大学物理第一章质点运动学

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oR P
方向：永远指向圆心---向心加速度---速度方向的变化率
二、变速圆周运动 切向加速度 法向加速度
t v (t)
t t v (t t)
(t t) Q
(t)
1、加速度定义 已知： v v(t)
v v(t t) v(t)
➢平均加速度
a v t
y
v(t)
P1
P2
r(t)
r (t t)
v(t t)
v(t)
v v(t t)
➢瞬时加速度
0
a
lim
v
dv
t0 t dt
d 2r dt 2
x
方大向小：：av的极dd限vt 方向，
且指向轨道凹侧
二、质点的运动方程（运动函数）
1、质点的位置矢量（位矢，矢经）r
r (t)
z z( t )
P( t )
·
r( t )
x( t )
k i0
j
y( t )
x
直角坐标下： P(x, y, z)
x x(t), y y(t), z z(t)
位置矢量： r
y
大小r r : OP间直线距离
方向：
OP
§1.1 质点的运动函数
一、 质点运动学的基本概念
1、参考系和坐标系
运动是绝对性的 运动的描述是相对性
参考系——用来描述物体运动而选作参考的物体或物体系。
（1）描述物体运动必须选取参考系。 （2）运动学中参考系可任选，不同参考系中物体的运动形式可以不同。 （3）常用参考系:
太阳参考系（太阳 ─ 恒星参考系） 地心参考系（地球 ─ 恒星参考系） 地面参考系或实验室参考系 质心参考系（第三章§6）
质点运动状态量是：
加速度分量式： ax 0 ay g
速度分量式： x 0 cos y 0 sin gt
位矢分量式： x 0 cos t
y
0
s in
t
1 2
gt 2
轨迹方程：
y
0
o
y x tan gx 2 2v0 cos2
Y v02 sin 2
x
2g
T 2v0 sin
g
二维平面运动
若质点作平面运动，在平面上取坐标系o-xy ，则
质点P的位置由两个坐标 x、y 确定。
r xiˆ yˆj
y
大小： r r
x2 y2
Y(t)
P(x,y)
r
方向： tg y
x
o
其中为r与x轴正向间的夹角
X(t) x
2、质点的运动方程（运动函数）
当质点在空间运动时，其位置随时间不断变化
提示： a dv dv dy v dv dt dy dt dy
习题指导典例5 6 习作题15
§1.5 抛体运动
典型的匀加速运动 a g
y
0
o
在由初速度v0 和
g
所确定的
平面内
初速度为 0
x 与水平方向夹角为
初始条件：取抛出时刻为初始时刻t＝0
x0 y0 0 v0x v0 cos v0y v0 sin
ax=2,ay= 36 t2。设: 质点 t＝0 时 r0=0, v0=0。
求：(1)此质点的运动方程；(2)此质点的轨道方程。
解：
()ax
dvx dt
dvx 2dt
vx 0
dvx
t
2dt
0
vx 2t
ay
dv y dt
dvy 36t 2dt
vy 0
dvy
t 36t 2dt
0
vy 12t 3
r r (t) 矢量式 它们给出任一时刻质
x x(t)
或
分量式
y y(t)
点的位置，表示质点 的运动规律，称为质
点的运动方程。
x x(t) 削去t y f (x) 称为质点的轨道方程
y y(t)
即在运动方程中，消去t得y=f(x),此方程称
为质点的轨道方程。轨道是直线的称为直 线运动，轨道是曲线的称为曲线运动。
X v02 sin 2
g
讨论
1.运动的独立性与叠加性 运动的独立性：如果一个质点同时参与几个 分运动，其中任何一个运动都不受到其他运 动的影响，就好像只有自己存在一样。 运动的叠加性：质点的一般运动可以看做由 几个相互独立的运动的合成。例如斜抛体运 动
练习1
一质点在oxy平面内作二维曲线运动，已知其加速度
a?
