[指南]第五章点的运动学和刚体的基础运动 - 副本
理论力学05点的运动学和刚体的基本运动
例 5.7 如图圆盘 C 以匀角速度ω 绕倾斜轴 OB 转动，盘面与 转轴垂直，圆盘的半径为 r； 设 OB 轴在 平面Oyz内，盘面与 平面Oyz的交线为 CD，点A 为圆盘边缘上一个固连点。 求： CA 与CD 为任意角φ时
A 点的速度和加速度矢量。
解：以矢量思路考虑，有
vA w OA OB方向单位矢 :
引言
5-1 运动学的基本概念
①运动学 是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。 (包括:轨迹，速度，加速度等)不考虑运动的原因。
②运动学研究的对象 ①建立机械运动的描述方法 ②建立运动量之间的关系
③运动学学习目的 为后续课打基础及直接运用于工程实际。
பைடு நூலகம்
④运动是相对的 ( relativity ):参考体(物);参考系;静系;动系。
arctg |a |
an
11
例 5.1 一绳AMC的一端系于固定点A，绳子穿过 滑块M上的小孔。绳的另一端系于滑块C上。滑块 M以已知等速v0运动。绳长为l，AE的距离为a且 垂直于DE。求滑块C的速度与距离AM = x之间的 关系。又当滑块M经过E点时，滑块C的速度为何 值？
vc v0
12
曲率半径与法 向加速度有关 先求速度和法 向加速度
（否则△ t 时间后，该直线将被弯曲或伸缩，这对刚体是不容许的）。
同理AB 线上各点的速度也必须是直线分布， 因为与 矢端的连线不平行于π平面，这条矢端连线一定会与π 平面相交，设交点为 C，其速度必为零，所以 OC 线上所有点 的速度为零（OC 线上所有点的速度也必须直线分布）
一.弧坐标,自然轴系
1.弧坐标的运动方程S=f (t)
补充：极坐标法(对平面曲线运动时可用) 同理可导出柱坐标下的点的运动方程
理论力学：第5 章 点的运动学和刚体的基本运动
，式中
A
r2
，
dA dt
v
则
v 2 2r 3
5-5
5.3 定轴轮系传动问题
外啮合、内啮合、皮带传动
两轮间传动比： i12
1 2
1 2
r2 r1
Z2 Z1
注：①一般地，、 均以正值代入，所求轮子转向靠直观判断； ②同轴两轮传动比规定为 i 1 ；
n1
③轮系总传动比： i1n i j, j1 。 j 1
dv dt
d2s dt 2
，a
n
v2
，位于密切面内。
注：以上诸式不加证明。 例 1：书例 5-4（直角坐标法与自然坐标法） 摇杆滑道机构。已知滑道半径 R，摇杆匀角速度ω。求：①滑块速度、加速度；②滑块 相对摇杆的速度、加速度。 分析： 绝对法求速度、加速度，即利用几何关系，写出滑 块运动方程，求导。 ①即求滑块绝对速度和加速度。直角坐标法可解。
但 a a an 或 a 2 a2 an2 ，而 a 由直角坐标系可求，故 an a 2 a2 可求；从而ρ由
an
v2
可求。
解：任一瞬时速度、加速度（直角法）：
v x 2 y 2，a x2 y2
5-3
则切向加速度： a
dv dt
例 2（老书习题 7-13）（或郝桐生例 8-6, P184）
图示仪表机构，已知各齿轮齿数 z1 6, z2 24, z3 8, z4 32, 齿轮 5 的半径 R = 4 cm。
如齿条 BC 下移 1cm，求指针 OA 转过的角度 。
分析：
利用轮系总传动比公式，求 OA 与轮 5 的角速
第五、六章点的运动、刚体基本运动第11、12讲
0 t
0
0t
1 t2
2
2 02 2 ( 0 )
点作匀变速直（曲）线运动公式
(t 0 时 v v0, s s0 )
a 常数
v v0 a t
s
Байду номын сангаас
s0
v0t
1 2
a t 2
v2 v02 2a (s s0 )
例题
解：各齿轮作定轴转动，为定轴轮系的传动问题
轴Ⅰ与Ⅱ的传动比为
i12
Theoretical Mechanics
a
n N
vn aMn
vM
§6.2 刚体绕定轴的转动
Theoretical Mechanics
一、刚体的定轴转动
1、定义：在刚体运动过程中，如果相对于 某一参考系而言，刚体内（或其扩展部分） 有一条始终保持不动直线转轴。则称此刚体 相对于该空间作定轴转动。
2、刚体的转动方程
求飞轮的转动方程以及角速度与转角之间的关系。
解： a tg60
an
3
2
d 32
dt
a 60
1 C 3t
d 2 3dt
O
当
t
0
时，＝０，故
C
1 0
1 1 30t
0
0 1 30t
3 ln(1
3
30t) C2
aMn
vM2 R
1002 0.4
25000m/s2
Theoretical Mechanics
§6.3 转动刚体内各点的速度、加速度
《理论力学》第五章 点的运动.ppt
刚体的基本 运动形式
第五章
点的运动
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
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轨迹或路径：点在空间所占据的位置随时
