2006 第六章 点的运动
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6-点的运动
dy vy dt
dz vz dt
加速度
dv y dvz dv dvx a i j k ax i a y j a z k dt dt dt dt
dvx d 2 x ax 2 dt dt
ay dv y dt d2 y dt 2
dvz d 2 z az 2 dt dt
例 6-1 已知：椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，其端点C 与规
尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺A，B 两端分别在相互
垂直的滑槽中运动， OC AC BC l , MC a, ωt 求：① M 点的运动方程； ② 轨迹； y CM o
B
A
③ 速度；
④ 加速度。
解： 点M作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。
加速度
x l a 2 cos t ax v x y l a 2 sin t ay v y 2 2 2 2 4 a ax a y l a 4 cos 2 t (l a） sin 2 t
例6-4 已知：列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速
运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达
54km/h。
求：列车起点和末点的加速度。
解： 列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图。 由 at 常数 , v0 0
有 v at t
v 15m/s at 0.125m/s 2 t 120s
第六章
点
的
运
动
学
土建学院 张文志
cheungmanchi@
§运动学基本概念 § § § 矢径表示法 直角坐标法 自然坐标法
§ 运动学的基本概念
一.参考体: 要确定某物体在空间的位置,必须选取另一不 变形的物体作为参考体. 如:书和黑板擦放在讲台上,书在 运动,选黑板擦为“参考体”.
第六章第五节圆周运动讲解
第六章第五节圆周运动讲解第六章第五节圆周运动理解领悟物体沿圆周的运动是⼀种常见的曲线运动，⽽在圆周运动中，最简单的是匀速圆周运动，了解并掌握圆周运动的有关知识对今后研究⽇常⽣产⽣活的许多实际问题及对天体的运动规律的研究等⽅⾯起到很重要的作⽤。
本节主要学习圆周运动的线速度和⾓速度等概念。
1. 形形⾊⾊的圆周运动质点运动的轨迹是圆周的运动，我们称之为圆周运动。
圆周运动是⼀种常见的运动。
正如教材所述：⽇常⽣活中，电风扇⼯作时叶⽚上的点、时钟的分针和时针上的点、⽥径场弯道上赛跑的运动员等，都在做圆周运动。
科学研究中，⼤到地球绕太阳的运动。
⼩到电⼦绕原⼦核的运动。
⼩到电⼦绕原⼦核的运动，也常⽤圆周运动的规律来讨论。
除此之外，你还能举出⼀些物体做圆周运动的实例吗？2. 如何描述圆周运动的快慢本节教材在第⼀个“思考与讨论”栏⽬中提出了这样的问题：如图6－71所⽰，⾃⾏车的⼤齿轮、⼩齿轮、后轮是相互关联的三个转动部分，⾏驶时，这三个轮⼦上各点在做圆周运动。
那么，哪些点运动得更快些？也许它们运动得⼀样快？需要指出的是，⾃⾏车的⼤齿轮、⼩齿轮、后轮上各点在做圆周运动的说法是有条件的。
我们知道，当轮⼦的轴⼼（圆⼼）固定不动（如把⾃⾏车后轮架起停放在路⾯上），⽽轮⼦在转动时，轮⼦上各点确实是围绕它们的轴⼼（圆⼼）做圆周运动。
但当⾃⾏车⾏驶时，轮⼦在转动的同时，轮⼦的轴⼼也在向前运动，轮⼦上各点相对轴⼼⽽⾔仍是在做圆周运动，⽽相对地⾯则不是在做圆周运动，它们的运动情况较为复杂。
所以，这⾥所⽐较的运动快慢，实际上只是⽐较轮⼦上各点相对轴⼼的运动快慢。
我们经过仔细观察即可知道：三个轮⼦中后轮的半径最⼤，⼤齿轮的半径其次，⼩齿轮的半径最⼩；⼤齿轮和⼩齿轮通过链条相连，所以两齿轮上各点在相同时间内转过的弧长总是相等的；⼩齿轮和后轮是⼀起绕同⼀个轴⼼转动的，这两个轮⼦在相等的时间内转过的圈数（⾓度）是相等的。
根据以上分析，你的回答可能有多种，如：后轮上的点运动得快些，⼤⼩齿轮上的点运动得⼀样快；后轮与⼩齿轮上的点转动得⼀样快，⽽⼤齿轮上的点转动得较慢等等。
38理论力学第六章点的运动学PPT课件
一.运动方程，轨迹
当点M运动时，矢径r随时间而 变化，并且是时间的单值函数：
rrt —以矢量表示的 点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢 径r的末端绘出的一条连续曲线。——动点M的运动轨迹
二.点的速度
dr v
r
dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线 方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。 4
