点的运动学
dy vy dt
vx cos(v, i ) v vy cos(v, j ) v vz cos(v, k ) v
2 2 v vx v2 v y z
加速度
d vv d d d vv d vv d vv d d yy xx zz a a ii jj kk a a ii a a a a kk xx yyjj zz d d tt d d tt d d tt d d tt
3、运动特征
r xi y j zk
速度
dx vx dt dz vz dt
r r dd xx dd yy dd z z dd vv i i j j kkvv vv j j vv xi x i yy zk zk dd t t dd t t dd t t dd tt
a y r cos t
2
a x r sin t
2
v y r sin t
a a x a
2
MHale Waihona Puke 2y rD
2
cos(a, j)
当t 2
ay a
cos
a
C φ H
时，
v x 0, v y 0;
a y r
2
a x 0,
当M点接触轨道时，它的速度等于零，而加速度垂直 于轨道。这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。
速度v
点M在t瞬时的速度：
dr v dt
速度方向 矢径矢端曲线切线
加速度a
dv d r 2 a dt dt
2
二。
1、运动方程
直角坐标法
x x (t ) y y (t ) z z (t )
直角坐标与矢径坐标之间的关系
r xi y j zk
2、运动轨迹
运动方程中消去时间t
v x r (1 cos t )
v v 2 x v 2 y r (1 cos t ) 2 sin 2 t
t 2r sin 2
cos( v, j) cos vy v
M
v
2
φ
D
C
t
2
cos
H
3.求M点的加速度。
v x r (1 cos t )
dr r lim ds t 0 s
速度
s s (t )
4
vv dd vv dd dd aa vv dd t t dd tt dd tt
加速度
v v
dτ ? dt
d τ d ds dτ dt d ds dt
v s
④点作曲线运动,
画出下列情况下点的加速度方向。 <1>M1点作匀速运动 <2>M2点作加速运动 <3>M3点作减速运动
⑤判断下列运动是否可 能出现,若能出现判断是什么运动?
(加速运动)
(不可能)
(匀速曲线运动) (不可能或改作 直线加速运动)
(不可能)
(减速曲线运动)
(不可能或改作 直线减速运动)
dτ n d
d τ d τ d ds v n dt d ds dt
d dv dv a v dt dt dt
dv v a τ n dt
2
dv v a τ n dt
dv d 2 s a 2 dt dt
1 ds an dt v
dt
表示速度大小的变化 表示速度方向的变化
an
v2
⑧点M沿着螺线自外向内运动，它走过的弧长与时间的一次
方成正比，问点的加速度是越来越大，还是越来越小？点是 越跑越快，还是越跑越慢？ 解：
S bt a
v dS b 常数 dt
a an b2
dv v 2 b2 a 0, an , dt
2
v
解: M点的轨迹显然是半径为r的圆
周。设物体在位置A0时M点的位置 在M0，以M0为原点，则由于绳不能 伸缩，可知弧坐标 ：
1 2 s x ct 2
自然法表示的Ｍ点的运动方程。
Ｍ点的速度ｖ的大小 ：
ds v ct dt
方向沿轨迹的切线并朝向运动 前进的一方。
a
an
Ｍ点的切向和法向加速度 的大小分别为：
dv a c dt
an
v
2
ct
r
2
课堂自学. ①用柱坐标法给出点的运动方程。 柱坐标法方程
f1 (t ) r f 2 (t ) z f (t ) 3
dv dv ② dt 与 dt 有何不同?就直线和曲线分别说明。
大小变化率,在曲线中应为切向加速度 a dv 。 dt
由于点由外向内运动,曲率半径 越来越小,所以加速度 越来越大。而速度 v =常数,故点运动快慢不变。
d d ⑨证明 是沿着主法线方向,即 dt dt
证明:
。
1
d( ) 0 dt
d d 0 dt dt d 2 0 dt d dt
例：一人在路灯下由灯柱起以匀速 u 沿直线背离 灯柱行走。设人高 AB=l ，灯高 OC=h ，试求头顶
影子M 的速度和加速度。
C
A
h l
B O M
解：取坐标轴 Ox 如图。
C
A l O ut x B M
h
OM BM OC AB
x
即
x x ut h l
得 M 点的直线运动方程
h x ut hl
dv dv a (直线.曲线都一样), dt a dt
为速度的
③指出在下列情况下,点M作何种运动? <1> a n 0 , a 常数 <2> a 0, 常数 <3> a 0 (匀变速直线运动) (匀速圆周运动)
(匀速直线运动或静止) <4> a n 0 , (直线运动) <5> a 0, v 常数 (匀速运动) <6> 常数 (圆周运动) <7> a 0 (匀速运动) <8> a n 0 (直线运动) <9> a 0, an 常数 (匀速曲线运动) <10> a 常数, an 常数 (匀变速曲线运动)
6.2
自然坐标法
在许多工程实际问题中，点的运动轨迹往往是已知的。 利用点的运动轨迹建立弧坐标及自然轴系，并用它们来 描述和分析点的运动的方法称为自然法。 1
运动方程
弧坐标：
（1）坐标原点(一般在轨迹上任选一参考点作为 坐标原点)； （2）正、负方向(一般以点的运动方向作为正向)；
（3）点的运动方程，可用点在已知轨迹上所走 过的弧长随时间变化的规律描述。
2
2
切向加速度
2
法向加速度
ab 0
a tan an
2 全加速度a at2 an
判断下列运动是否可 能出现,若能出现判断是什么运动?
