物理-刚体运动学
刚体运动学的基本原理与公式
刚体运动学的基本原理与公式引言刚体运动学是物理学中一个重要的分支，研究物体在空间中的运动规律。
通过分析刚体的运动，我们可以揭示物体在空间中的位置、速度和加速度等关键信息。
本文将介绍刚体运动学的基本原理和公式，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。
一、刚体的定义与特性刚体是指在运动过程中形状和大小不发生变化的物体。
与之相对，我们称之为非刚体的物体在运动过程中可能发生形变。
刚体的特性包括质量、形状、大小和位置等。
在刚体运动学中，我们主要关注刚体的位置、速度和加速度等运动参数。
二、刚体的运动描述为了描述刚体在运动中的位置和运动状态，我们引入了坐标系和参考点的概念。
坐标系用于确定刚体的位置，而参考点则是确定刚体位置的基准点。
在刚体运动学中，我们通常使用笛卡尔坐标系来描述刚体的运动。
通过选择合适的参考点，我们可以确定刚体的位置矢量。
三、刚体的位移、速度和加速度刚体的位移是指刚体在运动过程中，由一个位置变换到另一个位置的变化量。
刚体的速度是指刚体在单位时间内所发生的位移。
刚体的加速度是指刚体速度的变化率，即单位时间内速度的变化量。
在刚体运动学中，我们可以通过求导数的方法来计算刚体的速度和加速度。
四、刚体运动的基本公式刚体运动学中有一些基本的公式，可以帮助我们计算刚体的运动参数。
其中，最基本的公式是位移公式，即s = v * t，其中s表示位移，v表示速度，t表示时间。
通过这个公式，我们可以计算刚体在给定时间内的位移量。
另外，我们还可以使用速度公式和加速度公式来计算刚体的速度和加速度。
五、刚体运动的特殊情况在刚体运动学中，存在一些特殊的情况，需要特别注意。
例如，当刚体做匀速直线运动时，速度和加速度都是常量。
当刚体做匀加速直线运动时，速度是随时间线性增加的，而加速度是常量。
此外，当刚体做曲线运动时，速度和加速度的方向可能随时间变化。
六、刚体运动学的应用刚体运动学在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在机械工程中，我们可以利用刚体运动学的原理来设计机械装置和机器人。
物理刚体知识点总结
物理刚体知识点总结一、刚体的概念和性质刚体是指物体的形状和大小在外力作用下不发生变化的物体。
刚体的性质包括：刚体的各部分之间的相对位置关系在运动时不发生变化；刚体的各点在一个时间内不发生相对位移；刚体是不可压缩的；刚体的形状和大小在外力作用下不发生变化。
在学习刚体的物理知识时，需要掌握刚体的这些概念和性质。
二、刚体的平动和转动运动刚体的运动包括平动和转动两种。
平动是指刚体的各点在任一时刻都有同样的速度和同样的加速度，而转动是指刚体的各点在任一时刻都有不同的速度和不同的加速度。
在学习刚体的物理知识时，需要了解平动和转动的特点，以及刚体在这两种运动中的表现和规律。
三、刚体的运动方程和刚体的运动规律刚体的运动方程描述了刚体在平动和转动中的运动规律。
对于平动，刚体的平动方程是牛顿第二定律的推广和应用，即F=ma；对于转动，刚体的转动方程涉及力矩和角加速度的关系，即τ=Iα。
刚体的运动规律包括牛顿定律、动量定理和角动量定理。
在学习刚体的物理知识时，需要掌握刚体的运动方程和运动规律，并能够应用它们解决实际问题。
四、刚体的静力学刚体的静力学研究了刚体在平衡状态下的性质和规律。
刚体在平衡状态下，外力矩的和为零，即Στ=0；刚体的平衡方程是ΣF=0。
刚体的静力学还包括平衡条件和平衡的稳定性条件。
在学习刚体的物理知识时，需要了解刚体的静力学和平衡状态的相关概念和定律，并能够应用这些知识解决实际问题。
五、刚体的运动学刚体的运动学研究了刚体的位移、速度和加速度等运动参数的关系。
刚体的平动和转动运动都涉及位置、速度和加速度的关系。
刚体的平动运动参数包括位移、速度和加速度；刚体的转动运动参数包括角位移、角速度和角加速度。
在学习刚体的物理知识时，需要了解刚体的运动学，并能够应用它们描述和分析刚体的运动。
六、刚体的动力学刚体的动力学研究了刚体的运动与外力之间的关系。
刚体在运动中受到的外力包括平动受力和转动受力。
平动受力包括牛顿定律描述的作用在质点上的力，而转动受力则是力矩的概念。
刚体运动学
1. 刚体 在外力作用下，形状和大小都不发生变化