1.弧坐标的运动方程
动点M在轨迹上位置的确定： 动点M在轨迹上的位置
由弧长确定，视弧长S为代数 量，称其为动点M在轨迹上 的弧坐标。
s= f (t)
12
2.自然轴系
以点M 为原点，以切线、 主法线、副法线为坐标轴组 成的正交坐标系称为动点M 的自然坐标系，这三个轴称 为自然轴。
,n,b,分别为切线、主法
线和副法线的单位向量。
—与弧坐标的正向一致
n —指向曲线内凹一侧
b —与 , n构成右手系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 线而变动的游动坐标系13 。
6-3 自然法
3、曲率(1/ ：)
定义——曲线切线的转角对弧长 一阶导数的绝对值。表示曲线的 弯曲程度。
1
d
lim | |
t0 S dS
14
1
引言
运动学的基本概念：
①运动学：：研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的 科学，不考虑运动的原因。
②运动学研究目的: ①建立机械运动的描述方法 ②建立运动量之间的关系
③运动是相对的 :参考体(物);参考系;静系;动系。
④运动分类 1)点的运动 2)刚体的运动
2
第六章 点的运动学
3
6-1 矢量法
理论力学第六章 点的合成运动 [同济大学]
![理论力学第六章 点的合成运动 [同济大学]](https://img.taocdn.com/s3/m/63fd0a4dbe1e650e53ea9909.png)
解： 从例6-2已知得： 1 =
vr r 3 , 2
ω 4
O
解： 从上例已知得： 1 =
r
M
ω 4
va
A
aaτ =0 ，
3 , 4
aan=2r aen=
ωr 8
x’
2
ac 21vr 2 r
va
30°
3 1 1/ s2 8
2
动点取A，
va v A
ar
dvr d 2 x ' ' d 2 y ' ' d 2 z ' ' 2 r 2 j 2 k dt dt dt dt
dx ' di ' dy ' dj' dz ' dk ' dt dt dt dt dt dt
ar ω vr
a a ae a r ac； ac= 2vr
ve
a n a ae a rn a rτ
矢量
1.瞬时状态； 2.可解两个未知量 (大小，方向)。
例6-5 曲柄滑道机构，OA=01A=r=10cm, =30°,=4, 求: 转到30°时直杆的加速度a。 va vr 动点取A； 绝对:圆周； ve 解：相对:圆周；牵连:直线。 [速度] =
a a ae a r ac； aa a an ae aen ar arn ac；
例6-8 曲柄绕O转动，並通过滑块M带动滑槽绕O′摆动， ’ y 求摆动到30°时的角加速度1。
例6-9 将例6-8滑槽改变为图示牛头刨床机构，MA=2r, 求:刨床刨刀的速度，加速度。
vr
dv e dω dr r ω dt dt dt α r ω v e ω v r ae ω v r
第六章 运动学基础2
a2
at 2
an2
(v2
c2 )a2 v2
(v2 )2
(1
v2 c2 v2
)a2
v4
2
c2 v2
a2
v4
2
a v3 (负号不合理舍去）
c
v2 c2 a v
§ 6-3 刚体的平动
一、定义 Translational motion of a rigid body
z 刚体在运动过程中，其上任
点的切向加速度和法向加速度的大小分别为：
a v 0 ,
an
v2
80
因为： a a2 an2 32 an
所以：
v2 80
an 32
即： ρ = 2.5 （m)
例6-7 半径为r的轮子沿直线轨道无滑动的滚动（称为纯滚
动），设轮子转角=t，如图所示。求用直角坐标和弧坐标表
示的轮缘上任一点M的运动方程，并求该点的速度、切向加速
5. 点的加速度
v vτ
a dv dv τ v dτ dv τ v dτ ds dv τ v2 dτ
dt dt dt dt ds dt dt
ds
dv τ v2 n
dt
①②
dτ 1 n
ds
at an
①切向加速度at---反映速度的大小随 时间的变化率，方向沿切线方向。
v2
at dt , an
v
a
aE
v D
a
F a v
aG v =0
提示：图示各点的速度均为可能，在速度可能的情况下， 点 C,E, F,G 的加速度为不可能，点 A,B,D 的加速度为可能
例6-5 列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运动。 如初速度为零，经过2min后，速度到达54km/h。求列车 起点和未点的加速度。
第6章 点的运动学
运动学的研究对象是真实物体的两种理想化的力 学模型，即点和刚体。所谓点，是指大小、质量不计， 但在空间占有确定位置的几何点。所谓刚体是由无数 个点组成的不变形的系统。
第6章 点的运动学
