大学物理-质点运动学(答案)
大学物理《力学1·质点运动学》复习题及答案
[]
6.在相对地面静止的坐标系内, A、B 二船 都以 3ms1 的速率匀速行驶, A 船沿 x 轴正 向, B 船沿 y 轴正向,今在船 A 上设置与静 止坐标系方向相同的坐标系 ( x、y方向单 位矢量i、j用表示 ), 那么在 A 船上的坐标 系中, B 船的速度（以 m·s1 为单位）为
(A) 3i 3 j, (C) 3i 3 j,
(B) 3i 3 j, (D) 3i 3 j,
[]
7.一运动质点在某瞬时位于矢径r (x,y) 的端 点处，其速度大小为
( A ) dr dt
(B) dr dt
dr (C )
dt
(D)
dx dt
2
dy dt
H
H'
的高度
S
A 15 cm
30cm M
o
C
解：先求质点的位置
t 2s,
s 20 2 5 22 60 (m)( 在大圆)
v ds / dt 20 10t ,
v(2) 40 m/s
a
t 2s时
at dv / dt 10m/s
an
an v2 / R
an
160 / 3m/ s2。
解：根据机械能守 恒定律，小球与斜
h
v2
面碰撞时的速度
H
H'
为
v1 2 gh
S
h 为小球碰撞前自由下落的距离。
因为是完全弹性碰撞，小球弹射的速度大 小为
v2 v1 2 gh
v2的方向是沿水平方向，故小球与斜面碰 撞后作平抛运动，弹出的水平距离为
s v2t 式中t 2(H h ) g
大学物理(上册)课后习题及答案
因此有： ，∴
⑵由 得： ，两边积分得：
∴
⑶质点停止运动时速度为零， ，即t→∞，
故有：
⑷ 时，其速度为： ，
即速度减至 的 .
2.13作用在质量为10 kg的物体上的力为 N，式中 的单位是s，⑴求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量。⑵为了使这力的冲量为200 N·s，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度 m/s的物体,回答这两个问题。
将 ，及 代入上式，即得： 。
6.9沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为 =0.05cos(10 )，式中 , 以米计， 以秒计。求：
⑴设 ＝100 N，问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转?⑵如果在2s内飞轮转速减少一半，需加多大的力 ?
解：⑴先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b))。图中 、 是正压力， 、 是摩擦力， 和 是杆在 点转轴处所受支承力， 是轮的重力， 是轮在 轴处所受支承力。
杆处于静止状态，所以对 点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有：
解：因为
将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相。故有： ，
，
5.9一质量为 的物体作谐振动，振幅为 ，周期为 ，当 时位移为 。求：
⑴ 时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向；
⑵由起始位置运动到 处所需的最短时间；
⑶在 处物体的总能量。
解：由题已知 ，∴
又， 时，
故振动方程为：
⑴将 代入得：
方向指向坐标原点，即沿 轴负向。
⑵由题知， 时， ； 时，
∴
⑶由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为：
大学物理习题册及解答第二版第一章质点的运动
7 汽车在半径为200m的圆弧形公路上刹车，刹车开始阶段的路程
随时间的变化关系为 S 20t 0.2t3(SI)，汽车在t=1s时的切向加速
度
，法向加速度大小为 ，加速度的大小和方向为
和
。
at
d 2S dt 2
1.2t
1.2m / s2
an
2
R
1 dS R dt
2
(20 0.6t 2 )2 R
第一章 质点的运动（一）
一、选择题
1 某质点作直线运动的运动学方程为x＝3t-5t3+6(SI)，则
该质点作 (A)匀加速直线运动，加速度沿x轴正方向． (B)匀加速直线运动，加速度沿x轴负方向． (C)变加速直线运动，加速度沿x轴正方向． (D)变加速直线运动，加速度沿x轴负方向．
2
一质点在某瞬时位于位矢 r(
2
4 一质点沿x方向运动，其加速度随时间变化关系为a =3+2t(SI) , 如果初始时质点的速度v0为5m/s，则当ｔ为3s时，质点的速度v
=_2__3_m_/_s_
5.一质点作半径为 0.1 m的圆周运动，其角位置的运动学方程为：
π
1 t2
(SI)
42
则其切向加速度为 a
R
R d 2
0.1m / s2
定要经过2m的路程． (B) 斜向上抛的物体，在最高点处的速度最小，加速度最大． (C) 物体作曲线运动时，有可能在某时刻的法向加速度为零． (D) 物体加速度越大，则速度越大．
3． 在相对地面静止的坐标系内, A、B 二船都以3m/s 的速率匀
速行驶, A 船沿x轴正向, B船沿y轴正向,今在船 A 上设置与静
(A)
1 2
大学物理一课外题型答案
