第一章 质点运动学 -1

y
B
yB yA
rB
x
rA
A
r
B
rB
xA xB xB x A
yB y A
o
x
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化, 由始点 A 指向终点 B 的有向线段 AB 称为点 A 到 B 的位移矢量 r . 位 移矢量也简称位移.
rB rA r
r rB rA
rA
A
r
B
rB
xA xB xB x A
yB y A
o
x
r ( xB x A )i ( yB y A ) j ( z B z A )k xi yj zk
r x 2 y 2 z 2
x = r cosωt y = r sinωt
从圆心O向P点作位矢，用位矢表示的质点运动学方程为
r = x i + y j = r cosωt i + r sinωt j
从直角坐标系中质点运动学方程消去t即可得到质点的轨迹方 程
x2+y 2= r2
三、位移
描写质点位置变化的物理量。
y
rA
o
A
r
v = r =2i-4j
t
大小为 | │=
v
2 2 (4) 2 =4.47m/s
(3)质点的速度为 dr = =2i-2tj dt 将t=3s代入得 v3=2i-6j
v3 v3 2 2 (6) 2 m / s 6.32 m / s
五、加速度
反映速度变化快慢的物理量。
P 1 ( x1 , y1 , z1 ) P2 ( x2 , y2 , z2 )
x
注意
r r
2 2 2
位矢长度的变化
2 2 2
r x2 y2 z 2 x1 y1 z1
四、速度
描写物体运动快慢和方向的物理量。
1、平均速度
物体的位移与发生这段位移
所用的时间之比。
在 t时间内, 质点从点 A 运动到点 B, 其位移为
解 （1）从运动学方程消去参量t，得轨迹方程
1 2 y 8 x 4
(2)质点的位矢为
r = 2ti+(8-t2)j
将t = 1s和t = 3s 代入上式得
r1 = 2i+7j r3 = 6i-1j
r1 2 2 7 2 53
r3 37
1到3s内质点的位移为Δr = r3-r1 = 4i-8j 1到3s内质点位矢大小的增量为 Δr = r3-r1 =-1.20m 1到3s内质点的平均速度为
r dr v lim t 0 t dt
当质点做曲线运动时, 质点在某一点的速度方向就是沿该点
曲线的切线方向. 若质点在三维空间中运动,在直角坐标系中，速度矢量可以
表示为:
dx dy dz v i j k xi y j z k dt dt dt
2. 图线法就是把某些相关物理量 的对应关系在给定的坐标系中画成 曲线，直观形象地表示质点的运动。 3. 解析法就是用函数形式表示 质点运动的方法。 1 2
x
2
gt
二、位置矢量
运动学方程
确定质点P某一时刻在坐标系里的位置的物理量称位置 矢量, 简称位矢 。
r r xi yj zk
位移的大小为
位移的物理意义
A) 确切反映物体在空间位 置的变化, 与路径无关，只决定 于质点的始末位置. B）反映了运动的矢量性和 叠加性.
y
r (t1 )
O
P 1 r
r (t2 )
s
P2
r
r xi yj zk z
r x 2 y 2 z 2
r rB rA
在直角坐标系中分解：
又
rA x Ai y A j rB xB i yB j
y
yB yA
所以位移
( xB xA )i ( yB yA ) j
若质点在三维空间中运动， 则在直角坐标系 Oxyz 中其位 移为
s v t ds v dt
注意区分： 1. 路程与位移 2. 瞬时速率与 平均速率

