第一章[1].质点运动学应用和材料专业

加速度：质点速度对时间的变化率。 加速度：质点速度对时间的变化率。 速度 1、平均加速度（ average acceleration） 、平均加速度（ ）
z
v
P1
·
(t )
·
v
•
(t )
•
P2
v
(t+Δt ) Δ
Δv v
(t+Δt ) Δ
r(t)
0
r(t+Δt ) Δ y
∆v 平均加速度： 平均加速度： a = ∆t
∆r ∆r 1) 平均速度大小： v = 平均速度大小 大小： = ∆t ∆t
平均速度方向：位移的方向。 平均速度方向：位移的方向。 方向 2) 直角坐标系中的平均速度
→ → →
v = vx i + v y j + vz k
∆x ∆y ∆z vx = ,vy = , vz = ∆t ∆t ∆t
3) 平均速度不同于平均速率！ 平均速度不同于平均速率！ ∆r ∆s ∆r = ≠ =v ∵ ∆s ≠ ∆r , ∴ v = ∆t ∆t ∆t
已知质点的运动方程为： 例4. 已知质点的运动方程为：
x = A sin ωt , y = B cos ωt
求：速度、加速度并分析运动特征。 速度、加速度并分析运动特征。 由定义可得： 【解】 由定义可得：
dx vx = = ωA cos ωt dt dy v y= = −ωB sin ωt dt
r (t + ∆t )
∆x = x(t +∆t)−x(t),∆y = y(t +∆t)−y(t),∆z = z(t +∆t)−z(t)
路程（ 路程（path） ） 质点实际运动轨迹的长度∆s 。 质点实际运动轨迹的长度 实际运动 z P Δr 1 Δs P1
•
r(t)
0
Δr
•
P2
•
P • 2
r(t+Δt ) Δ y
2、坐标系（coordinate system） 、坐标系（ ） 为定量描述运动，要用坐标系。 定量描述运动，要用坐标系。 描述运动 坐标系还可任选。 坐标系还可任选。 不同坐标系中，运动的数学表示可以不同。 不同坐标系中，运动的数学表示可以不同。 z 常用的坐标系： 常用的坐标系： z 直角坐标系（ ▲ 直角坐标系（ x , y , z ） 球坐标系（ ▲ 球坐标系（ r,θ, ϕ ） ϕ 柱坐标系（ ▲ 柱坐标系（ρ, ϕ, z ） x 自然坐标系（本章§ ） ▲ 自然坐标系（本章§1.3） x
2
2
消去时间t 得运动轨迹方程： 消去时间 பைடு நூலகம்得运动轨迹方程：
b y= x a
直线运动轨迹。 直线运动轨迹。 运动轨迹
一般运动轨迹方程： 一般运动轨迹方程： z = z ( x, y ) 或 f ( x, y, z ) = 0
∆ 1.2 位移和速度
1、位移 —— 质点在一段时间内位置的改变。 、 质点在一段时间内位置的改变 位置的改变。 位移： 位移：
x
∆v = v(t + ∆t) - v(t) : ∆t 时间内速度增加量！ 时间内速度增加量 速度增加量！
∆v 平均加速度的大小 大小： 平均加速度的大小： a = ∆t
−
平均加速度的方向： 平均加速度的方向：同 ∆v 的方向 方向 2、加速度（acceleration） 、加速度（ ） 平均加速度的极限 极限： 平均加速度的极限：
dy vB = v y i = j dt
o
v
x
为常量， 刚性细杆的长度 l 为常量，得
x + y =l
2 2
2
两边求导得 dx dy 2x + 2 y = 0 dt dt 即
vB
y
B
dy x dx =− dt y dt x dx = − j y dt
α
l A
o
v
x
dx x ∵ = − v, tgα = ∴ v B = v tg α j dt y vB 沿 y 轴正向, 当 α = 60 时，v B = 1.73 v 轴正向
dr ds d r v=v = ≠ = dt dt d t
v
·
(t )
•
速度方向：沿轨迹切线方向。 速度方向：沿轨迹切线方向。 方向 切线方向
2）直角坐标系中的速度 ）
v = vx i + vy j + vz k
→
→
→
dx d y dz vx = ,vy = , vz = dt dt dt
∆ 1.3 加速度
例1. 一运动质点在某瞬时位于矢径 的端点处， 速度大小为 的端点处，其速度大小为
r(x, y)
dr （A） dt dr （C） dt
（B）
dr dt
dx 2 dy 2 ( ) +( ) dt dt
（D）