本章分别采用矢径法、直 角坐标法、自然法三种不同 的方法，研究点在空间运动 时的几何性质。
6.1 点运动的矢径法
说明： （1）平面曲线上各点的密切面就是曲线所在的平面； （2）空间曲线上各点的密切面则随各点的位置不 同而不同。 过M点并垂直于切线MT的平 面称为曲线在M点的法面。 所有通过M点并在该法面内的 直线都是曲线在M点的法线。 在密切面内的法线MN称为主 法线。垂直于密切面的法线MB 称为副法线(或次法线)。
可见，速度和加速度也是周期性变化 的，变化的周期均是T，加速度的大小 与动点到振动中心的距离成正比，方向 恒指向振动中心，这是简谐振动的一个 基本特点。
例6-2 汽车以速度v0沿直线道路行驶，车轮的半径为R，轮子与 地面无相对滑动，试求轮缘任一点M的轨迹、速度和加速度。 解 设M点与地面接触时的位置为起 始位置，并以此点为坐标原点建立 坐标系Oxy，如图所示。在任一瞬时 t，M点的坐标为
2.速度 2.速度
设在瞬时t，动点位于M点，其矢径为r．在t+△t瞬 时．动点位于M’点，其矢径为r’。则在△t时间间隔内， 矢径的改变量△r=r’-r，它表示动点M在△t时间内的位 移。显然点的位移是矢量。比值△r/△t表示动点M在△t 时间内的平均速度，以v*表示，即 v*=△r/△ v*=△r/△t 当△t→0时，平均速度v*的极限值即为动点M在瞬时t 的速度，以v表示，即
沿主法线向曲线凹的一侧取一点 C，并使MC等于曲线在M点的 曲率半径ρ，C点称为曲线在M 点的曲率中心。该圆周或圆弧曲 率半径就是圆半径，圆心就是曲 率中心。 以M点为原点，曲线在M点的切线，主法线与副 法线为轴的一组正交轴系称为自然轴系。
第6章 点的运动学
本章分别采用矢径法、直 角坐标法、自然法三种不同 的方法，研究点在空间运动 时的几何性质。
6.1 点运动的矢径法
说明： （1）平面曲线上各点的密切面就是曲线所在的平面； （2）空间曲线上各点的密切面则随各点的位置不 同而不同。 过M点并垂直于切线MT的平 面称为曲线在M点的法面。 所有通过M点并在该法面内的 直线都是曲线在M点的法线。 在密切面内的法线MN称为主 法线。垂直于密切面的法线MB 称为副法线(或次法线)。
可见，速度和加速度也是周期性变化 的，变化的周期均是T，加速度的大小 与动点到振动中心的距离成正比，方向 恒指向振动中心，这是简谐振动的一个 基本特点。
例6-2 汽车以速度v0沿直线道路行驶，车轮的半径为R，轮子与 地面无相对滑动，试求轮缘任一点M的轨迹、速度和加速度。 解 设M点与地面接触时的位置为起 始位置，并以此点为坐标原点建立 坐标系Oxy，如图所示。在任一瞬时 t，M点的坐标为
2.速度 2.速度
设在瞬时t，动点位于M点，其矢径为r．在t+△t瞬 时．动点位于M’点，其矢径为r’。则在△t时间间隔内， 矢径的改变量△r=r’-r，它表示动点M在△t时间内的位 移。显然点的位移是矢量。比值△r/△t表示动点M在△t 时间内的平均速度，以v*表示，即 v*=△r/△ v*=△r/△t 当△t→0时，平均速度v*的极限值即为动点M在瞬时t 的速度，以v表示，即
沿主法线向曲线凹的一侧取一点 C，并使MC等于曲线在M点的 曲率半径ρ，C点称为曲线在M 点的曲率中心。该圆周或圆弧曲 率半径就是圆半径，圆心就是曲 率中心。 以M点为原点，曲线在M点的切线，主法线与副 法线为轴的一组正交轴系称为自然轴系。
第六章 质点的运动
解： 1、建立固定参考系 ； 建立固定参考系Oxy；
2、根据已知的约束条件 列写点的运动方程。 列写点的运动方程。
P点的运动方程： 点的运动方程：
x =(2l −d) cosϕ =(2l −d) cosω t y = dsinϕ = dsin ω t
从中消去t得到P点的轨迹方程
x y + =1 l 2 −d d
上述三相互正交的轴线构成了随时间变化的直角坐标系， 上述三相互正交的轴线构成了随时间变化的直角坐标系，称为 自然轴系M 自然轴系 －TNB 。
§1-3 自然坐标法
自然轴系的基矢量 b= τ ×n
M
§1-3 自然坐标法
二、运动方程
M
s = s(t)
弧坐标具有以下要素： 弧坐标具有以下要素： • 轨迹已知； 轨迹已知； • 有坐标原点； 有坐标原点； • 有正、负方向。 有正、负方向。
τ d =n dϕ
§1-3 自然坐标法
&τ a =v +v& τ
ϕ s & = dτ = dτ ⋅ d ⋅ d τ d t d ϕ ds dt
ds d ϕ 1 & = s =v = − 率 曲 d s ρ dt
2
dτ =n ϕ d
dv v a = τ + n= a τ +ann=aτ +an τ dt ρ
例题1 例题1：
椭圆规机构
ω ϕ 常 , ＝&＝ 数
O = A = A =l , B = d A B C P
求：P点的运动方程、 点的运动方程、 点的运动方程 速度、加速度。 速度、加速度。
例题1 例题1：
椭圆规机构
ω ϕ 常 , ＝& ＝ 数
理论力学第六章点的运动学.