质点运动学一、选择题D 1、某质点作直线运动的运动学方程为x ＝3t -5t 3 + 6 (SI)，则该质点作(A) 匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向(B) 匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向(C) 变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向(D) 变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向 B 2、一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为 j bt i at r 22+=（其中a 、b 为常量）, 则该质点作(A) 匀速直线运动 (B) 变速直线运动 (C) 抛物线运动 (D)一般曲线运动 D. 3、 质点作曲线运动，r 表示位置矢量，v 表示速度，a 表示加速度，S 表示路程，a 表示切向加速度，下列表达式中， (1) a t = d /d v ， (2) v =t r d /d ， (3) v =t S d /d (4) t a t =d /d v ．(A) 只有(1)、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的(C) 只有(2)是对的 (D) 只有(3)是对的C 4、某物体的运动规律为t k t 2d /d v v -=，式中的k 为大于零的常量．当0=t 时，初速为v 0，则速度v 与时间t 的函数关系是(A) 0221v v +=kt , (B) 0221v v +-=kt , (C) 02121v v +=kt , (D) 02121v v +-=kt C. 5、下列说法中，哪一个是正确的？(A) 一质点某时刻的瞬时速度是2 m/s ，说明它在此后1 s 内一定要经过2 m 的路程(B) 斜向上抛的物体，在最高点处的速度最小，加速度最大(C) 物体作曲线运动时，有可能在某时刻的法向加速度为零(D) 物体加速度越大，则速度越大二 填空题 i 21、一物体质量M ＝2 kg ，在合外力i t F )23(+= (SI )的作用下，从静止开始运动，式中i 为方向一定的单位矢量, 则当ｔ＝1 s 时物体的速度1v ＝_______ ___．20.1y x x =- 2. 一足球运动员踢出的初速度 010/v m s =，0v 与水平方向成45度角，不计空气阻力，此足球的轨迹方程为 。
大学物理活页作业答案(全套)
1.质点运动学单元练习（一）答案1．B 2．D 3．D 4．B5．3.0m ；5.0m （提示：首先分析质点的运动规律，在t <2.0s 时质点沿x 轴正方向运动；在t =2.0s 时质点的速率为零；，在t >2.0s 时质点沿x 轴反方向运动；由位移和路程的定义可以求得答案。
）6．135m （提示：质点作变加速运动，可由加速度对时间t 的两次积分求得质点运动方程。
）7．解：（1）)()2(22SI jt i t r)(21m ji r)(242m ji r)(3212m ji r r r)/(32s m ji t r v（2）)(22SI j t i dtrd v )(2SI jdt vd a)/(422s m j i v)/(222 s m ja8．解：t A tdt A adt v totosin cos 2t A tdt A A vdt A x totocos sin9．解：（1）设太阳光线对地转动的角速度为ωs rad /1027.73600*62/5s m th dt ds v /1094.1cos 32（2）当旗杆与投影等长时，4/ th s t 0.31008.14410．解： ky yv v t y y v t dv ad d d d d d d -k y v d v / d yC v ky v v y ky 222121,d d 已知y =y o ，v =v o 则20202121ky v C )(2222y y k v v o o2.质点运动学单元练习（二）答案1．D 2．A 3．B 4．C5．14 s m t dt ds v ；24s m dtdva t ；2228 s m t Rv a n ；2284 s m e t e a nt6．s rad o /0.2 ；s rad /0.4 ；2/8.0s rad r a t ；22/20s m r a n7．解：（1）由速度和加速度的定义)(22SI ji t dt rd v ；)(2SI idtv d a（2）由切向加速度和法向加速度的定义)(124422SI t t t dt d a t)(12222SI t a a a t n（3）)(122/322SI t a v n8．解：火箭竖直向上的速度为gt v v o y 45sin 火箭达到最高点时垂直方向速度为零，解得s m gtv o /8345sin9．解：s m uv /6.3430tan10．解：l h v u ；u hl v3.牛顿定律单元练习答案1．C 2．C 3．A 4．kg Mg T 5.36721；2/98.02.0s m MT a 5．x k v x 22 ；x x xv k dtdxk dt dv v 222 221mk dt dv mf x x 6．解：（1）ma F F N T sin cosmg F F N T cos sinsin cos ;cos sin ma mg F ma mg F N T（2）F N =0时；a =g cot θ7．解：mg R m o 2Rg o8．解：由牛顿运动定律可得dtdv t 1040120 分离变量积分tovdt t dv 4120.6 )/(6462s m t t vt oxdt t tdx 6462.5 )(562223m t t t x9．解：由牛顿运动定律可得dtdv mmg kv 分离变量积分t o vv o dt m k mg kv kdv ot m kmg kv mg olnmg kv k m mg kv mg k m t o o 1ln ln10．