第六章 运动学基础
理论力学教案-运动学
论力学--运动学运动学研究点和刚体运动的几何规律，即运动方程、轨迹、速度、加速度或角速度、角加速度等运动特征量。
第六章 点的运动学点的运动学是研究一般物体运动的基础，又具体独立的应用意义。
描述点的运动有矢径法、直角坐标法、自然法三种方法。
§6.1 矢量法一．矢量法表示点的运动方程设动点M 在空间作曲线运动，在参考坐标系上任取 某确定的点O 为坐标原点，则动点的位置可用原点至动 点的矢径r 表示。
当动点M 运动时，矢径r 的大小和方 向一般也随时间而改变，并且是时间的单值连续函数， 即)(t r r =上式称为用矢量表示的点的运动方程。
动点M 在运动过程中，其矢径r 的末端在空间 描绘出的曲线，称为动点M 的运动轨迹。
也称为矢径r 的矢端曲线。
二．矢量法表示点的速度)()(t t t r r r -+=∆∆平均速度tt t t t ∆∆∆∆)()(r r r υ-+== 瞬时速度dtd t t t rr υυ===→→∆∆∆∆00limlim 三．矢量法表示点的加速度 )()(t t t υυυ-+=∆∆ 平均加速度tt t t t ∆∆∆∆)()(υυυa -+==瞬时加速度2200lim lim dt d dt d t t t rυυa a ====→→∆∆∆∆结论：动点的速度等于它的矢径r 对时间的一阶导数，其加速度等于动点的速度对时间的一阶导数，也等于动点的矢径r 对时间的二阶导数。
§6.2 直角坐标法一．直角坐标表示动点的运动方程由于k j i r z y x ++=，当动点在轨迹上运动时，r 随时间而变化，则动点M 的坐标值x ，y 和z 随时间 而变化。
即⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(321t f z t f y t f x消去方程中的参数t ，则得到动点运动的轨迹。
二．直角坐标表示动点的运动速度由于动点M 的矢径可表示为 k j i r z y x ++=，所以动点M 的速度可表示为 k j i r υdtdzdt dy dt dx dt d ++==将动点M 的速度写成投影形式，即k j i υz y x υυυ++=比较以上两式，可得dt dx x =υ，dt dy y =υ，dtdz z =υ 三．直角坐标表示动点运动的加速度动点M 的速度可表示为k j i r υdtdz dt dy dt dx dt d ++==，其加速度可表示为 k j i υa 222222dtzd dt y d dt x d dt d ++==将动点M 的加速度写成投影形式，即k j i a z y x a a a ++=比较以上两式，可得 22dt x d a x =，22dt y d a y =，22dt z d a z =结论：动点的速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的一阶导数，动点的加速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的二阶导数。
第六章第八节 生活中的圆周运动
第六章第八节 生活中的圆周运动 理解领悟本节课讨论生活中圆周运动的几个实例，深刻理解圆周运动的运动学、动力学特征是分析生活中圆周运动实例的前提。
要注意理解教材中对火车转弯、汽车过拱形桥等实例的分析过程与分析方法，从中体会分析、解决圆周运动实际问题的基本思想，即先分析物体所受的力，然后列出方程、解方程。
要仔细观察其它生活实例，尝试应用相关知识、规律及研究方法去分析并解决。