d d ds an v v dt ds dt
又 d 1 n dS
an
v2
n an
v2
an是一个沿主法线正方向 的矢量，指向曲率中心 。
法向加速度反映点的速度方向改变的快慢程度。
dv v2 a a a n a a n n n dt
— 与 弧 坐 标 的 正 向 一 致 n — 指 向 曲 线 内 凹 一 侧 b — 与 , n 构 成 右 手 系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 13 线而变动的游动坐标系。
6-3 自然法 3、曲率 (1 / ) ：
定义——曲线切线的转角对弧长 一阶导数的绝对值。表示曲线的 弯曲程度。
一.运动方程、轨迹
矢径是点的单值连续函数，
r xi yj zk
故x,y,z也是时间的单值函数：
x f1 (t ), y f 2 ( t ), z f 3 ( t )
——以直角坐标表示的点的运动方程 上式消去t,即为点的轨迹方程：f ( x , y , z ) 0
6
6-2 直角坐标法
当点M运动时，矢径r随时间而 变化，并且是时间的单值函数：
r r t
—以矢量表示的 点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢 径r的末端绘出的一条连续曲线。 ——动点M的运动轨迹
二.点的速度
dr v r dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线 方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。
t dv k dt v0 v 0 v ln kt , v v0 e kt v0 v
dx 3、 由 v v0e kt dt
又 d 1 n dS
an
v2
n an
v2
an是一个沿主法线正方向 的矢量，指向曲率中心 。
法向加速度反映点的速度方向改变的快慢程度。
dv v2 a a a n a a n n n dt
— 与 弧 坐 标 的 正 向 一 致 n — 指 向 曲 线 内 凹 一 侧 b — 与 , n 构 成 右 手 系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 13 线而变动的游动坐标系。
6-3 自然法 3、曲率 (1 / ) ：
定义——曲线切线的转角对弧长 一阶导数的绝对值。表示曲线的 弯曲程度。
一.运动方程、轨迹
矢径是点的单值连续函数，
r xi yj zk
故x,y,z也是时间的单值函数：
x f1 (t ), y f 2 ( t ), z f 3 ( t )
——以直角坐标表示的点的运动方程 上式消去t,即为点的轨迹方程：f ( x , y , z ) 0
6
6-2 直角坐标法
当点M运动时，矢径r随时间而 变化，并且是时间的单值函数：
r r t
—以矢量表示的 点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢 径r的末端绘出的一条连续曲线。 ——动点M的运动轨迹
二.点的速度
dr v r dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线 方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。
t dv k dt v0 v 0 v ln kt , v v0 e kt v0 v
dx 3、 由 v v0e kt dt
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瞬时
时间间隔
例1
动点M 作平面曲线运动，其速度在x 轴 上的投影始终为一常数c，证明在此情况 3 ，其中 为M点 下，其加速度 a / c 的速度大小， 为曲率半径。
M
x
x
例2
ay
an
已知： O1 A O2 B 2r , 0 ＝常数， 齿轮半径均为r，且 O1O2 AB 求：轮Ⅰ与轮Ⅱ，轮缘上任一点 的加速度。
Mv x v
X A
2 a
O
M v
例6-3
直杆上A、B两点各铰接一个滑块，它们可分别沿两相 互垂直的滑槽运动。M是直杆上的一点，已知MA=b, MB=c, =t (为常量）。 试求M点的运动方程、速 度和加速度。再求当=90的瞬时， M点的切向加速度、 法向加速度以及轨迹在该点的曲率半径。
刚 体
质点和刚体的实例
接触轨道之前， 保龄球可以看作一 个点；