解：设f 沿半径指向外为正，则对小珠可列方程 a v m f mg 2cos ，t vm mg d d sin ，以及 ta v d d， d d v a t ，积分并代入初条件得 )cos 1(22 ag v ，)2cos 3(cos 2mg av m mg f ．4.动量守恒和能量守恒定律单元练习（一）答案1．A ； 2．A ； 3．B ； 4．C ； 5．相同 6．2111m m t F v；2212m t F v v7．解：（1）t dt dxv x 10；10 dtdv a x x N ma F 20 ；m x x x 4013J x F W 800（2）s N Fdt I40318．解： 1'v m m mv221221'2121o kx v m m mv''m m k mm vx9．解： 物体m 落下h 后的速度为 gh v 2当绳子完全拉直时，有 '2v M m gh mgh mM m v 2'gh mM mMMv I I T 22'2210．解：设船移动距离x ，人、船系统总动量不变为零0 mv Mu等式乘以d t 后积分，得totomvdt Mudt0)( l x m Mx m mM mlx 47.05.动量守恒和能量守恒定律单元练习（二）答案1．C 2．D 3．D 4．C 5．18J ；6m/s 6．5/37．解：摩擦力mg f由功能原理 2121210)(kx x x f 解得 )(22121x x mg kx .8．解：根据牛顿运动定律 Rv m F mg N 2cos由能量守恒定律mgh mv 221质点脱离球面时 RhR F Ncos ;0 解得：3R h9．解：(1)在碰撞过程中，两球速度相等时两小球间距离最小 v v v )(212211m m m m ①212211m m v m v m v(2) 两球速度相等时两小球间距离最小，形变最大，最大形变势能等于总动能之差22122221)(212121v v v m m m m E p② 联立①、②得 )/()(212122121m m m m E pv v10．解：(1)由题给条件m 、M 系统水平方向动量守恒，m 、M 、地系统机械能守恒．0)( MV V u m ①mgR MV V u m 2221)(21 ② 解得： )(2m M M gRmV ；MgRm M u )(2(2) 当m 到达B 点时，M 以V 运动，且对地加速度为零，可看成惯性系，以M 为参考系 R mu mg N /2M mg m M mg R mu mg N /)(2/2mg MmM M mg m M Mmg N 23)(26.刚体转动单元练习（一）答案1．B 2．C 3．C 4．C5．v = 1.23 m/s ；a n = 9.6 m/s 2；α = –0.545 rad/ s 2；N = 9.73转。
大学物理第1章 质点运动学习题解答
第1章 质点运动学习题解答1-9 质点运动学方程为k j e i e r t t ˆ2ˆˆ22++=- .⑴求质点轨迹；⑵求自t= -1到t=1质点的位移。
解：⑴由运动学方程可知：1,2,,22====-xy z e y e x t t ，所以，质点是在z=2平面内的第一像限的一条双曲线上运动。
⑵j e e i e e r r r ˆ)(ˆ)()1()1(2222---+-=--=∆j i ˆ2537.7ˆ2537.7+-=。
所以，位移大小：︒==∆∆=︒==∆∆=︒=-=∆∆==+-=∆+∆=∆900arccos ||arccos z 45)22arccos(||arccos y 135)22arccos(||arccos x ,22537.72537.7)2537.7()()(||2222r zr y r x y x rγβα轴夹角与轴夹角与轴夹角与1-10 ⑴k t j t R i t R r ˆ2ˆsin ˆcos ++= ，R 为正常数，求t=0,π/2时的速度和加速度。
⑵kt j t i t r ˆ6ˆ5.4ˆ332+-= ，求t=0,1时的速度和加速度（写出正交分解式）。
解：⑴kj t R i t R dt r d v ˆ2ˆcos ˆsin /++-== jR a k i R v iR a k j R v j t R i t R dt v d a t t t t ˆ|,ˆ2ˆ|,ˆ|,ˆ2ˆ|.ˆsin ˆcos /2/2/00-=+-=-=+=∴--======ππ ⑵kt j dt v d a k t j t i dt r d v ˆ36ˆ9/,ˆ18ˆ9ˆ3/2+-==+-== ； kj a k j i v j a i v t t t t ˆ36ˆ9|,ˆ18ˆ9ˆ3|,ˆ9|,ˆ3|1100+-=+-=-======1-12质点直线运动的运动学方程为x=acost,a 为正常数，求质点速度和加速度，并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）解：t a dt dv a t a dt dx v t a x x x x cos /,sin /,cos -==-=== 显然，质点随时间按余弦规律作周期性运动，运动范围：a a a a v a a x a x x ≤≤-≤≤-≤≤-,,1-13图中a 、b 和c 表示质点沿直线运动三种不同情况下的x-t 图像，试说明每种运动的特点（即速度，计时起点时质点的位置坐标，质点位于坐标原点的时刻）解：质点直线运动的速度 dt dx v /=，在x-t 图像中为曲线斜率。
大学物理习题册及解答_第二版_第一章_质点的运动
( A ) 3i 3 j (C) - 3i 3 j
(B) - 3i 3 j ( D) 3i 3 j