加速曲线运动
(不可能)
(匀速曲线运动)
(不可能)
(减速曲线运动)
s kt
点沿着一螺旋线自外向内 运动。点所走过的弧长与 时间的一次方成正比。请
第六章 点的运动学
一、研究内容 运动学: 研究物体运动的几何性质 （运动轨迹、运动方程、速度和加 速度）。 动力学: 研究物体运动状态的变 化与作用力之间的关系。
二、研究模型：
所研究的力学模型是质点和质点系。
质点:具有一定质量而几何形状和 尺寸大小可以忽略不计的物体。 质点系：由几个或无限个相互 有联系的质点所组成的系统。 刚体：质点系的一种特殊情形， 其中任意两个质点间的距离保持 不变，也称不变的质点系。
M 点的速度
dx h v u dt h l
而加速度 a = 0 ，即 M 点作匀速运动。
例题：半径是 r 的车轮沿固定水平轨道滚动而不 滑动（纯滚动）。轮缘上一点M，在初瞬时与轨道 上的 O 点叠合；在瞬时 t 半径 MC 与轨道的垂线 HC 组成交角φ=ωt，其中ω是常量。试求M点的运动方 程，速度和加速度。
dvx d 2 x ax 2 dt dt
2 2 a ax a2 a y z
ay
dv y dt
d y dt 2
2
dvz d 2 z az 2 dt dt
ax cos( a, i ) a ay cos( a, j ) a az cos( a, k ) a
判断点的运动性质：
(A) 越跑越快； (B) 越跑越慢； (C) 加速度越来越大； (D) 加速度越来越小。
ds v k dt 2 2 v k dv a 0 an dt
例： 半径为ｒ的轮子 可绕水平轴Ｏ转动，轮缘 上绕以不能伸缩的绳索， 绳的下端悬挂一物体Ａ， 如图所示。设物体按 规律下落，x 1 ct 2 其中ｃ为一常量。求轮缘 上一点Ｍ的速度和加速度。
D M
C
B
M
C φ
x
H
O
A
得M点的运动方程
x r(t sin t ) y r(1 cost )
方程说明M点的轨迹是滚轮线（即摆线）。
y
D C D
C
x O
M
P M
2.求M点的速度。
x r(t sin t ) y r(1 cost )
v y r sin t
第6章 质点的运动学与动力学
§6-1
矢量法和直角坐标法
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工程力学之点的运动学
。
简谐振动
点在平衡位置附近作周期性往 复运动，加速度与位移成正比 、方向相反。
抛体运动
点在重力作用下沿抛物线轨迹 的运动，如平抛、斜抛等。
一般平面曲线运动
点在平面内沿任意曲线轨迹的 运动，加速度和速度方向可任
意变化。
05
工程应用实例分析
机械手臂的运动控制
运动学建模
01
通过D-H参数法或旋量理论建立机械手臂的运动学模型，描述
在航空航天工程中，点的运动学可用于分 析飞行器的飞行轨迹和姿态控制，为航空 航天技术的发展提供理论支持。
土木工程
生物医学工程
在土木工程中，点的运动学可用于研究结 构的动力响应和稳定性问题，为工程结构 的设计和施工提供科学依据。
在生物医学工程中，点的运动学可用于分 析人体运动系统的生物力学特性，为医疗 器械的设计和康复治疗提供理论指导。
曲线运动的合成与分解
运动的合成
将点的运动分解为沿不同坐标轴的分运动，通过矢量合成得到点 的实际运动。
运动的分解
根据实际需要，将点的曲线运动分解为多个简单的直线或圆周运动， 便于分析和计算。
运动的叠加原理
多个独立的分运动可以线性叠加，形成复杂的曲线运动。
曲线运动的特殊形式
匀速圆周运动
点绕固定中心以恒定速率作圆 周运动，加速度始终指向圆心
速直线运动。
特点
速度大小随时间均匀变化，加速度 大小和方向保持不变。
公式
s = v0t + 1/2at^2，其中s为位移， v0为初速度，a为加
已知分运动求合运动，其位移、速度、加速度遵 循平行四边形定则。
分解
已知合运动求分运动，可将合运动分解为两个简 单的分运动进行处理。
简谐振动
点在平衡位置附近作周期性往 复运动，加速度与位移成正比 、方向相反。
抛体运动
点在重力作用下沿抛物线轨迹 的运动，如平抛、斜抛等。
