理论力学第六章 点的运动学(Y) (2)

O1
一、描述点运动的矢量法
1、运动方程和轨迹
研究对象—— 动点M 选定参考空间上的点O为坐标原点 从坐标原点O向动点M作矢量 r
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
r 为点M相对于原点O的位置矢量——简称为矢径
当动点运动时，矢径 r 随时间而变化，且矢径 单值连续函数
r 是时间的
r r t
——矢量表示的点的运动方程
动点在运动过程中，矢径 r 的末端描绘出一条连续 曲线，称为矢端曲线—— M点的运动轨迹
dv v a τ n dt a aτ τ an n abb dv a s ——切向加速度 dt 2 v ——法向加速度 an
2
弧坐标中的加速度表示
a a an a a τ an n
2
dv v a τ n dt
a a an
速度大小的变化率 速度方向的变化率
ds 0 时， 当 dt
ds 0 时， 当 dt
v 与 v 与
同向，点沿轨迹正向运动。
反向，点沿轨迹负向运动。
4、加速度
v vτ
dv d dv dτ a vτ τ v dt dt dt dt
τ vτ a v
dτ dτ d ds τ dt d ds dt dτ 的大小: d
工程运动学与机构运动分析
运动学的力学模型： 点、刚体和刚体系，通称物体。
物体的运动不仅与受力有关，还与物体本身的惯性、初始
运动状态、约束等因数有关，是一个比较复杂的问题。为 了循序渐进，暂时不考虑影响物体运动的物理因素，而只 研究物体机械运动的几何性质。
运动学的任务：
●建立物体运动规律的描述方法； ●分析物体运动的速度、加速度、角速度、角加速度
a 与 v 同向。 0 ，点作加速运动， （2） a v 0 ，点作减速运动，a 与 v 反向。
（1）a v
讨论：
a a an
（3）点作直线运动
dv a 0 （4）点作匀速曲线运动 v 常数 dt dv （5）点作匀变速曲线运动 a 常数 dt
1、运动方程
不受约束的点在空间有3个自由度，在直角 坐标系中，点在空间的位置由3个方程确定：
x = f1(t) y = f2(t) z = f3(t)
直角坐标法表示的点的运动方程
2、速度
直角坐标与矢径之间的关系
r xi yj zk
i y j z k )( xi yj zk ) v r (x (Oxyz)为固定参考系—— i 、j、k 为常矢量 i jk 0
b τ n
副法线B——过动点M垂直于切线和主法线的直线。
τ、 n 、 b
构成一个以点M 为坐标原点，并跟随点M
一起运动的直角坐标系，称为自然轴系。
法平面
密切面
τ 、 n 、 b ——自然轴系
自然轴系的特点：跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。
τ n b
——指向弧坐标S 的正向。 ——指向曲线的凹侧，即指向曲率中心。
——弧坐标表示的点的运动方程
动点M在已知轨迹上的位置由弧长确定， 弧长S 称为动点M在轨迹上的弧坐标。
2、自然轴系
M——空间曲线上的动点；
（1）过点M 作轨迹的切线T ，取 为切线的单位矢量。 过切线T 作一个平面，称为密切面。 密切面的几何意义： 曲线上M点处微小弧长ds 所在的平面； 平面问题：密切面就是曲线所在的平面； 空间问题：密切面随点M而改变。
M点的速度： M点的加速度：
ω(2l d )sinωt vx x
ωdcosωt vy y
ω2 (2l d )cosωt ax x
2 a y y ω dsin ωt
已知：圆盘半径为R，圆心速度为u ，开始时M和地面接触。 求：（1）点M的速度和加速度。
速度大小： ——点在t 瞬时的速度
dr v v dt
速度方向:沿着运动轨迹的切线；指向与点的运动方向一致；
3、加速度
加速度——描述点在t 瞬时速度大小和方向变化率。 t 瞬时: 速度
v (t ) v (t t )
t＋t 瞬时:速度
t 时间间隔内速度的改变量
v v (t t ) v (t )
点的运动学应用的两类问题
第一类问题：
已知运动轨迹，确定速度与加速度； 给定约束条件，确定运动轨迹、速度、加速度。 ——求导过程。
第二类问题：
已知加速度以及运动的初始条件，确定速度和 运动轨迹——第一类问题的反运算。
——积分过程。
已知：椭圆规机构 ω＝ ＝常数 ，OA AB AC l , BM d 求：M点的运动方程、速度、加速度。 1、建立固定参考系Oxy；
密切面
（2）过点M 作一平面垂直于切线

