2020届河北省邢台市高考模拟数学(理)试题(解析版)

20．已知函数 .
（1）讨论 在 上的单调性；
（2）若 ，求不等式 的解集.
【答案】（1）当 时， ，则 在 上单调递增;当 时, 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ;当 时 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， ;当 时
则 .
因为 ，所以 ，
所以四面体 的外接球半径 ．
故四面体BB1C1E的外接球的表面积为 ．
故选：D
【点睛】
本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理、二面角的平面角、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．若曲线 存在两条垂直于y轴的切线，则m的取值范围为（）
A． B． C． D．
A． πB．12πC．9πD．10π
【答案】D
【解析】连接 交 于 ，可得 ，利用线面垂直的判定定理可得： 平面 ，于是 ，可得而 为二面角 的平面角，再求出四面体 的外接球半径 ，进而利用球的表面积计算公式得出结论．
【详解】
连接 交 于 ，则 ，
易知 ，则 平面 ，
所以 ，
从而 为二面角 的平面角，
平面 ，则 .
平面 平面 ， ，
又 ， 为等腰直角三角形，
O为斜边AC上的中点， 且 平面ABCD.
（2）解：以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示
不妨设 ，则 ,
则 .
设平面PBD的法向量为 ，
则 即
即
令 ，得 .
设BC与平面 所成角为 ，
则 .
【点睛】
本题考查线面垂直，线面角的计算，属于中档题.
【答案】A
【解析】曲线 存在两条垂直于 轴的切线⇔函数 存在两个极值点⇔ 在 上有两个解，即 在 上有两异根，令 ，利用导数法可求得 的值域，从而可得 的取值范围.
【详解】
解：∵曲线 存在两条垂直于 轴的切线，
∴函数 的导函数存在两个不同的零点，
又 ，
即 在 上有两个不同的解，
设 ， ，
当 时， ；当 时， ，
因为
所以
又因为 ，所以
即 ，解得
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
15．设 ，若直线 上存在一点 满足 ，且 的内心到 轴的距离为 ，则 ___________.
【答案】
【解析】由题意可得点 为直线 与椭圆 的交点,直线方程与椭圆方程联立可得 ，由 的内心到 轴的距离为 ，即 的内切圆的半径 ，由等面积法可求出参数 的值.
【详解】
作出可行域，如图所示，
则 ，故z的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查分式型目标函数的最值问题，关键是画出可行域，是基础题.
14．设 分别为 内角 的对边．已知 ， 且 ，则 _____．
【答案】2
【解析】首先利用正弦定理的角化边得到 ，再根据余弦定理即可得到 ，解方程即可.
【详解】
【解析】（1）根据题意，工人抽查的4个零件中，分别计算出4个都是正品或者都是次品，4个不全是次品的人工费用，得出 的可能值，利用二项分布分别求出概率，即可列出 的分布列；
（2）由（1）求出 的数学期望 ，根据条件分别算出1000箱零件的人工检验和机器检验总费用的数学期望，比较即可得出结论.
【详解】
解：（1）由题可知，工人抽查的4个零件中，
【详解】
点 满足 ,则点 在椭圆 上.
由题意可得点 为直线 与椭圆 的交点.
联立 与 ，消去 得 ，则 .
因为 的内心到 轴的距离为 ，所以 的内切圆的半径 .
所以 的面积为 ，
即 ，解得 ，又 ，则 .
【点睛】
本题考查考查直线与椭圆的位置关系，根据椭圆的焦点三角形的相关性质求参数，属于中档题.
三、双空题
则 ，当且仅当 时，等号成立，
故 的最小值为4.
故选：C
【点睛】
本题考查对数的运算性质和利用均值不等式求最值，属于中档题.
7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即 尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.试问水深、芦苇的长度各是多少？假设 ，现有下述四个结论：
【详解】
对于双曲线 ，
可得 ，则 ，
对于双曲线 ，
得 ，则 ，
对于双曲线 ，
得 ，则 ，
可得出， ，
所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查双曲线的标准方程和离心率，属于基础题.