一般平面曲线运动
点在平面内沿任意曲线轨迹的 运动，加速度和速度方向可任
意变化。
05
工程应用实例分析
机械手臂的运动控制
运动学建模
01
通过D-H参数法或旋量理论建立机械手臂的运动学模型，描述
在航空航天工程中，点的运动学可用于分 析飞行器的飞行轨迹和姿态控制，为航空 航天技术的发展提供理论支持。
土木工程
生物医学工程
在土木工程中，点的运动学可用于研究结 构的动力响应和稳定性问题，为工程结构 的设计和施工提供科学依据。
在生物医学工程中，点的运动学可用于分 析人体运动系统的生物力学特性，为医疗 器械的设计和康复治疗提供理论指导。
曲线运动的合成与分解
运动的合成
将点的运动分解为沿不同坐标轴的分运动，通过矢量合成得到点 的实际运动。
运动的分解
根据实际需要，将点的曲线运动分解为多个简单的直线或圆周运动， 便于分析和计算。
运动的叠加原理
多个独立的分运动可以线性叠加，形成复杂的曲线运动。
曲线运动的特殊形式
匀速圆周运动
点绕固定中心以恒定速率作圆 周运动，加速度始终指向圆心
速直线运动。
特点
速度大小随时间均匀变化，加速度 大小和方向保持不变。
公式
s = v0t + 1/2at^2，其中s为位移， v0为初速度，a为加
已知分运动求合运动，其位移、速度、加速度遵 循平行四边形定则。
分解
已知合运动求分运动，可将合运动分解为两个简 单的分运动进行处理。
第6章例题-纯滚动圆盘
工 程 力 学 第 6 章 点 的 运 动 学
例 直线轨道上的纯滚动圆盘，C 点速度为常量。求 M 点的 轨迹、速度、加速度以及轨迹的曲率半径。 ϕ = vC t , ϕ = vC & r r y
r vC
C M O(M) A
r
Cr
ϕ
B P
x
解 (1) M 点运动方程
= ϕ r = vC t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xM = OP − MB = ϕ r − r sin ϕ yM = CP − BC = r − r cos ϕ
消去 ϕ 得轨迹方程：
版权所有 张强 钟艳玲
yM 2 ⇒ xM = r arccos 1 − − 2ryM − yM r
旋轮线 (摆线)
工 程 力 学 第 6 章 点 的 运 动 学
例 直线轨道上的纯滚动圆盘，C 点速度为常量。求 M 点的 轨迹、速度、加速度以及轨迹的曲率半径。 ϕ = vC t , ϕ = vC & r r y xM = ϕ r − r sin ϕ r yM = r − r cos ϕ v Cr
例 直线轨道上的纯滚动圆盘，C 点速度为常量。求 M 点的 轨迹、速度、加速度以及轨迹的曲率半径。
工 程 力 学 第 6 章 点 的 运 动 学
版权所有 张强 钟艳玲
C
ϕ
M O A
B P
x
解 (2) M 点速度-大小
vMx = vC (1 − cos ϕ ) = 2vC sin
2
ϕ
2 cos
vMy = vC sin ϕ
⇒ vM = v
2 Mx
= 2vC sin
2 My
ϕ
2
ϕ
例 直线轨道上的纯滚动圆盘，C 点速度为常量。求 M 点的 轨迹、速度、加速度以及轨迹的曲率半径。 ϕ = vC t , ϕ = vC & r r y
r vC
C M O(M) A
r
Cr
ϕ
B P
x
解 (1) M 点运动方程
= ϕ r = vC t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xM = OP − MB = ϕ r − r sin ϕ yM = CP − BC = r − r cos ϕ
消去 ϕ 得轨迹方程：
版权所有 张强 钟艳玲
yM 2 ⇒ xM = r arccos 1 − − 2ryM − yM r
旋轮线 (摆线)
工 程 力 学 第 6 章 点 的 运 动 学
例 直线轨道上的纯滚动圆盘，C 点速度为常量。求 M 点的 轨迹、速度、加速度以及轨迹的曲率半径。 ϕ = vC t , ϕ = vC & r r y xM = ϕ r − r sin ϕ r yM = r − r cos ϕ v Cr
