD．1π9．函数f(x)＝x cos x2在区间[0,4]上的零点个数为()A．4 B．5 C．6 D．710．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈人们还用过一些类似的近似公式．根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是()A．d≈B．d≈C．d≈D．d≈二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．11．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s＝________.13．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99；3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有________个．14．如图，双曲线22221x y a b-=(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D ．则(1)双曲线的离心率e ＝________；(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值12S S =________. 15． (选修4—1：几何证明选讲)如图，点D 在O 的弦AB 上移动，AB ＝4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交O 于点C ，则CD 的最大值为________．16．(选修4—4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线π4θ=与曲线21(1)x t y t ⎧⎨⎩＝＋＝－(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx，x ω)，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)． (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)，求函数f (x )在区间[0，3π5]上的取值范围． 18．已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和． 19．如图1，∠ACB ＝45°，BC ＝3，过动点A 作AD ⊥BC ，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC ＝90°(如图2所示)．图1 图2(1)当BD 的长为多少时，三棱锥A －BCD 的体积最大；(2)当三棱锥A －BCD 的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小．20求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差；(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．21．设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．22． (1)已知函数f (x )＝rx －x r ＋(1－r )(x ＞0)，其中r 为有理数，且0＜r ＜1，求f (x )的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数，若b 1＋b 2＝1，则a 1b 1a 2b 2≤a 1b 1＋a 2b 2； (3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式(x α)′＝αx α－1.1． A 由题意可得，∆＝62－4×13＝－16，故x ＝64i2-±＝－3±2i ，故A 项正确． 2． D 该特称命题的否定为“x ∈R Q ，x 3Q ”．3． B 由图象可得二次函数的解析式为f (x )＝－x 2＋1，则与x 轴所围图形的面积312114(1)d ()133x S x x x --+=-+=-⎰＝.4． B 由三视图画出几何体，如图所示，该几何体的体积V ＝2π＋π＝3π.5． D ∵52能被13整除，∴512 012可化为(52－1)2 012，其二项式系数为T r ＋1＝2012C r 522012－r·(－1)r .故(52－1)2 012被13除余数为20122012C (－1)2 012＝1，则当a ＝12时，512 012＋12被13整除．6． C ∵由题意可得，22210444x y z ++=， ∴a 2＋b 2＋c 2＋222444x y z ++－ax －by －cz ＝0， 即(a －2x )2＋(b －2y )2＋(c －2z)2＝0.∴2x a =，2y b =，2z c =.∴122x y za b c x y z x y z ++++==++++. 7．C 设等比数列{a n }的公比为q ，则对于f (x )＝x 2，f (a n )＝2n a ，由等比数列得，222211()n n n n a a q a a --==，符合题意；而对于f (x )＝2x和f (x )＝ln|x |，则f (a n )＝2a n 和f (a n )＝ln|a n |.由等比数列定义得，122n n a a -＝2a n －a n －1.1ln ||ln ||n n a a -都不是定值，故不符合题意；而对于f (x )＝则f (a n )，==为定值，符合题意．故选C 项．8． A 设OA ＝OB ＝2R ，连接AB ，如图所示．由对称性可得，阴影的面积等于直角扇形拱形的面积，S 阴＝14π(2R )2－12×(2R )2＝(π－2)R 2，S 扇＝14π(2R )2＝πR 2，故所求的概率是22(π2)21ππR R -=-.9． C 令f (x )＝x cos x 2＝0可得，x ＝0或cos x 2＝0，故x ＝0或x 2＝k π＋π2，k ∈Z .又x ∈[0,4]，则x 2∈[0,16]，则k ＝0,1,2,3,4符合题意，故在区间[0,4]上的零点个数为6.10． D 由34π3V R =，得34π()32d V =，整理可得d =π＝3.141 59代入，近似得d =. 11．