间连续变化而形成的曲线
直线 轨
迹 曲线
矢量法
zk
动 方
x xt y yt z zt
程 自然法
s s(t)
点的运动各种研究方法运动量间的关系
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例 半径是 r 的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动。 轮缘上一点M，在初瞬时与轨道上的O点叠合；在任 意t时刻，半径MC与轨道的垂线HC组成交角φ=ωt， 其中ω是常量。试求M点的运动方程、速度和加速度。
M
C
C
φ
M
H
O
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解：为了求M点的轨迹、速度、加速度须要建 立M点的运动方程，以M点与轨道第一次接触 的瞬时作为计算时间的起点（即在该时刻时间
Mv
r
M´
v´
r r´ v
动点的速度等于它的矢
a径对于lim时间的v一阶d导v数 v r t0 t d t
r－动点 对于点O的
矢径或位置矢
矢径r的矢端线是
动点的加速度等于它的速
度对于时间的一阶导数，也 等于它的矢径对于时间的二 阶导数。
点的运动轨迹
单位
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立xOy系，设M在O O
理论力学第5章 点的一般运动与刚体的基本运动
基础部分——运动学第5 章点的一般运动与刚体的基本运动一、运动学的研究对象及任务点刚体zz几何性质z合成分解例1例2例3例4例5例6二、学习运动学的目的三、运动学的分析方法矢量工具数值求解工具四、具体内容第5章点的一般运动与刚体的基本运动点的运动的矢量法点的运动的直角坐标法点的运动的弧坐标法一、运动方程二、轨迹三、点的速度O)(t r )(t t Δ+r vMM ′位矢四、点的加速度点的运动的矢量法一、运动方程点的运动的直角坐标法O rMxy z)(zy,x,xyz二、轨迹方程三、点的速度四、点的加速度AB点的运动的弧坐标法运动轨迹原点O 一、运动方程sMO)(−)(+正方向弧坐标s二、自然轴系主法线n 切线τ，指副法线b思考：共同点不同点)(t r M O三、点的速度⋅lim ⋅st s d d d d r⋅τ⋅=v tsv d d =)(t t Δ+r vM ′sΔO)(−)(+r Δτ四、点的加速度速度大小随时间的变化率方向ττa 22t d d d d tst v ==22t d d d d tst v a ==z切向tas t ΔΔ⋅→Δτ0lim⋅速度方向随时间的变化率z法向n a sΔΔτs ΔΔϕsd d ϕ→方向？n2n2taa +全t 讨论：加速减速[例5-1]纯滚动解：（1）运动方程运动方程=x =y （2）速度22yxv v +t ωcos 22−（3）切向、法向加速度思考：如何求速度投影加速度投影全加速度22a a yx +法向加速度2t2aa −曲率半径（4）运动方程（弧坐标）如何取弧坐标的原点？讨论：Array纯滚动速度为零加速度不为零5-4-1 平行移动（平移）任一直线z形状相同z速度相同z加速度相同5-4-2 定轴转动=矢量表示:=右手规则滑动矢量αωαkz线速度v（弧坐标法）Rv ω=Rna ta αta 方向?z加速度aRa α=t Ra 2n ω=2n2t aa +42ωα+t a α思考：过轴的任一条直线上θαθrωv ×=ααt a rαa ×=t na vωa ×=nr ωr×=td d αααx ′y ′z ′1O i ′j ′k ′rωv ×=[例5-2]解：r ω=+d d r tω−=avtr R +=22ππ[思考题]j i i k ⎜+′⎟⎜′⋅+′⎟′⋅提示：5-5-1 注意区别几组公式5-5-2 描述点的运动的其它方法点的一般运动与刚体基本运动点的一般运动刚体基本运动矢量法直角坐标法弧坐标法其它方法平移定轴转动5-5-3 本章知识结构框图补充：轮系的传动比一、齿轮传动z速度z 切向加速度外啮合内啮合=两齿轮之传动比：21=1 2112R R i ==ωω2112ωω=i 22211±=±=±=正号內啮合负号外啮合11±=外啮合转向推广：二、带轮（链轮）传动二、带轮（链轮）传动z z 皮带与带轮间无相对滑动。
第五章 点的一般运动和刚体的基本运动—new
O x
速 度 ：描述点在 t 瞬时运动快慢和运动方向的量。 速度的方向: 沿着运动轨迹的切线，与点的运动方向一致。 速度大小: 等于矢量的模。单位：m/s
5.1 点的运动的表示法
5.1.1 点的运动的矢径表示法
加速度的定义：
z
v
P P´v
t 瞬时: 速度 v(t) t＋ t 瞬时:速度v’= v(t ＋ t )
第二篇 运动学
引言
一、运动学的研究任务
1. 研究物体的机械运动及运动的几何性质。 2. 研究机构传动规律。
二、学习运动学的目的
1. 学习动力学的基础:受力分析和运动分析是学习动力学 的两大基础。 2. 学习机械原理和设计传动机构的基础。 3. 解决工程问题。