二、填空题
1.一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标的关系为 a 3 6 x 2 (SI), 如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置的速度 为 ．
d d dx d a dt dx dt dx
8. 半径为R的圆盘在固定支撑面上向右滚动，圆盘质心C的运动速 度为 ，圆盘绕质心转动的角速度为 ，如图所示.则圆盘边 缘上A点的线速度为 ；B点的线速度为 ；O点的 线速度为 . A
分析：刚体上某质点的运动可看为随质心的 平动和绕质心转动的合成
B
C O
A C R
B R
1
消去t得轨道方程为 y M
o
o dr （2） A sinωt i A cosωt j d t d a A cosωt i A sinωt j r dt
x y 2 1 2 A1 A2
2
（椭圆）
1 2
x
2
2
2
1
2
上式表明：加速度恒指向椭圆中心。
质点在通过图中M点时，其速率是增大还是减小？
x A cos t y A sin t
1 2
at
M
y
Q
a
o
Ｖ an
P
o
x
（3）当t=0时，x=A1，y=0，质点位于图中P点
质点位于
t 2
时， x A1 cos
y A sin
2
解：(1)从运动方程中消去时间就得到轨道方程
大学物理课后习题答案第一章
第一章 质点运动学1．1 一质点沿直线运动，运动方程为x (t ) = 6t 2 - 2t 3．试求： （1）第2s 的位移和平均速度；（2）1s 末及2s 末的瞬时速度，第2s 的路程； （3）1s 末的瞬时加速度和第2s 的平均加速度．[解答]（1）质点在第1s 末的位置为：x (1) = 6×12 - 2×13 = 4(m)．在第2s 末的位置为：x (2) = 6×22 - 2×23 = 8(m)． 在第2s 的位移大小为：Δx = x (2) – x (1) = 4(m)，经过的时间为Δt = 1s ，所以平均速度大小为：=Δx /Δt = 4(m·s -1)． （2）质点的瞬时速度大小为：v (t ) = d x /d t = 12t - 6t 2，因此v (1) = 12×1 - 6×12 = 6(m·s -1)，v (2) = 12×2 - 6×22 = 0质点在第2s 的路程等于其位移的大小，即Δs = Δx = 4m ． （3）质点的瞬时加速度大小为：a (t ) = d v /d t = 12 - 12t ，因此1s 末的瞬时加速度为：a (1) = 12 - 12×1 = 0，第2s 的平均加速度为：= [v (2) - v (1)]/Δt = [0 – 6]/1 = -6(m·s -2)．[注意] 第几秒的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒．1．2 一质点作匀加速直线运动，在t = 10s 走过路程s = 30m ，而其速度增为n = 5倍．试证加速度为，并由上述数据求出量值．[证明]依题意得v t = nv o ，根据速度公式v t = v o + at ，得a = (n – 1)v o /t ， (1)根据速度与位移的关系式v t 2 = v o 2 + 2as ，得 a = (n 2 – 1)v o 2/2s ，(2) （1）平方之后除以（2）式证得：．计算得加速度为：= 0.4(m·s -2)．1．3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成22.5°的夹角的初速度65m·s -1从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东边比西边低70m ，忽略空气阻力，且取g = 10m·s -2．问：（1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？（2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？ [解答]方法一：分步法．（1）夹角用θ表示，人和车（人）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为v y 0 = v 0sin θ = 24.87(m·s -1)．取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式v t - v 0 = at ，这里的v 0就是v y 0，a = -g ；当人达到最高点时，v t = 0，所以上升到最高点的时间为t 1 = v y 0/g = 2.49(s)．再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式：v t 2 - v 02 = 2a s ， 可得上升的最大高度为：h 1 = v y 02/2g = 30.94(m)．人从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为;h 2 = h 1 + h = 100.94(m)． 根据自由落体运动公式s = gt 2/2，得下落的时间为:= 4.49(s)． 因此人飞越的时间为：t = t 1 + t 2 = 6.98(s)．人飞越的水平速度为;v x 0 = v 0cos θ = 60.05(m·s -1)，v a 22(1)(1)n sa n t -=+22(1)(1)n sa n t -=+22(51)30(51)10a -=+222h t g=70m22.5º 图1.3所以矿坑的宽度为：x = v x 0t = 419.19(m)．