答案：2π3解析：∵由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，整理可得，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，∴2π3C =.12．答案：9解析：由程序框图依次可得， s ＝1，a ＝3；n ＝2，s ＝4，a ＝5； n ＝3，s ＝9，a ＝7； 结束，输出s ＝9.13．答案：(1)90 (2)9×10n解析：(1)2位回文数均是不为0的自然数，故有9个；而对于3位回文数，首、末均相同且不为0，故有9种，而对于中间一数可含有0，故有10种，因此3位回文数有90种；对于4位回文数，首、末均相同且不为0，故有9种，对于中间两数则可含有0，故有10种，因此也有90种；(2)经归纳可得2n ＋1位回文数有9×10n 个．14．答案：解析：(1)连接OA ．在Rt △B 2OF 2中，∵OA ＝a ，OB 2＝b ，OF 2＝c ，∴22B F =由等面积法可得bc a =，两边平方可得，b 2c 2＝(b ＋c )a .①又由b 2＝c 2－a 2代入①式可得，c 4－3a 2c 2＋a 4＝0.同时除以a 4可得，e 4－3e 2＋1＝0，解得，232e +=，故12e +=. (2)S 1＝S 菱形F 1B 1F 2B 2＝12×2c ×2b ＝2cb ，在Rt △OAF 2中，∵OA ＝a ，OF 2＝c ，∴AF 2＝b .∴A ab x c =.再由△OAB 2∽△F 2AO 得，22AB OAAO F A=，即22a AB b =，故232A a a a b y b b⨯==，因此，S 2＝4x A ·y A ＝34244ab a a c b bc ⨯⨯=，于是222222144222211(1)2224S cb b c b c e e a S a a a bc===⋅⋅=-⋅=. 15．答案：2 解析：连结OC ，则OD ⊥CD 知，OD 2＋CD 2＝OC 2.要使CD 最大，则OD 最小；当OD ⊥AB 时，OD 最小，此时CD ＝2.16．答案：55(,)22解析：由极坐标方程可知，π4θ=表示直线y ＝x ，而21(1)x t y t ⎧⎨⎩＝＋，＝－表示y ＝(x －2)2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)．联立2(2)y x y x ⎧⎨⎩＝＝－可得，x 2－5x ＋4＝0，可得x 1＋x 2＝5.即x 0＝y 0＝12522x x +=，故M 55(,)22． 17．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx＋ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos2ωxωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ.由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即123k ω=+(k ∈Z )． 又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以56ω=.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点(π4，0)，得f (π4)＝0，即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=λ=故5π()2sin()36f x x =--由0≤x ≤3π5，有π5π5π6366x -≤-≤，所以15πsin()1236x -≤-≤，得5π12sin()236x --≤，故函数f (x )在[0，3π5]上的取值范围为[1-．18．解：(1)设等差数列{|a n |}的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，由题意得1111333()(2)8.a d a a d a d ⎧⎨⎩＋＝－，＋＋＝解得123a d ⎧⎨⎩＝＝－或14,3.a d -⎧⎨⎩＝＝所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列，不满足条件； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件． 故|a n |＝|3n －7|＝371,237 3.n n n n ⎧⎨≥⎩－＋，＝，－，记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5； 当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝2(2)[2(37)]311510222n n n n -+-+=-+.当n ＝2时，满足此式．综上，241,31110 1.22n n S n n n =⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，，19．解：(1)方法一：在题图1所示的△ABC 中，设BD ＝x (0＜x ＜3)，则CD ＝3－x .由AD ⊥BC ，∠ACB ＝45°知，△ADC 为等腰直角三角形，所以AD ＝CD ＝3－x . 由折起前AD ⊥BC 知，折起后(如题图2)，AD ⊥DC ，AD ⊥BD ，且BD ∩DC ＝D ． 所以AD ⊥平面BCD ． 又∠BDC ＝90°， 所以S △BCD ＝12BD ·CD ＝12x (3－x )．于是V A －BCD ＝12AD ·S △BCD ＝13(3－x )·12x (3－x )＝112·2x (3－x )(3－x ) ≤312(3)(3)2[]1233x x x +-+-=， 当且仅当2x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立，故当x ＝1，即BD ＝1时，三棱锥A －BCD 的体积最大．方法二：同方法一，得V A －BCD ＝13AD ·S △BCD ＝13(3－x )·12x (3－x )＝16(x 3－6x 2＋9x )． 令f (x )＝16(x 3－6x 2＋9x )，由f ′(x )＝12(x －1)(x －3)＝0，且0＜x ＜3，解得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1,3)时，f ′(x )＜0.