dl dt
v0
v
ds dt
lv0 s
，a
h2v02 s3
2.已知加速度或速度求运动方程用积分
t=0为初始时刻，t=0时质点所在位置x0称为初始位
置，质点的速度v0称为初始速度，初始位置和初始速
度通常称为质点运动的初始条件(x0,v0).
x
t
速度 v= v(t) = dx/dt
dx x x0 v(t)dt
z
P ΔS
一般
S
r
但 dS drt 0
r (t)
Q
Δr ·
r(t t)
0
y
x
二、速度(描述质点运动快慢和方向的物理量)
1.平均速度 r r(t)
运动路径
v r t
2.瞬时速度
r
大小：
方向：r方t 向
P(t)
o rr (t) r
rr (t t) Q(t t)
vr lim rr d r
ay
dv y dt
az
dv z dt
r r x2 y2 tg1 y
x
v v
v
2 x
v
2 y
a a
ax2
a
2 y
tg1 v y
vx
tg1 ay
ax
应用矢量的分量表示法求解，可将矢量运算归结为 代数运算，使运算过程简单，从练习中体会。
例1、用矢量表示二维运动，设
r
2ti
ˆj iˆ
z kˆ o
(A)
iˆ ˆj kˆ
分别是x、y、z的
方向的单位矢量
x
由基本关系式
v
dr dt
a
dv dt
有：
dx dt
iˆ
dy dt
ˆj
dz dt
kˆ
a
d x
dt
iˆ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d y
dt
ˆj
d z
dt
kˆ
(B)
比较(A)(B)两组式子，有：
vx
dx dt
vy
dy dt
vz
dz dt
ax
dv x dt
r (t ),
v dr ,
a
dv
d 2r
dt
dt dt2
（1）矢量性。注意矢量和标量的区别。
（2）瞬时性。注意瞬时量和过程量的区别
（3）相对性。对不同参照系有不同的描述。
r a
直角坐标系
在直角坐标系中可写成：
y
r xiˆ yˆj zkˆ
xiˆ y ˆj zkˆ
a axiˆ ay ˆj azkˆ
例：一小车在一平面上运动，它在直角坐标系
中运动函数为
x
y
6 cos
3
6 sin
3
t t
(其中t单位为s，x，y以m计）
消去t得
x2 y2 36
可见小车在该平面上沿着以O为圆心，半径为6m 的圆周轨道运动
§1.2 位移和速度
一、位移：反映 t内质点位置的移动(大小、方位)
z
r r (t t) r (t)
其中 、 为常量.设t=0时,v=0,x=0.
求质点的运动方程.
x [t 2 ( sin 2t t)] 2 2 2
例8.一物体悬挂在弹簧上作竖直运动，其加速度
为a=-ky，式中k为常量，y是以平衡位置为原点 所测得的坐标，假定振动的物体在坐标y0处的速 度为v0，试求速度v与坐标y的函数关系式。
r t 2 i 3t 4 j
上式中消去t,得 y=3x2 即为轨道方程可知是抛物线。
§1.6 圆周运动
一、匀速圆周运动 向心加速度 v c
特点：速度大小不变，方向 时刻在变。加速度只改变速 度的方向，而且永远指向圆 心----向心加速度：
a lim
t0 t
an
v2 R
(t
(t) t) Q (t
P
大小 r ：PQ间直线距离
r(t)
方向：由P Q
Q
Δr
r (t
t)
注意：
r
r (t)
r
0 r (t t)
0
y
x
r
r(t
t)
r (t)
r rt t rt
r r
➢路程与位移的区别
路程是Δt内走过的轨道的长度（ P1，P2间曲 线距离），用Δs表示，为标量
位移为矢量,其大小是质点实际移动的直线距离。
2、加速度分量式
a
dv
dt
v vxi vy j
a
dvx
iˆ dvy
ˆj
dt dt
axiˆ ay ˆj
ax
dvx dt
d2x dt 2
ay
dvy dt
d2y dt 2
大小： ar
ax2
a
2 y
方向：tg a y 为a与x轴正向间夹角
ax
小结：描述质点运动的状态参量的特性：
状态参量包括：r
dy vy dt
速度大小： v
v
2 x