例 直线轨道上的纯滚动圆盘，C 点速度为常量。求 M 点的 轨迹、速度、加速度以及轨迹的曲率半径。
工 程 力 学 第 6 章 点 的 运 动 学
版权所有 张强 钟艳玲
C
ϕ
M O A
B P
x
解 (2) M 点速度-大小
vMx = vC (1 − cos ϕ ) = 2vC sin
2
ϕ
2 cos
vMy = vC sin ϕ
⇒ vM = v
2 Mx
= 2vC sin
2 My
ϕ
2
ϕ
理论力学教案-运动学
论力学--运动学运动学研究点和刚体运动的几何规律，即运动方程、轨迹、速度、加速度或角速度、角加速度等运动特征量。
第六章 点的运动学点的运动学是研究一般物体运动的基础，又具体独立的应用意义。
描述点的运动有矢径法、直角坐标法、自然法三种方法。
§6.1 矢量法一．矢量法表示点的运动方程设动点M 在空间作曲线运动，在参考坐标系上任取 某确定的点O 为坐标原点，则动点的位置可用原点至动 点的矢径r 表示。
当动点M 运动时，矢径r 的大小和方 向一般也随时间而改变，并且是时间的单值连续函数， 即)(t r r =上式称为用矢量表示的点的运动方程。
动点M 在运动过程中，其矢径r 的末端在空间 描绘出的曲线，称为动点M 的运动轨迹。
也称为矢径r 的矢端曲线。
二．矢量法表示点的速度)()(t t t r r r -+=∆∆平均速度tt t t t ∆∆∆∆)()(r r r υ-+== 瞬时速度dtd t t t rr υυ===→→∆∆∆∆00limlim 三．矢量法表示点的加速度 )()(t t t υυυ-+=∆∆ 平均加速度tt t t t ∆∆∆∆)()(υυυa -+==瞬时加速度2200lim lim dt d dt d t t t rυυa a ====→→∆∆∆∆结论：动点的速度等于它的矢径r 对时间的一阶导数，其加速度等于动点的速度对时间的一阶导数，也等于动点的矢径r 对时间的二阶导数。
§6.2 直角坐标法一．直角坐标表示动点的运动方程由于k j i r z y x ++=，当动点在轨迹上运动时，r 随时间而变化，则动点M 的坐标值x ，y 和z 随时间 而变化。
即⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(321t f z t f y t f x消去方程中的参数t ，则得到动点运动的轨迹。
二．直角坐标表示动点的运动速度由于动点M 的矢径可表示为 k j i r z y x ++=，所以动点M 的速度可表示为 k j i r υdtdzdt dy dt dx dt d ++==将动点M 的速度写成投影形式，即k j i υz y x υυυ++=比较以上两式，可得dt dx x =υ，dt dy y =υ，dtdz z =υ 三．直角坐标表示动点运动的加速度动点M 的速度可表示为k j i r υdtdz dt dy dt dx dt d ++==，其加速度可表示为 k j i υa 222222dtzd dt y d dt x d dt d ++==将动点M 的加速度写成投影形式，即k j i a z y x a a a ++=比较以上两式，可得 22dt x d a x =，22dt y d a y =，22dt z d a z =结论：动点的速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的一阶导数，动点的加速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的二阶导数。
第6章例题-点的运动例题-all
dx vx = dt = 4 − 4t v = dy = 2 − 2t y dt
加速度的大小：| a |= ax 2 + a y 2 = 20(m/s 2 )
版权所有 张强 钟艳玲
2
例 dy-2 直杆 AB 两端分别沿铅锤和水平直线运动。已知
MA = l1 , MB = l2 , ϕ = ωt (ω = const.)