所以当x ＝1时，f (x )取得最大值．故当BD ＝1时，三棱锥A －BCD 的体积最大．(2)方法一：以D 为原点，建立如图a 所示的空间直角坐标系D －xyz . 由(1)知，当三棱锥A －BCD 的体积最大时，BD ＝1，AD ＝CD ＝2.于是可得D (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,2,0)，A (0,0,2)，M (0,1,1)，E (12，1,0)，且BM ＝(－1,1,1)．设N (0，λ，0)，则EN ＝(12-，λ－1,0)，因为EN ⊥BM 等价于0EN BM ⋅= ，即(12-，λ－1,0)·(－1,1,1)＝12＋λ－1＝0，故12λ=，N (0，12，0)．所以当12DN =(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点)时，EN ⊥BM .设平面BMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由,,BN BM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n ，及BN ＝(－1，12，0)，得2.y x z x ⎧⎨⎩＝，＝－可取n ＝(1,2，－1)． 设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ，则由11(,,0)22EN =-- ，n ＝(1,2，－1)，可得sin θ＝cos(90°－θ)＝1|1|||2||||EN EN --⋅==⋅ n n ，即θ＝60°. 故EN 与平面BMN 所成角的大小为60°.图a 图b图c 图d方法二：由(1)知，当三棱锥A－BCD的体积最大时，BD＝1，AD＝CD＝2，如图b，取CD的中点F，连结MF，BF，EF，则MF∥AD．由(1)知AD⊥平面BCD，所以MF⊥平面BCD．如图c，延长FE至P点使得FP＝DB，连BP，DP，则四边形DBPF为正方形，所以DP⊥BF.取DF的中点N，连结EN，又E为FP的中点，则EN∥DP，所以EN⊥BF.因为MF⊥平面BCD，又EN平面BCD，所以MF⊥EN.又MF∩BF＝F，所以EN⊥平面BMF.又BM平面BMF，所以EN⊥BM.因为EN⊥BM当且仅当EN⊥BF，而点F是唯一的，所以点N是唯一的．即当12DN=(即N是CD的靠近点D的一个四等分点)，EN⊥BM.连结MN，ME，由计算得NB＝NM＝EB＝EM＝2，所以△NMB与△EMB是两个共底边的全等的等腰三角形，如图d所示，取BM的中点G，连接EG，NG，则BM⊥平面EGN.在平面EGN中，过点E作EH⊥GN于H，则EH⊥平面BMN，故∠ENH是EN与平面BMN所成的角．在△EGN中，易得EG＝GN＝NE＝2，所以△EGN是正三角形，故∠ENH＝60°，即EN与平面BMN所成角的大小为60°.20．解：(1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X＜300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X＜700)－P(X＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2.P(X≥900)＝1－P(X＜900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列为：于是，E(Y)＝0×0.3＋D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P(x≥300)＝1－P(X＜300)＝0.7，又P(300≤x＜900)＝P(X＜900)－P(X＜300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X＜900|X≥300)＝(300900)0.66 (300)0.77 P XP X≤<==≥.故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是6 7 .21．解：(1)如图1，设M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|＝m|DA|(m＞0，且m≠1)，可得x＝x0，|y|＝m|y0|，所以x0＝x，|y0|＝1m|y|.①因为A点在单位圆上运动，所以x02＋y02＝1.②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋22y m＝1(m ＞0，且m ≠1)．因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0)，，0)； 当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，)，(0．(2)方法一：如图2,3，k ＞0，设P (x 1，kx 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－kx 1)，N (0，kx 1)， 直线QN 的方程为y ＝2kx ＋kx 1，将其代入椭圆C 的方程并整理可得 (m 2＋4k 2)x 2＋4k 2x 1x ＋k 2x 12－m 2＝0.依题意可知此方程的两根为－x 1，x 2，于是由韦达定理可得－x 1＋x 2＝212244k x m k -+，即212224m x x m k =+.因为点H 在直线QN 上，所以y 2－kx 1＝2kx 2＝212224km x m k+. 于是PQ ＝(－2x 1，－2kx 1)，PH ＝(x 2－x 1，y 2－kx 1)＝(212244k x m k -+，212224km x m k +)．而PQ ⊥PH 等价于2221224(2)04m k x PQ PH m k-⋅==+ ， 即2－m 2＝0.又m ＞0，所以m =，故存在m =，使得在其对应的椭圆x 2＋22y ＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH.图1 图2(0＜m ＜1) 图3(m ＞1)方法二：如图2,3，x 1∈(0,1)，设P (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－y 1)，N (0，y 1)． 