第一章质点运动学
大学物理第1章质点运动学
大学物理第1章质点运动学质点运动学是物理学中研究物体运动的学科，它是物理学的一个重要分支，是学习物理的基础之一。
一、质点运动学的概念质点运动学是研究质点运动的学科，它把物体看作质点，即把物体看成一个点，而不考虑其体积大小。
质点运动学的主要研究内容包括：位置、速度、加速度等运动量的描述，以及运动的曲线形状、动量、能量等方面的分析。
二、质点的运动质点的运动可以分为匀速运动和非匀速运动两种情况。
1.匀速运动匀速运动是指质点在单位时间内沿着同一直线等距离地移动的运动。
匀速运动的速度大小是恒定的，可以用速度公式v=d/t来计算。
2.非匀速运动非匀速运动是指质点在单位时间内沿任意曲线路径移动的运动。
非匀速运动中质点的速度大小是变化的，需要用微积分的方法进行分析和计算。
三、质点运动中的基本物理量在质点运动中，需要描述质点的运动状态和变化情况。
主要的量包括：1.位置位置是指质点在空间中所处的位置，通常使用坐标表示。
我们可以通过坐标系建立一个参照系，来描述质点的位置。
2.位移位移是指质点从一个位置到另一个位置的距离和方向，通常用符号Δr表示。
位移的大小可以用位移公式Δr=r2-r1来计算。
3.速度速度是指质点在单位时间内所改变的位置，通常用符号v 表示。
速度的大小可以用速度公式v=Δr/Δt来计算。
4.加速度加速度是指质点在单位时间内速度所改变的量，通常用符号a表示。
加速度的大小可以用加速度公式a=Δv/Δt来计算。
四、质点的曲线运动在质点运动中，一些运动路径可能是曲线运动。
曲线运动的路径通常可以用弧长s、曲率半径r、圆心角等来表征。
1.弧长弧长是指质点在曲线路径上所走过的曲线长度，通常用符号s表示。
弧长的大小可以用弧长公式s=rθ来计算。
2.曲率半径曲率半径是指曲线在任一点上的曲率半径，通常用符号r 表示。
曲率半径可以根据曲线的形状计算得出。
3.圆心角圆心角是指质点所在的路径所对应的圆所对应的圆心角度数，通常用符号θ表示。
第1章 质点运动学
100t
4
t3
0
3
x x0
t
t0 vx (t)dt 0
t
(100t
4
t3 )dt
50t 2
1
t4
0
3
3
第一章 质点运动学
1-５ 曲线运动
一、匀速圆周运动
1、匀速圆周运动的加速度
A v B
vA B vB
设质△|量＝圆点 t|时vvv周处|存'刻。的在在，质半圆。v质点径周根点从为上据在PR点的加Q，运P处速处圆动，度，心到速的速为Q度定度O点为义，为有vv可v在，速；' 得t其度时在瞬中增刻t+时|，v
解：由
a
ann a
v2 R
n
dv dt
v
ds dt
20
0.6t 2 (m
/
s)
当t=1s时
an
v2 r
(20 0.6)2 200
m / s2
1.88m / s2
a
dv dt
1.2t
1.2m / s2
a a2 an2 2.23m / s2
dt
v0 v
0
v
v e(1.0s1 )t 0
由速度的定义： v
dy dt
v e(1.0s1 )t 0
y
t
dy v0 e dt (1.0s1 )t
y 10 1 e( 1.0s1 )t
0
0
由以上结果, t 时, v 0,此时y 10m。
但实际情况是：t 9.2s时, v 0,此时y 10m。
加速度分量
加速度大小 加速度余弦方向
a | a| a2x a2y a2z
第1章 质点运动学
由题可知：t = 0时，x = 10
故：c′ = 10
2 3 x = t + 10 3
h
v0
x
o
r
| ∆r |
x
θ ∆x
h
θ′
y
x
解法一
由图可知船的位矢为
r = xi + hj
而 由速度的定义有
x = r −h
2
2
dr dx dh dx v= = i+ j = i + 0 = vx i dt dt vx = r −h = 2 2 dt dt dt r −h
dr = −v0 因绳子变短故 dt
代入上式有
x +h vx = − v0 = − v0 x r 2 − h2 r
2 2
故
x2 + h2 v =− v0 i x
负号表示
v
的方向与正 x 方向相反。
由加速度定义得
2 2
位置x、位移∆x dx 速度v = dt dv = d 2 x 加速度a = dt
dθ 角速度ω = dt 角加速度β = dω
角位置θ、角位移∆θ
d 2θ =
匀速圆周运动θ = θ 0 + ωt
匀变速圆周运动 1 2 θ = θ 0 + ωt + β t 2 ω = ω0 + β t
2 2
dt
v2 an = = 0.808m / s 2 R