6．若 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由条件有 ，利用均值不等式有 可得到答案.
【详解】
因为 ，
所以 ，
根据对称性可得：当 时 有两根，
所以 一共4个根，
即函数 的零点的个数为4.
故选：C
【点睛】
此题考查函数零点问题，转化为方程的根的问题，根据奇偶性数形结合求解.
11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱A1B1上一点，且AB＝2，若二面角B1﹣BC1﹣E为45°，则四面体BB1C1E的外接球的表面积为（）
2020届河北省邢台市高考模拟数学（理）试题
一、单选题
1．若 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】求出共轭复数 ，根据复数运算法则 即可得解.
【详解】
， ，
.
故选：A
【点睛】
此题考查复数的概念辨析和基本运算，关键在于熟练掌握复数的运算法则，根据法则求解.
2．已知集合 ， ，则 （）
A． B．
当4个都是正品或者都是次品，则人工检验总费用为： 元，
当4个不全是次品时，人工检验总费用都为： 元，
所以 的可能取值为8，20，
，
，
则 的分布列为
8
20
0.4112
0.5888
（2）由（1）知， ，
所以1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为 元，
因为1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为 元，
（1）设1箱零件人工检验总费用为 元，求 的分布列；
（2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费为1.6元.现有1000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由.
【答案】（1）详见解析（2）应该选择人工检验，详见解析
所以 ，
又当 时， ，当 时， ，
故 .
故选：A.
【点睛】
本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，考查推理与运算能力，属于难题.
二、填空题
13．若x，y满足约束条件 ，则 的取值范围为________．
【答案】
【解析】作出可行域， 几何意义为可行域内的点 与点 连线的斜率，根据图形观察计算可得答案.
18．某厂加工的零件按箱出厂，每箱有10个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有3个次品，则对剩下的6个零件逐一检验.已知每个零件检验合格的概率为0.8，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为2元.
②将500个要组装的零件分给每个工人，让他们同时开始组装，
至少需要时间：
故答案为：①3.3；②33.14
【点睛】
此题考查求平均数和中位数，关键在于准确读懂题意，根据公式计算求解.
四、解答题
17．设等差数列{an﹣bn}的公差为2，等比数列{an+bn}的公比为2，且a1＝2，b1＝1．
（1）求数列{an}的通项公式；
A．420B．766C．1080D．1176
【答案】D
【解析】分别计算一等奖两个名额和三个名额的情况即可得解.
【详解】
一等奖两个名额，一共 种，
一等奖三个名额，一共 种，
所以一等奖人选的所有可能的种数为1176.
故选：D
【点睛】
此题考查计数原理的综合应用，需要熟练掌握利用组合知识解决实际问题，准确分类，结合对立事件求解.
16．某工厂共有50位工人组装某种零件.下面的散点图反映了工人们组装每个零件所用的工时（单位：分钟）与人数的分布情况.由散点图可得，这50位工人组装每个零件所用工时的中位数为___________.若将500个要组装的零件分给每个工人，让他们同时开始组装，则至少要过_________分钟后，所有工人都完成组装任务.（本题第一空2分，第二空3分）
10．函数 的零点的个数为（）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【解析】将原题转化为求方程 的根的个数，根据函数奇偶性，考虑当 时方程的根的个数，根据对称性即可得解.
【详解】
函数 的零点个数，即方程 的根的个数，
考虑 ，定义在 的偶函数，
当 时， ，作出函数图象：
两个函数一共两个交点，即当 时 有两根，
【详解】
， .，.Fra bibliotek故选：A
【点睛】
本题考查利用向量垂直其数量积为零求向量的模长，属于中档题.
4．如图，在正方体 中，E为 的中点，几何体 的侧视图与俯视图如图所示，则该几何体的正视图为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据侧视图和俯视图特征判定几何体，找出正投影，即可得解.
【详解】
结合俯视图和侧视图，根据几何体特征，该几何体为图中 ，
①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③ ；④ .
其中所有正确结论的编号是（）