（2）根据自由落体速度公式可得人落地的竖直速度大小为：v y = gt = 69.8(m·s -1)， 落地速度为：v = (v x 2 + v y 2)1/2 = 92.08(m·s -1)，与水平方向的夹角为：φ = arctan(v y /v x ) = 49.30º，方向斜向下．方法二：一步法．取向上为正，人在竖直方向的位移为y = v y 0t - gt 2/2，移项得时间的一元二次方程， 解得：．这里y = -70m ，根号项就是人落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为：t = 6.98(s)．由此可以求解其他问题．1．4 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即d v /d t = -kv 2，k 为常数．（1）试证在关闭发动机后，船在t 时刻的速度大小为； （2）试证在时间t ，船行驶的距离为． [证明]（1）分离变量得， 故 ，可得：． （2）公式可化为，由于v = d x/d t ，所以： 积分．因此 ． 证毕．[讨论]当力是速度的函数时，即f = f (v )，根据牛顿第二定律得f = ma ． 由于a = d 2x /d t 2， 而 d x /d t = v ， a = d v /d t ， 分离变量得方程：， 解方程即可求解．在本题中，k 已经包括了质点的质量．如果阻力与速度反向、大小与船速的n 次方成正比，则d v /d t = -kv n ．（1）如果n = 1，则得， 积分得ln v = -kt + C ．当t = 0时，v = v 0，所以C = ln v 0， 因此ln v/v 0 = -kt ，得速度为 ：v = v 0e -kt ．201sin 02gt v t y θ-+=0(sin t v g θ=011kt v v =+01ln(1)x v kt k=+2d d vk t v =-020d d v t v v k t v =-⎰⎰011kt v v =+001v v v kt=+00001d d d(1)1(1)v x t v kt v kt k v kt ==+++00001d d(1)(1)x tx v kt k v kt =++⎰⎰01ln(1)x v kt k=+d d ()m vt f v =d d vk t v=-而d v = v 0e -kt d t ，积分得：． 当t = 0时，x = 0，所以C` = v 0/k ，因此．（2）如果n ≠1，则得，积分得． 当t = 0时，v = v 0，所以，因此． 如果n = 2，就是本题的结果．如果n ≠2，可得，读者不妨自证．1．5 一质点沿半径为0.10m 的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ = 2 + 4t 3．求：（1）t = 2s 时，它的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？ （3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？ [解答]（1）角速度为ω = d θ/d t = 12t 2 = 48(rad·s -1)，法向加速度为 a n = rω2 = 230.4(m·s -2)；角加速度为 β = d ω/d t = 24t = 48(rad·s -2)， 切向加速度为 a t = rβ = 4.8(m·s -2)． （2）总加速度为a = (a t 2 + a n 2)1/2，当a t = a /2时，有4a t 2 = a t 2 + a n 2，即．由此得，即 ，解得 ．所以 =3.154(rad)．（3）当a t = a n 时，可得rβ = rω2， 即： 24t = (12t 2)2，解得 ： t = (1/6)1/3 = 0.55(s)．1．6 一飞机在铅直面飞行，某时刻飞机的速度为v = 300m·s -1，方向与水平线夹角为30°而斜向下，此后飞机的加速度为a = 20m·s -2，方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？[解答]建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为 v 0x = v 0cos θ， v 0y = v 0sin θ．加速度的大小为a x = a cos α， a y = a sin α． 运动方程为， ． 即 ，．令y = 0，解得飞机回到原来高度时的时间为：t = 0（舍去）；(s)．将t 代入x 的方程求得x = 9000m ．0e `ktv x C k-=+-0(1-e )kt vx k -=d d n vk t v=-11n v kt C n -=-+-101n v C n-=-11011(1)n n n kt v v --=+-1(2)/(1)020{[1(1)]1}(2)n n n n n v kt x n v k----+--=-3n t a a =23r r ωβ=22(12)243t t =33/6t =3242(13/3)t θ=+=+32012x x x v t a t =+2012y y y v t a t =-+201cos cos 2x v t a t θα=⋅+⋅201sin sin 2y v t a t θα=-⋅+⋅02sin 103sin v t a θα== y xO α v 0θ a a xa yv 0x v 0y[注意]选择不同的坐标系，如x 方向沿着a 的方向或者沿着v 0的方向，也能求出相同的结果．1．