例 dy-1 已知动点在 xOy 平面内的运动方程为
工 程 力 学 第 6 章 点 的 运 动 学
x = 4t − 2t 2 y = 2t − t 2
单位：m, s
求动点的轨迹方程，速度和加速度的大小。 解 (1) 消去参数 t，得到轨迹方程
x − 2y = 0
(2) 求速度
t≥0
⇒ x ≤ 2, y ≤ 1
2 vC vC t = sin r r 2 vC vC t = cos r r
指向圆盘中心
tan β =
版权所有 张强 钟艳玲
aMy aMx
vC t π vC t π = cot = tan − = tan − ϕ r 2 r 2
13
工 程 力 学 第 6 章 点 的 运 动 学
旋轮线
8
工 程 力 学 第 6 章 点 的 运 动 学
例 dy-5 直线轨道上的纯滚动圆盘，C 点速度为常量。求 M 点的轨迹、速度、加速度以及轨迹的曲率半径。 vC t y D xM = vC t − r sin r r y = r − r cos vC t vC Cr M r ϕ
dx vx = dt = 4 − 4t v = dy = 2 − 2t y dt
点的运动自然法
法面：通过P点与切线T垂直的平面
(副法线)
法线 —— 法面内的
法
面 (主法线)
s+
直线
(无数条)
P－空间曲线上的动点
从
切
面
s-
b
n
t
密切面 P
(切线)
主法线N —— 法面 与密切面的交线
副法线B —— 法面内 与主法线垂直的法线
自然轴系 坐标原点为P点的直角坐标系
t n b —— 构成了自然坐标系的单位矢量
rr(1(1yy'2'2))22
dd22yy
ddddx2x2y2y2 8L8Lh2h2
an L=32m
h x
ddxx22
at 特dd别vtdd；a提yx醒1a4L：0anh22L(a82L1vr=02f2a；L2n28x法)0h.向78加0m.dd7速yx8/ x度sm2L。会//2s2产。0r生a“r81Lr离1r0f2r2心(L1828L8力d8dLLf22hyx2f2ft”2'y22)，(230从曲;.7而线8 减m平dd2少/坦t2ys轮2)。子8L2f ;
运动方程的建立：
杆AB绕A轴以 = 5t（ 以rad计、t以s计）的规律转动，其
上一小环M将杆AB和半径为R（以m计）的固定大圆环套在一 起。若以直角坐标Oxy为参考系，则小环M的运动方程为
___x_=__R_c_o_s_(_1_0_t )____y_=__R_s_i_n_(1_0_t_)_____。
的方法
称为 自然法
自然轴系
密切面
当P´点无限接近于 P 点时，过这两点的切 线所组成的平面，称为 P 点的密切面。
lim α α
PP
理论力学 第一章 点的运动学
已知速度的投影求速度
大小
v v v v
2 x 2 y
2 z
方向由方向余弦确定
cosv , i v x v cosv , j v y v cosv , k v z v
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
§ 1.1点的运动矢量分析方法
加
速
度
t 瞬时: 速度 v(t) t＋ t 瞬时:速度 v(t ＋ t ) 或v
t 时间间隔内速度的改变量
v ( t ) ＝ v ( t ＋ t ) － v( t )
点在 t 瞬时的加速度
§ 1.2 点的运动的直角坐标法
加速度
a ax i a y j az k
dv x d 2 x ax 2 dt dt dv y d 2 y ay 2 dt dt dv z d 2 z az 2 dt dt
dv y dv x dv z d2 y d2x d2z a i j k 2 i 2 j 2 k dt dt dt dt dt dt
方 cosa, i a x a, 向 cosa, j a y a, 余 弦 cosa, k a z a
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
§1.3 点的运动的自然坐标法
在点的运动轨迹已知的情况下，可建立弧
坐标和自然轴系来描述该点的运动，这种方
点的切线所组成的 平面，称为P点的密 切面。
P P
lim a1 a
清华大学理论力学课件--点的运动学
重要性
瞬时速度和平均速度可以提供关于物体运动状态的详细信息。
匀加速直线运动
定义
匀加速直线运动是指速度在运动过程中以相同的速 率增加或减少的运动。
加速度公式
加速度 = （末速度 - 初始速度）/ 时间，表征物体 加速或减速的程度。