1. 火车转弯设车轨间距为L ，两轨高度差为h ，转弯处的半径为r ，行驶的火车质量为m ，两轨所在平面与水平面之间的夹角为θ，如图6－126所示。
当火车转弯时所需的向心力F 完全由重力G 和支持力F N 的合力提供时，对火车受力分析可得 F ＝mg tan θ，又据向心力公式 F ＝m v 2r ， 由以上两式可得 v ＝grtanθ 。
显然，在g 、h 、r 、θ一定的条件下，火车转弯时的速率应该是一个确定的值，因此这个速度通常就叫做转弯处的规定速度。
我国铁路转弯速率一般规定为v ＝54km/h ，即15m/s ，铁轨轨距L ＝1435mm 。
由v ＝grtanθ 可知，r tan θ为一定值，因为铁路弯曲的曲率半径r 是根据地形条件决定的，所以铁路某一弯道处内外轨的倾斜角度θ、内外轨的高度差h 也是一个确定的值。
因sin θ＝h L，如弯道倾斜角θ较小，可得 h ＝L sin θ≈L tan θ＝Lv 2gR。
由于v 一定，不难看出h 与R 成反比，或者说h 与R 的乘积为一常数：hR ＝1.435×1529.8 m 2＝33.0m 2。
如弯道半径R ＝330m 时，内外轨高度差h 约为100mm 。
如果火车行驶的速度大于规定速度（v ＞grtanθ ），这时仅由重力和支持力的合力提供向心力是不够的，还需要外轨对外侧车轮产生一个指向内侧的弹力以补充向心力的不足。
如果火车行驶的速度小于规定速度（v ＜grtanθ ），重力和支持力的合力大于火车所需要的向心力，这时需要内轨向外轨方向挤压内侧车轮，以抵消多余部分使其合力等于向心力。
运动学基础练习题库
运动学基础练习题库一、基本概念1. 请列举运动学中的三个基本物理量。
2. 简述位移和路程的区别。
3. 什么是速度？它有哪几种形式？4. 请解释加速度的概念及其物理意义。
5. 如何区分平均速度和瞬时速度？二、直线运动1. 一辆汽车从静止开始加速，经过10秒后速度达到20m/s，求汽车的加速度。
2. 一物体沿直线运动，其位移时间图像为一条斜率为正的直线，请判断物体的运动状态。
3. 一物体做匀速直线运动，速度为5m/s，求它在3秒内的位移。
4. 一物体从A点出发，以2m/s²的加速度匀加速运动，经过5秒后到达B点，求AB两点间的距离。
5. 一物体做匀加速直线运动，初速度为3m/s，末速度为12m/s，运动时间为5秒，求物体的加速度。
三、曲线运动1. 请简述匀速圆周运动的特点。
2. 一物体做匀速圆周运动，半径为2m，周期为4秒，求物体的线速度。
3. 在水平面上，一物体受到一个恒力作用，做曲线运动，请分析物体的运动轨迹。
2rad/s，求物体在最高点的向心加速度。
5. 一物体在水平面上做匀速圆周运动，已知其线速度为10m/s，半径为5m，求物体的角速度。
四、相对运动1. 一列火车以40km/h的速度行驶，车内一乘客以相对于车厢5km/h的速度向前走，求乘客相对于地面的速度。
2. 甲、乙两船在静水中的速度分别为10km/h和8km/h，它们在同一河流中相向而行，河流速度为3km/h，求两船的相对速度。
3. 一飞机以500km/h的速度向东飞行，同时受到风速为100km/h的西风影响，求飞机的实际速度。
4. 一物体在甲船上以2m/s的速度向北运动，甲船相对于地面的速度为3m/s向东，求物体相对于地面的速度。
5. 一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机看到路边的一棵树以5m/s 的速度向后移动，求汽车相对于地面的速度。
五、力学问题综合1. 一物体从高处自由下落，求它在5秒内的位移。
2. 一物体在水平面上受到两个力的作用，一个向东，大小为10N，另一个向北，大小为15N，求物体的合力。