则a = aτ + an = 0.814m / s
2 2
2
an o θ = tg = 82 57′ aτ
−1
直线运动与圆周运动比较
直线运动
圆周运动
第1章_质点运动学
17
1-2 质点运动的描述
r
m
求：（1）物体在圆周上运动的距离与时间的关系； （2）要维持物体这样的运动，绳子的拉力应为多少。
21
1-2 质点运动的描述
解：（1）物体在圆周上运动距离为物体经过的圆弧的长度
t
由
dv at dt
得
v v0
cdt v
0
0
ct
ds 由 v dt
1 2 得 s s 0 v0 t ct 2
1-1 物理基准 1-2 质点运动的描述 1-3 相对运动 1-4 牛顿运动定律 1-5 动量 1-6 能量
6
1-1 物理基准
一、长度、时间和质量标准 物体运动相关的单位有三个——长度、时间和质量。 1、长度的国际单位是米（m）：一米等于光在真空 中传播1/299,792,458秒所走的距离。 2、时间的国际单位是秒（s）:一秒是从铯原子中放射 出9,192,631,770次光振动所需要的时间。
质点是研究真实物体运动的一个理想模型，物体在其 大小和形状可以被忽略的情况下，可以视为一个质点。
4
引言
地球绕太阳公转时地球可视一个质点。 一切平动的物体，都可以视为一个质点。
如果物体的大小与形状不能忽略，则把物体上 每一小部分视为一个质点，把整个物体视为有许多 质点所组成的系统，称为质点系。
5
目录
第1章-质点运动学
位移
rrrBArxBxBAii
rA
yA
yB
j j
y
yB A r
r y A A
rB
B
yB yA
(xB xA)i ( yB yA) j
xi yj
o
xA
xB x
xB xA
若质点r 在 (三x维B 空x间A中)i运动( yB
yA)
j
(zB
z A )k
位移的大小为 r x2 y2 z2
23
1-2 求解运动学问题举例
例3 有 一个球体在某液体中竖直下落, 其初速度
为 v0 10 j , 它的加速度为 a 1.0v j. 问:（1）经
过多少时间后可以认为小球已停止运动, （2）此球体
在停止运动前经历的路程有多长？
解：由加速度定义
v dv 1.0
t
dt
,
v v0
0
a dv 1.0v dt
v v2
位矢量
t
0,
t 0
0,
tv
rv
a
dv dt
v2 r
en
2ren
法向单 位矢量
vB
r
o
en
v
vB
vA et r
vA
31
1-3 圆周运动
三alitlami tm 变00速litdmdv圆vvvt0tt周nt运vtavt动dvdttrev2ttleeit切mntv向a0nn加aaevn速tntneen度t 和法向v加2v速tove度2vnrevtv1vn1
一 圆周运动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
角速度 (t) d (t)
dt
速率
大学物理——第1章-质点运动学
21
★ 角速度 ω 大小: ω = lim 单位:rad/s ★ 角加速度 β
v
θ dθ = t →0 t dt
v
ω dω d2θ 大小: β = lim = = 2 t →0 t dt dt
单位:rad/s2
22
★ 线量与角量的关系
dS = R dθ
16
取CF的长度等于CD
v v v v vτ vn v v v = lim + lim 加速度: a = lim = aτ + an t →0 t →0 t →0 t t t
v v 当 t →0 时,B点无限接近A点,vA与 vB v v 的夹角 θ 趋近于零,vτ 的极限方向与 vA v 相同,是A点处圆周的切线方向;vn的极 v 限方向垂直于 vA ,沿圆轨道的半径,指向
y
v v v r = r′ + R
v v v dr dr ′ dR 求导: = + dt dt dt
o
y′ M v u v v r′ r v o′ R
x′
z′
x
z v称为质点M的绝对速度, v称为质点M的相对速度, υ υ′
v 称为牵连速度. u
27
v v υ =υ′ +u
v
in 例1-6 一人向东前进,其速率为 υ1 = 50m/ m ,觉得风从 正南方吹来;假若他把速率增大为υ2 = 75m/ m , in
t
9
初始条件:t = 0 , x = 5m 【不定积分方法】
速度表达式是: v = 4+ 2t
x = ∫ vdt = ∫ (4 + 2t)dt = 4t + t 2 + C
大学物理第一章质点运动学
∫ d x = ∫ (2t −t )dt
2 0 0
t