运动方程
匀加速直线运动中速度和位移之间存在一些重要的 关系。
自由落体运动
曲线运动
曲线运动在三维空间中体现了物体的复杂轨迹和多 维运动。
均匀速直线运动
特点
均匀速直线运动是指速度在 运动过程中保持速度乘以时间。
示例
一个车以20 m/s的速度匀速 直线行驶10秒，位移等于200 米。
变速直线运动
定义
变速直线运动是速度在运动过程中发生变化的运动。
自由落体运动是一种特殊的匀加速直线运动，对象 只受重力作用。
清华大学理论力学课件-点的运动学
本课件将详细介绍点的运动学，包括位移、速度和加速度的定义，以及一维 直线运动、二维平面运动和三维空间运动等内容。
点的运动学概述
基本概念
点的运动学研究物体的位置、速度和加速度等运动状态。
重要性
点的运动学是理论力学的基础，对各种物体的运动进行描述和分析。
应用领域
点的运动学在工程、物理学和运动控制等领域具有广泛的应用。
速度-时间曲线
变速直线运动可以用速度-时间曲线来描述和分析。
加速度-时间曲线
加速度-时间曲线可以表征速度变化的幅度和方向。
运动方程
运用运动方程可以计算变速直线运动中的各个参量。
瞬时速度和平均速度
定义
瞬时速度是指物体在某一时刻的瞬时速度，而平均速度是指物体在整个运动过程中的平均速 度。
瞬时速度和平均速度可以提供关于物体运动状态的详细信息。
匀加速直线运动
定义
匀加速直线运动是指速度在运动过程中以相同的速 率增加或减少的运动。
加速度公式
加速度 = （末速度 - 初始速度）/ 时间，表征物体 加速或减速的程度。
运动方程
匀加速直线运动中速度和位移之间存在一些重要的 关系。
自由落体运动
曲线运动
曲线运动在三维空间中体现了物体的复杂轨迹和多 维运动。
均匀速直线运动
特点
均匀速直线运动是指速度在 运动过程中保持速度乘以时间。
示例
一个车以20 m/s的速度匀速 直线行驶10秒，位移等于200 米。
变速直线运动
定义
变速直线运动是速度在运动过程中发生变化的运动。
自由落体运动是一种特殊的匀加速直线运动，对象 只受重力作用。
清华大学理论力学课件-点的运动学
本课件将详细介绍点的运动学，包括位移、速度和加速度的定义，以及一维 直线运动、二维平面运动和三维空间运动等内容。
点的运动学概述
基本概念
点的运动学研究物体的位置、速度和加速度等运动状态。
重要性
点的运动学是理论力学的基础，对各种物体的运动进行描述和分析。
应用领域
点的运动学在工程、物理学和运动控制等领域具有广泛的应用。
速度-时间曲线
变速直线运动可以用速度-时间曲线来描述和分析。
加速度-时间曲线
加速度-时间曲线可以表征速度变化的幅度和方向。
运动方程
运用运动方程可以计算变速直线运动中的各个参量。
瞬时速度和平均速度
定义
瞬时速度是指物体在某一时刻的瞬时速度，而平均速度是指物体在整个运动过程中的平均速 度。
理论力学第5章(点的运动)
包括几何静力学、分析静力学
(2) 运动学: 研究点与刚体运动的几何性质。
包括位移、轨迹、速度、加速度。 (与力无关、也是变形体运动基础)
A B
F
C
B
刚体运动
C
变形(包含刚体位移和相对位移)
(3) 动力学: 研究物体所受力与运动间的关系。
包括质点系、刚体，变形体的动力效应。
第五章 点的运动学
§5-1 运动学的基本概念
速度
已知： OC AC BC l , MC a , t。 求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
x l a cost ax v x 2 a y vy y l a sin t
2
加速度
a a a
F ( x, y) 0
二、点的速度v
又
r = xi + yj + zk
式中 v x 所以得
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt v = vx i + vy j + vz k
、v y
、v z
vx
dx dt
v
表明：“动点的速度在坐标轴上的投影，等于动点对应的位置 坐标对时间 t 的一阶导数”。 则速度的大小和方向余弦为
弧坐标的运动方程sf切向加速度表示速度大小的变化三点的加速度法向加速度表示速度方向的变化匀速运动v常数常数常数匀变速直线运动匀速圆周运动匀速直线运动或静止直线运动匀速运动圆周运动匀速运动直线运动匀速曲线运动匀变速曲线运动点作曲线运动画出下列情况下点的加速度方向
(1) 静力学: 研究物体所受力系的简化、平衡规律及其应用。
△r称为在△t时间内动点M的位移。