第六章 第一节 刚体的平动
刚体的平动
点的运动
①刚体质心(动力学) ②与其它构件的连接点 (运动学)
例(P133例6-1)荡木用两根等长的绳索平行吊起。已知O1O2=AB， 绳索长O1A=O2B=l，摆动规律为 j ＝ j0sin(pt/4)。试求当t=0和 t=2s时，荡木中点M的速度和加速度。 O1
O2
vs
π lj 0 π cos t 4 4
j
s
(╋ ) A
π 2 lj 0 π a v sin t 16 4
M
B
O'
2 v 2 π 2 lj 0 2 π an cos t l 16 4
v2
解(1)运动分析：荡木作平动 vM= vA aM= aA 只需分析点A的运动 (2)点A的运动方程为 s = lj＝lj0sin(pt/4) 点A的速度、加速度为
第六章 刚体的基本运动
刚体的运动：平动、定轴转动、平面运动、定点运动和一般 运动。 本章研究：刚体的平动和定轴转动。 工程中最常见、最简单的运动，也是研究刚体复杂运动的 基础。 ① 整个刚体的运动。 ② 整个刚体平动
一、定义：刚体运动时，若其上任一直线始终保持与它的初 始位置平行（方向永不改变），则称刚体作平行移动，简称 为平动或移动。 刚体平动时，其上各点的轨迹如为直线，则称为直线平动； 如为曲线，则称为曲线平动。
工程实例： 沿直线轨道行驶的火车车厢的运动
A
B 内燃机汽缸中的活塞 振动筛筛体的运动 —————————曲线平动
. 直线平动
二、特点：刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；同一瞬 时，各点的速度相等，加速度也相等。 ［证明］ A1 rA= rB+ BA A2 刚体平动，BA=常矢量。 A 因此,A、B两点的轨迹曲线 的形状完全相同。 求导: BA rA vA = vB B1 B2 aA= aB B rB [证毕] O 三、研究方法：
(完整版)第六章-刚体的简单运动
§6-2 刚体绕定轴的转动
刚体在运动时，其上有两点保持不动，则这种运 动称为刚体绕定轴的转动，简称刚体的转动。
通过这两个固定点的一条不动的直线，称为刚体 的转轴或轴线，简称轴。
f (t)
转动方程
flash
转角对时间的变化率：
d
dt
d
dt
d 2
dt 2
瞬时角速度 瞬时角加速度
刚体绕定轴转动时， 刚体内任一点均作圆心在 轴线上的圆周运动。
若点到转轴的距离为R，则： s R 是点的运动方程。
切向加速度： 法向加速度： 全加速度
R
R2 2 R24 R 2 4
R R 2
2
由：
a R 2 4
tan
a an
R R 2
2
可知
（1）每一瞬时，转动刚体内各点的速度与加速度的 大小均与这些点到轴线的距离成正比。
和 同号为加速，异号时为减速。
flash
两种特殊情况：
1)匀速转动，为常量
0 t
0 是t=0 时的转角。
和转速n（r.p.m）之间的关系为：
2)匀变速转动，即 是常量
0 t
0
0t
1 2
t 2
0 和 0 是t=0时的角速度和转角
例：杆AC以匀速V0沿水平导槽向右运动， 通过滑块A使杆OB绕O轴转动。已知O 轴与导槽相距h。求杆OB的角速度和角 加速度。
解：已知角加速度求运动规律，积分问题：
d d d dt d dt
d d
k
d kd
0
0
积分得：
02
k 2
d
dt
d
t
dt
6运动控制-运动学基础精品课件
运动控制及相关概念
运动控制（motor control）：调节或管理动作所必需机制的能力。 运动控制障碍（motor control disorder）
神经系统
感觉器官 运动系统
病变或损伤
姿势障碍 协调障碍 随意运动障碍