质点的运动方程
13 x = t − t （m） ） 3
2
(3) 质点在前三秒内经历的路程
s = ∫ vdt = ∫ 2t − t 2 dt
0 0
3
3
令 v =2t-t 2 =0 ，得 t =2
8 s = ∫ (2t − t )dt + ∫ (t − 2t)dt = m 0 2 3
初始条件为x 初始条件为 0=0, v0=0 质点在第一秒末的速度;(2)运动方程；(3)质点在前三秒内 运动方程； 质点在前三秒内 运动方程 求 (1) 质点在第一秒末的速度 运动的路程。 运动的路程。 解 (1) 求质点在任意时刻的速度 dv dv a= = 2 − 2t 由 dt dv = (2 − 2t) dt 分离变量 两边积分
y
P点在 系和 '系的空间坐标 、 点在K系和 系的空间坐标、 点在 系和K 时间坐标的对应关系为： 时间坐标的对应关系为：
y'
r v
P
}
r r
o z
r r′
o' x x'
r R
z'
伽利略坐标变换式
2. 速度变换 r r vK、vK′ 分别表示质点在两个坐标系中的速度 r r r d r ′ d(r − vt) r r r vK′ = = = vK − v dr′ r dt t r 即 vK′ = vK − v r r r vK = vK′ + v 伽利略速度变换
dv = g − Bv dt 分离变量并两边积分
t dv ∫0 g - Bv = ∫0 dt v
g v = (1− e−Bt ) B
第一章 质点运动学
物理学
已知：x(t ) 1.0t 2.0，y(t ) 0.25t 2 2.0， 解 (1) 由题意可得
dx dy vx 1.0， vy 0.5t dt dt t 3s 时速度为 v 1.0i 1.5 j
速度 v 与
x 轴之间的夹角
第一章 质点运动学
第一章 质点运动学
14
物理学
讨论 一运动质点在某瞬 y 时位于矢径 r ( x, y ) 的 y 端点处，其速度大小为
dr （ A） dt dr （ C） dt
注意
dr （B） dt
r (t )
x
o
x
dx 2 dy 2 （ D） ( ) ( ) dt dt
dr dr dt dt
1.5 0 arctan 56.3 1.0
17
物理学
x(t ) 1.0t 2.0， （2）运动方程 2 y(t ) 0.25t 2.0，
消去参数 t 可得轨迹方程为
y 0.25x x 3.0
2
轨迹图 t 4s
y/m
6 2
t 4s
t 2s 4
-6 -4 -2 0
dx B v A v x i i vi dt l dy vB v y j j o dt 2 2 2 x y l dx dy 两边求导得 2 x 2y 0 dt dt
第一章 质点运动学
解
y
A
v
x
20
物理学
dy x dx y 即 dt y dt B x dx vB j y dt dx o v dt vB vtan j
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第一章 《大学物理学》辅导答疑 质点运动学～3～第一章 质点运动学一、教材系统的安排和教学目的 本章从如何描写质点的运动谈起引入描写平动的四个基本物理量：位置矢量、位移、速度和加速度，进而讨论常见的几种运动情况。
关于直线运动，分别用数学公式和图线加以表示，着重阐明已知运动方程，可用微分法求出各时间内的位移、各个时刻的位置、速度和加速度；已知速度（或加速度）与时间的关系和初始条件，可用积分法求出位移公式和运动方程；以及研究质点运动问题的基本思路和步骤。
关于平面曲线运动，着重阐明对曲线运动问题的处理方法，主要讲述直角坐标分析法和圆周运动自然坐标分析法。
本章的教学目的是：使学生明确如何描写物体（质点）的运动，确切理解位置矢量、位移、速度和加速度概念，掌握匀变速直线运动和圆周运动的规律，以及研究运动学问题的思路和方法，为学习动力学打下良好的基础。
二、教学要求 1、理解描写质点运动的四个基本物理量。
（1）位置矢量是描写质点在空间中位置的物理量，是描写质点状态的一个参量。
位置矢量是一个矢量，它具有矢量性；选取不同的参照系，以及在同一参照系中建立不同的坐标系，它的数值和方向是不同的，它的描述具有相对性；在质点运动过程中，位置矢量是随时间改变的，在各个时刻的大小和方向一般是不同的，它具有瞬时性。
（2）位移是描写质点在给定时间内位置变动的大小和方向的物理量，是个过程量。
要明确它的矢量性和相对性，并明确位移与路程的区别。
（3）速度是描写质点位置变动的快慢和方向的物理量，是个状态量。