的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质 点组） 说明：⑴ 刚体是理想模型
⑵ 刚体模型是为简化问题引进的． 刚体的运动形式：平动、转动．
平动：刚体中所有 点的运动轨迹都保持完 全相同．
态一特样点，：如各：v点、运a动 状等
(a)
1
2 < 1
2
<0
(b)
定轴转动的特点
(1) 每一质点均作圆周运动，圆面为转动
平面；
(2)
任一质点运动
v, a 不同；
,,
均相同，但
(3) 运动描述仅需一个坐标．
匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的 =常量时，刚体做匀变
速转动．
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
. r P’(t+dt) . d P(t)
x
角速度矢量
lim d
t t0
dt
方向: 右手螺旋方向
z
>0
z
<0
刚体定轴转动(一 维转动)的转动方向可 以用角速度的正、负 来表示.
角加速度 d
dt
2
1 2 > 1
>0
2 2 (π 6)
转过的圈数 N 75 π 37.5 r
2π 2π
（2）t 6s时，飞轮的角速度
0
t
(5π
π 6
6)rad
s1
4π
rad
s1
（3）t 6s时，飞轮边缘上一点的线速度大小
第4章刚体的运动学和动力学
P
II
M
d d 2 2 f " (t ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt dt
当 β c
0 t 1 2 ( ) t t 0 2 2 2 0 2 ( 0 )
z ω,
与质点的匀加速直线运动公式相象
二. 定轴转动刚体上各点的速度和加速度
端，试计算飞轮的角加速 解 (1) Fr J
(2) mg T ma
rO
T
Fr 98 0.2 39.2 rad/s 2 J 0.5
mgr J mr 2
两者区别
F
mg
Tr J a r
98 0.2 2 21 . 8 rad/s 0.5 10 0.22
例如 T' T
x dx
x
• 在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算
T' T
M i TR T' R
M i TR T' r
二. 刚体对定轴的转动定律
实验证明 当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动 当存在 M 时， 与 M 成正比，而与J 成反比
M J
刚体的转动定律
M kJ
例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置 m l x O 求 它由此下摆 角时的 解 取一质元
M xdm g g xdm
C
mg
dm
M mgxC
1 M mgl cos 2
xdm mxC
重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩
L x
J
1 x dx ML2 3
大学物理第三章刚体力学
薄板的正交轴定理：
Jz Jx J y
o x
y
X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。
例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒， O 组成一正方形框架，绕过其一顶点O 并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。 解：由平行轴定理，先求出一根棒 对框架质心C的转动惯量：
C
m, l
1 l 2 1 2 2 J ml m( ) ml 12 2 3
M F2 d F2 r sin
若F位于转动平面内，则上式简化为
M Fd Fr sin
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
例9 行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。 解：行星在太阳引力（有心 力）作用下沿椭圆轨道运动， 因而行星在运行过程中，它 对太阳的角动量守恒不变。