7 一个半径为R = 1.0m 的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动．一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体A ．在重力作用下，物体A 从静止开始匀加速地下降，在Δt = 2.0s 下降的距离h = 0.4m ．求物体开始下降后3s 末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度．[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A 下落加速度．由于， 所以a t = 2h /Δt 2 = 0.2(m·s -2)．物体下降3s 末的速度为v = a t t = 0.6(m·s -1)，这也是边缘的线速度，因此法向加速度为= 0.36(m·s -2)．1．8 一升降机以加速度1.22m·s -2上升，当上升速度为2.44m·s -1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距 2.74m ．计算：（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．[解答]在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为；螺帽做竖直上抛运动，位移为． 由题意得h = h 1 - h 2，所以， 解得时间为= 0.705(s)．算得h 2 = -0.716m ，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m ．[注意]以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a + g ，而初速度为零，可列方程h = (a + g )t 2/2，由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离．1．9 有一架飞机从A 处向东飞到B 处，然后又向西飞回到A 处．已知气流相对于地面的速度为u ，AB 之间的距离为l ，飞机相对于空气的速率v 保持不变．（1）如果u = 0（空气静止），试证来回飞行的时间为； （2）如果气流的速度向东，证明来回飞行的总时间为；（3）如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为．[证明]（1）飞机飞行来回的速率为v ，路程为2l ，所以飞行时间为t 0 = 2l /v ． （2）飞机向东飞行顺风的速率为v + u ，向西飞行逆风的速率为v - u ， 所以飞行时间为 ． （3）飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度．为了使飞机沿着AB 之间的直线飞行，就要使其相对地的速度偏向北方，可作矢量三角形，其中沿AB 方向的速度大小为，所以飞行时间为212t h a t =∆2n v a R=21012h v t at =+22012h v t gt =-21()2h a g t =+2/()t h a g =+02l t v =1221/t t u v =-02221/t t u v=-1222l l vl t v u v u v u =+=+--022222/1/1/t l v u v u v==--22V v u =-RA图1.7AB AB vv + uv - uABvuuvv． 证毕．1．10 如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为v 1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ，偏向于汽车前进方向，速度为v 2．今在车后放一长方形物体，问车速v 1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿？[解答]雨对地的速度等于雨对车的速度加车对地的速度，由此可作矢量三角形．根据题意得tan α = l/h ．方法一：利用直角三角形．根据直角三角形得v 1 = v 2sin θ + v 3sin α，其中v 3 = v ⊥/cos α，而v ⊥ = v 2cos θ， 因此v 1 = v 2sin θ + v 2cos θsin α/cos α， 即 ． 证毕． 方法二：利用正弦定理．根据正弦定理可得，所以：，即 ． 方法三：利用位移关系．将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在t 时间，雨滴的位移为l = (v 1 – v 2sin θ)t ， h = v 2cos θ∙t ．两式消去时间t 即得所求． 证毕．22222222/1/l l l v t V v u u v ===--0221/t u v=-2v 3v 1v 12(sin cos )lv v hθθ=+12sin()sin(90)v v θαα=+︒-12sin()cos v v θαα+=2sin cos cos sin cos v θαθαα+=2(sin cos tan )v θθα=+12(sin cos )lv v hθθ=+v 1hl v 2θ图1.10v 1h lv 2θ v 3 α α v ⊥。