要明确速度的瞬时性、矢量性和相对性的性质。
（4）加速度是描写质点运动速度变化快慢的物理量。
要明确它的物理意义及其瞬时性、矢量性和相对性。
2、关于运动的图象（x-t 图，v-t 图）表示，要求学生明确图上每一点和每一条线都表示什么物理内容，并学会用x-t 图，v-t 图表示每种直线运动及位移、速度和加速度。
3、明确运动方程的物理内容，会由运动方程求位移、速度和加速度；由速度（或加速度）和初始条件求运动方程。
4、牢固掌握匀变速直线运动的速度公式和位移公式：v=v 0+at 和x-x 0=v 0t+(1/2)at 2。
利用这两个公式的解题思路和步骤是： （1）根据题意，确定研究对象。
同时，要明确研究对象的物理过程（即做什么运动），必要时，最好做一个草图； （2）选定坐标原点，建立坐标系（如果研究直线运动，就要规定正方向）； （3）根据运动过程的特征，列方程。
有几个未知量，就是应列几个方程； （4）求解。
必要时可进行分析、讨论 5、明确研究质点曲线运动的处理方法，并学会计算抛体运动和圆周运动的有关问题。
平面曲线运动比直线运动要复杂些。
作曲线运动的质点，不能用一个坐标的数值来描写它在空间中的位置，必须用两个坐标x,y 来描写。
也可用另一种方法：从原点向质点所在位置引有向线段 r ，如图1—1所示。
r 叫做位置矢量，简称为矢径。
x,y 分别是位矢r 在x,y第一章 《大学物理学》辅导答疑 质点运动学～4～轴上的投影。
因此，r xi yj =+运动方程也应写两个分量形式：x=f(t) , y=f(t)从而，研究平面曲线运动的处理方法，往往是把它看做两个相互垂直的直线运动的合成运动。
例如，把平抛运动看做是水平匀速直线运动与竖直自由落体运动的合成运动；把斜上抛运动看做是水平匀速直线运动与竖直上抛运动的合成运动等。
三、内容提要 1、位置矢量：由坐标原点引向质点所在位置的有向线段，它表示了质点在空间中的位置。
在三维直角坐标系中，它的矢量表达式为r xi yj zk =++其大小为；r x y z =++222其方向可由它与x ，y ，z 三个坐标轴所夹三个角αβγ,,的余弦来表示：cos ,cos ,cos αβγ===x r y r zr2、位移矢量：由运动起点A 引向运动终点B 的有向线段，它表示了质点在给定时间内位置的总变化。
在二维直角坐标系中，位移矢量可表示为∆r r r x x i y y j B A B A B A =--+-()()其大小为：∆r x x y y B A B A =-+-()()22方向为：tg y y x x B AB Aα=--其中α角为位移矢量与x 轴正方向所夹的角，应按逆时针算起。
3、速度矢量：定义为 v drdt=，即速度矢量定义为位置矢量对时间的一阶导数，在直线运动中，v dxdt=。
或者，也可将速度理解为元位移dr 与元时间dt 的比。
在二维直角坐标系中，速度可表示为v dx dt i dy dtj =+图1—1第一章 《大学物理学》辅导答疑 质点运动学～5～式中dx dt v x =，dy dtv y =； 速度大小：v v v x y =+22方向：θ=-tg v v y x1（见图1—2）速度矢量表示了质点位置变动的快慢和方向。
4、加速度矢量：加速度矢量被定义为速度对时间的一阶导数，或位置矢量对时间的二阶导数：a dv dt d r dt==22在二维直角坐标系中， a dv dt i dv dt j x y =+或a d x dt i d y dtj =+2222上式中dv dt a x x =，dv dt a y y =；d x dt a x 22=，d y dta y 22=； 加速度大小和方向可分别表示为：a a a x y=+22，α=-tga a y x1用自然坐标法表示为：a a n a n =+ττ式中a v a dv dtn ==2ρτ,加速度的物理意义是：它表示了质点速度变化的快慢与方向，或者说，法向加速度a v n =2ρ，表示了质点运动方向变化的快慢程度，而切向加速度a dvdtτ=，则表示了质点速度变化大小的快慢程度。
在这里要特别注意，全加速度 a dvdt=，即全部加速度等于速度矢量对时间的一阶导数，而作为全加速度a 的一部分的切向加速度a dv dt τ=，即切向加速度大小等于速度大小对时间的一阶导数。
还要注意一般情况下a dv dt dvdt=≠。