L rmvsin 常量
因而掠面速度：
dS dt
r dr sin 2dt
1 rv sin 常量 2
Fi fi Δmi ai
切向的分量式为
Fi sin i f i sin i mi ri
Fi sin i f i sin i mi ri
两边同乘ri，得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
质点的角动量一质量为m的质点以速度v运动相对于坐标原点o的位置矢量为r定义质点对坐标原点o的角动量为sinrmv282质点的角动量定理质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率角动量定理
刚 体 运 动 学 知 识
刚
体运动学知识
定义
通常情况下，当物体说到外力作用下时，会或多或少发生形变，在有些情况下这些形变可以忽略不计，此时就把此物体成为刚体。
由此得到刚体的定义:在力的作用下物体内部之间的距离不发生变化，则该物体称为刚体(理想状态下)
一．刚体的运动学
1.刚体在运动时，刚体内所有的直线都始终
保持和自身平行，这种运动称为刚体的平动。
例，一辆货车拉一重物在平直的公路上行驶，此时物体就可称为刚体。
2.做平动运动的刚体的个点的运动轨迹相
同，在任一瞬间的速度和加速度相同。
即
V1=V2
dv1/dt=dv2/dt a1=a2
综上所述，在刚体做平动时，只要知道任意一点的运动就可确定整个刚体的运动。
3.刚体绕定轴转动
通常用角速度和加速度来描述刚体绕定轴转动这一过程。
刚体运动时如果刚体内个点都同一直线做圆周运动，这种运动称为刚体的转动。
我们可以用一个角来完全确定这一运动在空间的位置即a=f(t)
与质点做圆周运动一样，对a=f(t)的一阶导数就是缸体运动的角速度，用w表示，再对w做导数就是角加速度В。
W和B 都用来描述刚体转动快慢和方向的物理
量。
当B>0时，角加速度与角速度方向相同，当B<0时，角加速度与角速度方向相反。
通常情况下，V=rw d^=Rb dn=rww
注意，
1.当w与B的符号相同时，刚体做加速运动，W的绝对值与V的绝对值增大，d^与V方向相反
2.当w与B的符号不同时，刚体做减速运动，W的绝对值与V的据对最减小，d^与V方向相反。
大学物理2-1第5章
若质量离散分布：
（质点，质点系）
J i mi ri2
J r2 dm
若质量连续分布：
dm dl
其中： d m d s
d m dV
例题补充 求质量为m，半径为R 的均匀圆环的对中心 轴的转动惯量。 解： 设线密度为λ； d m d l
J R dm
2
2R
0
R dl
2
o
R
dm
R2 2R mR2
例题5-3 求质量为m、半径为R 的均匀薄圆盘对中心轴 的转动惯量。 解： 设面密度为σ。
取半径为 r 宽为d r 的薄圆环,
R
d m d s 2 r d r
J r d m r 2 2r 2 d r
2
3 3g 2L
2)由v r得： v A L
L 3 3 gL 3 3 gL vB 2 8 2
5.2 定轴转动刚体的功和能
一、刚体的动能 当刚体绕Oz轴作定轴转动时，刚体上各质元某一瞬时 均以相同的角速度绕该轴作圆周运动。
2 2 质元mi的动能 E ki mi v i mi ( i ri )2 mi ri 2
2）取C 点为坐标原点。 在距C 点为x 处取dm 。 说明
A
A
x dm
B
L
C
x
x
xd m B
L2
L2
2 mL x 2 d x 12
JC x 2 d m
L 2 L 2
1) 刚体的转动惯量是由刚体的总质量、质量分布、 转轴的位置三个因素共同决定; 2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同， 凡提到转动惯量 必须指明它是对哪个轴的。
刚体运动学
刚体的运动方程表示
2 角位移
f (t )
O' R
----刚体的角位移 d 3 角速度 lim t 0 t dt
角速度矢量
O
P
v
x
方向由右手螺旋法则确定
----角速度方向在转轴上
v r v r sin r
例1 已知一刚体以角速度 =5沿Z轴转动，试 求刚体上某一点
r 10i 3 j 4k
的速度
பைடு நூலகம்
§5.1 刚体的运动及其描述