因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以 222211222222,m x y m m x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减可得 m 2(x 12－x 22)＋(y 12－y 22)＝0.③依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合． 故(x 1－x 2)(x 1＋x 2)≠0，于是由③式可得212121212()()()()y y y y m x x x x -+=--+.④又Q ，N ，H 三点共线，所以k QN ＝k QH ，即1121122y y y x x x +=+. 于是由④式可得211212121121212()()12()()2PQ PHy y y y y y y m k k x x x x x x x --+⋅=⋅=⋅=---+.而PQ ⊥PH 等价于k PQ ·k PH ＝－1，即212m -=-. 又m ＞0，得m =.故存在m =，使得在其对应的椭圆x 2＋22y ＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH .22．解：(1)f ′(x )＝r －rx x －1＝r (1－x r －1)，令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)内是减函数； 当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(1，＋∞)内是增函数． 故函数f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝0.(2)由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )≥f (1)＝0，即x r ≤rx ＋(1－r )．①若a 1，a 2中有一个为0，则12121122b b a a a b a b ≤＋成立；若a 1，a 2均不为0，又b 1＋b 2＝1，可得b 2＝1－b 1, 于是在①中令12a x a =，r ＝b 1，可得1111122()(1)b a ab b a a ≤⋅+-， 即111121121(1)bb a a a b a b ≤－＋－，亦即12121122b b a a a b a b ≤＋.综上，对a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数且b 1＋b 1＝1，总有12121122bba a ab a b ≤＋.② (3)(2)中命题的推广形式为：设a 1，a 2，…，a n 为非负实数，b 1，b 2，…，b n 为正有理数． 若b 1＋b 2＋…＋b n ＝1，则12121122n bbbn n n a a a a b a b a b ≤…＋＋…＋.③用数学归纳法证明如下：(ⅰ)当n ＝1时，b 1＝1，有a 1≤a 2，③成立．(ⅱ)假设当n ＝k 时，③成立，即若a 1，a 2，…，a k 为非负实数，b 1，b 2，…，b k 为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＝1，则12121122kb bbkk k a a a a b a b a b ≤…＋＋…＋.当n ＝k ＋1时，已知a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1为非负实数，b 1，b 2，…，b k ，b k ＋1为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1＝1，此时0＜b k ＋1＜1，即1－b k ＋1＞0，于是()111212121121k k k k b b b b b b b b k k k k a a a a a a a a ++++=……＝11211111111121k kk k k k b b b b b b b b k k a a a a +++++----+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭…. 因121111111k k k k b b b b b b ++++++=---…，由归纳假设可得 1211111112k k k k b b b b b b kaa a +++---…≤1212111111k k k k k b b b a a a b b b +++⋅+⋅++⋅---…＝112211k k k a b a b a b b ++++-…，从而1111211122121111k k k k b bbb bbk k k k k k a b a b a b a a a a a b +++-+++⎛⎫+++≤⋅ ⎪-⎝⎭…….又因(1－b k ＋1)＋b k ＋1＝1，由②得()1111221122111111()111k b b k k k k kk k k k k k a b a b a b a b a b a b a b a b b b +-+++++++++++++≤⋅-+--……＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1，从而121121k b b b k k a a a a ++…≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1.故当n ＝k ＋1时，③成立．由(ⅰ)(ⅱ)可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立．说明：(3)中如果推广形式中指出③式对n ≥2成立，则后续证明中不需讨论n ＝1的情况．。