间间隔△t内的平均速度。以 v*表示。则： Δr v Δt 平均速度表示动点在△t内平均运动的快慢和运动方向。
(2) 运动学: 研究点与刚体运动的几何性质。
包括位移、轨迹、速度、加速度。 (与力无关、也是变形体运动基础)
A B
F
C
B
刚体运动
C
变形(包含刚体位移和相对位移)
(3) 动力学: 研究物体所受力与运动间的关系。
包括质点系、刚体，变形体的动力效应。
第五章 点的运动学
§5-1 运动学的基本概念
速度
已知： OC AC BC l , MC a , t。 求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
x l a cost ax v x 2 a y vy y l a sin t
2
加速度
a a a
F ( x, y) 0
二、点的速度v
又
r = xi + yj + zk
式中 v x 所以得
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt v = vx i + vy j + vz k
、v y
、v z
vx
dx dt
v
表明：“动点的速度在坐标轴上的投影，等于动点对应的位置 坐标对时间 t 的一阶导数”。 则速度的大小和方向余弦为
弧坐标的运动方程sf切向加速度表示速度大小的变化三点的加速度法向加速度表示速度方向的变化匀速运动v常数常数常数匀变速直线运动匀速圆周运动匀速直线运动或静止直线运动匀速运动圆周运动匀速运动直线运动匀速曲线运动匀变速曲线运动点作曲线运动画出下列情况下点的加速度方向
(1) 静力学: 研究物体所受力系的简化、平衡规律及其应用。
△r称为在△t时间内动点M的位移。
间间隔△t内的平均速度。以 v*表示。则： Δr v Δt 平均速度表示动点在△t内平均运动的快慢和运动方向。
第6章 点的运动学
第二篇
运 动 学
机械电子工程学院
1/43
引言 运动学是研究物体机械运动的几何性 质。也就是从几何的观点研究物体的机械 运动，而不涉及运动的原因。 运动，而不涉及运动的原因。 运动学的内容包括：运动方程、轨迹、 运动学的内容包括：运动方程、轨迹、 速度和加速度。 速度和加速度。 学习运动学的意义： 学习运动学的意义：首先是为学习动 力学打下必要的基础； 力学打下必要的基础；其次运动学的理论 可以独立地应用到工程实际中。 可以独立地应用到工程实际中。 机械电子工程学院 2/43
x = x(t) y = y(t) z = z(t)
这就是直角坐标形式的点的运动方程。 这就是直角坐标形式的点的运动方程。 直角坐标形式的点的运动方程 直角坐标与矢径坐标之间的关系 r r r r r = x( t) i + y(t) j + z(t)k
机械电子工程学院 11/43
速度
r r r r r dr dx r dy r dz r v = = i + j + k = vxi +vy j +vzk dt dt dt dt
主法线
r τ r n
法面
r n
密切面
r r r b =τ ×n
副法线
r b
M
τ
r
切线
rr r 构成的坐标系称为自然轴 由三个方向的单位矢量 τ,n,b 构成的坐标系称为自然轴 r 它们的正向确定如下： 的正向指向弧坐标的正向； 正向确定如下 τ 系。它们的正向确定如下： 的正向指向弧坐标的正向；
r r r的方向将随动点在曲线上的位置变化 决定。 决定。自然轴系 τ,n,b 而变化，不是固定坐标系。 而变化，不是固定坐标系。
运 动 学
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引言 运动学是研究物体机械运动的几何性 质。也就是从几何的观点研究物体的机械 运动，而不涉及运动的原因。 运动，而不涉及运动的原因。 运动学的内容包括：运动方程、轨迹、 运动学的内容包括：运动方程、轨迹、 速度和加速度。 速度和加速度。 学习运动学的意义： 学习运动学的意义：首先是为学习动 力学打下必要的基础； 力学打下必要的基础；其次运动学的理论 可以独立地应用到工程实际中。 可以独立地应用到工程实际中。 机械电子工程学院 2/43
x = x(t) y = y(t) z = z(t)
这就是直角坐标形式的点的运动方程。 这就是直角坐标形式的点的运动方程。 直角坐标形式的点的运动方程 直角坐标与矢径坐标之间的关系 r r r r r = x( t) i + y(t) j + z(t)k
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速度