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第一章 力和运动（质点运动学）一. 选择题:［ B ］1、一质点沿x 轴作直线运动，其v t 曲线如图所示，如t =0时，质点位于坐标原点，则t = s 时，质点在x 轴上的位置为(A) 5m ． (B) 2m ．(C) 0． (D) 2 m ．(E) 5 m.(1 2.5)22(21)122()x m =+⨯÷-+⨯÷=提示：［ C ］2、如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 (A) 匀加速运动． (B) 匀减速运动．(C) 变加速运动． (D) 变减速运动． (E) 匀速直线运动． 提示：如图建坐标系，设船离岸边x 米，222l h x =+22dl dxlxdt dt= 22dx l dl x h dldt x dt x dt+==0dlv dt=- 220dx h x v i v i dt x +==-rr r2203v h dv dv dxa i dt dx dt x==⋅=-r rr r［ D ］3、一运动质点在某瞬时位于矢径()y x r ,ϖ的端点处, 其速度大小为1 4.5432.52-112t (s)v (m/s)v ϖxo(A) t r d d (B) tr d d ϖ(C) t rd d ϖ (D) 22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x提示：22, dx dy dx dy v i j v dt dt dt dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+∴=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭r r v［ B ］4、质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每T 秒转一圈．在2T 时间间隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为(A) 2R /T , 2R/T ． (B) 0 , 2R /T(C) 0 , 0． (D) 2R /T , 0.提示：平均速度大小：0rv t∆==∆v r 平均速率：2s R v t T∆==∆π ［ B ］5、在相对地面静止的坐标系内，A 、B 二船都以2 m/s 速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向，B 船沿y 轴正向．今在A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x 、y 方向单位矢用i ϖ、j ϖ表示)，那么在A 船上的坐标系中，B 船的速度（以m/s 为单位）为(A) 2i ϖ＋2j ϖ． (B) 2i ϖ＋2j ϖ． (C) －2i ϖ－2j ϖ． (D) 2i ϖ－2j ϖ．提示：2(2)B A B A v v v j i →→→=+=+-r r r r r地地［ D ］6、某人骑自行车以速率v 向西行驶，今有风以相同速率从北偏东30o方向吹来，人感到风从哪个方向吹来(A)北偏东30 (B)北偏西60 (C) 北偏东60 (D) 北偏西30提示：根据v r 风对人=v r 风对地+v r地对人，三者的关系如图所示：这是个等边三角形，∴人感到风从北偏西300方向吹来。
二. 填空题v r风对人v r地对人v r风对地xMh 1h 2 o x x m1、已知质点的运动学方程为j t t i t t r ϖϖϖ)314()2125(32++-+= (SI)当t = 2 s 时，加速度的大小为a = 217/m s ;加速度a ϖ与x 轴正方向间夹角= 0104222222222100241417/19010424t st st sx y x y d r ai tji jdta a a m s a arctg arctg a ===-==-+=-+∴=+=+=⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭v v v v v v提示：πα2、在半径为R 的圆周上运动的质点，其速率与时间关系为2ct =v （式中c 为常量），则从t = 0到t 时刻质点走过的路程S (t ) =__313ct ______；t 时刻质点的切向加速度a t =___2ct _____；t 时刻质点的法向加速度a n =___24c t R_______。
提示：23002241, 32, ttt n ds v s vdt ct dt ct dt dv v c t a ct a dt R R========⎰⎰3、灯距地面高度为h 1，一个人身高为h 2，在灯下以匀速率v 沿水平直线行走，如图所示．他的头顶在地上的影子M 点沿地面移动的速度为 112M h v v i h h =-rr．提示：坐标系如图，设人的坐标为x ，头的影子坐标为x M ，人向x 轴正向运动。
111121212M M h x dx h h v dx v i i ih h dt h h dt h h ===⋅=---r r r r m 答：根据三角形的相似性，有xn at ag4、一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A 点处速度v ϖ的大小为v ，其方向与水平方向夹角成30°．则物体在A 点的切向加速度a t =____-0.5g_______，轨道的曲率半径=________2233v g⨯__________．提示：将g 进行分解。