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2012年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（湖北卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．方程26130x x ++=的一个根是（ ）（A ）32i -+ （B ）32i + （C ）23i -+ （D ）23i +2．命题“0R x Q ∃∈ð，30x Q ∈”的否定是（ ）（A ）0R x Q ∃∉ð，30x Q ∈ （B ）0R x Q ∃∈ð，30x Q ∉（C ）R x Q ∀∉ð，3x Q ∈ （D ）R x Q ∀∈ð，3x Q ∉3．已知二次函数()y f x =的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为（ ）（A ）25π（B ）43（C ）32（D ）2π 4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）（A ）83π （B ）3π（C ）103π（D ）6π5．设a Z ∈，且013a ≤<，若201251a +能被13整除，则a =（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）11 （D ）126．设,,,,,a b c x y z 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b cx y z++=++（ ） （A ）14 （B ）13 （C ）12 （D ）347．定义在()(),00,-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，(){}nf a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”。
现有定义在()(),00,-∞+∞上的如下函数：①()2f x x =；②()2x f x =；③()f x =④()ln ||f x x =。
则第3题图O xy其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ）（A ）① ② （B ）③ ④ （C ）① ③ （D ）② ④8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以,OA OB 为直径作两个半圆。
在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ） （A ）21π-（B ）112π-（C ）2π （D ）1π9．函数()2cos f x x x =在区间[]0,4上的零点个数为（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）710．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径。
“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d的一个近似公式d ≈人们还用过一些类似的近似公式。
根据 3.14159π=判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ）（A）d （B）d ≈ （C）d ≈ （D）d二．填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。
请将答案填在答题卡对应题号的位置上。
答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
（一）必考题（11-14题）11．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()()a b c a b c ab +-++=，则角C = 。
12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s = 。
13．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数。
如22，121，3443，94249等。
显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99；3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999。
则⑴4位回文数有 个；⑵()21n n N ++∈位回文数有 个。
14．如图，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两顶点为12,A A ，虚轴两端点为12,B B ，两焦点为12,F F 。
若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为,,,A B C D ，则⑴双曲线的离心率e = ；⑵菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12S S = 。
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑。
如果全选，则按第15题作答结果计分）15．如图，点D 在O 的弦AB 上移动，4AB =，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交O 于点C ，则CD 的最大值为______。
16．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
已知射线4πθ=与曲线()211x t y t =+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）相交于,A B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为 。
三．解答题17．（本小题满分12分）已知向量()cos sin ,sin a x x x ωωω=-，()cos sin b x x x ωωω=--，设函数()()f x a b x R λ=⋅+∈的图象关于直线x π=对称，其中,ωλ为常数，且()12,1ω∈。
⑴求函数()f x 的最小正周期；⑵若()y f x =的图象经过点()4,0π，求函数()f x 在区间[]0,53π上的取值范围。
18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为8。
⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵若231,,a a a 成等比数列，求数列{}||n a 的前n 项和。
19．（本小题满分12分）如图1，045ACB ∠=，3BC =，过动点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将ABD ∆折起，使090BDC ∠=（如图2）。