ds v dt
例1.2 质点作平面曲线运动，运动学方程为x=2t, y=8-t2,求: （1）轨迹方程，并画出轨迹曲线， （2）质点在t1=1s到t2=3s内的Δr,Δr和 ,（课本有错） （3）3s末的速度v和速率v 。
y
y j
式中 i 、 j、 k 分别为x、y、z
方向的单位矢量。
x = x(t) y = y(t) z = z(t)
z
i o z k x
*P r
x
上式给出了质点在任意时刻的位置，称为质点的运动方程。 方程组消去t就得到质点的轨迹方程。
位矢 r的大小为： r r 位矢 r 的方向余弦：
dv 0 dt
O
v(t dt )Βιβλιοθήκη v(t ) dv而
a a0
dv 所以 a dt
例 1.3 已知一质点沿椭圆轨道运动，其运动学方程为 r = a cosω ti+b sinω tj，求质点的加速度，并证明加速度的方向始终 指向椭圆中心。 解 按已知x = a cosω t 、y = b sinω t, 质点的加速度a沿坐标 轴x、y的投影为
第
一
章 质 点 运 动 学
第一篇 力学
§1.1 参考系和坐标系 质点
§1.2 质点运动的描述 §1.3 质点运动学的基本问题
§1.4 不同参考系中速度和加速度的变换关 系
1.1 参考系和坐标系 质点
研究力学要明确两个基本思想： 一、物体运动是绝对的,但运动的描写是相对的。
1.参考系: 描写物体运动选择的标准物.
说明
(1) 运动学中参考系可任选。 (2) 参照物选定后，坐标系可任选。
二、建立理想化的模型
质点：如果我们研究某一物体的运动，而可以忽略其大小和 形状对物体运动的影响，若不涉及物体的转动和形变，我们 就可以把物体当作是一个具有质量的点（即质点）来处理。 质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模型。目的
若质点在二维空间中运动,其速度为
v vxi v y j
dx dy v i j dt dt
y
vy
v
vx
x
o
3 瞬时速率
平均速率
瞬时速率
速度
r dr v lim t 0 t dt
的大小称为速率。 v
d r ds
d2x ax= 2 =-ω 2a cosω t dt
d2 y ay= 2 =-ω 2b sinω t dt
a = axi + ayj =-ω 2(a cosωt i + b sinω t j)= -ω 2r
加速度a与位矢r方向始终相反，即加速度方向始终指向椭圆中心。
本节要求：掌握几个基本物理量的定义及计算。 位置矢量 位移 速度 加速度
加速度大小
dv x d x ax 2 dt dt dv y d 2 y ay 2 dt dt 2 dv z d z az 2 dt dt
2
a a a a
2 x 2 y
2 z
讨论
问
dv a a 吗？ dt
例 匀速率圆周运动
因为
所以
v(t ) v(t dt )
1 平均加速度
单位时间内的速度增 量即平均加速度
y
A
O
vA
B
vB
a
与 v同方向 。
v dv a lim t 0 t dt
v a t
x
vA
2（瞬时）加速度
v
vB
2 dv d r a dt dt 2
a axi ay j az k
cos x r cos y r cos z r
x y z
2 2
2
y

r

P
o
z

x
例1.1 一质点沿半径为r的圆形轨道匀速运动，角速度为ω。试 分别写出用直角坐标、位矢表示的质点运动学方程，并写出 在直角坐标系中质点的轨迹方程。 解 以圆心O为原点，建立直角 坐标系OXY，如图1-5所示。取质点 经过 X轴上 A点的时刻为计时起始时 刻，即t = 0。设t时刻质点位于质点 作匀速圆周运动，∠ AOP =ωt，
2.参照物: 用来描述物体运动而选作参考的物体或物体系。
3. 运动的相对性: 选取的参考系不同，对物体运动情况的描 述不同，这就是运动描述的相对性. 4.坐标系: 在选定的参考物上建立固定的坐标系，可精确描 写物体运动.
常用坐标系：
直角坐标系（ x , y , z ）； 柱坐标系（ , , z ） ； 球坐标系（ r,θ, ） 自然坐标系 ( s )
y
B
r (t t)
s r
A
r r (t t ) r (t ) xi y j
r (t)
o
t 时间内, 质点的平均速度 r x y v i j t t t
x
2 瞬时速度
当 t 0 时平均速度的极限值叫做瞬时速度, 简称速 度，即质点位矢对时间的变化率。
作业:
选择题:1-1, 1-3 计算题:1-1
是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考虑一些次要的因
素。 质点是有质量而无形状和大小的几何点。