r r r r r dr dx r dy r dz r v = = i + j + k = vxi +vy j +vzk dt dt dt dt
主法线
r τ r n
法面
r n
密切面
r r r b =τ ×n
副法线
r b
M
τ
r
切线
rr r 构成的坐标系称为自然轴 由三个方向的单位矢量 τ,n,b 构成的坐标系称为自然轴 r 它们的正向确定如下： 的正向指向弧坐标的正向； 正向确定如下 τ 系。它们的正向确定如下： 的正向指向弧坐标的正向；
r r r的方向将随动点在曲线上的位置变化 决定。 决定。自然轴系 τ,n,b 而变化，不是固定坐标系。 而变化，不是固定坐标系。
运动学判断题
答：对。
刚体运动时，若体内任一根直线均保持与其最初位置平行，则此刚体作平面运动。（×）
答：错。
刚体平行移动一定是刚体平面运动的一个特例。（×）
答：错。
刚体作平面运动，用基点法可将运动分解为两部分，即随基点的平移与绕基点的转动，其中转动角速度是刚体绕基点的相对角速度，也等于刚体的绝对角速度。（√）
答：对。
轮子作平面运动时，如轮子与地面接触点C的速度不等于零，即相对地面有滑动，则此时轮子一定不存在瞬时速度中心。（×）
答：错。
刚体作平面运动时，平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等。（×）
答：错。
图形S作平面运动，设A,B是图形上不同的两个点。若某瞬时，vA=0,vB=0，则该瞬时S上任意一点的速度均等于零。（√）
答：错。
牵连速度是动参考系相对于固定参考系的速度。（√）
答：错。
刚体作定轴转动，动点M在刚体内沿平行于转动轴的直线运动，若取刚体为动坐标系，则任一瞬时动点的牵连加速度都是相等的。
（√）
答：错。
若将动坐标系取在作定轴转动的刚体上，则刚体内沿平行于转动轴的直线运动的动点，其加速度一定等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。（√）
答：对。
汽车通过一圆形拱桥时，车厢作定轴转动。（√）
答：对。
若刚体内各点均作圆周运动，则此刚体的运动必是定轴转动。（×）
答：错。
两个作定轴转动的刚体，若其角加速度始终相等，则其转动方程相同。（×）
答：错。
刚体作平移时，其上各点的轨迹可以是直线，可以是平面曲线，也可以是空间曲线。（√）
答：对。
若刚体运动时，其上两点的轨迹相同，则该刚体一定作平行移动。（√）
答：对。
刚体作定轴转动时，任一瞬时t的角速度=0+t（式中0为初角速度，为t瞬时的角加速度）。（×）
刚体运动时，若体内任一根直线均保持与其最初位置平行，则此刚体作平面运动。（×）
答：错。
刚体平行移动一定是刚体平面运动的一个特例。（×）
答：错。
刚体作平面运动，用基点法可将运动分解为两部分，即随基点的平移与绕基点的转动，其中转动角速度是刚体绕基点的相对角速度，也等于刚体的绝对角速度。（√）
答：对。
轮子作平面运动时，如轮子与地面接触点C的速度不等于零，即相对地面有滑动，则此时轮子一定不存在瞬时速度中心。（×）
答：错。
刚体作平面运动时，平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等。（×）
答：错。
图形S作平面运动，设A,B是图形上不同的两个点。若某瞬时，vA=0,vB=0，则该瞬时S上任意一点的速度均等于零。（√）
答：错。
牵连速度是动参考系相对于固定参考系的速度。（√）
答：错。
刚体作定轴转动，动点M在刚体内沿平行于转动轴的直线运动，若取刚体为动坐标系，则任一瞬时动点的牵连加速度都是相等的。
（√）
答：错。
若将动坐标系取在作定轴转动的刚体上，则刚体内沿平行于转动轴的直线运动的动点，其加速度一定等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。（√）
答：对。
汽车通过一圆形拱桥时，车厢作定轴转动。（√）
答：对。
若刚体内各点均作圆周运动，则此刚体的运动必是定轴转动。（×）
答：错。
两个作定轴转动的刚体，若其角加速度始终相等，则其转动方程相同。（×）
答：错。
刚体作平移时，其上各点的轨迹可以是直线，可以是平面曲线，也可以是空间曲线。（√）
答：对。
若刚体运动时，其上两点的轨迹相同，则该刚体一定作平行移动。（√）
答：对。
刚体作定轴转动时，任一瞬时t的角速度=0+t（式中0为初角速度，为t瞬时的角加速度）。（×）