例2. 设质点的运动方程为 r (t ) = x (t )i + y (t ) j , −1 y (t ) = ( 1 m ⋅ s −2 )t 2 + 2m. 其中 x(t ) = (1m ⋅ s )t + 2m, 4 时的速度。（ 。（2） （1）求 t =3 s 时的速度。（ ） 作出质点的运 ） 动轨迹图。 动轨迹图。 【解】 1）由题意可得速度分量分别为 （ ） dx dy 1 −1 vx = = 1m ⋅ s , v y = = ( m ⋅ s −2 )t dt dt 2 −1 −1 t = 3 s 时速度为 v = (1m ⋅ s )i + (1.5m ⋅ s ) j 速度
∆ 1.1 质点的运动函数
1、参考系（frame of reference, reference system） 、参考系（ ） 参考系： 描述运动的参考物体 参考系： 描述运动的参考物体 运动学中参考系可任选，不同参考系中物体的 运动学中参考系可任选， 中参考系可任选 运动形式（如轨迹、速度等）可以不同。 运动形式（如轨迹、速度等）可以不同。 常用的参考系： 常用的参考系： 地面参考系(又称实验参考系 又称实验参考系) 地心参考系 地面参考系 又称实验参考系 质心参考系(运动参考系 运动参考系) 太阳参考系 质心参考系 运动参考系
轨迹图
t = − 4s t = − 2s
-6 -4 -2 6 4 2 0
y/m
t = 4s t =0
2 4
t = 2s
x/m
6
如图所示, 、 例3. 如图所示 A、B 两物体由一长为 l 的刚 性细杆相连, A、B 两物体可在光滑轨道上滑 性细杆相连 、 如物体A以恒定的速率 向左滑行, 行.如物体 以恒定的速率 v向左滑行 当 α = 60 如物体 物体B的速率为多少 的速率为多少？ 时, 物体 的速率为多少？ 【解】建立坐标系如图 y 物体A 物体 的速度 B dx v A = v x i = i = − vi l α dt A 物体B 物体 的速度
●
θ
r
y
y
ρ
3、理想模型 、 质点、刚体、连续介质、理想气体、平面波、 质点、刚体、连续介质、理想气体、平面波、 点电荷、电偶极子、理想电路、分子电流、 点电荷、电偶极子、理想电路、分子电流、…
4、位置矢量（position vector of a particle） 、位置矢量（ ） 位置矢量（位矢、矢径）： 用来确定某时刻质 位置矢量（位矢、矢径）： 点位置的矢量（用矢端表示）。 点位置的矢量（用矢端表示）。
∆ r = r (t + ∆ t ) − r (t )
→ → →
r(t+Δt ) Δ
Δr
例1. 已知质点作圆周运动一周 位移: 位移 路程: 路程
∆r = 0
∆s = 2πR
∆r ≠ ∆s
y
∵ds = d r ≠ 0
ds = d r
dr =r(t +dt)−r(t) = R−R=0
r(t + dt)
∆r = r (t + ∆t) − r (t)
位移大小： 位移大小： ∆r = PQ 大小
P( t ) r( t )
·
∆s
∆r
Q(t + ∆t )
位移方向： 位移方向： P ⇒ Q 方向 0 说明: 说明 → → → 1. 直角坐标系中的位移： ∆ r = ∆ x i + ∆ y j + ∆ z k 直角坐标系中的位移：
P
o
5、运动函数（或运动方程）z 、运动函数（或运动方程） y （function of motion） ） y (t ) 运动方程: 给出质点位置 运动方程 给出质点位置 坐标和时间的函数关系
γ
x
r (t) = x(t)i + y(t) j + z(t)k zz (t )
o
x(t )
x
运动方程分量式： 运动方程分量式： 分量式
v 与x
轴之间的夹角 1.5 θ = arctg = 56.3 1
（2） 运动方程 ）
x (t ) = (1m ⋅ s )t + 2m
y (t ) = ( m ⋅ s )t + 2m
1 4 2 −2
−1
由运动方程消去参数 t 可得轨迹方程为
1 -1 2 y = ( m ) x − x + 3m 4
∆v dv d r a = lim a = lim = = dt dt 2 ∆t ∆t → 0 ∆t → 0
→ 2 →
说明： 说明： → dv dv ≠ 1）加速度的大小：a = a = ）加速度的大小： 大小 dt dt 加速度的方向 方向： 变化方向， 加速度的方向：v 变化方向， 方向 指向轨道凹的方向 指向轨道凹的方向
z( t )