5、匀变速直线运动的一组公式 v v at =+0x x v t at =++00212图1—2第一章 《大学物理学》辅导答疑 质点运动学～6～v v a x x 20202-=-()6、抛体运动公式矢量式：r v t gt =+0212分量式：x v ty v t gt =⋅⇒=⋅-⇒⎧⎨⎪⎩⎪00212cos sin αα匀速直线运动匀变速直线运动 轨迹方程：y x tg gx v =⋅-⇒αα2222cos 为抛物线全部飞行时间：T v g=20sin α上升的最大高度：H v g=0222sin α水平最大射程：R v g=022sin α式中α为初速度v 0与x 轴正方向所夹之角。
7、运动方程：质点的位置随时间变化的关系矢量表达式为：r r t =()分量表达式为：x x t y y t ==(),()上式也可称做参数方程，时间t 为参数。
8、运动轨迹：从运动方程中消去参数t 而得到的两个坐标间的关系式，即y=f(x)或f(x,y)=0 四、典型例题例题1一个人在平台边上，以v 0=10米/秒的速度，铅直向上抛一小球，求t 1=1秒及t 2=2.5秒（学员作）时小球的位置。
解：选取图1—3所示的坐标，小球抛出处选为坐标原点，向上为x 轴正方向，则初速度v 0=10米/秒，向上为正，重力加速度g=9.8米/秒2，向下为负。
在t=1秒时，小球的位移为 x 1=v 0t 1－12gt 2=10×1－12×9.8×12=5.1(米) 所以，在t 1=1秒时，小球离抛出点的高度，即位移为5.1米。
例题2一气球以5米/秒的速度由地面匀速上升，经过30秒后从气球上自行脱落一重物，此物自脱落到落回地面所需时间为多少？解：以重物脱落处为坐标原点，取向上为正，如图1—4所示，则重物脱落时距地面高度为x 0=5米/秒×30秒=150米，v 0=5米/秒。
重物自脱落到落回到地面所需时间为t ，而此时位移x=－150米，H 为重物所能上升的最大x 1 0x 2 g—3第一章 《大学物理学》辅导答疑 质点运动学～7～高度。
注意位移是指从运动起点O 引向运动终点P 的有向线段。
列出运动方程为：－150=v 0t －12gt 2→4.9gt 2－5t －150=0解之t=6.06秒。
例题3质点的运动方程为x=－10t+30t 2和y=15t －20t 2，式中x ，y 以米计，t 以秒计，试求（1）初速度的大小和方向；（2）加速度的大小和方向。
解：v dx dt t x ==-+1060（米/秒）；v dy dtt y ==-1540（米/秒）。
故：v v v x y 002022210151803=+=-+=().（米/秒）。
方向：α==-='--tg v v tg yx 10010151012341()同理：a dv dt x x ==60（米/秒2）；a dv dty y ==-40（米/秒2）。
所以：a a a x y =+=+-=222260407211().（米/秒2）方向：α==-=-'--tg a a tg y x11040603341() 例题4一球以30米/秒的速率水平抛出，试求5秒后加速度的切向和法向分量。
解：小球作抛体运动它在任一时刻的加速度均为g ，此题的关键就在于找出5秒后该点的切向方向与x 轴的夹角，此角也是 g 与g n 的夹角。
而夹角α可由5秒后速度的y 轴分量与x 轴分量之比求得。
因为：v v x x ==030（米/秒）；v v gt y y =-=-⨯=-0059849.（米/秒）。
故：α==--tg v v y x105852.见图1—5所以：g g t =⋅=⨯=sin .sin ..α9858528360（米/秒2）g g n =⋅=⨯=c o s .c o s ..α9858525120（米/秒2）五、课堂练习题1、判断题（1）有大小，有方向的物理量就可称作矢量（ ） （2）只要物体作曲线运动，它的加速度就不可能为零（）Xv x 图1—5第一章 《大学物理学》辅导答疑 质点运动学～8～（3）斜抛物体上升到最高点时，其速率比初速度沿水平方向上的分量小（ ） （4）在圆周运动中，质点加速度的方向可以不指向圆心（ ） （5）加速度为恒矢量的曲线运动是不存在的（ ） 2、填空题（1）一个作匀加速直线运动物体，通过A 点的即时速率为v 1，通过B 点的即时速率为v 2，那么，它通过A 、B 连线中点C 的即时速率是v c =（2）把自由落体落下的总距离分成长度相等的三段，则按由上到下的顺序经过这三段长度所需时间之比是（3）物体在一光滑水平面内作半径为0.6米的匀速率圆周运动，周期为0.6秒，当物体由圆周上A 点运动到B 点时，如图1—6所示，则它的平均加速度大小为a =（4）一卡车车轮直径为1米，转速为每分钟100转，则轮缘上一点的线速度v= ，向心加速度a n = 。