引言
三、研究方法
不考虑引起运动的原因，只研究运动的几何性质。
加速度：描述点在 t 瞬时速度大小和方向变化率的量。 加速度的方向：为 v的极限方向(指向与轨迹曲线的凹向 一致) ； 加速度大小：等于矢量a的模。单位：m/s2
5.1 点的运动的表示法
5.1.1 点的运动的矢径表示法
r rt
dr v dt
r
O
M
v
dv d r a 2 dt dt
r
O x
r´ห้องสมุดไป่ตู้v´
v´
t 时间间隔内速度的改变量
y
v(t)＝ v (t ＋ t )－ v(t)
点在 t 瞬时的加速度：
v dv v a lim t 0 t dt
d r a 2 r dt
2
5.1 点的运动的表示法
5.1.1 点的运动的矢径表示法
dv a v dt
理论力学@5点的一般运动和刚体的基本运动
95第5章 点的一般运动和刚体的基本运动 5.1 主要内容5.1.1 点的运动的表示法研究如何描述一个几何点（即动点）在空间运动的规律。
物体的运动是相对于某一参照物而言，离开参照物，无法确定物体在空间的位置。
这一特点称为运动的相对性。
通常以地球为参照系。
在同一参照系上，可以建立不同的坐标系来描述物体的位置及其随时间的变化。
如本章讨论的各种坐标系。
点的运动方程描述动点在空间的几何位置随时间的变化规律。
对于不同的坐标系，将有不同的形式。
1．矢量式()t r r =其中r 是点的矢径。
此式主要用于理论推导。
2．直角坐标形式—用于轨迹未知的情形建立直角坐标系Oxyz ，动点M 的位置由其在坐标系中的x ，y ，z 坐标确定。
()()()()()()t f t z z t f t y y t f t x x 321,,======上式亦可看作点的运动轨迹的参数方程。
如果消去时间参数t ，即可得到轨迹的曲线方程，它是下列两空间柱面方程的交线。
()0,=y x ψ ()0,=z y ψ3．弧坐标形式（自然法）—用于轨迹已知的情形 在轨迹上建立弧坐标系，以s 为弧坐标。
()()t f t s s ==点的速度是个矢量，它反映点的运动的快慢和方向。
点的加速度是个矢量，它反映速度大小和方向随时间的变化率。
1．矢径法r rv a r r v =====22d d d d ,d d tt t 2．直角坐标法96 ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫======z t z v yt y v x t x v z y x d d d d d d ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=========z t z t v a y t y t v a x t x t v a z z y y x x222222d d d d d d d d d d d d ， k j i v z y x ++=，k j i a zy x ++=222z y x ++=v ，222zy x ++=a 3．弧坐标法τττv v s t s ===d d τττa ττa s tv=== d dn n a n n a v ==ρ20=b ab n τa a a a ++=22n a a +=τa切向加速度τa 只反映速度大小随时间的变化，法向加速度n a 只反映速度方向随时间的变化。
第5章-点的运动学第六章-刚体的简单运动PPT课件
定的平面。
法平面 垂直与切线的平面
切线
n
法线
b
副法线
b n
§5-4点的运动学问题
根据几何关系建立运动方程，求 速度、加速度等问题。
已知加速度、初始条件，求 运动方程等问题。
例题 已知M点的运动方程。试求M点在任意 时刻的速度、加速度的大小和曲率半径。
x R c o s (t) ,y R s in (t) ,z C t,
2 0
2
aM r2
lb 2 r2
解毕
§6-3 结论与讨论
问
切向加速度、法向加速度的物理意
题 义是什么？
：
点作直线运动时，其切向加速度与法
相加速度如何？
做曲线运动的点，其曲率的大小与加 速度有何关系？
平动刚体上的点的运动轨迹可以是空间 曲线吗？
6-1，6-3，6-5，
2021/1/11
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THE END！
蒸汽机传动机构
车床传 动装置
运动学分类
点的运动学
简 化 为 点
刚体的运动学
的何简 刚不化 体变为
形几
第五章 点的运动学
2021/1/11
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7
点的位置、速度、加速度、轨迹的描述
§5-1矢量法
r r(t)
运动方程
速度的方向
r
o
速度 M
v lim t 0
r t
dr dt
M’
r
v dr dt
速度的大小
M C
xR(sin)
yR(1cos)
xR(1cos)
x y Rsin
xR (1 c o s) R 2sin
yR sinR 2cos