运动控制理论的三类学说
反射运动控制学说 阶梯运动控制学说 系统运动控制学说
阳性支撑反应
反射名称 阳性支撑反应 描述/检查 刺激足底皮肤，肢体伸展肌肉紧张
阳性支持反射是足趾的末端及其内侧拇趾、小趾的皮肤等部位受到刺激时， 引起骨间肌伸张，刺激本体感受器，导致下肢伸肌张力增高。 偏瘫患者常因站立，足趾与地面接触受压而出现阳性反应。该反射是小儿出 生后3—8个月出现阳性反应为正常，8个月后应随着神经反射的发育而被抑乱 偏瘫患者如因原始反射处于失抑制状态而被释放，则对其运动功能出现如下 影响： (1)患肢膝关节过伸展，踝关节跖屈、内翻，影响支撑相的足跟着地 (图2-19) 。 (2)患侧处于支撑相时，踝关节跖屈，难以完成重心转移动作(图2-20)。 (3)训练患肢踝关节背届运动时，要尽量防止刺激足趾导致屈肌张力增高。
布朗色夸综合征： 同侧损伤平面以下本体感觉、精细触觉丧失（后索： 薄束和楔束） 同侧肢体硬瘫（皮质脊髓束） 损伤平面以下对侧身体痛温觉丧失（脊髓丘脑束）
4.临床综合症-中央束综合症central cord syndrome
常见于脊髓血管损伤 血管损伤时脊髓中央先开始发生损害，再向外周扩散 上肢运动神经偏于脊髓中央 下肢运动神经偏于脊髓外周 造成上肢神经受累重于下肢 患者有可能可以步行，但上肢部分或完全麻痹
SCI(Science Citation Index)
运动学基础知识教案
运动学基础知识教案一、教学目标1.了解运动学基础知识，包括位置、速度、加速度等概念及其运算方法；2.学会运用运动学基础知识分析运动过程，理解物体运动规律；3.培养学生观察和思考能力，提高学生科学思维和分析问题的能力。
二、教学重点1.位置、速度、加速度等基础概念的理解；2.运用基础概念进行运动分析。
三、教学难点1.一个物体的不同运动过程的分析；2.不同物体的相对运动过程的分析。
四、教学方法1.例题分析法：通过例题讲解，帮助学生理解和掌握基础概念；2.探究式教学法：引导学生通过实验或思考，自主探究基础概念和运动规律；3.讨论式教学法：引导学生讨论解决问题的方法和思路。
五、教学过程1.导入环节通过展示几个生活中的例子，如小车匀速行驶，人跑步等，引导学生思考物体运动的基本概念及其意义。
2.基础概念讲解（1）位置的概念及表示方法；（2）速度的概念及其运算方法；（3）加速度的概念及其运算方法。
3.实例讲解通过例子，讲解不同物体的运动过程分析。
（1）匀速直线运动：小车匀速行驶过程的分析。
（2）抛物线运动：篮球投掷过程的分析。
（3）圆周运动：转速为常数的风扇旋转过程的分析。
4.实验操作（1）小球自由落体实验：通过自由落体实验，帮助学生理解重力加速度的概念及其运算方法。
（2）小车运动实验：通过小车运动实验，帮助学生理解速度和加速度的概念及其运算方法。
5.知识总结通过复习，帮助学生总结并巩固所学的基础概念和运算方法。
6.课后作业（1）整理并复习本节课所学的基础概念和运算方法；（2）运用所学知识，分析一个生活中的物体运动过程。
六、教学评价通过课堂练习和课后作业，检查学生对基础概念的掌握情况以及对物体运动规律的理解。
七、教材选择运动学基础知识教材。
八、教学参考1.《初中物理教育教学指南（普及版）》，陆维涛等编，人民教育出版社。
2.《物理教学法》，阚止修主编，人民教育出版社。
第六章 点的运动学
所以，动点的矢径是时间t的单值连续矢量函数， 称为单矢连续函数，可表示为：
r=r t
称为点的矢量形式的运动方程，表明点的位置随时 间变化的规律（的方程）。
单矢连续函数 ——是一个矢性函数，即:
不但可以确定大小而且可以确 定方向的函数。是单值连续变 化的。
2、点的速度