接触轨道之后， 保龄球在摩擦力作 用下发生滚动， 这时保龄球不再是 一点，而必须看作 刚体。
运动形式包括：
质点
直线运动
曲线运动
最一般的情形为三维变速曲线运动
刚体
定轴转动
平行移动
平面运动
运动描述的相对性
参考系：固连于参考体上的一组任选的坐标系。
P－空间曲线上的动点；
由密切面得到的几点结论：
•空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段弧长，
可以看作是位于密切面内的平面曲线。
•曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲率，用1/
表示。
法面
通过P点与T垂直的平面
(副法线) (主法线)
s+
法线——通过P点在 法面内的直线（无数条） 主法线——法面内与 密切面的交线（一条）
第六章 点的运动
运动方程、速度和加速度的表示方法
（6-1）矢量表示法
（6-2）直角坐标表示法
（6-3）自然法
（1）矢量表示法
r
r
M
M
r
t
dr dt
r r (t )
lim
r t dr dt r
r
T1
例6-1
例6-2
（3）自然法
自然轴系
弧坐标 1）已知点的运动轨迹； 2）在轨迹上任选一参考点 作为坐标原点； 3）一般以点的运动方 向作为正向。
s s (t )
自然轴系
密切面
当P´点无限接近于 P点时，过这两点的切 线所组成的平面，称为 P点的密切面。
P P
lim α α
点的速度和加速度在自然轴上的投影
速度
dr ds ds dt d s dt dt
( dr ds lim r s
s 0
dr
1 )
加速度
d ds dυ d s d a ( ) dt dt dt dt dt dt
t 0
o
a
M
T
T
d a lim t 0 t d r a
o
（2）直角坐标表示法 z
z
r x i yj zk
x x (t ) y y (t ) z z (t )
其中
d dt lim t
t 0
d
2 1 sin 2
加速度
其中
a
d dt
d dt
d
(
ds
)
dυ dt
dt dt
t
d s d dt dt
2 1 sin 2
lim
t 0
例5-1
动点M 作平面曲线运动，其速度在x 轴上的
投影始终为一常数c，证明在此情况下，其加 速度 a 3 / c ，其中 M点的速度大小， 为
为曲率半径。
证： 设 与x 轴的夹角为 由题意知：
M (1)
x
x
cos x c
因 x c,
所以 a x 0, a a y
M
a x x x a y y y y
x
z d ( xi yj zk ) dt xi yj zk
k i y x
z j
x
a z z z
d a ( x i y j zk ) dt xi y j zk i j x y zk
第一、二章作业 未解除约束，对分离体进行受力分析 二力杆、辊轴铰链 受力分析简图未作出 解题过程过于简单，不够规范
运动学绪论
运动学所涉及的研究内容包括：
（1）建立物体的运动方程 （2）分析物体运动的速度、加速度、角速度、角 加速度等 （3）研究物体运动的分解与合成规律
运动学的对象包括： （1） （2） 质 点
s
-
b n
(切线)
副法线——法面内与 主法线垂直的法线
b
n
——构成了自然坐标系的单位矢量
－
(副法线) 正向指向弧坐标正向；
(主法线)
s
+
n－ 正向指向曲线内凹的一
边，曲率中心在主法线 上；
s
-
b n P
(切线)
b－ 正向由 b n 确定。
自然轴系的特点:
跟随动点在轨 迹上作空间曲线 运动。
a cos an
又由于
2
ay
代入上式
a
an
2
且由（1）式知
cos
c
cos
3
c
例6-2
杆AB绕A点转动时，拨动套 在固定圆环上的小环M。已 知固定圆环的半径为R， =t(为常量）。 试求M点 的运动方程、速度和加速度。
y
R
M
O
A
2 a
O A vy
2
当
所以
d dt lim
sin 很小时，
2
t t s s t
t 0
lim
t 0
lim
t 0
得到
a
dυ dt
2
n
在密切面内，且垂直于
，
即主法线方向。
y M A y x O y v1 M1 V M
a1 a
x
B Ox
例6-4
曲柄滑块机构如图所示。曲柄OA长为r, 连杆AB长 为l。曲柄绕O轴旋转、通过连杆带动滑块B在水平 导槽中运动。已知r,l和=t (为常量），试求 滑块的运动方程、速度和加速度。
y
A C x B
O
x