⑴当BD 的长为多少时，三棱锥A BCD -的体积最大；⑵当三棱锥A BCD -的体积最大时，设,E M 分别为棱,BC AC的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小。
20．（本小题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X （单位：mm ）对工期的影响如下表。
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9。
求：⑴工期延误天数Y 的均值与方差；⑵在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率。
21．（本小题满分13分）设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过A 与x 轴垂直ODCB A的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，M 在直线l 上，且满足()||||01DM m DA m =<≠。
当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C 。
⑴求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；⑵过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于,P Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H 。
是否存在m ，使得对任意的0k >，都有PQ PH ⊥？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由。
22．（本小题满分14分）⑴已知()()10r f x rx x r x =-+->，其中r 为有理数，且01r <<。
求()f x 的最小值；⑵试用⑴的结果证明如下命题：设10a ≥，20a ≥，12,b b 为正有理数，若121b b +=，则12121122bba a ab a b ≤+；⑶请将⑵中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题。
（注：当α为正有理数时，有求导公式()1x xααα-'=）2012年普通高校招生全国统考数学试卷湖北卷解答一．ADBBD CCACD17．解：⑴由题()22sin cos cos cos2f x x x x x x ωωωωλω=-+⋅+=-+22sin 26x x πωλωλ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，因x π=是()f x 的对称轴，故sin 216πωπ⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，知()262k k Z ππωππ-=+∈，即()123k k Z ω=+∈。
又因为()12,1ω∈，故1k =，56ω=。
所以()f x 的最小正周期为6π；2sin 4π=-=()f x在区间[]0,5π上的取值范围为12⎡-⎣。
18．解：⑴设公差为d，则由题()()111133328a da a d a d+=-⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得123ad=⎧⎨=-⎩或143ad=-⎧⎨=⎩。
故53na n=-或37na n=-；⑵当53na n=-时，231,,a a a依次为1,4,2--，不成等比数列；当37na n=-时，231,,a a a依次为1,2,4--，成等比数列，满足条件。
故()()732|||37|373nn na nn n-≤⎧⎪=-=⎨-≥⎪⎩。
记数列{}||na的前n项和为nS，则当1n=时，14S=；当2n=时，25S=；当3n≥时，()()2231120412537523722nn n nS n n--+=+++++-=++-=。
当2n=时满足此式。
所以数列{}||na的前n项和()()()2413112022nnSn n n=⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩。
19．解：⑴设()03BD x x=<<，则3CD x=-。
由题知，ADC∆为等腰直角三角形，故3AD CD x==-。
由折起前AD BC⊥知，折起后AD DC⊥，AD BD⊥，且B D D C D=，所以AD⊥平面BCD。
又090BDC∠=，故16A BCDV DA DB DC-=⋅⋅=()()31123323312123x x xx x x+-+-⎛⎫⋅--≤⋅=⎪⎝⎭当且仅当23x x=-，即1x=时取等号。
故当BD的长为1时，三棱锥A BCD-的体积最大；⑵以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz-。
由⑴知，当三棱锥A BCD-的体积最大时，1BD=，2AD CD==。
于是可得()0,0,0D，()1,0,0B，()0,2,0C，()0,0,2A，()0,1,1M，()12,1,0E，且()1,1,1BM=-。
设()0,,0Nλ，则()12,1,0ENλ=--。
因为EN BM⊥等价于0EN BM⋅=，即1102λ+-=，故12λ=，()0,12,0N。
所以当12DN=（即N是CD的靠近D的一个四等分点）时，EN BM⊥。
NMED CBAzyx设平面BMN 的一个法向量为(),,n x y z =，由n B N n BM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 及11,,02BN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得2y xz x=⎧⎨=-⎩。
取1x =得()1,2,1n =-。
设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ，则由()12,12,0EN =--，()1,2,1n =-，可得()0sin cos 90θθ=-= 3||2||||n EN n EN ⋅=⋅，即060θ=。