一.刚体模型 刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物 体 ----物体内任意两点的相对位置和距离不变
1）理想的物理模型； 2）特殊的质点系（组）。
二.刚体的运动一般概念 1.平动：刚体运动时，其内部任何一条直线，
在运动中方向始终不变
特点：各点位移、速度、加速度均相同----可视 为质点。
2
4角加速度
与速度的关系：以转轴上任一点O 为参考点
O R
P
O
v
方向符合右手螺旋关系即矢量积的定义
d d lim 2 t 0 t dt dt
2
方向：沿转轴方向
d dt
dv d a ( r ) dt dt d dr r dt dt d r ( r ) dt 或 2 a e a e a R et R en n n
刚体质心的运动代表了刚体平动中每一
质元的运动。
转动：刚体的各个质点都绕同一直线(转动轴)作 圆周运动 定轴转动:转轴固定不动的转动
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C• R
•
•
A S=2R
随堂练习
[例1]: 在高速旋转的微型电机里，有一圆
柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴 转动。 开始时其角速度为0，经300s 后， 其转速达到 18000r/min。已知转子的角 加速度与时间成正比。 问在这段时间内， 转子转过多少转？
随堂练习
[例2]: 一圆柱体在地面 上沿直线作无滑纯滚动。已
引言：刚体的概念
刚体 (rigid body)
形变可以忽略的固体 各质元相对位置固定的质点系 一种理想化模型
p
C
钢锭
力学第十五讲
刚体运动学
一、刚体运动的概述
1、刚体运动的几种形式
【平动】刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同。
刚体平动
质点运动
一、刚体运动的概述
【转动】刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 定点转动：刚体转动时转轴上仅有一点固定不动。 定轴转动：刚体转动时转轴上至少有两点固定不动。
3个转动自由度。 x
C (x,y,z) y
二、刚体的定轴转动
刚体定轴转动 质心坐标——固定 转轴的方向角——固定 p点绕轴转动的角度：θ
刚体定轴转动只有 一个转动自由度！
刚体中任 一点 P
(t)
x
O
参考
方向
定轴转动 的刚体
二、刚体的定轴转动
1、角位置
刚体定轴转动的运动方程
2、角位移 t dt d
知质心 C 的速度为，υC 圆柱体半径为R ，求边缘
上 A、B、E、D 四点的速度.
υD
υA
υC B
υB
E
瞬心
定点转动
定轴转动
一、刚体运动的概述
刚体的一般运动= 质心的平动 + 绕质心的转动
一、刚体运动的概述 【自由度】确定某系统的位置所需要的独立坐标数目。
一、刚体运动的概述
2、刚体运动的自由度
质心坐标：C (x,y,z)
z
转轴的方向角： (, )
各点绕轴转动的角位置：
刚体共有6个自由度：
o
3个平动自由度，
3、角速度
静止 常量 匀角速 变角速
O
刚体中任
一点 P
转动平面
(t)
x
参考 方向
定轴转动 的刚体
二、刚体的定轴转动
4、角加速度
d 2 dt 2
匀角速 常量 匀角加速 变角加速
匀角加速转动的运动学公式
(t) 0 (t t0)
(t)
0
0
(t
t0
)
1 2
(t
t0
)2
O
刚体中任
一点 P
转动平面基面 基面上各来自的二维运动基点(轴)的平动 C
绕基点(轴)的转动
三、刚体的平面运动 • 刚体平面运动的速度公式:
选质心为基点:
瞬心: 瞬 0
选瞬心为基点:
p rp瞬
z
o x
ω
rp
p rp基
C
基点 r基
三、刚体的平面运动 特例： 纯滚动 =质心平动 +绕质心轴（定轴）转动
A
A
ω υc Rω
(t)
x
参考 方向
定轴转动 的刚体
二、刚体的定轴转动
5、角量与线量的关系
p Rp
p R p
rp
ap Rp
anp 2Rp
ω
O
υp
Rp p
rp
O
三、刚体的平面运动
【平面运动】刚体上各点均在平面内运动， 且这些平面均与一固定平面平行。
三、刚体的平面运动 刚体平面运动的简化 ——可以简化为平面图形C 在其自身平面内的运动