设在瞬时t，动点位于M点，其矢径为r，在瞬时 t+Δt时，动点位于M’点，其矢径为r’ ，
模等于： v 方向沿 v' 方向。
t
瞬时t 动点 M 的加速度：
a v t
a
lim t
a 0
lim t
0
v t
dv dt
v
d 2r dt 2
r
加速度是速度对时间的一阶导数，或者是矢径
对时向。
加速度的量纲：
a
长度 时间2
LT
2
加速度的单位，国际单位制为：米 秒（2 m s 2 )或 m m s 2
因此，在描述物体的机械运动时，只有在 某个物体上来观察另一物体的运动才有意义。
参考体： 凡可借以确定被研究物体的位置和运动的其他物
体称该被研究物体的参考体。 参考系：
与参考体相固结的整个延伸空间或坐标系称为参 考系或参考坐标系。
在同一参考体上可以有不同的参考坐标系，它们 对同一物体的位置描述的坐标值虽然不同，但有确定 的几何关系相联系。
综上所述可知： 瞬时速度是平均速度的极限值， 其大小代表动
点在瞬时
t运动的快慢，而其方向则应沿轨迹在 M点处的切线
并指向动 点前进的一方，从而代表了动点在瞬时t的运动方向。
速度的量纲：
v dr r dt
v
长度 时间
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(2)瞬时加速度(加速度): a=lim t→0v/t=dv/dt= d2r/dt2 在SI中加速度的单位为米/秒2 ( m/s2 )
第二节 描述点运动的直角坐标法
用直角坐标法求点的速度、加速度
点的运动轨迹为未知，则应采用直角坐标法。
第二篇
运动学
引言
运动学是从几何的角度来研究物体的机械运动，即研究物体的位置 随时间的变化，而不考虑物体运动变化的物理原因(即物体所受的力 和物体的质量)。 运动：指物体在空间的位置随时间的变化 参考体：要描述物体位置以及它的运动,必须选取另一个物体作为 参考,这个用作参考的物体称为参考体 参考系：在参考体上固结的坐标系称为参考系 点：指不计大小和质量，但在空间占有确定位置的几何点 刚体：指由无数点组成的不变形系统 时间间隔：对应于物体在不停顿的运动中从某一位置移动到另 一位置所经历的时间 瞬时：时间间隔趋于零的一瞬间
υ的方向由υ x和υ y的正负号决定
第二节 描述点运动的直角坐标法
III. 加速度
动点的加速度沿直角坐标轴的两个分量ax和ay的大小,等于 其相应的速度分量的大小对时间的一阶导数，等于其相应 的坐标对时间的二阶导数，即
加速度
第二节 描述点运动的直角坐标法
例6-1 某歼击机飞行员做俯冲飞行训练时，若其飞行曲线 AB近似一半径r=800m的圆弧，如图所示。己知在A点时的速 度v0=400km／h，到达B点时的速度v1=460km／h。所经历的 时间t=3s。若飞机由A到B位置是匀加速度运动，试求飞机在 B处时的全加速度。
第三节 描述点运动的自然法
三、用自然坐标法表示点的加速度 a=d v/ dt=d( v e t)/ dt = e t d v / dt+ v det / dt
………(15)
在自然轴系中，加速度a可表示为：
第三节 描述点运动的自然法
• 当动点的运动轨迹已知时，应用自然坐标法求解点的 速度和加速度问题比较方便。
一、用弧坐标表示点的运动方程
当动点M沿轨迹运动时，它的位置
随着时间而变化，即弧长s是时间t 的单值连续函数，可表示为
z
（+）
M
s=f(t) 上式称为动点
O1
沿已知轨迹的运动方程
O
（-）
y
x
第三节 描述点运动的自然法
度在自然坐标轴系上的投影称为自然坐标。
第三节 描述点运动的自然法
二、用自然坐标法表示点的速度
v = lim r/ t t→0
分子、分母同时乘以△s, 可得：