22sin 300.5cos 30 cos 30t n a g gv v a g g =-=-==∴=ρρ 5、一质点从静止出发沿半径R =1 m 的圆周运动，其角加速度随时间t 的变化规律是=12t 2-6t (SI)， 则质点的角速度=__4t 3-3t 2____(SI)______； 切向加速度 a t =___12t 2-6t _(SI)___________．提示:()2320012643t tdt t t dt t t ==-=-⎰⎰ωβ2126t a R t t ==-β6、一质点从O 点出发以匀速率1 cm/s 作顺时针转向的圆周运动，圆的半径为1 m ，如图所示．当它走过2/3圆周时，走过的路程是___4π/3 （m ）___，这段时间内的平均速度大小为___3(400)(/)m s π______，方向是__与x 轴正方向逆时针成600_______．24S 2R (m)33r 2cos3033v m /s S t 400v=⨯=∆⨯===∆v v πππ提示：路程平均速度大小（）三．计算题1、有一质点沿x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为x = t 2– 2 t 3(SI) ．试求： (1) 第2秒内的平均速度； (2) 第2秒末的瞬时速度；v ϖ30°AyxOPvr(3) 第2秒内的路程．解：（1）t 1=1s: x 1=2.5m; t 2=2s: x 2=2m ;∴21212 2.50.5(/)21x x v i i i m s t t --===---r rr r （2）,)69(2i t t i dtdx v ρρρ-== )/(6)4629(22s m i i v s t ρρρ-=⨯-⨯==∴时，（3）令0)69(2=-=i t t v ρρ， 得：s t 5.1'=. 此时x’=3.375m;又t 1=1s 时, x 1=2.5m; t 2=2s 时, x 2=2m ∴第二秒内的路程s=(x’-x 1)+(x’-x 2)=（）+=2.25m2、一正在行驶的汽船发动机关闭后得到一个与船速方向相反的大小与船速平方成正比的加速度：2kv a -=，其中k 为正的常数，设发动机关闭时船速为v o ，试证明在发动机关闭后时间t 内船行驶的距离为)1ln(1+=kt v k x o 。
解：已知：i kv a ρρ2-=, 又dt v d a ρρ=2kv dt dv -=∴， 分离变量，得：kdt v dv -=2积分：,1,1,0000200tkv v v kt vkdt v dvt v v vv t +=-=--=⎰⎰又⎰⎰+=+=∴=xtdt t kv v dx tkv v dt dx dtdx v 00000,1,1,得：)1ln(10kt v kx +=3、物体作斜抛运动，初速度1020-⋅=s m v 与水平方向成45o角，求： (1) 在最高点处的切向加速度、法向加速度；(2) 在2=t 秒时的切向加速度、法向加速度。
解：（1）最高点：)/10,(0,,2s m g g a g a e g a t n n ===∴=取为重力加速度ρρ（2）、)/(1021045sin ,/21045cos 0000s m t gt v v s m v v y x -=-===t t v v v y x 2200100400222-+=+=222,2200100400)2(100t n t a g a tt t dtdv a -=-+-==22/24.9225,/83.32252s m a s m a s t n t =+==-==时，（註：本题也可用填空题4的方法做，即求出v ρ与水平方向的夹角，然后再将g 分解为a t 和a n ）。
4、质点沿半径为R 的圆周运动，加速度与速度的夹角ϕ保持不变，求该质点的速度随时间而变化的规律，已知初速为0v 。
解：Rv a dtdva a atg n t tn 2,,===ϕ ⎰⎰-=∴=+-==vv ttv Rtg Rtg v v Rtg t v v Rtg dt v dv Rtg v dt dv 0000022,11,,ϕϕϕϕϕ分离变量并积分：得：选做题：1、细杆OL 绕O 点以匀角速ω转动，并推动小环C 在固定的钢丝AB 上滑动。
图中的l 为已知，试利用ϕ或S 表示小环的速度与加速度。
解：如图建立坐标系，则222() cos 2cos dr ds ds d d ltg v i i i l idt dt d dt d dv dv d a l tg idt d dt--===⋅=⋅===⋅=r r r r r r r r r r ϕϕωωϕϕϕϕωϕϕϕ2、一架飞机从A 处向北飞到B 处，然后又向南飞回到A 处，飞机相对于空气的速度为v ，而空气相对于地面的速度为B A u 、，之间的距离为l ，飞机相对于空气的速率v 保持不变。
（1）如果空气是静止的（即u=0），试证来回飞行时间为t 0=2l/v(2) 如果空气的速度由东向西，试证来回飞行时间22021/vu t t -=；x(3) 如果空气的速度的方向偏离南北方向某一角度θ，则来回飞行时间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2222231/sin 1v u vu t t θ。
解：根据+v v v →→→=r r r机地机气气地求解。
（1）0v 0, v , 2lv v t v→→→=∴==∴=rQ 气地机地机气 （2）如图所示，无论从A 飞到B ，还是从B 飞到A ，v →==机地22l t v →∴===机地（3）从A 飞到B 时，如右图所示：cos v u θ→=机地A B t →=；从B 飞到A 时，如下图所示：cos v u θ→=机地B A t →=2321A B B Au t t t t v →→⎛⎫∴=+=- ⎪⎝⎭Bv →r 机地v →r 机气v →r 气地Av →r气地v →r 机气v →r 机地ABθ v →r 机地（大小为u ）v →r气地（大小为v ）v →r 机气v r 气v r。