，称为法平面。
法平面内所有的直线均垂直于切线。
（3）法平面与密切面的交线，称为主法线N。
因为主法线也在法平面内所以也垂直于切线。 取 n 为主法线单位矢量，正向指向曲线的凹侧。 主法线N——密切面内垂直于切线的直线，正向指向曲率中心； 法平面
密切面
（4）过点M ，在法平面内作一直线MB n ，MB 线称为 副法线，取 b 为副法线单位矢量，且满足下式：
2 x 2 y
(v , i ) 90 2
0
(v , j ) 2
x ut R sin ut R sin(
u t) R u y R R cos R R cos( t ) R
dx u vx u u cos( t ) u (1 cos ) dt R dy u vy u sin( t ) u sin dt R
以及它们之间的关系；
●研究物体运动的分解与合成规律。
一、描述点运动的矢量法 二、描述点运动的直角坐标法 三、描述点运动的弧坐标法
研究对象：几何点，称为动点，有时简称为点。
研究任务：研究点在空间运动的几何性质，即点相对于某坐
标系运动的运动方程、运动轨迹、速度和加速度。 例如研究图示轮缘上点M的运动，可以看出M点沿摆线运动。
sin 2 τ sin dτ τ 2 1 lim 2 lim lim 0 0 d 0 2
dτ dτ d ds τ dt d ds dt dτ 的方向: 指向主法向n d
当 0 时， 和 ´ 以及 同处于M 点的密切面内，
x i y j z k vxi v y j vz k v r
, vy y , vz z vx x
点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应 坐标对时间的一阶导数。
dx vx dt
dy vy dt
v v v v
2 x 2 y
2 z
解：（1）点M的速度和加速度。 建立图示直角坐标系
（2）任意瞬时M点的切向加速度、法向加速度及曲率半径。
OA AM ut R
u t R
M点的运动方程
u x ut R sin ut R sin( t ) R u y R R cos R R cos( t ) R
M点的加速度
dvx u 2 u u2 ax sin t sin dt R R R dv y u 2 u u2 ay cos t cos dt R R R
u a a a R
2 x 2 y
2
(a, i ) 90
0
(a, j )
ax cos(a, i ) sin a ay cos(a, j ) cos a
dvx d 2 x ax 2 dt dt dv y d 2 y ay 2 dt dt dvz d 2 z az 2 dt dt
ax cos(a , i ) a
a a a a
2 x 2 y
2 z
x , a y v y , az v z ax v x y z
v dv a lim v t 0 t dt
dv d r a 2 r dt dt
2
——点在t 瞬时的加速度
矢端曲线
速度矢端曲线
动点M的速度和加速度图
加速度大小： a a v r 加速度的方向：沿速度始端曲线图的切线方向。
二、描述点运动的直角坐标法
（2）任意瞬时M点的切向加速度、法向加速度
及曲率半径。 由前面的计算结果得
y
C u
M O
ut v 2u sin 2R
a
2 u 2 2 ax ay R

x
dv u 2 ut a cos dt R 2R
这时， 的极限方向垂直于 ，亦即n 方向。
d 1 dτ ds n v ds d dt v d τ d τ d d s n τ dt d ds dt
τ vτ a v
dv v a τ n dt
2
ab 0 ——副法向加速度 a 2 2 a a an , tan an
cos(a , j ) ay a az cos( a , k ) a
三、描述点运动的弧坐标法
如果动点沿着已知轨迹运动，用自然法描述点的运动， 物理意义更明确、更直观。
1、点的运动方程
坐标原点——一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点； 正、负方向——一般以点的运动方向作为正向；
s = f (t)
2、将所考察的点置于坐 标系中的一般位置；
3、根据已知的约束条件 列写点的运动方程。
＝ 常数 ω＝ t
t
M点的运动方程：
x (2l d )cos (2l d )cost
y dsin dsin t
从中消去t 得到 M 点的轨迹方程
2 2
x y 1 2l d d
dz vz dt
vx cos(v , i ) v cos(v , j ) vy v vz cos(v , k ) v
3、加速度
v vx i v y j vz k
dv y dv dvx dvz a i j k axi a y j az k dt dt dt dt
b n
法平面
密切面
3、速度 dr dr ds v dt ds dt dr 的大小： ds
dr r lim 1 ds t 0 s dr 的方向：M点的切线方向一致 ds ds
v vτ
dt
v s
dr τ ds
点速度的大小：等于弧坐标对时间的一阶导数。 点速度的方向：沿着运动轨迹的切线。

an
v2
0
描述点运动的三种方法比较
● 变矢量法——结果简明，具有概括性。对于实际问题需 将变矢量及其导数表示成标量的形式。
● 直角坐标法——实际问题中，一种广泛应用的方法。
● 弧坐标法——应用于运动轨迹已知的情形，其最大特 点是将加速度矢量大小的变化率和方向 变化率区分开来，使得数学表达式的含 义更加清晰。
M点的速度
dx u vx u u cos( t ) u (1 cos ) dt R dy u vy u sin( t ) u sin dt R
2 2
v v v u (1 cos ) sin u 2(1 cos ) 2u sin 2 vy vx cos(v, i ) sin cos(v , j ) cos v 2 v 2
2、速度
速度 —— 描述点在t 瞬时运动快慢和运动方向的力学量。 t 瞬时: 矢径
r (t )
t＋t 瞬时: 矢径
r (t t )
t 时间间隔内矢径的改变量
r (t t ) r r (t ) r r (t t ) r (t ) r dr v lim r t 0 t dt