v = lim r s / t s= lim r/ s lim s/ t
t→0
t→0 t→0
当 t→0 时， r/ s 的大小趋于1。方向趋近于轨迹的
I. 运动方程
设点M在平面内作曲线运动,建立直角坐标系xoy（如图），
则点M在任一瞬时的位置可由坐标x、y来确定。点的运动
方程为：
点的轨迹方程
第二节 描述点运动的直角坐标法
II. 速度
动点的速度沿直角坐标轴的两个分量vx和vy分别等于坐标
轴x轴和y轴对时间的一阶导数，即
速度
α—υ与x轴之间所夹的锐角，
P
称为动点P矢量形式的
γ
运动方程，其矢端曲线即
ak r
称为动点的运动轨迹。
O βββ
ij
y
x
第一节 描述点运动的矢量法
二、用矢径表示点的速度
• 速度是表示点运动的快慢和方向的物理量。
设在时刻 t 质点在A处，它的
矢径为 r (t)，经过△t时间该质 点在B 处,此时矢径为 r(t+△t)，则质点在△t 时间内位置矢量的变化量△r 称为质点 的位移矢量、简称位移。
自然轴系
（-） O1
动点M沿已知平面轨迹AB运动。在轨迹上
M
与动点M相重合的一个点处建立一个坐标
系：取切线轴 t沿轨迹在该点的切线，它的 n 正向指向轨迹的正向；取法向轴n沿轨迹在 （+）
该点的法线，它的正向指向轨迹的曲率中心。
t
这样建立的正交坐标系称为自然坐标轴系，
简称自然轴系。
如切向轴和法向轴的单位矢量分别用et和en表示，与直 角坐标系中i , j , k不同，et和en的方向随动点 M在轨迹 上的位置的变化而变化，是变矢量。动点的速度、加速
r(t+△t
o)
x
v = lim r/ t = dr/dt t→0
z
表明：即动点的速度等于动点的矢径对时间的一阶导数。
速度方向为所在点轨迹的切线方向，并指向质点前进的 一方。 在SI中，速度的单位为米/秒(m/s).
பைடு நூலகம்
第一节 描述点运动的矢量法
• 三、用矢径表示点的加速度 加速度是表示点的速度对时间变化率的物理量。
图中所示曲线 AB 的长度称为质点经 过的路程 s，它是标量。
y A △s △r r(t) B
r(t+△t)
o
x
z
第一节 描述点运动的矢量法
1、动点在 t时间内的平均速度： v*= r/ t
y A △s △r
因为 t 是标量，故平均速
r(t) B
度 v*的方向与 r 的方向相同。
2、动点在瞬时t的瞬时速度 （速度）：
3.研究点的运动就是要研究点的运动方程、速度和 加速度。
§5－1 点的运动学
解：因飞机做匀加速圆弧运动，则aτ=常数，且v=vo+aτt
飞机在B点处的全加速度为
第一节 描述点运动的矢量法
• 一、用失径表示点的运动方程
矢径r:用以确定动点P位置的矢
量
动点P在坐标系中的位置由矢径
z
r唯一的确定
r =r (t )
切向，并指向弧坐标的正向，故
lim r/ s= et, 而lim s/ t=ds/dt
t→0
t→0
第三节 描述点运动的自然法
故而 v=et d s/d t
表明：速度在法向轴上的投影为零；在切向轴上 的投影，即为速度的大小，等于点的弧坐标对时 间的一阶导数。
v=d s/d t
当d s/d t大于零时，速度v与et同向 ；反之，反向。
第六章 点的运动学
主要研究内容 描述点运动的矢量法 描述点运动的直角坐标法 描述点运动的自然法
第六章 点的运动学
1.点的轨迹：点运动时，它在空间所走过的路线。 轨迹为为曲线时称该点作曲线运动 轨迹为直线时，称该点作直线运动
2.点的运动可以采用不同的坐标系进行描述。常用 的有：
自然坐标法：动点轨迹已知时的运动分析； 直角坐标法：动点轨迹未知时的运动分析； 矢量法：主要用于理论推导；